Półprzewodniki - Faculty of Physics University of Warsawszczytko/FMS/Wyklad_11... · 2012. 1....
Transcript of Półprzewodniki - Faculty of Physics University of Warsawszczytko/FMS/Wyklad_11... · 2012. 1....
Uniwersytet Warszawski 2010
[email protected] http://www.fuw.edu.pl/~szczytko/NT
Półprzewodniki (ang. semiconductors).
Teoria pasmowa ciał stałych.
pasmo puste
pasmo pełne
pasmo puste
pasmo pełne
pasmo puste
pasmo pełne
metal półprzewodnik izolator Jak zobaczyć przerwę?
ENER
GIA
ELE
KTR
ON
ÓW
Przerwa energetyczna
http://www.rpi.edu/~schubert/Light-Emitting-Diodes-dot-org/chap11/F11-04-R.jpg
Podstawy modelu jednoelektronowego
Masa efektywna. Przybliżenie kp
Przybliżenie kp Wektor k nie jest pędem (mówimy, że jest quasi-pędem).
rkiknkn erur
)()( ,, =ψ
Funkcja Blocha w równaniu Schrodingera: )()()(ˆ
, rkeukiirp rkikn
ψψ ≠∇+−=
Podstawy modelu jednoelektronowego
Masa efektywna. Przybliżenie kp Po uproszczeniu exp(ikr):
Energia En(k) wokół k=0:
gdzie
liniowe w k Jeśli rozwijamy wokół ekstremum ai=0
Podstawy modelu jednoelektronowego
Masa efektywna. Przybliżenie kp Energia En(k) wokół ekstremum:
Przez analogię do klasycznej zależności energii kinetycznej od pędu wprowadzamy tensor odwrotności masy efektywnej m-1
ij :
Jeśli ekstremum energii jest w punkcie G(k=0) to powierzchnia stałej energii jest elipsoidą w przestrzeni k, która po sprowadzeniu do osi głównych ma postać:
Elektrony i dziury
Kwazicząstki - dziury Dla opisania sumarycznych właściwości tych 2N-1 elektronów wprowadzamy pojęcie nowej kwazicząstki -dziury. Dziura quasi cząstka z dodatnią masą efektywną, która opisuje własności zbioru elektronów w ciele stałym o masie ujemnej z jednym stanem pustym. Jeśli f(k) pewna wielkość fizyczna charakteryzująca elektron o wektorze falowym k to wartość tej wielkości dla dziury:
dla pasma w którym brakuje elektronu w stanie j
Np. wektor falowy dziury:
Np. prędkość dziury:
Elektrony i dziury
Kwazicząstki - dziury Dla opisania sumarycznych właściwości tych 2N-1 elektronów wprowadzamy pojęcie nowej kwazicząstki -dziury. Dziura quasi cząstka z dodatnią masą efektywną, która opisuje własności zbioru elektronów w ciele stałym o masie ujemnej z jednym stanem pustym.
Np. prędkość dziury:
Elektrony i dziury
Kwazicząstki - dziury
Pole elektryczne E
miejscupustymweh
miejscupustymwe
parybeze
vvvejvej
−−−
−−−
−−
=
+=
−=
Dla opisania sumarycznych właściwości tych 2N-1 elektronów wprowadzamy pojęcie nowej kwazicząstki -dziury. Dziura quasi cząstka z dodatnią masą efektywną, która opisuje własności zbioru elektronów w ciele stałym o masie ujemnej z jednym stanem pustym.
