Małe drgania wokół położenia

równowagi.

Potencjał układu wykonującego małe drgania

Analizujemy układy dla których potencjał V(q=q1,q2,…..,qf ) posiada minimum dla określonych wartości współrzędnych uogólnionych qi ( i=1,2,…f-liczba stopni swobody), któremu to położeniu odpowiada stabilne położenie równowagi. Możemy dokonać transformacji tych współrzędnych tak by w położeniu tym

wszystkie współrzędne były równe zeru qi=0 skąd wynika iż

Dodatkowo korzystając z dowolności wyboru potencjału z dokładnością do stałej przyjmujemy iż V(q=0)=0.

Dalej zakładamy iż potencjał jest opisany jednorodną funkcją kwadratową

współrzędnych uogólnionych

Relacja taka może być spełniona ścisłe lub też w sposób przybliżony w przypadku gdy w trakcie ruchu układ jest blisko położenia równowagi. Wówczas rozwijając potencjał w szereg Taylora i pomijając wyrazy proporcjonalne do iloczynu trzech

i więcej współrzędnych uogólnionych dostajemy

∑∑∑∑

∑∑∑

= == =

= ==

==∂∂

∂≈

≈+=∂∂

∂+=

∂

∂+==

f

k

f

l

lkkl

f

k

f

l

lk

lk

f

k

f

l

lk

lk

f

k

k

k

qqKqqqqq

V

qqqqq

Vqq

q

VqVqV

1 11 1

2

1 1

2

1

2

1)0(

2

1

....)0(2

1)0()0()(

( ) ),.,,1(00 fiqq

V

i

===∂

∂

gdzie )0(2

=∂∂

∂== q

qq

VKK

lk

lkkl

∑∑= =

=f

k

f

l

lkkl qqKqV1 12

1)( lkkl KK =gdzie

stałe

Energia kinetyczna układu wykonującego małe drgania

Przyjmujemy ponadto iż energia kinetyczna T jest jednorodną funkcją kwadratową

prędkości uogólnionych

Relacja taka zachodzi zawsze gdy w układzie w którym opisujemy ruch zależności współrzędnych kartezjańskich od uogólnionych nie zawierają explicite czasu czyli

Wówczas

gdzie

Dalej wprowadzamy przybliżenie

Gdy zależą od współrzędnych uogólnionych q to przyjmujemy za Mkl ich

wartości dla q=0 (uwzględniamy fakt iż zarówno współrzędne jak i prędkości uogólnione są małe w trakcie ruchu). Przy tych założeniach

( ) ( ) lf

l

f

k

kkl qqqaqqT &&& ∑∑= =

=1 12

1,

Mkl- stałe nie zależne od współrzędnych i prędkości uogólnionych określone jako

akl(q=0) , Mkl=Mlk

( ) ( )qaqa lkkl =

( )qxx jj =

l

f

l l

j

j qq

xx && ∑

= ∂

∂=

1

∑∑∑= ==

==f

k

f

l

lkkl

n

j

jjqqqa

xmT

1 1

3

1

2

)(2

1

2&&

&

l

jn

j k

j

jklq

x

q

xmqa

∂

∂

∂

∂=∑

=

3

1

)(

( ) lf

l

f

k

kkl qqMqTT &&& ∑∑= =

==1 12

1

kla

)0()( ==≈ qaMqa klklkl

( )

∑∑

∑

==

=

−=⇒==∂

∂−

∂

∂

−=−=

f

l

ljl

f

l

ljl

jj

f

lk

lkkllkkl

qKqMfjq

L

q

L

dt

d

qqKqqMVTL

11

1,

,,2,1,0

2

1

&&K&

&&

Funkcja Lagrange’a i równania Lagrange’a II rodzaju układu wykonującego małe drgania

Funkcja Lagrange’a

Równania Lagrange’a II rodzaju

Wprowadźmy macierze symetryczne i rzeczywiste czyli macierze będące macierzami

hermitowskimi

l

f

l

f

k

kkl qqMT &&∑∑= =

=1 12

1 lkkl MM =

Macierze te są dodatnio określone czyli dla dowolnej rzeczywistej macierzy

kolumnowej x≠0 mamy ( xT- macierz transponowana).

Wynika to z faktu iż dla dowolnych wartości współrzędnych i prędkości uogólnionych

w pobliżu położenia równowagi (gdy ) zachodzi

01 1

>∑∑= =

f

k

f

l

lkkl qqK01 1

>∑∑= =

f

k

f

l

lkkl qqM &&

qq &,

∑∑= =

=f

k

f

l

lkkl qqKV1 12

1

lkkl KK =Mkl,Kkl--stałe

( ) ∑∑

∑ ∑

==

= =

=

+=

=

+=

∂

∂

f

l

ljl

f

l

lljjl

f

l

f

k

kkjljl

j

qMqMM

qMqMq

L

11

1 1

2

1

2

1

&&

&&&

0≠q& 0≠q

[ ] [ ]

==

==

ffff

f

f

kl

ffff

f

f

kl

KKK

KKK

KKK

KK

MMM

MMM

MMM

MM

21

22221

11211

21

22221

11211

ˆˆ

0ˆ,0ˆ >> xKxxMx TT

( )

( )( )

( )

( ) ( )ϕωϕω +=+

=

= tCt

C

C

C

tq

tq

tq

tq

ff

coscos2

1

2

1

MM

Rozwiązania równań Lagrange’a poszukujemy w postaci

Po wstawieniu zapostulowanej postaci rozwiązań do równań Lagrange’a

uwzględniając to iż otrzymujemy równanie:

Równanie to ma niezerowe rozwiązania C≠0 pod warunkiem, że

Równanie charakterystyczne

( )[ ]

[ ]fT

f

T

fff

TT

qqqq

qqqq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qqKqMqKqqMqL

&&&&&&

&&

&&

&&

&

&

&

&M

&&&&

21

212

1

2

1

2

1

,,gdzie,ˆˆ,ˆˆ2

1

=

=

=

=

=−=−=

Zapisane przy pomocy tych macierzy funkcja Lagrange’a i równania Lagrange’a mają postać

Rozwiązując to równanie można określić f dozwolonych częstości ωi drgań układuSymetryczność i dodatnia określoność macierzy i zapewnia to iż (i=1,..,f)

są rzeczywiste oraz czyli częstości drgań są rzeczywiste.

gdzie

=

fC

C

C

CM

2

1

qq 2ω−=&& ( ) ( )ϕωϕωω +−=+− tCKtCM cosˆcosˆ2

02 >iω

M̂ K̂2

iω

( ) 0ˆˆ 2 =− CMK ω

( ) 0ˆˆdet 2 =− MK ω

które musi być spełnione dla dowolnego czasu t skąd wynika równanie:

Dla każdej częstości (i=1….,f) można znaleźć relacje między elementami

macierzy kolumnowej z równania

Gdy wszystkie częstości są różne to równanie te pozwala na wyznaczenie elementów

macierzy C(i) ( która może być rzeczywista ) z dokładnością do jednej stałej.

Gdy za stałą dowolną wybierzemy element (co jest możliwe gdy ) to zależności od czasu współrzędnych q1,…,qf związane z drganiem o częstości

gdzie

przy czym gdzie wyznacznik macierzy powstałej przez

skreślenie 1 wiersza i j kolumny w macierzy

Ogólna zależność q1,…,qf od czasu ma postać superpozycji drgań normalnych o różnych

częstościach

Wielkości to współrzędne normalne (zwykle się je dodatkowo przeskalowuje). 2f stałych dowolnych oraz można wyznaczyć z warunków początkowych ruchu. Możliwy jest ich dobór tak by obserwowane było drganie o jednej częstości

iω

=

)(

)(

2

)(

1

)(

i

f

i

i

i

C

C

C

CM

( ) 0ˆˆ )(2 =− ii CMK ω

)(.

)( iozn

i

m AC = 0)( ≠imC

0≠iω

( )[ ] iijiiiijij utAq ~~

cos~ )()()()( ∆=+∆= ϕω )(

)(

)(~i

m

i

ji

jC

C=∆

( )( ) )(1

)(1

)(

1

1~i

m

m

i

j

j

i

j∆−

∆−=∆

+

+

)(i

j∆

MK iˆˆ 2ω−

( )iii

i tAu ϕω += cos~ )(

∑∑==

∆==f

i

i

i

j

f

i

i

jj uqq1

)(

1

)( ~~

)(iA

iu~

iϕ

Ogólne rozwiązanie opisujące drgania (gdy dla każdego i ) można zapisać też

oczywiście w postaci

z macierzami kolumnowymi spełniającymi równanie (*)

Gdy niektóre z częstości drgań są jednakowe np. to wówczas nakłada się

na i dodatkowy warunek: gdzie

Gdy warunek powyższy jest spełniony automatycznie. Warunek ten razem z warunkiem (*) zapewnia możliwość określenia wszystkich elementów macierzy z

dokładnością do jednej stałej także wówczas gdy i przedstawienia drgań w postaci superpozycji drgań normalnych o jednakowych lub różnych częstościach

Moduł stałej można interpretować jako amplitudę drgań współrzędnej qj podczas drgań harmonicznych zachodzących z częstością .

Ewentualny przeciwny znak stałych i oznacza że w i-tym modzie drgańzachodzącym z częstością zmiany współrzędnych qj oraz qk wynikają z drgańzachodzących w przeciwnych fazach , zaś jednakowy znak obu stałych oznacza iżzmiany tych współrzędnych w tym modzie wynikają z drgań zachodzących w tej samej fazie

( ) ( )∑∑==

+=⇒=+=f

i

ii

if

i

ii

i

jj tCqfjtCq1

)(

1

)( cos,....,2,1cos ϕωϕω

)( jC

)(iC 0ˆ)()( =iTj CMC

ji ωω =

[ ])()(1)( ,........ jfjTj CCC =

ji ωω ≠

0≠iω

( ) 0ˆˆ )(2 =− ii CMK ω

=

)(

)(

2

)(

1

)(

i

f

i

i

i

C

C

C

CM

ji ωω =

)(iC

)(i

jC

iω)(i

jC )(ikC

iω

ij ≠

Dygresja: Gdy jedna z częstości np. m-ta co jest możliwe gdy dla pewnego

zestawu współrzędnych q z otoczenia q=0 ( z których nie wszystkie się zerują )

mamy (macierz K nie jest określona dodatnio ale ,,nieujemnie’’) to

zależność m-tej współrzędnej normalnej od czasu może być opisana funkcją liniową

czasu . Opisywany mod nie odpowiada wówczas drganiom lecz ruchowi (najczęściej

translacyjnemu) układu zachodzącemu w sposób nie zmieniający energii potencjalnej

układu. Wówczas w ogólnym rozwiązaniu należy zastąpić przez wyraz

gdzie - stała zależna od warunków początkowych ruchu.

