Drgania układu o jednym stopniu swobody

Rodzaje drgań na przykładzie układu o jednym stopniu swobody

Układ o jednym stopniu swobody

k C

m

S pt sino

m

k

S pt sin

C

o

Schemat układuo jednym stopniu swobody

Przykład układuo jednym stopniu swobody

Zestawienie sił w układzieo jednym stopniu swobody z harmoniczn ą sił ą wymuszaj ącą

m

S pt sinoS pt sin

B

y

o

K

C

Siły działające na układ:

harmoniczna siła wymuszająca -

siła sprężystości (sztywność belki przeciwstawiająca się ruchowi) -

siła tłumienia (tłumienie wiskotyczne materiałowo-konstrukcyjne) –

siła bezwładności -

ptSo sin

kyK =

dt

dycycC == &

2

2

)(dt

ydmymtB −=−= &&

Równanie ruchu układuo jednym stopniu swobody

S pt sin

y

o

ptSkyycym o sin=++ &&&

tłumienieSiła wymuszająca (zmienna w czasie)

B

K

C

o

siła bezwładności sztywność

Drgania sprężyny bez tłumienia”http://www.edukator.pl/Prawo-Hooke-a,7661.html

HookesLaw_pl.exe

Siła bezwładno ści


Siła bezwładności jest to oddziaływanie na obiekt, który znajduje się w układzie (np. samochodzie) nieinercjalnym, inaczej mówiąc układzie, który porusza się ruchem niejednostajnym czyli nie ze stałą prędkością. Siła bezwładności jest równa iloczynowi masy i przyśpieszenia (druga pochodna przesunięcia po równa iloczynowi masy i przyśpieszenia (druga pochodna przesunięcia po czasie).

2

2

)(dt

ydmymtB −=−= &&

Siła bezwładno ści - przykład

Samochód jedzie ze stałą prędkością Vo=100km/h. Jakie siła bezwładności Zadziała na pasażera o masie m=100kg, jeżeli samochód miał dobre hamulce i od momentu rozpoczęcia hamowania do zatrzymania się przejechał yo=100m. Zakładamy, że podczas hamowania opóźnienie było cały czas stałe równe a.

∫∫ =oo tt

adtdV

2

2

dt

yd

dt

dVa ==

constmaymtB =−=−= &&)( ∫∫ = adtdV00

dt

dyV =

przyspieszenie

prędkość

oo ttatV

00=

00 atV =

( ) ( ) 00 00 ⋅−=− aatVtV

∫∫∫ ==ooo ttt

atdtVdtdy000

oott

tay0

2

05.0= 00

200

5.0

5.0

tV

aty

===

( ) ( ) 05.05.00 00 ⋅−=− aatyty

Siła bezwładno ści - przykład

Samochód jedzie ze stałą prędkością Vo=100km/h. Jakie siła bezwładności zadziała na pasażera o masie m=100kg, jeżeli samochód miał dobre hamulce i od momentu rozpoczęcia hamowania do zatrzymania się przejechał yo=100m. Zakładamy, że Podczas hamowania opóźnienie było cały czas stałe równe a.

atV = ⋅⋅=00 atV =

000 5.0 tVy =0/1005.0100 thkmm ⋅⋅=

0)3600/(10001005.0100 tsmm ⋅⋅⋅=st 2.70 =

00 atV = sahkm 6.3/100 ⋅= sasm 2.7)3600/(1000100 ⋅=⋅2/9.13 sma =

kNN

smkgmaB

39.11390

/9.13100 2

===⋅==

Siła bezwładności:

Tłumienie


Siła tłumienia jest działaniem wewnątrz konstrukcji, które przeciwstawia się ruchowi. W konstrukcjach jest tłumienie materiałowe i konstrukcyjne

dycycC == &

dt

dycycC == &

Struktura materiału – tarcie wewnętrznych składników wywołuje tłumienie materiałowe

Współpraca poszczególnych elementów (połączenia) wywołuje tłumienie konstrukcyjne

Zestawienie rodzajów drga ń

0=+ kyym &&Drgania własne

Drgania swobodne (drgania tłumione)

