Ekonometria - Przep ywy miedzyga eziowe. Model...

Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa

EkonometriaPrzepływy międzygałęziowe. Model Leontiefa.

Jakub Mućk

Katedra Ekonomii Ilościowej

Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 1 / 22


Outline

1 Przepływy międzygałęziowe

2 Model Leontiefa



Oznaczenia i definicje

Numeracja gałęzi: i, j = 1, 2, . . . ,n.Produkcja globalna i-tej gałęzi: Xi .Przepływ z i-tej do j-tej gałęzi: xi,j .Produkcja końcowa w i-tej gałęzi: Yi .Amortyzacja środków trwałych w j-tej gałęzi: Aj .Koszty związane z zatrudnieniem w j-tej gałęzi: x0j .Zysk j-tej gałęzi: Zj .



Przykład TPM

i Xixij

Yi1 2 3 . . . n1 X1 x1,1 x1,2 x1,3 . . . x1,n Y12 X2 x2,1 x2,2 x2,3 . . . x2,n Y23 X3 x3,1 x3,2 x3,3 . . . x3,n Y3...

......

......

. . ....

...n Xn xn,1 xn,2 xn,3 . . . xn,n Yn

Aj A1 A2 A3 . . . Anx0j x0,1 x0,2 x0,3 . . . x0,nZj Z1 Z2 Z3 . . . ZnXj X1 X2 X3 . . . Xn



Przykład TPM

i Xixij


......

......

. . ....

...n Xn xn,1 xn,2 xn,3 . . . xn,n Yn


Xi - produkcja globalna i-tej gałęzi.



Przykład TPM

i Xixij


......

......

. . ....

...n Xn xn,1 xn,2 xn,3 . . . xn,n Yn


xi,j - przepływ z i-tej do j-tej gałęzi.



Przykład TPM

i Xixij


......

......

. . ....

...n Xn xn,1 xn,2 xn,3 . . . xn,n Yn


Yi - produkcja końcowa w i-tej gałęzi.



Przykład TPM

i Xixij


......

......

. . ....

...n Xn xn,1 xn,2 xn,3 . . . xn,n Yn


Aj - amortyzacja środków trwałych w j-tej gałęzi.



Przykład TPM

i Xixij


......

......

. . ....

...n Xn xn,1 xn,2 xn,3 . . . xn,n Yn


x0j - koszty związane z zatrudnieniem w j-tej gałęzi.



Przykład TPM

i Xixij


......

......

. . ....

...n Xn xn,1 xn,2 xn,3 . . . xn,n Yn


Zj - zysk w j-tej gałęzi.



TPM - przykład

W gospodarce są tylko 2 sektory (sektor I oraz sektor II).W sektorze I wykorzystano 50j wyprodukowanych w tym sektorze oraz 20jz sektora II.W sektorze II wykorzystano 20j wyprodukowanych w sektorze I oraz 40j wsektorze II.Amortyzacja wyniosła 3j w każdym sektorze.Koszty pracy w sektorze I i II wyniosły odpowiednio 12j oraz 18j, a zyskodpowiednio 15j oraz 19j.



TPM - przykład

i Xxij

Yj1 21 X12 X2

Ajx0jZjXj

W gospodarce są tylko 2 sektory (sektor I oraz sektor II).



TPM - przykład

i Xxij

Yj1 21 X1 502 X2 20

Ajx0jZjXj

W sektorze I wykorzystano 50j wyprodukowanych w tym sektorze oraz 20jz sektora II.



TPM - przykład

i Xxij

Yj1 21 X1 50 202 X2 20 40

Ajx0jZjXj

W sektorze II wykorzystano 20j wyprodukowanych w sektorze I oraz 40j wsektorze II.



TPM - przykład

i Xxij

Yj1 21 X1 50 202 X2 20 40

Aj 3 3x0jZjXj

Amortyzacja wyniosła 3j w każdym sektorze.



