Drgania układu o wielu stopniu swobody - wbia.pollub.pl · Drgania własne układ o wielu...

Drgania układu o wielu stopniu swobody

1

Zasada d’Alamberta

Zasada d’Alemberta: w odniesieniu do konstrukcji, znajdującej się pod wpływem sił zmiennych w czasie, można stosowaćzasady statyki pod warunkiem, że uwzględni się siły bezwładności.

m mm

B

y

B

y

B

y

1

1

1

2

2

2

3

3

3

2

Drgania w łasne uk ład o wielu stopniach swobody

Przemieszczenia poszczególnych mas równają się sumie przemieszczeń od poszczególnych sił bezwładności:

m mm

B

y

B

y

B

y

1

1

1

2

2

2

3

3

3

∑=

=−n

jjiji By

1

δ j j jB m y= ɺɺgdzie:

a dla belki powyżej

1 11 1 12 2 13 3y B B Bδ δ δ− = + +

2 21 1 22 2 23 3y B B Bδ δ δ− = + +

3 31 1 32 2 33 3y B B Bδ δ δ− = + +

1 11 1 1 12 2 2 13 3 3y m y m y m yδ δ δ= + +ɺɺ ɺɺ ɺɺ

lub 2 21 1 1 22 2 2 23 3 3y m y m y m yδ δ δ= + +ɺɺ ɺɺ ɺɺ

3 31 1 1 32 2 2 33 3 3y m y m y m yδ δ δ= + +ɺɺ ɺɺ ɺɺ

Brak siły wymuszającej drgania

3

Drgania w łasne uk ład o wielu stopniach swobody

Rozwiązanie równania różniczkowego ma formę:

( )sini iy A tω= czyli ( )2 sini iy A tω ω=−ɺɺ

( ) ( ) ( ) ( )tAmtAmtAmtA ωωδωωδωωδω sinsinsinsin 23313

22212

211111 ++=

1 11 1 1 12 2 2 13 3 3

2 21 1 1 22 2 2 23 3 3

3 31 1 1 32 2 2 33 3 3

y m y m y m y

y m y m y m y

y m y m y m y

δ δ δδ δ δδ δ δ

= + +

= + +

= + +

ɺɺ ɺɺ ɺɺ

ɺɺ ɺɺ ɺɺ

ɺɺ ɺɺ ɺɺ


22222

211212 ++=


22232

211313 ++=

m mm

B

y

B

y

B

y

1

1

1

2

2

2

3

3

3

gdzie ω – częstość drgań własnych

4

Równanie ruchu uk ładu o kilku stopniach swobody

Po przekształceniach układ równań przybiera formę:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 21 11 1 1 12 2 2 13 3 3

2 2 22 21 1 1 22 2 2 23 3 3

2 2 23 31 1 1 32 2 2 33 3 3

sin sin sin sin

sin sin sin sin

sin sin sin sin

A t m A t m A t m A t



ω δ ω ω δ ω ω δ ω ω



= + +

= + +

= + +

m mm

B

y

B

y

B

y

1

1

1

2

2

2

3

3

3

11 1 1 12 2 2 13 3 32

21 1 1 22 2 2 23 3 32

31 1 1 32 2 2 33 3 32

10

10

10

m A m A m A

m A m A m A

m A m A m A

δ δ δω

δ δ δω

δ δ δω

= − + +

= + − +

= + + −

Brak siły wymuszającej drgania własne

5

Wyznaczanie cz ęstości drga ńwłasnych

Układ równań opisujący ruch:

3313221212111

10 AmAmAm δδ

ωδ ++

−=

3323222221121

10 AmAmAm δ

ωδδ +

−+=

3233322321131

10 AmAmAm

−++=ω

δδδ

lub

0

1

1

1

3

2

1

2333232131

3312222121

3132122111

=

−

−

−

A

A

A

mmm

mmm

mmm

ωδδδ

δω

δδ

δδω

δ

6


Układ równań opisujący ruch:

gdzie:

niewiadomymi są ω – częstość drgań własnych [rad/s], Ai –amplitudy drgań mas na i –tym stopniu swobodya znane są mi – masy na i –tym stopniu swobody, δij –przemieszczenia na kierunku i wywołane siłą jednostkowych, działającą na kierunku j