Funkcja rozkładu
Własności pasm
Fermiony:
1
10
+
= −TkEE
B
F
ef
Prawdopodobieństwo obsadzenia stanu kwantowego o energii E EF – potencjał chemiczny
TSUFnFE
iF
−=∂∂
=
1
10
−
= −TkEE
B
F
ef Tk
EE
TkEE
B
F
B
Fe
ef
−−
− ≈
±
=
1
10
Bozony: Rozkład Boltzmana:
Polaritony Fonony Magnony Ekscytony, biekscytony Plazmony
Elektrony Dziury Triony (ekscytony naładowane)
Anyons – np. composite fermions Slave fermions (chargon, holon, spinon) = fermion+bozon w separacji spin-ładunek
1221 ψψψψ θie=
Funkcja rozkładu
Rozkład Fermiego-Diraca
-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Energia (eV)
Pra
wdo
podo
bien
stw
o ob
sadz
enia
1K100K300K
1
10
+
= −TkEE
B
F
ef
Enrico Fermi 1901 – 1954
Paul Adrian Maurice Dirac 1902 – 1984
Funkcja rozkładu
Rozkład Fermiego-Diraca
-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Energia (eV)
Pra
wdo
podo
bien
stw
o ob
sadz
enia
1K100K300K
1
10
+
= −TkEE
B
F
ef
Funkcja rozkładu
Rozkład Fermiego-Diraca
-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Energia (eV)
Pra
wdo
podo
bien
stw
o ob
sadz
enia
1K100K300K
1
10
+
= −TkEE
B
F
ef
Funkcja rozkładu
Rozkład Fermiego-Diraca
-0.1
-0.0
50
0.05
0.1
0.15
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.81
Ene
rgia
(eV
)
Prawdopodobienstwo obsadzenia
1K 10
0K30
0K
k
Prawdopodobieństwo obsadzenia stanu kwantowego o energii E EF – potencjał chemiczny
1
10
+
= −TkEE
B
F
ef
Prawdopodobieństwo obsadzenia
Funkcja rozkładu
Rozkład Fermiego-Diraca
-0.1
-0.0
50
0.05
0.1
0.15
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.81
Ene
rgia
(eV
)
Prawdopodobienstwo obsadzenia
1K 10
0K30
0K
k
Prawdopodobieństwo obsadzenia stanu kwantowego o energii E EF – potencjał chemiczny
1
10
+
= −TkEE
B
F
ef
Prawdopodobieństwo obsadzenia
Funkcja rozkładu
Rozkład Fermiego-Diraca
-0.1
-0.0
50
0.05
0.1
0.15
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.81
Ene
rgia
(eV
)
Prawdopodobienstwo obsadzenia
1K 10
0K30
0K
E
k Eg
Prawdopodobieństwo obsadzenia
G
Funkcja rozkładu
Rozkład Fermiego-Diraca
-0.1
-0.0
50
0.05
0.1
0.15
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.81
Ene
rgia
(eV
)
Prawdopodobienstwo obsadzenia
1K 10
0K30
0K
Prawdopodobieństwo obsadzenia
E
k
Pasmo przewodnictwa
Pasma walencyjne
cb
hh
lh
Eg
Funkcja rozkładu
Rozkład Fermiego-Diraca E
k
Pasmo przewodnictwa
Pasma walencyjne
cb
hh
lh
Eg
1
1
+
= −TkEEe
B
F
ef
Prawdopodobieństwo obsadzenia elektronu o energii E
1
1
1
111+
=
+
−=−= −−
−TkEE
TkEEeh
B
F
B
F
eeff
Prawdopodobieństwo obsadzenia dziury o energii E
Elektrony i dziury
Gęstość stanów
Warunki Borna-Karmana Skończone rozmiary kryształu Lx, Ly, Lz
Ψ – postać funkcji Blocha Ψ(x + Lx,y,z) = Ψ(x, y + Ly,z) = Ψ(x, y, z + Lz)
11
1
=
=
=
zz
yy
xx
Lik
Lik
Lik
ee
e
Stany te wyznaczają w przestrzeni odwrotnej siatkę o gęstości (V/2π)3
Gęstość stanów na jednostkę trójwymiarowej przestrzeni k
i
i
iii L
nLL
k πππ 2,...,4,2,0 ±±±= Lx Ly
Lz
Jeśli nasz kryształ ma skończone rozmiary zbiór wektorów k jest skończony (choć olbrzymi!), np. możemy przyjąć periodyczne warunki brzegowe i wtedy:
