POLITECHNIKA POZNAŃSKA

Czesław CEMPEL

DRGANIA MECHANICZNE

WPROWADZENIE

Wydanie drugie poprawione

Poznań 1984

Recenzent

prof. dr hab. inż. Krzysztof Marchelek

Siedem wykładów z drgań mechanicznych skrypt dla kierunku mechanika

studiów i kursów podyplomowych

Okładkę projektował

art. plastyk mgr Józef Skoracki

Wydano za zgodą

Rektora Politechniki Poznańskiej

Opracowanie redakcyjne i techniczne

Mgr Milada Misiek

1163 WYDAWNICTWO POLITECHNIKI POZNAŃSKIEJ

60-965 Poznań, pl. M. Skłodowskiej-Curie 2, tel 313-216 Wydanie II. Nakład 500+25+30 egz. Arkuszy wyd. 6,7. Arkuszy druku 6,5. Papier

drukowy kl. V 71 g. Oddano do druku 17.10.1983 r. Druk ukończono w maju 1984 r. Zamówienie nr S/569/83. E-9/827. Cena zł 40,-

Wykonano w Zakładzie Graficznym Politechniki Poznańskie 61-821 Poznań, ul. Ogrodowa 11, tel. 554-25

SPIS TREŚCI

Str.

O. Od Autora ....................................................................................................................... 5

1. Drgania w inżynierii mechanicznej ................................................................................. 7 1.1. Drgania szkodliwe .................................................................................................... 8 1.2. Wykorzystanie drgań w technologii ......................................................................... 15 1.3. Wykorzystanie drgań w diagnostyce ........................................................................ 16

2. Analiza dynamiczna obiektów mechanicznych ............................................................... 19 2.1. Modelowanie ............................................................................................................ 19 2.2. Dalsze etapy analizy dynamicznej ........................................................................... 24

3. Drgania swobodne modelu o jednym stopniu swobody .................................................. 26 3.1. Drgania translacyjne i skrętne, wymuszone siłowo i kinema- tycznie ........................................................................................................................ 26 3.2. Drgania swobodne bez tłumienia ............................................................................. 28 3.3. Drgania swobodne tłumione .................................................................................... 30

4. Drgania wymuszone modelu o JSS ................................................................................. 36 4.1. Modele wymuszeń ................................................................................................... 36 4.2. Odpowiedź modelu na wymuszenie zdeterminowane ............................................. 38 4.3. Reakcja układu na wymuszenie harmoniczne i okresowe ....................................... 40 4.4. Reakcja drgań, wibroizolacja ................................................................................... 46 4.5. Reakcja układu na wymuszenie krótkotrwałe .......................................................... 50 4.6. Reakcja układu na wymuszenie przypadkowe ........................................................ 55

5. Drgania modelu o dwu stopniach swobody (DSS) ......................................................... 60 5.1. Obiekty mechaniczne i ich modele o DSS .................................................................. 60 5.2. Częstości własne i postacie drgań własnych ............................................................... 65 5.3.Drgania wymuszone modelu o DSS ............................................................................. 68 5.4. Zastosowania - eliminacja i izolacja drgań .................................................................. 71

6. Redukcja obiektu mechanicznego do modelu o JSS ....................................................... 77 6.1. Cel i motywacja metod przybliżonych ......................................................................... 77 6.2. Oszacowanie zastępczego tłumienia obiektu ............................................................... 78 6.3. Metoda Rayleigh'a - zastępcza masa i sztywność ........................................................ 80 6.4. Energia drgań prostych modeli rozciągłych ................................................................. 82 6.5. Układy złożone - metoda Dunkerley-Soutwell ′a ......................................................... 85 6.6. Dokładność metod przybliżonych ................................................................................ 92

Str. 7. Zakończenie.............................................................................................................. 95

Literatura ......................................................................................................................... 97 Dodatek D.1. Nomogram drganiowy ............................................................................................. 99 D.2. Częstości drgań własnych często spotykanych układów mechanicznych. ..................................100

OD AUTORA

Moje wczesne studia drgań i dynamiki układów, datujące się od lat 60., zawsze przesłonięte były myślą wynikającą z konfrontacji analizowanego układu rzeczywistego i jego modelu. Myśl tę można wyrazi w formie pytania skąd wiadomo, że w tym miejscu modelu ma być sprężyna bądź masa o takiej a takiej wartości"? Pytanie to jak i kwestie podobnego typu nie znajdywały prostej odpowiedzi w dostępnych podręcznikach z dziedziny dynamiki układów mechanicznych i drgań, które w większości rozpoczynają wykład od ana-lizy ruchu układu masa-sprężyna, bez pokazania ważnej drogi modelowania, która wiedzie od układu rzeczywistego do masy i sprężyny. Lata pracy badawczej i wykładów z różnych dziedzin dynamiki wyświetliły zwolna ten istotny problem, a prawdziwą ucztą duchową było studiowanie dwu podręczników, które wreszcie traktowały problem modelowania z należytą powagą. Są to: R.H.Cannon Jr.; Dynamika układów fizycznych, WNT, Warszawa 1973, oraz D.Karnopp, R.Rosenberg, System Dynamics: Unified Approach, John Wiley, New Jork, 1975, (Dynamika układów w jednolitym podejściu). W mym przekonaniu, ktokolwiek myśli poważnie o zrozumieniu i zajęciu się dynamiką układów winien przestudiować te książki w wymienionej wyżej kolejności.

Te przydługie impresje osobiste, podzielane także przez większe grono kolegów uwikłanych w dynamikę, potrzebne były jako jedna z motywacji napisania tego mini skryptu w obliczu wielu skryptów i książek dotyczących drgań w piśmiennictwie polskim. Niestety te bardzo wartościowe skrypty i podręczniki startują z poziomu zadanego modelu układu, poziomu nie tak łatwo osiągalnego przez przeciętnego studenta. Pokonanie tego dystansu jest jednym z celów tego skryptu. Drugim niemniej ważnym celem jest próba zwięzłego przedstawienia problematyki drgań mechanicznych (w postaci kilku wykładów) w zakresie niezbędnym dla przyszłego inżyniera mechanika. Inżyniera bez specjalnych uzdolnień matematycznych, który chce zrozumieć i wykorzystać zjawiska dynamiczne w otaczającym nas świecie.

Trzecim powodem napisania tego skryptu jest chęć przedstawienia studentowi szerokiej motywacji potrzeby nauczenia się podstaw drgań mechanicznych. Bez znajomości tych zagadnień nie jest już możliwe nowoczesne konstruowanie, wytwarzanie l eksploatacja maszyn, urządzeń i pojazdów. Tak więc adresatem skryptu są studenci kierunku mechanika a także słuchacze studiów i kursów podyplomowych o profilu: dynamika maszyn, konstrukcji. wibroakustyka, diagnostyka maszyn, itp..

Prezentowany niżej zakres materiału nie wychodzi poza najbardziej niezbędny i modelowo ograniczony jest do dwu stopni swobody. W kolejności wykładu znajdziemy tu: rola drgań w inżynierii mechanicznej; analiza dynamiczna obiektów mechanicznych ; odpowiedzi własne i wymuszone modelu obiektu mechanicznego o jednym stopniu swobody, minimalizacja drgań, wibroizolacja; odpowiedzi własne i wymuszone modelu obiektu o dwu stopniach swobody, eliminacja drgań; redukcja obiektu rzeczywistego do modelu o jednym stopniu swobody - metody i techniki obliczeniowe.

Dla opanowania i posługiwania się wiedzą zawartą w skrypcie wystarczą elementarne wiadomości z mechaniki (np. układanie i rozwiązywanie równań ruchu) oraz wytrzymałości materiałów (np. obliczanie sztywności bądź ugięcia elementów i ustrojów konstrukcyjnych). Przydatne jest również ogólne rozeznanie w konstrukcji i sposobie działania maszyn, urządzeń i pojazdów, a przede wszystkim pewien zapas dobrej woli bez którego nie sposób nauczyć się czegokolwiek. A propos znajomości konstrukcji i sposobu działania maszyn warto tu przytoczyć pewne wydarzenie z egzaminu z drgań mechanicznych mające posmak anegdoty, niestety smutnej. Jedno z zadań brzmiało w skrócie tak: ... wirnik pompy o podanych uprzednio parametrach masowo-sprężystych (skręcanie), posiada 17 łopatek i wykonuje n obr/min. Znaleźć obroty wzbronione pompy ... . Smutne okazało się tutaj przekonanie wielu zdających egzamin wypływające z nieznajomości konstrukcji i sposobu pracy pompy, że ilość łopatek to pułapka na biednych studentów.

Mając nadzieję, że zawartość tego skryptu choć w części uchroni studenta i inżyniera przed podobną nieznajomością podstaw dynamiki układów mechanicznych, oddaję go w ręce użytkowników, prosząc o uwagi i komentarze.

Autor

Poznań, luty 1981 r.

1. DRGANIA W INŻYNIERII MECHANICZNEJ

Truizmem jest już stwierdzenie greckiego filozofa - panta rei" - wszystko płynie, wszystko porusza się wokół nas. Zaś wiele z tych ruchów przyrody ożywionej i nieożywionej ma charakter powtarzający się, prawie okresowy. Znaczy to, że po pewnym ustalonym odcinku czasu - okresie - historia położeń obserwowanego obiektu, a tym samym i zjawisko ruchu powtórzy się. Takie powtarzające się ruchy odniesione do konkretnych obiektów (drzewo, komin, pojazd) nazywamy drganiami. Jeśli zaś zjawisko ruchu nie da się odnieść do konkretnego obiektu, a polega na zmianie pewnej zmiennej uogólnionej (np. ładunek, prąd elektryczny, napięcie, ilość osobników danego gatunku w grupie, ilość bakterii w kolonii, itp.) to ruch powtarzalny nosi nazwę oscylacji. Stąd też mówimy o np. drganiach pojazdu w ruchu po swym torze, o drganiach mostu, drzewa, komina, drganiach strun między innymi głosowych, ale dalej mówimy o oscylacjach napięcia w antenie nadajnika bądź odbiornika radiowego, oscylacjach poziomu wody bądź ciśnienia w instalacji, oscylacja wzrostu liczby takich samych osobników w grupie, itp.

Z powyższego wynika, że zjawiska drganiowe obejmują swym zasięgiem środowisko naturalne jak i techniczne człowieka, a także jego samego (np. oscylacje, pulsacje ciśnienia krwi). Nas jednak będą interesować zjawiska drganiowe obiektów mechanicznych; ściślej: maszyn, urządzeń, pojazdów, będących przedmiotem zainteresowań inżynierii mechanicznej. Generalnie można powiedzieć, że drgania zachodzą w każdym obiekcie mechanicznym, zwłaszcza wypełniającym swą funkcję celu w dynamicznie zmieniającym się otoczeniu (bądź obciążeniu). Drgania te jednak zaczynają być dopiero istotne po przekroczeniu pewnego progu wyznaczanego przez amplitudę i częstotliwość zjawiska, (amplitudę w najprostszym przypadku mierzy się jako odchylenie od średniego położenia równowagi, zaś częstotliwość to odwrotność wspomnianego już okresu drgań). Po przekroczeniu tego progu drgania mogą być szkodliwe dla obiektu bądź dla jego otoczenia (np. następuje zmniejszenie trwałości materiału). W innych przypadkach mamy celową generację drgań dla wykonania pożytecznej pracy np. zagęszczenia betonu. Wreszcie obserwując charakter drgań maszyn w kategoriach czasu ich życia, możemy wykorzystać informacje o maszynie zawarte w jej procesie drganiowym i dokonać oceny stanu technicznego maszyny (diagnostyka).

Jak z powyższego wynika rola drgań w inżynierii mechanicznej jest istotna i szeroka, a ponieważ stanowi ona motywację studiów i zastosowań przedmiotu należy jej się przyjrzeć z bliska.

1.1. DRGANIA SZKODLIWE

Dla przestudiowania tego zagadnienia najlepiej przyjrzeć się czynnikom jakości nowego (wyrobu) wytworu technicznego i ich związkom z drganiami. W odniesieniu do każdej maszyny, urządzenia, itp. jakość określają następujące czynniki: trwałość, niezawodność, dokładność, poziom zakłóceń zewnętrznych. Niżej postaramy się kolejno omówić wpływ drgań na powyższe wskaźniki nowoczesności wyrobów.

Trwałość elementów mechanicznych. Jest to zdolność elementu do przenoszenia zadanych obciążeń mechanicznych mierzona w jednostkach czasu bądź pochodnych (ilość cykli obciążenia).

Obciążenie elementu, tzn. naprężenia w nim panujące, w ogólności można rozdzielić na dwie składowe:

gdzie mσσσσ to naprężenie średnie .robocze, zaś )(taσσσσ to amplituda zmiennego dynamicznego naprężenia.

Z kursu wytrzymałości materiałów [1] wiadomo, że gdy naprężenie dynamiczne jest zerowe 0)(( ≡≡≡≡taσσσσ , a naprężenia statyczne nie przekracza wytrzymałości na rozerwanie, tzn. mc R<<<<σσσσ , to trwałość próbki jest nieograniczona. Przyczyną ograniczonej trwałości jest występowanie naprężenia dynamicznego o wartości większej od granicy zmęczenia )(, eae SS >>>>σσσσ .Sytuację tę dobrze ilustruje uogólniony wykres Wöhlera [2,3], który dla stopów żelaza na postać jak na rysunku 1.1.

Jak się okazuje, naprężenie dynamiczne w elemencie drgającym dowolnie lecz stacjonarnie można również wyrazić za pomocą maksymalnej amplitudy prędkości drgań elementu [4];

gdzie V jest maksymalną wartością prędkości drgań elementu mierzoną w kategoriach amplitud szczytowych, ρρρρ - gęstość materiału, E - moduł Younga, dK - współczynnik dynamiczny zależny od rozkładu energii

)31( ÷÷÷÷====dK , 1====dK dla elementów małych, 1>>>>dK dla elementów o dużej rozpiętości w stosunku do

długości fali, ρρρρEc ==== - prędkość dźwięku w materiale. Korzystając z tej zależności (1.2) można przeliczyć

granice zmęczenia materiałów eS na graniczną wartość prędkości drgań eV , co uczyniono również na rysunku 1.1. Granica ta wyznaczona jest wzorem:

przy czym w tej postaci odnosi się jedynie do próbek. (Dla elementów konstrukcyjnych wartość (1.3) należy podzielić przez współczynnik bezpieczeństwa, czym dalej nie będziemy się zajmować). Na ogół naprężenia robocze są różne od zera 0≠≠≠≠mσσσσ stąd też należy jeszcze uwzględnić ten fakt, np. za pomocą prostej hipotezy Goodmana [3], otrzymując:

Z przytoczonych wyżej faktów wynika jasny związek między trwałością materiałów (maszyn)a ich amplitudą drgań (rys. 1.l). Stąd też w każdy wypadku należy zmniejszyć amplitudy drgań, zwłaszcza jeśli zbliżają się do wartości granicznych wyznaczonych wzorami (1.2 - 1.4), wziętymi z odpowiednim współczynnikiem bezpieczeństwa. Dla drgań o charakterze złożonym będziemy się posługiwali powyższymi wzorami, natomiast dla drgań prostych, harmonicznych wystarczy wziąć proporcjonalność naprężeń do amplitudy deformacji.

Niezawodność maszyn i urządzeń. Niezawodność z definicji to prawdopodobieństwo wypełnienia przewidzianej misji w zadanym czasie i warunkach zewnętrznych. Istotnym składnikiem tych warunków jest poziom drgań, na które narażone jest urządzenie. Nie chodzi tu jednak o utratę spoistości elementów jak w poprzednim zagadnieniu, lecz o zagrożenie spełnienia swej funkcji. Prostym przykładem tej różnicy mogą być wszelkiego typu mierniki wskaźnikowe pracujące w warunkach drgań. Przy pewnych częstotliwościach tych drgań jest prawie niemożliwe odczytanie wskazań miernika (ciśnienia, temperatury, napięcia). Mimo, że spoistość fizyczna miernika nie jest zagrożona, to niezawodność (zdolność pomiaru w tym przypadku) urządzenia pomiarowego spada wraz ze wzrostem amplitudy drgań.

Podobny spadek niezawodności w obecności drgań zagraża wszelkim urządzeniom elektromechanicznym, typu styczników, przekaźników, itp. Dla wyjaśnienia łatwości wadliwego zadziałania takich urządzeń weźmy pod uwagę przekaźnik kierunku jazdy wózka zdalnie kierowanego (lub zabawki) tak jak na rysunku 1.2.

Jak widać z rysunku, jeśli względne przemieszczenie zwory wymuszone ruchem podstawy w (t) będzie większe niż luz σσσσ , wtedy bez impulsu sterującego nastąpi przypadkowy skręt wózka w lewo lub w prawo, a niezawodność wózka będzie prawie zerowa. Jak widać wymuszenia kinematyczne działające na korpus urządzeń kontrolno sterujących należy ograniczać wszelkimi możliwymi środkami, łącznie z tworzeniem aktów prawnych normujących dopuszczalne drgania miejsc przyszłego montażu maszyn. Dobrym przykładem jest tu projekt normy PN-B-02170, który dzieli ogół instalowanych maszyn na 5 klas wrażliwości: od komputerów i precyzyjnych urządzeń pomiarowych (v<0,1 mm s-1) do zupełnie niewrażliwych kruszarek, młynów przesiewaczy, wentylatorów, itp., (v > 6 mm s-1).

Wiele urządzeń pomiarowo sterujących pracuje w urządzeniach transportowych, gdzie wymuszenia mają charakter krótkich wstrząsów, udarów, nagłych przyspieszeń i opóźnień. Dla ilustracji możliwego zagrożenia (również niezawodności) przestudiujmy niżej podaną tabelkę [5].