TPM - przykład

i Xxij

Yj1 21 X1 50 202 X2 20 40

Aj 3 3x0j 12 18ZjXj

Koszty pracy w sektorze I i II wyniosły odpowiednio 12j oraz 18j,



TPM - przykład

i Xxij

Yj1 21 X1 50 202 X2 20 40

Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj

Koszty pracy w sektorze I i II wyniosły odpowiednio 12j oraz 18j, a zyskodpowiednio 15j oraz 19j.



TPM - przykład

i Xxij

Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40

Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100

Można uzupełnić produkt końcowy, który dla każdej gałęzi wynosi 100.



Zużycie pośrednie, popyt pośredni (suma elementów i-tego wiersza):n∑

j=1

xi,j (1)

Równanie podziału produkcji globalnej:

Xi =n∑

j=1

xi,j︸︷︷︸popyt pośredni

+ Yi︸︷︷︸popyt końcowy

(2)

Koszty materiałowe dla j-tej gałęzi:n∑

i=1

xi,j (3)

Koszty materialne dla j-tej gałęzi:n∑

i=1

xi,j + Aj (4)



Łączny koszt produkcji:n∑

i=1

xi,j + Aj + x0,j (5)

Zysk dla j-tej gałęzi:

Zj = Xj −( n∑

i=1

xi,j + x0,j + Aj

)(6)

Produkcja czysta (VA) lub wartość dodana:

Dj = x0,j + Zj = Xj −n∑

i=1

xi,j (7)

Wartość dodana brutto:DBrutto

j = Dj + Aj (8)Równanie kosztów:

Xj =n∑

i=1

xi,j + Aj + x0,j + Zj (9)

Warunek równowagi ogólnej:n∑

j=1

(Aj + x0,j + Zj

)=

n∑i=1

Yi (10)



TPM - przykład

i Xxij

Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40

Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100



TPM - przykład

i Xxij

Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40

Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100

Koszty materiałoweI sektor: 50 + 20 = 70



TPM - przykład

i Xxij

Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40

Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100

Koszty materiałoweI sektor: 50 + 20 = 70II sektor: 20 + 40 = 60



TPM - przykład

i Xxij

Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40

Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100

Koszty materialneI sektor: 50 + 20 + 3 = 73



TPM - przykład

i Xxij

Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40

Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100

Koszty materialneI sektor: 50 + 20 + 3 = 73II sektor: 20 + 40 + 3 = 63



TPM - przykład

i Xxij

Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40

Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100

Łączny koszt produkcjiI sektor: 50 + 20 + 3 + 12 = 85



TPM - przykład

i Xxij

Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40

Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100

Łączny koszt produkcjiI sektor: 50 + 20 + 3 + 12 = 85II sektor: 20 + 40 + 3 + 18 = 81



TPM - przykład

i Xxij

Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40

Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100

Wartość dodana (produkcja czysta)I sektor: D1 = 12 + 15 = 27



TPM - przykład

i Xxij

Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40

Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100

Wartość dodana (produkcja czysta)I sektor: D1 = 12 + 15 = 27II sektor: D2 = 18 + 19 = 37



TPM - przykład

i Xxij

Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40

Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100

Wartość dodana bruttoI sektor: Dbrutto

1 = 12 + 15 + 3 = 30



TPM - przykład

i Xxij

Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40

Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100

Wartość dodana bruttoI sektor: Dbrutto

1 = 12 + 15 + 3 = 30II sektor: Dbrutto

2 = 18 + 19 + 3 = 40



Rachunki narodowe

Produkt Krajowy Brutto (PKB):

PKB =n∑

i=j

(Aj + x0j + Zj) (11)

Produkt Krajowy Netto (PKN):

PKN =n∑

i=j

(x0j + Zj) (12)

Saldo Hanlu Zagranicznego (SHZ)

SHZ = EX − IM (13)

gdzie EX to eksport, a IM to import.Dochód Narodowy Brutto (DNB):

DNB = PKB − SHZ (14)

Dochód Narodowy Netto (DNN):

DNN = PKN − SHZ (15)



Przykład TPM (cd.)

i Xixij


......

......

. . ....

...n Xn xn,1 xn,2 xn,3 . . . xn,n Yn




Przykład TPM (cd.)

i Xixij


......

......

. . ....