0=++ kyycym &&&

ptSkyym o sin=+&&


Drgania wymuszone nie tłumione

Drgania wymuszone tłumione

Rozwiązywanie równa ń różniczkowych liniowych drugiego rz ędu


Równanie

( )tyy =gdzie:

Rozwiązanie jest sumą dwóch równań

po yyy +=gdzie: yο – całka ogólna, yp – całka szczególna

P.Wielgos, Ocena skuteczności działania wielokrotnych, strojonych tłumików masowych w konstrukcjach budowlanych, 2010

Wyznaczanie całki ogólnej


Całka ogólna dla równania

to rozwiązanie równania

W celu rozwiązania tego równania wykonuje się podstawienie

dla którego

0=++ kyycym &&&

rtey =rtrey =& rtery 2=&&


Podstawienie

do równania 0=++ kyycym &&&

rtey = rtrey =& rtery 2=&&

daje nam zależność

0=++ kyycym &&&

02 =++ rtrtrt kecreemr

Po podzieleniu równania przez ert otrzymujemy równanie kwadratowe ze zmienną r

02 =++ kcrmr


Rozwiązanie zależy od parametru ∆, który jest równy

02 =++ kcrmrRozwiązywane równanie kwadratowe:

lub po podstawieniu

mkc 42 −=∆

m

k=2ω222 4 ωmc −=∆

Liczba rozwiązań zależy czy ∆ jest mniejsza, większa lub równa 0.


Przypadek 1dwa rzeczywiste rozwiązania r1 i r2 równania kwadratowego

02 =++ kcrmr

Rozwiązywane równanie kwadratowe i parametr ∆ :222 4 ωmc −=∆

0>∆dwa rzeczywiste rozwiązania r1 i r2 równania kwadratowego a całka ogólna jest zapisana wzorem

Przypadek 2pierwiastek podwójny r=r1=r2 a całka ogólna jest zapisana wzorem

Przypadek 3dwa zespolone rozwiązania ia całka ogólna jest zapisana wzorem

trtr eCeCy 2121 +=

0=∆

( ) rteCxCy 21 +=0<∆

ir βα +=1 ir βα −=2

( ) ( )( )tCtCey t ββα sincos 21 +=

Drgania własne

0=+ kyym &&

Rozwiązanie równania drgań własnych

jest całką ogólną równania, opisującego drgania wymuszonenie tłumione czyli

ptSkyym o sin=+&&nie tłumione czyli

Równanie drgań własnych po wykonaniu podstawienia y(t)=ert

ma formę

lub po podstawieniu

czyli

02 =+ kmr

022 =+ ωrm

k=2ω24ω−=∆

Drgania własne

0=+ kyym &&


lub po podstawieniu

ma rozwiązanie zczyli z dwoma pierwiastkami zespolonymi

04 2 <−= ω∆

022 =+ ωr

czyli z dwoma pierwiastkami zespolonymi

a

br

21

∆+−= ωωωi

ir ==−=

2

4

2

4 222

1

a

br

22

∆−−= ωωωi

ir −=−=−−=

2

4

2

4 222

2

ir βα +=1

ir βα −=2

ωβα

== 0


( ) ( )tCtCy ωω sincos 21 +=

Rozwiązanie ma postać

a po podstawieniu α i β otrzymujemy

Drgania własne – wyznaczenie stałych

0=+ kyym &&


( ) ( )tCtCy ωω sincos 21 +=ma formę

z niewiadomymi, które wyznaczamy na podstawie warunków początkowych czyli dla czasu t=0.

Zakładamy, że dla t=0 przesunięcie masy y=0, gdzie a prędkość masy (wymuszoną), gdzieVy =&


( ) ( )tCtCy ωωωω cossin 21 +−=&

Drgania własne – wyznaczenie stałych

Zakładamy, że dla t=0 przesunięcie masy y=0, gdzieczyli


( ) ( )0sin0cos0 21 ⋅+⋅= ωω CC

010 21 ⋅+⋅= CC0=C

a prędkość masy (wymuszoną), gdzie

Czyli

Rozwiązanie

Vy =&( ) ( )tCtCy ωωωω cossin 21 +−=&

01 =C

( ) ( )0cos0sin 21 ⋅+⋅−= ωωωω CCV

10 21 ⋅+⋅−= ωω CCV

ωV

C =2

( ) ( ) ( ) ( )tAtV

tV

ty o ωωω

ωω

ω sinsinsincos0 ==+=

Drgania własne



0=+ kyym &&

ma formę


A po uwzględnieniu warunków początkowych:

( )tAy oo ωsin=gdzie:ω – częstość drgań własnych,Ao – amplituda drgań własnych zależna

od warunków początkowych

drgania1.exe

( )tAy oo ωsin=

( )tAdt

dyV o

o ωω cos==

( )tsAdt

dVa o

o ωω sin2−==

Drgania swobodne układu

Drgania swobodne są to drgania układu rzeczywistego z tłumieniem jakie można obserwować po wstępnym wymuszeniu ruchu, a następnie pozostawieniu konstrukcji bez dodatkowych obciążeń zmiennych.

0=++ kyycym &&&


Rozwiązanie równaniadrgań swobodnych

jest całką ogólną równania,opisującego drganiawymuszonetłumione czyli

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00

-20.00-15.00-10.00

-5.000.005.00

10.0015.0020.00

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00


Rozwiązanie równania drgań swobodnych, otrzymujemy na podstawie równania

02 =++ kcrmrrtey =które uzyskujemy po podstawieniu wzoru:rtey =

Rozwiązanie równania zależy od parametru równania kwadratowego:

222 4 ωmc −=∆


Analizę problemu wykonuje się dla równania w prostszejformie, którą uzyskuje się po podzieleniu obu stron równania przez m

mkcrmr /02 =++ cmkcrmr /02 =++czyli

Delta równania kwadratowego wynosi:

02 22 =++ ωγrr

22 44 ωγ −=∆i przybiera prostszą formę

gdzie:ω – częstość drgań własnych,γ – współczynnik tłumienia.

m

c=γ2 k=2ω


Rozwiązanie równania drgań swobodnych zależy od wzajemnej relacji ω i γ czyli mamy trzy przypadki:

Przypadek 1 - Duże tłumienie γ>ω czyli 0>∆

Przypadek 2 -Tłumienie krytyczne czyli 0=∆ωγ =

Przypadek 3 - Małe tłumienie γ<ω czyli 0<∆

Sytuacja najczęściej spotykana w konstrukcjach

Drgania swobodne układuPrzypadek 1 - Duże tłumienie γ>ω

0>∆Pierwiastki równania kwadratowego

22 ωγγ −−−=r

02 22 =++ ωγrr

222 ωγ −=∆

221 ωγγ −−−=r

222 ωγγ −+−=r

Rozwiązanie równania różniczkowego: 02 2 =++ yyy ωγ&&&

trtr eCeCy 2121 +=

Drgania swobodne układuPrzypadek 1 - Wyznaczenie stałych

Warunki początkowe: t=0, y=yo ,

Równanie ruchu (rozwiązanie równania)

ovvy ==&

Równanie prędkości po zróżniczkowaniu równania ruchu względem czasu

trtr eCeCy 2121 +=

21 CCyo +=i po uwzględnieniu warunków początkowych

trtr erCerCy 212211 +=&

2211 rCrCvo +=i po uwzględnieniu warunków początkowych


21 CCyo +=

2211 rCrCvo +=

Stałe wyznaczamy z układu równań:22

1 ωγγ −−−=r22

2 ωγγ −+−=rgdzie:

2211 rCrCvo +=

22

220

12 ωγ

ωγγ−−

−−+= yyvC oo

22

22

22 ωγ

ωγγ−

−++= ooo yyvC

2 ωγγ −+−=r

i są one opisane wzorami:

Drgania swobodne układuPrzypadek 1 - Przykład

m

S pt sino

Dane: Początkowe wychylenie yo=0.05m,Początkowa prędkość vo=10m/s,Tłumienie układu γ=2 rad/s,Częstość drgań własnych układu ω= 1 rad/s.