Jak widać z tabeli normalne operacje transportowe mogą dawać przyspieszenia rzędu 10 g natomiast operacje awaryjne nawet do 200 g. Liczby te warto wziąć pod uwagę; projektując nowy pojazd lub urządzenia transportowe.

Dokładność. Mamy tu na myśli przede wszystkim błędy (odchyłki) kształtu i położenia. Pierwsze są

szczególnie ważne w maszynach obróbczych (obrabiarkach), zaś drugie w urządzeniach transportowych (dźwigi, suwnice) i manipulacyjnych (manipulatory, roboty przemysłowe) a także przy transmisji ruchu i mocy za pomocą różnych przekładni (szczególnie pasów klinowych). Błędy kształtu z tytułu drgań przy obróbce toczeniem, szlifowaniem, itp. są wynikiem nadmiernej dynamiczności w całym układzie obrabiarka - uchwyt - przedmiot - narzędzie* (0-U-P-N). Oprócz drgań każdego z wymienionych elementów układu dynamicznego 0-U-P-N mamy tu jeszcze oscylacje wartości sił tarcia, sił skrawania, sił które są odpowiedzialne za przeniesienie energii z napędu do układu 0-U-P-N, co daje w efekcie drgania nie zanikające, samowzbudne. Efektem technologicznym drgań w układzie 0-U-P-N są błędy kształtu obrabianego przedmiotu, które niejednokrotnie są prawie periodyczne o długości fali λ [6].

gdzie v - prędkość skrawania w mms-1, f - częstotliwość drgań w Hz.

Istnieje również proste oszacowanie Arnolda dla amplitudy drgań wierzchołka noża A, w kierunku stycznym do obrabianego przedmiotu [7]:

Warto tu dodać, że istnieje relacja odwrotnej proporcjonalności między tak oszacowaną amplitudą, a trwałością narzędzia. Kończąc dyskusję wpływu drgań na dokładność obróbki, na którą nie ma tu dużo miejsca, warto podać w ślad za [6] ilustrację graficzną zagadnienia, tak jak na rysunku 1.3.

Błędy położenia na skutek drgań najbardziej dają się we znaki w urządzeniach transportowo

manipulacyjnych. Sytuację ilustruje tu dobitnie praca dźwigu (bądź suwnicy) przy dużych wahaniach nosiwa oraz zdalne operacje manipulatorem o dużym zasięgu, tak jak na rysunku 1.4, (występuje to również w obrabiarkach sterowanych numerycznie). Jak widać z rysunku błąd położenia w obu przypadkach może być większy niż podwójna amplituda drgań, czyli 2A.

Tak więc zarówno w przypadku błędów kształtu jak i błędów położenie oczywiste jest zadanie zmniejszenia amplitudy drgań dla uzyskania lepszej jakości. Jest to więc dalszy asumpt do wniknięcia w istotę drgań mechanicznych.

Poziom emitowanych zakłóceń. W ogólności zakłócenia emitowane w otoczenie przez maszyny, urządzenia i realizowane przez nie procesy technologiczne mogą mieć różnoraką naturę; elektryczną, chemiczną, mechaniczną, itd. Nas jednak będą interesować zakłócenia natury mechanicznej, czyli drgania i hałas emitowane podczas pracy maszyn i urządzeń. Ilustracja graficzna problemu zakłóceń drganiowych przedstawiona jest na rysunku 1.5.

Otóż siły dynamiczne generowane przez maszyny, mimo wibroizolacji, przechodzą dalej na fundament lub konstrukcję wsporczą. Z racji niewielkiego tłumienia w tworzywach konstrukcyjnych mogą się one propagować na dużą odległość doznając nawet lokalnych wzmocnień. Wynikające stąd duże amplitudy drgań w miejscu montażu wrażliwych maszyn lub przebywania ludzi są ograniczone różnymi przepisami normowymi. Przepisy te w odniesieniu do ludzi - operatorów wprowadzają trzy skale zagrożenia drganiowego (np. ISO-2631): zmniejszony komfort, zmniejszona wydajność, zagrożenie zdrowia. Podobnie dla wrażliwych maszyn i urządzeń można wprowadzić trzystopniową skalę zagrożenia; zmniejszenie dokładności, zmniejszenie niezawodności, zmniejszenie trwałości. Drgające powierzchnie elementów maszyn, urządzeń, fundamentów, konstrukcji wsporczych są źródłem poważnego zagrożenia hałasem (hałas to każdy dźwięk przeszkadzający). Wielkością fizyczną odpowiedzialną za wrażenie dźwięku jest ciśnienie akustyczne, p. Amplituda tego ciśnienia jest w prostej relacji do prędkości drgań cząstek ośrodka (np. powietrze, woda, itp.)

gdzie ρ - gęstość ośrodka, c - prędkość dźwięku w ośrodku, v - prędkość drgań cząstek ośrodka.

Jeśli wyobrazimy sobie sztywną płytę drgającą np. w powietrzu harmonicznie z prędkością v, tak jak na rysunku 1.6, to ciśnienie akustyczne w pobliżu tego modelowego źródła dźwięku będzie vcp ρ=

Ciśnienie akustyczne w pewnym punkcie pola dźwiękowego nie charakteryzuje wysiłku" źródła hałasu. Mówi o tym moc źródła N, która jest proporcjonalna do średniego kwadratu prędkości drgań v2 oraz wielkości powierzchni drgającej S. Dla źródła jak na rysunku 1.6 słuszny jest znak równości, natomiast w ogólnym przypadku jest tu jedynie proporcjonalność [8J. Dla nas istotny jest tutaj wniosek, że im większa prędkość drgań powierzchni elementu maszyny, konstrukcji, oraz im większa jego powierzchnia tym większa moc promieniowanego hałasu, tym większy poziom hałasu docierający do człowieka. Warto tu dodać, że hałas mierzymy za pomocą jednostek względnych, tzw. poziomów,

jako 0

lg20ppL = [db] gdzie Pap 5

0 102 −⋅= jest ciśnieniem odniesienia, a jednostka poziomu nosi nazwę

decybel". Podobnie jak dla drgań zagrożenie hałasowe przy małych poziomach (40-70 dB) daje spadek komfortu, przy większych (70-90 dB) powoduje spadek wydajności pracy, natomiast przy poziomach

120 dB i więcej stanowi już poważne zagrożenie zdrowia. W Polsce dopuszczalny poziom hałasu dla różnych stanowisk pracy ujmuje norma PN-70-B-02151, z której warto jedynie podać, że maksymalny poziom hałasu w przemyśle przy ekspozycji ciągłej wynosi 90 dBA. Przekroczenie tego poziomu może powodować już trwałe ubytki słuchu. Wyżej dokonaliśmy krótkiego przeglądu niekorzystnych aspektów oddziaływania drgań na maszyny i ludzi uczestniczących w procesie produkcji. Jak wykazaliśmy dla maszyn i urządzeń nadmierne drgania dają zmniejszenie trwałości niezawodności, dokładności oraz zwiększenie emisji hałasu i drgań w otoczenie. Dla ludzi nadmierne drgania powodują wpierw zmniejszenie komfortu, następnie wydajności pracy a w końcu przy dużych amplitudach zagrożenie zdrowia. Widać więc tu potrzebę minimalizacji drgań, zwłaszcza drgań docierających z zewnątrz do człowieka bądź maszyny.

1.2. WYKORZYSTANIE DRGAŃ W TECHNOLOGII

Zjawisko drgań mechanicznych w ośrodku jest równoważne stałej transformacji energii kinetycznej na potencjalną ośrodka i odwrotnie. Mamy więc do czynienia nie tylko z oscylacją położenia cząstek, ale także z oscylacją mocy i energii. W wielu przypadkach taka forma energii może być łatwiej wykorzystana do przeprowadzenia różnorakich procesów technologicznych w różnych dziedzinach przemysłu [9] Jak się wydaje drgania zrobiły większą karierę w budownictwie. Z racji poważnego wzrostu wytrzymałości drgania używane są tu do zagęszczania betonu zarówno w fabryce domów przy wyrobie płyt, jak i w budownictwie mostów i dróg. Nawet przy kładzeniu dywaników asfaltowych używa się wibracyjnych walców drogowych. Za pomocą wibratorów i młotów wibracyjnych wbija się pale, ścianki, grodzie, a także jeśli trzeba drganiami wyrywa się te same elementy. Za pomocą drgań można mieszać różne materiały, a także je rozdrabniać. Wprawienie w ruch drganiowy młyna kulowego daje zmniejszenie średnicy ziarna do 1 mikrona i mniej. Daje to istotne podwyższenie własności mechanicznych cementu. Na zasadzie różnorakiego wykorzystania energii drgań działają przesiewacze (np. węgla, żwiru) i transportery wibracyjne. Te ostatnie mogą również transportować w dowolnym kierunku, zależnie od geometrii rynny i kinematyki drgań, nie tylko materiały sypkie, ale także drobne elementy wytworzone w produkcji automatycznej (np. śruby, kondensatory, itp.). W odlewnictwie drgań używa się najpierw przy zagęszczaniu materiału formierskiego a następnie po wlaniu surówki w celu wytrącenia gazów i szlaki. Oczyszczanie odlewów to również domena zastosowania drgań. Dla małych elementów odbywa się to w oczyszczarkach bębnowych, zaś elementy duże oczyszczane są ręcznie przy użyciu narzędzi pneumatycznych, zwanych młotkami. Narzędzia o wibracyjnym charakterze pracy takie jak młotki, przecinaki, wiertołomy, nitowniki, wiertarki udarowe, itp. używa się w wielu dziedzinach techniki, które nie sposób wymienić. Mają one jedną wspólną cechę; z jednej strony wykonują pożyteczną pracę zaś z drugiej oddziaływują szkodliwie na ręce operatora lub otoczenie. Dotychczas mówiliśmy o drganiach niskoczęstotliwościowych rzędu kilku do kilkuset Hz. Drgania o wyższych częstotliwościach rzędu kilkudziesięciu kiloherców zwane ultradźwiękami, są równie dobrymi nośnikami energii. Stąd też zastosowania ultradźwięków w łączeniu materiałów, ich obróbce, a nawet w medycynie przy zdalnym kruszeniu kamieni nerkowych, itp. Patrząc ogólnie na całość urządzeń umożliwiających zastosowanie drgań w technologii można powiedzieć, że są one (bądź winny być) podporządkowane następującej funkcji celu: zapewnić maksymalnie sprawną zamianę energii drganiowej na pracę użyteczną przy minimalnych szkodliwych skutkach ubocznych. Nie jest to proste zadanie minimalizacji drgań szkodliwych jak w p. 1.1, wymaga więc znacznie większej znajomości zjawisk drganiowych.

1.3. WYKORZYSTANIE DRGAŃ W DIAGNOSTYCE

Diagnostyka to umiejętność rozpoznawania stanu na podstawie objawów lub symptomów (diagnostikus po grecku oznacza umiejący rozpoznawać). Kilkanaście lat temu mówiono jeszcze tylko o diagnostyce medycznej, lecz obecnie wkracza ono szeroko do techniki, a w szczególności do inżynierii mechanicznej. Jeśli w poprzednim punkcie mówiliśmy o wykorzystaniu energii niesionej przez ruch drganiowy bądź falowy, to obecnie w diagnostyce mówimy o wykorzystaniu informacji zawartych w obrazie drganiowym bądź falowym interesującego nas elementu. Ten krótki przegląd możliwości określenia stanu materiału, elementu maszynowego bądź maszyny w ruchu (bez jej wyłączania) rozpocznijmy od ultradźwięków. Tutaj elementy płaskie i o małej grubości można wprost prześwietlać jak w metodzie rentgenowskiej, natomiast dla określenia wewnętrznych wad elementów grubszych stosuje się metody echa (odbicie od wady) lub cienia akustycznego (osłabienie fali przez wadę). Technologia nieniszczących badań ultradźwiękowych stosowana jest w wielu dziedzinach inżynierii, od wstępnej kontroli jakości materiału, po kontrolę eksploatacyjną elementów maszyn i urządzeń [10] , np. kontrolę spoistości zbiorników ciśnieniowych. Nie wdając się bliżej w te techniki badawcze przejdźmy do diagnostyki drganiowej, gdzie źródłem informacji są drgania o częstotliwości kilku herców do kilku kiloherców. W chwili obecnej powstała już cała dziedzina zwana diagnostyką wibroakustyczną [11], my jednak tutaj zajmiemy się najbardziej oczywistymi zastosowaniami w diagnostyce eksploatacyjnej maszyn. Obserwacja drgań eksploatacyjnych wielu maszyn, szczególnie wirnikowych, doprowadziła do ustaleń, że poziom drgań mierzonych na korpusie, obsadzie łożyska, itp. zmienia się w sposób przedstawiony na rysunku 1.7.

Obserwując więc stan maszyny za pomocą pomiarów drgań (zależnie od typu maszyny i elementu mierzymy przyspieszenie a, prędkość v, przemieszczenie x), potrafimy przewidzieć czas wystąpienia ewentualnej awarii i zapobiec jej przez wykonanie właściwego remontu. Co więcej, obserwując skład widmowy drgań w porównaniu z częstotliwością obrotową 0f i znajomością kinematyki maszyny potrafimy określić element, który należy poddać odnowie. Przykładowo składowe widmowe o częstotliwościach podanych niżej są symptomami: 0f - niewyrównoważenia, 02 f - luzy, 00 32 ff −−−− - nieosiowość,

0nf -częstotliwość zębowa koła o liczbie zębów n i obrotach 0f , itp. Śledząc więc amplitudy poszczególnych składowych widmowych będących symptomami drganiowymi elementów możemy oceniać ich stan eksploatacyjny. Podsumowując to co powiedziano wyżej o roli drgań w inżynierii mechanicznej trzeba wyróżnić ich trzy aspekty i wynikające stąd cele analizy dynamicznej obiektów mechanicznych. Pierwszy aspekt szkodliwego działania drgań na obiekty mechaniczne i ludzi narzuca konieczność redukcji amplitud drgań szkodliwych. Drugi aspekt drgań użytecznych w technologii określa cel analizy dynamicznej jako optymalizację efektywności przetwarzania energii drganiowej w pracę użyteczną. Trzeci aspekt wykorzystania informacji zawartych w drganiach stwarza konieczność optymalizacji zagadnień odbioru drgań maszyn i ekstrakcji informacji użytecznych w nich zawartych. Przekazana dalej w skrypcie elementarna wiedza z drgań mechanicznych winna umożliwić rozwiązywanie prostych zagadnień z omawianego wyżej zakresu.

2.ANALIZA DYNAMICZNA OBIEKTÓW MECHANICZNYCH

Funkcjonowanie maszyn, urządzeń, instalacji, w ogólności obiektów mechanicznych nieodłącznie jest związane z przekazywaniem różnorakich oddziaływań siłowych. W większości przypadków oddziaływania te można podzielić na część statyczną, stałą w czasie, która zapewnia projektowane położenie bądź projektowany ruch, oraz część drugą dynamiczną na ogół o charakterze oscylacyjnym. Analizując zachowanie się obiektów mechanicznych pod wpływem oddziaływań będziemy tu przyjmować, że stan naprężeniowy, położenie równowagi, średni ruch na torze, itp. jako wynik działania części statycznej jest znany i nie stanowi problemu. Problemem będzie tu zrozumienie przewidywanie i niejednokrotnie poprawienie zachowania się obiektu pod wpływem części dynamicznej oddziaływań, czyli analiza dynamiczna obiektu. Czy jednak w obliczu coraz większego skomplikowania konstrukcyjnego i funkcjonalnego obiektów mechanicznych (np. pojazd kosmiczny) wyniki takiej analizy dynamicznej mogą być wiarygodne? Otóż niejednokrotnie stwierdzono teoretycznie i praktycznie, że zachowanie się (reakcja) dynamiczne skomplikowanych obiektów mechanicznych złożone jest z reakcji elementarnych, (zachowanie się układu elementarnego), które można poznać i przestudiować każdą oddzielnie. Sposób syntezy reakcji elementarnych w reakcję złożonego obiektu mechanicznego jest niejednokrotnie skomplikowany, lecz jednoznaczny. Może on być poznany za pomocą wnikliwie stosowanych względnie prostych metod analitycznych. Z tego właśnie wynika nasza zdolność do analizy dynamicznej skomplikowanych obiektów mechanicznych złożonych z wielu podukładów i nasze zaufanie, że będą one zachowywać się tak jak przewidzieliśmy [12].

2.1. MODELOWANIE

Tak więc kluczem do określenia dynamiki czyli drgań obiektu mechanicznego jest

znajomość możliwych odpowiedzi układu dynamicznego, do którego można zredukować badany obiekt. W wielu przypadkach otrzymany układ dynamiczny będzie układem elementarnym, podstawowym, zwanym układem lub modelem o jednym stopniu swobody. Procedura dojścia od obiektu rzeczywistego do jego zastępczego układu dynamicznego, zwanego często modelem oraz modelowaniem, jest pierwszym krokiem analizy dynamicznej. Wagę tego kroku dla całej analizy dynamicznej niech uzmysłowi fakt, że dla jednego obiektu mechanicznego można obmyślić nieskończenie wiele modeli, od bardzo prostych do niezwykle skomplikowanych, a do tego żaden może nie oddawać dostatecznie precyzyjnie poszukiwanych własności obiektu. Tak więc procedurę modelowania, czyli dojścia do modelu zastępczego obiektu mechanicznego należy przeanalizować na przykładzie i wyciągnąć ogólne wnioski metodyczne.

Własności mechaniczne, które będą nas interesować przy modelowaniu to masa (inercja), sztywność i dyssypacja energii. maszyny urządzenia, Własności te, jak łatwo spostrzec, rozłożone są w sposób ciągły na rozpiętości obiektu. Dążąc jednak do możliwej prostoty opisu modelu i dalszej jego analizy własności te będziemy skupiać w określonych punktach obiektu zwanych punktami redukcji.

