Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)

Wykład nr 9: Geometria w szkole – geometria dynamiczna,

miejsca geometryczne, przekształcenia geometryczne

Semestr zimowy 2018/2019

DGS = Dynamic Geometry Software

DGS = Dynamic Geometry Software

DGS = Dynamic Geometry Software

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_interactive_geometry_software

Geometria dynamiczna – twierdzenia

Przykład 1: twierdzenie cosinusów

tw_cosinusow_1.fig

C

AB a

bc

22.70 cm2

3.13 cm2

34.82 cm2

(a^2+b^2)-c^2=15.25 cm2

tw_cosinusow_2.fig

c

b a

Geometria dynamiczna – twierdzenia

Przykład 2: Zadanie o hodowcy krów

Hodowca krów mieszka nad rzeką (punkt A), natomiast swoje krowy wypasa w okolicach punktu P. Jadąc do wydojenia krów, zabiera wiadra, myje je w rzece i dojeżdża do pastwiska P. Zaplanuj drogę hodowcy, tak aby była najkrótsza.

Równoważność twierdzeń Twierdzenie cosinusów Jeśli 𝑎, 𝑏, 𝑐 są długościami boków trójkąta, miarą kąta naprzeciw boku długości 𝑐, to zachodzi równość 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛾 . Twierdzenie sinusów

𝑎

sin 𝛼=

𝑏

sin 𝛽=

𝑐

sin 𝛾= 2𝑅,

gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są długościami boków trójkąta, 𝛼, 𝛽, 𝛾 miarami jego kątów, 𝑅 jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie.

A B

C

ab

c

A B

C

ab

c

a b

Mie

jsce

ge

om

etry

czn

e

Miejsce geometryczne to zbiór wszystkich punktów spełniających dany warunek.

GEOGEBRA

CABRI

Mie

jsce

ge

om

etr

yczn

e

Przykład 1

Dane są dwa punkty 𝐴, 𝐵. Znajdź miejsce geometryczne środków okręgów, do których należą punkty 𝐴 i 𝐵. Rozpatrz dwa przypadki: płaszczyznę, przestrzeń.

Przykład 2

Znajdź miejsce geometryczne środków ciężkości trójkątów prostokątnych o danej przeciwprostokątnej.

Miejsce geometryczne

Przykład 3

Znajdź miejsce geometryczne punktów jednakowo odległych od ustalonej prostej i ustalonego punktu.

Miejsce geometryczne

Przykład 4

Wpisz kwadrat w trójkąt.

Miejsce geometryczne

Przykład 5

Dane są dwa rozłączne odcinki 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 . Tworzymy zbiór wszystkich odcinków, których jeden koniec leży na odcinku 𝐴𝐵, a drugi koniec na odcinku 𝐶𝐷 . Co jest miejscem geometrycznym środków tych odcinków?

Przekształcenia geometryczne

PPM

IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Zakres podstawowy. Uczeń:

• wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w środku układu współrzędnych).

To bardzo mała dawka przekształceń geometrycznych, ponadto nie traktuje się ich wprost jako funkcje.

Prz

eks

ztał

cen

ia g

eo

me

tryc

zne

p

łasz

czyz

ny

Przekształcenie geometryczne płaszczyzny to dowolna funkcja 𝑓: 𝐑2 → 𝐑2.

Symetria osiowa w układzie współrzędnych, np. względem osi 𝑂𝑋,

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥, −𝑦 , 𝑀𝑓 =1 00 −1

Prz

eks

ztał

cen

ia g

eo

me

tryc

zne

p

łasz

czyz

ny

Symetria środkowa w układzie współrzędnych, np. względem osi (0,0),

𝑓 𝑥, 𝑦 = −𝑥, −𝑦 , 𝑀𝑓 =−1 00 −1

Prz

eks

ztał

cen

ia g

eo

met

rycz

ne

p

łasz

czyz

ny

Translacja w układzie współrzędnych: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏

Prz

eks

ztał

cen

ia g

eo

met

rycz

ne

p

łasz

czyz

ny

Obrót w układzie współrzędnych wokół punktu (0,0) o kąt a (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara):

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥cos𝛼 − 𝑦sin𝛼, 𝑥sin𝛼 + 𝑦cos𝛼

Prz

eks

ztał

cen

ia g

eo

met

rycz

ne

p

łasz

czyz

ny

Jednokładność o środku w punkcie (0,0) i skali 𝑘 w układzie współrzędnych:

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑘𝑥, 𝑘𝑦 , 𝑀𝑓 =𝑘 00 𝑘

Prz

eks

ztał

cen

ia g

eo

met

rycz

ne

p

łasz

czyz

ny

Inwersja

Niech 𝑂(𝑆, 𝑟) będzie okręgiem o środku 𝑆 i promieniu 𝑟. Inwersją przy danym okręgu 𝑂(𝑆, 𝑟) nazywamy takie przekształcenie, które każdemu punktowi 𝑋 płaszczyzny, gdzie 𝑋 ≠ 𝑆, przyporządkowuje punkt 𝑋’ taki, że:

• punkt 𝑋’ leży na półprostej 𝑆𝑋,

• 𝑆𝑋 ∙ 𝑆𝑋′ = 𝑟2.

Analityczny wzór na inwersję względem okręgu o środku w (0,0) i promieniu 𝑟:

𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑥𝑟2

𝑥2 + 𝑦2, 𝑦

𝑟2

𝑥2 + 𝑦2)

1

1

(0.58, -1.18)

2.74 cm Result: 2.51 cm2

Result: -5.14 cm2

Prośba

Bardzo proszę o przyniesienie w środę (12-go) laptopów z wgranym programem GeoGebra.

Uwaga

W prezentacjach do wykładów często nie ma szczegółów rozpatrywanych przykładów, ale są one ważną częścią wykładów i będą wymagane na egzaminie.