Elektrony i dziury
Gęstość stanów
Warunki Borna-Karmana Skończone rozmiary kryształu Lx, Ly, Lz
Ψ – postać funkcji Blocha Ψ(x + Lx,y,z) = Ψ(x, y + Ly,z) = Ψ(x, y, z + Lz)
11
1
=
=
=
zz
yy
xx
Lik
Lik
Lik
ee
e
i
i
iii L
nLL
k πππ 2,...,4,2,0 ±±±=
Jeśli nasz kryształ ma skończone rozmiary zbiór wektorów k jest skończony (choć olbrzymi!), np. możemy przyjąć periodyczne warunki brzegowe i wtedy:
kx
ky
yLπ2
xLπ2
Elektrony i dziury
Gęstość stanów
i
i
iii L
nLL
k πππ 2,...,4,2,0 ±±±=
Jeśli nasz kryształ ma skończone rozmiary zbiór wektorów k jest skończony (choć olbrzymi!), np. możemy przyjąć periodyczne warunki brzegowe i wtedy:
kx
ky
xLπ2
yLπ2
( )322221
ππππV
LLL zyx
=××
=
3
212
=
πρk
Ilość stanów w objętości
Gęstość stanów w przestrzeni k (w jednostkowej objętości)
3
212
=
πρk
Elektrony i dziury
Gęstość stanów
i
i
iii L
nLL
k πππ 2,...,4,2,0 ±±±=
Jeśli nasz kryształ ma skończone rozmiary zbiór wektorów k jest skończony (choć olbrzymi!), np. możemy przyjąć periodyczne warunki brzegowe i wtedy:
kx
ky
xLπ2
yLπ2
( )322221
ππππV
LLL zyx
=××
=Ilość stanów w objętości
kula Fermiego T=0 K
Gęstość stanów w przestrzeni k (w jednostkowej objętości)
przypadek 3D
Elektrony i dziury
Gęstość stanów
( )dkkkddEEN k
23 4
22)( ππ
ρ ==
Często wygodniejsza jest znajomość gęstości stanów w przestrzeni energii E (a więc ilość stanów w przedziale (E, E+d E). Dla pasma sferycznego i parabolicznego:
kx
ky
xLπ2
yLπ2
mkkE
2)(
22=
gęstość stanów liczymy jako:
3
212
=
πρk
przypadek 3D
Elektrony i dziury
Gęstość stanów
( )dkkkddEEN k
23 4
22)( ππ
ρ ==
Często wygodniejsza jest znajomość gęstości stanów w przestrzeni energii E (a więc ilość stanów w przedziale (E, E+d E). Dla pasma sferycznego i parabolicznego:
kx
ky
xLπ2
yLπ2
mkkE
2)(
22=
gęstość stanów liczymy jako:
3
212
=
πρk
przypadek 3D
cc
c EEmEN −
=
2/3
22
*22
1)(π
EEmEN vh
v −
=
2/3
22
*22
1)(π
Elektrony i dziury
Gęstość stanów Często wygodniejsza jest znajomość gęstości stanów w przestrzeni energii E (a więc ilość stanów w przedziale (E, E+d E). Dla pasma sferycznego i parabolicznego:
kx
ky
xLπ2
yLπ2
przypadek 3D
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Energia (eV)
Ges
tosc
sta
nów
Elektrony i dziury
Gęstość stanów Często wygodniejsza jest znajomość gęstości stanów w przestrzeni energii E (a więc ilość stanów w przedziale (E, E+d E). Dla pasma sferycznego i parabolicznego:
kx
ky
mkkE
2)(
22=
gęstość stanów liczymy jako:
3
212
=
πρk
przypadek 3D
Do domu: znajdź N(E) przypadek 2D
przypadek 1D
2
212
=
πρk
1
22π
ρ =k
kx
Elektrony i dziury
Gęstość stanów Często wygodniejsza jest znajomość gęstości stanów w przestrzeni energii E (a więc ilość stanów w przedziale (E, E+d E). Dla pasma sferycznego i parabolicznego:
kx
ky
kx
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Energia (eV)
Ges
tosc
sta
nów
przypadek 2D
Koncentracja samoistna
Jaka jest koncentracja nośników dla T>0? W półprzewodnikach samoistnych w warunkach równowagi termodynamicznej, elektrony w paśmie przewodnictwa pojawiają się wyłącznie wskutek wzbudzenia z pasma walencyjnego.
kx
ky
przypadek 3D
-0.1
-0.0
50
0.05
0.1
0.15
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.81
Ene
rgia
(eV
)
Prawdopodobienstwo obsadzenia
1K 10
0K30
0K
Prawdopodobieństwo obsadzenia
E
k
cb
hh
lh
Eg
Koncentracja samoistna
Jaka jest koncentracja nośników dla T>0?
kx
ky
przypadek 3D
-0.1
-0.0
50
0.05
0.1
0.15
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.81
Ene
rgia
(eV
)
Prawdopodobienstwo obsadzenia
1K 10
0K30
0K
Prawdopodobieństwo obsadzenia
*
22
*
22
2)(
2)(
hh
cgc
mkkE
mkEkE
−=
+=
W półprzewodnikach samoistnych w warunkach równowagi termodynamicznej, elektrony w paśmie przewodnictwa pojawiają się wyłącznie wskutek wzbudzenia z pasma walencyjnego.
Koncentracja samoistna
Jaka jest koncentracja nośników dla T>0?
kx
ky
przypadek 3D
1
10
+
= −TkEE
B
F
ef
*
22
*
22
2)(
2)(
hh
cgc
mkkE
mkEkE
−=
+=
W półprzewodnikach samoistnych w warunkach równowagi termodynamicznej, elektrony w paśmie przewodnictwa pojawiają się wyłącznie wskutek wzbudzenia z pasma walencyjnego.
Koncentracja samoistna
Jaka jest koncentracja nośników dla T>0?
1
10
+
= −TkEE
B
F
ef
*
22
*
22
2)(
2)(
hh
cgc
mkkE
mkEkE
−=
+=
W półprzewodnikach samoistnych w warunkach równowagi termodynamicznej, elektrony w paśmie przewodnictwa pojawiają się wyłącznie wskutek wzbudzenia z pasma walencyjnego.
cc
c EEmEN −
=
2/3
22
*22
1)(π
EEmEN vh
v −
=
2/3
22
*22
1)(π
Koncentracja samoistna
Jaka jest koncentracja nośników dla T>0?
TkEE
TkEEe
B
F
B
Fe
ef
−−
− ≈
+
=
1
1
gc
c EEmEN −
=
2/3
22
*22
1)(π
W półprzewodnikach samoistnych w warunkach równowagi termodynamicznej, elektrony w paśmie przewodnictwa pojawiają się wyłącznie wskutek wzbudzenia z pasma walencyjnego.
inpn ==
TkEE
TkEEh
F
Fe
eff 0
0
)(
)(0
1
11−
−− ≈
+
=−=
EmEN hv −
=
2/3
22
*22
1)(π
E
k
cb
hh lh
Eg
G=(0,0)
Koncentracja samoistna
Jaka jest koncentracja nośników dla T>0? W półprzewodnikach samoistnych w warunkach równowagi termodynamicznej, elektrony w paśmie przewodnictwa pojawiają się wyłącznie wskutek wzbudzenia z pasma walencyjnego.
inpn ==
( )zdtte
dEEEemdEENfEn
zt
Eg
TkEE
E
eeF
g
F
g
Γ=
−
==
∫
∫∫∞
−−
∞ −−∞
0
1
)(23
2
*
20
22
1)()(π
π=Γ
Γ=+Γ
)2/1(
)()1( nnn
Koncentracja samoistna
Jaka jest koncentracja nośników dla T>0? W półprzewodnikach samoistnych w warunkach równowagi termodynamicznej, elektrony w paśmie przewodnictwa pojawiają się wyłącznie wskutek wzbudzenia z pasma walencyjnego.