0

1

1

1

3

2

1

2333232131

3312222121

3132122111

=

−

−

−

A

A

A

mmm

mmm

mmm

ωδδδ

δω

δδ

δδω

δ

7


Rozwiązanie układu równań :

0

1

1

1

2333232131

3312222121

3132122111

=

ω−δδδ

δω

−δδ

δδω

−δ

mmm

mmm

mmm

0

3

2

1

=AAA

lub

To jest nie prawdą

czyli to musi być równe zero

8


Częstości są rozwiązaniem równania jakie powstanie po policzeniu wyznacznika:

0

1

1

1

2333232131

3312222121

3132122111

=

ω−δδδ

δω

−δδ

δδω

−δ

mmm

mmm

mmm

0

1

1

1

32333231

312

22221

13121

211

=

−

−

−

m

m

m

ωδδδ

δω

δδ

δδω

δ

Po podzieleniu kolumn przez mi ten wyznacznik wygląda tak:

9

Wyznaczanie amplitud drga ń własnych

Amplitud drgań własnych nie można policzyć, natomiast można policzyć stosunek amplitud. Układ równań:

3313221212111

10 AmAmAm δδ

ωδ ++

−=

3323222221121

10 AmAmAm δ

ωδδ +

−+=

3233322321131

10 AmAmAm

−++=ω

δδδ

1

3313

1

22122111

10

A

Am

A

Amm δ+δ+

ω−δ=

1

3323

1

22222121

10

A

Am

A

Amm δ+

ω−δ+δ=

1

32333

1

2232131

10

A

Am

A

Amm

ω−δ+δ+δ=

Dzielimy przez A1 czyli otrzymujemy:

10

Wyznaczanie amplitud drga ń własnych

Z powyższego układu równań wybieramy dwa równania i wyznaczamy:

1

3313

1

22122111

10

A

Am

A

Amm δ+δ+

ω−δ=

1

3323

1

22222121

10

A

Am

A

Amm δ+

ω−δ+δ=

1

32333

1

2232131

10

A

Am

A

Amm

ω−δ+δ+δ=

1

3

1

2 ,A

A

A

A

Układ równań, opisujący amplitudy drgań własnych

11

Formy drga ń własnych

Na podstawie amplitud rysujemy formy drgań własnych:

11

3131

11

2121

11

1111 ,,

a

aA

a

aA

a

aA ===1ω

2ω

3ω

12

3232

12

2222

12

1212 ,,

a

aA

a

aA

a

aA ===

13

3333

13

2323

13

1313 ,,

a

aA

a

aA

a

aA ===

12

Ortogonalno ść drgań własnych

Amplitudy drgań własnych spełniają warunek ortogonalności czyli:

01

=∑=

n

iikiji AAm

gdzie mi – masy skupione, Aij – amplituda drgań masy mi przy częstości ωj, Aik – amplituda drgań masy mi przy częstości ωk.

Aij – pierwszy indeks oznacza kierunek drgania, a drugi częstość drgań własnych, dla której amplituda (stosunek do amplitudy A1j) została wyznaczona.

Ortogonalność sprawdzamy dla dwóch form drgań własnych.13

Ortogonalno ść drgań własnych

Amplitudy drgań własnych powinny spełniać warunki ortogonalności czyli:dla ω1 i ω2

dla ω2 i ω3

dla ω1 i ω3

0323132221212111 =++ AAmAAmAAm

1ω

2ω 0333232322213121 =++ AAmAAmAAm

0333132321213111 =++ AAmAAmAAm

14

Metody szacowania pierwszej częstości drga ń własnych

Metoda Dunkerley’a (lub Geigera):

∑=

= n

iiii

D

m1

1

δω

333222111

1δδδ

ωmmmD ++

=lub

Metoda Rayleigh’a

233

222

211

332211

δδδδδδω

mmm

mmmR ++

++=

∑

∑

=

== n

iii

n

iii

R

m

m

1

2

1

δ

δω

Zależność pomiędzy obliczonymi wartościami

1331221111 δδδδ mmm ++=

2332222112 δδδδ mmm ++=

3333223113 δδδδ mmm ++=

lub

RD ω<ω<ω 1

gdzie:

15

Zasada d’Alamberta

Zasada d’Alemberta: w odniesieniu do konstrukcji, znajdującej się pod wpływem sił zmiennych w czasie, można stosowaćzasady statyki pod warunkiem, że uwzględni się siły bezwładności. Dotyczy to zarówno obliczania przemieszczeńjak i sił wewnętrznych. Do wyznaczenia ekstremalnych siłwewnętrznych potrzebne są amplitudy sił bezwładności.

