Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA...

http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I

9. Ruch drgający swobodny


Katedra Optyki i Fotoniki

Wydział Podstawowych Problemów Techniki

Politechnika Wrocławska

http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/

RUCH DRGAJĄCY

Drganie (ruch drgający) – ruch (lub zmiana stanu), który charakteryzuje

się powtarzalnością w czasie wielkości fizycznych, określających ten ruch

lub stan (np. położenie, prędkość).


Drganie okresowe (periodyczne) – powtarzanie zachodzi zawsze po tym

samym czasie T, zwanym okresem.

Drganie [okresowe] harmoniczne – położenie ciała opisuje funkcja sinus

(bądź kosinus):

tAtx sin W ruchu harmonicznym:

Prędkość:

Przyspieszenie:

są również funkcjami harmonicznymi!

tAtv cos

)(sin 22 txtAta

DRGANIA HARMONICZNE

Przypomnienie:

Druga zasada dynamiki Newtona:


m

F

dt

xda

2

2

Ruch harmoniczny to taki, dla którego:

Siła jest proporcjonalna do wychylenia (z położenia równowagi) i

przeciwnie do niego skierowana (prawo Hooke’a). F - siła harmoniczna

xkF

Ogólne równanie różniczkowe drgań harmonicznych:

txtx

dt

txd 2

2

2

Wykładniczy sposób zapisu rozwiązania równania drgań

harmonicznych:

tiAtx exp

DRGANIA HARMONICZNE

Wielkości opisujące ruch harmoniczny prosty (drgania harmoniczne):


tAtx sin

- A jest amplitudą drgań (maksymalną zmianą względem położenia

równowagi);

- (t+) to faza drgań (mierzona w radianach bądź stopniach);

- =2/T to częstość kołowa (pulsacja) (w radianach na sekundę);

- to faza początkowa.

T

2

- Częstotliwość drgań: (Hz – herc)

2

1

Tf

DRGANIA HARMONICZNE - PRZYKŁADY

Wahadło matematyczne:

Punkt materialny, zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici;


singgt

ls

ggdt

dl

dt

sd sin

2

2

2

2

g

lT 2Okres drgań:


Wahadło fizyczne:

Ciało doskonale sztywne, które pod działaniem własnego ciężaru waha się

dookoła osi poziomej, nie przechodzącej przez środek ciężkości ciała;


mgL

IT 2

Okres drgań:


Sprężyna:


F

xkF

txm

k

dt

xd

2

2

Prawo Hooke’a:

Równanie ruchu:

m

kT 2Okres drgań:

x


Obwód LC:


Okres drgań:

0 LC UU 0dt

dIL

C

q

dt

dqI

01

2

2

qLCdt

qd

LCT 2

SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH

Zasada superpozycji: Jeżeli ciało podlega jednocześnie dwóm

drganiom, to jego wychylenie jest sumą wychyleń, wynikających z

każdego ruchu.


Składanie drgań harmonicznych, odbywających się wzdłuż jednej

prostej:

1) przypadek dwóch ruchów harmonicznych, odbywających się z

jednakową częstością :

111 cos tAx 222 cos tAx


gdzie:


Wypadkowa jest drganiem z tą samą częstością!

www tAxxx cos21

1221

2

2

2

1

2 cos2 AAAAAw amplituda

2211

2211

coscos

sinsin

AA

AAtg w

faza

Amplituda drgania wypadkowego zależy od różnicy początkowych faz

(2-1) drgań składowych. Jeśli ta różnica nie zmienia się z upływem

czasu, to takie drgania synchroniczne nazywamy koherentnymi.



1221

2

2

2

1

2 cos2 AAAAAw

Przypadki szczególne:

• Różnica faz drgań składowych równa się zeru albo całkowitej

wielokrotności 2:

212 k ,...2,1,0k

Maksymalna amplituda drgań jest

sumą amplitud drgań składowych.



1221

2

2

2

1

2 cos2 AAAAAw

Przypadki szczególne:

• Różnica faz drgań składowych równa się nieparzystej wielokrotności :

,...2,1,0k

Maksymalna amplituda drgań jest

różnicą amplitud drgań składowych.

1212 k


Przypadek dwóch ruchów harmonicznych, odbywających się z różną

częstotliwością: wypadkowa jest prostym drganiem harmonicznym tylko

wtedy, gdy stosunek obu częstotliwości można wyrazić liczbą wymierną.


Przypadek dwóch ruchów harmonicznych (o jednakowej amplitudzie),

których częstości różnią się nieznacznie: dudnienia:

ttA

tAtAxw

cos2

cos2

coscos


Jeśli różnica faz 2(t)-1(t) drgań składowych zmienia się z upływem

czasu w sposób dowolny, to amplituda drgań wypadkowych zmienia się z

upływem czasu i nie ma sensu w ogóle mówić o składaniu amplitud. Jest to

tzw. niekoherentne składanie drgań.


Drgania typu:

nazywamy modulowanymi.

tttAtx cos

1) modulowana faza (częstość) – FM: constA t

2) modulowana amplituda – AM: constmaxAdtdA

ANALIZA HARMONICZNA

Analiza harmoniczna – to sposób na przedstawienie złożonych drgań

modulowanych w postaci szeregu prostych drgań harmonicznych.


G. Fourier: dowolne drganie złożone można przedstawić jako sumę

prostych drgań harmonicznych o wielokrotnościach pewnej podstawowej

częstości kątowej :

N

n

nn tnAtx0

sin

W ogólnym przypadku, liczba wyrazów w szeregu Fouriera jest

nieskończona (możemy wtedy przejść do całek zamiast sum), ale istnieją

takie drgania, dla których szeregi Fouriera nie zawierają pewnych

wyrazów.

SKŁADANIE PROSTOPADŁYCH

DRGAŃ HARMONICZNYCH

Załóżmy, że punkt materialny uczestniczy jednocześnie w dwóch

drganiach harmonicznych, odbywających się z jednakowymi częstościami

w dwóch kierunkach wzajemnie prostopadłych:


xx tAtx sin

yy tAty sin



1) Początkowe fazy obu drgań są jednakowe:


Można tak ustawić odczyt czasu, żeby były równe zeru:

0 yx

Dzieląc stronami: - linia prosta xA

Axy

x

y

xx tAtx sin yy tAty sin



2) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa :


Dzieląc stronami: - linia prosta


yx

xA

Axy

x

y



3) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa /2:


I ostatecznie: - elipsa


Wtedy: tAtx x cos tAty y sin

12

2

2

2

yx A

y

A

x

Punkt porusza się po tej elipsie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara;



4) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa 3 /2 :


I ostatecznie: - elipsa


Wtedy: tAtx x cos tAty y sin

12

2

2

2

yx A

y

A

x

– również elipsa, ale o obiegu zgodnym z ruchem wskazówek zegara;



Inne różnice faz

– również elipsy, ale o osiach nie pokrywających się z osiami układu

współrzędnych.


W przypadku ogólnym – dowolne częstości, amplitudy, fazy – mamy do

czynienia z tzw. figurami Lissajous.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA...

Documents

Transcript of Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA...