Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA Iwozniak/fizyka1_pliki/8_Grawitacja.pdf ·...

http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Katedra Optyki i Fotoniki

Wydział Podstawowych Problemów Techniki

Politechnika Wrocławska


Wykład FIZYKA I

8. Grawitacja

http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/

CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA)

Wzajemne przyciąganie się ciał jest źródłem jednej z podstawowych sił wfizyce – sił przyciągania, które podlegają prawu powszechnego ciążenia(grawitacji). Prawo to podał Isaac Newton (1687; pierwsze obserwacje już od1655):


Między każdymi dwoma punktami materialnymi działa siła wzajemnego przyciągania, wprost

proporcjonalna do iloczynu mas tych punktów (m1 i m2) a odwrotnie proporcjonalna do

kwadratu odległości r między nimi.

2

21

r

mmGF

W postaci wektorowej prawo to można zapisać jako:

F12 to siła, z jaką punkt „2” działa na punkt „1”, r12 to promień

wodzący, łączący punkt drugi z pierwszym.

123

12

2112 r

r

mmGF

m1 m212F

12r


Współczynnik to stała grawitacji,

wyznaczona po raz pierwszy doświadczalnie w 1797 r. przez Henry`ego

Cavendisha przy użyciu tzw. wagi skręceń.


221110672,6 kgNmG

(długie, cienkie włókno kwarcowe, ołowiane kule)

Pomiar Richardsa z 1898r

Dziesięć najpiękniejszych eksperymentów z fizyki


Ciężar ciała (inaczej: siła ciążenia) – siła przyciągania, jaka działa na dane ciało

ze strony innego ciała (na przykład Ziemi…). W pobliżu Ziemi będzie ona równa:

gdzie g oznacza tzw. przyspieszenie ziemskie równe:


mgP

2

Z

Z

R

MGg

MZ to masa Ziemi, RZ to jej promień.

Ciężar pozorny to wskazanie wagi sprężynowej, na której ważymy ciało (miara siły,

która na niego działa, a którą ono z kolei działa na wagę). W przypadku ciał

poruszających się z pewnym przyspieszeniem, ciężar pozorny to wypadkowa suma

sił wynikających z przyciągania przez inną masę (np. Ziemię) i sił bezwładności,

wynikających z ruchu z tym przyspieszeniem.

Ciężar fizjologiczny jest proporcjonalny do siły, jaką działa ciecz na zakończeniu

nerwów w półkolistych kanałach ucha wewnętrznego... (ile wysiłku trzeba włożyć w

uniesienie np. głowy lub ramienia).

Oznaczmy masę grawitacyjną ciała przezm1’ a jego masę bezładną przezm1.

Wtedy masa bezwładna, spadająca swobodnie w pobliżu Ziemi osiągnie

przyspieszenie a1:


Siła grawitacji jest proporcjonalna do masy ciała jako miary liczebnościmaterii (np. liczby nukleonów w jądrze) i moglibyśmy ją wobec tego nazwaćmasą grawitacyjną. Czy jest to ta sama masa, która występuje w zasadachdynamiki, a którą nazwijmy masą bezwładną?


2

111

''

Z

Z

R

mMGam

Podobne równanie możemy napisać dla innego ciała o masie m1. Dzieląc

równania stronami, otrzymamy:

Czyli: jeśli wszystkie ciała spadają z jednakowym przyspieszeniem, to oba pojęcia

mas są równoważne (obie masy są równe).

'

'

2

1

22

11

m

m

am

am


Próby zbadania zależności między masą bezwładną a grawitacyjną:

- Newton stwierdził równość przyspieszeń z dokładnością do 1/1000;

- 1901 r. Roland Eötvös stwierdził to z dokładnością do 108;

- 1964 r. R. Dicke (University of Princeton, USA): 10300.


Wyniki tych pomiarów sugerują, że dla wszystkich substancji masa

grawitacyjna jest równa masie bezwładnej –> zasada równoważności –

podstawowe prawo przyrody, opierające się na wynikach doświadczeń.

Konsekwencją tej zasady jest niemożność rozróżnienia przyspieszenia

grawitacyjnego od przyspieszenia np. całego laboratorium, w którym

odbywałyby się pomiary – punkt wyjścia do ogólnej teorii względności

Einsteina.

Również kwestia wykładnika w potędze odległości (R-2) jest zagadnieniem,

które stanowi stały przedmiot pomiarów.


Zagadnienie obliczenia sił wzajemnego przyciągania dwóch ciał odowolnych rozmiarach i kształtach (o dowolnym rozkładzie masy):

- „rozbijamy” ciała na wielką liczbę cząsteczek tak małych, aby można je byłopotraktować jako punkty materialne;

- sumujemy (wektorowo!) wszystkie siły przyciągania, działające na danypunkt jednego ciała ze strony punktów drugiego ciała;

- sumujemy siły działające na każdy punkt danego ciała aby otrzymaćwypadkową siłę, działającą na całe ciało.

W przypadku ciał o ciągłym rozkładzie masy, należy zastosować oczywiściecałkowanie zamiast sumowania.


n

i

N

k

ik

ik

ki r

r

mmGF

1 13

Newton w swych rozważaniach zakładał, że Ziemię można potraktować tak, jakby

cała masa była skupiona w jej środku, ale udowodnił to dopiero 20 lat później (stąd

rozbieżności w podawanych datach odkrycia prawa powszechnego ciążenia i stąd

opracowanie przez niego podstaw rachunku całkowego!).


Pole grawitacyjne to próba opisu wzajemnego oddziaływania ciał (na wskutek

istnienia sił wzajemnego przyciągania) poprzez pewną wielkość wektorową,

„niezależną” od ciała, które to pole wytwarza. Jest to inaczej przyspieszenie

grawitacyjne w funkcji położenia. Można wtedy obliczyć siłę F, działającą na daną

masę m, jako:


gmF

gdzie g jest natężeniem pola grawitacyjnego, charakteryzującym siły pola grawitacyjnego.

Pole nazywamy jednorodnym, jeśli natężenie we wszystkich jego punktach jest

jednakowe.

Pole nazywamy centralnym, jeżeli we wszystkich jego punktach wektory

natężenia skierowane są wzdłuż prostych, przecinających się w jednym punkcie,

nieruchomym względem dowolnego układu inercjalnego (punkt ten nazywamy

środkiem sił).

Pole centralne nazywamy kulisto-symetrycznym, jeśli liczbowa wartość wektora

natężenia pola zależy tylko od odległości od środka sił.


Zasada superpozycji pól (nakładania się pól): przy nałożeniu się kilku pól

(np. ciążenia), natężenie pola wypadkowego równa się sumie wektorowej

natężeń wszystkich tych pól.


Pola charakteryzuje się również pewną wielkością skalarną, zwaną

potencjałem pola. Równy jest on stosunkowi energii potencjalnej punktu

materialnego do jego masy:

W przypadku pola grawitacyjnego pojedynczego punktu materialnego o masie m, potencjał

tego pola wyraża się wzorem:

m

EV

p

r

GmVg

Związek pomiędzy natężeniem pola i jego potencjałem: gVgradg


Pole grawitacyjne wewnątrz i na zewnątrz jednorodnej kuli:


- pole grawitacyjne na zewnątrz pustej czaszy kulistej

(bądź pełnej kuli) o masie M i promieniu R:

- pole wewnątrz tejże czaszy:

2R

GMg

0g

- pole wewnątrz jednorodnej kuli o gęstości :

R

r

R

MGGrrg

23

4

Przykład: pole grawitacyjne Ziemi

PRAWA KEPLERA

Nauki Arystotelesa i Ptolemeusza: wszystkie planety i gwiazdy poruszają się wokół

Ziemi po skomplikowanych torach (będących superpozycjami ruchów po okręgach);


Mikołaj Kopernik (1540): planety krążą

wokół Słońca, Księżyc wokół Ziemi.

Giordano Bruno - zwolennik teorii

heliocentrycznej Kopernika -> stos (1600).

Galileusz (również przełom XVI i XVII wieku):

odwołał publicznie swoje teorie w obawie

przed stosem.

PRAWA KEPLERA

Johannes Kepler (korzystając z obserwacji Tycho Brache) podałwyprowadzone empirycznie prawa ruchu planet – prawa temożna wyprowadzić z prawa powszechnego ciążenia Newtona.


Johannes Kepler

(ur. 27 grudnia 1571 r. w Weil der Stadt,

zm. 15 listopada 1630 r. w Ratyzbonie)

Tycho Brahe (właśc. Tyge Ottesen Brahe, także (mylnie)

Tycho de Brahe; ur. 14 grudnia 1546 r. w zamku

Knutstorp w Skanii – zm. 24 października 1601 r. w

Pradze)

PRAWA KEPLERA

Pierwsze prawo Keplera:

Każda planeta krąży po orbicie eliptycznej, ze

Słońcem w jednym z ognisk tej elipsy.


Drugie prawo Keplera (prawo równych pól):

Linia łącząca Słońce i planetę zakreśla

równe pola w równych odstępach czasu.

Trzecie prawo Keplera:

Sześciany półosi wielkich orbit jakichkolwiek

dwóch planet mają się tak do siebie, jak

kwadraty ich okresów obiegu:

2

2

2

1

3

2

3

1

T

T

a

a

PRAWA KEPLERA

Rozpatrzmy ruch ciała w polu sił centralnych:


rr

FF r

Moment siły F względem środka pola jest równy zeru:

dlatego moment pędu tego ciała względem środka

pola jest zachowany:

0

r

r

FrFrM r

constvmrK

Stąd z kolei wynika, że w centralnym polu sił tor ruchu tego ciała jest krzywą płaską

(płaszczyzna, zawierająca wektory położenia r i prędkości v nie zmienia swej

orientacji względem środka pola).

