...bd pogodny, a dotrwasz do koca podróy...

ROZDZIAŁ V

IDENTYFIKACJA STANU DYNAMICZNEGO MASZYN

1. WSTP 2. DRGANIOWY OPIS STANU MASZYNY 3. METODA ELEMENTÓW SKOCZONYCH 4. IDENTYFIKACJA PROSTA I ZŁOONA 5. METODYKA BUDOWY MODELU DYNAMICZNEGO

1. WSTP

Wykorzystanie podstaw modelowania obiektów technicznych w praktyce

inynierskiej prowadzi wprost do pomiarów drga maszyn, które dobrze odzwierciedlaj ich stan dynamiczny. Praktyczne wykorzystanie drga umoliwia opis stanu dynamicznego maszyn za pomoc uszkodzeniowo zorientowanych rónych symptomów drganiowych. Obraz drganiowy maszyny nowej i po pewnym okresie uytkowania daje podstaw wnioskowania o rodzajach zuy, dominujcych ródłach wymusze, co pozwala na modernizacj konstrukcji.

Technicznymi obiektami diagnostyki wibroakustycznej nazywamy generujce hałas lub drgania maszyny, urzdzenia (lub ich podzespoły), linie technologiczne, pojazdy itp. Wibroakustyczna diagnostyka techniczna, bdca jedn z wielu metod diagnostycznych ma na celu okrelenie klasy stanu niezdatnoci (lub zuycia) danego obiektu technicznego lub jego elementu. Okrelenie klas stanów wibroakustycznych odpowiadajcych rónym stanom urzdzenia, moe by przydatne równie do automatyzacji urzdze i procesów technologicznych o trudno mierzalnych, poza akustycznych parametrów sterujcych.

Dla obiektów prostych dobrym narzdziem oceny zmieniajcego si ich stanu dynamicznego s metody identyfikacji prostej, wykorzystujce widmo amplitudowo – czstotliwociowe. Poszukiwanie czstoci rezonansowej i wartoci amplitudy w tej czstotliwoci za pomoc testów: impulsowego, harmonicznego i przypadkowego s stosunkowo dobrze opanowane w technikach badawczych naszych przedsibiorstw.

Innym sposobem opisu i analizy stanu dynamicznego maszyn jest analiza modalna, stosowana jako teoretyczna, eksperymentalna i eksploatacyjna analiza modalna. Wykorzystuje ona czstoci drga własnych i postacie drga do opisu zmieniajcego si stanu maszyn oraz słuy do doskonalenia metody elementów skoczonych [69,71]. W tym rozdziale omówiono pokrótce główne elementy zasygnalizowanych zagadnie, wyróniajc zagadnienie wibrodiagnostyki maszyn oraz przytaczajc wiele informacji z praktycznych bada obiektów technicznych. 2. DRGANIOWY OPIS STANU MASZYNY

Diagnostyka drganiowa to zorganizowany zbiór metod i rodków do oceny stanu technicznego (jego przyczyn, ewolucji i konsekwencji) systemów technicznych, przy wykorzystaniu procesów drganiowych lub sygnału hałasu. W wikszoci przypadków s to systemy działaniowe, celowo zaprojektowane dla wykonania okrelonej misji, generujce lub transformujce informacje drganiowo-hałasowe, które s wykorzystywane do oceny ich stanu technicznego [14,24,34,71]. Potrzeba stosowania diagnostyki drganiowej znajduje swoje uzasadnienie w modelu destrukcji obiektu, uwzgldniajcego zwizek zaawansowania zuycia proporcjonalny do energii dyssypacji, wicy si z czasem istnienia obiektu, poziomem konstrukcji, nowoczesnoci technologii wytwarzania, intensywnoci uytkowania oraz jakoci obsługiwa technicznych.

Patrzc syntetycznie na ogół moliwych zastosowa diagnostyki drganiowej w kolejnych fazach istnienia obiektu, trzeba wyróni potrzeb znajomoci wiedzy o obiekcie, o sygnałach, syndromach i symptomach oraz elementy teorii decyzji w zakresie wnioskowania diagnostycznego, niezbdnych do prawidłowej oceny stanu obiektu.

2.1 Charakterystyka procesów wibroakustycznych Wibroakustyka jest dziedzin wiedzy zajmujc si wszelkimi procesami

drganiowymi, akustycznymi i pulsacyjnymi zachodzcymi w przyrodzie, budownictwie, technice, maszynach, urzdzeniach, rodkach komunikacji i transportu, a wic w rodowisku. Zrby wibroakustyki powstały ponad wier wieku temu, wic si z dynamicznym rozwojem nowoczesnych maszyn i urzdze, które wygenerowały nowe zadania i obszary moliwych zastosowa procesów wibroakustycznych. Do zada wibroakustyki zaliczy mona [Engel, 1993]: - identyfikacj ródeł energii wibroakustycznej, która polega na zlokalizowaniu

poszczególnych ródeł w obrbie obiektu, maszyny, czy rodowiska, okrelenie charakterystyk i współzalenoci pomidzy poszczególnymi ródłami, okrelenie mocy wibroakustycznej, a take charakteru generacji drga i dwików;

- opracowanie dróg propagacji energii wibroakustycznej w rzeczywistych konstrukcjach i rodowisku (budowlach, maszynach, obiektach itp.), opracowanie teorii przenoszenia i transformacji energii, opracowanie biernych i czynnych kontroli zjawisk, opracowanie metod analizy i bada na pograniczu falowego i dyskretnego ujcia zjawisk;

- opracowanie metod kontroli energii wibroakustycznej (emisji, propagacji, imisji) w maszynach i rodowisku, a take opracowanie metod sterowania tymi zjawiskami co łczy si z rozwijanymi w cały wiecie metodami aktywnymi;

- wykorzystanie sygnałów wibroakustycznych dla celów diagnostyki technicznej, gdy s one dobrym nonikiem informacji o stanie obiektu o raz realizowanym procesie technologicznym (diagnostyka wibroakustyczna);

- synteza wibroakustyczna maszyn i obiektów, prowadzona dla uzyskania optymalnej aktywnoci wibroakustycznej, obejmujca:

a). syntez parametrów opisujcych pola akustyczne, wzgldnie syntez wielkoci wibroakustycznych stosowanych w aktywnych metodach redukcji drga i hałasu oraz syntez dwików w akustyce mowy; b). syntez maszyn i obiektów, przez co rozumie si syntez strukturaln, kinematyczn i dynamiczn prowadzc do uzyskania optymalnej aktywnoci wibroakustycznej; - czynne zastosowania energii wibroakustycznej. Procesy wibroakustyczne to nie tylko procesy szkodliwe, czy pasoytnicze. Zastosowane celowo mog by efektywnym nonikiem energii, która wykorzystana moe by do realizacji rónorodnych procesów technologicznych. Poczwszy od spawania ultradwikowego, czyszczenia ultradwikowego, poprzez transport materiałów i elementów maszyn na liniach technologicznych, do zagszczania mas formierskich, wybijania i czyszczenia odlewów, a do zagszczania gruntów i betonów. Zwizane jest to z kontrolowanym wykorzystaniem energii wibroakustycznej w technice przy warunku maksymalnej efektywnoci energetycznej i minimalnych zakłóceniach zewntrznych.

Mimo małej sprawnoci mechaniczno-akustycznej w wikszoci maszyn, urzdze i rodków transportu zagadnienia wibroakustyczne s istotne ze wzgldu na mał dyssypacj energii w tworzywie konstrukcyjnym (drgania) oraz otaczajcym rodowisku (dwiki). Std te przy małej sprawnoci akustycznej łatwo zachodzi zagroenie hałasem rodowiska pracy i ycia człowieka, a take zagroenia wibracyjnego dla innych maszyn i konstrukcji. Produkcja maszyn i urzdze cichobienych zwizana jest z wysok precyzj ich wykonania, odpowiedni klas pasowa współpracujcych elementów, odpowiednim doborem materiałów, co w zasadniczy sposób wpływa na ich jako, niezawodno i trwało.

Proces wibroakustyczny przedstawiony moe by jako: - generacja sił zmiennych w czasie, działajcych na struktur i otaczajce rodowisko; - propagacja i transformacja energii w strukturach i płynach oraz elementach rodowiska; - promieniowanie dwików poprzez elementy stref rodowiska i struktur mechanicznych.

W analizie procesów wibroakustycznych bierze si pod uwag nastpujce aspekty: - czasowy i przestrzenny rozkład przebiegu energii pochodzcej ze ródła (pierwotnego), - odpowied układu (struktura, płyn) oraz przenoszenie przez propagujce media, - współzaleno pomidzy ródłami.

Badania procesów wibroakustycznych s w wielu przypadkach bardzo skomplikowane, w szczególnoci gdy bada si te procesy wystpujce w rzeczywistych układach fizycznych. Badania tych procesów odbywaj si na drodze teoretycznej, przy zastosowaniu rónych metod oraz na drodze dowiadczalnej.

W ostatnich latach coraz czciej do analizy procesów wibroakustycznych znajduj metody energetyczne. Tworzenie bowiem bilansu energetycznego wszelkich zjawisk fizycznych wystpujcych w rodowisku pozwala na równoczesny zapis rónych energii wystpujcych w tym rodowisku. Przy badaniach rzeczywistych układów (maszyny, urzdzenia, konstrukcje, budowle) podstawowym problemem jest okrelenie wartoci energii wibroakustycznej magazynowanej, rozpraszanej i przenoszonej przez poszczególne elementy tych układów. Znajomo tych wielkoci słuy ocenie wytenia materiału, zmczenia, bada diagnostycznych oraz predykcji hałasów, a take ułatwia projektowanie elementów układu (np. wibroizolacji). Kady rzeczywisty układ fizyczny dzieli si na proste elementy, połczone w róny sposób o rónych właciwociach przenoszenia energii wibroakustycznej. Tworzy si równania bilansu energetycznego wprowadzajc współczynniki strat energii, współczynniki przenoszenia energii, a take charakterystyki wejciowe.

