1

Elektrostatyka

Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa

2

Potencjał pola elektrycznego

Energia potencjalna zależy od q (ładunek próbny) i Q (ładunek który wytwarza pole), ale wielkość definiowana jako:

zwana potencjałem pola elektrycznego zależy tylko od ładunku wytwarzającego pole Q.

Potencjał pola elektrycznego jest wielkością skalarną!

qrUr )()( jednostki [ 1 Volt = 1 V = 1 J /C = 1 N·m / C ]

i

i RR )()(

Zgodnie z zasadą superpozycji pól elektrycznych w przypadku nakładania się pól elektrycznych (pochodzących od różnych ładunków Qi) ich potencjały sumują się algebraicznie

Uwaga! Tutaj sumujemy wielkości skalarne!

3

Natężenie pola jako gradient potencjału

W ogólności trzeba zapisać

)(gradEczyli

zz

yy

xx

E ˆˆˆ

To jest recepta jak policzyć E znając potencjał

Wniosek: natężenie pola E wskazuje kierunek w którym potencjał najszybciej maleje

Stąd praca przenoszenia ładunku próbnego między tymi punktami

Trzeba zauważyć że różnica potencjałów pomiędzy dwoma punktami wynosi

)()()(

)()()()(

1221

1212

RRqRRW

qRURURR

Dlatego można zapisać, że

2

1

)()( 12R

R

drERR

4

Potencjał ładunku punktowego

2

1

20

12 4

R

R rdrQ

RQR

04)(

5

Powierzchnie ekwipotencjalnePowierzchnie gdzie wartości potencjału są stałe

- powierzchnie ekwipotencjalne• poruszając ładunek po takiej powierzchni nie wykonuje się żadnej pracy• wektor natężenia pola elektrycznego jest zawsze prostopadły do tej powierzchni

6

Powierzchnie ekwipotencjalne

Powierzchnie gdzie wartości potencjału są takie same - powierzchnie ekwipotencjalne

• poruszając ładunek po takiej powierzchni nie wykonuje się żadnej pracy• wektor natężenia pola elektrycznego jest zawsze prostopadły do tej powierzchni

7

Strumień pola elektrycznego przechodzący przez powierzchnię zamkniętą

• dzielimy powierzchnię na małe elementy s.• znajdujemy wektor „normalny” (wektor prostopadły) do powierzchni s• sumujemy wszystkie iloczyny skalarne

Strumień pola elektrycznego

SdE

SE

E

E

cosSESE

Uwaga! Strumień zależy od kąta pomiędzy wektorami

Wektor s zawsze skierowany jest na zewnątrz powierzchni zamkniętej !

8

0)()()(

cba

E SdESdESdESdE

ESSdE

SdE

ESdSEdSESdE

c

b

a

)(

)(

0

)(

0

180cos

Strumień pola elektrycznego

Przykład! Zamknięta powierzchnia cylindryczna w jednorodnym polu elektrycznym

9

Prawo Gaussa

EQ1Q2

0i

EQ

Strumień przez pow. Zamkniętą:

Nie zależy od sposobu ułożenia ład.

Nie zależy od wartości ład. zewnętrznych

Przykład! Zamknięta powierzchnia sferyczna w polu elektrycznym wytworzonym przez ładunek punktowy

Prawo Gaussa mówi :

strumień natężenia pola elektrycznego w próżni przez

dowolną powierzchnię zamkniętą jest proporcjonalny do sumy

algebraicznej ładunków elektrycznych otoczonych przez

tę powierzchnię

s

EqSdE

0

powierzchnia sfery

zależy tylko od ładunku zawartego wewnątrz!

s

Eq

RRqSdE

02

0

2

44

10

Prawo Gaussa – postać różniczkowa

0

2

0

0

0

),,(),,(

zyxqzyx

qE

qzE

yE

xE

qEdiv

zyx

zz

yy

xx

ˆˆˆ

gdzie operator

Równanie Poisson’a,

Pozwala obliczyć rozkłady potencjału (pole skalarne potencjału) na podstawie znajomości rozkładu ładunku2

2

2

2

2

22

zyx

Weźmy nieskończenie małą powierzchnię Gaussa w kształcie prostopadłościanu o wym. dx, dy, dz

Po przekształceniach matematycznych można Prawo Gaussa przedstawić w postaci różniczkowej

11

Prawo Gaussa - konsekwencje

Ładunek umieszczony na izolowanym przewodniku rozmieszcza się na jego powierzchni

Jeśli E=0 wewnątrz (a to można zmierzyć) to nie może być ładunku wewnątrz takiego przewodnika – lokuje się on na zewnątrz

Na powierzchni przewodnika 0E

constwartość potencjału pola el.0

Ewartość nat. pola el. gęstość powierzchniowa ładunku

12

Prawo Gaussa - konsekwencje

Nienaładowany przewodnik umieszczony w polu elektrycznym. Ładunki elektryczne (np. elektrony) rozkładają się na powierzchni tak, aby w środku E=0 , a na zewnątrz pole E było prostopadłe do powierzchni przewodnika

Wyładowanie elektryczne przechodzące przez samochód. Pole elektryczne wewnątrz E=0

13

Prawo Gaussa – zastosowanianieskończony przewodnik liniowy

RE

02

Przyjmijmy, że gęstość liniowa ładunku jednorodna wynosi L

Qdldq

0

0cos90cos2qEBEA ooE

0

2 hrhE

Do obliczeń wartości natężenia pola elektrycznego można zastosować prawo Gaussa w przypadkach, gdy pole ma pewną symetrię

Wybieramy odpowiednio powierzchnię zamkniętą i liczymy strumień

s

EqSdE

0

021

qBAAE

t

A– powierzchnia podstawy walcaB – powierzchnia boczna

14

Prawo Gaussa – zastosowania,pole elektryczne naładowanej kuli

Wybieramy odpowiednio powierzchnię zamkniętąE=∮ E d S= q0

E

R

r

dla r > R

dla r < R

E= q4 0 r

2

E=0

Jak policzyć potencjał takiego pola w punkcie r ?

Jak policzyć natężenie takiego pola?

Jest to takie samo wyrażenie jak dla ładunku punktowego!

E= q4 0r

2

E 4 r2= q0

r =−∫∞

r

E ° dr =−∫∞

r q4 r20

dr = q4 r 0

15

Prawo Gaussa – zastosowaniajednorodnie naładowana płaszczyzna

Zakładamy że gęstość powierzchniowa ładunku jest jednorodna i wynosi

przez A przez B przez powierzchnięboczną = 0

E=ABD=q0

Wybieramy odpowiednio powierzchnię zamkniętą i liczymy strumień

E=∮ E d S= q0

Tutaj pole elektryczne jest stałe i nie zależy od odległości od płaszczyzny

E= 20

ale A=B

E=EA cos0oEB cos0o= q

0

E=2 EA= A0

=dqds

=QS

Slajd 1Slajd 2Slajd 3Slajd 4Slajd 5Slajd 6Slajd 7Slajd 8Slajd 9Slajd 10Slajd 11Slajd 12Slajd 13Slajd 14Slajd 15