01 1

=∑∑= =

f

k

f

l

lkkl qqK

0=mω

( )mmt ϕω +cosmt γ+ mγ

Informacje dla zainteresowanych (slajdy 10-11)

Dowód iż częstości drgań są rzeczywiste(nie korzystamy z założenia iż macierz jest rzeczywista)

Pokazujemy iż liczba jest rzeczywista gdzie oznacza macierz transponowaną i sprzężoną w sposób zespolony do macierzy A pokazując iż zachodzi

Podobnie można pokazać iż czyli liczba

jest także rzeczywista

Dalej można pokazać iż ponieważ

to

( )( ) ( ) )(*)(*)(*)( ˆˆ iTiiTi CKCCKC =( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) )(*)(**)(**)(*)(*)(

*)(*)(

*)(*)(

*)(*)(

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆ

iTiTTiTTi

TiTiTTT

T

TiTiiTiiTi

CKCCKCCKCABCCBA

CKCCKCliczbaCKC

==⇒=

=⇒=

( ) *TA

( )( ) ( ) )(*)(*)(*)( ˆˆ iTiiTi CMCCMC =

( ) 0ˆˆ )(2 =− ii CMK ω( ) ( ) ( ) )(*)(2)(2*)()(*)( ˆˆˆ iTiiii

TiiTiCMCCMCCKC ωω ==

Ponieważ macierze i są określone dodatnio i rzeczywiste to dla dowolnych

zachodzi

a zatem z relacji (*) wynika iż a zatem są rzeczywiste i różne od

zera (można je przyjąć jako liczby dodatnie)

0ˆ )(*)( >iTi CKC0ˆ )(*)( >iTi CMC

(*)

02 >iω

M̂

( ) )(*)( ˆ iTi CKC)(i

C

A zatem są liczbami rzeczywistymi2

iω

iω

( ) )(*)( ˆ iTi CMC

K̂0)( ≠iC

-symetryczna i

rzeczywista K̂

(Dygresja : W układach w których może też zajść

dla pewnego i np. i=m i wówczas częstość )

Analogiczny dowód tego iż opiera się na tym iż wokół położenia

równowagi dla dowolnych zachodzi )

Dowód tego iż gdy

Wszystkie wyrazy macierzy można przyjąć w postaci liczb rzeczywistychJeżeli macierz zespolona spełnia równanie

a macierze oraz a także wielkości są rzeczywiste to również

macierze oraz kombinacje liniowe oraz

spełniają to równanie. Przy tym macierze oraz są

rzeczywiste a jedna z nich jest na pewno różna od zera. A zatem macierz

spełniająca równanie można przyjąć jako rzeczywistą

)(iC

)(iC

( ) 0ˆˆ )(2 =− ii CMK ω

K̂ M̂2

iω

( )*)(iC ( )*)()( ii CC + ( )( )*)()( ii CCi −( )*)()( ii CC + ( )( )

*)()( iiCCi −

( ) 0ˆˆ )(2 =− ii CMK ω0)( ≠iC

0ˆ )(*)( >iTi CKC

0ˆ )(*)( >iTi CMC

[ ] [ ])()()()()()()()(

)()()()()()()()()(*)(

ImˆImReˆReImˆReReˆIm

ImˆImReˆReImReˆImReˆ

iTiiTiiTiiTi

iTiiTiiiTiTiiTi

CMCCMCCMCiCMCi

CMCCMCCiCMCiCCMC

+=+−

++=+−=

Ponieważ dla dowolnych mamy

to dla dowolnych

02

1

1 1

>= ∑∑= =

f

k

f

l

lkkl qqMT &&

0ImˆImReˆRe)(*)()(*)( >+ iTiiTi CMCCMC

0≠q&

01 1

≥∑∑= =

f

k

f

l

lkkl qqK 0ˆ)(*)( =iTi CKC

01 1

>∑∑= =

f

k

f

l

lkkl qqK0≠q

( ) ( ) 0ˆ/ˆ )(*)()(*)( == mTmmTmm CMCCKCω

0)( ≠iC )(*)( ˆ iTi CMC -liczba rzeczywista

0)( ≠iC

0ˆ)()( =iTj CMCDowód iż gdy ji ωω ≠

( ) )()(2)(2)()()()(2 ˆˆˆ0ˆˆ iTjiiiTjiTjii CMCCMCCKCCMK ωωω ==⇒=−

( ) ( ) ( )( ) )()(2)()(2)()(2

)()(2)()()()()()(

ˆˆˆ

ˆˆˆˆ

iTj

j

iTTj

j

iT

j

j

iT

j

j

iT

jiT

jTiTj

CMCCMCCCM

CCMCCKCCKCKC

ωωω

ω

===

===

)()(2)()(2)()( ˆˆˆ iTjj

iTj

i

iTjCMCCMCCKC ωω ==

Zakładamy iż i są macierzami rzeczywistymi i symetrycznymi . Zakładamy też iż macierze i są rzeczywiste Można pokazać iż

