PODSTAWY EKONOMETRII

z elementami algebry liniowej

PODSTAWY EKONOMETRII

z elementami algebry liniowej

Eligiusz W. Nowakowski

Paac Kultury i Nauki00-901 Warszawa, pl. Defilad 1

Infolinia: 0 801 033 101rekrutacja@wszechnicapolska.edu.pl

www.wszechnicapolska.edu.pl

Recenzentprof. dr hab. Wiesaw Sasin

Redakcja tekstuBogumi Paszkiewicz

Projekt graficzny i typograficznyKrystyna Bukowczyk

Skad i amanieAgencja KUBA

Copyright Eligiusz Wojciech NowakowskiCopyright Wszechnica Polska Szkoa Wysza TWP w Warszawie, 2011

ISBN 978-83-89077-15-8

5Spis treci

WPROWADZENIE .................................................................................. 7Rozdzia 1 ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ .................................................... 10

1.1. PRZESTRZE WEKTOROWA (LINIOWA) ........................... 101.2. MACIERZE I DZIAANIA NA NICH ...................................... 15

1.2.1. Dodawanie macierzy ............................................................. 171.2.2. Mnoenie macierzy ............................................................... 191.2.3. Wyznacznik ........................................................................... 201.2.4. Macierz odwrotna ................................................................. 27

Rozdzia 2 MODELE EKONOMETRYCZNE ......................................................... 35

2.1. ZADANIA EKONOMETRII ....................................................... 352.2. POSTA MODELU ...................................................................... 362.3. KLASYFIKACJA ZMIENNYCH WYSTEPUJCYCH

W MODELU .................................................................................. 382.4. KLASYFIKACJA MODELI EKONOMETRYCZNYCH ........ 392.5. METODA EKONOMETRII ........................................................ 472.6. ESTYMACJA PARAMETRW STRUKTURALNYCH

JEDNORWNANIOWEGO MODELU EKONOMETRYCZNEGO ......................................................... 50

2.7. WERYFIKACJA JEDNORWNANIOWEGO MODELU EKONOMETRYCZNEGO ......................................................... 60

2.7.1. Wery kacja merytoryczna ................................................... 602.7.2. Badanie koincydencji ............................................................ 612.7.3. Wspczynnik determinacji R2 ............................................ 622.7.4. Wery kacja statystyczna jednorwnaniowego modelu

ekonometrycznego ................................................................ 652.7.5. Autokorelacja skadnika losowego ...................................... 68

ZADANIA DO ROZDZIAU 2 .......................................................... 70

Rozdzia 3 PROGRAMOWANIE LINIOWE ........................................................... 75

3.1. WPROWADZENIE ...................................................................... 753.2. ZADANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ..................... 76

63.3. WASNOCI ZADANIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ................................................................................ 83

3.4. METODA SIMPLEX .................................................................... 883.4.1. Zadanie startowe ................................................................... 883.4.2. Tablica Simplex ..................................................................... 92

3.5. ZADANIE DUALNE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ... 104ZADANIA DO ROZDZIAU 3 ............................................... 110

Rozdzia 4ZADANIE TRANSPORTOWE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ........................................................................................... 115

4.1. SFORMUOWANIE ZADANIA TRANSPORTOWEGO ...... 1194.3. METODY WYZNACZANIA ROZWIZA

WSTPNYCH ............................................................................... 1204.3.1. Metoda kta pnocno-zachodniego [MKPZ] ................... 1214.3.2. Metoda minimalnego elementu macierzy kosztw

[MMEMK] ............................................................................ 1234.3.3. Metoda VAM [VAM] ........................................................... 125

4.4. OBLICZANIE WSKANIKW OPTYMALNOCI METOD POTENCJAW ...................................................... 126

4.5. SZUKANIE ROZWIZANIA OPTYMALNEGO PRZY POMOCY METODY GRAFW I POTENCJAW ... 129

4.6. WARUNKI NAKADANE NA ROZWIZANIE .................... 1334.6.1. Trasy niedopuszczalne ......................................................... 1334.6.2. Ograniczona przepustowo tras ....................................... 135

ZADANIA DO ROZDZIAU 4 ......................................................... 140BIBLIOGRAFIA ...................................................................................... 147

7WPROWADZENIEEkonometria zajmuje si zastosowaniem metod ilociowych do mie-

rzenia, analizy i prognozowania zjawisk i relacji gospodarczych, przez co zalicza si do szeroko rozumianych nauk spoecznych. Mona okre-li ekonometri, jako t dziedzin, ktra wykorzystujc aparat staty-styki i matematyki wprowadza metody ilociowe do nauk spoecznych, a zwaszcza ekonomii. Dziki temu pozwala ona nada aspekt ilocio-wy wielu zjawiskom. Od ekonometrii mona oczekiwa potwierdze-nia wielu hipotez, stawianych przez badaczy. Wyniki modeli dostarcza-j rwnie informacji, ktre wskazuj na si zalenoci oraz ich kieru-nek i ewentualne opnienie w czasie. Dlatego ekonometria potwier-dza wiele badanych praw spoecznych czy ekonomicznych. Dodatko-wo ekonometria daje narzdzia wykorzystywane w wielu dziedzinach ycia. Bardzo czsto uytkownik rozmaitych informacji nie zdaje sobie nawet sprawy z faktu, e s one dostarczone przez oszacowany wcze-niej model ekonometryczny.

Ekonometria moe by rozumiana na dwa sposoby. Pierwszy doty-czy wskiego rozumienia narzdzi ekonometrycznych, gwnie modeli procesw i zjawisk gospodarczych. Rozumiejc ekonometri w wskim sensie, mona uzna, e jest to nauka pozwalajca modelowa zjawiska zachodzce w rzeczywistoci i wery kowa hipotezy ekonomiczne do-tyczce tych zjawisk, a take umoliwiajca prognozowanie wynikw dziaalnoci gospodarczej na podstawie oszacowanych modeli.

Drugie szersze rozumienie ekonometrii uwzgldnia stosowany aparat statystyczny nie tylko do analiz modeli. W tym przypadku chodzi bardziej o optymalizacj procesw i podejmowanych decyzji. W takim znaczeniu jest ona czci nauk zarzdzania, a zwaszcza bada ope-racyjnych. Szczeglnie czsto wwczas kojarzona jest z programowa-niem liniowym, czy szerzej programowaniem matematycznym (kwa-dratowym, nieliniowym).

Zastosowanie bada operacji jest atwo widoczne w procesach opty-malizacji logistyki. Ta cz procesu dostawy towaru od producenta do

8odbiorcy moe by w stosunkowo prosty sposb optymalizowana, a cz-sto olbrzymie koszty dostaw mog by kontrolowane przez uytkowni-kw modeli. Niniejsza praca zawiera jedynie cz szerokiego obszaru sucego optymalizacji logistyki, ogranicza si mianowicie do zagad-nienia programowania transportowego.

Ekonometria jak to ju zaznaczono jest dziedzin, ktra suy do-starczeniu informacji i potwierdzeniu wielu stawianych hipotez. Dzi-ki niej mona zbada si zalenoci i na tej podstawie podejmowa de-cyzje, zarwno w skali makro, jak i mikro. Wspczesne metody ekono-metryczne umoliwiaj budow modeli, odpowiadajcych zjawiskom gospodarczym tak w skali kraju, jak i gospodarstwa domowego. wiad-cz o tym przyznane przed kilku laty nagrody Nobla wanie dla bada-czy zjawisk w skali mikro, obejmujcych przede wszystkim optymali-zacj budetw domowych.

Niniejsza ksika to szersza, uaktualniona i poprawiona wersja pracy Wstp do ekonometrii z zadaniami. Stanowi ona efekt wieloletniej pracy dydaktycznej ze studentami studiw dziennych i zaocznych. W pracy rozszerzono przede wszystkim praktyczn stron tematu. Przedstawio-no te przykady zada wraz z rozwizaniami, a do niektrych zada, po zakoczeniu kadego rozdziau, przedstawiono odpowiedzi lub wska-zwki do ich rozwizania. W pewnych przypadkach zwaszcza za-da trudniejszych pokazano cae rozwizania. Dlatego te podrcznik moe stanowi podstawow pomoc dla studiujcych ekonometri na wyszych uczelniach. Oczywicie, osoby studiujce ekonometri jako gwny kierunek, znajd bogat literatur, rwnie w jzyku polskim. Niniejsza praca moe by wstpem, dajcym podstawy do bardziej zaawansowanych studiw. Z drugiej strony, dla studentw kierunkw zwizanych z nansami, zakres pracy jest wystarczajcy do poznania i pynnego wykorzystywania instrumentw ekonometrii. Zakres tema-tw oraz sposb ich omwienia wskazuj, e podrcznik adresowany jest przede wszystkim do studentw, dla ktrych ekonometria nie jest podstawowym kierunkiem studiw; pozwala jedynie na zapoznanie si z t dziedzin w sposb podstawowy. Ksika prezentuje najwaniejsze metody estymacji, a take wybrane metody wery kacji uzyskanych wy-nikw w trakcie modelowania i estymacji parametrw strukturalnych modeli. Daje podstawow wiedz w zakresie ekonometrii.

Koniecznym warunkiem do studiowania zawartego w ksice ma-teriau jest znajomo w co najmniej podstawowym stopniu matema-

9tyki wyszej, w tym przede wszystkim algebry liniowej. Umiejtno dziaania na macierzach, a take podstawy statystyki matematycznej, s warunkiem zrozumienia technik ekonometrycznych. Dlatego te pierw-sza cz pracy obejmuje wprowadzenie do algebry macierzy. Zwy-kle ukad zaj na studiach zachowuje wanie tak kolejno: wyka-dy z ekonometrii poprzedzone s wykadami z algebry. Pierwsz cz naley wic rozumie jako przypomnienie tej wiedzy, ktr przekazuj wykadowcy na zajciach z algebry liniowej.

Ksika skada si z trzech zasadniczych czci. Pierwsza to wstp do algebry liniowej i rachunku macierzowego. Druga cz dotyczy za-gadnie zwizanych z modelami ekonometrycznymi, w tym budow modeli, doborem zmiennych, metodami szacowania parametrw struk-turalnych modeli, sposobem wery kacji oszacowanych parametrw, dokonywaniem prognoz. W stosunku do Wstpu do ekonometrii z za-daniami ta cz ulega rozbudowaniu rwnie o podstawowe testy. Po-nadto szerzej potraktowano inne metody ni Klasyczna Metoda Naj-mniejszych Kwadratw.

Ostatnia cz zawiera elementy programowania liniowego wraz z zadaniem transportowym w programowaniu liniowym. Zostay po-kazane proste metody znajdowania rozwiza zada, sucych popra-wie sposobu zarzdzania logistyk dostaw. Ta cz ulega rozszerze-niu o elementy optymalizacyjne przy pewnych warunkach pobocznych, zwaszcza nakadanych na przepustowo tras.

Osoby, chcce poszerzy sw wiedz w zakresie ekonometrii i zasto-sowania metod optymalizacyjnych, mog skorzysta z bibliogra i po-danej na kocu podrcznika.

11

Rozdzia 1 ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ

Algebra liniowa jest t czci matematyki wyszej, ktra znajdu-je zastosowanie w szacowaniu parametrw strukturalnych modeli eko-nometrycznych. Ju samo zbieranie danych, na podstawie ktrych sza-cowane s pniej parametry, odbywa si za pomoc macierzy. Kolejne przeksztacenia, mnoenia czy odwracanie macierzy to dziaania na-lece do algebry. Dlatego warunkiem poznania metod ekonometrycz-nych jest wczeniejsze poznanie, czy waciwie przypomnienie sobie zasad algebry. Do materiau ekonometrii objtego niniejsz ksik wy-starczaj podstawy algebry. Zostay one przedstawione poniej.

1.1. PRZESTRZE WEKTOROWA (LINIOWA) Niepusty zbir, ktrego elementami s wektory i na ktrym okrelo-

ne s dwa dziaania: dodawanie kadej parze wektorw jest przyporzdkowany pewien

wektor nalecy do tej przestrzeni zwany ich sum, mnoenie wektora przez liczb rzeczywist kadej parze wektora,

liczba przyporzdkowany jest pewien wektor nalecy do tej prze-strzeni, zwany iloczynem wektora i liczby nazywamy przestrzeni wektorow. Rwnowany z powyszym zapisem jest zapis mwicy, e prze-

strzeni wektorow n-wymiarow nazywamy n-wymiarow przestrze arytmetyczn, na ktrej elementach zostay okrelone dwa dziaania: do-dawanie i mnoenie przez liczb rzeczywist. Elementy n-wymiarowej przestrzeni arytmetycznej, na ktrych zostao okrelone dodawanie i mnoenie przez liczb rzeczywist, nazywamy wektorami1.

Wektory bdziemy oznacza maymi literami pgrubymi w odr-nieniu od liczb, zwanych skalarami. Elementami wektora s liczby, dla-1 Wektory bdziemy oznacza maymi literami alfabetu aciskiego, pisane tustym (pogrubionym)

drukiem a, b. Wektor, dopki nie bdzie na nim wykonana operacja transpozycji, bdzie uwaany za wektor kolumnowy.

