ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET

TECHNOLOGICZNY

w Szczecinie

MOPOINDOHCAZ

UN

IWERSYT

CH

OR

KI

S

E TT E NOOL

GICZN

Y

KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z metody elementów skończonych

Ćwiczenie nr 9

Drgania własne belki, utwierdzonej jednym końcem

Opracował: Dr inż. Mariusz Leus

Szczecin 2012

- 2 -

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie częstotliwości drgań własnych i postaci drgań własnych belki utwierdzonej jednym końcem. Wyznaczone wartości częstotliwości drgań własnych należy porównać z wartościami obliczonymi analitycznie. Opis zadania

Przedmiotem obliczeń jest belka AB o przekroju kołowym utwierdzona jednym końcem jak pokazano na zamieszczonym rysunku.

Rys. 1. Schemat modelu belki i podparcia Dane do obliczeń: d = 0.02 m, l = 0.5 m

Belka wykonany jest ze stali konstrukcyjnej o module Younga E = 2.1·105 N/mm2, gęstości ρ = 7700 kg/m3 i współczynniku Poissona ν = 0.28.

KOLEJNE ETAPY ROZWIĄZYWANIA ZADANIA

I. Wyznaczenie częstotliwości drgań własnych belki metodą analityczną

Częstotliwości drgań własnych belki dla drgań giętych metodą analityczną wyznaczamy ze wzór:

A

JE

lf n

n ⋅⋅⋅

⋅=

ρπα

2

2

2

gdzie: n – numer częstotliwości, α1 = 1.875, α2 = 4.694, αn = (n-0.5)*π dla n = 3,4,..,∞, l – długość belki, E – moduł Younge’a, J – moment bezwładności przekroju, ρ – gęstość materiału, A – pole przekroju poprzecznego. Moment bezwładności J:

4944

m 10854.764

02.0

64−⋅=⋅=⋅= ππ d

J

Pole przekroju A:

2422

m 10142.34

02.0

4−⋅=⋅=⋅= ππ d

A

- 3 -

Wyznaczamy 4 pierwsze częstotliwości drgań własnych [Hz] belki dla drgań giętych:

Hz 44.58142.37700

10854.7101.2

5.02

875.14

911

2

2

1 =⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

= −

−

πf

Hz 27.366142.37700

10854.7101.2

5.02

694.44

911

2

2

2 =⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

= −

−

πf

( )( )Hz 40.1025

142.37700

10854.7101.2

5.02

5.034

911

2

2

3 =⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅−= −

−

ππ

f

( )( )Hz 79.2009

142.37700

10854.7101.2

5.02

5.044

911

2

2

4 =⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅−= −

−

ππ

f

Otrzymane wartości należy porównać z wartościami obliczonymi w Nastranie FX.

II. Wyznaczenie częstotliwości drgań własnych belki w Nastranie FX

Przygotowanie modelu do obliczeń

Ustalenie parametrów początkowych

1. Rozpoczynamy nowy projekt, wybierając w Głównym Menu: File → New. W okienku Analysis Setting zaznaczamy typ modelu (3D/General) oraz wybieramy system jednostek (N, m, J, sek.).

Wybór zatwierdzamy klikając na klawisz OK .

2. Projekt zapisujemy pod nazwą: Drgania belki.fnb, wybierając w Głównym Menu: File → Save As....

Określenie materiału

1. Definiujemy rodzaj materiału. W tym celu w drzewku Model – Works wybieramy Material , a następnie za pomocą prawego przycisku myszy (PPM) – Add → Isotropic….

- 4 -

W okienku Create/Modify Isotropic Material wybieramy przycisk DB. W kolejnym okienku – Material DB – definiujemy rodzaj materiału, jako stal stopową (Alloy Steel).

Wybór zatwierdzamy naciskając przycisk Close w aktualnie otwartym okienku i klawisz OK – w poprzednim.

Określenie własności modelu

1. Definiujemy ogólne właściwości modelu. W tym celu w drzewku Model – Works wybieramy Property, a następnie za pomocą PPM – Add → 1D....

2. W okienku Create/Modify 1D Property, w zakładce Beam: wybieramy zdefiniowany wcześniej rodzaj materiału (1: Alloy Steel) oraz klikamy na klawisz Section (PBEAML)... . W kolejnym okienku – Section Temlate – definiujemy wartość promienia kołowego przekroju belki równą 0.01 m. Po wyborze rodzaju materiału i zdefiniowaniu przekroju automatycznie uzupełnione zostaną wartości: przekroju poprzecznego (Cross Sectional Area), momentów bezwładności przekroju (Area Moment of Inertia) oraz sztywności geometrycznej przekroju (Torsional Constant).

- 5 -

Wybór zatwierdzamy dwukrotnie naciskając przyciski OK .

Tworzenie geometrii modelu

1. Definiujemy punkty geometrii belki. Wybierając w Głównym Menu: Geometry → Point → Create..., wywołujemy okienko Create Point, w którym definiujemy współrzędne punktów geometrii modelu belki: A (0, 0, 0), B (0.5, 0, 0).