PRAWA KEPLERA

Skoro krzywa ruchu jest krzywą płaską, położenie punktu w przestrzeni

określimy we współrzędnych biegunowych , , a prędkość rozłożymy na

prostopadłe składowe: radialną i transwersalną (poprzeczną) :


r

rv v

vvv r

dt

drvr

dt

drv

Moment pędu układu zależy tylko od prędkości poprzecznej:

constvmrK

Wartość momentu pędu jest równa:

constdt

dmrK

2

PRAWA KEPLERA

Promień wodzący zakreśla przy swoim obrocie o mały kąt d w czasie dt

wycinek kołowy, którego pole jest równe:

stąd wielkość :

nazywamy prędkością polową (wycinkową).


drdA 2

21

r

pvdt

dr

dt

dAvp

2

2

1

Biorąc pod uwagę powyższą definicję i zasadę zachowania momentu pędu,

otrzymujemy:

constm

Kvp

2

Przy ruchu ciała w polu siły centralnej jego prędkość polowa

(rozumiana jako pole zakreślane przez promień wodzący w jednostce

czasu) jest stała. (II prawo Keplera)

PRAWA KEPLERA

Aby wyprowadzić I i III prawo Keplera, skorzystajmy z zasady zachowania

momentu pędu (była) i zasady zachowania energii:


constEEE pk

22222

222 mr

K

dt

drm

dt

dr

dt

drmmvEk

skąd otrzymujemy:

22

mr

KEE

mdt

drp

a ponieważ:

2mr

K

dt

d

więc ostatecznie:

dr

rKEEm

rKd

p

2

2

2

PRAWA KEPLERA

Aby rozwiązać podane równanie trajektorii ruchu, musimy podstawićkonkretne wyrażenie na energię potencjalną, która w przypadku polagrawitacyjnego ma postać:


rEp

GMmgdzie:

Ostateczne rozwiązanie można przedstawić w postaci:

cos1 e

pr

gdzie:

m

Kp

2

12

2

2

m

EKe

PRAWA KEPLERA

Tor ruchu (orbita), jest krzywą drugiego stopnia (krzywą stożkową), przy

czym p jest jej parametrem ogniskowym a e - mimośrodem.


cos1 e

pr

W zależności od tego, jaka jest energia całkowita ciała, możliwe są

następujące rozwiązania równania toru (trajektorii):

•dla E<0 (czyli e<1) jest to orbita eliptyczna;

•dla E=0 (e=1) jest to orbita paraboliczna;

•dla E>0 (e>1) jest to orbita hiperboliczna;

•dla K=0 (e=1, p=0) jest to tor prostoliniowy, przechodzący przez środek

pola.

12

2

2

m

EKe

m

Kp

2

PRAWA KEPLERA

Dla planet, poruszających się w polu grawitacyjnym Słońca:

a więc torami ruchu planet są elipsy (I prawo Keplera).


0E

Wtedy również można wyprowadzić wzór na okres T obiegu planety

po tej elipsie:

gdzie a jest dużą osią elipsy. Stąd otrzymujemy III prawo Keplera.

32

2 4a

GMT

PRĘDKOŚCI KOSMICZNE


Pierwszą prędkością kosmiczną (prędkością kołową) dla Ziemi

nazywamy prędkość, którą powinien mieć satelita Ziemi, obiegający ją po

orbicie kołowej.

Znajdziemy ją z zasady zachowania energii:

- całkowita energia satelity na orbicie kołowej (e=0):

- energia kinetyczna satelity:

- energia potencjalna satelity:

rE

2

2

2mvEk

rEp

GMm

r

GMvI skmRgv ZZI /9,7

stąd: przy powierzchni Ziemi:

PRĘDKOŚCI KOSMICZNE


Drugą prędkością kosmiczną (prędkością paraboliczną) dla Ziemi

nazywamy prędkość, którą trzeba nadać ciału, aby jego orbita w polu

grawitacyjnym stała się paraboliczna – to znaczy, aby ciało mogło pokonać

przyciąganie ziemskie i stać się satelitą Słońca (lot na inne planety).

Znajdziemy ją z zasady zachowania energii:

- całkowita energia satelity na orbicie kołowej (e=1):

- energia kinetyczna i potencjalna: jak poprzednio

0E

2

2mvEk r

Ep

III vr

GMv 2

2

a stąd:

przy powierzchni Ziemi: skmRgv ZZII /2,112

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA Iwozniak/fizyka1_pliki/8_Grawitacja.pdf ·...

Documents

Transcript of Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA Iwozniak/fizyka1_pliki/8_Grawitacja.pdf ·...