Dla lepszej poglądowości wykładu weźmy pod uwagę suwnicę pomostową i

rozważmy jej modele wynikające z dwu różnych powodów: 1° pęknięcia zmęczeniowego belki suwnicowej, 2° zagrożenia drganiowego operatora. Sytuację tę ilustruje rysunek 2.1 z alternatywnymi celami analizy dynamicznej:

dopdop vv >>>>>>>> ,2;,1 00 σσσσσσσσ

Pierwszym krokiem modelowania jest określenie punktu redukcji własności mechanicznych obiektu. Punkt ten określony na rysunku 2.1 jako (A) musi spełniać trzy istotne warunki: 1° drgania muszą tu mieć amplitudy istotnie zauważalne, nie może to być więc punkt podpory nieruchomej, 2° musi być spełniona względna łatwość redukcji rozciągłych własności inercyjnych sztywnościowych i dyssypatywnych obiektu do własności dyskretnych w p. (A), 3° musi istnieć bezpośredni związek między amplitudą drgań w punkcie redukcji (A) a naszym celem analizy dynamicznej (np. )(lub)( tvtσσσσ w naszym przypadku).

Jak się wydaje, punkt A na rysunku 2.1 spełnia wymienione trzy postulaty. Biorąc więc pod uwagę pierwszy cel analizy dynamicznej dopσσσσσσσσ >>>> i związane z tym pęknięcia belki, należy zminimalizować )(tσσσσ , czyli również xA (t) = x(t), bo z wytrzymałości materiałów można wyprowadzić prostą relację między ugięciem w p. A, xA a naprężeniem )(tσσσσ w p. 1°, typu

)()( txat ====σσσσ bądź bv====σσσσ . Tak więc minimalizując drgania x(t) będziemy minimalizować tym samym )(tσσσσ .

Idąc dalej do określenia parametrów modelu możemy powiedzieć, że masa belki suwnicowej jest co najmniej kilka razy mniejsza od masy nosiwa, nb mm <<<< co więcej masa belki jest rozłożona, zaś nosiwa prawie punktowa. Tak więc do dalszych rozważań przyjmiemy w przybliżeniu jako masę modelu masę nosiwa. Ponadto rozpatrując ugięcie dynamiczne belki jako ruch podstawowy można powiedzieć, że sztywność liny bądź łańcucha, na którym podwieszone jest nosiwo, nie wnosi istotnego wkładu do ruchu p. (A), gdyż sztywność ta jest znacznie większa od sztywności belki na zginanie, czyli linybelki kk <<<<<<<< Stąd w naszym modelu w pierwszym rzędzie należy uwzględnić sztywność giętną belki zredukowaną do p.A. Wreszcie dyssypacja energii zachodzi w całym ustroju suwnicy, w mechanizmie jezdnym, belce, linie, a zwłaszcza w łańcuchu. Nie znając szczegółów

konstrukcyjnych trudno powiedzieć, gdzie dyssypacja jest większa, jednak w odróżnieniu od mas i sztywności, które można określić obliczeniowo, ilościowe określenie dyssypacji możliwe jest tylko w wyniku eksperymentu. Co można tu jedynie zrobić teoretycznie, to przyjąć liniowy model dyssypacji, że siła oporu niesprężystego jest proporcjonalna do prędkości ruchu, xcFd &==== ze współczynnikiem siły oporu, c. Założenie to będziemy uwzględniali we wszystkich naszych rozważaniach.

Przedstawiony wyżej ciąg rozumowania prowadzący do modelu suwnicy przedstawiono na rysunku 2.2, gdzie jak widać uzyskaliśmy elementarny układ drganiowy o jednym stopniu swobody (JSS).

Weźmy obecnie pod uwagę drugi argument do analizy dynamicznej suwnicy, czyli przekroczenie drgań na siedzisku operatora, dopuszczalnych ze względu na wydajność pracy v > vdop. lub wg ISO a > adop Proporcjonalność amplitudy punktu redukcji (A) do amplitudy prędkości v lub przyspieszeń a podstawy siedziska jest tu oczywista, gdyż jest to prawie ten sam punkt. Natomiast od tego punktu (A) do głowy operatora (B) będącej przedmiotem naszych zabiegów przy spadku wydajności pracy (przy zagrożeniu zdrowia punktem tym może być np. żołądek, wątroba, itp.) mamy sztywność i tłumienie siedziska operatora oraz masę korpusu operatora z jego sztywnością. i tłumieniem.

Jeśli przyjmiemy teraz założenie, że ruch operatora mało wpływa na ruch suwnicy (lecz nie odwrotnie), to model obiektu operator na suwnicy może być prostym złożeniem dwu modeli elementarnych, suwnicy jak na rysunku 2.2 oraz operatora na siedzisku tak jak na rysunku 2.3.

Weźmy jeszcze pod uwagę jeden obiekt mechaniczny np. wysoki komin fabryczny, gdzie wszystkie własności mechaniczne są rozłożone, a powodem analizy dynamicznej jest pękanie przy podstawie z tytułu zbyt dużych drgań komina pod wpływem wiatru. Przyjmując punkt redukcji własności A na szczycie komina mamy duże amplitudy drgań i można tu wyprowadzić prostą relację xa====σσσσ , bądź vb====σσσσ .

Nie da się jednak w prosty sposób powiedzieć, ile wynosi masa zredukowana komina mkz. Zagadnieniem tym zajmiemy się w ostatnim rozdziale studiując metody redukcji i obliczenia

parametrów zastępczych. Tutaj jedynie warto wskazać, że obiekt typu belka wspornikowa, a więc i komin, daje oszacowanie masy zastępczej równej połowie masy komina (belki),

kzk mm21====

Jak już wyniknęło z poprzedniego przykładu sztywność (sprężystość) modelu łatwo obliczyć rozpatrując sztywność na zginanie komina w punkcie redukcji (A) ze znanych wzorów z wytrzymałości materiałów. Dla ścisłości modelowania należałoby tu dodać jeszcze założenia o wpływie otoczenia, które tu może być istotne. Mianowicie pomijamy wpływ ruchu komina na opływ powietrza wokół niego oraz zakładamy, że sztywność i masa fundamentu komina jest bardzo duża i jego ruchy są małe dając jedynie wymierne tłumienie drgań w gruncie bez potrzeby uwzględniania jego ruchu. Zaprezentowane wyżej rozumowanie prowadzące do modelu drganiowego komina przedstawiono na rysunku 2.4.

Jako podsumowanie naszych rozważań o modelowaniu warto zebrać ogólne reguły tu stosowane z komentatorem skutków, jakie daje ich zastosowanie; ujmuje to tabela 2.1 przytoczona w ślad za [12] z niewielkimi zmianami.

Przykład. Silnik elektryczny napędza poprzez sztywne sprzęgło pompę wirową. Zakładając, że masowe momenty bezwładności wirnika silnika IS oraz wirnika pompy Ip spełniają relację: 1° IS ∼ Ip.; 20 IS >> Ip , przedstawić odpowiednie modele agregatu pompowego. Tłumienia nie uwzględniać. Rozwiązanie zadania przedstawiono na rysunku 2.5 w postaci dwu modeli o JSS drgających skrętnie wokół średniego ruchu obrotowego.

2.2. DALSZE ETAPY ANALIZY DYNAMICZNEJ

Uzyskanie modelu fizycznego obiektu jest pierwszym krokiem jego analizy dynamicznej. Następny krok to zastosowanie praw mechaniki, a w ogólności fizyki, do uzyskania równań różniczkowych ruchu. Analiza rozwiązań tych równań w funkcji parametrów modelu da nam dopiero znajomość własności dynamicznych modelu, a dalej pozwoli spełnić cel analizy dynamicznej, czyli da odpowiedź na pytanie, co zmienić by: zmniejszyć drgania, zwiększyć efektywność przetwarzania drgań na pracę użyteczną oraz uzyskać większy zasób informacji z drgań.

Wnioski wyciągnięte z analizy zachowania się modelu nie muszą być prawdziwe dla obiektu. Stąd też tam, gdzie to jest możliwe, konfrontujemy wyniki eksperymentu wykonanego na obiekcie z zachowaniem się modelu. W przypadku istotnych różnic zmieniamy tak dalece model, by otrzymać zgodne zachowanie się modelu i obiektu.

Zarysowaną tu całość przedsięwzięć analizy dynamicznej obiektów mechanicznych przedstawiono w postaci diagramu na rysunku 2.6 [12].

Jak widać z rysunku pełen zakres analizy dynamicznej jest bardzo szeroki i możliwy jedynie do przeprowadzenia we współpracy z laboratorium badawczym. Stąd też dla pełnej analizy niezbędna jest również pewna wiedza i umiejętność prowadzenia eksperymentu.

3.DRGANIA SWOBODNE MODELU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY(JSS)

3.1. DRGANIA TRANSLACYJNE I SKRĘTNE WYMUSZME SIŁOWO I KINEMATYCZNIE

W poprzednim punkcie o modelowaniu doszliśmy do przekonania, że wielokrotnie model obiektu sprowadza się do elementarnego modelu drgającego o jednym stopniu swobody (JSS). Weźmy więc pod uwagę taki model z wymuszeniem siłowym lub momentowym, jak na rysunkach 2.3, 2.4, 2.5. Przy okazji pompy drgającej skrętnie z rysunku 2.5 może powstać pytanie czy wnioski i sposób analizy dla drgań skrętnych będą takie same jak dla drgań typu translacyjnego. Weźmy więc pod uwagę model o JSS translacyjny (rys. 2.4) oraz skrętny (rys. 2.5) i napiszmy równania ruchu.

x(t) = X(t) x0 (t) = X(t) - tv ⋅⋅⋅⋅ oraz ttttt ⋅⋅⋅⋅−−−−ΦΦΦΦ====−−−−ΦΦΦΦ==== ωωωωϕϕϕϕϕϕϕϕ )()()()( 0 .Jako ilustrację techniczną obu przypadków można przedstawić: dla drgań translacyjnych na torze wzdłużnym ruch oscylacyjny pociągu drogowego lub kolejowego jadącego ze stałą prędkością, zaś dla drgań skrętnych )(tϕϕϕϕ będzie oznaczało chwilowe skręcenie linii napędowej maszyny obracającej się ze stałą średnią prędkością kątową

.602 constn ====ΠΠΠΠ====ωωωω .

To przydługie wyjaśnienie słuszne nie tylko dla modelu o JSS pozwoli nam w przyszłości uniknąć stałego powtarzania wniosków dla ruchu translacyjnego i skrętnego. Dla tej samej ogólności rozważań poświęcimy jeszcze kilka chwil wymuszenia siłowemu oraz wymuszeniu kinematycznemu. W pierwszym przypadku wymuszenie pochodzi od zadanej zewnętrznie siły bądź momentu (patrz rys. 3.1, F(t), M(t)), natomiast w drugim przypadku mamy zadany zewnętrznie ruch na torze. Jak się okazuje oba przypadki wymuszenia są modelowo równoważne co jasno wynika z rysunku 3.2.

Jak widać z rysunku zadane przemieszczenie z(t) działając poprzez sprężynę k i tłumik c jest źródłem siły równoważnej F(t),F(t) = kz + cz. Wiedząc o tym możemy nasze dalsze rozważania ograniczyć do drgań translacyjnych z wymuszeniem siłowym, a wnioski przenosić na dowolny ruch z dowolnym typem wymuszenia.

3.2. DRGANIA SWOBODNE BEZ TŁUMIENIA

Załóżmy w naszych rozważaniach, że efekty działania sił oporu )( xc & nie są dla nas istotne, stąd też można dalej przyjąć, że współczynnik oporu niesprężystego c jest bliski zera, c ∼ 0.

W takim razie z równania (3 1) będziemy mieli:

Jest to równanie różniczkowe liniowe II-go rzędu jednorodne, a jego rozwiązanie ma postać ogólną rteAx ==== r- wykładnik charakterystyczny. Szukając wartości tego wykładnika poprzez wstawienie rozwiązania do (3.2) mamy:

Biorąc pod uwagę rozwiązanie (3.5) oraz jego interpretację graficzną możemy przedstawić następujące wnioski:

1° Ruch swobodny układu elementarnego bez tłumienia przedstawia

oscylacje o częstości mk====0ωωωω określonej całkowicie sprężystością k i bezwładnością m modelu.

Częstość drgań mierzona jest w rad/sek i łączy się z okresem drgań własnych To [sec] oraz częstotliwością f [Hz], gdyż jak wiadomo

0000

1,2t

ff ====ΠΠΠΠ====ωωωω

2° Amplituda ruchu własnego C określona jest całkowicie przez warunki początkowe ruchu xo , vo oraz częstość drgań własnych 0ωωωω , co również określa przesunięcie fazowe drgań φφφφ .

3° Na skutek nieuwzględnienia tłumienia drgania w układzie nie zanikają, stąd też model dokładniejszy musi uwzględnić zjawisko dyssypacji energii.

Spróbujmy obecnie wykorzystać do celów technicznych nabytą wyżej wiedzę o drganiach swobodnych obiektów mechanicznych. Częstotliwość drgań własnych fo determinowana jest masą i sztywnością obiektu, zaś w wielu przypadkach elastycznego montażu, gdzie częstotliwość ta jest istotna, znamy jedynie ugięcie statyczne pod wpływem ciężaru własnego obiektu. Modelowo sytuacja wygląda jak na rysunku 3.4. Wnioskując z rysunku 3.4 i wzoru na częstotliwość drgań f mamy:

Przykład 1. Zespół wentylacyjny zamontowano elastycznie na czterech amortyzatorach, które ugięły się pod ciężarem zespołu o cmst 1====σσσσ . Znaleźć częstotliwość drgań własnych amortyzowanego zespołu. Odpowiedź

Hzf 51

50 ========

Przykład 2. Belka suwnicy mostowej ugięła się o cmst 1,0====σσσσ pod wpływem podnoszonego ciężaru znacznie większego od ciężaru suwnicy. Określić częstotliwość drgań własnych. Odpowiedź

Hzf 8,150 ≅≅≅≅

3.3. DRGANIA SWOBODNE TŁUMIONE

Analizowany wyżej model sprężysto-inercyjny może być stosowany, jeśli chodzi nam o wyznaczenie częstotliwości drgań własnych fo , początkowej amplitudy drgań własnych, oraz ogólnie drgań w ramach kilku okresów po rozpoczęciu ruchu. Jednak dla dłuższego czasu obserwacji drgań między zachowaniem się naszego modelu a rzeczywistością pojawia się zasadnicza różnica: ruch modelowy nie zanika z czasem. Przejdźmy więc do analizy zachowania się modelu pełnego; sprężysto-inercyjnego z dyssypacją, 0≠≠≠≠c . Wychodząc z (3.1) mamy tu przy 0)( ≡≡≡≡tF :

Analizując uważnie znalezione pierwiastki charakterystyczne 2,1r można powiedzieć, że wyznaczają one

trzy obszary zachowania się modelu, zależnie od wartości współczynnika tłumienia h; mianowicie

000 ,, ωωωωωωωωωωωω <<<<====>>>> hhh

Dla udogodnienia dalszej analizy wprowadźmy bezwymiarowy stopień tłumienia ξξξξ , który

spełnia relacje:

Analizując uważnie znalezione pierwiastki charakterystyczne r1,2 można powiedzieć, że wyznaczają one trzy obszary zachowania się modelu, zależnie od wartości współczynnika tłumienia h; mianowicie 0ωωωω>>>>h ,

0ωωωω====h 0ωωωω<<<<h Dla udogodnienia dalszej analizy wprowadźmy bezwymiarowy stopień tłumienia ξξξξ , który spełnia

relacje:

Tak więc zasadnicza niezgodność jakościowa modelu z poprzedniego punktu została naprawiona. Jeśli zaś chodzi o ilustrację graficzną rozwiązań (3.10), to jakościowo przedstawiono ją na rysunku 3.5 dla różnych var====ξξξξ .

Patrząc na techniczną aplikację rozwiązań (3.10) można powiedzieć, że tłumienie nadkrytyczne układów drgających ma zastosowanie w konstrukcji różnego typu indykatorów wskazówkowych. Jaskrawym przykładem jest tu galnometr balistyczny stosowany do pomiaru ładunku elektrycznego.

Układy amortyzacji np. samochodów i innych pojazdów należą do przypadków tłumienia podkrytycznego 1<<<<ξξξξ , lecz o dużej specjalnie dobieranej wartości tłumienia. Przybliżony test sprawdzenia amortyzatorów samochodu dopuszcza nie więcej niż dwa wahnięcia po wyprowadzeniu z położenia równowagi. Tak więc

jest to ruch już naprzemienny, 1<<<<ξξξξ , z co najmniej jednym przejściem przez położenie równowagi. Materiały konstrukcyjne, zwłaszcza metale np. stal, duraluminium, cechują się bardzo małym stopniem tłumienia 1<<<<<<<<ξξξξ , rzędu 0,01 i mniej. Stąd też maszyny, urządzenia i instalacje skonstruowane z takich materiałów będą się cechowały słabym zanikiem drgań własnych z wystąpieniem wszystkich niekorzystnych aspektów drgań omawianych w rozdziale 1. Ta sytuacja dużej podatności na drgania konstrukcji mechanicznych jest głównym powodem wprowadzenia nauki o drganiach do programu studiów. Z powyższego wynika, że dalej będziemy się już zajmowali przypadkiem tłumienia podkrytycznego 1<<<<ξξξξ . Stąd też biorąc pod uwagę ten przypadek w (3.10) przedstawmy stałe A1 i A2 w funkcji warunków początkowych xo , vo w zapisie rzeczywistym:

Tak więc z tytułu dyssypacji oprócz efektu zanikania drgań uzyskaliśmy również zmniejszenie częstości i częstotliwości drgań dd f,ωωωω . Przedstawiając zaś ostatecznie rozwiązanie (3.12) graficznie będziemy mieli jak na rysunku 3.6.