inpn ==
TkEE
cTkEE
e
Eg
TkEE
E
eeF
B
cF
B
cF
g
F
g
eNeTkmn
dEEEemdEENfEn
−−
∞ −−∞
=
=
−
== ∫∫
23
20
*
)(23
2
*
2
22
22
1)()( 0
π
π
TkEE
vTkEE
h
E
hh
B
vF
B
vF
v
eNeTkmp
dEgfp
)()(23
20
*
22
−−
−−
∞−
=
=
= ∫
π
Koncentracja samoistna
Jaka jest koncentracja nośników dla T>0? W półprzewodnikach samoistnych w warunkach równowagi termodynamicznej, elektrony w paśmie przewodnictwa pojawiają się wyłącznie wskutek wzbudzenia z pasma walencyjnego.
inpn ==
TkE
vcTk
E
he
TkE
vcTk
E
he
gg
gg
eNNemmTkpn
eNNemmTknpn
00
00
2243
**23
20
23
**3
202
)(2
2
)(2
4
−−
−−
=
==
=
==⋅
π
π
1/T
ln(n)
TkEg
e 02−
Koncentracja samoistna
Jaka jest koncentracja nośników dla T>0? W półprzewodnikach samoistnych w warunkach równowagi termodynamicznej, elektrony w paśmie przewodnictwa pojawiają się wyłącznie wskutek wzbudzenia z pasma walencyjnego.
J. Singleton
Koncentracja samoistna
Jaka jest koncentracja nośników dla T>0? W półprzewodnikach samoistnych w warunkach równowagi termodynamicznej, elektrony w paśmie przewodnictwa pojawiają się wyłącznie wskutek wzbudzenia z pasma walencyjnego.
inpn ==
TkE
vcTk
E
he
TkE
vcTk
E
he
gg
gg
eNNemmTkpn
eNNemmTknpn
00
00
2243
**23
20
23
**3
202
)(2
2
)(2
4
−−
−−
=
==
=
==⋅
π
π
( )
++=⇒=
−
*
*
0
)2(
ln43
21
0
e
hvcF
TkEE
v
c
mmTkEEEe
NN gF T
Eg
pasm
o pe
łne
pasm
o pu
ste
Koncentracja samoistna
Jaka jest koncentracja nośników dla T>0? W półprzewodnikach samoistnych w warunkach równowagi termodynamicznej, elektrony w paśmie przewodnictwa pojawiają się wyłącznie wskutek wzbudzenia z pasma walencyjnego.
R. S
tępn
iew
ski
TkEE
v
TkEE
c
B
vF
B
cF
eNp
eNn)(
)(
−−
−
=
=TkE
vc
g
eNNpn 02−
==
W powyższej tabelce wartości poniżej 1010 cm–3 nie mają sensu gdyż koncentracja zanieczyszczeń, a co za tym idzie koncentracja wynikająca z nieintencjonalnego domieszkowania jest większa
Koncentracja samoistna
Jaka jest koncentracja nośników dla T>0? W półprzewodnikach samoistnych w warunkach równowagi termodynamicznej, elektrony w paśmie przewodnictwa pojawiają się wyłącznie wskutek wzbudzenia z pasma walencyjnego.
Widać że wartość przerwy energetycznej nie jest wystarczającym kryterium na rozróżnienie półprzewodników i izolatorów, np. czysty Ge, Si i GaAs mają w temperaturze pokojowej bardzo niską koncentrację nośników co czyni je materiałami o właściwościach izolatorów. Lepsze kryterium – dla półprzewodników istnieje możliwość domieszkowania powodującego znaczące zmiany koncentracji i typu przewodnictwa (elektrony lub dziury).