Z drugiej strony

A zatem

W przypadku gdy równość

może być spełniona tylko wówczas gdy

ji ωω ≠ ( ) ( ))()(2)()(2 ˆˆ iTjjiTji CMCCMC ωω =0ˆ )()( =iTj CMC

K̂ M̂)(iC TiC )(

( ) TTT ABBA ˆˆˆˆ = ( ) 0ˆˆ )(2 =− jj CMK ω

Przykład

1α

2α

y

x

1m1

m2

2

1l

2l

111 cosαly −=

111 sinαlx =

22112 sinsin αα llx +=

22112 coscos αα lly −−=

( ) 1111 cos αα && lx =

( ) 1111 sin αα && ly =

( ) ( ) 2221112 coscos αααα &&& llx +=

q1=α1,q2=α2 –współrzędne uogólnione

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) 212121222222121221211

212121212

2

2

2

2

2

1

2

122

1

2

11

2

2

2

222

1

2

11

cos22

sinsincoscos22

22

ααααααα

ααααααααα

&&&&&

&&&&&

&&&&

−+++=

=++++=

=+++=

llmllm

lm

llmllm

lm

yxm

yxm

T

Energia kinetyczna

( ) ( ) 2221112 sinsin αααα &&& lly +=

Zbadanie ruchu wahadła podwójnego o l1=l

2=l i m

1=m

2=m w przybliżeniu

małych drgań

W położeniu równowagi α1=α2=0

W celu możliwości zapisu w postaci wzoru ogólnego

trzeba korzystając z faktu iż dokonać przybliżenia

co prowadzi do wyniku

( ) ( ) 212121222222121221211 cos22

ααααααα &&&&& −+++= llmllm

lm

T

1,1 21

W celu możliwości zapisu w postaci wzoru ogólnego

trzeba korzystając z faktu iż dokonać przybliżeń

co prowadzi do wyniku

A zatem

Energia potencjalna

( ) ( ) ( )[ ]=+−−==+=

22112111

2211

coscoscos ααα llgmglm

gymgymV

( ) constKKKKV ++++= 12212112222221112

1αααααα

1,1 21

( ) ( )ϕωϕωα

αα +

=+=

= t

C

CtC coscos

2

1

2

1

=

=

mgl

mgl

KK

KKK

0

02ˆ

2221

1211

=

=

22

22

2221

1211 2ˆmlml

mlml

MM

MMM

02

1

2

1

2

1

2

1

=+⇔−= ∑∑∑∑==== l

lkl

l

lkl

l

lkl

l

lkl KMKM αααα &&&&

Równania Lagrange’a II rodzaju

można zapisać w postaci

Ich rozwiązania poszukujemy w postaci

Po wstawieniu ich do równań

Lagrange’a II rodzaju otrzymujemy

układ 2 równań

00 222

1

2

222121222121 =++⇒=+++ ααααααα mglmlmlKKMM &&&&&&&&

( ) ( )( ) ( )ϕωωαϕωα

ϕωωαϕωα

+−=⇒+=

+−=⇒+=⇒

tCtC

tCtC

coscos

coscos

2

2

222

1

2

111

&&

&&

( )[ ] ( ) 0cos22 222122 =+−− ϕωωω tCmlCmlmgl( )[ ] ( ) 0cos222122 =+−+− ϕωωω tCmlmglCml

( ) ( ) mglmglmglmlmlmlmlVTL 322

12

2

1 22

2

112

2

21

22

2

22

1

2 ++−+++≈−= αααααααα &&&&&&

0220 122

1

2

212111212111 =++⇒=+++ ααααααα mglmlmlKKMM &&&&&&&&

00 212

2

2

22

=++⇒=∂

∂−

∂

∂ααα

ααmglmlml

LL

dt

d&&&&

&

0220 122

1

2

11

=++⇒=∂

∂−

∂

∂ααα

ααmglmlml

LL

dt

d&&&&

&

k=1

k=2

=

=

22

22

2221

1211 2ˆmlml

mlml

MM

MMM

Otrzymaliśmy układ równań jednorodnych na współczynniki C1 i C2 o postaci

Ma on rozwiązanie niezerowe tylko wówczas gdy

Dozwolone częstości drgań ω spełniają warunek

( )( ) 02

0ˆˆdet

442222

2

=−−⇒

⇒=−

ωω

ω

lmmlmgl

MK

( )[ ] ( ) ( ) 0220cos22 222122222122 =−−⇒=+−− CmlCmlmgltCmlCmlmgl ωωϕωωω

( )[ ] ( ) ( ) 00cos 222122222122 =−+−⇒=+−+− CmlmglCmltCmlmglCml ωωϕωωω

( ) 022ˆˆdet2222

2222

2 =−−

−−=−

ωω

ωωω

mlmglml

mlmlmglMK

=

=

mgl

mgl

KK

KKK

0

02ˆ

2221

1211

( ) 022ˆˆ2

1

2222

2222

2 =

⋅

−−

−−=−

C

C

mlmglml

mlmlmglCMK

ωω

ωωω

( ) 22222 ωω mlmlmgl −=−

( ) 22222 ωω mlmlmgl =−

Macierze odpowiadające ωi wyznaczamy z dokładnością do stałej z

równania

=

)1(

2

)1(

1)(

C

CC

i

( )

=⇒=⇒=

⋅

+−−−

−−+−⇒−==

)2(

1

)2(

1)2()2(

1

)2(

2)2(

2

)2(

1

22

20)21()22(

)22()21(222

C

CCCC

C

C

mglmgl

mglmgl

l

gωω

Pełne rozwiązanie będące superpozycją drgań o znalezionych częstościach ma postać

zależną od stałych , które można wyznaczyć z warunków początkowych

ruchu

( ) ( ) ( ) ( )22)2(1

)2(

1

11)1(

1

)1(

1

22

)2(

11

)1(

2

1cos

2cos

2coscos ϕωϕωϕωϕω

α

αα +

++

−=+++=

= t

C

Ct

C

CtCtC

( ) 22222 ωω mlmlmgl −=−

( ) 22222 ωω mlmlmgl =−

( )221 +=l

gω

( )222 −=l

gω

( ) 122

12

22 +=−

=l

g

l

gω

( ) 122

12

22 −=+

=l

g

l

gω

( ) 022ˆˆ)(

2

)(

1

2222

2222

)(2 =

⋅

−−

−−=−

i

i

ii

iii

iC

C

mlmglml

mlmlmglCMK

ωω

ωωω

( )

−=⇒−=⇒=

⋅

−−+−

+−−−⇒+==

)1(

1

)1(

1)1()1(

1

)1(

2)1(

2

)1(

1

12

20)21()22(

)22()21(222

C

CCCC

C

C

mglmgl

mglmgl

l

gωω

2

)2(

11

)1(

1 ,, ϕϕ CC

( ) ( ) 10/20,10/0 21 παπα ==== tt

( ) ( ) 00,00 21 ==== tt αα &&l =1m

0,10

,0,0 2)2(

11

)1(

1 ====⇒ ϕπ

ϕ CC

( ) ( ) 10/20,10/0 21 παπα −==== tt

( ) ( ) 00,00 21 ==== tt αα &&l =1m

0,0,0,10

2

)2(

11

)1(

1 ====⇒ ϕϕπ

CC

( ) ( ) 00,10/0 21 ==== tt απα

( ) ( ) 00,00 21 ==== tt αα &&

l =1m

Małe drgania wokół

położenia równowagi-współrzędne normalne.

( ) ( )

[ ] [ ]

[ ] [ ]

==

==

==

=

=−=−=−= ∑=

ffff

f

f

kl

ffff

f

f

kl

f

T

f

T

ff

TTf

lk

lkkllkkl

KKK

KKK

KKK

KK

MMM

MMM

MMM

MM

qqqqqqqq

q

q

q

q

q

q

q

qqKqqMqqqKqqMVTL

21

22221

11211

21

22221

11211

2121

2

1

2

1

1,

ˆˆ

gdzieˆˆ2

1

2

1

&&&&

&

M

&

&

&M

&&&&

Funkcja Lagrange’a w przybliżeniu małych drgań

Równania Lagrange’a II rodzaju

A ich rozwiązania można zapisać w postaci superpozycji drgań normalnych

zachodzących z częstościami spełniającymi równanie

Poszukujemy nowych współrzędnych uogólnionych (i=1,…,f) w których równania te

przyjmą postać .Problem ten sprowadza się do znalezienia

transformacji diagonalizującej jednocześnie macierze M i K. Dodatkowo zwykle

żądamy by macierz M po diagonalizacji była jednostkowa, a elementy macierzy K po

diagonalizacji były równe kwadratom częstości drgań dzięki czemu

iu02 =+ iii uu ω&&

( )∑=

−=f

k

kkk uuL1

222

2

1ω&

2

iω 0)ˆˆdet(2 =− MK iω

lkkl MM = lkkl KK =

0ˆˆ,,2,1,011

=+⇒+⇒==∂

∂−

∂

∂∑∑

==

qKqMqKqMfjq

L

q

L

dt

d f

l

ljl

f

l

ljl

jj

&&&&K&

Informacje dla zainteresowanych (slajdy 26-32)

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )iif

i

if

i

ii

iT

TTTT

TT

TTTTTT

TTTT

TTT

tCtCRqRqRKRRKRK

qKqqMqqRRKRqRqRRMRqR

qRRKRRqqRRMRRq

qRRKRRqqRRMRRqqKqqMqL

RMRRMRRMRMRR

ϕωϕω +=+=≡′=≡′

′′′−′′′=

−=

=−=

=−=−=

===≡′=⇒

∑∑==

−

−−−−

−−

cos'cosˆˆ,ˆˆˆˆˆˆˆgdzie

ˆˆ2

1ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2

1

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2

1

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2

1ˆˆ2

1

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,ˆˆ

1

)(

1

)(1

1111

*1*1

&&&&

&&

&&&&

Funkcje Lagrange’a można zapisać w postaci

macierz symetryczna rzeczywista transformacja do nowych współrzędnych

Ostatecznie funkcja Lagrange’a w nowych współrzędnych przyjmuje postać

Macierz M jest hermitowska, więc jej wartości własne są rzeczywiste. Wektory własne

odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne. Wektory własne odpowiadające tej

samej wartości własnej można zortogonalizować. A zatem istnieje możliwość znalezienia f

wektorów własnych ( f-wymiar macierzy) tworzących bazę ortogonalną. Ponieważ macierz M

jest hermitowska i rzeczywista to składowe wektorów własnych można wybrać tak by były

liczbami rzeczywistymi. Macierz R przejścia do bazy ortogonalnej złożona z unormowanych

ortogonalnych rzeczywistych wektorów własnych macierzy M jest unitarna i rzeczywista .

Macierz M zapisana w nowej bazie jest diagonalna.

R-macierz

unitarna

fµ

µ

µ

L

MOMM

L

L

00

00

00

2

1

Diagonalizacja macierzy M

∑∑==

′′′−′=f

lk

lkkl

f

k

kk qqKqL1,1

2

2

1

2

1&µ

Wiemy ze macierz amplitud występujących we wzorze

spełnia równanie

Mnożąc powyższe równanie lewostronnie przez macierz

i uwzględniając to iż oraz

otrzymujemy

Ponadto możemy znaleźć równanie spełnione przez macierz

amplitud występujących we wzorze

( ) 0ˆˆ )(2 =− ii CMK ω

( )∑=

+=f

i

ii

itCq

1

)( cos ϕω

( )∑=

+=f

i

ii

itCq

1

)( cos'' ϕω

)()( ˆ' ii CRC =

)(iC

( ) ( )( ) ( ) 0''ˆ'ˆ0ˆˆˆˆˆˆˆ

0ˆˆˆˆˆˆ0ˆˆˆˆˆ

)(2)(2

)(2)(12

=−⇔=−⇔

⇔=−⇔=− −

i

i

iT

i

T

iT

i

i

i

CMKCRRMRRKR

CRRMRKRCRRMKR

ωω

ωω

R̂

TRR ˆˆ 1 =− TRMRM ˆˆˆ'ˆ = TRKRK ˆˆˆ'ˆ =

fi ,..,1=

Dokonajmy kolejnej transformacji do zmiennych, w których macierz M’zostanie sprowadzona do macierzy jednostkowej

( )

flkKK

K

qKqqqqqKqqqKqL

lk

lk

klkl

TTf

lk

lkkl

f

k

k

f

lk

lkkl

f

k

kk

,,2,1,gdzie

ˆ1̂2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1,1

2

1,1

2

K

&&&&

=′′=′

≡′′

′′′′′′−′′′′=′′′′′′−′′=′′′−′= ∑∑∑∑====

µµ

µ

W nowych zmiennych funkcje Lagrange’a można zapisać w postaci

Ponadto

Macierz K’’ jest hermitowska, więc jej wartości własne są rzeczywiste. Wektory własne

odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne. Wektory własne odpowiadające tej

samej wartości własnej można zortogonalizować. A zatem istnieje możliwość znalezienia f

wektorów własnych ( f-wymiar macierzy) tworzących bazę ortogonalną . Ponieważ macierz K’’

jest hermitowska i rzeczywista to składowe wektorów własnych można wybrać tak by były

liczbami rzeczywistymi. Macierz Z przejścia do bazy ortogonalnej złożona z unormowanych

ortogonalnych rzeczywistych wektorów własnych macierzy K’’ jest unitarna i rzeczywista .

Macierz K’’ zapisana w nowej bazie jest diagonalna złozona z kwadratów czestości drgań .

Diagonalizacja macierzy K’’

flqq lll ,,2,1, K=′

≡″

µ

flCCi

ll

i

l ,....,1''')()( == µ

fk ,....,1=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0''1̂ˆ0''0'

0'0'0'ˆˆ

)(2)(2'')(2''

)(2'')(2')(2

=−′′⇔=−⇔=−

=−⇔=−⇔=′−′

∑∑

∑∑i

i

l

i

lkliklk

l

i

llkliklk

l

i

lkllkikllk

l

i

lklkikl

i

i

CKCKCK

CKCKCMK

ωδωµµδωµ

δµµωµµδµωω

''K̂ -macierz symetryczna i rzeczywista czyli hermitowska

( )iif

i

i

ll tCq ϕω +=∑=

cos''''1

)(

( ) ( )

( )

( )∑=

−−−−

−−

−=

′′≡′′′−=

=′′′′−′′′′=′′′′′′−′′′′=

=′′=′′=′′≡′′′=⇒

f

k

kkk

TT

TTTT

f

TTT

uuL

qZuuKuuu

q"ZZKZZqqZZZZqqKqqqL

ZKZZKZZKZKZZ

1

222

1111

2

2

2

2

1

*1*1

2

1

ˆgdzie,ˆ1̂2

1

ˆˆˆˆˆˆˆ1̂ˆˆ2

1ˆ1̂2

1

00

00

00

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,ˆˆ

ω

ω

ω

ω

&

&&

&&&&

L

MOMM

L

L

0'''

0

'''

0

''' )()()( ≠

= iii

i

iCCC

Funkcje Lagrange’a można zapisać w postaci

transformacja do nowych zmiennych

u tzw. współrzędnych normalnych

Ostatecznie funkcja Lagrange’a we współrzędnych normalnych przyjmuje postaćdiagonalną

Ponadto

i-ta współrzędna

Poprzez ciąg transformacji współrzędnych uogólnionych dokonaliśmy jednoczesnej diagonalizacji macierzy mas M i stałych sprężystości K.

Z-macierz

unitarna

Gdy nie ma dozwolonej częstości dla której to macierz odpowiadająca

częstości może mieć tylko jeden niezerowy element w wierszu i-tym. W przypadku

występowania częstości wielokrotnych można tak dobrać elementy macierzy by warunek ten

był również spełniony

kω ik ωω = )(''' iCiω

( ) ( ) ( ) 0'''0'''1̂ˆ0''1̂ˆ )(22)(2''')(2'' =−⇔=−⇔=− ikikiiii CCKCK ωωωω

)('')(''' ˆ ii CZC =

0)(''' =⇒≠ ikki Cωω fk ,....,1=

( )iif

i

i

ll tCu ϕω +=∑=

cos'''1

)(

( ) ( ) fitAtu

fiuu

ii

i

i

iii

,,2,1,cos

,,2,1,0

)(

2

K

K&&

=+=

==+

ϕω

ω

zaś równania Lagrange’a przyjmują postać

Zmiany każdej ze współrzędnych normalnych gdy są opisane funkcjąharmoniczną o ściśle określonej częstości. Wprowadzając oznaczenie

(równania dla jednowymiarowego oscylatora harmonicznego)

Poprzez transformację odwrotną można wrócić do zmiennych q

i zapisać drgania w pierwotnych współrzędnych uogólnionych q jako kombinację liniową modów normalnych

(drgania jednowymiarowego oscylatora)

Znalezione współrzędne to współrzędne normalne gdzieqWqRSZu ˆˆˆˆ ==

=

fq

q

q

qM

2

1

=

fu

u

u

uM

2

1

uZSRuWqTT ˆˆˆˆ 11 −− ==

IRRRRRSSR

RSZZSRRSZZSRWW

TT

TTT

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

11

1111

====

===

−−

−−−−

)()( ''' iii

CA =

0≠lω

≡

21

3

21

2

2/1

1

00

00

00

ˆ

µ

µ

µ

L

MOMM

L

L

S

We współrzędnych normalnych ( )∑=

−=f

k

kkk uuL1

222

2

1ω&

2ˆ'ˆ SM =

( ) 0ˆˆ )(2 =− ii CMK ωWiadomo iż spełniają równanie oraz równanie gdy .

=)(

)(

1

)(

i

f

i

i

C

C

C

Związek z opisuje relacja

Relacja odwrotna ma postać

A zatem można przewidzieć iż macierz występująca także w relacji

gdzie

=

0

0)(''')(''' i

i

iCC

)('''1)('''1)( ˆˆˆˆ iTTii CZSRCWC −− ==

[ ]

=== −−

)()()1(

)(

2

)(

2

)1(

2

)(

1

)(

1

)1(

1

)()()1(11 ,..,,...,ˆˆˆˆ

f

f

i

ff

fi

fi

fiTTZSRW

χχχ

χχχ

χχχ

χχχ

)('''

)(

)(

i

i

i

i

C

C=χ

( )∑=

+=f

i

ii

itCq

1

)( cos ϕω

Rozwiązanie równań Lagrange’a II rodzaju w przybliżeniu małych drgań zapisano w

ogólnej postaci

)(iC

czyli może różnić się od tylko stałą)(iC)(iχ

0ˆ)()( =iTj CMC

Rozwiązanie równań Lagrange’a II rodzaju dla współrzędnych normalnych można zapisać

w postaci gdzie ( )∑=

+=f

i

ii

itCu

1

)(''' cos ϕω

)(''' iC )()()(''' ˆˆˆˆ iii CRSZCWC ==

uWq1ˆ −=1ˆ −W

ij ≠

Stałe niezbędne do ścisłego wyznaczenia macierzy można wyznaczyćzauważając iż

Z powyższej relacji wynika iż muszą spełniać relacje

co pozwala na określenie stałych brakujących do wyznaczenia i macierzyPonadto zachodzi relacja