Jak widać z rysunku przebieg drgań tłumionych mieści się w obwiedni utworzonej przez

funkcje e t0ωωωωξξξξ−−−−±±±± .

Do celów porównawczych, a przede wszystkim aplikacji technicznych, koniecznym jest wprowadzenie miary tłumienia. Taką miarę może dać porównanie obu sąsiednich wychyleń w tę samą stronę. Jeśli na rysunku 3.6 rozpoczniemy rachubę czasu od pierwszego dodatniego maksimum x1 to zapis drgań zanikających będzie:

Tak więc dla większości obiektów spotykanych w inżynierii mechanicznej 1,0( <<<<ξξξξ istnieje prosty związek między stopniem tłumienia a wielkością bezpośrednio mierzalną z eksperymentu czyli logarytmicznym dekrementem tłumienia. Przykład 1. Podczas testu drgań swobodnych tylnego zawieszenia samochodu zaobserwowano średnie stosunki dwu kolejnych wychyleń:

5,00

1 ====xx

dla lewego koła oraz 6,00

1 ====xx

dla prawego. Znaleźć logarytmiczny dekrement

tłumienia oraz stopień tłumienia zawieszenia każdego z kół

Jak widać stopień tłumienia drgań zawieszenia obu kół jest mały. Przykład 2. Ciężar podniesiony przez suwnicę buja się na linie z częstotliwością

df = 1 Hz, a po dwudziestu wahnięciach amplituda maleje o połowę 5,0

1

02

0 ====xx

Obliczyć parametry ξξξξωωωω ,,, 00 hf .

Rozwiązanie: a) tłumienie z (3.15) po 20 okresach

4.DRGANIA WYMUSZONE MODELU O JSS

Poznaliśmy już najważniejsze cechy swobodnego zachowania się modelu o jednym stopniu swobody, a

także wyciągnęliśmy przesłanki techniczne wynikające z analizy drgań swobodnych. Przyczyna ruchu modelu wynikała tu z zadanych warunków początkowych. Znacznie jednak częściej ruch obiektu, a zatem i naszego modelu, jest odpowiedzią na zewnętrznie zadane wymuszenie siłowe, momentowe bądź kinematyczne. Stąd też pora przejść do analizy możliwych ruchów wymuszonych modelu o JSS. Zanim jednak do tego przejdziemy trzeba przemyśleć możliwe rodzaje wymuszeń w technice i nadać im prostą postać modelową.

4.1. MODELE WYMUSZEŃ

Z racji naszych zainteresowań drganiami będziemy mówić oczywiście o wymuszeniach dynamicznych.

Wiedząc zaś, że z punktu widzenia równań ruchu modelu i ich rozwiązań nie jest konieczne odróżnianie wymuszenia kinematycznego siłowego bądź momentowego skupimy naszą uwagę jedynie na charakterze czasowym wymuszenia dynamicznego. Generalny podział wymuszeń przedstawiony jest na rysunku 4.1, w ślad za [14] z niewielkimi zmianami.

Jak widać z rysunku wymuszenia zdeterminowane nie wymagają istotnych wyjaśnień pojęciowych, gdyż tutaj zawsze mamy podany przepis uzyskania wartości wymuszenia dla danego czasu t, gdyż znamy funkcję F (t). Natomiast proces (wymuszenie) przypadkowy bazuje na pojęciu realizacji (np. kolejny podmuch wiatru) i w skrajnym przypadku jedna realizacja może być niepodobna do drugiej. Jednak w zastosowaniach technicznych wymuszenia przypadkowe są na ogół stacjonarne, co oznacza, że ich charakterystyki czasowe są niezmiennicze.

Do najważniejszych charakterystyk należą tu wartości średnie F oraz amplituda średniokwadratowa FRMS, zdefiniowane dla i-tej realizacji następująco (RMS = root mean square - pierwiastek ze średniego kwadratu):

Jeśli teraz wartość średnią i średniokwadratową będziemy liczyć na dziedzinie realizacji zamiast czasu, to dla każdej j-tej chwili czasu mamy:

co daje, że obliczanie charakterystyk po zbiorze realizacji możemy zastąpić obliczeniem wzdłuż jednej realizacji. W umyśle czytelnika może powstać pytanie czy rozpatrując elementarne zagadnienia drgań jest potrzeba rozwodzić się o procesach przypadkowych? Otóż jeśli weźmiemy drgania maszyn w zakresie częstotliwości wyższych niż obrotowe (hałas, diagnostyka), to konieczność uwzględnienia charakteru przypadkowego wymuszenia jest oczywista. W zagadnieniach dynamiki urządzeń specjalnych, np. obciążenie pługa przy orce itp., jest oczywista konieczność losowego traktowania obciążeń w całym zakresie częstotliwości. Wiedząc o tym przejdźmy obecnie do określenia odpowiedzi modelu na wymuszenie zdeterminowane.

4.2. ODPOWIEDŹ MODELU (UKŁADU) NA WYMUSZENIE ZDETERMINOWANE

Omawiając modelowanie obiektów mechanicznych zaznaczyliśmy, że nasze modele (układy dynamiczne) są liniowe, stacjonarne, zdeterminowane. Własność liniowości pozwala na skorzystanie z zasady superpozycji przyczyn i skutków. która to zasada oddaje nieocenione usługi w analizie drgań wymuszonych. Zasadę tę można określić następująco: jeśli wymuszenie działające na układ (model) da się rozłożyć na szereg wymuszeń elementarnych, )()( tftF n∑∑∑∑==== , to odpowiedź układu liniowego jest sumą odpowiedzi na poszczególne wymuszenia elementarne. Ilustracja tej zasady przedstawiona jest na rysunku 4.2.

Odpowiedź wymuszona każdego układu dynamicznego jest złożona z dwu składników: z odpowiedzi swobodnej, )(txsw , która zanika z upływem czasu oraz ze stacjonarnej odpowiedzi wymuszonej )(txwym , czyli:

Odpowiedź swobodna )(txsw wynika z dwu przyczyn, niezerowych warunków początkowych dla t = O, które musi spełniać odpowiedź całkowita, )(txwymcak , oraz ze sposobu przyłożenia obciążenia w czasie.

Ogólnie można powiedzieć, że )(txsw będzie zerowa jedynie, jeśli warunki początkowe będą zerowe oraz sposób przyłożenia obciążenia w czasie będzie taki, że )0(wymx oraz )0(wymx& będą zerowe. W pozostałych przypadkach będzie ona różna od zera, a jej szybkość zaniku zależna będzie od stopnia tłumienia w modelu.

Po zaniknięciu tych drgań przejściowych dla ptt >>>> otrzymamy tzw. odpowiedź ustaloną:

Za jej pomocą i wzoru (4.5) można wyznaczyć każdą odpowiedź ustaloną, tzn. wyznaczyć drgania wymuszone ustalone układu dynamicznego. Tytułem przykładu w tabeli 4.1 podano kilka obliczonych w ten sposób odpowiedzi układu dynamicznego o JSS dla najbardziej typowych wymuszeń.

Jak widać z tabeli odpowiedzi na wymuszenia stałe i jednostajnie rosnące są diametralnie różne od odpowiedzi na wymuszenia eksponencjalne i harmoniczne. Ponieważ jednak wymuszenie harmoniczne jest wymuszeniem elementarnym z jednej strony i często spotykanym w maszynach o ruchu obrotowym z drugiej, to analizą własności tej odpowiedzi zajmiemy się bliżej.

4.3. REAKCJA UKŁADU NA WYMUSZENIE HARMONICZNE I OKRESOWE

Zdarzenia zdeterminowane jednorazowe lub powtarzające się można zgodnie z teorią szeregów Fouriera [15 ] rozłożyć na zdarzenia elementarne typu sinpt, cospt. Ściślej mówiąc do zdarzeń jednorazowych należy stosować całkę Fouriera, zaś szereg do zjawisk okresowych. Jednak dla wystarczających czasów trwania zdarzeń (znacznie większych niż czas własny układu dynamicznego To) można się posługiwać sztucznym powtórzeniem zjawiska. Jeśli teraz pod pojęcie, zdarzenie, zjawisko, podstawimy wymuszenie działające na układ dynamiczny, to dojdziemy do możliwości wyrażenia prawie każdego wymuszenia w kategoriach harmonicznych wymuszeń elementarnych typu sinpt, cospt. Matematycznie konkluzję tę można zapisać jak niżej: Dla wymuszeń T okresowych:

Zgodnie z tym co powiedziano w punkcie (4.2) ruch całkowity naszego modelu będzie złożony z drgań swobodnych wzbudzonych warunkami początkowymi i przyłożeniem wymuszenia oraz z drgań wymuszonych ustalonych. Pierwszy składnik zanika szybko z czasem, a przedmiotem naszego zainteresowania pozostają drgania wymuszone, których postać czasowa pozostaje podobna do funkcji wymuszającej. W naszym przypadku będzie to funkcja cosinus o niewiadomej amplitudzie i fazie. Tę ostatnią uwzględniliśmy

już w wymuszeniu dodając tam niewiadomą fazę wφφφφ Przewidując więc rozwiązanie postaci:

Dzieląc stronami powyższe, a także niezależnie podnosząc do kwadratu i dodając stronami do siebie, uzyskamy ostatecznie dwie relacje końcowe:

Jak widać jest to formalne zakończenie rozwiązywania drgań wymuszonych ustalonych, gdyż określiliśmy amplitudę A oraz fazę drgań φφφφ . Zanim jednak przejdziemy do dyskusji i wniosków, wprowadźmy niezbędne przekształcenia doprowadzając całość do parametrów bezwymiarowych.

gdzie kst Fx 0==== jest ugięciem statycznym naszego modelu, kmc

2====ξξξξ znanym stopniem tłumienia,

0ωωωωσσσσ p==== - bezwymiarową częstością wymuszenia .Zwróćmy uwagę, że współczynnik dynamiczny wynosi tu

stxA====µµµµ . Rezultaty uzyskane dla amplitudy i fazy drgań wymuszonych najlepiej przedstawić graficznie w postaci zależności od bezwymiarowej częstości wymuszenia σσσσ ze stopniem tłumienia ξξξξ jako dodatkowym parametrem. Rysunek 4.4a przedstawia charakterystykę amplitudową zaś 4.4b fazową drgań wymuszonych.

Najważniejszym wnioskiem wypływającym z powyższych rysunków jest zjawisko rezonansu polegające na zwielokrotnieniu amplitudy drgań w porównaniu z ugięciem statycznym stx . Zjawisko to zachodzi dla 1≈≈≈≈σσσσ tzn. gdy częstość wymuszenia jest równa bądź bliska częstości własnej 0ωωωω układu dynamicznego. Wtedy dla małych 1,0<<<<ξξξξ które nas interesują w inżynierii mechanicznej,

mamy: 22

ΠΠΠΠ======== rezwst

rezxA φφφφξξξξ

. Tak więc jeśli stopień tłumienia 01,0====ξξξξ , co dla materiałów

konstrukcyjnych nie jest rzadkością, to amplituda rezonansowa będzie 50 razy większa od statycznej.

Stąd też w kategoriach naprężeń współczynnik dynamiczny 50========stat

dyn

σσσσσσσσ

µµµµ .

Jest prawie niemożliwe ze względów choćby ciężarowych stosować tak duże współczynniki bezpieczeństwa , by zapobiec zmęczeniu materiałów i katastrofie w rezonansie np. przy 50====µµµµ .

Zwróćmy jeszcze uwagę na pewne cechy szczególne charakterystyki amplitudowej naszego modelu dla 1,0<<<<ξξξξ , które stwarzają inną możliwość pomiaru tłumienia niż za pomocą drgań swobodnych (patrz punkt 3.3)

oraz dają przesłanki do racjonalnej redukcji amplitud drgań w obiektach mechanicznych.

Z wyrażenia (4.11) obliczmy )1(2

====≅≅≅≅ δδδδξξξξst

rezxA oraz amplitudę połowy energii kinetycznej w rezonansie

Ponieważ 22

22

221

21,

21

orez

rezorezrezA

mTtoAmT ωωωωωωωω

========

Jak widać z rysunku szerokość połówkową rezonansu można również wyznaczyć odmierzając 3 dB poniżej

szczytu rezonansowego dB32lg20 ≅≅≅≅ . Ponadto warto podkreślić, że określenie szerokości połówkowej daje nam od razu wartość stopnia tłumienia w układzie 02 ωωωωξξξξωωωω ====∆∆∆∆ r , co daje doskonałą metodę pomiaru tłumienia ze znanej krzywej rezonansowej. Dla porządku warto tu wprowadzić jeszcze czasem stosowane

nazewnictwo - współczynnik strat ξξξξηηηη 2==== oraz dobroć układu ξξξξηηηη 211 ========Q .Weźmy obecnie pod uwagę wzory

(4.10, 4.11) i sprawdźmy od jakich parametrów układu (m, k, c) może zależeć amplituda drgań wymuszonych:

Jak widać z powyższego w strefie przedrezonansowej )( 0ωωωω<<<<<<<<p amplituda drgań wymuszonych determinowana jest przez sztywność (k), układu, w strefie rezonansowej )( 0ωωωω>>>>>>>>p przez tłumienie (c), natomiast w strefie poza rezonansowej )( 0ωωωω>>>>>>>>p przez masę, tak jakby nie było sprężyny i tłumienia (masa swobodna). Wnioski te bardzo istotne dla minimalizacji drgań przedstawiono również na rysunku 4.5.

Wracając obecnie do poruszonego na wstępie wymuszenia T-okresowego typu (4.7) będącego w efekcie sumą harmonik, to zgodnie z rysunkiem 4.2 odpowiedź będzie również sumą odpowiedzi harmonicznych. Te odpowiedzi harmoniczne znajdziemy z (4.10), jeśli zamiast p podstawimy rp, r = 1, 2,.... Tak więc jeśli na model o jednym stopniu swobody (rys. 4.3) działa dowolne wymuszenie zdeterminowane rozkładalne w szereg Fouriera, tzn. gdy

Tak więc na podstawie powyższych formuł potrafimy znaleźć ustaloną odpowiedź naszego modelu na dowolne wymuszenie zdeterminowane długotrwałe (T>>To). Warto na zakończenie zwrócić uwagę, że jeśli wymuszenie (4.13) ma dużą ilość znaczących wyrazów szeregu, to prawie zawsze znajdzie się takie rp bliskie mk====0ωωωω , że układ znajdzie się w stanie drgań rezonansowych. Minimalizując więc drgania należy unikać wymuszeń o dużej ilości harmonicznych. Przykład 1. Obciążenie głowicy frezarskiej lub koparki czerpakowej może być zmodelowane jak na rysunku 4.6.

Znaleźć jego rozkład w szereg Fouriera. Odpowiedź:

Przykład 2. Wibrator bezwładnościowy wprawia w ruch formę wypełnioną zaprawą cementową. Zakładając, że wielkość masy niewyrównoważonej wynosi N o promieniu ρρρρ , zaś masa formy z zaprawą m posadowiona jest na elementach sprężystych o sumarycznych parametrach k,c, znaleźć charakterystykę amplitudową częstością układu formy.

Odpowiedź:

4.4. REDUKCJA DRGAŃ, WIBROIZOLACJA

Jak wyjaśniliśmy obszernie w rozdziale 1 jednym z celów analizy dynamicznej obiektów mechanicznych jest minimalizacja lub redukcja drgań. Dla właściwego naświetlenia zagadnienia weźmy pod uwagę jednocześnie zmodyfikowany rysunek 4.2 oraz wzór (4.14) przedstawiający odpowiedź układu dynamicznego przy wymuszeniu zdeterminowanym, (rys. 4.8).

Jak wynika z analizy wzoru przytoczonego w prawej części rysunku (4.8) minimalizacja odpowiedzi x(t) może polegać na: 1° Zmniejszeniu amplitudy harmonicznych składowych sił wymuszających fr , bądź też nawet o ile to możliwe zlikwidowaniu niektórych składowych fr . 2° Zmianie parametrów układu dynamicznego m,k,c, tak by osiągnąć możliwe minimum amplitudy drgań; patrz wzory (4.12).

Podane wyżej sposoby minimalizacji wypływające z analizy modelu matematycznego układu nie niosą informacji lokalizującej przestrzennie miejsca redukcji drgań. Z tego punktu widzenia dobrze jest wyróżnić układ dynamiczny typu: źródło - droga propagacja - odbiornik (rys. 4.9).

Źródło to okolica obiektu, w której wytwarzana jest siła wymuszająca F(t), natomiast droga propagacji jak i odbiornik (człowiek, maszyna, itp.) to układy dynamiczne jak na rysunku 4.8. Tak więc punkt pierwszy (1°) powyższych poczynań minimalizacyjnych dotyczy w większości źródła drgań, natomiast punkt (20) dotyczy zarówno drogi propagacji jak i odbiornika drgań. Mimo że zmiana parametrów m,k,c naszego układu dynamicznego wyczerpuje możliwości minimalizacji drgań na drodze propagacji, to jednak nie daje zawsze w pełni zadowalającej interpretacji technicznej. Taki szczególny przypadek warty odrębnej analizy i interpretacji widoczny jest na rysunku 4.9, gdzie można wyróżnić przekazywanie sił dynamicznych z maszyny na konstru -

kcję wsporczą oraz przekazywanie przemieszczeń dynamicznych z konstrukcji na układ chroniony (np. człowiek, komputer). W pierwszym przypadku mamy do czynienia z potrzebą wibroizolacji sił, zaś w drugim wibroizolacji przemieszczeń. Modele obu zagadnień przedstawiono oddzielnie na rysunku 4.10 przy założeniu wymuszenia harmonicznego.

Zdefiniujmy funkcję wibroizolacji niezależną od charakteru wymuszenia. W pierwszym wypadku (a) weźmy iloraz amplitud sił, natomiast w drugim (b) iloraz przemieszczeń. Tak więc będziemy mieli:

Patrząc na definicje funkcji wibroizolacji i powyższe można dojść do wniosku, że przenoszenie sił )( FK jest takie samo jak przenoszenie przemieszczeń )( XK , gdyż:

gdzie jak poprzednio:

Konfrontując otrzymany wynik (4.19) z warunkiem wibroizolacji K < 1 możemy powiedzieć, że teoretycznie:

Ze względu jednak na wahania częstości wymuszających maszyn, a także możliwe błędy obliczeń, przyjmujemy zamiast powyższej strefy teoretycznej wibroizolacji jej obszar praktyczny określony nierównością:

Warto zwrócić tu uwagę, że wartość funkcji wibroizolacji (4.19) jest prawie niezależna od tłumienia dla

1,0<<<<ξξξξ , co odpowiada większości przypadków technicznych. Natomiast dla 1~ξξξξ zależy bardzo

istotnie od tłumienia, a efekt wibroizolacji prawie zanika. Pokazane uprzednio własności funkcji wibroizolacji oraz interpretacja techniczna tego zjawiska przedstawiona jest na rysunku 4.11.

Przykład. Agregat sprężarkowy (sprężarka wirowa) należy posadowić elastycznie tak, by współczynnik wibroizolacji był mniejszy lub równy 0,1. Znaleźć ugięcie statyczne amortyzatorów, jeśli obroty agregatu są

n = 1200 obr/min.

Rozwiązanie. Zakładamy 1,0<<<<ξξξξ , wtedy można przyjąć:

4.5. REAKCJA UKŁADU NA WYMUSZENIE KRÓTKOTRWAŁE

Jednym z celów analizy dynamicznej, jak to już niejednokrotnie podkreślono, jest wyznaczenie tzw. współczynnika dynamicznego, który w projektowaniu umożliwia umowne przejście od analizy dynamicznej do statycznej. Pierwszy taki współczynnik dynamiczny µ określiliśmy już dla wymuszenia harmonicznego

(równanie 4.11, rys. 4.4), gdzie np. )1(,21 == σξ

ωrez

Jak się okazuje ten sposób rozumowania w kategoriach nadwyżek dynamicznych można również zastosować do wymuszeń krótkotrwałych, które zgodnie z rysunkiem 4.1 zostały potraktowane jako odrębny typ wymuszenia.

Przed rozpoczęciem analizy warto przytoczyć kilka przykładów takiego obciążenia i sposób ich aproksymacji modelowej. W pierwszym rzędzie tu wymienić zdjęcie lub nałożenie obciążenia na obiekt mechaniczny. Ten sposób pracy jest charakterystyczny dla dźwignic przy podnoszeniu i kładzeniu ciężaru, włączaniu napędu za pomocą sprzęgieł, maszyn obróbczych przy wejściu lub wyjściu narzędzia z obrabianego detalu, itp. Rysunek 4.12 przedstawia te przypadki łącznie z modelową aproksymacją wymuszenia (w dokładniejszych badaniach należy stosować trapezoidalne funkcje włączenia).

Model każdego z tych obiektów można zredukować do układu o jednym stopniu swobody (m.k.c), na który działa siła )()( 00 ttHFtF −= ,

Ponieważ jesteśmy zainteresowani reakcją układu tuż po włączeniu lub wyłączeniu obciążenia, to

można przyjąć c = 0, gdyż w tak krótkim czasie dyssypacja energii nie odgrywa roli. Ograniczając się do przypadku nałożenia obciążenia i zerowych warunków początkowych możemy napisać równanie ruchu:

Jego rozwiązanie można znaleźć za pomocą całki splotu (4.5) lub metodą przedstawioną niżej. Wiemy, że

)()()( . txtxtx ustwymsw ÷= , zaś dla 00 )()( FtHFtF == dla t > 0 koustwym Ftx =)(. Ponadto tBtAtx osw ωω sincos)( 0 += . Kombinując tę wiedzę mamy

0)()(,sincos)( ==++= oxoxkFtBtAtx o

oo &ωω

Po uwzględnieniu warunków początkowych ),0( koFAB −== ostatecznie znajdziemy

skąd współczynnik dynamiczny µ :

Tak więc dla przykładu zdjęcia bądź nałożenia obciążenia należy zawsze przyjmować µ = 2. zaś drgania o

amplitudzie stx odbywają się wokół nowego położenia równowagi tak jak na rysunku 4.14.

W wielu przypadkach zdjęcie i nałożenie obciążenia następuje w niewielkim odstępie czasu rzędu okresu drgań układu. Ponadto istnieje cała klasa obciążeń impulsowych, uderzeniowych, jak np. przy kuciu, wbijaniu pali wybuchach, itp. gdzie mamy do czynienia z jednoimiennymi obciążeniami krótkotrwałymi. Stąd też należy oddzielnie zastanowić się, jak w tych przypadkach wygląda współczynnik dynamiczny. Wpierw jednak parę słów o zastępowaniu rzeczywistych obciążeń impulsowych obciążeniami modelowymi do analizy

uproszczonej. Problem ten rozwiązuje się na bazie równości popędów ∫∞

∞−

= dttFS )( , rzeczywistego i

modelowego Najłatwiej jest zastąpić obciążenie rzeczywiste impulsem siły prostokątnym, tak jak na rysunku 4.15, lecz zasada równości popędów stosuje się do dowolnego kształtu impulsu.

Mając do dyspozycji minikomputer można dokładnie wyznaczyć wartość współczynnika dynamicznego posługując się wprowadzonym już splotem (4.5), skąd:

My jednak kosztem dokładności (niewielkim) chcemy uchwycić związki ogólne rządzące

współczynnikiem dynamicznym µ . Stąd też posługując się aproksymacją - impulsem prostokątnym (rys. 4.15) zauważmy, że można go potraktować jako superpozycję nałożenia obciążenia (np. Fo) w chwili t = 0 oraz zdjęcia obciążenia (-Fo ) w chwili τ=t . Tak więc równanie ruchu naszego modelu będzie:

Zauważmy, że podczas działania obciążenia, tzn. dla τ<t , można napisać poprzednie rozwiązanie (4.23), czyli:

Jeśli zaś obciążenie działa długo, tzn. 2/10

>Tτ , to wyrażenie w nawiasie osiągnie wartość równą 2 .

Stąd też i w tym przypadku dla stxtxMax

T)(2/1

0

=> µτ =2

Jeśli zaś układ nie zdążył uzyskać maksymalnego wychylenia podczas trwania

obciążenia, tzn. gdy 2/10

<Tτ , to dla uzyskania rozwiązania zastosujemy proponowaną

już superpozycję:

Tak więc przesuwając czas o τ dla przypadku zdjęcia obciążenia będziemy na podstawie (4.26) mieli:

Tak więc dla obciążeń istotnie krótkotrwałych, 21

0

<Tτ , można uzyskać współczynnik

dynamiczny mniejszy od dwu, a nawet mniejszy od jedności 6/11(0

<<T

dla τµ .

Dobierając więc długość impulsu bądź okres drgań mamy możność sterowania nadwyżką dynamiczną w układzie (np. elemencie maszyny).

Jako zakończenie naszych rozważań może służyć ilustracja graficzna współczynnika dynamiczności, tak jak na rysunku 4.16, gdzie dla porównania pokazano również działanie impulsów sinusowego i trójkątnego [16].

4.6. REAKCJA UKŁADU DYNAMICZNEGO NA WYMUSZENIE PRZYPADKOWE

W przeważającej części przypadków drgań wymuszonych słuszne jest podejście zaproponowane

powyżej, tzn. rozkładu wymuszenia F(t) na wymuszenia elementarne i synteza odpowiedzi całkowitej z odpowiedzi cząstkowych. Jednak dla wymuszeń przypadkowych podejście to staje się nieefektywne, gdyż zamiast liczyć chwilowe wartości amplitud jak dotychczas, musimy przejść do oceny charakterystyk np. do oceny amplitudy średniokwadratowej (np.FRMS, patrz 4.1). Można wyliczyć wiele przypadków dynamiki obiektów mechanicznych, gdzie wymuszenie ma charakter przypadkowy, a przy pewnych ograniczeniach nawet stacjonarny i ergodyczny. Można tu wymienić reakcje obiektów morskich (statki, platformy wydobywcze, itp.) na falowanie morza, reakcje dźwigów i innych urządzeń na podmuchy wiatru, zbiorników na szerokopasmowe pulsacje ciśnienia zasilającego a także reakcje wszelkiego typu pojazdów na profil drogi. Najprostszy model wymuszenia przypadkowego możliwy do zastosowania w tych przypadkach to tzw. biały szum pasmowy. Wymuszenie można określić przez analogie do rozkładu Fouriera, w którym wszystkie współczynniki mają taką samą amplitudę, leżącą bardzo blisko siebie i faza ich fluktuuje w sposób przypadkowy. Średniokwadratową amplitudę takiego wymuszenia można obliczyć na podstawie (4.1) i twierdzenia Parsevala:

gdzie )(ωF jest transformatą Fouriera realizacji F(t). Jeśli wprowadzimy pojęcie gęstości widmowej mocy procesu )(ωFFG obrazujące rozkład mocy procesu w skali częstości ω , to możemy napisać:

To samo rozumowanie można i trzeba zastosować do obliczania średniego kwadratu amplitudy reakcji układu o jednym stopniu swobody.

Jak wynika z (4.5) reakcje obiektu nożna wyznaczyć jako splot:

który w dziedzinie częstotliwości dzięki transformacie Fouriera ma postać:

Tutaj )(ωH jest transmitancją naszego modelu i można ją wyznaczyć na dwa sposoby. Jako transformację Fouriera odpowiedzi impulsowej (4.6) bądź jako iloraz amplitudy odpowiedzi na wymuszenie harmoniczne (4.1l) do amplitudy tej siły. W każdym przypadku po obliczeniach otrzymamy:

Tak więc znając matematyczną gęstość widmową wymuszenia Go (matematyczną -bo istnieje w paśmie 11 ωω +− tzn., również dla ujemnych częstości) oraz parametry układu możemy znaleźć średniokwadratową amplitudę odpowiedzi układu dynamicznego.

Porównajmy uzyskany wynik z deterministycznym i harmonicznym wymuszenie rezonansowym. Jak wiadomo w tym przypadku mamy:

Porównując średnie kwadraty odpowiedzi na wymuszenie przypadkowe (4.35) oraz harmoniczne rezonansowe (4.36) widzimy tu te same parametry układu dynamicznego: m,, 0ωξ . Spróbujmy więc doprowadzić oba wzory do takiej postaci, by obliczyć równoważne wymuszenie przypadkowe.

Dla odpowiedzi rezonansowej można ostatecznie więc napisać:

Korzystając z objaśnień rysunku i przechodząc do fizycznej gęstości widmowej mocy możemy zamiast (4.35) napisać:

Jeśli weźmy pod uwagę koncepcje szerokości powłokowej rezonansu (patrz rys. 4.5) 02ξωω =∆ r i wprowadzimy do powyższej równości, to uzyskamy:

Tak więc fizyczną gęstość widmową mocy należy tu pomnożyć przez czynnik 2Π -oraz przez szerokość

połówkową rezonansu układu. Takie postawienie zagadnienia jak wyżej uwalnia nas od trudnych rozważań teorii drgań przypadkowych, a jedynie zmusza do wyznaczenia gęstości widmowej mocy G. Przy naszych uproszczeniach typu biały szum pasmowy jest to proste, co zobrazowano również na rysunku 4.17. Jeśli 2F jest średnim kwadratem siły wymuszającej mającej płaskie widmo do 1ω , to gęstość widmowa w

modelu białego szumu pasmowego będzie 1

2

ωFG = lub matematyczna

1

2

0 2ωFG =

Tak więc obliczenie amplitudy odpowiedzi lub jej kwadratu według (4.38 - 4.40) nie powinno sprawić trudności.

Przykład. Średni kwadrat nierówności profilu drogi wynosi 22 2mmz = i można je uważać za biały szum pasmowy w paśmie 0 ÷ 10 Hz. Znaleźć amplitudę średniokwadratową nadwozia przy założeniu częstości rezonansowej nadwozia na resorach 2 Hz i awarii tłumików )01,0( =ξ oraz synchronicznego ruchu wszystkich czterech kół po profilu drogi.

Rozwiązanie: Model jak na rysunku 4.18. Zastępcza siła wymuszająca działająca na masę nadwozia jest kzzzkzckztF ≅+=+= )2()( 0ωξ && bo 01,0=ξ przy awarii tłumików w amortyzatorach. Wobec tego:

5.DRGANIA MODELU O DWU STOPNIACH SWOBODY (DSS)

Mimo dużych możliwości interpretacyjnych modelu o jednym stopniu swobody w dynamice obiektów mechanicznych, nie jest on w stanie wyjaśnić wszystkich zjawisk drganiowych, zwłaszcza w obiektach o budowie niejednorodnej z gwałtowną zmianą własności masowo-sprężysto-dyssypacyjnych. Taką gwałtowną zmianą będzie np. podparcie bryły sztywnej sprężynami i tłumikami w wielu płaszczyznach, podwieszenie do belki ciężaru na linie (wahadło), wstawienie podatnego sprzęgła w linii napędowej agregatu maszynowego, posadowienie operatora na amortyzowanym fotelu itp. We wszystkich tych przypadkach zamiast jednego stopnia swobody musimy uwzględnić kilka stopni swobody ruchu drganiowego. Najmniejszą komplikację wyróżnia się tu model o dwu stopniach swobody. Co więcej można na jego przykładzie wyjaśnić większość cech szczególnych układów o wielu stopniach swobody. Z drugiej strony gros zastosowań w dziedzinie minimalizacji drgań mieści się w kategoriach układów o dwu stopniach swobody. Mając na uwadze powyższe nasze dalsze rozważania ograniczymy do dwu stopni swobody (DSS), wskazując w niektórych miejscach na możliwość uogólnień.

5.1. OBIEKTY MECHANICZNE I ICH MODELE O DSS

Jak pamiętamy z rozdziału 2 oraz 3 zastąpienie obiektu mechanicznego właściwym modelem o JSS

nie zawsze było łatwe. Znacznie trudniejsze jest to jednak dla modelu o DSS, gdyż tutaj dodatkowe trudności dochodzą na etapie model fizyczny - model matematyczny". Stosowana przez nas poprzednio metoda transformacji do modelu matematycznego za pomocą zasady d'Alemberta (dla ruchu postępowego lub obrotowego) nie zawsze jest pomocna. W wielu przypadkach przy budowie modelu matematycznego trzeba się posługiwać równaniami Lagrange′a II rodzaju [17], bądź nawet metodą sił lub przemieszczeń dla układów belkowych [l6,18,19]. Pozostawiając z braku miejsca na uboczu dwie ostatnie metody pokażemy niżej kilka przykładów modelowania obiektów mechanicznych do modeli o DSS z wykorzystaniem równań Lagrange′a bądź zasady d'Alemberta.

Jako pierwszy obiekt weźmy pod uwagę suwnicę bramową podrywającą ukośnie nosiwo o masie M na linie o długości l, tak jak na rysunku 5.1. Przyjmując że sztywność belki nośnej suwnicy jest duża, mamy dwa wypadkowe ruchy drgające; suwnicy w kierunku x powstrzymywany przez sprężystość konstrukcji zk i wzbudzany dodatkowo siłą F(t) oraz ruch wahliwy nosiwa. Jeśli oznaczymy

Współrzędna masy suwnicy mz : x, współrzędne masy nosiwa M: x1=x+1 sin φ y1=1(1 - cos φ ). Stąd po wyliczeniu prędkości mamy: energia kinetyczna

gdzie φδδ ,x , to przemieszczenie przygotowane. Pamiętamy, że równania Lagrange′a [[17] dla współrzędnej uogólnionej jq . mają postać:

gdzie D jest funkcją dyssypacji zależną od prędkości uogólnionej, zaś jQ . to siły uogólnione działające we współrzędnej o numerze j.

Zastosowanie tych równań do wyrażeń na energię (5.1) da nam ostatecznie równania ruchu modelu z rysunku 5.1 w postaci:

Jak widać na skutek zastosowanych założeń o małej wartości kąta φ , co nie zawsze będzie słuszne,

otrzymaliśmy układ dwu równań różniczkowych liniowych sprzężonych poprzez przyspieszenia mas Mmz , . Ten typ sprzężenia, powszechny dla układów z wahadłami, nosi nazwę sprzężenia bezwładnościowego. Sprzężenie to jest tu dość proste na skutek wymuszenia ruchu punktu zawieszenia wahadła jedynie w kierunku prostopadłym do kierunku sił ciążenia ziemskiego. W następnych dwu przykładach punkt zawieszenia liny będzie się poruszał w kierunku pionowym, co niewspółmiernie skomplikuje zagadnienie. Sytuację taką daje dźwig wieżowy, oraz suwnica pomostowa przedstawione schematycznie łącznie z modelem fizycznym na rysunku 5.2.