Szukamy wielkości z równania:

[ ]rad/s73205.3321 −=−−=r

[ ]rad/s26795.0322 −=+−=r

trtr eCeCy 2121 +=

221 ωγγ −−−=r

222 ωγγ −+−=r



Szukamy wielkości z równania:trtr eCeCy 21

21 +=22 ωγγ −−+ yyv

m264.0rad/s122

rad/s12m05.0rad/s2m05.0m/s1022

22

1 −=−−

−−⋅+=C

m941.2rad/s122

rad/s12m05.0rad/s2m05.0m/s1022

22

2 =−

−+⋅+=C

22

220

12 ωγ

ωγγ−−

−−+= yyvC oo

22

22

22 ωγ

ωγγ−

−++= ooo yyvC


Dane: Początkowe wychylenie yo=0.05m,Początkowa prędkość vo=10m/s,Tłumienie układu γ=2 rad/s,Częstość drgań własnych układu ω= 1 rad/s. 1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8 Wykres zmian przemieszczeniaw czasie. Ruch jest nie drgający

i zanikający w czasie.

Rozwiązanie:

tt eey rad/s26795.0rad/s73205.3 2.941mm264.0 −− ⋅+⋅−=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10t [s]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6y

[m]

Drgania swobodne układuPrzypadek 2 - Tłumienie krytyczne γ=ω

0=∆Pierwiastki równania kwadratowego

γ−=== rrr

02 22 =++ ωγrr0=∆

γ−=== 21 rrr

Rozwiązanie równania różniczkowego:

02 2 =++ yyy ωγ&&&

( ) ( ) trt eCtCeCtCy γ2121 +=+=

Drgania swobodne układuPrzypadek 2 - Tłumienie krytyczne γ=ω



ovvy ==&

,

( ) teCtCy γ21 +=


i po uwzględnieniu warunków początkowych


,

2Cyo =

γ21 CCvo +=

( ) tt reCetCy γγγ 21 1 ++=&


Stałe wyznaczamy z układu równań:

2Cyo =

γCCv +=

( ) teCtCy γ21 +=

gdzie:γ21 CCvo += γ−=r

oyC =2

γoo yvC −=1



m

S pt sino




( ) rt+=Szukamy wielkości z równania: ( ) rteCtCy 21 +=

γ−=r

oyC =2

γoo yvC −=1

rad/s1−=r

C1=9.95m/s

C2=0.05m



Wykres zmian przemieszczeniaw czasie. Ruch jest nie drgający


3

3.5

4

Rozwiązanie:

( ) tety rad/s1m05.0m/s95.9 −+⋅=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t [s]

0

0.5

1

1.5

2

2.5y

[m]

Drgania swobodne układuPrzypadek 3 - Małe tłumienie γ<ω

0<∆Urojone pierwiastki równania kwadratowego

22 ωγγ −−−= ir

02 22 =++ ωγrr

222 ωγ −=∆ i

ir βα −=, 221 ωγγ −−−= ir

222 ωγγ −+−= ir

Rozwiązanie równania różniczkowego: 02 2 =++ yyy ωγ&&&

( ) ( )( )tCtCey t ββα sincos 21 +=gdzie:

ir βα +=1

ir βα −=2,

γα −= 122 ωγωβ =−=

ω1 – częstość drgań swobodnych




ovvy ==&


( ) ( )( )tCtCey t ββα sincos 21 +=Cy =




1Cyo =

( ) ( )( ) ( ) ( )( )tCtCetCtCey tt ββββββα αα cossinsincos 2121 +−++=&

2221 γωγ −+−= CCvo


Stałe wyznaczamy z układu równań:

1Cyo =22 γωγ −+−= CCv, ,



2221 γωγ −+−= CCvo

oyC =1

222γω

γ−

+= oo yv

C

Drgania swobodne układuPrzypadek 3 -Zmiana formy zapisu równania ruchu

Parametry drgań swobodnych z małym tłumieniem:

( )tCey tx βα cos11

=

( )tCey t βα sin=

Składowa rzeczywista:

( )tCey tx βα sin22

=Składowa urojona:

Początkowa amplituda drgań: 22

21 CCAo +=

Faza drgań:2

1arctanC

Co =ϕ

Równanie ruchu( )o

to teAy ϕωα += 1sin


m

S pt sino

Dane: Początkowe wychylenie yo=0.05m,Początkowa prędkość vo=10m/s,Tłumienie układu γ=0.5 rad/s,Częstość drgań własnych układu ω= 1 rad/s.