Do bada procesów wibroakustycznych stosowane s równie metody dyskretyzacyjne, a szczególnie metoda elementów skoczonych (MES), metody analizy modalnej, metoda elementów brzegowych oraz metoda analizy przepływu mocy akustycznej.

Rozwój metod pomiarowych szczególnie pomiarów wielkoci energetycznych w istotny sposób rozszerzyły moliwoci bada promieniowania dwiku przez struktury oraz pozwoliło na obliczenie mocy akustycznej promieniowanej do pola dalekiego na podstawie pomiarów w polu bliskim. Rozwinły si metody badania ilociowej i jakociowej propagacji energii wibroakustycznej w przestrzeni ze złoonymi obszarami granicznymi. Zwizane to było z ocen ilociow energii wibroakustycznej gromadzonej w elementach maszyn i konstrukcji oraz oceny energii wypromieniowanej przez te elementy, a take energii przenoszonej rónymi drogami. Wród metod dowiadczalnych na specjalne podkrelenie zasługuj metody nateniowe (metody natenia pola akustycznego, metody natenia przypowierzchniowego, metody natenia materiałowego).

Celem utylitarnym wibroakustyki jest obnienie poziomu zakłóce drganiowych i akustycznych maszyn, urzdze, instalacji oraz ich otoczenia do minimum, moliwego na danym etapie wiedzy i technologii. W badaniach procesów wibroakustycznych musimy bra pod uwag m.in. nastpujce aspekty: czasowy i przestrzenny rozkład energii wibroakustycznej, odpowied układu, współzalenoci midzy ródłami itp. Dlatego spotykamy si ze złoonymi, a niekiedy bardzo skomplikowanymi zagadnieniami, co ma miejsce szczególnie wtedy, gdy chcemy w sposób kompleksowy bada procesy wibroakustyczne wystpujce w rzeczywistych układach fizycznych. Std czste poszukiwanie nowych metod badania procesów wibroakustycznych.

Procesy wibroakustyczne, jako procesy towarzyszce (resztkowe) funkcjonowaniu maszyn, z punktu widzenia zastosowa diagnostycznych s dobrymi nonikami informacji o stanie technicznym. Zastosowanie ich do diagnozowania urzdze mechanicznych wynika z nastpujcych powodów: - procesy wibroakustyczne s odzwierciedleniem najistotniejszych zjawisk fizycznych zachodzcych w maszynach (odkształcenia, naprenia, zderzenia elementów itp.), od których zaley ich poprawne funkcjonowanie, co wynika z charakteru rozprzestrzeniania si procesu drganiowego generowanego w parach kinematycznych;

- łatwo pomiaru procesów wibroakustycznych w warunkach normalnej pracy obiektu, bez koniecznoci wyłczania go z ruchu oraz specjalnego przygotowania, umoliwia bezdemontaow ocen stanu; - procesy wibroakustyczne cechuj si du prdkoci przekazywania informacji w jednostce czasu, okrelon wzorem Shanon’a : )1(lg 2

Z

S

NNFC += (5.1)

zalen od szerokoci widmowej procesu oraz stosunku mocy sygnału uytecznego NS do mocy szumów zakłócajcych NZ;

- procesy wibroakustyczne cechuj si złoon struktur czasow, amplitudow i czstotliwociow, co zapewnia im du ich informacyjno oraz umoliwia ocen stanu całego urzdzenia, jak równie pojedynczych jego elementów i zespołów.

Chcc w pełni skorzysta z informacji o stanie dynamicznym maszyny zawartych w emitowanych procesach wyjciowych, naley najpierw zapozna si z mechanizmem ich generacji oraz z ich charakterem. Sposób interpretacji sygnału diagnostycznego S(t,θ,r) jest w ogólnym przypadku maszyn przedstawiony na rys.5.1. Sposób interpretacji przedstawionych załoe dla θ = const (przy pominiciu sprze zuyciowych) mona przedstawi nastpujco [Cempel, 1982]. Sygnał pierwotny ϕi(t,θ,r) jest pierwotnym i-tym zdarzeniem elementarnym, którego posta determinuje konstrukcja i stan eksploatacyjny maszyny. Dziki T - okresowemu napdowi jest on przekształcony w cig zdarze elementarnych opisanych jako sygnał (proces) x(t,θ,r). Ten proces dynamiczny przechodzc przez struktur (korpus) maszyny daje w efekcie w punkcie odbioru sygnału nowy cig zdarze, przekształcony na własnociach przestrzennych, który jest nowym sygnałem diagnostycznym S(t,θ,r). Stopie uporzdkowania tego sygnału jako cigu zdarze, moe by podstaw do utworzenia metody diagnostycznej. Miary tego uporzdkowania mog by róne, lecz musz by one zawsze oparte na badaniu podobiestwa midzy poszczególnymi zdarzeniami (i = 1, 2,...). Mog one dotyczy czasu wystpowania okrelonego fragmentu zdarzenia (stroboskop), czasu jego trwania, amplitudy itp.

napd u x y T 2T T T 2T t t t T - okresowa transformacja Układ kinematyczna dynamiczny ϕi(t,θ,r) x(t,θ)=Σϕi∗δri h(t,θ,r) S=Σh∗ϕi∗δri

Rys.5.1 Model generacji sygnału w maszynach o ruchu obrotowym [16]. Odbierany w wybranym miejscu korpusu sygnał jest waon sum odpowiedzi na wszystkie zdarzenia elementarne un (t,θ,r). Funkcje wagi przy tym sumowaniu mog w najprostszym przypadku mie charakter współczynników an, lecz ogólnie bdzie to mnoenie splotowe (dwukrotne) przez impulsowe funkcje przejcia korpusu, od punktu wzbudzenia do punktu odbioru. W wielu zatem przypadkach szczegółowych modeli generacji sygnałów, sygnały te mog mie bardzo skomplikowany charakter, a co za tym idzie mog nie ogromn ilo informacji - nie zawsze koniecznych. Powysze rozwaania dowodz, e dla maszyn i mechanizmów o prostej strukturze kinematycznej i funkcjonalnej moliwe jest utworzenie prostego i skutecznego modelu

generacji symptomów uszkodzenia. Umoliwia on analityczne bd jakociowe rozrónienie midzy symptomami maszyny zdatnej i narastajcego na tym tle symptomu uszkodzenia. W przypadkach bardziej skomplikowanych modele takie daj mono adaptacji znanych miar sygnału do celów diagnostyki, opracowanie nowych miar, a take analityczne przebadanie wraliwoci miar sygnałów lub te celowoci stosowania niektórych operacji przetwarzania sygnałów. Modele takie daj mono zdeterminowanego okrelenia relacji stan - sygnał, a tym samym udzielenie odpowiedzi na pytanie co mierzy? Odrbnym problemem s maszyny o skomplikowanej strukturze konstrukcyjnej i funkcjonalnej, gdzie proste modele generacji nie zdaj egzaminu z racji duego poziomu zakłóce. W tych przypadkach rozwizania problemu naley szuka na drodze długotrwałych obserwacji maszyny, bd poprzez właciwe zaprojektowanie eksperymentów na grupie obiektów. W wyniku uzyskuje si efekty statystycznego próbkowania krzywych ycia, z których specjalizowane procedury statystyczne pozwalaj wyróni miary i charakterystyki sygnału, przydatne w diagnozowaniu. Niezalenie od trudnoci i złoonoci omawianych zagadnie, kadorazowo analiza modeli generacji procesów (sygnałów) diagnostycznych winna wskaza miary oraz zakres ich zmiennoci, które najlepiej odzwierciedlaj zmiany stanu i zachowanie si maszyny w okrelonych warunkach [16,34]. 2.3 Metodologia bada wibroakustycznych Warto w tym miejscu w uproszczony sposób pokaza ogóln istot diagnostyki wibroakustycznej maszyn, zakładajc poszukiwania zwizków pomidzy stanem maszyny Xn , a generowanymi sygnałami wibroakustycznymi Sm , z pominiciem dla prostoty rozwaa innych oddziaływa zewntrznych (rys.5.2).

X S

uszkodzenia A (X, S) symptomy

n m m ≥≥≥≥ n

Rys.5.2 Obserwacja stanu maszyny X za pomoc symptomów S. Głównym problemem w analizie zmieniajcego si stanu maszyny jest wic wyznaczenie sygnału wyjciowego S na podstawie historii sygnału na wejciu X oraz własnoci układu maszyny A, co mona zapisa zalenoci: X(t,ΘΘΘΘ,r) = A(r,ΘΘΘΘ) S(ΘΘΘΘ) + N(t,ΘΘΘΘ,r) (5.2) W diagnostyce problem ten dotyczy braku jednoznacznych relacji przyczynowo-skutkowych pomidzy moliwymi przyczynami (zrónicowane zaawansowanie rozwijajcych si uszkodze lub rozregulowa) obserwowanych skutków (mierzonych sygnałów), które nie maj zwykle charakteru przyczynowo-skutkowego. Moliwe w tym wzgldzie bardzo rozbudowane modele analityczne, wystpujce najczciej w postaci układów równa róniczkowych i dostatecznie dokładnie opisujce działanie diagnozowanych maszyn, wymagaj rozwiza jedynie na drodze numerycznej, którym daleko jeszcze do aplikacji diagnostycznych.