12

tego te s one przedstawiane zwyk czcionk. Wektor a bdziemy za-pisywa w postaci jednej kolumny (wektor kolumnowy), a jego trans-pozycj (oznaczan literT) w postaci wiersza. Transponowanie ozna-cza zamian kolumny na wiersz. Pokazuje to przykadowy zapis wekto-ra trzyelementowego:

a = !!!

"

#

$$$

%

&

132

oraz aT = [2 3 1]

Sumowanie wektorw jest moliwe wwczas, gdy ich wymiary s jednakowe. Wektor ma zawsze jedn kolumn, natomiast moe mie rn liczb wierszy (to jest liczb elementw w kolumnie), gdy moe pochodzi z innej przestrzeni. Wektory przestrzeni n-wymiarowej maj n elementw w kolumnie.

Sum dwch wektorw a i b, (w poniszym przypadku n-wy-miarowych)

aT = (a1, a2, ..., an) i bT = (b1, b2, ..., bn) nazywamy wektor

aT + bT = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn).

PRZYKAD 1.1. Wylicz wektor c, bdcy sum wektorw w zapi-sie wierszowym: aT= (2, 3, 4) i bT = (1, 0, 2).

a = !!!

"

#

$$$

%

&

432

b = !!!

"

#

$$$

%

&

201

c = !!!

"

#

$$$

%

&

'''

240312

czyli c = !!!

"

#

$$$

%

&

633

.

Wektor ten ma take n wsprzdnych, bdcych sumami odpowied-nich wsprzdnych wektorw dodawanych.

Iloczynem liczby rzeczywistej i wektora aT = (a1, a2, ..., an) nazywa-my wektor

aT = (a1, a2, ..., an) = (a1, a2, ..., an),ktrego wsprzdne s rwne iloczynowi odpowiednich wsprzd-nych wektora a przez liczb .

PRZYKAD 1.2. Wylicz wektor b, bdcy iloczynem liczby 10 i wektora wierszowego aT = (2, 3, 4).

13

a = !!!

"

#

$$$

%

&

432

, !=10 !a = b = !"

#

$$$

%

&

'('('(

410 310 210

= !!!

"

#

$$$

%

&

403020

Wektorem zerowym nazywamy wektor, ktrego wszystkie wsprzd-ne s rwne zero. Oznaczamy go 0. Bardzo wane, zwaszcza z punktu widzenia zastosowania w metodzie SIMPLEX s macierze jednostko-we, ktrych skadowymi s wektory jednostkowe. Std wektorem jed-nostkowym bdziemy nazywa wektor, ktrego elementami s zera, poza jednym elementem, ktry ma warto 1. Poniej pokazano trzy wektory jednostkowe w przestrzeni 3-wymiarowej

e1 = !!!

"

#

$$$

%

&

001

e2 = !!!

"

#

$$$

%

&

010

e3 = !!!

"

#

$$$

%

&

100

.

Wektory te, zestawione w macierzy tworz wanie macierz jednost-kow:

A = !!!

"

#

$$$

%

&

100010001

.

Innym wanym pojciem w algebrze jest iloczyn skalarny. Jest on iloczynem dwch wektorw, pierwszego w postaci transponowanej i drugiego w postaci kolumnowej. Iloczyn taki jest sum iloczynw po-szczeglnych par elementw obu wektorw. Pokazane zostao to poni-ej.

Niech aT = (a1, a2, ..., an), bT = (b1, b2, ..., bn).

Iloczynem skalarnym wektorw a i b nazywamy liczb

aT b = in

iiba!

"1

,

czyliaT b = a1b1 + a2 b2, +...+ anbn

14

jest liczb (skalarem). W ekonometrii wykorzystywane s czsto iloczy-ny skalarne wektorw obserwacji zmiennych objanianych i objaniaj-cych. Std warto zapamita, e iloczyn skalarny aT a jest sum kwa-dratw elementw wektora.

PRZYKAD 1.3. Wylicz iloczyn skalarny wektora a i wektora b, gdzie wektory w postaci wierszowej maj posta

aT = (2, 3, 4) i bT = (1, 0, 2).

a = !!!

"

#

$$$

%

&

432

b = !!!

"

#

$$$

%

&

201

a ich iloczyn aT b = [2 3 4] !!!

"

#

$$$

%

&

201

= 2 1 + 3 0 +4 2 = 10.

Wasnoci iloczynu skalarnego:aT b = bT a

(a)T b = (aT b),

(a + b)T c = aT c + bT cRwnie wana, zwaszcza w przypadku odwracania macierzy jest

niezaleno liniowa wektorw. W celu poznania niezalenoci linio-wej wektorw, pocztkowo wprowadzone zostanie pojcie kombinacji liniowej.

Niech (a1, a2, ..., ak) oznacza ukad wektorw w przestrzeni wektoro-wej n-wymiarowej n. Wektor

a = 1a1 + 2a2 + ... + kak nazywamy kombinacj liniow tych wektorw. Kombinacja liniowa jest zatem wektorem, ktrego elementy s rwne sumie odpowiednich ele-mentw wszystkich wektorw wchodzcych w skad kombinacji po-mnoonych przez liczby i.

Bdziemy mwi, e ukad wektorw (a1, a2, ..., ak) nazywamy linio-wo zalenym, jeeli istnieje taki ukad liczb 1, 2, ..., k nie wszystkich jednoczenie rwne zero, e

i

k

iia!

"1# = 0

Dopiero po tym wstpie mona zde niowa wektory liniowo nieza-lene. Ukad wektorw (a1, a2, ..., ak) nazywamy liniowo niezalenym, gdy

15

i

k

iia!

"1# = 0,

wtedy i tylko wtedy, gdy 1 = 2 = ... = k = 0.

PRZYKAD 1.4. Wyka, e wektory a i b, s liniowo niezalene, gdzie wektory w postaci wierszowej maj posta

aT = (2, 3, 4) i bT = (1, 0, 2).Wektory mnoymy przez liczby 1 oraz 2 i szukamy, dla jakich 1

oraz 2 ich kombinacja liniowa jest rwna wektorowi zerowemu:

!1a + !2b = !1!!!

"

#

$$$

%

&

432

+ !2!!!

"

#

$$$

%

&

201

= !!!

"

#

$$$

%

&

000

.

Jak atwo wida jednoczenie powyszy ukad trzech rwna z dwie-ma niewiadomymi speniaj jedynie 1 oraz 2 jednoczenie rwne ze-rom. Oznacza to, e te dwa wektory s liniowo niezalene.

PRZYKAD 1.5. Wyka, e wektory a, b i c, s liniowo zalene, gdzie wektory w postaci wierszowej maj posta aT = (2, 3, 4) i bT = (1, 0, 2), cT = (1, 3, 2).

Podobnie jak poprzednio wektory mnoymy przez liczby 1, 2 oraz 3 i szukamy dla jakich 1, 2 oraz 3 ich kombinacja liniowa jest rwna wektorowi zerowemu:

!1a + !2b + !3c = !1!!!

"

#

$$$

%

&

432

+ !2!!!

"

#

$$$

%

&

201

+ !3!!!

"

#

$$$

%

&

231

= !!!

"

#

$$$

%

&

000

.

Ponownie atwo wida, e powyszy ukad jest speniony rwnie dla innych 1, 2 oraz 3, ni wszystkie jednoczenie rwne zero. Takim przykadem jest ukad: 1 = 1, 2 = 1 oraz 3 = 1. Dla tych liczb kom-binacja jest rwna wektorowi zerowemu. Mona zatem potwierdzi, e wektory s liniowo zalene. Kady z nich mona przedstawi jako kom-binacj liniow dwch pozostaych. W szczeglnoci wektor c jest rw-ny rnicy pomidzy wektorem a i wektorem b.

16

TWIERDZENIE 1.1. Ukad wektorw (a1, a2, ..., ak) jest liniowo za-leny wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z tych wektorw jest liniow kombinacj pozostaych.

TWIERDZENIE 1.2. Kady ukad n + 1 wektorw przestrzeni Rn jest liniowo zaleny.

Dowd drugiego twierdzenia jest automatyczny, jeeli wiemy, e baz przestrzeni wektorowej Rn nazywamy kady ukad n liniowo nie-zalenych wektorw tej przestrzeni. Baza rozpina przestrze. Ka-dy wektor tej przestrzeni mona przedstawi, jako kombinacj liniow wektorw tej bazy.

1.2. MACIERZE I DZIAANIA NA NICHUkad m x n liczb (lub funkcji) aij zapisany w postaci tablicy

!!!!

"

#

$$$$

%

&

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

...............

...

...

21

22221

11211

o m wierszach i n kolumnach nazywamy macierz o wymiarach m x n. Liczby aij, gdzie: i = 1, 2, ..., m, s elementami wiersza j macierzy,

natomiast liczby aij dla j = 1, 2, ..., n s elementami kolumny i macie-rzy. Wskaniki i oraz j informuj, e element aij wystpuje w macierzy w wierszu o numerze i oraz w kolumnie o numerze j.

Dla oznaczenia macierzy bdziemy uywali pgrubych liter wiel-kich, takich jak: A, B, C. Moliwe bdzie rwnie przedstawianie ma-cierzy za pomoc ich elementw w postaci symboli [aij], [bij], [cij], gdzie zawsze i = 1, 2, ..., m, j = 1,2, ..., n.

PRZYKAD 1.6. Napisa macierz 3 x 3, ktrej kolumnami s wek-tory, majce w postaci wierszowej posta: aT = (2, 3, 4) i bT = (1, 0, 2), cT = (1, 3, 2).

Wektory te, jako elementy macierzy przedstawia:

A = !!!

"

#

$$$

%

&

224303112

.

17

Macierz, w ktrej liczba wierszy rwna si liczbie kolumn (tzn. m = n) nazywamy macierz kwadratow stopnia n. Pokazana w poprzednim przykadzie macierz jest macierz kwadratow o wymiarach 3 x 3.

W niektrych przypadkach w ekonometrii zasadnicze znaczenie od-grywaj elementy diagonalne (lece na gwnej przektnej). Ukad ele-mentw (a11, a22, ..., ann ) w macierzy kwadratowej stopnia n nazywamy elementami diagonalnymi lub gwn przektn macierzy.

Zgodnie z uwagami z poprzedniej czci, macierze o wymiarach m x 1 lub 1 x n nazywamy odpowiednio wektorem kolumnowym lub wektorem wierszowym.

W ekonometrii wrd czsto wykonywanych dziaa na macierzach jest ich transpozycja. Dlatego te transponowana macierz A = [aij] o wy-miarach m x n staje si macierz AT = [aji] o wymiarach n x m. Wiersze macierzy transponowanej staj si kolumnami macierzy A.

Nie zawsze dziaania na macierzach mog by wykonane. W dziaa-niach na macierzach zasadnicze znaczenie odgrywaj ich wymiary. Dla-tego na przykad przy mnoeniu macierzy wane jest, by macierz pierw-sza miaa tyle kolumn, ile wierszy ma macierz druga. W dodawaniu ko-nieczna jest zgodno zarwno liczby wierszy, jak i kolumn. Dlatego przed wykonaniem dziaa naley sprawdzi, czy wymiary macierzy pozwalaj na wykonanie dziaa.

PRZYKAD 1.7. Napisa macierz transponowan do macierzy A2x3, ktrej wierszami s wektory majce w postaci wierszowej posta

aT = (2, 3, 1) i bT = (0, -2, 5).W takim przypadku

A = !"

#$%

&' 520

132,

natomiast

AT = !!!

"

#

$$$

%

&

'5123

02

ma wymiary 3 x 2.Pierwsza kolumna macierzy A jest pierwszym wierszem macierzy

transponowanej, druga kolumna drugim wierszem i trzecia kolum-na trzecim wierszem.

18

PRZYKAD 1.8. Niech bd dane macierze:

A = !"

#$%

&513410

, B = !"

#$%

&4325

, C = !!!

"

#

$$$

%

& '

0532153

,

D = !!!

"

#

$$$

%

&

154421422

, E = !!!

"

#

$$$

%

&

100430022

, F = !!!

"

#

$$$

%

&

100030002

,

Co mona powiedzie o powyszych macierzach?Macierz A ma wymiary 2 x 3, macierz B 2 x 2, macierz C 3 x 2 a ma-

cierze D, E, F s kwadratowe o wymiarach 3x3. Macierz B jest macierz kwadratow stopnia drugiego. Elementy 5

i 4 w tej macierzy stanowi gwn przektn. Macierz D jest macierz kwadratow stopnia trzeciego. Gwna

przektn tej macierzy tworz elementy 2, 2, 1. Macierz E jest macierz trjktn (wszystkie elementy tej macierzy

wystpujce poniej gwnej przektnej s rwne zero). Macierz F jest macierz diagonaln, poniewa wszystkie elementy

tej macierzy, poza elementami gwnej przektnej, s rwne zero.