Jak widać mimo zastosowanych założeń o małej wartości kąta wychylenia nosiwa φ , równania ruchu sprzężone bezwładnościowo jak poprzednie są tutaj nieliniowe, gdyż zawierają iloczyny szukanych zmiennych (podkreślone). Rozwiązywanie takich równań nie jest proste i można je wykonać: analitycznie poprzez różnego typu linearyzację członów nieliniowych [np. 20], numerycznie całkując krok po kroku np. metodą różnic skończonych, oraz na modelu analogowym modelując elektrycznie równania różniczkowe i obserwując ich

Umieszczając zastępczą siłę wymuszającą F (t) pod kabiną operatora można w tym samym miejscu skupić zastępczą masę, sztywność i tłumienie belki suwnicowej (o metodach takiej redukcji patrz w rozdziale ostatnim) szs cmk , . Uznając, że ciało człowieka w pozycji siedzącej o masie cm będzie sztywniejsze niż sprężynowanie fotela, ff ck , , mamy tym samym dokończony bardzo prosty model fizyczny naszego zagadnienia. Wystarczy tu zastosować znaną zasadę d'Alemberta (patrz rys. 5.3), by otrzymać:

Otrzymamy układ równań jest liniowy i posiada sprzężenie ruchu poprzez człony sprężyste, taką też nosi nazwę. Warto tu dodać, że równania o sprzężeniu bezwłasnościowym można doprowadzić przez odpowiednie liniowe przekształcenie do sprzężenia sztywnościowego i odwrotnie. Stąd też wnioski ogólne uzyskane dla jednego typu sprzężenia muszą być słuszne dla innych typów sprzężeń. Będzie to podstawą naszych dalszych rozważań.

Jako kolejny obiekt mechaniczny rozważmy jazdę samochodu po nierównościach, przy założeniu ruchu płaskiego i małych drgań (rys. 5.4).

Ruch pojazdu traktujemy jako płaski , tak więc ustalona jest prędkość liniowa środka masy x& ,

kątowa wokół tego punktu φφφφ& oraz deformacje sprężyn równe : )(,)( 222111 tylzxtylzx −−−−−−−−====−−−−++++==== φφφφφφφφ Tak więc wyrażenie na energię będą

2222

2111

22 )(21)(

21,

21

21 ylzkylzkVIzMT c −−−−−−−−++++−−−−++++====++++==== φφφφφφφφφφφφ& ( 5.7 )

Po zastosowaniu równań Lagrange′a otrzymamy równania ruchu w postaci [ 19 ] :

)()()()(,)()()()(

111222222

2111122

2211112221

tylktylklklkzlklkItyktyklklkzkkzM

c −−−−========++++−−−−++++

++++====−−−−++++++++++++

φφφφφφφφφφφφ

&&

&& ( 5.8 )

które jak widać są liniowe z sprzężeniem typu sprężystego. Na zakończenie weźmy przykład agregatu silnika elektrycznego – pompa

i rozważmy jego drgania skrętne. Niech momenty bezwładności wirników będą: pompy pI , silnika sI , zaś sprężystość skrętna wału k. Uwzględnimy ponadto moment : napędowy )(tM n i

Układy tego typu mające swobodę ruchu w jednej współrzędnej (tutaj obrót całości) noszą nazwę układów półokreślonych, gdyż jak łatwo sprawdzić ich pierwsza częstość własna jest zerowa. Jest to cechą charakterystyczną wszystkich linii napędowych maszyn [ patrz np. 21] oraz pojazdów, jeśli rozważymy drgania w kierunku ruchu (pociąg, rakieta, itp.).

5.2. CZĘSTOŚCI WŁASNE I POSTACIE DRGAŃ WŁASNYCH UKŁADU O DSS

Wyżej przedstawiliśmy zasadnicze problemy modelowania układów o dwu stopniach swobody. Podkreśliliśmy także, że w ramach układów liniowych istnieje prosta transformacja między układami o sprzężeniu bezwładnościowym (5.4, 5.5) i sprężystym (5.8, 5.9). Możemy wobec tego dalej dokonać analizy własności układów o DSS na przykładzie układów o sprzężeniu sprężystym.

Ogólny typ układu o DSS i sprzężeniu sprężystym przedstawiono na rysunku 5.6.

Weźmy najpierw pod uwagę drgania swobodne 0)()( 21 ≡≡≡≡≡≡≡≡ tFtF ,bez tłumienia 021 ============ ccc , gdyż można podejrzewać, że wpływ tłumienia na układ o DSS nie będzie jakościowo różny niż dla układu o JSS. W takim razie nasze wyjściowe równanie ruchu będzie:

Z algebry wyższej wiadomo, że rozwiązania niezerowe (5.13) tzn. 0, 21 ≠≠≠≠AA będą jedynie wtedy, gdy zerować się będzie wyznacznik układu, czyli:

Tym samym otrzymaliśmy równanie na wyznaczenie dwu częstości drgań własnych, 2

221 , ωωωωωωωω , z którymi

mogą zachodzić drgania swobodne układu o DSS. Zwróćmy uwagę, że wyznacznik ( 5.14 ), a więc i równanie częstości, tworzą jedynie parametry masowosprężyste. Tak więc częstości 21 ωωωωωωωω i , zależą jedynie od rozkładu i wartości mas i sprężystości: kkkmm ,,,, 2121 .

Każda z częstości własnych 21 , ωωωωωωωω , określa ruch elementarny układu (harmoniczny o tej częstości), wobec tego ruch ogólny układu o DSS musi być syntezą dopuszczalnych ruchów elementarnych, czyli syntezą cząstkowych drgań własnych. Tak więc rozwiązanie równań ruchu (5.11) można wyrazić w postaci:

Zauważmy przy tym, że pierwszy wskaźnik w amplitudzie jiA oznacza numer współrzędnej a drugi numer częstości własnej. Jeśli popatrzymy na proponowane rozwiązanie (5.15) poprzez pryzmat warunków początkowych równania (5.11), gdzie mamy dane ,)0(,)0(,)0(,)0( 2211 xxxx && , to (5.15) zawiera o dwie niewiadome za dużo. Wróćmy zatem do niewykorzystanego w pełni układu

co jak widać jest rozwiązaniem w pełni określonym, gdyż 211211 ,,, φφφφφφφφAA wyznaczymy z czterech znanych warunków początkowych. Wróćmy jednak do ilorazów (5.17) i (5.18), czyli 21 , µµµµµµµµ . Określają one relację jaka musi być zachowania między amplitudami mas m1. i m2 podczas drgań elementarnych z częstością

)( 11 µµµµωωωω , bądź częstością )( 22 µµµµωωωω Stąd też mówi się ,że 21 µµµµµµµµ i , określają postać drgań własnych układu, czyli dozwolone stosunki amplitudalne. Dla układu o JSS mieliśmy jedynie dozwoloną częstość drgań w postaci częstości własnej 0ωωωω . Tutaj zaś mamy dwie dozwolone częstości drgań 21 , ωωωωωωωω , zwane częstościami własnymi i związane z tym dwa dozwolone stosunki amplitudowe 21 ; µµµµµµµµ zwane postaciami własnymi. Tak więc dla określenia ruchu własnego układu o DSS należy podać częstości i odpowiadające im postacie własne

);( 11 µµµµωωωω oraz );( 22 µµµµωωωω . Analogicznie będzie dla układów o większej liczbie stopni swobody. Sytuację powyższą ilustruje rysunek 5.7, skąd można zauważyć, że druga postać własna wymaga zmiany

fazy drgań o 180°, 02 <<<<µµµµ , tzn. masy m1 i m2 drgają w przeciwfazie. Mówiąc o postaciach własnych nie można pominąć jeszcze jednej ich własności, a mianowicie ich

wzajemnej ortogonalności (prostopadłości) , którą łatwo wyprowadzić z zasady wzajemności sił i pomieszczeń [16]. Dla n stopnia swobody własność tę można zapisać następująco:

Czytelnik z pewnością rozpisze tę własność dla dwu stopni swobody. Kończąc zagadnienie drgań swobodnych układu o DSS należy dodać jeszcze słowo o tłumieniu.

Jego wpływ jakościowy jest taki sam jak dla JSS, stąd też dla 0)()( 21 ======== tFtF rozwiązania równań (5.10) można napisać przez analogię:

Jak widać zjawiają się tu wykładniki tłumienia 21 , hh , częstości drgań własnych tłumionych *2

*1 , ωωωωωωωω i

również postacie własne. Wielkości te wyrażają się jednak w skomplikowany sposób przez parametry układu, stąd też nie warto dalej się tu w to zagłębiać. Zainteresowanym można polecić bogatą literaturę [ 5, 12, 18, 22, 23, 24 ].

5.3. DRGANIA WYMUSZONE MODELU O DSS

Dla każdego z obiektów zmodelowanych w punkcie 5 1 do DSS niezbędna jest znajomość drgań

Jak widać z rysunku zastosowano tu wzór Eulera przedstawienia funkcji trygonometrycznych. Takie podejście ułatwia niewspółmiernie rachunek, należy jednak pamiętać, by na końcu obliczeń zastosować oczywiste rozumowanie:

jeśli wymuszenie )(Recos)( tieFtFtF ωωωωωωωω ======== ,

to odpowiedź [[[[ ]]]])()( txeRtx ==== .

Tak więc stosując postać zespoloną wymuszenia dogodną rachunkowo należy na końcu przejść do dziedziny rzeczywistej wg podanej wyżej zasady. Równania ruchu układu z rysunku 5.8 mają postać:

Rozpatrując drgania wymuszone ustalone (po wygaśnięciu drgań swobodnych spowodowanych włączeniem wymuszenia) możemy przyjąć:

2221212212122

2

121121112

1

)()(

)()(

Fxkxxkxicxxicxm

Fxxkxxicxm

====++++−−−−++++++++−−−−++++−−−−

====−−−−++++−−−−++++−−−−

ωωωωωωωωωωωω

ωωωωωωωω ( 5.23 )

a w postaci macierzowej :

FXKXCiXM ====++++++++−−−− ωωωωωωωω2 ( 5.24 )

gdzie:

gdzie X jest wektorem amplitud drgań, F - wektorem wymuszeń, M, K, C to macierze bezwładności, sztywności i tłumienia. Jeśli oznaczymy macierz sumaryczną przez D:

KCiMD ++++++++−−−−==== ωωωωωωωω 2 i nazwiemy ją macierzą dynamiczną układu, to równanie (5.24) przyjmie ostateczną postać:

FXD ==== (5.25) Z algebry macierzy otrzymujemy rozwiązanie postaci:

FiHFDX )(1 ωωωω======== −−−− (5.26) czyli:

gdzie ji∆∆∆∆ są dopełnieniem algebraicznym macierzy D, zaś Di

iH jiji det

)()(

ωωωωωωωω

∆∆∆∆====

transmitancjami układu. (Transmitancja )( ωωωωiH ji to amplituda odpowiedzi w punkcie j" na jednostkowe wymuszenie harmoniczne w punkcie i"). W tym przypadku przy wymuszeniu siłowym i odpowiedzi przenieszczeniowej transmitancja nosi nazwę podatności".

Mimo że nasze rozważania zaczęliśmy od dwu stopni swobody, to wprowadzony zapis wektorowo macierzowy daje możliwość uogólnień na n" stopni swobody, przy odpowiedniej zamianie rzędu i elementów wektorów i macierzy. W takim razie odpowiedź układu o n stopniach swobody w współrzędnej s-tej może być na podstawie (5.26) wyrażona w postaci:

j

n

jjss FiHX )(

1ωωωω∑∑∑∑

====

==== (5.27)

tzn. amplituda drgań s-tej współrzędnej jest sumą przyczynków od każdej siły wymuszającej.

5.4. ZASTOSOWANIA - ELIMINACJA I IZOLACJA DRGAŃ

W wielu przypadkach inżynierii mechanicznej całe konstrukcje, maszyny, narzędzia, elementy maszynowe wykazują zbyt duże amplitudy drgań wymuszonych, za duże ze względu na trwałość i niezawodność, dokładność, itp. Modelem naszego narzędzia, elementu maszynowego, itp. niech będzie układ o jednym stopniu swobody o parametrach K, M drgający pod wpływem siły wymuszającej F tωωωωsin . Podejrzewamy, że dołączenie układu dodatkowego o parametrach k, m może polepszyć sytuację drganiową (rys. 5.9).

Dla jasności wykładu pominiemy na razie role tłumienia w układzie h=0, a układając równania ruchu otrzymamy:

Przyjęcie oczywistych rozwiązań:

daje:

W ślad za Den Hartogiem [23] przyjmiemy następujące oznaczenia :

KFxst ==== - ugięcie statyczne układu głównego (modelu obiektu),

mk

n ====2ωωωω - częstość drgań własnych układu dołączonego (eliminatora),

MK

n ====ΩΩΩΩ 2 - częstość drgań własnych układu głównego,

Mm====µµµµ - stosunek masy eliminatora do obiektu, a po prostych przekształceniach

otrzymamy:

Analizując amplitudy drgań mas w funkcji częstości wymuszenia można powiedzieć, że masa eliminatora A2, będzie miała zawsze różną od zera amplitudę drgań (poza przypadkiem granicznym ∞∞∞∞→→→→ωωωω ). Natomiast masa główna będzie miała zerową amplitudę drgań dla nωωωωωωωω ==== , tzn. wtedy gdy eliminator nastrojony będzie swą

częstością własną, na częstość wymuszenia. Można pokazać, że w tym przypadku nastrojenia ( nωωωωωωωω ==== ) eliminator oddziaływuje na masę główną z siłą równą sile wymuszającej, lecz w przeciwfazie. Następuje więc kompensacja sił i masa układu głównego ma zerową amplitudę drgań wymuszonych. Eliminator ten nosi nazwę dynamicznego, gdyż jedynym jego warunkiem pracy jest ωωωωωωωω ====n , czyli: częstość własna eliminatora = częstości wymuszenia. Nadmierne amplitudy drgań układu głównego (rys. 5.9a) mogą wystąpić w dwu przypadkach: dla każdego

),0( ∞∞∞∞∈∈∈∈ωωωω przy potężnej amplitudzie siły wymuszającej oraz dla nΩΩΩΩ====ωωωω , tzn. w rezonansie przy małej sile wymuszającej i małym tłumieniu. Ten ostatni przypadek jest znacznie częstszy. Wtedy warunek eliminacji drgań będzie:

nn ΩΩΩΩ========ωωωωωωωω , czyli :

MK

mk ========ωωωω (5.30)

Do pełnej analizy zachowania się eliminatora dynamicznego należy wziąć pod uwagę wpływ ilorazu masy µµµµ , wpływ tłumienia, itp. Nie mając na to miejsca zainteresowanych odsyłamy do literatury [23, 5, 14], podając

jednocześnie główne wnioski z tych badań. Otóż im większe Mm====µµµµ , tym szerszy zakres eliminacji drgań,

jednak ze względów oczywistych masa dołączona m jest mniejsza od masy układu głównego M tzn. 1<<<<µµµµ . Wpływ tłumienia na zjawisko eliminacji drgań jest istotny, szczególnie w układzie eliminatora (patrz rys. 5.9 tłumik wrysowany linią przerywaną). Optymalnie dobrane tłu mienie likwiduje prawie całkowicie dwa rezonanse na charakterystyce układu o DSS.

Całe zagadnienie dobrze ilustruje rysunek 5.10 zaczerpnięty od Den Hartoga [23], gdzie podano

charakterystyki częstościowe drgań masy głównej )(1 ωωωωfxA

ts

==== dla trzech przypadków tłumienia:

1° c = 0 z widocznym dobrze zerowaniem się amplitudy drgań, 2° tpocc ==== z doskonale wytłumionymi rezonansami, 3° ∞∞∞∞====c , co daje zwarcie masy dużej z małą i układ główny z powiększoną masą do "M+m", widać tu rezonans tego nowego układu niewiele różnego od układu wyjściowego (5.9a).

Wiele przykładów zastosowań i konkretnych konstrukcji dynamicznych eliminatorów drgań można znaleźć w [5,23]. Tutaj warto jedynie wspomnieć, że maszynka do strzyżenia włosów pracuje bez

szarpania dzięki eliminatorowi; przypomnieć, że w każdym sprzęgle pojazdu znajduje się eliminator drgań, a także wskazać, że eliminator to nie tylko masa i sprężyna, to także może być wahadło, kulka we wgłębieniu itp. Te ostatnie typy eliminatora dynamicznego znajdują szczególne zastosowanie w likwidacji drgań wału korbowego silników spalinowych, przy czym dzięki wykorzystaniu siły odśrodkowej daje się je nastroić na harmoniczne częstości obrotowej.

Na zakończenie zagadnień eliminacji drgań warto wspomnieć o innym rodzaju eliminatorów tzw. rezonansowych, które jedynie są skuteczne w rezonansie układu głównego ( nΩΩΩΩ====ωωωω ), odmiennie niż dla eliminatora dynamicznego. Jego ogólny schemat dynamiczny i charakterystykę przedstawiono na rysunku 5.11.

Tajemniczy niesprężysty element sprzęgający z rysunku 5.11 o zastępczej wartości tłumienia CZ, może być zwykłym tłumikiem olejowym, tłumikiem ciernym (nieliniowym), a nawet może mieć postać zespołu mas dodatkowych pracujących uderzeniowo (rys. 5.12). Dla zainteresowanych tą tematyką można polecić pracę doktorską Z.Golca [25].

Zastosowanie układów o DSS to również zagadnienie wibroizolacji maszyn poruszone już w p. 4.4 przy układach o JSS. Jeśli na rysunku 5.8 pominiemy dla prostoty tłumienie, a wymuszenie zachowamy jedynie przy masie 1m , to będzie to przypadek maszyny ( 1m ) jako źródła wymuszenia ( 1F ) posadowionej na wibroizolatorze ( 21 ,kk ) z masą pośrednią ( 2m ), (patrz rys. 5.13).

