BRYŁY BRYŁY POLA POWIERZCHNI POLA POWIERZCHNI

OBJĘTOŚCI BRYŁOBJĘTOŚCI BRYŁ

BRYŁY BRYŁY POLA POWIERZCHNI POLA POWIERZCHNI

OBJĘTOŚCI BRYŁOBJĘTOŚCI BRYŁ

Halina Tischner Halina Tischner

AKADEMIA PEDAGOGICZNA

im. Komisji Edukacji Narodowej w Krakowie

Spis treściSpis treściSpis treściSpis treściTytułem wstępuKilka słów o EuklidesieTwierdzenie EuleraZastosowane oznaczeniaGraniastosłupyGraniastosłupy proste i prawidłoweOstrosłupyOstrosłup ściętyBryły obrotowe

Przekrój osiowyPrzekrój poprzecznyPrzykłady brył obrotowychWielościany foremneIstnieje pięć wielościanów foremnychKąty w bryłachZamiast zakończenia...

Tytułem wstępu...Tytułem wstępu...

Geometria jest działem matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi.

Geometria powstała w starożytności, w związku z konkretnymi zadaniami praktycznymi dotyczącymi budownictwa i miernictwa.

Kilka słów o EuklidesieKilka słów o Euklidesie Kompilacją poznanych do III wieku p.n.e. faktów matematycznych jest dzieło Euklidesa Elementy (ok. 300 p.n.e.). Obejmuje ono teorię proporcji, arytmetykę oraz geometrię. Jednym z mniej oczywistych aksjomatów

sformułowanych przez Euklidesa jest piąty (ostatni) aksjomat o równoległych, zwany często aksjomatem lub pewnikiem (również postulatem) Euklidesa. Jest on równoważny m.in. następującemu twierdzeniu: suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa mierze kąta półpełnego.

„W matematyce nie ma drogi specjalnie dla królów”

/Euklides/

Twierdzenie Twierdzenie EuleraEulera

Wielościan jest to bryła ograniczona wielokątami ułożonymi w taki sposób, że każdy bok wielokąta jest wspólnym bokiem dwóch wielokątów. Wielokąty te nazywamy ścianami wielościanu, boki wielokątów - krawędziami, a wierzchołki - wierzchołkami wielościanu.Tw.Eulera: W wielościanie wypukłym liczba

wierzchołków w, liczba krawędzi k oraz liczba ścian s spełniają równość : w – k + s = 2 .

Leonhard Euler

(1707-1783)

Zastosowane Zastosowane oznaczeniaoznaczenia

stała matematyczna 3,141592653...

r, R promienie

h wysokość

l tworząca

Pp pole podstawy

Pb pole powierzchni bocznej

Pc pole powierzchni całkowitej

V objętość

GraniastosłupyGraniastosłupy

Graniastosłupem nazywamy wielościan, którego dwie ściany (zwane podstawami), są przystającymi wielokątami leżącymi w płaszczyznach równoległych, a pozostałe ściany (zwane ścianami bocznymi) są równoległobokami, których wszystkie wierzchołki są jednocześnie wierzchołkami podstaw. 

hPV p

bpc PPP 2

h

Graniastosłupy prosteGraniastosłupy proste i prawidłowe i prawidłowe

 Graniastosłup prawidłowy

(to graniastosłup prosty w którym podstawy są wielokątami

foremnymi)

bpc PPP 2

hPV p h

Graniastosłup prosty

(krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw)

h

OstrosłupyOstrosłupy

Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego jedna ściana (zwana podstawą), jest dowolnym wielokątem, a pozostałe ściany, zwane bocznymi, są trójkątami o wspólnym wierzchołku.

h

hPV

PPP

p

bpc

3

1

Ostrosłup ściętyOstrosłup ścięty

Ostrosłup ścięty jest to część ostrosłupa zawarta między jego podstawą i przekrojem płaszczyzną równoległą do podstawy. Ściany boczne są trapezami, a podstawy są wielokątami podobnymi.

h

)(3

12121 PPPPhV

21, PP -pola podstaw ostrosłupa ściętego

Bryły obrotoweBryły obrotowe

Jeżeli figura f i prosta k zawarte są w jednej płaszczyźnie, to figurę otrzymaną przez obrót figury f wokół prostej k nazywamy figurą obrotową. Prosta k to oś obrotu tej figury.