16

m mm

B

y

B

y

B

S=S sin(pt)

y

1

1

1

2

2

2

3

3

o

3

Drgania wymuszone uk ładu o wielu stopniach swobody

Przemieszczenia poszczególnych mas równają się sumie przemieszczeń od poszczególnych sił bezwładności i siły wymuszającej :

j j jB m y= ɺɺ

gdzie: k – kierunek przyłożenia siły wymuszającej

m mm

B

y

B

y

B

S=S sin(pt)

y

1

1

1

2

2

2

3

3

o

3

17

∑=

+=−n

jjijiki BSy

1

δδ


Dla belki powyżej

m mm

B

y

B

y

B

S=S sin(pt)

y

1

1

1

2

2

2

3

3

o

3

18

∑=

+=−n

jjijiki BSy

1

δδ

31321211111 BBBSy k δδδδ +++=−

32322212122 BBBSy k δδδδ +++=−

33323213133 BBBSy k δδδδ +++=−( )ptAy ii sin=Rozwiązanie ma formę

czyli ( )2 sini iy A p pt=−ɺɺ ( )2 sini i iB m A p pt=−


m mm

B

y

B

y

B

S=S sin(pt)

y

1

1

1

2

2

2

3

3

o

3

19

∑=

+=−n

jjijiki BSy

1

δδ

Układ równań, opisujący amplitudy drgań wymuszonych, ma formę: ( ) 01 13

23132

22121

2111 =δ+δ+δ+−δ ok SApmApmApm

( ) 01 232

32322

22212

121 =δ+δ+−δ+δ ok SApmApmApm

( ) 01 332

33322

23212

131 =δ+−δ+δ+δ ok SApmApmApm

gdzie niewiadomymi są amplitudy drgań wymuszonych Ai,znane są mi – masy na i –tym stopniu swobody, δij –przemieszczenia na kierunku i wywołane siłą jednostkowych, działającą na kierunku j, p – częstotliwość wymuszenia [rad/s]


20

Układ równań, opisujący amplitudy sił bezwładności:

gdzie niewiadomymi są amplitudy sił bezwładności Bi,znane są mi – masy na i –tym stopniu swobody, δij –przemieszczenia na kierunku i wywołane siłą jednostkowych, działającą na kierunku j, p – częstotliwość wymuszenia [rad/s]

01

1313212121

11 =+++

− ok SBBB

pmδδδδ

01

2323222

22121 =++

−+ ok SBB

pmB δδδδ

01

3323

33232131 =+

−++ ok SB

pmBB δδδδ

Ekstremalne siły wewn ętrzne, wywo łane drganiami wymuszonymi

21

m mm

B

y

B

y

B

S=S sin(pt)

y

1

1

1

2

2

2

3

3

o

3

Do wyznaczenia sił wewnętrznych wykorzystujemy wykresy od sił jednostkowych i korzystamy z zasady superpozycji czyli:

gdzie: Bj - amplitudy sił bezwładności, So - amplituda siły wymuszającej, Nj , Tj , Mj - siły wewnętrzne od obciążeńjednostkowych.

∑±=±±±=j

jjkoko NBNSNBNBNBNSN 222211

∑±=±±±=j

jjkoko TBNSTBTBTBTST 222211

∑±=±±±=j

jjkoko MBMSMBMBMBMSM 222211

Koniec

22

Drgania układu o wielu stopniu swobody - wbia.pollub.pl · Drgania własne układ o wielu...

Documents

Transcript of Drgania układu o wielu stopniu swobody - wbia.pollub.pl · Drgania własne układ o wielu...