Napisanie równań ruchu i ich rozwiązanie dla 21 , xx , a następnie obliczenie siły przekazywanej na podłoże 22 xkR ==== pozostawimy czytelnikowi. Tutaj jedynie wypunktujemy najważniejsze wnioski w porównaniu z wibroizolacją w układzie o JSS (patrz p. 4.4). Tam w układzie mieliśmy jeden rezonans, tutaj dwa (dwie masy, dwa stopnie swobody, dwie częstości własne -

- rezonansowe). Podobnie więc po minięciu strefy rezonansu wystąpi strefa wibroizolacji. Dla układu o JSS w mianowniku mieliśmy kwadrat częstości )( 2ωωωω , tutaj mamy .jej czwartą potęgę ( 4ωωωω ). Stąd jest wniosek, że w miarę wzrostu częstości i w strefie wibrolzolacji jej efektywność jest większa dla układu z masą pośrednią

)1( 4ωωωωniż dla układu o JSS )1( 2ωωωω

. Tak więc tam gdzie jest możliwe stosowanie masy pośredniej , będziemy ją

zalecali dla zwiększenia efektywności wibroizolacji. Przykład. Dla eliminacji drgań skrętnych wału korbowego, wymuszonych częstością drugiej harmonicznej odpaleń cylindrów ωωωω w całym zakresie obrotów, postanowiono zamontować w miejscu maksymalnych drgań skrętnych dwa symetryczne eliminatory wahadłowe. Znaleźć ich parametry. Rozwiązanie:

Zakładamy, że układ jest symetryczny, a znając warunek nastrojenia eliminatorów nΩΩΩΩ====ωωωω2 , (druga harmoniczna), trzeba jedynie znaleźć częstość własną nΩΩΩΩ , wahadła w polu sił odśrodkowych spowodowanych obrotem wału z prędkością kątową ωωωω . Na masę m w takim ruchu działa siła odśrodkowa F wzdłuż L, siła Coriolisa z tytułu ruchu względnego równa x&φφφφ2 wzdłuż i oraz siła bezwładności, z tytułu ruchu na ramieniu l. Biorąc ich rzuty na kierunek ruchu masy mamy:

,0sin2 ====++++ ααααωωωω Lmxm &&&

ale : ,sinsin ψψψψψψψψααααlR

lR ≅≅≅≅====

zaś ψψψψ dla małych kątów można wyrazić jako .LX====ψψψψ

Wobec tego po podstawieniu :

,0

,0

,0

,0

2

2

2

2

====ΩΩΩΩ++++

====++++

====++++

====++++

xx

xlRx

Lx

lRLmxm

lRLmxm

n&&

&&

&&

&&

ωωωω

ωωωω

ψψψψωωωω

skąd :

.lR

n ωωωω====ΩΩΩΩ

Tak więc strojenie eliminatora polega na doborze R oraz l tak, by .2/ ====lR

6.REDUKCJA OBIEKTU MECHANICZNEGO DO MODELU O JSS

Mimo że rozważaliśmy w poprzednim punkcie modele układów o dwu stopniach swobody, to w

zastosowaniach nie wyszliśmy poza ramy szeregowego połączenia dwu układów o jednym stopniu swobody. Typowym przykładem jest tu zagadnienie eliminacji drgań, gdzie do znanego modelu układu głównego, dołączamy znany, nastrojony odpowiednio układ dodatkowy zwany eliminatorem drgań. Widać stąd, że nasze potrzeby określenia parametrów modelu, masy, sztywności, tłumienia nie wykraczają poza redukcje obiektu mechanicznego (np. układu głównego, czy dodatkowego) do jednego stopnia swobody. Z natury rzeczy metody określenia nie są dokładne lecz przybliżone. Ich źródło leży w głównej mierze w zasadach mechaniki. I tak zasada zachowania energii mechanicznej jest podstawą metod Rayleilgh′a oraz Dunkerley - Southwela, którymi zajmiemy się niżej, zasada najmniejszego działania służy jako podstawa do metody Ritza, zaś metodę Galerkina można interpretować na gruncie zasady prac przygotowanych. Nie mając miejsca na szersze oświetlenie tych metod zajmiemy się jedynie trzema pierwszymi, a zainteresowanych odsyłamy do bogatej literatury przedmiotu [16,18,19,26,27].

6.1. CEL I MOTYWACJA METOD PRZYBLIŻONYCH

Rzeczywiste obiekty mechaniczne a także ich elementy to skomplikowane układy o ciągłym rozkładzie własności mechanicznych: inercji, sztywności i tłumienia. W istocie więc własności te są funkcjami promienia wodzącego r, tak że c = c(r), k = k(r), m = m(r). Chcąc więc w miarę dokładnie analizować własności dynamiczne obiektów i ich elementów składowych, należy rozwiązywać układy równań różniczkowych cząstkowych ze skomplikowanymi warunkami brzegowymi. Ograniczając się jedynie do prostych elementów składowych obiektów, możemy je przybliżać modelami układów ciągłych, takich jak: wałek pracujący na skręcanie, pręt ściskany, belka zginana, płyta, powłoka. Rozwiązywanie równań ruchu i szukanie odpowiedzi na wymuszenie tych elementów nie jest takie proste, nie mówiąc już o obiektach złożonych z tych elementów. W takich przypadkach szukamy zawsze pomocy i inspiracji do rozwiązania problemu w danych eksperymentalnych w znanych już charakterystykach amplitudowo-częstotliwościowych. Z charakterystyk tych (patrz np. rys. 6.l) można wyciągnąć następujące istotne wnioski:

- amplituda drgań wymuszonych maleję wraz ze wzrostem częstotliwości osiągając granicę szumu powyżej

kilkuset Hz, - najwyższymi amplitudami cechują się drgania w pierwszym lub drugim rezonansie obiektu, - rezonanse obiektu (zwłaszcza pierwsze), są wyraźne, tak że w sąsiedztwie każdego możemy obiekt traktować jako mający jeden stopień swobody.

Tak więc dyssypacja energii i względne separacje rezonansów w dziedzinie niskich częstotliwości pozwalają nam traktować skomplikowany obiekt mechaniczny jako mający jeden istotny stopień swobody (jeden istotny rezonans). Stąd też w wielu przypadkach redukcje obiektu do jednego stopnia swobody, tzn. określenie zastępczych parametrów: cz - zastępczego tłumienia, kz - zastępczej sztywności, mz - zastępczej masy,

0ωωωω - pierwszej częstości własnej, jest w zupełności wystarczające. Zadanie to można zilustrować graficznie jak na rysunku 6.2, gdzie R jest punktem redukcji własności w obiekcie, drgającym z amplitudą A oraz pierwszą częstością własną 0ωωωω , którą również należy wyznaczyć.

6.2. OSZACOWANIE ZASTĘPCZEGO TŁUMIENIA OBIEKTU

Parametr ten jest niezbędny przy oszacowaniu amplitudy odpowiedzi rezonansowej modelu bądź szybkości zaniku drgań, itp. Do jego wyznaczenia musimy się niestety posłużyć eksperymentem jako punktem wyjścia. Najdogodniejszy będzie tu tzw. test impulsowy polegający na impulsowym (uderzeniowym) wymuszeniu obiektu w punkcie spodziewanego działania wymuszenia i odbiorze odpowiedzi w punkcie redukcji R

Jako wynik uzyskamy obraz drgań zanikających.

a przy użyciu odpowiednich filtrów górno przepustowych możemy odrzucić nieinteresujące nas wyższe częstotliwości własne, otrzymując wynik jak na rysunku 6.3.

Jak widać z rysunku wynikiem eksperymentu będzie logarytmiczny dekrement tłumienia ∆∆∆∆ , bądź stopień tłumienia ξξξξ oraz częstość własna 0ωωωω , co może nam w przyszłości posłużyć do weryfikacji obliczeń i uzyskanego modelu.

Pamiętając że stopień tłumienia wyraża się przez parametry układu (patrz 3.9) możemy w naszym przypadku napisać:

Tak więc znając z eksperymentu dekrement logarytmiczny ∆∆∆∆ oraz z dalszych obliczeń zastępcza masę i sztywność ),( zz km , potrafimy wyznaczyć wartość zastępczego tłumienia

zc w naszym modelu obiektu.

6.3. METODA RAYLEIGH'A, ZASTĘPCZA MASA I SZTYWNOŚĆ

Poprawne przejście od obiektu rzeczywistego do jego modelu wymaga zachowania zasad modelowania. Naczelne zasady w mechanice wypływają z funkcji energii, stąd też żądając podobieństwa zachowania się modelu do obiektu musimy zachować podobieństwo funkcji energii. Muszą więc zachodzić następujące definicje równości: - energii kinetycznej; Tobiektu = Tmodelu .

- energii potencjalnej; Vobiektu = Vmodelu (6.3)

- energii dyssypowanej; Dobiektu = Dmodelu W poprzednim punkcie wykorzystaliśmy zasadę o równości energii dyssypowanej w obiekcie i

modelu. Mamy wobec tego jeszcze do wykorzystania dwie pierwsze relacje, aby w pełni zrealizować ideę budowy modelu zastępczego z rysunku 6.2.

Obliczmy dla danych modelu z tego rysunku całkowitą energię mechaniczną, czyli tzw. Hamiltonian układu:

gdzie Vmax jest amplitudą energii potencjalnej zaś Tmax energii kinetycznej bez kwadratu częstości własnej

0ωωωω . W takim ujęciu równość (6.5) można wyrazić:

który daje metodę oszacowania najniższej częstości własnej obiektu mechanicznego, jeśli z prawej strony podstawić funkcje energii obiektu zgodnie z zasadą modelowania (6.3).

Jak dowiedzieliśmy się z badania drgań układów o dwu i wielu stopniach swobody (rozdział 5) układy te mają swe postacie drgań charakterystycznych dla każdej częstości drgań własnych. Zachodzi więc pytanie, jak wybrać postać drgań przy obliczaniu energii (6.6), by otrzymać najlepsze oszacowanie częstości własnej. Otóż zgodnie z metodą Rayleigh′a postać drgań musi być zawsze zgodna z warunkami brzegowymi obiektu a dla oszacowania najniższej częstości własnej dogodnie jest przyjąć postać własną jako deformację pod wpływem obciążenia własnego. Może to być np. ugięcie statyczne, pręta, belki, płyty itp. Wyrażenia na energię tych elementarnych układów rozciągłych przedstawimy w następującym punkcie, tutaj zaś zajmiemy się dalej obliczeniem parametrów zastępczych modelu z rysunku 6.2. Popatrzmy jeszcze raz na zasady modelowania (6.3) w świetle znanych postaci wyrażeń na energię, a zwłaszcza ich amplitud Vmax Tmax .Wykorzystując to mamy:

W takim razie parametry zastępcze modelu łącznie z jego częstotliwością własną (6.6) można wyrazić w postaci:

Tak więc parametry modelu mz , kz redukowane są do punktu R (patrz rys.6.2; z jego amplitudą drgań A, natomiast częstość drgań własnych jest własnością wspólną dla całego obiektu Znając obecnie wyrażenia na energie (T,V), obiektu lub jego modelu rozciągłego możemy obliczyć częstość drgań oraz sztywność, masę i tłumienie zastępcze modelu.

Na zakończenie tego punktu dwa słowa o dokładności obliczeń; otóż jest ona tym większa im lepiej potrafimy przybliżyć rzeczywisty kształt deformacji dynamicznej układu przy pierwszej częstości własnej.

Niemniej jednak można wykazać [27], że otrzymany wynik jest zawsze zawyżony, tzn. że 20

20 ωωωωωωωω >>>>

rzeczywistej . Ta nadwyżka jest zwykle rzędu kilku do kilkunastu procent.

6.4. ENERGIA DRGAŃ PROSTYCH MODELI ROZCIĄGŁYCH

Mając na uwadze ogólny typ obiektu mechanicznego z rysunku 6.2 możemy jedynie napisać następujące wyrażenie na amplitudy energii

gdzie ρρρρ (x ,y ,z) to gęstość masy, v(x ,y ,z) - amplituda prędkości drgań bez 2

0ωωωω , ΩΩΩΩ - obszar określoności obiektu, ii σσσσεεεε , - odkształcenia liniowe i naprężenia normalne, ijij γγγγττττ , - naprężenia styczne i odkształcenia kątowe. Są to oczywiście części amplitudalne tych wielkości bez części czasowej typu

t0sinωωωω bądź t0cosωωωω . Jeśli weźmiemy pod uwagę elementarne modele układów rozciągłych, to wyrażenia (6.8) przyjmą

bardziej konkretną postać,

Jak się wydaje, ten zapas wiedzy o wyrażeniach energii układów rozciągłych jest do naszych celów wystarczający. Wypada tu jedynie przypomnieć, że

),(),(),(),( yxWxYxxU φφφφ , to amplitudy deformacji dynamicznych, które zgodnie z metodą Rayleigh′a winny spełniać warunki brzegowe, a dla oszacowania pierwszej częstości własnej obiektu można je przybliżać zgodnie z deformacjami pod obciążeniem własnym. W przypadku skomplikowanej postaci deformacji pod obciążeniem własnym postać drgań obiektu można przybliżać postacią drgań obiektu prostszego - podobnego.

Przykład. Silnik wyciągarki o masie M zamontowany jest na słupie jednorodnym o parametrach ...,0 ELFρρρρ . Przyjmując punkt redukcji na szczycie słupa znaleźć parametry zastępcze mz, kz oraz częstość drgań własnych z zamiarem skonfrontowania jej z obrotami silnika.

Zatem w powyższym ujęciu sztywność pręta się nie zmienia kz = ks, lecz obliczając masę zastępczą Ten sam wynik obowiązuje w obliczeniach dynamicznych sprężyn, (np. zaworowych), gdzie przy wysokich częstościach zachodzi konieczność uwzględnienia masy sprężyny.

6.5. UKŁADY ZŁOŻONE, METODA DUNKERLEY - SOUTWELL'A

W wielu przypadkach zastosować mamy do czynienia z układami złożonymi z wielu elementów inercyjnych lub/i sztywnościowych, których kompozycja tworzy jeden układ drgający. Podanie bądź określenie przestrzennego sposobu drgań (postaci), nawet w sposób przybliżony do zastosowania metody Rayleigh′a, nie jest proste. Znacznie prostsze jest jednak podanie sposobu drgań (postaci) poszczególnych subelementów, gdyż nasza wiedza o małych układach izolowanych jest daleko więcej precyzyjna. Na tej zasadzie oparte jest rozszerzenie metody Rayleigh′a podane przez Dunkerley'a dla układów będących kompozycją łatwych do oddzielenia elementów inercyjnych [27, 28, 29 ] oraz Southwell′a dla układów będących kompozycją elementów sprężystych [27, 28, 29].

Jako pierwszy rozważmy przypadek układu złożonego z kompozycji elementów sprężystych łatwych do wydzielenia, tak że energia sprężysta całego układu da się wyrazić jako suma energii izolowanych podukładów. Tak więc zakładamy, że

to znaczy, że energia sprężysta jest separowalna natomiast kinetyczna określona jednym wyrażeniem. Uwzględniając powyższe założenie w formule Reyleigh′a (6.6) otrzymamy:

Do tej pory, jak łatwo zauważyć z powyższego, formuła Rayleigh′a była jedynie formalnie przekształcona, a wprowadzone oznaczenie:

oznacza fikcyjną częstość drgań i-tego podukładu liczoną przy uwzględnieniu deformacji całego układu.

Ale na początku tego rozdziału stwierdziliśmy, że nasza wiedza o odkształceniach izolowanego układu jest dokładniejsza. Podstawmy więc do (6.15) zamiast odkształceń całego układu odkształcenia i-tego podukładu izolowanego:

Jeśli takie podejście uwzględnimy w przekształconym wzorze (6.14), to pisząc zamiast 22

0 , sωωωωωωωω (Soutwell) otrzymamy:

Jest to właśnie formuła Southwell′a wyliczenia częstości własnej układu złożonego na podstawie znajomości częstości własnych układów izolowanych. Otrzymany w ten sposób wynik jest zawsze zaniżony w stosunku do rzeczywistej częstości własnej układu (w rzadkich przypadkach równy).

Przykłady zastosowań Przykład 1. (Obrazujący jedynie ideę izolacji podukładów). Masa M podparta jest na dwu

sprężynach k1 i k2. Znaleźć częstość własną układu. Zasadę dekompozycji układu przedstawiono niżej.

to M

kks

212 ++++====ωωωω i jak widać uzyskaliśmy wynik dokładny, gdyż przy równoległym

połączeniu sprężyn ich współczynniki się sumują. Przykład 2. Nieco podobny, lecz bardziej bliski rzeczywistości. Masa i moment

bezwładności silnika napędowego młynka jest znacznie większa od masy głowicy roboczej o masie M zamontowanej na końcu wału wspornikowego. Oprócz tego głowica podparta jest w elastycznych łożyskach o sztywności radialnej k. Znaleźć częstość własną układu. Modelowanie i dekompozycje układu przedstawiono niżej.

Przykład 3. Znaleźć częstość własną belki podpartej obustronnie i rozciąganej siłą N.Układ

rozkładamy na belkę drgającą giętnie bez naciągu oraz strunę o tej samej masie z naciągiem N (struna nie posiada sztywności na zginanie) jak niżej.

Przykład 4. Łopatkę wirnika turbiny, śmigła samolotu lub helikoptera można zmodelować jako belkę wspornikową poddaną zmiennemu na przelocie działaniu siły odśrodkowej.

W ślad za Panowką [28] podamy ideę rozwiązania zgodnie z metodą Raylelgh′a oraz Southwell′a .

Energia potencjalna belki zginanej i rozciąganej wynosi:

Energia kinetyczna pochodzi tylko od ruchu poprzecznego elementów belki, stąd:

Przyjmując odpowiednią linię ugięcia łopatki np. 2

2

)(lxAxY ==== oraz dane dla E, ρρρρ , D, l

możemy znaleźć wartość liczbową częstości drgań 20ωωωω .