Tworząc kolejne punkty należy pamiętać o podaniu ich nazwy (w tym przypadku odpowiednio: „A”, „B”). Zatwierdzenie współrzędnych danego punktu następuje przez kliknięcie na klawisz Apply . Proces tworzenia wszystkich punktów kończymy naciskając przycisk OK . Na rys. 2a przedstawiono widok ogólny utworzonych w podany sposób punktów geometrii modelu belki.

2. Analogicznie tworzymy linię łączącą zdefiniowane wyżej punkty. Wybierając w Głównym Menu: Geometry → Curve → Create 3D → Line..., wywołujemy okienko 3D Line, w którym definiujemy linię przez wskazanie punktów A i B. Widok ogólny modelu fizycznego pręta pokazano na rys. 2b.

- 6 -

Rys. 2. Proces tworzenia modelu fizycznego belki:

a) punkty geometrii, b) linia łącząca punkty geometrii

Tworzenie elementów skończonych

1. Tworzymy podział linii na belkowe elementy skończone. Wybierając w Głównym Menu: Mesh → 1D Mesh → Auto Mesh Edge..., wywołujemy okienko Auto-Mesh Edge, w którym mamy możliwość wyboru linii oraz sposobu podziału linii na elementy belkowe. Definiując liczbę elementów belkowych, wykorzystujemy jeden z czterech sposobów podziału linii (Seeding Method), polegających na wskazaniu liczby elementów na linii (Number of Divisions). Zaznaczamy utworzona przez nas linię i podajemy NoD = 10.

2. W celu wyświetlenia punktów węzłowych, w drzewku Model – Works wybieramy Mesh → Mesh Set → Auto-Mesh(Edge), a następnie za pomocą PPM – Display → Node. W

- 7 -

podobny sposób można wyświetlić numer węzła (Display Node ID) lub elementu (Display Element ID).

Siatkę elementów skończonych dla belki pokazano na rys. 3.

Rys. 3. Siatka elementów skończonych

Utwierdzanie belki

1. Utwierdzamy węzeł belki w punkcie A. W tym celu w drzewku Analysis – Works wybieramy Boundary Condition, a następnie za pomocą PPM – Add → Constraints ….

2. Zamocowanie w punkcie A jest utwierdzeniem całkowitym – należy zatem w tym punkcie odebrać wszystkie stopnie swobody. Po otwarciu okna Constraint nadajemy nazwę „P_A” wskazujemy odpowiedni węzeł i blokujemy przemieszczenia i rotacje względem osi x, y i z (naciskając przycisk Fixed). Wykonane czynności zatwierdzamy przez kliknięcie na klawisz OK .

- 8 -

Uruchomienie obliczeń

1. Definiujemy typ analizy. W Głównym Menu wybieramy: Analysis → Analysis Case.... W okienku Analysis Case Manager naciskamy na przycisk Add….

2. W kolejnym okienku – Add/Modify Analysis Case – wpisujemy nazwę przypadku analizy (Title = Drgania belki) oraz określamy rodzaj analizy (Solution Type = Modal (103)).

- 9 -

Wybór zatwierdzamy klikając na klawisz OK w aktualnie otwartym okienku i na klawisz Close – w oknie Analysis Case Manager. 3. Uruchamiamy obliczenia. W tym celu w drzewku Analysis – Works wybieramy Analysis Case → Drgania belki: Modal (103), a następnie za pomocą PPM – Solve….

W okienku Solver Manager zaznaczamy zdefiniowany wcześniej typ analizy oraz naciskamy na przycisk OK .

Prezentacja graficzna wyników

Częstotliwości drgań własnych belki

1. W celu odczytania wyznaczonych częstotliwości drgań własnych belki przechodzimy do drzewka Results. W drzewku tym zostały wyświetlone kolejno wyznaczone numery postaci drgań (MODY ) i odpowiadające im częstotliwości.

- 10 -

Otrzymane wyniki należy porównać z wynikami wyznaczonymi analitycznie.

Postacie drgań własnych belki

1. W celu graficznej wizualizacji wyznaczonych postaci drgań własnych belki zmieniamy widok na Isometric 2 klikając na ikonkę . Należy również wyłączyć wyświetlanie punktów węzłowych (te same czynności jak przy włączaniu, przy czyn teraz należy odznaczyć pozycje Node). Następnie w drzewku Results wybieramy MODE 1 → Displacement i dwukrotnie klikamy na TOTAL TRANSLATION.

2. W celu wyświetlenia sekcji belki, w drzewku Model – Works wybieramy Property → 1D → 1D Property (Beam), a następnie za pomocą PPM – Show Section.

- 11 -

3. W celu włączenia animacji należy z Paska narzędzi wybrać zakładkę Post Style a następnie kliknąć na ikonę Animation Recording.

Na ekranie powinno pojawić się menu do uruchamiania animacji – włączenie animacji następuje poprzez kliknięcie ikony Record Button.

4. Powyższe operacje wykonać dla pozostałych wyznaczonych postaci drgań (MODÓW ).

- 12 -

III. Porównanie wyników obliczeń

Częstotliwości drgań własnych belki dla drgań giętych

f1 [Hz] f2 [Hz] f3 [Hz] f4 [Hz]

Metoda analityczna

58.44 366.27 1025.40 2009.79

Nastran FX 58.40 364.06 1011.42 1961.90

Błąd [%] 0.068 0.603 1.363 2.383