1.2.1. Dodawanie macierzyMacierz A jest rwna macierzy B wwczas, gdy wymiary macie-

rzy s identyczne i kady element o wymiarach i,j jest taki sam. Jeli A = [aij], B = [bij], s macierzami o tych samych wymiarach, to A = B wtedy i tylko wtedy, gdy aij, = bij dla i = 1, 2, ..., m, oraz j = 1, 2, ..., n.

Na macierzach okrelone s dziaania dodawania i mnoenia, zarw-no przez liczb jak i przez macierz. Wykonywanie dziaa na macie-rzach jest moliwe tylko wwczas, gdy odpowiednie wymiary macierzy dodawanych lub mnoonych s identyczne.

W przypadku dodawania macierzy A i B musza one mie te same wymiary. Dodawanie jest przemienne, co oznacza, e A + B = B + A.

W przypadku mnoenia macierzy wymiary wewntrzne iloczynu musz by takie same, a wynik ma wymiary zewntrzne. Oznacza to, e mnoenie macierzy A3x4 oraz B4x5 jest moliwe, a w wyniku tego mnoenia powstanie macierz C o wymiarach 3 x 5. Pokazuje to wanie warunek zgodnoci wymiarw wewntrznych iloczynu macierzy.

A3x4 B4x5 = C3x5,

19

gdzie cztery kolumny macierzy A odpowiadaj czterem wierszom ma-cierzy B, a w wyniku mnoenia otrzymujemy macierz C3x5 o liczbie wierszy macierzy A i liczbie kolumn macierzy B.

Niech A = [aij], B = [bij], C = [cij] bd macierzami o wymiarach m x n.Macierz C jest sum macierzy A i B, co zapisujemy A + B = C, wte-

dy i tylko wtedy, gdy wszystkie cij = aij + bij, dla kadego i = 1,2, ..., m, j = 1,2, ..., n.

PRZYKAD 1.9. Niech bd dane macierze:

A = !"

#$%

&513410

, B = !"

#$%

&4325

, C = !"

#$%

&034202

,

Wykonaj moliwe dodawania macierzy.Ze wzgldu na wymiary macierzy moliwe jest dodawanie macierzy

A i C i ewentualne wielokrotne dodawanie jednakowych macierzy (na przykad B + B).

0 1 43 1 5

2 0 24 3 0

2 1 67 4 5

0 + 2 1 + 0 4 + 23 + 4 1 + 3 5 + 0D = B + C = + = =

=

E = B + B = !"

#$%

&4325

+ !"

#$%

&4325

= !"

#$%

&86410

Druga suma jest rwnowana iloczynowi liczby 2 i macierzy B. Dla-tego te wygodnie jest zde niowa iloczyn liczby rzeczywistej i macie-rzy. Mnoenie przez liczb jest skrconym dodawaniem. Zamiast doda-wa te same macierze, mona pomnoy ich elementy przez odpowied-ni liczb, rwno liczbie dodawa. Mona zapisa, e iloczynem macie-rzy A = [aij] o wymiarach m x n i liczby rzeczywistej nazywamy ma-cierz B = [bij], take o wymiarach m x n, ktrej elementy s okrelone nastpujco:

bij = aij dla i = 1,2, ..., m, j = 1,2, ..., n.Wykonane w Przykadzie 1.9 dziaanie B + B jest rwnowane mno-

eniu macierzy B przez liczb 2.

20

PRZYKAD 1.10. Dane s macierze:

A = !"

#$%

&513410

, B = !!!

"

#

$$$

%

&'5123

02

Wyznaczy macierze: C = 2AT - B oraz D = A + BRnic macierzy moemy zapisa nastpujco: C = 2AT + (-l) B.

Zatem

C = 2 !!!

"

#

$$$

%

&

541130

+ (-1) !!!

"

#

$$$

%

&'5123

02 =

!!!

"

#

$$$

%

&

1082260

+ !!!

"

#

$$$

%

&

''''

512302

= !!!

"

#

$$$

%

&''

574162

Macierzy D nie mona wyliczy, poniewa dodawanie wymaga ta-kich samych wymiarw obu macierzy. W przykadzie A i B maj r-ne wymiary.

1.2.2. Mnoenie macierzy Jeeli macierz A= [aij] ma wymiary m x k, a macierz B = [bpr] ma

wymiary k x n, to macierz A moemy pomnoy przez macierz B. Mno-enie macierzy (w odrnieniu od mnoenia liczb) nie jest przemienne. Wewntrzne wymiary mnoonych macierzy s tu jednakowe i rwne k. Wynik mnoenia bdzie mia wymiary zewntrzne macierzy, to jest m x n.

Iloczynem A B macierzy nazywamy tak macierz C = [cir] o wymia-rach m x n, ktrej elementy s okrelone wzorami

cir = ai1b1r + ai2b2r + aikbkr = !"

k

j 1aijbjr

dla i = l, 2, ..., m oraz r =1, 2, , n. Zauwamy, e elementy cir ma-cierzy C s iloczynami skalarnymi i-tego wiersza macierzy A przez k-t kolumn macierzy B. Zgodnie z poprzednio dokonan obserwacj mo-emy stwierdzi, e na og A B B A.

PRZYKAD 1.11. Wykonamy mnoenie macierzy A i B, gdy

A = !!!

"

#

$$$

%

&'4021

32, B = !

"

#$%

&dcba

21

Zapiszmy wymiary danych macierzy w postaci: A(3 x 2), B(2 x 2). Liczba kolumn w A jest rwna liczbie wierszy w B, mnoenie jest wic wyko-nalne.

AB = !!!

"

#

$$$

%

&'4021

32

!"

#$%

&dcba

= !!!

"

#

$$$

%

&''((

dcdbcadbca

44223232

1.2.3. Wyznacznik Przed wprowadzeniem samego wyznacznika konieczne jest pozna-

nie kilku poj, ktre s wykorzystywane przy liczeniu wyznacznikw z macierzy. Do takich poj naley rzd macierzy, operacja elementarna, czy dopenienie algebraiczne.

Rzdem macierzy A o wymiarach m x n nazywamy maksymaln licz-b liniowo niezalenych wierszy lub kolumn w tej macierzy. Liczb t oznaczamy przez rz(A). Rzd macierzy kwadratowej, ktra czsto wy-stpuje w ekonometrii (np.: XTX) powinien by rwny wymiarowi tej macierzy. W przeciwnym przypadku nie jest bowiem moliwe wylicze-nie macierzy odwrotnej.

Operacj elementarn na macierzy nazywamy kade z nastpuj-cych przeksztace:

a) mnoenie przez dowoln liczb rn od zera wszystkich elemen-tw dowolnego wiersza (kolumny) macierzy,

b) dodawanie do elementw dowolnego wiersza (kolumny) odpo-wiednich elementw innego wiersza (kolumny) macierzy,

c) zamiana miejscami (przestawienie) dwch dowolnych wierszy (ko-lumn) macierzy.

Operacje te odpowiadaj mnoeniu przez pewne nieosobliwe (ma-jce rzd rwny liczbie wierszy i kolumn, macierzy kwadratowe) ma-cierze, przy czym dziaania na wierszach odpowiadaj mnoeniu lewo-stronnemu a dziaania na kolumnach mnoeniu prawostronnemu.

Operacje elementarne nie zmieniaj rzdu macierzy. Dziki opera-cjom elementarnym mona macierz zredukowa do postaci skadaj-cej si tylko z liniowo niezalenych wierszy lub kolumn i w ten sposb mona bardzo atwo wyznaczy rzd tej macierzy.

PRZYKAD 1.12. Znajd wynik dokonania operacji elementarnej, polegajcej na pomnoeniu macierzy A przez macierz E, gdzie

22

A = !"

#$%

&4325

, E = !"

#$%

&0110

.

W wyniku mnoenia tych macierzy uzyska si:

A1 = AE = !"

#$%

&4325

!"

#$%

&0110

= !"

#$%

&'(''(''(''('04131403 02151205

= !"

#$%

&3452

co oczywicie jest zamian kolumn,

A2 = EA = !"

#$%

&0110

!"

#$%

&4325

= !"

#$%

&2543

,

co jest zamian wierszy w macierzy A.Operacje elementarne s czsto wykorzystywane do obliczania ma-

cierzy odwrotnej. Dotyczy to nie tyle obliczania oszacowa parametrw strukturalnych modeli ekonometrycznych, ale przede wszystkim wyli-czania rozwiza optymalnych (za pomoc metody Simplex) w progra-mowaniu liniowym. Z kolei znajdowanie macierzy odwrotnej koniecz-nej do znalezienia estymatora parametrw strukturalnych wygodniej jest liczy metod Laplace`a, ni przy zastosowaniu operacji elementar-nych. Metoda ta do wyznaczenia odwrotnoci macierzy wymaga znajo-moci wyznacznika tej macierzy. Dlatego te konieczne jest wprowa-dzenie pojcia wyznacznika.

Kadej macierzy kwadratowej A (i tylko takiej) mona przyporzd-kowa pewn (tylko jedn) liczb zwan jej wyznacznikiem i oznaczon symbolem detA lub rzadziejA.

Wyznacznikiem macierzy A = [aij] dla i, j = 1, 2 , ..., n jest liczba

det A = ! "p

)1( ! a1k1 a2k2 ankn,

gdzie: k1, k2, ..., kn jest permutacj liczb 1, 2, ... n, liczba jest liczb inwersji2 w tej permutacji natomiast sumowanie odbywa si wzgldem wszystkich n! permutacji liczb 1, ..., n.

PRZYKAD 1.13. Na podstawie de nicji obliczymy wyznacznik macierzy kwadratowej drugiego stopnia

2 Liczby k1i k2 tworz inwersj, jeeli k1 > k2

23

A = !"

#$%

&4325

.

Mamy tu macierz stopnia drugiego. Zatem w macierzy

A = !"

#$%

&

2221

1211

aaaa

liczba permutacji jej elementw wynosi 2! = 2. S to permutacje 1,2 oraz 2,1. Permutacja 1,2 jest permutacj gwn (podstawow) i liczba inwersji (nieporzdkw) w tej permutacji wynosi 0. W permutacji 2,1 liczba inwersji wynosi 1 (liczba 2 poprzedzajca liczb 1).

Zatem

det !"

#$%

&

2221

1211

aaaa

= (1)0 a11a22 + (1)1a12a21 = a11a22 a12a21.

Dla danej w przykadzie macierzy mamy:

A = !"

#$%

&4325

det A = !"

#$%

&4325

= 5 4 3 2 = 20 6 = 14

Wyznacznik macierzy wynosi 14.Podobnie prosto z de nicji mona policzy wyznacznik macierzy

trzeciego stopnia.

PRZYKAD 1.14. Na podstawie de nicji obliczymy wyznacznik macierzy

A = !!!

"

#

$$$

%

&

112320012

Jest to wyznacznik macierzy stopnia trzeciego, a wic macierzy po-staci oglnej:

24

A = !!!

"

#

$$$

%

&

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

Wszystkich permutacji wskanikw stojcych przy elementach ma-cierzy, czyli liczb 1, 2, 3 mamy 3! = 6. Wypiszmy je i obliczmy liczb inwersji w kadej permutacji:

1, 2, 3, k1 = 0,1, 3, 2, k2= 1 (liczba 3 poprzedza liczb 2), 3, 1, 2, k3= 2 (liczba 3 poprzedza liczby 1 i 2),2, 1, 3, k4= 1 (liczba 2 poprzedza liczb 1),2, 3, 1, k5= 2 (liczby 2 i 3 poprzedzaj liczb 1),3, 2, 1, k6= 3 (liczba 2 i 3 poprzedzaj liczb 1 oraz 3 poprzedza 2).Dlatego te

detA = det!!!

"

#

$$$

%

&

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

= (1)0 a11 a22 a33 +( 1)1 a11 a23 a32 +

+ (1)2 a13 a21 a32 + (1)1 a12 a21 a33 + (1)2 a12 a23 a31 + (1)3 a13 a22 a31 =

= a11a22a33 a11a23a32 + a13a21a32 a12a21a33 + a 12a23a31 a13a22a31 Dla macierzy danej w zadaniu mamy

Z podanych przykadw wynika, e obliczanie wyznacznika macie-rzy niskich stopni nie jest problemem. Mimo tej atwoci, w prakty-ce posugujemy si przy obliczaniu wyznacznikw macierzy trzeciego stopnia pewnym schematem uatwiajcym postpowanie.

Zgodnie z pokazanym poniej schematem liczenia wyznacznika, dla macierzy trzeciego stopnia jest on rwny:

det !!!

"

#

$$$

%

&

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32

a13 a22 a31 a12a21a33 a11a23a32

W celu atwiejszego wyliczenia wyznacznika dopiszmy do macierzy jako wiersz czwarty i pity dwa pierwsze wiersze. Otrzymamy macierz

25

rozszerzon, z ktrej liczymy iloczyny:

!!!!!!

"

#

$$$$$$

%

&

232221

131211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaa

,

ktrej elementy uoone w iloczyny trjkowe w d dodajemy a ilo-czyny trjkowe do gry odejmujemy. Suma tak wyliczonych iloczynw daje w wyniku wyznacznik macierzy.

PRZYKAD 1.15. Na podstawie pokazanej metody obliczymy po-nownie wyznacznik macierzy

A = !!!

"

#

$$$

%

&

112320012

W tym celu dopisujemy na dole macierzy dwa pierwsze wiersze i mnoymy, piszc u dou z plusem a u gry z minusem:

0 6 0

320012112320012

+ 4 + 0 + 6 W wyniku dodania 6 + 10 trzymamy wyznacznik rwny 4.Wyznaczniki macierzy wyszych stopni mona oblicza poprzez

rozwinicie Laplace`a macierzy wedug ktrego wiersza, zwykle tego, w ktrym jest najwicej elementw zerowych. Naley pozna pojcie minoru elementu aij. Jest to wyznacznik macierzy powstaej poprzez wykrelenie i-tego wiersza i j-tej kolumny macierzy. Kofaktorem ele-mentu aij nazywamy minor pomnoony przez (1)

i+j. Wwczas wy-

26

znacznik macierzy mona przedstawi wedug ktrego wiersza jako sum kofaktorw wymnoonych przez elementy wybranego wiersza.

Bez rozpisywania oglnego przypadku policzmy wyznacznik dla macierzy trzeciego stopnia zgodnie z t metod.

Jeeli w macierzy A skrelimy i-ty wiersz, (i = 1, 2, 3) oraz k-t ko-lumn (k = 1, 2, 3), to otrzymamy macierz stopnia drugiego. Wyznacz-nik otrzymanej macierzy (zwany minorem) pomnoony przez liczb (1)1+k nazywamy dopenieniem algebraicznym elementu aik macierzy A i oznaczamy symbolem Aik .

Na przykad po skreleniu drugiego wiersza i trzeciej kolumny wyli-czone dopenienie algebraiczne bdzie rwne:

A23 = (1)2+3 det

3231

1211

aaaa

= (a11a32 a12a31) = a12a31 a11a32

Wyznacznikiem macierzy stopnia trzeciego nazywamy liczbdet A = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ai3 Ai3

gdzie i jest numerem dowolnej kolumny, albodet A = a1k A1k + a2k A2k + a3k A3k

gdzie k jest numerem dowolnej kolumny.

PRZYKAD 1.16. Na podstawie pokazanej metody obliczymy po-nownie wyznacznik macierzy

A = !!!

"

#

$$$

%

&

112320012

Przyjmijmy i=2, gdy w wierszu tym wystpuje zero, co pozwoli na to, by nie liczy wszystkich wyznacznikw. Wybralimy wic drugi wiersz danej macierzy. Zatem

det A = 0 (1)2+1 1101

+ 2 (1)2+2 1202

+ 3 (1)2+3 1212

=

= 0 + 2(2) + 3(1)(2 2) = 4

W kadym z trzech sposobw liczenia otrzymalimy ten sam wynik.Z przykadu tego ponadto wida, e przy wyborze numeru wiersza

lub kolumny warto pamita, e det B jest sum iloczynw, ktr krt-ko moemy zapisa w postaci:

27

!"

3

1kaik Aik lub !

"

3

1iaik Aik

Liczba skadnikw w tej sumie moe by mniejsza od 3 (3 stopie macierzy), jeeli w wybranym wierszu lub kolumnie bdzie przynaj-mniej jeden element rwny zero. Wane wic by przy wyborze numeru wiersza lub kolumny wzi to pod uwag.

Wyznacznik macierzy stopnia n jest liczb okrelon wzorem

(1) det A = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ain Ain = !"

n

k 1aik Aik

albo

(2) det A = a1k A1k + a2k A2k + ank Ank = !"

n

i 1aik Aik

gdzie: i lub k jest jedn z liczb: 1, 2, ..., n. Wzory (1), (2) s zwane wzo-rami Laplace.

PRZYKAD 1.17.Aby obliczy wyznacznik macierzy

A =

!!!!

"

#

$$$$

%

&

'

'

1321305200210002

wybieramy wiersz pierwszy, poniewa w wierszu tym s 3 elementy ze-rowe. Dziki temu wyznacznik macierzy danej jest rwny iloczynowi elementu 2 (a11) pomnoonemu przez wyznacznik pozostaej macierzy. Ponownie, tym razem do wyznacznika macierzy trzeciego stopnia war-to wzi jej wiersz pierwszy. Obok liczby 2 ma dwa pozostae elemen-ty zerowe. Oznacza to, e wyznacznik tej macierzy wyniesie:

det A = 2 ! (2) !"

#$%

&1330 = 2 ! (2) ! (9) = 36

Wyznaczniki maj nastpujce wasnoci:1. det AT = det A2. W wyniku zamiany miejscami dwu wierszy (lub kolumn) ma-

cierzy A otrzymujemy macierz B, ktrej wyznacznik jest liczb przeciwn do det A.

28

3. Wyznacznik macierzy o jednakowych dwu wierszach (lub ko-lumnach) jest rwny zero.

4. Jeeli w macierzy A pomnoymy elementy jednego wiersza (lub kolumny), przez liczb , to wyznacznik otrzymanej macierzy jest rwny det A.

5. Jeeli do elementw pewnego wiersza (lub kolumny) macierzy A dodamy odpowiednie elementy innego wiersza (lub kolumny) tej macierzy pomnoone przez dowoln sta, to otrzymamy ma-cierz, ktrej wyznacznik jest rwny det A.

6. Wyznacznik macierzy zawierajcej wiersz wektor zerowy (ko-lumn-wektor zerowy) jest rwny zero.

7. Wyznacznik macierzy diagonalnej lub trjktnej jest rwny ilo-czynowi elementw na gwnej przektnej.

1.2.4. Macierz odwrotna Jeeli A jest macierz kwadratow i jej wyznacznik jest rny od

zera, to A nazywamy macierz nieosobliw. W przeciwnym razie ma-cierz kwadratow o wyznaczniku zero nazywamy macierz osobliw. Macierz nieosobliwa to macierz, ktrej rzd jest rwny liczbie wierszy (kolumn). aden z wierszy (kolumn) nie moe zosta przedstawiony jako kombinacja liniowa innych wierszy. Oczywicie w macierzy oso-bliwej wiersz lub kolumna jest kombinacj liniow pozostaych wierszy lub kolumn.

PRZYKAD 1.18. Sprawd, czy podane poniej macierze s nieoso-bliwe.

A = !"

#$%

&4221

, B = !"

#$%

&301222

, C = !!!

"

#

$$$

%

&

100210321

Macierz A jest macierz kwadratow, ale det A = 1 4 2 2 = 4 4= = 0. Macierz A nie jest nieosobliwa. Jest macierz osobliw. Wiersz lub kolumna jest kombinacj liniow drugiego wiersza lub drugiej ko-lumny. Druga kolumna jest dwukrotnoci kolumny pierwszej. Drugi wiersz jest dwukrotnoci wiersza pierwszego.

Macierz B take nie jest nieosobliwa, poniewa nie jest macierz kwadratow.

29

Macierz C jest macierz kwadratow. Jej wyznacznik detC = 1. Jest macierz trjktn i aden z elementw diagonalnych nie jest zerem. Zatem C jest macierz nieosobliw.

Jeeli A jest macierz nieosobliw stopnia n, to istnieje dokadnie jedna taka macierz B, e AB = BA = In, gdzie macierz In jest macierz jednostkow stopnia n. Macierz B o takiej wasnoci nazywamy macie-rz odwrotn do macierzy A i oznaczamy symbolem A-1.

PRZYKAD 1.19. Sprawd, czy odwrotn do macierzy:

A = !"

#$%

&3152

,

jest macierz

A-1 = !"

#$%

&'

'2153

,

Zgodnie z de nicj, iloczynem macierzy A i macierzy do niej od-wrotnej jest macierz jednostkowa. Wanie z takim przypadkiem mamy do czynienia, gdy:

AA-1 = !"

#$%

&3152

!"

#$%

&'

'2153

= !"

#$%

&(''(''

6533101056

= !"

#$%

&1001

,

a take

A-1A = !"

#$%

&'

'2153

!"

#$%

&3152

= !"

#$%

&!'!'''

6522151556

= !"

#$%

&1001

Macierz nieosobliw A mona za pomoc cigu operacji elementar-nych sprowadzi do macierzy jednostkowej tego samego stopnia, jaki ma macierz A. Jest to jeden z atwiejszych sposobw wykorzystywa-nych do znajdowania macierzy odwrotnej. Odwracanie macierzy dro-g operacji elementarnych zabiera jednak wicej czasu, ni inne meto-dy. Jest jednak metod najprostsz.

PRZYKAD 1.20. Za pomoc cigu elementarnych operacji prze-ksztacimy macierz.

30

C = !!!

"

#

$$$

%

&

112210321

w macierz jednostkow I trzeciego stopnia. Macierz ta ma 3 wiersze, oznaczone dalej jako w1, w2, w3. Macierz jest nieosobliwa, mona wic j przeksztaci w macierz I. Poniej pokazano jeden z kilku sposobw:

Opis operacji na wierszach Wiersz

C =1 2 30 1 22 1 1

w1w2w3w1

w2w3 2w1

1 2 30 1 20 3 5

w1 2w2w2w3 + 3w2

1 0 10 1 20 0 1

w1 + w3w2 2w3w3

1 0 00 1 00 0 1

= I

Zgodnie z podanym wczeniej opisem, operacje elementarne na wierszach, s lewostronnym mnoeniem macierzy przez pewn macierz nieosobliw Ei reprezentujc wanie i-t operacj elementarn. Ko-cowy wynik jest iloczynem wszystkich dokonanych mnoe. atwo za-uway, e

E1 = !!!

"

#

$$$

%

&

' 102010001

, E2 = !!!

"

#

$$$

%

& '

130010021

, E3 = !!!

"

#

$$$

%

&'100210

101

A iloczynem tych trzech macierzy jest macierz odwrotna do macie-rzy C. Wykonujc bowiem mnoenie E3E2E1C otrzymano macierz jed-nostkow. Mona zatem nawisa nastpujcy wniosek:

Wniosek 1.Dla nieosobliwej macierzy An mona skonstruowa macierz

B(n x 2n) = [An In]. Wykonujc na wierszach tej macierzy cig odpo-

31

wiednich operacji elementarnych moemy sprowadzi j do macierzy C = [In A-1] , gdzie A-1 jest macierz odwrotn do A.

PRZYKAD 1.21. Za pomoc cigu elementarnych operacji wyzna-czymy macierz odwrotn do macierzy C.

C = !!!

"

#

$$$

%

&

112211221

Wykonujemy cig operacji elementarnych na macierzy [CI] tak, aeby w miejsce macierzy C otrzyma I:

C =1 2 21 1 22 1 1

1 0 00 1 00 0 1

w1 w2 w1 w3 2w1

1 2 20 1 00 3 3

1 0 01 1 02 0 1

w1 + 2w2 w2

w3 3w2

1 0 20 1 00 0 3

1 2 01 1 01 3 1

w1 + 2/3 w3 w2

1/3 w3

1 0 00 1 00 0 1

1/3 0 2/31 1 0

1/3 1 1/3I3 C-1

Sprawdzenie :

CC-1 = !!!

"

#

$$$

%

&

112211221

!!!

"

#

$$$

%

&

'''

'

3/113/1011

3/203/1=

!!!

"

#

$$$

%

&

100010001

Mona te pokaza, e C-1C = I. Zatem C-1 jest macierz odwrotn do macierzy C.

Istnieje wiele sposobw liczenia macierzy odwrotnej do danej ma-cierzy. Jednym z bardziej popularnych sposobw liczenia macierzy od-wrotnej do nieosobliwej macierzy An = [aij] (i, j = 1,2, ..., n) wyznacza wzr:

32

(3) A-1 = Adet

1 [ Aij]T ,

gdzie Aij jest dopenieniem algebraicznym elementu aij macierzy A.

PRZYKAD 1.22. Za pomoc dopenie algebraicznych wyznacza-my macierz odwrotn do macierzy C z poprzedniego przykadu.

Macierz C jest nieosobliwa. Jej wyznacznik detC = 1, a dopenienia algebraiczne elementw macierzy C s nastpujce :

C11 = (1)1+1 1121

= 1, C12 = (1)1+2 1220

= 4 ,

C13 = (1)1+3 1210

= 2,

C21 = (1)2+1 1132

= 1, C22 = (1)2+2 1231

= 5,

C23 = (1)2+3 1221

= (14) = 3

C31 = (1)3+1 2132

= 1, C32 = (1) 3+2 2031

= 2 ,

C33 = (1)3+3 1021

= 1

Macierz odwrotn do C jest macierz

C -1

!!!

"

#

$$$

%

&

'''

'

132254

111.

Czytelnik zechce samodzielnie wykona sprawdzenie. Macierz odwrotna odgrywa zasadnicz rol w szacowaniu parame-

trw strukturalnych modeli ekonometrycznych. Dlatego te przed przy-stpieniem do rozwaa szacowania parametrw modeli naley dobrze opanowa t cz algebry liniowej.

Prawdziwe s nastpujce wasnoci macierzy odwrotnej:

33

a) (AB)-1 = B-1 A-1, b) (AT)-1 = (A-1)T, c) (A-1)-1 = A

d) det B-1 = 1 ,

e) (kB)-1 = k1 B-1, gdy k ! 0.

det B-1

Sprawdzimy je dla macierzy

A = !"

#$%

&3152

, B = !"

#$%

&5432

,

Ad . a)

C = AB = !"

#$%

&3152

!"

#$%

&5432

= !"

#$%

&18143124

,

det (AB) = 24 18 31 14 = 432 434 = 2, C11 = 18, C12 = 14, C21 = 31, C22 = 24,

C-1 = (AB)-1 = 21

!"

#$%

&'

'24143118

= !!

"

#

$$

%

&

'

'

1272319 ;

A-1 = !"

#$%

&'

'2153

, B-1 = 21

!"

#$%

&'

'2435

= !!

"

#

$$

%

&

'

'

1223

25

,

B-1 A-1 = !!

"

#

$$

%

&

'

'

1223

25

!"

#$%

&'

'2153

= !!

"

#

$$

%

&

'

'

1272319 .

Macierze (AB)-1 i B-1 A-1 s macierzami identycznymi.Ad. b)

AT = !"

#$%

&3512

, (AT)-1 = !"

#$%

&'

'2513

, (A -1 )T = !"

#$%

&'

'2513

,

34

czyli (AT)-1 = (A -1 )T .Ad. c)

A-1 = !"

#$%

&'

'2153

, det A-1 = 1, (A -1 )-1 = !"

#$%

&3152

.

Otrzymalimy rwno (A -1 )-1 = AAd. d)

B-1 = !!

"

#

$$

%

&

'

'

1223

25

, det B-1 = !!

"

#

$$

%

&

'

'

1223

25

= 25 - 3 =

21 ;

det B = !"

#$%

&5432

= 10 12 = 2

Zatem det B-1 = Bdet

1

Ad. e)

C = kB = !"

#$%

&kkkk

5432

, det C = 10k2 12k2 = 2k2.

C11 = 5k, C12 = 4k, C21 = 3k, C22 = 2k,

C-1 = (kB)-1 = 221k

!"

#$%

&'

'kkkk

2435

= k2

1!"

#$%

&'

'2435

.

B-1 = 21

!"

#$%

&'

'2435

Zatem (kB)-1 = k1 B-1.

35

Rozdzia 2 MODELE EKONOMETRYCZNE

2.1. ZADANIA EKONOMETRIIArthut S. Goldberger1 we wstpie do pierwszego rozdziau Teorii

ekonometrii napisa, e gwnym celem ekonometrii jest wyposae-nie teorii ekonomii w tre empiryczn. Stwierdzenie to jest najwaniej-szym zadaniem ekonometrii. Ekonometria dysponuje szerok skal me-tod umoliwiajcych osignicie tego celu. Ekonomia stawia hipotezy, ktre mona w sposb stosunkowo atwy potwierdzi lub podway za pomoc ekonometrii. Poznanie tych waciwoci ekonometrii daje mo-liwo wykorzystania jej w praktyce gospodarczej, czyli w polityce go-spodarczej, ktra bazuje na potwierdzonych prawach ekonomicznych. To potwierdzenie, zarwno co do kierunku zalenoci jak i jej siy jest moliwe dziki ekonometrii.

Obszerny program nauczania ekonometrii obejmuje teori ekonomii, matematyk, statystyk matematyczn, metodologi bada spoecznych i analiz empiryczn. W kadym przypadku, przy tworzeniu modeli od-zwierciedlajcych zalenoci czy prawa ekonomiczne naley pamita o cechach i specy ce praw ekonomicznych2. Istnieje bowiem zasadni-cza rnica pomidzy statystyk matematyczn a ekonometri anali-zujc zalenoci ekonomiczne, ktre nie s wynikiem powtarzalnych kontrolowanych eksperymentw.

Podstawowym narzdziem wykorzystywanym w ekonometrii w skim jej znaczeniu - jest model ekonometryczny. Model przedstawia wybrane zalenoci ekonomiczne w formie zwykle wielu rwna, cho-cia czasami rwnie w postaci jednego rwnania. Celem analizowane-go rwnania jest przedstawienie w uproszczonej formie tych zaleno-ci, ktre s najbardziej istotne i pozwalaj najlepiej pozna rodzaj i si zalenoci. 1 A. S. Goldberger: Teoria ekonometrii, PWE, Warszawa, 1975, s. 15.2 O prawach ekonomicznych traktuje na przykad praca: Makro i Mikroekonomia. Podstawowe problemy,

red. S. Marciniak, PWN, Warszawa, 1999, s. 19 i nastpne.

36

Model, bdc zasadniczym uproszczeniem zalenoci, musi uwzgld-nia zalenoci pozostae a take elementy probabilistyczne. Praktyczna ekonomia - realizowana poprzez konkretne dziaania ludzi, na przykad poprzez nabywanie dbr, nie musi pokrywa si z teori ekonomii. De-cyzje ludzi zawieraj elementy dziaa, ktre mog nie odpowiada po-znanym prawom ekonomicznym. Moemy stwierdzi, e rzeczywisto ekonomiczna jest w znacznym stopniu losowa. Taka te jest rzeczywi-sto badana przez modele ekonometryczne. Std znaczenie takich nauk jak rachunek prawdopodobiestwa czy statystyka matematyczna.

Model ekonometryczny to jedno lub wiele rwna, z ktrych co naj-mniej jedno zawiera skadnik losowy. Mwic o modelu ekonometrycz-nym jakiego zjawiska, mylimy o uproszczonym opisie rzeczywistoci. Uproszczenie oznacza, e w modelu nie wystpuj wszystkie zmienne, jakie w rzeczywistoci opisuj analizowane zjawisko. Rzeczywisto jest znacznie bardziej skomplikowana, ni skadajcy si z wielu rwna model. Dlatego te, w przypadku ekonometrii mamy do czynienia z mo-delem zawierajcym rwnania stochastyczne i z tego powodu bdzie-my do modeli ekonometrycznych stosowa narzdzia statystyki mate-matycznej a nie po prostu rozwizywa ukad rwna matematycznych.

2.2. POSTA MODELUPrzedmiotem tej czci ksiki jest ekonometryczny model jedno-

rwnaniowy. Jest to model, ktry wyjania zachowanie jednej zmiennej, zwanej zmienn objanian lub zalen. Wikszo modeli wykorzy-stywanych praktycznie do analiz ma jednak wicej ni jedno rwna. Wwczas mamy do czynienia z modelem wielorwnaniowym.

Oglna posta modelu wielorwnaniowego wyglda nastpujco: gdzie: Y1t = !0 + !1Y2t + ... + !m-1Ymt + !m+1X1t + !m+2X2t + ... + !m+kXkt + "1t

Y2t = #0 + #1Y1t + ... + #m-1Ymt + #m+1X1t + #m+2X2t + ... + #m+kXkt + "2t

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Ymt = $0 + $1Y1t + ... + $m-1Ym-1,t + $m+1X1t + $m+2X2t + ... + $m+kXkt + "mt

Yit zmienna objaniana w i-tym rwnaniu, i = 1,...m,k, k, ... 0 s parametrami strukturalnymi modelu,Xjt j-ta zmienna objaniajca, k = 1, ..., k.

37

it jest skadnikiem losowym w i tym rwnaniu, i = 1, ..., m.Zgodnie z wczeniejszymi uwagami w dalszej czci zajmowa si

bdziemy przede wszystkim modelami jednorwnaniowymi. Na przy-kadzie takiego modelu zostanie pokazany sposb szacowania parame-trw strukturalnych, ktry ze wzgldu na sposb postpowania nazy-wany jest Klasyczn Metod Najmniejszych Kwadratw [KMNK]. Jed-nake, ze wzgldu na czsto wystpowania modeli wielorwnaniowych konieczna jest znajomo rwnie tych modeli. Dlatego te w dalszej cz-ci opisane zostan niektre metody szacowania takich modeli. W celu dokadnego poznania metod szacowania modeli wielorwnaniowych czy te modeli jednorwnaniowych, ale nieliniowych naley sign po bardziej zaawansowane pozycje ksikowe.

Poniej na przykadzie modelu wielorwnaniowego pokazane zosta-n sposoby podziau modeli a rwnie dokonana zostanie analiza wyst-pujcych w nich zmiennych.

PRZYKAD 2.1. Zaproponuj posta trzyrwnaniowego modelu ekonometrycznego opisujcego popyt na samochody.

Taki model, uwzgldniajcy zarwno popyt na samochody, jak i ba-dajcy zwizane z tym popytem czynniki z rynku paliwowego, przed-stawiaj ponisze rwnania:

(1) PSt = 0 + 1Dt + 2Dt-1 + 3CBt + 1t(2) PBt = 0 + 1[PSt + PSt-1] + 2Dt + 2t (3) CBt = 0 + 1PSt + 3t

gdzie:PSt efektywny popyt na samochody (faktyczna sprzeda samocho-

dw) w roku t,0, 1, 2, 3 parametry strukturalne w rwnaniu pierwszym,Dt redni dochd do dyspozycji gospodarstw domowych w roku t,Dt-1 redni dochd do dyspozycji gospodarstw domowych w roku t-1,CBt cena benzyny w roku t,1t skadnik losowy w pierwszym rwnaniu,PBt efektywny popyt na benzyn (faktyczna sprzeda benzyny w to-nach) w roku t,0, 1, 2 parametry strukturalne w rwnaniu drugim,PSt + PSt-1 czna sprzeda samochodw w latach t oraz t-1,

38

2t skadnik losowy w drugim rwnaniu,0, 1 parametry strukturalne w trzecim rwnaniu.

Przedstawiona posta modelu wielorwnaniowego nazywana jest postaci strukturaln. Innym sposobem prezentacji modelu, ktr mo-na uzyska po przeksztaceniach, jest posta zredukowana. Postacie te rn si przede wszystkim rwnoczesnym wystpowaniem tych sa-mych zmiennych, jako objanianych w jednych rwnaniach i objania-jcych w innych rwnaniach.

atwo wida, e w modelu pokazanym w przykadzie 2.1. wrd zmiennych objaniajcych znajduj si zmienne, ktre w innych rw-naniach s zmiennymi objanianymi. Przykadem wanie takiej sytu-acji jest zmienna CBt, ktra jest zmienn objanian przez rwnanie (3). Jednoczenie ta zmienna objania ksztatowanie si w pierwszym rw-naniu zmiennej PSt. Z tego wzgldu konieczne jest poznanie i stosowa-nie jednolitego nazewnictwa zmiennych.

2.3. KLASYFIKACJA ZMIENNYCH WYSTEPUJCYCH W MODELU

W modelach ekonometrycznych wystpuj dwa podstawowe zbiory zmiennych. S to zbiory obejmujce:

A zmienne objaniane,B zmienne objaniajce.Zmienne objaniane s opisywane przez model. To zachowanie

tych zmiennych jest badane. Zaley nam na poznaniu ksztatowania si w przyszoci wanie zmiennych objanianych przez model. W odr-nieniu od nich wystpuj zmienne, ktre opisuj zachowanie si zmien-nych objanianych. Dlatego te nazywane s zmiennymi objaniajcymi ksztatowanie si zmiennej objanianej. Zwykle nie s to zbiory rozcz-ne. Wida to rwnie na Przykadzie 2.1. Zmienna CBt naley rwno-czenie do zbioru A i B.

Inna klasy kacja, de niujca rozczne zbiory zmiennych wystpu-jcych w modelach ekonometrycznych wyrnia dwa zbiory:

C zmienne endogeniczne, D zmienne egzogeniczne. Te dwa pojcia pozwalaj wyrni zmienne, ktre nale w mode-

lu tylko do jednego zbioru. Moemy napisa, e zmienne endogeniczne

39

zawieraj biece3 i opnione zmienne objaniane przez model, pod-czas gdy zmienne egzogeniczne to biece i opnione zmienne nie ob-janiane przez model, czyli majce cech objaniajc a nie bdce wy-janianymi przez model. Jak atwo wida, adna ze zmiennych nie moe by nieobjanian i objanian jednoczenie. Std stwierdzenie, e zbio-ry te musz by rozczne.

W przypadku modeli wielorwnaniowych zmienne dzielimy dodat-kowo na zbiory:

E zmienne cznie wspzalene,F zmienne z gry ustalone. Zmienne cznie wspzalene to wymienione wczeniej zmienne

endogeniczne ale nieopnione, czyli majce subskrypt t. Natomiast zmienne z gry ustalone to zmienne egzogeniczne i opnione zmienne endogeniczne. Podobnie atwo stwierdzi, e rwnie te zbiory s roz-czne.

PRZYKAD 2.2. Znajd zbiory A,B, C, D, E, F dla zmiennych wy-stpujcych w modelu z Przykadu 2.1.

Zgodnie z podanymi powyej de nicjami moemy zapisa, e w mo-delu pokazanym w Przykadzie 2.1 wystpuj nastpujce zbiory zmien-nych:

A = {PSt, PBt, CBt}, B = {Dt, Dt-1, CBt, PSt + PSt-1, PSt},C = {PSt, PBt, CBt},D = {Dt, Dt-1, PSt + PSt-1},E = {PSt, PBt, CBt}, F = {Dt, Dt-1, PSt + PSt-1}.Jak wida w przykadzie tym nie wystpuj opnione zmienne ob-

janiane, co oznacza, e zbiory A, C i E zawieraj te same elementy. Po-dobnie rwne s zbiory D i F.

2.4. KLASYFIKACJA MODELI EKONOMETRYCZNYCH

Klasy kacji modeli mona dokona na wiele sposobw. Stosowa-ne kryteria pozwalaj na wybr metod estymacji modeli. Oznacza to, 3 Zmienne biece wystpuj w czasie t, co zapisujemy przykadowo jako CBt. Zmienne opniona

wystpuje w okresach wczeniejszych. Na przykad s to dane dla danego zjawiska, wystpujce przed rokiem, co zapisujemy w postaci subskryptu CBt-1 i odpowiednio np. zmienna CBt-1 reprezentuje warto tej zmiennej przed dwoma laty.

40

e wrd modeli stosowanych w praktyce konieczne jest okrelenie mo-delu, przeprowadzenie waciwego postpowania, ktrego celem jest przygotowanie do estymacji, i wreszcie wykorzystanie waciwej me-tody estymacji modelu. W niektrych przypadkach konieczne jest prze-prowadzenie dodatkowych testw, ktre pomog dostosowa dane do modelu, bd te zwery kuj suszno stosowanej metody estymacji.

Ta ksika, majc charakter podrcznika wstpnego do nauki eko-nometrii, ogranicza si jedynie do modeli jednorwnaniowych i linio-wych. Pominite zostan sposoby estymacji modeli wielorwnanio-wych. Rwnie wikszo testw nie zostanie tu nawet wspomniana. Dla czytelnika chccego zgbi wybrane zagadnienia nie powinno by problemu ze znalezieniem prac bardziej zaawansowanych4.

Zwykle modele ekonometryczne klasy kujemy ze wzgldu na pi kryteriw. Poniej przedstawiono opis tych kryteriw wraz z ilustruj-cymi je przykadami.

KRYTERIUM 1. Liczba rwna w modelu.- modele jednorwnaniowe, opisujce zachowanie si jednej zmiennej,- modele wielorwnaniowe, w ktrych kade rwnanie objania jed-

n zmienn.

PRZYKAD 2.3. Dokonaj klasy kacji modelu wystpujcego w przykadzie 2.1. Zaproponuj posta jednorwnaniowego modelu eko-nometrycznego opisujcego popyt na samochody.

W przykadzie 2.1. wystpuj 3 rwnania. Opisuj one ksztatowanie si trzech zmiennych objanianych:PSt efektywny popyt na samochody (faktyczna sprzeda samocho-dw) w roku t,CBt cena benzyny w roku t,PBt efektywny popyt na benzyn (faktyczna sprzeda benzyny w to-nach) w roku t.

Model ten czy w sobie znany z teorii ekonomii efekt popytu na do-

4 W tej pracy nie bdziemy analizowa ju metod doboru zmiennych do modelu. Jest to bardzo wana cz nauki, pozwala bowiem na zwikszenie informacji, ktrej dostarcza model. W tym przypadku warto sign do prac profesora Z. Hellwiga. Rwnie praca zbiorowa M. Gruszczyskiego, M. Kolupy, E. Leniewskiej, G. Napirkowskiej: Miary zgodnoci, metody doboru zmiennych, problemy wspliniowoci, PWN, Warszawa, 1979, zawiera opis metod doboru zmiennych do modelu. Ponadto w pracy tej pokazane s spotykane w modelach problemy wspliniowoci i metody eliminacji tego zjawiska.

41

bra komplementarne5. Opisuje cao zjawiska, uwzgldniajc fakt, e popyt na samochody jest zaleny od cen benzyny.

Model prosty, jednorwnaniowy, badajcy popyt na samochody przedstawi mona za pomoc modelu:

PSt = 0 + 1Dt + 2Dt-1 + 3CBt + 1tgdzie6 zmienne maj to samo znaczenie, jakie nadano im w przykadzie 2.1.

KRYTERIUM 2. Posta analityczna modelu.- modele liniowe, w ktrych wszystkie zalenoci modelu s liniowe,- modele nieliniowe, w ktrych chocia jedna zaleno modelu jest

nieliniowa.PRZYKAD 2.1. pokazuje model liniowy, to jest taki model, w kt-

rym rwnania s sum iloczynw parametrw strukturalnych i zmien-nych. Zmienne nie wystpuj w postaci funkcji trygonometrycznych, wykadniczych czy innych funkcji nieliniowych. Jest to zatem model li-niowy. Nieliniowo moe dotyczy zarwno parametrw jak i zmiennych.

PRZYKAD 2.4. Podaj przykad modelu nieliniowego opisujcego proces produkcji.

W literaturze polskiej jest szereg pozycji, w ktrych znale mo-na przykady funkcji opisujcych proces produkcji i jego efekty. Funk-cje takie zwane s wanie funkcjami produkcji. Najpopularniejsz jest funkcja produkcji typu Cobb-Douglasa. Zostaa opisana po raz pierw-szy przed prawie stu laty7. Posta funkcji typu Cobb-Douglasa reprezen-tuje ponisze rwnanie:

Q = ePCete

gdzie zmienn objanian Q jest warto produkcji a zmienne objania-jce oznaczaj odpowiednio: P wielko nakadw pracy ywej, C warto nakadw pracy uprzedmiotowionej, t czas. Skadnik lo-sowy wystpuje rwnie w formie funkcji wykadniczej o podstawie e. Parametry , , s odpowiednio: sta regresji, elastycznoci pro-dukcji wzgldem nakadw pracy ywej oraz wzgldem nakadw pra-

5 Dobra wystpujce razem (samochd i benzyna, aparat cyfrowy i pami) w odrnieniu od dbr substytucyjnych (maso i margaryna).

6 W ekonometrii wystpuje rwnie analiza rwna wyjtych, czyli analizowane jest jedno rwnanie wyjte z modelu wielorwnaniowego.

7 Cobb C.W., Douglas P.H.: A Theory of Production, American Economic Review Supplement, 1928. Szczegowy opis tej funkcji znajduje si w pracy: Dunajewski H.: Struktura i stosowalno funkcji produkcji typu Cobb-Douglasa, Ekonomista, 1962, Nr 3.

42

cy uprzedmiotowionej. Parametr wyraa postp techniczny neutralny8. atwo wida na podanym przykadzie, e taka funkcja produkcji jest

nieliniowa zarwno ze wzgldu na parametry jak i zmienne.

KRYTERIUM 3. Uwzgldnienie czynnika czasu w modelu.- modele statyczne, ktre nie uwzgldniajc czynnika czasu,- modele dynamiczne, w ktrych uwzgldnia si czynnik czasu w po-

staci zmiennej czasowej (trend, tendencja rozwojowa) lub opnie-nia zmiennej objanianej (autoregresja). Wystpowanie tego czyn-nika chocia w jednym rwnaniu okrela model jako dynamiczny.

PRZYKAD 2.5. Model wielorwnaniowy z przykadu 2.1 jest mo-delem statycznym. Nie zawiera czynnika czasu, jak rwnie adna zmienna objaniajca nie jest opnion (z subskryptem t-1) zmienn objanian. Podaj przykad modelu dynamicznego.

W teorii ekonomii znany jest model Harroda-Domara9. Pokazuje on wzrost gospodarczy jako funkcj dokonywanych inwestycji oraz istnie-jcego w gospodarce majtku produkcyjnego.

Mt = 0Mt-1 + 1It + 1tDt = 0Mt + 2tDt = Ct + It

gdzie: Gdzie Dt reprezentuje produkt krajowy brutto w roku t, Mt oraz Mt-1 to warto majtku trwaego odpowiednio w roku t i w roku po-przednim (t-1), Ct konsumpcja, It inwestycje.

Model ten jest modelem dynamicznym, w ktrym majtek produk-cyjny w roku biecym jest opisywany tyme majtkiem w roku po-przednim. Jednoczenie majtek okrela wielko produktu krajowego brutto. Trzecie rwnanie stanowi tosamo, stwierdzajc, e wytwo-rzone w gospodarce wartoci s albo konsumowane albo inwestowane.

KRYTERIUM 4. Charakter powiza pomidzy zmienn objanian a zmiennymi objaniajcymi.

- modele przyczynowo-opisowe,- modele symptomatyczne, - tosamoci.

8 W rozumieniu Hicksa. Por. Allen R.G.D.: Teoria makroekonomiczna, PWN, Warszawa, 1975, s. 247 i nastpne.

9 Jest to jeden z pierwszych modeli ekonomicznych dotyczcych stabilnego wzrostu, uzaleniajc go od decyzji inwestycyjnych.

43

Kryterium to bazuje na powizaniach pomidzy zmiennymi modelu. Mona zauway, e modele budujemy bazujc na teorii ekonomii. W pierwszym kroku powinno si rozpozna teori, postawi hipotez i na jej podstawie zbudowa odpowiednie rwnanie. Przykadem takiego rwnania jest pierwsze i drugie rwnanie w przykadzie 2.5. Pierwsze i drugie rwnanie okrelaj zmienn objaniajc jako skutek przyczy-ny, jak jest ksztatowanie si zmiennej objaniajcej. Wysoko inwe-stycji okrela warto majtku produkcyjnego. Wystpuje zatem wyra-na przyczyna (inwestycje) i skutek (wzrost majtku produkcyjnego).

Trzecie rwnanie jest tosamoci, przedstawiajc ekonomiczny pewnik. Nie mona zrobi z zarobion zotwk nic innego jak j skon-sumowa (zguba jest form konsumpcji) lub zaoszczdzi.

Rwnania, w ktrych rol zmiennych objaniajcych peni zmien-ne skorelowane z odpowiednimi zmiennymi objanianymi ale nie wy-raajce rde zmiennoci zmiennych objanianych, nazywamy rw-naniami symptomatycznymi. Mona sobie wyobrazi, e wysoko do-chodw hoteli nad morzem opisywa bdziemy w zalenoci od red-niej temperatury w miesicach wakacyjnych i od czasu (model dyna-miczny, zawierajcy tendencj rozwojow). Taki model pokazuje nast-pujcy przykad:

PRZYKAD 2.6. Napisz jednorwnaniowy, symptomatyczny model opisujcy przychody z usug hotelarskich nad morzem.

St = 0St-1 + 1Gt + 2T + tgdzie: St reprezentuje przychody z usug hotelarskich w rokut, St-1 jest opnion zmienn objanian, reprezentujc przyzwyczajenia tury-stw (cz osb jedzi systematycznie do tych samych orodkw), Gt jest redni temperatur w lipcu i sierpniu w roku t, T jest tendencj roz-wojow, przyjmujc warto kolejnej liczny naturalnej (T = 1, 2, 3, ...n).

Model powyszy jest symptomatycznym modelem jednorwnanio-wym, gdy pokazuje przychody jako funkcj temperatury. Zmienna ta oczywicie nie wpywa na przychody w sposb bezporedni. Jednak-e decyzje urlopowe s podejmowane w oparciu o przewidywan tem-peratur. Zmienna ta jest skorelowana z prawdziw zmienn, majca wpyw na przychody z usug hotelarskich (rosnca temperatura nie pod-nosi przychodw z usug hotelarskich, jednak sprzyja przyjazdom nad morze wikszej liczby turystw).

44

KRYTERIUM 5. Charakter powiza midzy zmiennymi cznie wspzalenymi.

- modele proste, - modele rekurencyjne,- modele o rwnaniach wspzalenych.Zgodnie z zapisem z pocztku tego rozdziau model wielorwnanio-

wy moemy zapisa w postaci: Y1t = 0 + 1Y2t + ... + m-1Ymt + m+1X1t + m+2X2t + ... + m+kXkt + 1tY2t = 0 + 1Y1t + ... + m-1Ymt + m+1X1t + m+2X2t + ... + m+kXkt + 2t... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...Ymt = 0 + 1Y1t + ... + m-1Ym-1,t + m+1X1t + m+2X2t + ... + m+kXkt + mtco po przeksztaceniu10 mona zapisa w postaci, zwanej postaci struk-turaln:Y1t 1Y2t ... m-1Ymt 0 m+1X1t m+2X2t ... m+kXkt = 1tY2t 1Y1t ... m-1Ymt 0 m+1X1t m+2X2t ... m+kXkt = 2t... ... ... ...... ... ... ... ...Ymt 1Y1t ... m-1Ym-1,t 0 m+1X1t m+2X2t ... m+kXkt = mt

Zapis macierzowy tego modelu wyglda nastpujco:BY X = Gdzie, majca znaczenie z punktu klasy kacji modelu macierz B

(parametrw strukturalnych stojcych przy zmiennych cznie wspza-lenych) wyglda nastpujco:

B =

mxm

m

m

!!!!