...n Xn xn,1 xn,2 xn,3 . . . xn,n Yn


Produkt Krajowy Brutto (PKB):

PKB =n∑

i=j

(Aj + x0j + Zj)



Przykład TPM (cd.)

i Xixij


......

......

. . ....

...n Xn xn,1 xn,2 xn,3 . . . xn,n Yn


Produkt Krajowy Netto (PKB):

PKN =n∑

i=j

(x0j + Zj)



Efektywność procesów gospodarczych

Współczynnik materiałochłonności:

mj =

∑ni=1 xij

Xj(16)

Współczynnik płacochłonności:

pj =x0j

Xj(17)

Rentowność:rj =

Zj

Xj − Zj(18)

Rentowność brutto:rBrutto

j =Zj + Aj

Xj − (Zj + Aj)(19)

Wydajność pracy:ωj =

Xj

Lj(20)

Współczynnik importochłonności:

mimportj =

ximp,j

Xj(21)



i Xxij

Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40

Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100



i Xxij

Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40

Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100

Współczynnik materiałochłonności:I sektor: m1 = (50 + 20)/100 = 0.7 = 70%



i Xxij

Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40

Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100

Współczynnik materiałochłonności:I sektor: m1 = (50 + 20)/100 = 0.7 = 70%II sektor: m2 = (20 + 40)/100 = 0.6 = 60%



i Xxij

Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40

Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100

Współczynnik płacochłonności:I sektor: p1 = 12/100 = 0.12 = 12%



i Xxij

Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40

Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100

Współczynnik płacochłonności:I sektor: p1 = 12/100 = 0.12 = 12%II sektor: p2 = 18/100 = 0.18 = 18%



i Xxij

Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40

Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100

Rentowność:I sektor: r1 = 15/(100− 15) ≈ 17.6%



i Xxij

Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40

Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100

Rentowność:I sektor: r1 = 15/(100− 15) ≈ 17.6%II sektor: r2 = 19/(100− 19) ≈ 23.5%



i Xxij

Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40

Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100

Rentowność bruttoI sektor: rBrutto

1 = (15 + 3)/(100− 15− 3) ≈ 22.0%



i Xxij

Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40

Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100

Rentowność bruttoI sektor: rBrutto

1 = (15 + 3)/(100− 15− 3) ≈ 22.0%II sektor: rBrutto

2 = (19 + 3)/(100− 19− 3) ≈ 28.2%



Outline

1 Przepływy międzygałęziowe

2 Model Leontiefa



Macierz struktury kosztów i macierz Leontiefa

Macierz struktury kosztów A (relacji input-output):

A = [aij ] =[

xij

Xj

]=

x1,1X1

x1,2X2

. . .x1,nXnx2,1

X1

x2,2X2

. . .x2,nXn

......

. . ....

xn,1X1

xn,2X2

. . .xn,nXn

(22)

gdzie aij to udział materiałów i-tej gałęzi wykorzystanych w produkcji j-tejgałęzi.Zależność pomiędzy macierzą struktury kosztów a współczynnikiem materia-łochłonności:

mj =n∑

i=1

ai,j (23)

Macierz Leontiefa:L = I −A (24)

Jeśli każde mi < 0 to wtedy macierz Leontiefa jest nieosobliwa.Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 15 / 22


Model Leontiefa

Założenie: relacja input-output, wyrażona macierzą A, jest stała w czasie.Wtedy: X1

X2...

Xn

=

x1,1 + x1,2 + . . . + x1,n + Y1x2,1 + x2,2 + . . . + x2,n + Y2

...xn,1 + xn,2 + . . . + xn,n + Yn

=

=

a1,1X1 . . . + a1,nXn + Y1a2,1X1 + . . . + a2,nXn + Y2

...an,1X1 + . . . + an,nXn + Yn

=

a1,1 a1,2 . . . a1,na2,1 a2,2 . . . a2,n

......

. . ....

an,1 an,2 . . . an,n

X1

X2...

Xn

+

Y1Y2...