System pomiarowy dla celów współczesnej diagnostyki wibroakustycznej maszyn składa si z dwóch podstawowych czci: sprztu, w którym wyrónia si jako główne moduły akwizycji oraz oprogramowanie, w którego skład wchodz moduły przetwarzania, archiwizacji i zarzdzania prac systemu.

Przedstawiona struktura systemu pomiarowego wykorzystuje najnowsze rozwizania zarówno sprztowe, jak i programowe. Takie rozwizania umoliwiaj łatw rozbudow systemu, oraz moliwoci włczenia go do dowolnych struktur systemów diagnostycznych. 2.3.1 Wybór parametrów diagnostycznych (redukcja danych)

Zbiór parametrów diagnostycznych sygnału wyrónia si ze zbioru parametrów wyjciowych, towarzyszcych pracy maszyny. Na ogół przyjmowanymi kryteriami wyróniania symptomów s warunki ich niezalenoci, jednoznacznoci i mierzalnoci. Wyznaczanie zbioru wraliwych uszkodzeniowo parametrów diagnostycznych powinno uwzgldnia:

• zdolno odwzorowania zmian stanu w czasie eksploatacji, • ilo informacji o stanie technicznym przekładni, • wraliwo wartoci parametrów w czasie eksploatacji.

Metody wyznaczania symptomów diagnostycznych s nastpujce: • Metoda maksymalnej wraliwoci parametru na zmian stanu technicznego • Metoda maksymalnej wzgldnej zmiany parametru diagnostycznego • Metoda maksymalnej pojemnoci informacyjnej parametru diagnostycznego • Metoda maksymalnej zmiennoci parametru diagnostycznego Zalet powyszych metod jest to, e pozwalaj wybra ze zbioru parametrów

wyjciowych jednoelementowe, jak i wieloelementowe zbiory parametrów diagnostycznych. Kryteria optymalizacji zbioru parametrów diagnostycznych: 1. Parametry diagnostyczne powinny charakteryzowa proces destrukcji przekładni i by z

nim cile zwizane. 2. Parametry diagnostyczne powinny by wraliwe na zmiany zachodzcego procesu

pogarszania si zdatnoci przekładni. 3. Liczba parametrów diagnostycznych nie moe by zbyt dua, gdy znaczna ich liczba

utrudnia, a niekiedy uniemoliwia poznanie i okrelenie procesu pogarszania si stanu technicznego przekładni.

4. Parametry diagnostyczne powinny mie charakter mierzalny. 5. Musz istnie wiarygodne dane statystyczne i analityczne wyrónianych parametrów. 2.3.2 Wielkoci sterujce strategi eksploatacji wg stanu Stan dynamiczny maszyn odzwierciedla w chwili badania ich własnoci eksploatacyjne, co pozwala na stosowanie nowej strategii eksploatacji maszyn „strategii eksploatacji według stanu technicznego”. Istota tej strategii polega na tym, e decyzje eksploatacyjne podejmowane s w oparciu o aktualny stan maszyny. Dla potrzeb nowoczesnej strategii wg stanu konieczne jest okrelenie wielkoci sterujcych, obejmujcych: - dobre symptomy stanu (s1, s2, s3...sm); - wartoci graniczne symptomów:

A

Psgr

gsS 2σ+= (5.3) - okresowo diagnozowania:

( )( )

mSSSP

d m

mgrrt Θ= −−1 (5.4)

Zanikajce due systemy eksploatacji powoduj pojawianie si maszyn pojedynczych (indywidualnych), co wymusza potrzeb indywidualizacji metod diagnozowania.

2.4 Pomiary i analiza drga Zasady pomiarów

Pomiarem nazywa si proces poznawczy, polegajcy na porównaniu drog dowiadczenia fizycznego danej wielkoci z pewn jej wartoci przyjt za jednostk odniesienia. T definicj mona rozszerzy, uwzgldniajc, e niektóre automatyczne przyrzdy pomiarowe spełniaj take zadania wykonawcze.

Pomiarem nazywa si wic proces odbioru i przekształcenia informacji o wielkoci mierzonej w celu otrzymania, przez porównanie z jednostk pomiarow, ilociowego wyniku w postaci przez jej najbardziej wygodnej do odbioru przez organy czucia człowieka, przekazania w przestrzeni lub w czasie (rejestracji), matematycznego opracowania lub wykorzystania do sterowania.

Przeprowadzenie takich pomiarów potrzebne jest do : - wyznaczenia przebiegów drga i ich parametrów w czasie celem okre1enia rodzaju drga,

ich wielkoci charakterystycznych i przeprowadzenia szczegółowej analizy; - wykrywania ródeł drga, tzn. ustalania przyczyny powstawania drga i miejsca ich

wystpowania; - ustalania cech charakterystycznych układów mechanicznych ( np. okre1anie zmiennoci

obcie w czasie podczas drga i ich zalenoci od parametrów obiektu, jego kształtu, wymiarów, własnoci materiałów itp.);

- izolowania i zmniejszania drga szkodliwych d1a niezawodnej pracy urzdze i obsługujcych ludzi;

- okrelenia szkodliwoci wystpujcych drga d1a obsługi urzdze mechanicznych i przeprowadzenia pewnych zabiegów profilaktycznych.

Czsto bardzo istotne jest wyznaczenie przebiegów drga własnych i wymuszonych układów mechanicznych. Tylko dla prostych układów mona te przebiegi okreli analitycznie. Dla bardziej złoonych układów przebiegi te s wynikiem superpozycji drga własnych i trzeba je wyznaczy eksperymentalnie na podstawie pomiarów w rónych punktach układu. Przebiegi drga własnych zale od warunków pocztkowych i parametrów mechanicznych danego układu. Przebiegi drga wymuszonych s uzalenione od zmian wymuszenia w czasie. Na podstawie otrzymanych przebiegów drga mona okreli ich rodzaj (okresowe, przypadkowe, nie ustalone itp.) i przeprowadzi analiz.

Celem analizy jest otrzymanie informacji o parametrach drga danego układu. Wanym zagadnieniem jest wyznaczenie wzłów drga (punktów, linii lub powierzchni, które nie bior udziału w drganiach) i punktów, których amplitudy drga dla danej czstotliwoci s najwiksze. Zbiór amplitud drga poszczególnych punktów układu przedstawia kształt (przebieg) drga. Zagadnienia te s przedmiotem analizy geometrycznej.

Analiza czasowa polega na okreleniu, w jaki sposób zmieniaj si w czasie poszczególne wielkoci (przemieszczenie linearne, prdko, przypieszenie, odkształcenie itp.). Jeeli zmiany s okresowe, to wyznacza si take ich czstotliwo. Jeeli zmiany maj charakter przypadkowy, to do analizy stosuje si metody statystyczne.

Interesujce wnioski mona wycign take na podstawie analizy czstotliwociowej, tzn. okreleniu zmian charakterystycznych wielkoci i parametrów w funkcji czstotliwoci. ródła drga mog powstawa z przyczyn konstrukcyjnych (np. mechanizmy korbowe, krzywkowe i inne wykonujce ruchy, napdy maszyn wibracyjnych), technologicznych (niedokładnoci wykonania i montau maszyny, np. niewywaenie mas wirujcych, owalizacje łoysk i czci obrotowych, niepodane luzy i inne wady) lub eksploatacyjnych (w wyniku zuycia si elementów i zniekształce powierzchni stykajcych si w czasie ruchu).

Przeprowadzajc pomiary drga poszczególnych elementów badanego obiektu mona znale podzespół, który jest ródłem szkodliwych drga. Przez jego wymian czsto mona zmniejszy drgania całego obiektu. Stosunkowo łatwe jest wykrywanie drga bdcych wynikiem wymuszenia kinematycznego, tzn. wywołanych wskutek ruchu danego elementu (np. drgania wskutek ruchu samochodu po nierównej drodze), lub wymuszenia dynamicznego, tzn. wskutek działania na dany element sił zewntrznych lub sił bdcych wynikiem oddziaływania innych podzespołów. Warto siły moe zmienia si (okresowo lub nie okresowo) lub by stała, a zmienia si w czasie moe tylko jej kierunek lub punkt przyłoenia (np. siły odrodkowe powstałe w wyniku ruchu obrotowego nie wywaonej masy). Trudniejsze jest wykrywanie drga samowzbudnych, których przyczynami s przewanie zmienne opory tarcia, siły hydro- i aerodynamiczne lub wystpowanie sprze zwrotnych i drga parametrycznych, których przyczyn czsto jest okresowa zmienno sztywnoci elementów. Wyznaczanie zmiennoci obcie pod wpływem drga pozwala okreli wystpujce naprenia i odkształcenia bdce wynikiem sił zewntrznych i sił bezwładnoci. Mierzc w miejscach działania obcie, w miejscach połcze itp. wystpujce siły i momenty mona otrzyma przebieg obcie dynamicznych poszczególnych elementów obiektu [14,47,58,81].

Za pomoc pomiarów drga mona bada wpływ wymiarów i kształtów elementów (a tym samym masy, sztywnoci itp.), sposobów mocowania i materiałów na parametry drga. Wystpujce drgania obiektów, z wyjtkiem układów techniki drga, s szkodliwe. Zakłócaj one prawidłow prac urzdze, powodujc ich szybkie zuywanie oraz straty energetyczne. Jeeli wystpuj drgania, wówczas dy si do ustalenia przyczyny i zlokalizowania ich, a nastpnie zmniejszenia. Jeeli nie da si zmniejszy drga, wówczas stosuje si elementy izolacyjne, które powoduj ich tłumienie.

Pomiary drga polegaj na mierzeniu pewnych wielkoci fizycznych, charakteryzujcych drgania obiektu. Do takich wielkoci zalicza si przemieszczenie, prdko i przyspieszenie. Przemieszczenie punktu okrela jednoznacznie wektor przemieszczenia s. Przy pomiarach wektora s okrelamy jego współrzdne sx, sy lub sz.

Drgania obiektu mona okreli wektorem chwilowych wartoci prdkoci v. Dla wyznaczenia wektora v naley pomierzy jego składowe: vx, vy, vz. Pomiary prdkoci s celowe w wielu przypadkach. Wiadomo na przykład, e siły działałce mog by zalene od prdkoci. Zjawisko to wystpuje przy siłach tarcia. Pomiar prdkoci drga jest take celowy przy badaniu ich oddziaływania na organizm ludzki. Naley pamita, e amplituda prdkoci czstki drgajcej harmonicznie równa jest amplitudzie przemieszczenia pomnoonego przez czstotliwo ktow ϖ.

Ruch drgajcy mona okreli take wektorem chwilowego przyspieszenia a. Wektor ten mona wyznaczy przez pomiar jego współrzdnych: ax, ay, az. Przyspieszenie jest proporcjonalne do działajcej siły, w zwizku z tym dla jednoznacznego scharakteryzowania drga mona mierzy przypieszenie wyznaczajce połoenie danego punktu i przyspieszenie okrelajce oddziaływujc na obiekt sił. Amplituda przypieszenia kadej składowej widma równa si amplitudzie przemieszczenia pomnoonej przez czstotliwo ktow do kwadratu. Im wysza jest harmoniczna przebiegu drga, tym bardziej jest ona odzwierciedlana w widmie przyspieszenia. Jak wiadomo, szeregi Fouriera dla pochodnych rozkładanej funkcji s tym wolniej zbiene, im jest wyszy rzd pochodnej. Poniewa amplitudy przypiesze wyszych harmonicznych s due, wic do pomiarów naley uywa aparatur posiadajc szeroki zakres czstotliwoci pracy.

Przy pomiarach przemieszcze wymagania dotyczce zakresu czstotliwoci s mniejsze, poniewa amplitudy wyszych harmonicznych s pomijalne. Naley zaznaczy, e w niektórych przypadkach przebiegi przemieszcze mog by prawie sinusoidalne, prdkoci odkształcone, a przypieszenia mog mie charakter przypadkowych procesów.

Dla kadej z trzech wyej wymienionych wielkoci mona mierzy jej wartoci chwilowe, rednie lub szczytowe. Najpełniejsz informacj daje zapis wartoci chwilowych w funkcji czasu. Pomiary wartoci rednich przeprowadza si wtedy, gdy chodzi nam o ogólne, urednione informacje o danych drganiach. W niektórych układach s wprowadzone ograniczenia odnonie do maksymalnych chwilowych wartoci drga. Dla ich wyznaczenia wystarczy mierzy szczytowe wartoci drga.

Czsto zaley nam na okreleniu czstotliwoci wystpujcych drga. Przy drganiach harmonicznych czstotliwo mona wyznaczy bardzo łatwo, np. z widma chwilowych wartoci przemieszcze. Mona take zmierzy j bezporednio miernikiem czstotliwoci. Dla drga okresowych, ale nie harmonicznych, wymagane jest czsto okrelenie czstotliwoci podstawowej (drgania harmonicznego o najniszej czstotliwoci). Bezporednie wyznaczenie jej z widma jest przewanie niemoliwe i naley w tym celu zastosowa specjaln aparatur (filtry przestrajane lub przełczane) albo przeprowadzi analiz przebiegu analitycznie (szereg Fouriera). Dla pełnego obrazu wystpujcych czstotliwoci naley przeprowadzi szczegółow analiz i wyznaczy dyskretne widmo drga. Jeeli wystpuj drgania nieokresowe, widmo drga jest cigłe. Wyznaczenie tego widma wymaga skomplikowanej aparatury pomiarowej. Przy drganiach przypadkowych wymagany jest pomiar rozkładów prawdopodobiestw, który najpełniej charakteryzuje zachodzcy proces. Ze wzgldu na to, e pomiar ten jest bardzo skomplikowany, czsto ogranicza si do pomiaru funkcji korelacyjnej drga. Funkcja ta pozwala wyznaczy parametry pierwszego i drugiego rzdu drga przypadkowych. Na podstawie przekształcenia Fouriera z funkcji korelacyjnej mona wyznaczy gsto widmow mocy procesu. Za pomoc odpowiedniej aparatury mona bezporednio wyznaczy widmo amplitudowe. Pomiar widma fazowego jest rzadko wymagany.

Przy drganiach wywołanych impulsami czsto wymaga si okrelenia nachylenia czoła i czasu trwania działajcych impulsów. Jeeli impulsy wystpuj okresowo, to okrela si ich czstotliwo.

Układ pomiarowy słuy do przetworzenia ruchu drgajcego badanego obiektu na wskazania miernika lub na posta dogodn do rejestracji. Na obiekcie, którego drgania maj by mierzone, mocuje si czujniki. S one przetwornikami wielkoci wejciowej (drga) na sygnał wyjciowy informujcy o mierzonej wielkoci. Przetworniki przekształcaj drgania mechaniczne na inn posta drga mechanicznych lub na drgania elektryczne.

Jeeli przewody łczce czujniki z pozostał aparatur s długie, wówczas dla zapewnienia lepszych warunków pomiaru stosuje si wtórniki katodowe. Zadaniem ich jest dopasowanie linii do czujnika. Sygnał wyjciowy z wtórnika katodowego doprowadza si do pozostałej aparatury pomiarowej liniami połczeniowymi. Urzdzenie dodatkowe moe zawiera róne zespoły w zalenoci od wybranej metody pomiarowej, stosowanych czujników, mierzonych wielkoci i parametrów, własnoci drga oraz wymaganej postaci sygnału wyjciowego. Mog tutaj wchodzi mostki, róne rodzaje wzmacniaczy, układy całkujce lub róniczkujce itp. w zalenoci od tego, czy przewiduje si bezporedni odczyt, czy przebieg ma by rejestrowany, stosuje si mierniki wskazówkowe lub rejestratory. Jako rejestratorów uywa si wielokanałowe oscylografy ptlicowe, wielostrumieniowe oscylografy z kamerami fotograficznymi lub magnetofony pomiarowe. w niektórych przypadkach zamiast przyrzdów wskazówkowych lub rejestratorów uywa si analizatorów, które przeprowadzaj od razu analiz drga i podaj gotowe wyniki. Gdy s przeprowadzane pomiary układów, w pobliu których ze wzgldu na bezpieczestwo nie moe znajdowa si człowiek, wówczas stosuje si zdalne sterowanie [3,6,14,24,25,27,34].

2.5 Badania drganiowe przekładni zbatej Wyboru symptomów diagnostycznych i oceny ich wraliwoci na modelowane

zmiany stanu dokonano w wyniku przeprowadzenia eksperymentu czynnego z uyciem modelu przekładni zbatej DMG-1 [wykonanej w ITE Radom].

Eksperyment czynny polegał na celowej zmianie dostpnych cech stanu (przyczyn) i obserwacji parametrów drga (skutków), jakie te zmiany powoduj.

Dla badanego modelu przekładni zbatej (rys.5.3), skonstruowano wektor cech stanu przekładni z uwzgldnieniem wszystkich moliwych kombinacji uszkodze: stan 1 – brak uszkodze – przekładnia zdatna ( cechy stanu w normie), stan 2 – uszkodzenie elementu – ( niektóre cechy poza norm), ... - moliwe kombinacje programowanych uszkodze i rozregulowa, stan n – stan rozregulowania ( wszystkie cechy stanu poza norm).

Pozwoliło to na wstpne wyrónienie wielu stanów regulowanych, dla których rejestrowano odpowiadajce im wartoci parametrów diagnostycznych.

Rys.5.3 Ogólny widok budowy badanej przekładni

Układ sterowania i regulacji, przedstawiony na rys.5.4, umoliwia realizacj zaplanowanych warunków bada i modelowanie załoonych stanów przekładni.

Rys.5.4 Układ napdowy przekładni z elementami sterowania

Wektor cech stanu przekładni po badaniach wstpnych ucilono i zredukowano do

postaci nastpujcych stanów: 1. brak uszkodze, 2. uszkodzone łoysko, 3. koło zbate wału napdowego zuyte, 4. koło zbate wału napdowego uszkodzone – wyłamany zb, 5. koło zbate wału napdowego uszkodzone – wykruszony zb, 6. koło zbate wału odbiorczego zuyte, 7. koło zbate wału odbiorczego uszkodzone – wyłamany zb, 8. koło zbate wału odbiorczego uszkodzone – wykruszony zb, 9. wał napdowy nie wywaony, 10. wał odbiorczy nie wywaony, 11. przekoszenie (+1°) wału napdowego, 12. przekoszenie (-2°) wału napdowego, 13. przekoszenie (+1°) wału odbiorczego, 14. przekoszenie (-2°) wału odbiorczego.

Stanowisko pomiarowe Pomiary parametrów sygnału drganiowego (rys.5.5) przeprowadzono z

zastosowaniem pakietu pomiarowo – przetwarzajcego APB– 200, wchodzcego w skład oprogramowania CADA-PC.

PRZEKŁADNIAZBATA

PRZETWORNIKA/C

PAKIETAPB - 200

PC

Rys.5.5 Schemat stanowiska pomiarowego

Przedstawiony układ umoliwia wyznaczanie nastpujcych miar : - TIME - przebieg czasowy sygnału, - ACR - autokorelacja, - CEPS - cepstrum, - HISS - histogram amplitud, - AMPL - widmo amplitudowe, - POWER - gsto widmowa mocy.

Dalsze przetwarzanie tych miar sygnału pozwala uzyska cał gam parametrów i dyskryminant szczegółowych procesu drganiowego, które wykorzystane zostan do oceny ich wraliwoci na modelowane stany przekładni. Nale do nich: - peaklist–wartoci max. amplitudy w czstociach charakterystycznych; - wysze harmoniczne i ich amplitudy, - warto maksymalna amplitudy drga, - warto minimalna amplitudy drga, - warto midzy szczytowa, okrelana na podstawie wartoci maksymalnej i minimalnej, - warto rednia amplitudy drga, - warto skuteczna amplitudy drga, - dyskryminanty amplitudowe (C, K, I), - moment statystyczny 1 rzdu - warto rednia, - moment statystyczny 2 rzdu - odchylenie standardowe.

Przykładowe wyniki bada

W badaniach rozpoznawczych modelowanych staów przekładni zbatej uzyskano nastpujce przebiegi:

Przekładnia zdatna

Przekładnia uszkodzona Rys.5.6 TIME - przebiegi czasowe

Rys.5.7 ACR - autokorelacja

Rys.5.8 HISS - histogram amplitud

Rys.5.9 AMPL - widmo amplitudowe

Wyniki bada stanowiskowych po przetworzeniu stanowi podstaw do wnioskowania o zmieniajcym si stanie technicznym przekładni. Ich porównanie z wynikami analizy modalnej doskonali metodyk bada wibroakustycznych obiektów technicznych. 3. METODA ELEMENTÓW SKOCZONYCH

Metoda elementów skoczonych jest najpopularniejsz metod dyskretyzacji

konstrukcji (obok metody mas skupionych i metody współrzdnych uogólnionych), stosowan dla celów analizy układów konstrukcji inynierskich. Praktycznie wszystkie systemy numerycznej analizy konstrukcji bazuj na MES. Do najbardziej popularnych metod komputerowych stosowanych w praktyce inynierskiej nale: metoda elementów skoczonych (MES), metoda rónic skoczonych (MRS) oraz metoda elementów brzegowych (MEB). Sporód nich niewtpliwie metoda elementów skoczonych ma obecnie najszersze zastosowania, czego dowodem s liczne stosowane w praktyce inynierskiej systemy obliczeniowe bazujce na tej metodzie [35,62].

Metoda elementów skoczonych naley do grupy metod wariacyjnych, gdzie punktem wyjcia jest odpowiednio sformułowany funkcjonał. Dla zagadnie brzegowych najczciej funkcjonałem tym jest energia potencjalna układu (funkcjonał Lagrange’a). W warunkach równowagi energia potencjalna jest stacjonarna. Energia potencjalna jest wielkoci skalarn zalen od funkcji przemieszczenia i moe by przedstawiona jako funkcjonał.

Warunkiem koniecznym osigania przez funkcj minimum lokalnego jest znikanie jej pierwszej pochodnej. Analogicznym warunkiem w przypadku funkcjonału jest znikanie wariacji funkcjonału. W warunkach równowagi wariacja energii potencjalnej układu jest równa zeru.

Drugim istotnym elementem metod wariacyjnych jest dobór przestrzeni funkcyjnych, w których poszukujemy rozwiza. S nimi przestrzenie skoczenie wymiarowe, std otrzymane rozwizania s z reguły rozwizaniami przyblionymi. Wzmiankowane wyej metody wariacyjne róni si midzy sob w szczególnoci dobrem funkcji bazowych lub inaczej funkcji aproksymujcych rozwizanie. W przypadku MES stosuje si zlokalizowane funkcje bazowe, tzn. funkcje, które s róne od zera na ograniczonym obszarze, natomiast równe zeru na pozostałym obszarze. Takie podejcie z jednej strony wymusza konieczno zapewnienia cigłoci aproksymacji na granicach elementów skoczonych, ale z drugiej strony stwarza moliwo bardzo efektywnej aproksymacji rozwizania na praktycznie dowolnym obszarze.

Istot całego zagadnienia metody elementów skoczonych jest budowa najwaniejszego elementu, jakim jest algorytm MES. Budowa algorytmu MES zostanie przedstawiona dwuetapowo: - w etapie pierwszym zostan sformułowane równania dla pojedynczego elementu

skoczonego w ramach tzw. modelu rozłcznego, - w etapie drugim zostan sformułowane równania MES dla modelu globalnego.

Na kadym etapie stosowane bd dwa równowane zapisy: - notacja wskanikowa, w której obiektami bd indeksowane wektory i macierze zwizane

z punktami wzłowymi, - notacja macierzowa, w której wektory i macierze s obiektami zwizanymi z całym

elementem skoczonym lub obszarem. Notacja wskanikowa jest formalnie zbliona do zapisu tensorowego stosowanego w

rachunku wektorowym i tensorowym. Odpowiednikiem wersora w rachunku wektorowym bdzie tutaj funkcja bazowa lub grupa funkcji bazowych zwizana z pojedynczym punktem wzłowym. Indeksowane obiekty bd traktowane jako współrzdne obiektów przypisanych do przypisanych do punktów wzłowych wskazanych przez indeks. Jeeli uszeregowane indeksowane obiekty tego samego typu połczy w jeden obiekt, wówczas mamy do czynienia z zapisem czysto macierzowym, którego odpowiednikiem w rachunku wektorowym jest zapis absolutny.

Z punktu widzenia algorytmizacji MES notacja wskanikowa jest notacj naturaln. Niezalenie od budowy algorytmu kocowy układ równa MES ma wyranie struktur „atomow”, w której podstawowymi jednostkami s macierze i wektory zwizane z pojedynczymi wzłami, a nie z poszczególnymi elementami skoczonymi.

W wielu zagadnieniach inynierskich wymagane jest znalezienie rozkładu napre i odkształce w kontinuum sprystym. Z problemami tego rodzaju spotykamy si przy obliczaniu tarcz, płyt, powłok i ciał trójwymiarowych. We wszystkich tych przypadkach liczba powiza pomidzy dowolnym "skoczonym elementem" wydzielonym mylowo a jego otoczeniem jest nieograniczona. Zadanie to moe by obliczone w nastpujcy sposób: - kontinuum podzielone zostaje w myli liniami na pewn liczb "skoczonych

elementów"; - zakłada si, e elementy te s połczone ze sob w skoczonej liczbie punktów,

znajdujcych si na ich obwodach, a przemieszczenia punktów wzłowych stanowi bd podstawowy układ niewiadomych;

- zostaje dobrana funkcja okrelajca jednoznacznie stan przemieszcze wewntrz kadego elementu skoczonego w zalenoci od przemieszcze punktów wzłowych;

- funkcje przemieszcze definiuj jednoznacznie stan odkształce wewntrz elementów w

zalenoci od przemieszcze wzłów. Odkształcenia te, wspólnie z odkształceniami pocztkowymi i własnociami sprystymi materiału, okrelaj stan napre w całym elemencie, a wic i na jego brzegach;

- zostaje okrelony układ sił skupionych w wzłach, równowacych napicia na brzegach elementów oraz wszelkie inne siły; otrzymuje si zwizki sztywnoci w postaci równa.

Oczywicie wymaga to szeregu aproksymacji. Pierwsz trudno stanowi dobranie funkcji przemieszcze spełniajcych warunek cigłoci pomidzy stykajcymi si elementami, czsto wic warunki zgodnoci wzdłu tych linii mog nie by spełnione (chocia wewntrz kadego elementu s one spełnione przez wybór wspomnianych funkcji).

Po drugie, przez skupienie sił równowacych w wzłach warunki równowagi spełnione s tylko w odniesieniu do całego układu. Zazwyczaj wystpowa bd lokalne odchylenia od warunków równowagi wewntrz kadego elementu i na jego granicach. Wybór kształtu elementu i postaci funkcji przemieszcze w poszczególnych przypadkach zaley w duym stopniu od pomysłowoci i dowiadczenia inyniera. Oczywicie wybór tych dwóch czynników decyduje o stopniu przyblienia rozwizania [35,62].

Opisywany tutaj sposób podejcia do zagadnienia znany jest pod nazw sposobu przemieszcze.

Opisany dotychczas proces moe by sprawdzony tylko intuicyjnie, jednake to co zostało zaproponowane, w istocie swej jest równowane minimalizacji całkowitej energii potencjalnej układu, wyraonej w funkcji załoonego pola przemieszcze. Jeeli pole to jest okrelone w odpowiedni sposób, wówczas zapewniona jest zbieno do wyników poprawnych. 3.1 Okrelenie charakterystyk elementu skoczonego

Sposoby wyznaczenia charakterystyk elementu skoczonego wyodrbnionego z kontinuum, omówione ogólnie, zostan obecnie przedstawione w szczegółowej postaci matematycznej. Podane jest uzyskanie rezultatów w postaci ogólnej, nadajcej si do kadych okolicznoci; aby jednak ułatwi zrozumienie, zwizki ogólne s ilustrowane na przykładzie płaskiej tarczy, któr podzielono na elementy trójktne, jak pokazano na rys.5.10.

Rys.5.10 Obszar płaski podzielony na elementy

Wyraenia majce znaczenie ogólne s drukowane tłust czcionk, a odnoszce si

do przykładu - normaln. Stosowany jest zapis macierzowy. Funkcja przemieszcze. Typowy element skoczony e (rys.5.10) zdefiniowany jest poprzez wzły i, j, m, ...i prostoliniowe brzegi. Przemieszczenie w dowolnym punkcie wewntrz elementu jest okrelone wektorem kolumnowym f(x, y):

==

...