)(iχ

( ) ( ) 1ˆ )()( =iTi M χχ)(iχ 1ˆ −W

Znając współrzędne normalne u współrzędne uogólnione q można określić z relacji

Znając współrzędne uogólnione q można znaleźć współrzędne normalne u ze wzoru

uWq1ˆ −=

( ) qMWqWu T

== − ˆˆˆ 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )IZZZSSSZZSMSZZSRMRSZ

ZSRMRSZZSRMZSRWMW

TTTTT

TTT

TTT

TTTT

TTT

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ'ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

1211111

111111

=====

===

−−−−−−

−−−−−−

( ) ( ) ( ) WMWWIWWMWIWMW TTT ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ 11111 =⇒=⇒= −−−−−

1ˆ −W)(''' iiC

( ) ( ) 0ˆ )()( =iTj M χχ gdy ij ≠

Na slajdach 26-32 pokazano iż do jednoczesnej diagonalizacji macierzy

oraz może służyć macierz

Ma ona postać gdzie - stała

(*) i=1,…..,f

(**)

Relacje (*) i (**) są spełnione też oczywiście przez macierze

Macierze zdiagonalizowane określamy ze wzorów oraz

Spełnienie relacji (**) zapewnia iż macierz jest diagonalna

Spełnienie dodatkowej relacji (***) wyznaczającej zapewnia dodatkowo iż

jest to macierz jednostkowa.

Z (*) wynika iż

a zatem uwzględniając (**) gdy

Spełnienie relacji zapewnia iż macierz

jest diagonalna, a relacji (***) ze jej elementy są równe (***)

Uwaga: Wcześniej pokazano iż relacja (**) przy spełnieniu relacji (*) zachodzi

zawsze gdy . W innym przypadku stanowi ona warunek dodatkowy.

1ˆ −W

[ ])()()1(1 ,..,,...,ˆ fiW χχχ=− )()(

)(

''' ii

i

i

C

C=χ

M̂K̂

( ) 0ˆˆ )(2 =− ii CMK ω

0ˆ )()( =iTj CMC

ij ωω ≠

)('''

i

iC

0)( ≠iC - macierz kolumnowa spełniająca warunki

( ) 11 ˆˆˆ −− WMW T

)()(2)()()(2)( ˆˆˆˆ iTji

iTji

i

iCMCCKCCMCK ωω =⇒=

ij ≠

0ˆˆ )()(2)()( == iTjiiTj CMCCKC ω

ij ≠0ˆ )()( =iTj CKC gdy

( ) 11 ˆˆˆ −− WKW T

ij ≠

1ˆ )()( =iTi Mχχ (***)

2

iω

)(''' iiC

)(iχ

( ) 11 ˆˆˆ −− WMW T ( ) 11 ˆˆˆ −− WKW T

Relacje wiążącą współrzędne uogólnione qi z normalnymi ui można zapisać w postaci

Po jej wstawieniu do równania ruchu

otrzymujemy

Uwzględniając to iż

mamy

Uwzględniając fakt iż gdy relacja ta może być spełniona

tylko wówczas gdy i=1,..........,f

Równania określające zależność współrzędnych uogólnionych od czasu są takie jak dla oscylatorów harmonicznych jednowymiarowych gdy

A ich rozwiązania maja postać ogólną

Gdy to

∑∑==

− ===f

i

i

i

i

i

f

i

i

iuC

CuuWq

1

)(

)(1

)(1

'''

1ˆ χ

qKqM ˆˆ −=&&

∑∑==

−=f

i

i

i

i

i

f

i

i

i

i

i

uCKC

uCMC 1

)(

)(1

)(

)(ˆ

'''

1ˆ'''

1&&

( ) )(2)()(2 ˆˆ0ˆˆ iiiii CMCKCMK ωω =⇒=−

∑∑==

−=f

i

i

i

ii

i

f

i

i

i

i

i

uCMC

uCMC 1

)(2

)(1

)(

)(ˆ

'''

1ˆ'''

1ω&&

02 =+ iii uu ω&&

0≠iω

0=iω ( )ii

i tAu γ+=)(

( )iii

i tAu ϕω += cos)(

ii γϕ , - stałe

0ˆ )()( =iTj CMC ij ≠

gdzie

=

fu

u

u

u2

1

Relacje odwrotną wiążącą współrzędne normalne z uogólnionymi można zapisać w postaci

qWu ˆ=

gdzie macierz

( ) ( ) ( ) WMWWIWWMWIWMW TTT ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ 11111 =⇒=⇒= −−−−−( ) ( ) MWWW T ˆˆˆˆ 111 −−− ==

gdyż

Ponadto zachodzi

( ) ( )uKuuIuqKqqMqL TTTT ˆˆ2

1ˆˆ2

1′′′−=−= &&&&

=′′′

2

2

2

2

1

00

00

00

ˆ

f

K

ω

ω

ω

L

MOMM

L

L

gdzie

=

100

010

001

ˆ

L

MOMM

L

L

I

=

fu

u

u

u

&

&

&

&2

1

[ ]fT uuuu 21= [ ]fT uuuu &&&& 21=

uWq1ˆ −=

( )∑=

−=f

k

kkk uu1

222

2

1ω&

=

=

mgl

mgl

KK

KKK

0

02ˆ

2221

1211

=

=

22

22

2221

1211 2ˆmlml

mlml

MM

MMM

Współrzędne normalne u1 oraz u2 dla wahadła podwójnego o m1=m2=m i l1=l2=l

1α

2α

y

x

1m1

m2

2

1l

2l

( )12212112222221112

1αααααα &&&&&& MMMMT +++=

( ) constKKKKV ++++= 12212112222221112

1αααααα

2

2112 mlMM ==2

11 2mlM =2

22 mlM =

mglK 211 = 02112 == KKmglconst 3−=mglK =22

==

2

1

α

ααq

( ) 0ˆˆ )(2 =− ii CMK ω

Poprzednio znaleziono oraz spełniające równanie

dla oraz odpowiednio

Dodatkowo wiadomo iż współrzędne uogólnione q=α wiążą się ze

współrzędnymi normalnymi relacją

Macierz ma postać

przy czym macierze kolumnowe spełniają równania

Równania (1) mają identyczną postać jak równania wyznaczające

A zatem

1ˆ −W

( ) 0ˆˆ )(2 =− ii MK χω ( )