f

k

Przekrój osiowyPrzekrój osiowy

Przekrojem osiowym bryły obrotowej nazywamy część wspólną tej bryły z płaszczyzną zawierającą oś obrotu.

k

Przekrój poprzecznyPrzekrój poprzeczny

Przekrojem poprzecznym bryły obrotowej nazywamy część wspólną tej bryły z płaszczyzną prostopadłą do osi obrotu.

k

Przykłady Przykłady brył obrotowychbrył obrotowych

walec

stożek (zobacz również

stożek ścięty – następny slajd)

kula i sfera

WalecWalec Walcem nazywamy bryłę powstałą przez obrót prostokąta dookoła prostej zawierającej jeden z boków prostokąta.

hrV

hrrPPP

rhP

rP

bpc

b

p

2

2

22

2

h

r

k

StożekStożek

Stożkiem nazywamy bryłę powstałą przez obrót trójkąta prostokątnego dookoła prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych

hrV

lrrPPP

rlP

rP

bpc

b

p

2

2

3

1

h

r

l

k

Stożek ściętyStożek ściętyStożek ścięty jest to część stożka zawarta między jego podstawą i przekrojem poprzecznym wraz z nim.

r

R

hl

22

22

3

1rRrRhV

lrRP

hrRl

b

Kula i sferaKula i sfera Kula jest bryłą obrotową powstałą przez obrót półkola dookoła prostej zawierającej średnicę tego pólkola.

Sfera jest bryłą obrotową powstałą przez obrót półkokręgu dookoła prostej, w której zawarta jest średnica tego półokręgu.

3

2

3

4

4

rV

rP

r

k

Wielościany foremneWielościany foremne

Wielościanem foremnym nazywamy wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są

przystającymi wielokątami foremnymi i każdy jego wierzchołek jest końcem tej samej liczby

krawędzi wielościanu.

Wielościany foremne zwane są także czasami bryłami platońskimi, gdyż Platon jako pierwszy

człowiek odnotował fakt istnienia ściśle określonej liczby tych brył.

czworościan foremny

sześcian

ośmiościan foremny

dwunastościan foremny

dwudziestościan foremny

Istnieje pięć Istnieje pięć wielościanów foremnychwielościanów foremnych

Czworościan foremnyCzworościan foremny

Czworościan foremny (łac. tetraedr) to wielościan foremny o czterech ścianach w kształcie identycznych trójkątów równobocznych

32

a Pc

12

23aV

SześcianSześcian

Sześcian (łac. heksaedr) to wielościan foremny o ścianach w kształcie kwadratów

26aPc 3aV

Ośmiościan foremnyOśmiościan foremny

Ośmiościan foremny (łac. oktaedr) to wielościan foremny o ośmiu ścianach w kształcie identycznych trójkątów równobocznych 32 2aPc

3

23aV

Dwunastościan foremnyDwunastościan foremny

Dwunastościan foremny

(łac. dodekaedr) to wielościan foremny o ścianach w kształcie pięciokątów foremnych

)525(53 2 aPc

)5715(4

1 3 aV

Dwudziestościan foremnyDwudziestościan foremny

Dwudziestościan foremny

(łac. ikosaedr) to wielościan foremny o ścianach w kształcie trójkątów równobocznych3 5

2a Pc

)53(12

5 3 aV

Kąty w bryłachKąty w bryłachPROSTOPADŁOŚCIANPROSTOPADŁOŚCIAN

Kąt pomiędzy przekątną prostopadłościanu a przekątną podstawy

Kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy

Kąty w bryłachKąty w bryłachOSTROSŁUPOSTROSŁUP

h

Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa

Kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa

Kąty w bryłachKąty w bryłachSTOŻEKSTOŻEK

Kąt rozwarcia stożka, to kąt między ramionami trójkąta równoramiennego będącego przekrojem osiowym stożka

h

r

l

Kąt pomiędzy tworzącą stożka a promieniem

Zamiast zakończenia...Zamiast zakończenia...

Literatura, z której korzystałam :

Encyklopedia Szkolna (wyd.WSiP Warszawa 1992 r.)

Tablice Matematyczne (wyd.Podkowa Gdańsk 2003 r.)Polecam również strony www :

http://www.wikipedia.pl/

http://www.wiw.pl/

http://www.matma.bermudy.org/

Dziękuję za wytrwałość