...][][m

j

i

mjie NNNNf

δδδ

δ (5.5)

w którym składowe [N] ogólnie s pewnymi funkcjami, eδ za reprezentuje zbiór przemieszcze wzłów dla omawianego elementu. Dla zagadnienia płaskiego:

=),(),(

yxv

yxuf

przedstawia przemieszczenia poziome i pionowe dowolnego punktu wewntrz elementu, natomiast:

=i

ii v

uδ

odpowiednie przemieszczenia wzła i. Funkcje Ni, Nj, Nm ...naley tak obra, aby dawały odpowiednie przemieszczenia

wzłów, gdy do równania (1) wstawione bd współrzdne odnonych wzłów. W przypadku funkcji liniowych mamy:

Ni(xi, yi) = I (macierz jednostkowa),

za : Ni(xj, yj) = Ni(xm, ym) = 0 itd.

Funkcje [N] nazywane s "funkcjami kształtu" i odgrywaj one du rol w metodzie elementów skoczonych. Odkształcenia. Jeeli znane s przemieszczenia we wszystkich punktach elementu, to mona wyznaczy "odkształcenia” w dowolnym jego punkcie. Zwizek pomidzy odkształceniami i przemieszczeniem wzłów w postaci macierzowej jest nastpujcy :

eB ][ δε = (5.6) Dla zadania płaskiego odkształcenia mog by zapisane w ogólnie znanej postaci:

∂∂+

∂∂

∂∂∂∂

=

=

yv

xu

yvxu

xy

y

x

γεε

ε (5.7)

Z równa tych przy okrelonych funkcjach Ni, Nj, Nm uzyskuje si z łatwoci macierz [B]. Jeli przyjmiemy liniow posta tych funkcji, wówczas odkształcenia wewntrz rozwaanego elementu pozostaj stałe. Naprenia. Ogólnie biorc, materiał elementu moe by poddany pocztkowym odkształceniom spowodowanym temperatur, skurczem, rozwojem kryształów itd. Oznaczmy te odkształcenia przez 0ε . Naprenia w elemencie wywołane bd rónicami pomidzy tymi odkształceniami, a odkształceniami wystpujcymi aktualnie. Ponadto wygodnie jest załoy, e na pocztku oblicze ciało jest poddane działaniu znanego układu pocztkowych napre resztkowych (residualnych) 0δ , które mona pomierzy, lecz zmiennoci ich nie

da si przewidzie bez znajomoci pełnej historii materiału. Naprenia te mona po prostu doda do zdefiniowanych ogólnie. Zatem, przy załoeniu sprystych własnoci materiału, zwizek pomidzy odkształceniami i napreniami staje si liniowy i przyjmuje posta:

)]([ 00 δεεδ +−= D (5.8) gdzie: [D] -macierz sprystoci, opisujca zadane własnoci materiału.

Dla szczególnego przypadku płaskiego stanu mamy trzy naprenia składowe, odpowiadajce trzem rozpatrywanym składowym odkształceniom. Napreniami tymi s:

=

xy

y

x

τδδ

δ

za macierz [D] dla materiału izotropowego otrzymuje si ze znanych zalenoci :

yxxx EEδνδεε −=− 1

)( 0 ;

yxyy EEδδνεε 1

)( 0 +−=− ; (5.9)

xyxyxy Eτνγγ )1(2

)( 0+=−

Równowane siły wzłowe. Niech wektor (macierz) :

=

...

m

j

i

e

F

F

F

F

przedstawia siły wzłowe, statycznie równowane napiciom na granicach elementu i innym obcieniom elementu. Kada z sił Fi musi mie t sam liczb składowych jak odpowiednie przemieszczenie wzła iδ i musi by skierowana we właciwym kierunku. Obcienia p definiowane s jako działajce na jednostk objtoci wewntrz elementu i majce kierunki odpowiadajce kierunkom przemieszcze f w odpowiednich punktach wntrza.

W szczególnym przypadku płaskiego stanu naprenia siły wzłowe maj posta:

=i

ii V

UF

gdzie: U i V składowe sił odpowiadajce kierunkom przemieszcze u i v, za obcienie rozłoone p:

=Y

Xp

gdzie: X i Y znane składowe "siły masowej".

Aby uczyni siły w wzłach statycznie równowane napiciom na brzegach i obcieniom rozłoonym, najprociej jest załoy dowolne wirtualne przemieszczenia wzłów i porówna prac sił zewntrznych i wewntrznych, któr wszystkie siły wykonaj na tych przemieszczeniach. Funkcje przemieszcze z niecigłoci pomidzy elementami

W pewnych przypadkach napotyka si na znaczne trudnoci przy poszukiwaniu funkcji przemieszcze, które były by automatycznie cigłe na całym obwodzie pomidzy ssiednimi elementami.

Niecigło przemieszcze spowoduje nieograniczone odkształcenia wzdłu linii podziału, poniewa udział energii ograniczano do samych elementów. Gdy jednak siatka podziału maleje, wówczas w granicy cigło zostanie przywrócona i sformułowanie nasze doprowadzi do poprawnych wyników. Warunek ten czsto mona osign, jeeli : a). warunek stałych odkształce automatycznie zapewnia cigło przemieszcze, b). kryterium stałych odkształce jest spełnione. 3.2 Uogólnienie koncepcji elementów skoczonych

Problemy fizyki stosowanej wystpujce w technice mona bada jednym z dwu sposobów. W pierwszym zadane s równania róniczkowe opisujce zachowanie si typowego nieskoczenie małego obszaru. W drugim postuluje si wano w całym badanym obszarze wariacyjnej zasady ekstremalnej. Poprawnym rozwizaniem problemu jest takie rozwizanie, które minimalizuje pewn wielko X, zdefiniowan przez odpowiednie całkowanie poszukiwanych wielkoci po całym obszarze. Taka wielko całkowa X, bdca funkcj nieznanych funkcji, nosi nazw funkcjonału.

Oba te sposoby s matematycznie równowane; dokładne rozwizanie jednego zagadnienia jest rozwizaniem drugiego. Kade z nich mona uwaa za podstawowe sformułowanie problemu, aczkolwiek sformułowanie za pomoc równania róniczkowego prawdopodobnie jest bardziej uyteczne. Moliwe jest te czysto matematyczne, formalne przejcie od jednego sformułowania do drugiego [35,62].

Załómy, e fizyczne (lub czysto-matematyczne) sformułowanie zadania wymaga minimalizacji funkcjonału X w pewnym obszarze. X jest zdefiniowane jako pewna całka w obszarze V i na czci jego brzegu S, w których istnieje nieznana funkcja φ lub jej pochodne, tj.:

+=SV

dSx

gdVx

f ,...),(,...),( φδδφφ

δδφχ (5.10)

Podzielmy obszar na mniejsze czci (podobszary), które nazwiemy elementami, i niech funkcja, któr chcemy znale, bdzie w kadym elemencie opisana przez:

eN ][ φφ = (5.11)

W równaniu tym eφ moe by zbiorem wartoci w wzłach funkcji zwizanej z elementem lub po prostu zbiorem pewnych jego charakterystycznych parametrów. Oznaczenie nieznanej funkcji ujto w klamry aby zaznaczy, e moe ona by wektorem. [N] jest zestawieniem funkcji kształtu, bdcych funkcjami tylko współrzdnych.

Aby zminimalizowa funkcjonał X wzgldem wszystkich parametrów φ wystpujcych w całym obszarze, naley napisa układ równa:

0

: 2

1

=

∂∂∂∂

=∂∂

φχφχ

φχ

(5.12)

Jeeli prawdziwe jest twierdzenie, e całkowity funkcjonał jest sum składników pochodzcych od poszczególnych elementów, tj.:

= eχχ (5.13)

wówczas typowe równanie przybiera posta:

∂∂=

∂∂

n

e

n φχ

φχ

(5.14)

gdzie sumowanie naley rozcign na wszystkie elementy. W ten sposób otrzymujemy reguł budowania całego minimalizujcego układu równa.

W szczególnym przypadku, gdy X jest funkcjonałem formy kwadratowej od φ i jej pochodnych, moemy zawsze zapisa pochodne dla okrelonego elementu e jako:

eeee

e

Fk ][

+=∂∂ φφχ

(5.15)

gdzie: [k]e i Fe - macierze stałych. Minimalizujcy układ równa moemy zatem zapisa jako:

][

FK +=∂∂ φ

φχ

(5.16)

gdzie :

[Kij] = Σ [kij]e

Fi = ΣFie

Sumowanie obejmuje wszystkie elementy. Zmienne pozawzłowe

Definiujc funkcj kształtu elementu stwierdzilimy i Φe oznacza albo wartoci nieznanych funkcji w wzłach, albo niektóre parametry zwizane z omawianym elementem.

Aby zapewni cigło funkcji midzy ssiednimi elementami, jak wymaga tego kryterium 2, i aby podkreli fizyczne znaczenie poszukiwanej funkcji Φ, koncentrujemy zwykle uwag na wartociach wzłowych. Zawsze mona ustali tak zmienno funkcji, e cigło jej nie zostanie zakłócona, np. przez przyjcie wartoci zerowych w wzłach lub na granicy elementów, a nastpnie pomnoy j przez pewien parametr, wzgldem którego ma by minimalizowany funkcjonał.

Takie "parametry pozawzłowe" poprawiaj czasem dokładno odwzorowania i mog by uyteczne. Poniewa, ogólnie biorc, parametry takie zwizane s tylko z jednym elementem, mona zminimalizowa je przed zbudowaniem równa i wyeliminowa z macierzy elementów.