Yn

Zapis macierzowy:

X = AX + Y (25)

gdzie X to macierz produktu globalnego, a Y to macierz produktu końco-wego.Tożsamość dla Y :

Y = (I −A) X (26)



Model Leontiefa (cd)

Model Leontiefa jest liniowy, a zatem addytywny i jednorodny:

(I −A) (αX1 + βX2) = α (I −A) X1 + β (I −A) X2 = αY1 + βY2, (27)

dla α, β ∈ R oraz X1,X2 ∈ Rn .Wniosek: model Leontiefa można aplikować do analizy przyrostów, tj. zmianproduktu globalnego/końcowego:

L∆X = ∆Y . (28)

Interpretacja elemetów macierz Leontiefa L, tj. Li,j : przyrost pro-duktu końcowego w gałęzi i wynikający ze wzrostu produktu globalnego wgałęzi j o jednostkę, ceteris paribus.Interpretacja elemetów macierz odwrotnej do macierzy LeontiefaL−1, tj. L−1

i,j : jaki przyrost produkcji globalnej w gałęzi i spowoduje wzrostproduktu końcowego w gałęzi j o jednostkę, ceteris paribus.



Prognozy a model Leontiefa

Prognozy I rodzaju: znane X (lub ∆X) i nieznane Y (lub ∆Y ):

LX = Y . (29)

Prognozy II rodzaju: znane Y (lub ∆Y ) i nieznane X (lub ∆X):

L−1Y = X . (30)

Prognozy mieszane: znane w sumie n (liczba sektorów) wartości Y i X(lub Y i X).=⇒ rozwiązanie odpowiedniego układu równań.



TPM - przykład

i Xxij

Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40

Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100



TPM - przykład

i Xxij

Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40

Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100

Macierz relacji input-output:

A =[ 50

10020

10020

10040

100

]=[ 1

215

12

25

](31)



O ile zmieni się produkt końcowy jeżeli produkt globalny w sektorach I i IIzmieni się odpowiednio o α i β (α, β ∈ R)?

Korzystamy z prognozy pierwszego rodzaju

L∆X = ∆Y .

gdzie ∆X = [α, β ]T .Macierz Leontiefa:

L = I −A =[

1 00 1

]−[ 1

215

12

25

]=[ 1

2 − 15

− 12

35

](32)

Ostatecznie prognoza I rodzaju:

∆Y =[ 1

2 − 15

− 12

35

][α

β

]=[ 1

2α−15β

35β −

15α

]. (33)

Łączna zmiana produktu końcowego wyniesie: 3/5α+ 2/5β.



O ile powinien się zmienić produkt globalny aby produkt końcowy w sekto-rach I i II zmieni się odpowiednio o γ i δ (γ, δ ∈ R)?

Korzystamy z prognozy drugiego rodzaju

L−1∆Y = ∆X .

gdzie ∆Y = [γ, δ]T .Macierz odrotna do macierzy Leontiefa:

L−1 =[ 1

2 − 15

− 12

35

]−1

=[

3013

1013

1013

2513

](34)

Ostatecznie prognoza II rodzaju:

∆X =[ 30

131013

1013

2513

][γ

δ

]=[ 30

13γ + 1013δ

1013γ + 25

13δ

]. (35)

Łączna zmiana produktu globalnego powinna wynieść: 40/13γ + 35/13δ.



Wyznacz zmianę produktu końcowego w I sektorze i produktu globalnego w II sek-torze, jeżeli:

zmiana produktu globalnego w pierwszym sektorze jest równa α,zmiana produktu końcowego w drugim sektorze jest równa β,

gdzie α, β ∈ R.

Korzystamy z prognozy mieszanej[ 12 − 1

5

− 12

35

][β

∆X2

]=[

∆Y1

α

](36)

czyli układ równań: {∆Y1 = 1

2β −15 ∆X2

α = 35 ∆X2 − 1

2β(37)

Rozwiązanie: {∆Y1 = 1

3β −13α

∆X2 = 53α+ 5

6β(38)


Ekonometria - Przep ywy miedzyga eziowe. Model...

Documents

Transcript of Ekonometria - Przep ywy miedzyga eziowe. Model...