Częstość izolowanego układu pierwszego 01ωωωω to pierwszy człon w obliczonym uprzednio ilorazie Rayleigh′a:

Podukład drugi to struna o naciągu zmiennym na jej przelocie. Nie możemy więc wykorzystać wzoru z przykładu 3. Możemy jedynie obliczyć parcjalną częstość własną tego podukładu metodą Rayleigh′a. Częstość tę przedstawia drugi człon poprzedniego wyrażenia na 2

0ωωωω . Jest więc jedynie kwestia linii deformacji struny, a nie ugięcia belki jak wyżej. Oznaczając deformację struny przez U będziemy mieli:

Tak więc częstość własna belki wirującej z prędkością kątową obliczona wg metody Southwell′a

wynosi:

Jest to częstość belki będącej w spoczynku powiększona o częstość wirowania. Warto sprawdzić z wyprowadzonego poprzednio wzoru Rayleigh′a, że w tym przypadku wynik na 2

0ωωωω będzie wyższy 22

0( sωωωωωωωω >>>>

Poprzestając na powyższych przykładach układów złożonych separowanych wg energii sprężystej weźmy pod uwagę sytuację przeciwną; jednoczłonowego wyrażenia na energię sprężystą i separowalną na części energię kinetyczną związaną z inercją. Tak więc zakładamy, że:

Podobnie jak poprzednio częstości 1ωωωω są częstościami własnymi fikcyjnych podukładów inercyjnych, na jakie można rozbić układ wyjściowy, liczone z ogólnej deformacji tego układu. Jeśli teraz weźmiemy deformacje subukładów, które jesteśmy w stanie określić znacznie dokładniej niż dla całego układu, to zamiast częstotliwości iωωωω . musimy napisać i0ωωωω a zamiast 2

0ωωωω Rayleigh'a oszacowanie Dunkerley′ a 2Dωωωω .

Tak więc jeśli policzymy częstości cząstkowe z deformacji układów cząstkowych, tzn.:

to ostatecznie z (6.19) uzyskamy oszacowanie Dunkerley'a [27, 28, 29]:

Oznacza to, że odwrotność kwadratu częstości własnej układu złożonego separowalnego inercyjnie jest równa sumie odwrotności kwadratów częstości własnych fikcyjnych podukładów liczonych na swych własnych deformacjach. Ten uproszczony sposób obliczeń układów złożonych nosi nazwę metody Dunkerley′a i podobnie jak w metodzie Southwell′a daje wyniki zaniżone w porównaniu do rzeczywistej częstości własnej obiektu.

Przykłady zastosowań Przykład 1. Na drążonym wale silnika lotniczego zamontowane są wirnik turbiny o masie 1m . i sprężarki o masie 2m . Znaleźć pierwszą częstość drgań giętnych wału. Uznając

drążony wał jako nieważki w porównaniu z masami wirników możemy przyjąć model nieważkiej belki podpartej obustronnie i obciążonej masami.

Przykład ten możemy jeszcze inaczej rozwiązać, jeśli zmierzymy lub obliczymy ugięcia statyczne 2211 , ∆∆∆∆∆∆∆∆ belki pod ciężarem gm1 oraz gm2 oddzielnie. Wtedy według znanego wzoru Geigera mamy:

To podejście może być rozciągnięte na belki wieloprzęsłowe obciążone wielu masami (wały z wieloma wirnikami).

Przykład 2. Silnik wyciągarki zamontowano na końcu belki wspornikowej. Znaleźć częstość własną układu bez obciążenia. Dane belki: ρρρρ F, E, I, l, masa silnika M.

Przykład 3. Element maszynowy drgający podłużnie można zmodelować jako szeregowy układ dwu masowy połączony prętami o długości l i sztywności 2 EF oraz EF. Oszacować jego pierwszą częstość własną. Szkic układu i jego dekompozycję przedstawiono niżej.

Wiemy, że pierwszy podukład ma sztywność lEF2 i winikającą stąd częstość

mlEF

o22

1 ====ωωωω .

Drugi podukład jako połączenie szeregowe dwu prętów l

EFo 3

221 ====ωωωω oraz wynikającą stąd

częstość

mlEF

o 322

2 ====ωωωω . W takim razie oszacowanie Dunkerley´a będzie :

EFml

EFml

EFml

D

223

21

2 ====++++====ωωωω

Stąd:

Jest przy tym oczywiste, że ten sposób rozumowania można rozciągnąć na podobne układy wielomasowe.

6.6.DOKŁADNOŚĆ METOD PRZYBLIŻONYCH

Wyżej poznaliśmy dwie metody przybliżone szacowania częstości drgań oraz parametrów zastępczych rzeczywistych obiektów mechanicznych. Metody te korzeniami tkwią w zasadzie zachowania energii mechanicznej; wprost metoda Rayleigh′a i jej rozwinięcie na układy złożone separowalne, zgodnie z metodą Southwell′a - Dunkerley′a.

Metody te jako elementy wyjściowe biorą wyrażenia na amplitudę energii potencjalnej P i kinetycznej K rozpatrywanego układu złożonego. Obie energie zależą wprost od postaci drgań, np. U(x), lub jej pochodnych. Tej postaci drgań nigdy nie znamy dokładnie, stąd też Rayleigh zaleca przyjmować jako postać drgań deformację pod obciążeniem własnym, bądź w przypadkach skrajnych każdą inną funkcję spełniającą warunki brzegowe obiektu. Jest przy tym oczywiste, że im większe odstępstwo od rzeczywistej deformacji dynamicznej, tym większy błąd w obliczeniu częstości własnej. Ta trudność w określeniu rzeczywistej deformacji układów złożonych jest źródłem metody Dunkerley′a - Southwell′a, gdzie deformacje układu zastępuje się deformacjami subelementów wynikających z dekompozycji układu wyjściowego. Są to jak widać dwa odmienne podejścia, które dają inny rodzaj oszacowania rzeczywistej częstości własnej. Można pokazać [27,26,29], że metoda Rayleigh′a szacuje częstość własną od góry natomiast sposób Dunkerley-Southwell′a od dołu, tak jak na rysunku 6.5.

Dla ilustracji tych istotnych własności metod przybliżonych rozważymy poniższy przykład.

Przykład. Łopata śmigła helikoptera z silnikiem odrzutowym na końcu może być zmodelowana jako nieważka belka z masą M na końcu, rozciągana siłami odśrodkowymi. Obliczyć jej częstość własną metodą Southwella i Rayleigh′a [28].

Przypomnijmy sobie, że problem podobny rozważaliśmy jako ilustrację metody Southwella w przykładzie 4 dla belki masowej. Uzyskany tam wynik dla podukładu struny jest słuszny również w tym przypadku. Wynosi on:

Zgodnie z metodą Rayleigh′a częstość własną obliczymy z wzoru

Przyjmując linie ugięcia łopaty w postaci:

i całkując kolejno otrzymamy:

W takim razie rzeczywista częstość własna łopaty z silnikiem Rωωωω zawarta jest w granicach:

Tym przykładem zilustrowaliśmy dostatecznie, jak się wydaje, siłę wnioskowania

energetycznych metod przybliżonych. Jak stąd widać, ich dokładność będzie w wielu przypadkach zupełnie wystarczająca do celów zastosowań inżynierskich. Jeśli zaś wymagane są wyniki dokładniejsze, to w przytoczonej tu literaturze można znaleźć całą gamę metod bardziej dokładnych ale i bardziej kłopotliwych i wymagających zaawansowanych technik i środków obliczeniowych.

7.ZAKOŃCZENIE

Studiujący uważnie ten skrypt mieliśmy okazję zapoznania się z elementarnymi zagadnieniami dynamiki obiektów mechanicznych. Mimo że podana tu wiedza bazuje modelowo na układzie o jednym stopniu swobody, to może ona być wystarczająca dla inżyniera mechanika pracującego w dziedzinie konstrukcji. wytwarzania lub eksploatacji maszyn i urządzeń. W sferze konstrukcji pozwala ona w mniemaniu autora przewidzieć elementarne reakcje obiektów mechanicznych i tę wiedzę wykorzystać do celów polepszenia ich jakości. W sferze wytwarzania i eksploatacji pozwala ona wytłumaczyć dynamiczne za-chowanie się obiektów mechanicznych, a w przypadkach niekorzystnych przedsięwzięć odpowiednie środki zaradcze. Zrozumienie zachowania się obiektu mechanicznego to polowa sukcesu w przeciwdziałaniu. Lektura tego skryptu może również pomóc w odpowiedzi na wiele pytań, np.: dlaczego po deszczu amplituda drgań fundamentu sprężarki wirnikowej wzrasta? Odpowiedź prawdopodobna to: poziom wody gruntowej wzrasta powodując wzrost sztywności posadowienia sprężarki, tym samym częstość drgań układu sprężarka-fundament zbliża się do częstości obrotowej. Skrypt ten będzie niewystarczający w dziedzinie konstrukcji obiektów specjalnych, o dużych rozpiętościach, takich jak statki morskie i powietrzne, samoloty, rakiety, itp., a także w zagadnieniach optymalizacji konstrukcji maszynowych, gdzie modele dynamiczne o JSS lub DSS są już niewystarczające. Wtedy w pierwszym rzędzie należy się skierować po pomoc do różnego typu poradników [5,27,31,34], literatury preferującej podejście numeryczne do zagadnień drgań np. [30,32], a następnie do najnowszych pozycji przeglądowych w tej dziedzinie jak np. wychodzący raz w miesiącu "The Shock and Vlbration Digest" [33]. Jak się wydaje dobrym uzupełnieniem skryptu mogą być pytania kontrolne, na podstawie których można się przekonać o stopniu opanowania materiału. Możliwy zbiór takich pytań przedstawiono poniżej.

7.1. PYTANIA I ZAGADNIENIA KONTROLNE

Rozdział 1 1. Dlaczego drgania zmniejszają trwałość, dokładność, niezawodność maszyn i urządzeń oraz

bezpieczeństwo pracy w ich pobliżu? 2. Wyjaśnij na czym polegają pożyteczne zastosowania drgań. 3. Na czym polega diagnostyka drganiowa obiektów mechanicznych?

Rozdział 2 1. Uzasadnij stwierdzanie, że ten sam obiekt mechaniczny może być źródłem wielu modeli

dynamicznych. 2. Omów stosowane uproszczenia i ich dopuszczalność w modelowaniu. 3. Przedstaw sposoby otrzymania modelu matematycznego. 4. Przedstaw i omów cele analizy dynamicznej i sposoby jej przeprowadzania..

Rozdział 3 1. Przedstaw kilka modeli układów mechanicznych drgających translacyjnie i skrętnie i

uzasadnij analogie oraz możliwości wspólnej analizy. 2. Przedstaw równoważność modelową wymuszenia siłowego i kinematycznego. 3. Omów rolę parametrów układu w drganiach swobodnych układu o JSS. 4. Uzasadnij wzór Geigera i przedstaw jego zastosowanie. 5. Rola i miary tłumienia w układzie o JSS.

Rozdział 4 1. Uzasadnij rolę wymuszenia harmonicznego na tle możliwych modeli wymuszeń. 2. Omów elementy odpowiedzi układu na dowolne wymuszenie zdeterminowane. 3. Wyjaśnij zjawisko rezonansu i rolę parametrów układu w drganiach układu o JSS. 4. Wyjaśnij istotę współczynnika dynamicznego przy wymuszeniu harmonicznym. 5. Przedstaw sposób obliczenia reakcji na wymuszenie okresowe. 6. Idea i warunki wibroizolacji. 7. Omów współczynnik dynamiczny przy wymuszeniach impulsowych. 8. Przedstaw ideę obliczeń reakcji na wymuszenie przypadkowe. Od czego ono zależy?

Rozdział 5 1. Przedstaw istotę różnic między drganiami swobodnymi układów o JSS i DSS. 2. Wyjaśnij pojęcie postaci własnej, czym jest ona determinowana? 3. Scharakteryzuj odpowiedź swobodną układu o DSS. 4. Idea eliminacji drgań, eliminatory. 5. Omów zalety i wady izolacji prostej i złożonej.

Rozdział 6 1. Dlaczego możemy traktować złożone obiekty mechaniczne za pomocą prostych metod

przybliżonych? 2. Przedstaw sposób oceny zastępczego tłumienia obiektu. 3. Przedstaw sposób oceny zastępczej masy, sztywności i częstości własnej obiektu. 4. Przedstaw korzyści dekompozycji układów złożonych do elementarnych układów

fikcyjnych. 5. Oceń dokładność metod przybliżonych i drogi jej podwyższania.

DODATEK

D.1. NOMOGRAM DRGANIOWY W zagadnieniach analizy drgań, zwłaszcza ich pomiaru, częstą koniecznością staje się przechodzenie z

jednej wielkości drganiowej na inną. Bardzo pomocnym w tym względzie może być poniższy nomogram słuszny dla amplitud drgań harmonicznych (skutecznych bądź szczytowych).

D.2. CZĘSTOŚCI DRGAŃ WŁASNYCH CZĘSTO SPOTYKANYCH UKŁADÓW

MECHANICZNYCH [5]

Układy masa - sprężyna w ruchu translacyjnym (masa sztywna, sprężyna bezmasowa) k = sztywność sprężyny, m = masa, nωωωω = częstość własna (rad/sec).

Połączenia sprężyn, kz = sztywność zastępcza.

Sztywność sprężyny śrubowe.!

d = średnica drutu, D = średnica zwoju, n = ilość czynnych zwojów, E = moduł Younga, G = moduł Kirchhoffa.

Układy wał - wirnik (sztywny wirnik, bez masowy wał) kt = sztywność skrętna wału, I = masowy moment bezwładności wirnika.

Bez masowe belki z punktowym obciążeniem masowym m = masa, l = długość, belki, I = moment bezwładności przekroju belki względem osi obojętnej, E = moduł Younga.

Masowa sprężyna. pręt. belka z punktowym obciążeniem masowym m = masa punktowa, ms, mp, mb = masa sprężyny, pręta, belki, k = sztywność sprężyny, E = moduł Younga, I = moment bezwładności przekroju względem osi obojętnej, F = przekrój poprzeczny

Bez masowa płyta kołowa z punktową masa na środku

a = średnica płyty, h = grubość, q = współczynnik Poissona

Różne układy dynamiczne g = przyspieszenie ziemskie, l = długość, a = odległość, R = promień.

LITERATURA

[1] Jakubowicz A., O r ł o ś Z., Wytrzymałość materiałów, PWN, ..Warszawa 1968. [2] Buch A, Zagadnienia wytrzymałości zmęczeniowej, PWN, Warszawa 1964. [3] Juvinall R. Stress, Strain and Strength. McGraw Hill, New York 1967. [4] Cempel C., The fatique limits vlbration of machine and structural elements, LDH, Report Nr 99, 1980. [5] H a r r i s C.M., C r e d e C.M., editors, Shock and Vibration Handbook, ch.44 sec. edition, McGraw Hill, New York 1976. [6] Marchelek K., Dynamika obrabiarek, WNT, Warszawa 1974. [7] Komosiński J., Analiza drgań noża tokarskiego przy podłużnym toczeniu stali St 45 z uwzględnieniem procesu zużycia, PTPN, Poznań 1971. [8] C e m p e l C., Wibroakustyka stosowana, PWN, Warszawa-Poznań 1978. [9] Baйнберг Д.B., Лисаренко Ф.С. Механические колебания и их роль в механике, Наука, Москва 1965. [10] Filipczyński L., Pawłowski Z., Wehr J., Ultradźwiękowe metody badania materiałów, PWNT, Warazawa 1963. [11] Cempel C., Podstawy wibroakustycznej diagnostyki maszyn, PWN, Warszawa 1982. [12] C a n n o n R.H.Jr., Dynamika układów fizycznych. WNT, Warszawa 1973. [13] Rothbart H.A., editor, Mechanical Design and Systems Handbook, chap. 6, McGraw Hill Co., New York 1964. [14] Cempel C., Minimalizacja drgań maszyn i ich elementów, w zbiorze pt. Współczesne zagadnienia dynamiki maszyn, Ossolineum, .WROCŁAW 1976, str. 5-90. [15] Leja F., Rachunek różniczkowy i całkowy, wyd. 12, PWN, Warszawa 1973. [16] C l o u g h R. W., Penzien J., Dynamics of structures,

McGraw Hill Co., New York 1975. [l7] L e y k o J., Mechanika ogólna, T. I i II, PWN, Warszawa 1969. [18] Kaliski S. red.. Drgania i fale w ciałach stałych, PWN, Warszawa 1966. [19] W o r o s z y ł S., Przykłady i zadania z teorii drgań, t. I i II, PWN, Warszawa 1976. [20]] Osiński Z., Teoria drgań, PWN, Warszawa 1978. [21] Wiśniewski St., Dynamika maszyn. Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 1974. [22] V e r n o n J.B., Linear Vibration Theory, John Wiley, New York 1967.

[23] Den H a r t o g J.P., Drgania mechaniczne, PWN, Warszawa 1971. [24Osiński Z., Tłumienie drgań mechanicznych, PWN, Warszawa 1979. [25] Golec Z., Badania porównawcze efektywności eliminatorów drgań, Praca doktorska. Politechnika Poznańska, WBM, Poznań 1979. [26] Solecki R., Szymkiewicz J., Układy prętowe i powierzchniowe. Arkady. Warszawa 1964. [27] Болотин B.B. (редактор,) Вибрации в тесхнике , том 1 Машиностроение , Москва l978.

[28] Пановко Я.А. , Основы прикладной теории упругих колебаний,

Машиностроение, Москва 1967 [29] Jacobsen L.S., A y r e R.S., Engineering Vibrations, Mc Graw Hlll Co., New York 1958. [30] B i s h o p R.E.D., Gladwell G.M.L., Michael-s o n S., Macierzowa analiza drgań, WNT, Warszawa 1972. [31] Биргиер И.А. Пановко Я.Т. Прочность Устойчивость Колебания, том 1-3 Машиностроение, Москва 1965. [32] Warburton G.B., The Dynamical Behoviour of Structures, Pergamon Press, Oxford 1976. [33] The Shock and Vibration Digest, a publication of The Shock and Vibration Information

Center, Naval Research Laboratory, Washington, D.C., USA. [34] Вибрации в технике, справочник, том 1-6 Машиностроение, Москва 1980, 1981.