Szczególn postaci zmiennych pozawzłowych jest znany ogólnie mnonik Lagrange'a. Stosujemy go wówczas, gdy na funkcj Φ nałoone jest pewne ograniczenie dodatkowe, nie wynikajce ani z warunków granicznych, ani z proponowanej funkcji kształtu. Niech tym ograniczeniem bdzie :

G(Φ) = 0 (5.17) Rozwizanie wymaga teraz minimalizacji postaci :

Gλχχ += (5.18) gdzie: λ jest typowym parametrem dodatkowym. Jeeli załoymy istnienie szeregu takich warunków, wówczas minimalizujemy :

=

+=s

iiiG

1

λχχ (5.19)

gdzie: iλ s dodatkowymi parametrami zagadnienia, które mog by zwizane albo z elementami albo z powierzchniami midzy elementami.

Warto przy okazji rozpatrzy posta równa - otrzymywanych w przypadku typowym,

gdy funkcjonał zbudowany jest na formie kwadratowej i mnoniki Lagrange' a przyjte zostały w postaci szeregu l i n i o w y c h sił w wzłach Φ. Moemy teraz napisa ogólnie :

][21 φφφχ TT FK += (5.20)

gdzie: λ jest funkcj parametrów wzłowych, za [K] macierz symetryczn. Liniowe siły w wzłach mona teraz wyrazi w postaci macierzowej: [G]Φ = 0 (5.21) gdzie: [G] jest macierz stałych. Wprowadzajc mnoniki Lagrange'a λ jako wektor o liczbie wierszy równej liczbie kolumn w macierzy [G] (tj. równej liczbie sił w wzłach), mamy:

)]([][21 λφφφφχ TTT GFK ++= (5.22)

Podstawiajc układ równa minimalizujcych otrzymujemy :

00

0][][][

=

−

=

∂∂

∂∂

F

G

GKx

T

λφ

λχφ (5.23)

Naley zauway, e: po pierwsze, układ równa pozostaje symetryczny własno bardzo podana w obecnie stosowanych sposobach rozwizywania; po drugie, zera pojawiaj si i na przektnej głównej, co czasem powoduje trudnoci w rozwizywaniu.

3.3 Algorytm MES dla płaskiego zadania płaskiego Sformułowanie zadania w zapisie macierzowym Typowymi obiektami przy formułowaniu algorytmu MES bd wektory i macierze.

Na wstpie zostan zdefiniowane podstawowe terminy w tej konwencji: - punkt obszaru: 2x1x ≡ [x, y]T, - wektor przemieszczenia: 2x1u(x) ≡ [u(x, y ), v(x, y)]T, - wektor naprenia: 3x1σσσσ(x) ≡ [σx (x, y) σy (x, y) τxy (x, y)]T, - wektor odkształcenia: 3x1εεεε(x) ≡ [εx (x, y) εy (x, y) γxy (x, y)]T.

W celu uproszczenia zapisu, tensory naprenia i odkształcenia bd reprezentowane przez wektory naprenia i odkształcenia, których elementami s uporzdkowane współrzdne tych tensorów. Indeksy po lewej stronie litery rdzeniowej s oznaczeniami wymiaru macierzy lub wektora.

Schemat statyczny obszaru pokazany został na rys.5.11, na którym obszar V jest ograniczony brzegiem S. Przyjmijmy, e materiał obszaru jest jednorodny , izotropowy i sprysty o stałych materiałowych E i v. Obcieniem obszaru jest obcienie rozłoone o intensywnoci p(x). Ponadto zakładamy, e wewntrz obszary wystpuje zadane pole odkształce pocztkowych okrelone funkcj wektorow postaci: 3 x 1εεεε0 (x) ≡ [εx

0 (x, y) εy0 (x, y) γ0

xy (x, y)]T.

(5.24)

Rys.5.11 Schemat statyczny obszaru

Inne obcienia obszaru takie jak siły skupione, obcienia liniowe, pocztkowy stan naprenia oraz wpływ pola temperatury, zostanie omówiony przy opisie odpowiedniego fragmentu algorytmu. Na podobszarze Sσ ⊂ S zadane s kinetyczne (napreniowe) warunki brzegowe, które bd traktowane identycznie jak obcienia wewntrzne obszaru V. Na podobszarze Su ⊂ S zadane s kinematyczne (przemieszczeniowe) warunki brzegowe postaci: u (x) = u*(x) dla x ∈ Su (5.25)

Dla płaskiego zadania teorii sprystoci otrzymujemy równania:

xu

x ∂∂=ε

yv

y ∂∂=ε

xv

yu

xy ∂∂+

∂∂=γ ,

(5.26)

Równania, które bd wykorzystane w MES naley przekształci do postaci macierzowej. Wówczas równanie zwizków geometrycznych przyjmie posta :

εεεε (x) =∂∂∂∂

∂∂

∂∂=

∂∂+∂∂∂∂∂∂

==

v

u

xy

y

x

xvyuyv

xu

xyy

x

//0

/0/

////

γεε

B[u(x)],

(5.27)

gdzie: B [....] jest operatorem róniczkowym zwizków geometrycznych. Równania zwizków fizycznych dla płaskiego stanu napre zapisanych w postaci

odwrotnej przedstawiaj si nastpujco:

,21

+−

= yvxv

Ex εεσ

,21

+−

= xvyv

Ey εεσ

( )

.12

−= xyv

Exy γτ

(5.28)

po przekształceniu równania te moemy zapisa w postaci :

σσσσ (x) =−−

=−

++

−==

xy

y

x

vv

v

v

E

xyv

xvy

yvx

v

E

xy

y

x

γεε

γ

εεεε

τσσ

2100

0101

21

21

21Dε(x),

(5.29)

gdzie: macierz D jest macierz sprystoci:

3x3D

−−≡

2100

0101

21 vv

v

v

E,

(5.30)

W przypadku kiedy w obszarze V zadane jest pole odkształce pocztkowych ε0(x), równania zwizków fizycznych maj posta :

σσσσ(x) = D ( ) ( )

− xx 0εε

(5.31)

Przy formułowaniu algorytmu MES nie zostan wykorzystane bezporednio róniczkowe warunki równowagi wewntrznej. Równowanikiem tych zwizków jest równanie wariacyjne. Funkcjonał wyraajcy całkowit energi potencjaln układu bdzie wynosił:

( ) ( ) ( ) ( )−=+=ΠV

dVxpxTuV

dVxxTLU σε21

(5.32)

gdzie: U jest energia spryst układu, natomiast L jest zmiana energii potencjalnej obcienia zewntrznego.

Wyraenie energii potencjalnej układu zalenej wyłcznie od pola przemieszczenia :

( )[ ] ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )−−==ΠV

dVxpxTudVxxuBDTV

xuBxu 021 ε ,

(5.33)

Mona udowodni, e w warunkach równowagi statycznej obszaru dla kinematycznie dopuszczalnych pól przemieszczania funkcjonał Π osiga minimum. Warunkiem ekstremum funkcjonału jest znikanie wariacji tego funkcjonału co zapiszemy: δΠ = 0. (5.34) 3.4 Podstawowe równania elementu skoczonego

Równania elementu skoczonego zostan pokazane na przykładzie elementu trójktnego. Równania te w zapisie wskanikowym lub macierzowym s uniwersalne i ich posta nie jest zalena od rodzaju ES [35,62].

Typowy element trójktny został pokazany na rys. 5.12. Geometria elementu zdeterminowana jest za pomoc trzech wzłów (numeracja wzłów przeciwna do ruchu wskazówek zegara).

2 x 1X ( )αe ≡≡≡≡ ( )

( )

α

α

y

xdla α = 1, 2, 3.

(5.35)

W kadym wle elementu przyjto wektor parametrów wzłowych, który ma interpretacj wektora przemieszczenia punktu wzłowego:

2 x 1q ( )αe ≡≡≡≡ ( )

( )

α

α

v

udla α = 1, 2, 3.

(5.36)

Parametry wzłowe odgrywaj bardzo istotn rol w MES. Globalna liczba parametrów w punktach wzłowych elementu okrela liczb stopni swobody elementu. Z punktu widzenia analizy funkcjonalnej parametry wzłowe wraz ze skojarzonymi z nimi funkcjami bazowymi determinuj skoczenie-wymiarowa przestrze funkcyjn. W tym przypadku mamy doczynienia z elementem skoczonym o szeciu stopniach swobody.

Rys.5.12 Element skoczony trójktny Rys.5.12 Parametry w punktach wzłowych Typowymi funkcjami aproksymacyjnymi przemieszczenia punktów ES w obszarze

v(e) s funkcje wielomianowe zmiennych (x, y). Z uwagi na liczb parametrów wzłowych moliwy jest jedynie wybór funkcji liniowych postaci:

u(x, y) = f1 + f2x + f3y, v(x, y) = f4 + f5x + f6y.

(5.37)

Stałe f1...... f6 dobieramy tak, aby funkcje przemieszczenia (u, v) w poszczególnych wzłach x ( )

αe (α ≡ 1, 2, 3) były równe parametrom wzłowym q ( )

αe =(uα, vα)T. Std

otrzymujemy:

u(x, y) =A2

1 [(a1 + b1x + c1y)u1 + (a2 + b2x + c2y)u2 + (a3 + b3x + c3y)u3],

v(x, y) =A2

1 [(a1 + b1x + c1y)v1 + (a2 + b2x + c2y)v2 + (a3 + b3x + c3y)v3],

(5.38)

gdzie: aα = xα + 1yα + 2 - xα + 2 yα + 1,

bα = yα + 1 – yα + 2 cα = xα + 2 – xα + 1

A – pole powierzchni elementu.