"

#

$$$$

%

&

''

''''

'

'

1...............

...1

...1

21

11

11

((

))**

Y =

1

2

1

mxmY

YY

!!!!

"

#

$$$$

%

&

'

Macierz B wskazuje na rodzaj modelu. Od jej ksztatu zaley rodzaj modelu wielorwnaniowego. Ona rwnie okrela moe sposb esty-macji parametrw strukturalnych modelu.

Najoglniej mona napisa, e z modelem prostym mamy do czynie-nia, gdy macierz B jest macierz jednostkow, to znaczy macierz ma-jc jedynki na gwnej przektnej (diagonalnej) a zera wystpuj w po-10 Po prawej stronie rwnoci pozostay tylko skadniki losowe.

45

zostaych miejscach macierzy. Parametry strukturalne modeli prostych szacujemy w drodze estymacji pojedynczej (kade rwnanie oddzielnie) za pomoc Klasycznej Metody Najmniejszych Kwadratw [KMNK].

Model rekurencyjny bdzie mia macierz B w formie macierzy trj-ktnej (elementy na gwnej przektnej s jedynkami a nad t przektn wystpuj rwnie elementy rne od zera, podczas gdy pod ni wy-stpuj same zera, lub odwrotnie zera s nad diagonaln w pod ni s rwnie elementy rne od zera). W przypadku modeli rekurencyjnych stosujemy do estymacji rwnie Klasyczn Metod Najmniejszych Kwadratw. Postpowanie rozpoczynamy od rwnania, w ktrym nie wystpuj jako zmienne objaniajce inne zmienne objaniane. Esty-macja parametrw strukturalnych tego rwnania KMNK pozwala na wyliczenie wartoci teoretycznych zmiennej objanianej. Nastpnie te wanie wartoci teoretyczne (wyliczone na podstawie modelu) s wstawiane w miejsce wartoci rzeczywistych (obserwowanych). W ten sposb spenione s warunki (opisane w dalszej czci) wymagane dla KMNK.

Model wspzaleny ma macierz B w postaci, ktrej nie mona spro-wadzi przez zamian wierszy do macierzy jednostkowej ani macierzy trjktnej. Do szacowania takich modeli wykorzystywane s: Porednia Metoda Najmniejszych Kwadratw, Podwjna Metoda Najmniejszych Kwadratw a take metody estymacji cznej.

Porednia Metoda Najmniejszych Kwadratw [PMNK] polega na wyznaczeniu ocen parametrw postaci strukturalnej czyli postaci mo-delu, ktry zosta zaproponowany do szacowania przy wykorzystaniu uprzednio oszacowanych parametrw postaci zredukowanej. Oznacza to, e model w postaci (strukturalnej) macierzowej:

BY X = mnoymy lewostronnie przez macierz odwrotn do macierzy B, czyli B-1. Dziki temu uzyskamy zredukowan posta modelu:

B-1BY = B-1X + B-1 .Czyli oczywicie po skorzystaniu z waciwoci macierzy odwrotnej:Y = B-1X + B-1 .Posta zredukowana to oczywicie model prosty. Co oznacza, e do

niej moemy zastosowa KMNK. Jak atwo wida zasb informacji wynikajcy z tej postaci (zredukowanej) moe by niewystarczajcy do uzyskania oszacowa oryginalnego modelu w postaci strukturalnej.

46

Dlatego do PMNK wymagana jest jednoznaczna identy kowalno modelu. Oznacza to, e jedynie do estymacji parametrw cz mode-li, speniajcych warunek jednoznacznej identy kowalnoci moe by uyta PMNK11.

W przypadku braku jednoznacznej identy kowalnoci nie jest moli-we szacowanie parametrw strukturalnych modeli wspzalenych przy wykorzystaniu postaci zredukowanej. W takim przypadku naley za-stosowa Dwustopniow Metod Najmniejszych Kwadratw [2MNK].

2MNK polega na dwukrotnym zastosowaniu metody klasycznej:- w pierwszym kroku szacujemy parametry strukturalne postaci zre-

dukowanej: (Y = B-1X + B-1)

i na tej podstawie wyliczamy wartoci teoretyczne zmiennych cznie wspzalenych,

- w drugim kroku szacujemy parametry postaci strukturalnej, z tym, e zamiast prawdziwych obserwacji dokonanych na zmiennych cznie wspzalenych (ktre peni w rwnaniu funkcj zmiennych obja-niajcych) uywamy wartoci teoretycznych tych zmiennych, obli-czone w pierwszym kroku.PRZYKAD 2.7. Dokonaj klasy kacji modelu z przykadu 2.1.

Model z przykadu 2.1 okrela popyt na samochody. Dla przypo-mnienia powtrzmy zapis tego modelu:

(1) PSt = 0 + 1Dt + 2Dt-1 + 3CBt + 1t(2) PBt = 0 + 1[PSt + PSt-1] + 2Dt + 2t (3) CBt = 0 + 1PSt + 3t Model jest wielorwnaniowym (kryterium 1) liniowym (kryte-

rium 2) statycznym (kryterium 3) modelem przyczynowo-skutkowym (kryterium 4). W celu okrelenia modelu z punktu widzenia kryterium 5 konieczne jest wyznaczenie macierzy B stojcej przy wektorze zmien-nych cznie wspzalenych.

Dlatego te wykonamy nastpujce dziaania:a) zostawimy po prawej stronie znaku rwnoci wycznie skadni-

ki losowe:(1) PSt 0 1Dt 2Dt-1 3CBt = 1t

11 Szerzej o szacowaniu parametrw za pomoc PMNK pisze: B. Borkowski w pracy Ekonometria, PWN, 2003 na s. 236 i nastpnych. Tame znale mona przykad wykorzystania PMNK i 2MNK.

47

(2) PBt 0 1 [PSt + PSt-1] 2Dt = 2t (3) CBt 0 1PSt = 3t b) pogrupujemy oddzielnie zmienne cznie wspzalene12 i oddziel-

nie z gry ustalone(1) PSt 3CBt 0 1Dt 2Dt-1 = 1t(2) PBt 0 V 1[PSt + PSt-1] 2Dt = 2t (3) CBt V 1PSt 0 = 3t c) zapiszmy model w postaci macierzowej

!!!

"

#

$$$

%

&

'

'

10010

01

1

3

(

)

!!!

"

#

$$$

%

&

t

t

t

CBPBPS

+ !!!

"

#

$$$$

%

&

''''

'''

0000

0

0

120

210

(***

)))

!!!!!

"

#

$$$$$

%

&

' ''

1

1

1

tt

t

t

PSPSDD =

!$$$

%

&

t

t

t

3

2

1

+++

!!

"

#

d) zwrmy uwag na macierz B, stojc przy zmiennych cznie wspzalenych. Jest to macierz rna od macierzy jednostkowej i macierzy trjktnej. Zarwno pod jak i nad diagonaln znajduj si elementy rne od zera. Model jest wspzaleny.

2.5. METODA EKONOMETRIIZadaniem ekonometrii jest dostarczenie wiedzy o sile zjawisk eko-

nomicznych oraz dokonanie symulacji bd znalezienie prognoz doty-czcych przyszych stanw natury. W celu uzyskania tego wyniku na-ley jednak przej dosy dugotrway proces zbierania danych, budo-wania modelu, jego estymacji, wery kacji i dopiero po pozytywnym zakoczeniu tego etapu mona wykorzystywa model do wycigania wnioskw czy liczenia prognoz. Wanie te kroku pokazuje zamiesz-czony schemat postpowania ekonometrycznego.

Zgodnie z pokazanym schematem pierwszym krokiem jest budowa modelu. Dokonuje si tego w oparciu o wiedz odnonie praw ekono-micznych lub hipotez stawianych na podstawie obserwacji zjawisk. Tak jak napisane zostao wczeniej, istnieje wiele metod doboru zmiennych do modelu. Zasadniczym celem jest uzyskanie modelu, ktry nie ma-jc niepodanych waciwoci wyjania moe znaczn cz waha zmiennej objanianej przez model. Dlatego gwne zadanie polega nie tylko na prbie przedstawienia w modelu wszystkich hipotez, ale 12 Warto w tym miejscu zauway, e zmienna PSt + PSt-1 reprezentuje przyrost zmiennej objanianej w

roku t. Nie jest zatem przyrost objaniany w adnym rwnaniu.

48

Schemat 2.1. Metoda ekonometrii

I Rozpoznanie teorii ekonomii, postawienie hipotez, budowa modelu

IV Wykorzystanie modelu do analiz lub prognoz

III Weryfikacja merytoryczna modelu, weryfikacja statystyczna

II Okrelenie modelu, wybr metody estymacji parametrw, estymacja

rwnie eliminacj moliwych bdw wynikajcych z wybranego zbioru zmiennych. Najoglniej w doborze zmiennych objaniajcych chodzi o to, by kada z nich bya silnie skorelowana ze zmienn obja-nian, ale jednoczenie korelacje pomidzy zmiennymi objaniajcymi byy jak najmniejsze.

Nastpnym krokiem, czsto niedocenianym, jest zebranie informa-cji o ksztatowaniu si poszczeglnych zmiennych w rnych latach. Najczciej wykorzystuje si wanie dane w postaci szeregw czaso-wych, to jest wartoci zmiennych w rnych (w kolejnych) miesicach, kwartaach czy latach. Czsto wanie nastpuj zmiany w sposobie li-czenia danego zjawiska. Wprowadza si zmiany w de nicji, uzupenia. Powoduje to, e dane nie s wystarczajco dobre do wykorzystania ich do estymacji modelu. Przykadowo badanie poboru wody przez gospo-darstwo domowe zalee moe od tego, jak prowadzi si t czynno. Czy w bloku mieszkalnym jest jeden licznik a zuycie rozpisuje si proporcjonalnie na liczb czonkw gospodarstwa domowego, czy te odczytuje si dane z licznika zainstalowanego w kadym mieszkaniu. Najczciej wanie zaoenie licznikw powoduje odczyty wiadczce o znacznym spadku zuycia wody, co raczej wskazuje na bdy w po-miarze a nie na faktycznie mniejszym zuyciu wody.

49

Obok szeregw czasowych wykorzystuj jeszcze dane przekrojowo czasowe. Pochodz one z pewnej zbiorowoci charakteryzujcej si t sam cech w okrelonym czasie. W tym przypadku do analizy zuy-cia wody mona wzi wszystkie gospodarstwa domowe w danym blo-ku. Nie musi zatem wystpowa szereg czasowy polegajcy na wielo-miesicznych obserwacjach jednego gospodarstwa domowego. Podob-nie mona wykorzysta dane przekrojowe jak i szereg czasowy13.

Obok takich danych w modelach mona wykorzystywa zmienne, ktre przyjmuj warto jeden, gdy zmienna ma okrelon cech, lub zero, gdy zmienna danej cechy nie posiada. Zmienne takie okrelamy mianem zerojedynkowych. Czsto w modelach gospodarczych w ten sposb wyrnia si dokonane zasadnicze zmiany. Mona wprowadzi zmienn zerojedynkow w sytuacji badania zjawisk gospodarczych w sie wprowadzenia podatku VAT. W miesicach, przed wprowadze-niem podatku zmienna przyjmuje warto zero. Od dnia wprowadzenia podatku VAT ta sama zmienna przyjmuje warto jeden. W ten sposb eliminuje si wpyw takiego znacznego czynnika, ktry wystpuje tylko w czci badanego okresu.

Dokonanie klasy kacji modelu i wybr metody estymacji parame-trw strukturalnych jest kolejnym krokiem w postpowaniu ekonome-trycznym. W tej ksice ograniczymy si jedynie do Klasycznej Meto-dy Najmniejszych Kwadratw stosowanej do liniowych modeli jedno-rwnaniowych. Jednake czytelnik wie, e w przypadku innych mode-li naley (by moe) skorzysta z innych metod estymacji parametrw strukturalnych.

Oszacowanie parametrw rozpoczyna proces wery kacji modelu. Najpierw dokonywana jest wery kacja merytoryczna. Badane s wiel-koci parametrw i ich interpretacja. W ten sposb analizowana jest suszno uzyskanych oszacowa. Oszacowania te nie zale jedynie od metody estymacji czy od danych. Rwnie wane s zwizki pomidzy zmiennymi objaniajcymi. Mog one powodowa due bdy w sza-cunku parametrw. Dlatego wery kacja merytoryczna jest pierwszym krokiem do akceptacji modelu.

Kolejnym krokiem jest analiza koincydencji. Zostanie ona opisana w nastpnej czci. Po uzyskaniu pozytywnego wyniku z analizy ko-incydencji nastpuje wery kacja dobroci modelu. Badajc wspczyn-nik determinacji staramy si oceni, jak duo badanego zjawiska mona 13 Sposoby postpowania w obu przypadkach s dokadnie opisane w literaturze przedmiotu.

