Drgania harmoniczne – wielkość drgająca zmienia się

sinusoidalnie lub cosinusoidalnie w czasie

Drgania – zjawiska powtarzające się okresowo

Ruch drgający

Przykłady drgań:• wahadło zegara• drgania mostu, wywołane przejeżdżającymi pojazdami• drgania skrzydeł samolotu• drgania atomów (molekuł) w węzłach sieci krystalicznej• obwód drgający LC• .........

Okres ruchu harmonicznego (T) – czas trwania jednego pełnego drgania, czas powtarzania się każdego pełnegoprzemieszczenia lub cyklu

Częstotliwość drgań () – liczba drgań (cykli) w jednostce czasu

]Hz[1

T

Położenie równowagi – położenie, w którym na punkt materialny niedziała żadna siła

Przemieszczenie – odległość drgającego punktu od położenia równowagi w dowolnej chwili

22

T

Wielkości opisujące ruch harmoniczny

kxF

2

2

dt

xdm

dt

dvmF kx

dt

xdm

2

2

02

2

xm

k

dt

xd

Na oscylator działa siła harmoniczna

Z II zasady dynamiki Newtona

Jest to równanie różniczkowe drgań harmonicznych

Wahadło wykonuje ruch harmoniczny. Papier rejestratora przesuwa się ze stałą prędkością v – pozostawiony ślad – wychylenie wahadła z położenia równowagi - można opisać funkcją okresową

v

x(t)

32

1cos

2cos

2

20cos0cos0

0

0

AA

Ax

Ax

cos0 0 Axxt

Jeśli, np.

tAx ocos

0 +A-A x0

tAadt

xd

tAvdt

dx

o

a

o

v

cos

sin

max

max

202

2

0

tAx ocos

02

2

xm

k

dt

xd

0coscos20 tA

m

ktA oo

m

k

m

k 0

20 0

Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie zmieniają się w ruchu harmonicznym okresowo.

częstość drgań własnych

częstość drgań własnych zależy od współczynnika sprężystości i masy ciała

Energia kinetyczna drgań

tAmmv

Ek 022

02

2

sin22

Energia potencjalna drgań

tAmxmkxEp 0222

022

02 cos

2

1

2

1

2

1

Energia całkowita

2200

22200

2220 2

1cos

2

1sin

2

1AmtAmtAmE

EEE pk

max

22

222

0;0

2

1

2

1

2

1

vvxvAx

xAm

kv

kAkxmvEE pk

zależność prędkości punktu drgającego od wychylenia

Punkt drgający przechodzi przez położenie równowagi z maksymalna prędkością. W punktach zwrotnych prędkość = 0.

Wahadło wychylone z położenia równowagi porusza się dzięki składowej siły ciężkości

dla małych kątów

Z równości tych sił

Wahadło matematyczne

sinmgF

kxFl

xmgmgF

20m

l

mgkkx

l

xmg

g

lT

Tl

g 22

220

mg

N

F

okres drgań wahadła matematycznego

kąt [stopnie]

kąt [radian

y]sinus

0 0 0

2 0.0349 0.0349

5 0.0873 0.0872

10 0.1745 0.1736

15 0.2618 0.2588

Wahadło fizyczne

mg

d

O Moment siły sinmgdM

2

2

dt

dIIM

0

2

2

2

o

I

mgd

dt

d

Dla małych kątów sin

mgd

IT

o

22

Dmgd

D – moment kierujący wahadła

Drgania tłumione

vFt kxF

02

2

2

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd

vkxdt

xdm

Na ciało o masie m działają siły:

Równanie Newtona

0 5 10 15 20

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

t

0 20

teAx t sin0

x

teAx t sin0

tteAvdt

dx t cossin0

ttteAadt

xd t sincos2sin 2202

2

Znajdziemy rozwiązanie równania ruchu w postaci

0 2 4-6

-4

-2

0

2

4

6

x(t)

t

0 2 4-6

-4

-2

0

2

4

6

v(t)

t

0 2 4-6

-4

-2

0

2

4

6

a(t)

t

Porównanie zależności od czasu: wychylenia z położenia równowagi, prędkości i przyspieszenia w drganiach harmonicznych i tłumionych

m2

220

współczynnik tłumienia

częstość drgań tłumionych

Drgania wymuszone

vFt kxF

tm

Fx

m

k

dt

dx

mdt

xd

tFvkxdt

xdm

sin

sin

02

2

02

2

tAx sin

tFtF sin)( 0

tAx sin

Na ciało o masie m działają siły

oraz siła wymuszająca

Równanie ruchu Rozwiązanie równania ruchu

0 2 4 6 8 10

-2

0

2x=

3co

s(2

t+

t

0 10-6

0

6

F=

5co

s2t

Należy wyznaczyć amplitudę drgań wymuszonych A i przesunięcie fazowe między siłą a przemieszczeniem

- kąt o jaki maksimum przemieszczenia wyprzedza maksimum siły

mk2

2tan

222220

0

4

1

m

FA

Przesunięcie fazowe – siła-przemieszczenie

Amplituda

00

k

F

m

FA 0

20

0

1.

222220

0

4

1

m

FA

0,02

tan20

2

Jak amplituda drgań wymuszonych i przesunięcie fazowe zależą od częstości siły wymuszającej?

amplituda nie zależy od częstości

0

20

mF

A

2.

2

220

224

0

222220

0

41

1

4

1

4

1

m

F

m

F

m

FA

0

4

2sin

222220

14

cos22222

0

220

0 3.

222220

0

4

1

m

FA

m

FA

20

1

4

2sin

222220

04

cos22222

0

220

2

A0

0

4

42

822

222220

222220

2220

0

m

F

d

dA

220

220

2

2220

2220

22

02

0822

rez

Rezonans – amplituda osiąga wartość maksymalną

częstość rezonansowa

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00

2

4

6

8

10

= 1

= 0

czestotliwosc

ampl

ituda