≠

===

jigdy

jigdyM ij

jTi

0

1ˆ )()( δχχ

=

)(

2

)(

1)(

i

i

i

χ

χχ

)(iC

−=

)1(

1

)1(

1)1(

2C

CC

=

)2(

1

)2(

1)2(

2C

CC

)2(

1

)2(

2

)1(

1

)1(

2 2;2 χχχχ =−=

( )221 +=l

gω ( )222 −=

l

gω

uWq1ˆ −=

(1)(2)

[ ]

==−

)2(

2

)1(

2

)2(

1

)1(

1)2()1(1ˆχχ

χχχχW

Równania (2) gdy są

spełnione automatycznie bo

ji ≠

ji ωω ≠

=

2

1

u

uu

( ) [ ]

[ ]

[ ] 12

111

12

12

1ˆ

)(

2

)(

1

)(

2

)(

1)(

2

)(

1

2

)(

2

)(

1)(

2

)(

1

2

)(

2

)(

1

22

22

)(

2

)(

1

)()(

=

+

+⋅⇔

⇔=

⋅

⋅⇔

⇔=

⋅

⋅⇔=

ii

ii

ii

i

i

ii

i

i

iiiTi

ml

ml

mlml

mlmlM

χχ

χχχχ

χ

χχχ

χ

χχχχχ

=

22

222ˆmlml

mlmlM

[ ] [ ]2

)(

2

)(

1

2)(

2

2)(

1

122

ml

iiii =++ χχχχ

)2(

1

)2(

2

)1(

1

)1(

2 2;2 χχχχ =−=

[ ] [ ] [ ]2

2)1(

1

2)1(

1

2)1(

1

12222

ml=−+ χχχ

[ ] [ ] [ ]2

2)2(

1

2)2(

1

2)2(

1

12222

ml=++ χχχ

i=1

i=2

równania (2) gdy j=i przyjmują postać (i=1,2)

Ponieważ to

)22(2

1

2

)1(

1

−=

mlχ

)22(2

22

2

)1(

1

)1(

2

−

−=−=

mlχχ

,

.

+−

−

+−=

=−

)22(2

2

)22(2

2

)22(2

1

)22(2

1

ˆ

22

22

)2(

2

)1(

2

)2(

1

)1(

11

mlml

mlmlW

χχ

χχ

++

−=

22222

1 212

1

uu

mlα

Równania określające związek współrzędnych uogólnionych ze współrzędnymi normalnymi przyjmują więc postać

[ ] [ ] [ ]2

2)1(

1

2)1(

1

2)1(

1

12222

ml=−+ χχχ

[ ] [ ] [ ]2

2)2(

1

2)2(

1

2)2(

1

12222

ml=++ χχχ

)22(2

1

2

)2(

1

+=

mlχ

)22(2

22

2

)2(

1

)2(

2

+==

mlχχ

⋅

+−

−

+−=

⇒== −

2

1

22

22

2

11

)22(2

2

)22(2

2

)22(2

1

)22(2

1

ˆu

u

mlml

mlmluWq

α

αα

++

−−=

22222

2 212

2

uu

mlα

( )

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

++++

−+−−

=

+

+⋅

++

−

−

−=

=

⋅

⋅

++

−

−

−=

⇒= −

21

212

21

212

2

1

22

22

22

22

2

11

212222

1

212222

1

2

2

22

2

22

1

22

2

22

1

2

2

)22(2

2

)22(2

1

)22(2

2

)22(2

1

ˆ

αα

αα

αα

αα

α

α

mlml

mlml

mlml

mlml

mlml

u

uqMWu

T

Związek odwrotny ma postać

( ) ( ) ( )[ ]212

1 2122222

αα −+−−

=ml

u

( ) ( ) ( )[ ]212

2 2122222

αα ++++

=ml

u

Funkcja Lagrange’a we współrzędnych normalnych

++

−=

22222

1 212

1

uu

mlα

++

−−=

22222

2 212

2

uu

mlα

( ) ( )=+−+++= 222121222212

22

132

2αααααα mglmglml

mlL &&&&

=

−

++

−++

++

−−

++

++

−−+

+

−

++

−++

++

−=

2

4

22

2

22

2

2

4

22

2

22

2

4

1

322222

2

2

4

22

2

22

2

2

4

22

2

22

2

4

1

21

2

2

2

121

2

2

2

1

2

2

2

1

21

2

2

2

121

2

2

2

1

uuuuuuuu

l

g

mgluu

uuuuuuuu

&&

&&&&&&&&

=

++

−−

++

++

−−+

++

−=

2222

322222

2

2222

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

uu

l

g

mgluuuu &&&&

=

++

−−+

++

−−+

++

−=

22223

22222

2

2222

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1 uu

l

gmgl

uuuuL

&&&&

( ) ( ) ( )

( ) ( )222221212221

2

2

2

1

2

2

2

1

2

13

2

1

22222

13

2

1

uumgluuL

ul

gu

l

gmgluu

ωω +−++=

−++−++=

&&

&&

Równania Lagrange’a II rodzaju we współrzędnych normalnych

00 12

11

11

=+⇒=∂

∂−

∂

∂uu

u

L

u

L

dt

dω&&

&

00 22

22

22

=+⇒=∂

∂−

∂

∂uu

u

L

u

L

dt

dω&&

&

opisują dwa niesprzężone oscylatory o częstościach

kołowych oraz ( )221 +=l

gω ( )222 −=

l

gω