50

wyjani przy pomocy uproszczonego narzdzia, jakim jest model eko-nometryczny.

Kolejnym krokiem wery kacji jest badanie istotnoci zmiennych. Do tego wykorzystywany jest rozkad t-Studenta. Tablica rozkadu zo-staa zamieszczona na kocu niniejszej ksiki. Obok opisanego w dal-szej czci badania statystycznej istotnoci zmiennych objaniajcych stosowa mona wiele innych testw. Dotyczy one mog badania li-niowoci, autokorelacji skadnika losowego, homoskedastycznoci te-go skadnika, badania normalnoci rozkadu skadnika losowego. Bar-dziej zaawansowane podrczniki do nauki ekonometrii zawieraj opis tych i innych tekstw14.

2.6. ESTYMACJA PARAMETRW STRUKTURALNYCH JEDNORWNANIOWEGO MODELU EKONOMETRYCZNEGO

Osoby koczce studia czsto zaczynaj szuka wasnego mieszka-nia. Bior pod uwag zarwno swoje preferencje, ale take uwarunko-wania budownictwa mieszkaniowego i wasne moliwoci nansowe. W pierwszej kolejnoci staj si klientami agencji nieruchomoci, ktre daj od nich wielu danych odnonie oczekiwa w stosunku do miesz-kania oraz kwoty, ktr mog dysponowa przy zakupie mieszkania.

Zwykle nikomu nie nastrcza wikszych kopotw udzielenie od-powiedzi. Rwnie okrelenie zmiennych, ktre mog mie wpyw na cen mieszkania jest stosunkowo proste. Wane w tym przypadku s miedzy innymi takie dane jak:

- dzielnica mieszkaniowa,- powierzchnia mieszkania,- liczba pokoi,- pitro, na ktrym mieszkanie si znajduje,- metra kuchni,- funkcjonujca w bloku winda,- otoczenie mieszkania (ziele, przemys, inne bloki, itp.),- kierunek, na ktry wychodz okna mieszkania,- wysoko mieszkania,

14 Niektre z nich mona znale w pracy zbiorowej pod redakcj naukow M. Podgrskiej: Ekonometria, SGH. Wznowienia tego popularnego podrcznika dla studentw studiw ekonomicznych dokonywane s prawie corocznie.

51

- rok budowy,- metoda budowy (wielka pyta, cega tradycyjna, nowe technologie)- odlego od stacji metra.atwo sobie wyobrazi, e cena jest uwarunkowana ponadto gr po-

pytu i poday, gdy kade mieszkanie podlega prawom rynku. Istotn zatem zmienn jest zmienna zerojedynkowa wiadczca o przewadze popytu (przybiera warto 1) lub poday (przybiera warto 0). Mo-na zatem zaproponowa posta modelu ekonometrycznego, na podsta-wie ktrego wyliczona zostanie cena mieszkania, bdcego przedmio-tem marze.

PRZYKAD 2.8. Przedstaw posta jednorwnaniowego, liniowe-go modelu ekonometrycznego wyjaniajcego ksztatowanie si cen mieszka w rdmieciu Warszawy.

Uwzgldniajc cz zmiennych wyliczonych wczeniej model moe mie posta:

CMt = 0 + 1PMt + 2LPt + 3PKt + 4PPt + tgdzie:CMt cena mieszkania w PLN (t oznacza numer transakcji, mwimy cena t-tego mieszkania),PMt powierzchnia mieszkania w metrach kwadratowych,LPt liczba pokoi w mieszkaniu,PKt powierzchnia kuchni (w m

2),PPt zmienna zerojedynkowa, przyjmujca warto 1, gdy zauwaal-

na jest przewaga popytu na mieszkania oraz 0, gdy przewaa po-da mieszka,

t skadnik losowy reprezentujcy wszystkie pozostae zmienne.W dalszej czci, po poznaniu estymatora uzyskanego Klasyczn

Metod Najmniejszych Kwadratw, pokazany zosta przykad uwzgld-niajcy niektre z podanych zmiennych, oszacowany na przykadzie da-nych z jednej z gazet, publikujcych dane z rynku nieruchomoci.

Najoglniej jednorwnaniowy liniowy model ekonometryczny mo-na przedstawi rwnaniem:

Y = 0 + 1 X1 + 2 X2 + + k Xk + ,gdzie:

52

Y warto zmiennej objanianej w roku (transakcji) t,

Xj, dla j = 1, 2, , k, obserwacje na zmiennych objaniajcych, skadnik losowy,j , dla j = 0, 1, , k, poszukiwane parametry strukturalne modelu.

atwo wida, e wraz ze sta (wektor jedynek stojcych przy 0 cznie k+1 zmiennych objania zmienn Y. Zarwno zmienne objania-jce, jak i zmienna objaniana mog by obserwowane i moemy po-zna ich rzeczywist realizacj. Na przykad w transakcji nabywania mieszkania znamy zarwno cen jak i powierzchni mieszkania, pi-tro, liczb pokoi itp. Wanie te dane nazywamy obserwacjami zmien-nych (wartoci rzeczywiste). Celem postpowania ekonometrycznego jest oszacowanie wartoci parametrw strukturalnych modelu wanie na podstawie zebranych informacji statystycznych, dotyczcych warto-ci zmiennych wystpujcych w modelu.

Oznacza to, e dysponujemy szeregami czasowymi obserwacji na wszystkich zmiennych modelu. Kada zmienna zostaa zaobserwowana n razy (n musi by znacznie wiksze od k). Mog to by dane w posta-ci szeregu czasowego (np. plony z danego pola w kolejnych latach) lub w przypadku danych przekrojowych n oznacza liczb obserwowanych obiektw (np. transakcji mieszkaniami).

Kolejne obserwacje na zmiennych oznaczamy subskryptem t. To znaczy:yt jest wartoci obserwowan (rzeczywist) zmiennej objanianej Y w okresie lub transakcji t, Xjt warto obserwowana (rzeczywista) zmiennej objaniajcej Xj w okresie lub transakcji t, t = 1, 2, , n.

Zebrane informacje przedstawia si w ujciu wektorowym (macie-rzowym) w sposb nastpujcy:

Y = 1

1

nxny

y

!!!!

"

#

$$$$

%

&

''

''

wektor obserwacji dokonanych na zmiennej obja!nianej

53

X =

)1(21

22212

12111

1............

11

!

""""

#

$

%%%%

&

'

knxknnn

k

k

xxx

xxxxxx

macierz zaobserwowanych warto!ci zmiennych ob"a!nia"#cych

Przykadowo x12 oznacza obserwacj dokonan na zmiennej x1 w roku (transakcji) 2. Oznacza to, e po uwzgldnieniu znanych war-toci poszczeglnych zmiennych rwnanie przyjmuje posta ukadu n rwna liniowych (gdy t przyjmuje wartoci od 1 do n):

yt = 0 + 1x1t + 2x2t + + kxkt + t,

Podobnie mona zapisa:

! =

!!!!

"

#

$$$$

%

&

''

n(

( 1

1nx

wektor sk"adnika losowego,

oraz

! =

1)1(

1

0

xkk

"######

$

%

&&&&&&

'

(

))

!

!!

))

wektor szukanych parametrw strukturalnych modelu.

W takim przypadku, korzystajc z zapisu macierzowego moemy jed-norwnaniowy model zapisa w postaci:

y = X + T posta modelu bdziemy wykorzystywa w dalszych oblicze-

niach wielokrotnie. Poniej zostanie ona wykorzystana do znalezienia estymatora parametrw strukturalnych modelu za pomoc Klasycznej Metody Najmniejszych Kwadratw [KMNK]. Warto przypomnie z na-uki statystyki15, e podanymi waciwociami estymatorw s:

- zgodno, to jest zbieno stochastycznie do ;15 Por. np. J. Jwiak, J. Podgrski: Statystyka od podstaw, PWE, 2001, s. 202 i nastpne. Opisane tam s

zarwno pojcie, jak i podstawowe wasnoci estymatorw.

54

- nieobciono, czyli warto oczekiwana jest rwna wartoci praw-dziwej E(a) = ;

- efektywno, czyli minimalizowanie wariancji estymatora16;W celu znalezienia estymatora przyjmiemy nastpujce zaoenia17:

Zaoenie 1. Zmienne objaniajce Xj s nielosowe i nieskorelowane ze skadnikiem losowym,

Zaoenie 2. Rzd macierzy X rwna si k+1, co zapisujemy rz (X) = k + 1

Zaoenie 3. Liczba obserwacji jest znacznie wiksza od liczby zmiennych objaniajcych, co mona zapisa: n >> k + 1,

Zaoenie 4. Warto oczekiwana skadnika losowego wynosi zero E() = 0,

Zaoenie 5. Skadnik losowy ma sta i skoczon wariancj a ponadto jest w poszczeglnych okresach (transakcjach) niezaleny

D2 () = E ( T) = 2 I, 2 < .W niektrych przypadkach zakada si, e skadnik losowy w ka-

dym z okresw ma rozkad normalny o wartoci oczekiwanej 0 i sko-czonej, staej wariancji 2 oraz poszczeglne okresy s niezalene. Przy uwzgldnieniu powyszych zaoe mona sformuowa twierdzenie okrelajce Klasyczn Metod Najmniejszych Kwadratw, jako metod dajc najlepsze estymatory.

Twierdzenie (Gaussa Markowa)Estymator a18 wektora parametrw jednorwnaniowego ekonome-

trycznego modelu wyznaczony przy pomocy KMNK jest estymatorem: liniowym, nieobcionym, zgodnym i najefektywniejszym w klasie li-niowych i nieobcionych estymatorw.

Zgodnie z wczeniejszym zapisem zajmiemy si szukaniem za po-moc metody najmniejszych kwadratw, postaci estymatora parame-trw jednorwnaniowego modelu ekonometrycznego:

Y = X + .16 Zgodnie z de nicj estymator, ktry ma w zbiorze wszystkich nieobcionych estymatorw najmniejsz

wariancj jest nazywany najefektywniejszym. Por. tame s. 207.17 Dotycz one stosowalnoci metody najmniejszych kwadratw.18 Oszacowania bdziemy przedstawia literami aciskimi, podczas gdy wartoci rzeczywiste parametrw

literami greckimi.

55

Wartoci teoretyczne uzyskane na podstawie modelu bdziemy w od-rnieniu od wartoci rzeczywistych, zaobserwowanych, oznacza zna-kiem dach. Teoretyczne wartoci po oszacowaniu modelu uzyskamy na podstawie:

= Xa.Oczywicie w postaci szczegowej, okrelajcej warto teoretycz-

n zmiennej dla danych z okresu t, tak warto teoretyczn reprezen-tuje rwnanie:

t = a0 + a1x1t + a2x2t + + akxkt .Rnic pomidzy wartoci rzeczywist a wartoci teoretyczn

uzyskan na podstawie modelu okrela bdziemy jako reszta. Oznacza to, e reszt dla okresu t moemy zapisa:

et = yt t,a reszt takich jest oczywicie n (t = 1, 2, , n ). S one rwne kolejnym rnicom elementw poniszych wektorw:

Y =

!!!!

"

#

$$$$

%

&

''

ny

y1

oraz ! =

!!!!

"

#

$$$$

%

&

''

ny

y

1

Czyli wektor reszt mona przedstawi w postaci:

e = Y ! =

!!!!

"

#

$$$$

%

&

''

ne

e1

Po podstawieniu w miejsce postaci modelu uzyskamy zapis:e = Y = Y Xa.Metoda najmniejszych kwadratw polega na wyznaczeniu takiego

wektora oszacowa a wektora parametrw , dla ktrego wielko b-dca sum kwadratw wszystkich elementw wektora reszt (eTe) osiga minimum. Interesuje nas zatem minimalizacja wartoci:

eTe = (y Xa)T (y Xa)

56

co po wymnoeniu daje posta19:

eTe= yTy 2aTXTy + aTXTXamajca swe minimum wwczas, gdy pierwsza pochodna jest rwna zeru, czyli

(yTy 2aTXTy + aTXTXa )/a = 0,co oznacza rwno:

2XTy + 2XTXa = 0,a po dalszych przeksztaceniach uzyskujemy ukad w postaci:

XTXa = XTy.Na podstawie przyjtego zaoenia odnonie rzdu macierzy X mo-

emy stwierdzi, e macierz XTX jest macierz kwadratow, syme-tryczn stopnia k + 1. Zatem macierz ta jest nieosobliwa. Oznacza to, e poszukiwany estymator ma posta:

a = (XTX)-1 XTyMacierz drugich pochodnych czstkowych powyszej funkcji wzgl-

dem a jest rwna:2(yTy 2aTXTy + aTXTXa)/a2 = 2XTX

co oznacza, e jest ona dodatnio okrelona a zatem jest speniony waru-nek osigania minimum lokalnego w punkcie a. Wektor a jest estyma-torem liniowym.

PRZYKAD 2.9. Oszacuj parametry strukturalne m