Szukamy wielkości z równania:( ) ( )( )tCtCey t ββα sincos += ( ) ( )( )tCtCey t ββα sincos 21 +=

γα −=

122 ωγωβ =−=

oyC =1

222γω

γ−

+= oo yv

C

rad/s5.0−=α[ ]rad/s866.05.02 1

22 ==−= ωβC1=0.05m

C2=11.5758 m



22

21 CCAo +=

00432.0arctan2

1 ==C

Cϕ

Parametry drgań swobodnych z małym tłumieniem:

Ao=11.5759m

4

5

6

m]



Wykres zmian przemieszczeniaw czasie. Ruch drgający


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10t [s]

0

1

2

3

y [m

Rozwiązanie:

( ) ( )( )ttey t rad/s866.0sinm5758.11rad/s866.0cosm05.0rad/s5.0 += −

( )00432.0rad/s866.0sinm5759.11 rad/s5.0 +⋅⋅= ⋅− tey t

10

11

12

13

14

15

Drgania swobodne układuPrzypadek 3 - Parametry tłumienia

γ – współczynnik tłumienia

Na podstawie stosunku amplitud wyznacza się

0=++ kyycym &&&

c – współczynnik proporcjonalności tłumienia do prędkości02 =++ kyyym &&& γ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10t [s]

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y [m

]

Ao

A1A2 Równanie krzywej przerywanej

toeAy γ−=

Na podstawie stosunku amplitud wyznacza sięlogarytmiczny dekrement tłumienia

( ) 11

)(ln T

Tty

ty γ=+

=∆11ln T

A

A

n

n γ==∆ −lub

T1 – okres swobodnych drgań tłumionych

3

4

5

6

y [m

]

Drgania swobodne układu -porównanie

Wykres zmian przemieszczenia w czasie dla:

2

2.5

3

3.5

4

y [m

]

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

y [m

]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10t [s]

0

1

2

drgania2.exe

Drgania wahadła tłumione

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10t [s]

0

0.5

1

1.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10t [s]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Przypadek 1Duże tłumienie γ>ωczyli

Przypadek 3Małe tłumienie γ<ωczyli 0>∆ 0=∆ 0<∆

Przypadek 2Tłumienie krytyczne γ>ω czyli

Drgania wymuszone

ptSkyym o sin=+&&




Rozwiązanie (suma całki ogólnej i szczególnej)

po yyy +=

P.Wielgos, Ocena skuteczności działania wielokrotnych, strojonych tłumików masowych w konstrukcjach budowlanych, 2010

Wyznaczenie całki szczególnej

Rozwiązanie równania różniczkowego

Całka szczególna, przyjęta jest na podstawie założenia, że

ptSkyym o sin=+&&

Całka szczególna, przyjęta jest na podstawie założenia, że zmiana przesunięcia w czasie musi mieć podobną formę dozmian w czasie funkcji wymuszającej czyli prognozowane rozwiązanie ma formę

a jej pochodne( ) ( )ptAptAy p cossin 21 +=

( ) ( )ptpAptpAy p sincos 21 −=&

( ) ( )ptpAptpAy p cossin 22

21 −−=&&

Wyznaczenie całki szczególnej


Po podstawieniu równań z prognozowanym rozwiązaniem mamy

ptSkyym o sin=+&&

mamy( ) ( ) ( ) ( )

ptSptkAptkAptpmAptpmA

o sincossincossin 21

22

21

==++−−

Wyrazy po lewej i prawej stronie równania muszą mieć te same współczynniki czyli

a po podstawieniuoSkApmA =+− 1

21 02

22 =+− kApmA

m

k=2ω( )

m

SpA o=− 22

1 ω ( ) 0222 =− pA ω


Rozwiązanie równania różniczkowegojest równanie

gdzie

ptSkyym o sin=+&&( ) ( )ptAptAy p cossin 21 +=

( )m

SpA o=− 22

1 ω ( ) 0222 =− pA ω

1SA o=

Całka szczególna, przyjęta na podstawie założenia, że zmiana przesunięcia w czasie musi mieć podobną formę dozmian w czasie funkcji wymuszającej i ostatecznie ma formę

gdzie:

( )22

1

pm

SA o

p −=

ω

( )ptAy pp sin=

02 =A( )221

1

pm

SA o

−=

ω


Równanie różniczkowe

ptSkyym o sin=+&&Całka ogólna, która jest rozwiązaniem równania

0=+ kyym &&

Rozwiązanie, które jest sumą całki ogólnej i szczególnej

( ) ( )tAptAy op ωsinsin +=

( )tAy oo ωsin=ma formę

Całka szczególna

0=+ kyym &&

( )ptAy pp sin=



Całka szczególna


Całka szczególna

gdzie:

( ) 22222 4

1

ppm

SA o

p

γω +−=

( )ϕ−= ptAy pp sin

22

2arctan

p

p

−=

ωγϕ

DrivenSHM_pl.exe

m

k=2ωm

c=γ2


Równanie różniczkoweptSkyycym o sin=++ &&&

( ) ( )ϕϕωγ −++= − ptAteAy pot

o sinsin 1

Rozwiązanie, które jest sumą całek ogólnej i szczególnej

Współczynnik dynamiczny

Współczynnik dynamiczny jest to stosunek:

amplitudy drgań wywołanychsiłą zmienną w czasie

S=Sosin(pt)

A(t)siłą zmienną w czasie z amplitudą siły So

do

przemieszczenia statycznego wywołanego siłą So - yst

A(t)

S=Sosin(pt)

Ap=A(t)

So

yst

Współczynnik dynamiczny drga ń wymuszonych nie tłumionych

( )1S

A o=

Maksymalna amplituda drgań wymuszonych nie tłumionych – układ drgający S=Sosin(pt)

A(t)

( )22

1

pm

SA o

p −=

ω

k

Sy o

st =

Przemieszczenie punktu konstrukcji o sztywności k- Brak drgań

A(t)

S=Sosin(pt)

Ap=A(t)

So

yst

Współczynnik dynamiczny drga ń wymuszonych nie tłumionych

1S2ωm

Sy o

st =

Z definicji częstości drgań własnych wynika:

2ωmk = czyli

( )22

1

pm

SA o

p −=

ω

ωm

( )222

2

2

22

1

11

1

−=

−=−=

ωω

ω

ω

ωβpp

m

Spm

S

o

o

st

p

y

A=β

Współczynnik dynamiczny drga ń wymuszonych tłumionych

Amplituda drgań wymuszonych tłumionych

( )1S

A op =

k

Sy o

st =

Przemieszczenie punktu konstrukcji o sztywności k

( ) 22222 4 ppmAp

γω +−=

2ωm

Sy o

st =

Współczynnik dynamiczny drga ń wymuszonych tłumionych

st

p

y

A=β ( )

2

22222

14

1

ω

γωβ

m

Sppm

S

o

o

+−=

2ωm

22

22

41

1

+

−

=

ωγ

ω

βpp

Rezonans drga ń

Współczynnik dynamiczny dla drgań wymuszonych tłumionych

2

1=β

Jeżeli , to p→ω

22

22

41

+

−

=

ωγ

ω

βpp

γβ

2

1=

Rezonans drga ń

2

1

1

−=

ω

βp

Współczynnik dynamiczny dla drgań wymuszonych nie tłumionych

Jeżeli , to p→ω ∞→β ωJeżeli , to ∞→β

W przypadku wymuszania drgań z częstością zbliżoną do częstości drgań własnych następuje znaczący wzrost amplitudy drgań. W przypadku braku tłumienia amplituda dąży do nieskończoności.

Rezonans drga ń

µ - amplituda

ωγ=b

Z. Dyląg i in., Mechanika budowli.

ω

Link do rezonansu:http://www.edukator.pl/Drgania-wymuszone,8067.html

Koniec

http://www.edukator.pl/

drgania1.exe

Drgania własneKoniec

drgania2.exe

Drgania wahadła tłumione

Drgania układu o jednym stopniu swobody

Documents

Transcript of Drgania układu o jednym stopniu swobody