(5.39)

W notacji macierzowej równanie 5.49 przedstawia si nastpujco: u(e) (x) = Nα(x)q ( )

αe (5.40)

gdzie: macierz funkcji bazowych ma posta:

2 x 2Nα(x) ≡≡≡≡ ( )

( )

++

++

ycxbaA

ycxbaA

ααα

ααα

21

0

021

(5.41)

Macierz funkcji bazowych (zwana równie funkcj kształtu) skojarzona z wektorem parametrów wzłowych w punkcie x ( )

αe jest równa macierzy jednostkowej w tym wle oraz

równa macierzy zerowej w pozostałych wzłach co zapisujemy:

Nα(xββββ) =

I dla α = β 0 dla α ≠ β

(5.42)

Po podstawieniu funkcji aproksymacyjnych otrzymujemy:

ε(e)(x) = =

+++++++++

=

∂∂+∂∂∂∂∂∂

333322221111

332211

332211

21

///

/

vbucvbucvbuc

vcvcvc

ububub

Axvyu

yv

xu

(5.43)

=

3

3

2

2

1

1

2

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1 0

0

0

0

0

021

v

u

v

u

v

u

b

c

c

b

b

c

c

b

b

c

c

b

A

= Bα(x)q ( )αe ,

gdzie:

Bα(x) = B(α)

α

α

α

α

b

c

c

b

A

0

021

.

Zwizek fizyczny mona teraz przedstawi w postaci: σ(e)(x) = D(Bα(x)q ( )

αe - ε ( )

0e (x) = D(Bα(x)q ( )

αe - ε ( )

0e (x)) (5.44)

3.5 Warunek równowagi elementu skoczonego

Warunek równowagi elementu skoczonego wyprowadzony zostanie z równania wariacyjnego. Na rysunku 5.13 pokazano ES oraz oznaczono schematycznie wszystkie obcienia tego elementu. W punktach wzłowych element „połczony” jest z elementami ssiednimi, które oddziałuj na równowany element siłami wzłowymi :

2 x 1F ( )eα ≡

( )e

V

U

α

α dla α = 1, 2, 3. (5.45)

Całkowita energia potencjalna elementu jest równa:

Π(e) = ( ) ( )( )( )

( )dve

T

v

eee

σεε − 0

21

- ( )

ev

u ( )Te p dv - (q ( )

αe )TF ( )e

α (5.46)

Rys.5.13 Schemat sił obciajcych element oraz odpowiadajcych im przemieszcze

W warunkach równowagi energia potencjalna osiga minimum, co zapisujemy:

σΠ(e) = 0. (5.47) Wszystkie pola wektorowe wystpujce po prawej stronie równania 5.46 zale od parametrów wzłowych. Wariacje (róniczkowe przyrosty) tych pól s równe:

σu(e) = Nαδq ( )αe ,

σε(e) = Bαδq ( )αe ,

δσ(e) = δ[D(ε(e) - ε ( )0e )] = DBαδq ( )

αe .

(5.48)

Po podstawieniu prawej strony równania 5.46 do równania 5.47, a nastpnie wykorzystaniu wyraenia 5.48 otrzymamy po niezbdnych przekształceniach równanie równowagi elementu w postaci:

F ( )αe = k ( )e

αβ q ( )βe + F ( )e

pα + F ( )ee α0 (5.49)

W równaniu 5.49 wprowadzono nastpujce oznaczenia: • macierz sztywnoci:

2 x2 k ( )eαβ ≡

( )

ev

B Tα DBβ dv , (5.50)

• równowanik statyczny obcienia mechanicznego:

2 x1 F ( )epα ≡ -

( )

ev

N Tα p dv , (5.51)

• równowanik statyczny obcienia niemechanicznego:

2 x1 F ( )eαε 0 ≡ -

( )

ev

DBαε0 dv . (5.52)

Poszczególne składniki równania 5.49 przedstawiaj reakcje w wle α od poszczególnych wpływów: przemieszcze wzłów, obcie mechanicznych rozłoonych na elemencie oraz wpływów niemechanicznych, jakimi s pocztkowe odkształcenia (rys.5.14).

Macierz sztywnoci:

k ( )eαβ =

vvvu

uvuu

kk

kk

αβαβ

αβαβ (5.53)

jest macierz kwadratow 2 x , której współczynniki s reakcjami w wle α od jednostkowych przemieszcze wzła β.

Wektor F ( )epα jest reakcj w wle α od obcie przyłoonych do elementu. W

przypadku obcienia równomiernie rozłoonego na elemencie, reakcje w poszczególnych wzłach s jednakowe o kierunku przyłoonego obcienia i przeciwnym zwrocie. Jeeli na element działa siła skupiona P w punkcie xp (moe to równie by punkt wzłowy) to reakcje s równe:

F ( )epα ≡ - N T

α (xp)P. (5.54)

Reakcje te mona wyznaczy bezporednio ze statycznych równa równowagi traktujc element jako sztywn trójktn tarcz podpart punktowo w naroach i obcion siła P. Analogicznie mona postpi w przypadku innych obcie mechanicznych.

Wektor F ( )eαε 0 jest reakcj w wle α od wpływów niemechanicznych.

Trzy reakcje w wzłach stanowi układ samozrównowaony. Wpływy nie mechaniczne mog pochodzi od skurczu materiału lub pola temperatury. Dla zadanego pola temperatury ∆T pocztkowe odkształcenia bd równe:

3 x 1ε 0α ≡ αT∆T

01

1

,

(5.55)

gdzie: αT jest współczynnikiem liniowej rozszerzalnoci termicznej materiału.

Rys.5.14 Poszczególne składniki równowagi elementu skoczonego Interpretacja geometryczna zachowania si elementu skoczonego jako trójktnej

tarczy jest poyteczna, ale jednoczenie naley sobie zdawa spraw z okrelonych ogranicze tej interpretacji. Funkcja przemieszczenia elementu jest liniowa kombinacj 6-ciu funkcji bazowych N ( )e

α (x) ( e = 1, 2, 3) zdefiniowanych do modelu e-tego elementu skoczonego. W trakcie ruchu elementu-tarczy bdzie on zawsze trójktem o bokach prostoliniowych. Jeeli przemieszczenia wzłowe (parametry wzłowe) s równe zeru, to przemieszczenia wszystkich punktów elementu s równie zerowe niezalenie od obcienia elementu. W tym przypadku zachowuje si on jak ciało idealnie sztywne. 3.6 Opis elementu skoczonego w notacji macierzowej

Wiele monografii powiconych MES [35,62] preferuje zapis podstawowych równa elementu w notacji macierzowej. W takim zapisie podstawowym obiektem jest wektor lub macierz zwizana z całym elementem:

• wektor parametrów wzłowych i wektor sił wzłowych elementu:

6 x 1q(e) ≡ ( )

( )

( )

,

3

3

2

2

1

1

3

2

1

=

v

u

v

u

v

u

q

q

q

e

e

e

6 x 1F(e) ≡

( )

( )

( )

e

e

e

FF

F

3

2

1

=

3

3

2

2

1

1

V

U

V

U

V

U

,

(5.56)

• macierz funkcji bazowych (kształtu) elementu:

2 x 6N(e) (x) ≡ [N ( )e

1 (x) N ( )e2 (x) N ( )e

3 (x)] =

= ( )

( )( )

( )( )

( ) ,0

00

00

0

3

3

2

2

1

1

xyN

xyN

xyN

xyN

xyN

xyN

Nα = ( )ycxbaA ααα ++

21 dla α = 1, 2, 3,

(5.57)

• macierz geometryczna elementu:

3 x 6B(e) ≡ [B ( )e

1 B ( )e2 B ( )e

3 ] =

=

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1 0

0

0

0

0

021

b

c

c

b

b

c

c

b

b

c

c

b

A ,

(5.58)

Stosujc powysze definicje równania ES bd miały posta: • aproksymacja wektora przemieszczenia:

u(e)(x) = N(e)(x)q(e), (5.59) • zwizki geometryczne:

ε(e) = B(e)q(e), (5.60)

• zwizki fizyczne: σ(e) = D(ε(e) - ε ( )

0e ) = D(B(e)q(e) - ε ( )

0e ), (5.61)

• równanie równowagi elementu: F(e) = k(e)q(e) + F ( )e

p + F ( )e0ε , (5.62)

gdzie poszczególne składniki równania (5.61) maj posta: • macierz sztywnoci elementu:

6 x 6k(e) ≡

( )

ev

B ( )Te DB(e) dv =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

eee

eee

eee

kkkkkk

kkk

333231

232221

131211

(5.63)

• wektor równowaników statycznych elementu obcie mechanicznych:

6 x 1F ( )ep ≡ -

( )

ev

NTp dv =

( )

( )

( )

ep

ep

ep

F

F

F

3

2

1

,

(5.64)

• wektor równowaników statycznych elementu obcie nie mechanicznych:

6 x 1F ( )e0ε ≡ -

( )

ev

DB(e)ε0 dv =

( )

( )

( )

e

e

e

F

F

F

3

2

1

0

0

0

ε

ε

ε

,

(5.65)

3.7 Agregacja modelu dyskretnego

Zbiór pojedynczych modeli elementów skoczonych stanowi model rozłczny. Połczenie modeli w jeden model obszaru nazywamy agregacj modelu. Aby to osign, powinny by spełnione dwa warunki:

• zgodno przemieszcze w punktach wzłowych , • spełnienia warunków równowagi w punktach wzłowych.

Na wstpie naley wprowadzi pojcie globalnego wektora parametrów wzłowych :

2 x 1q∆ ≡

∆

∆

v

u dla ∆ 1, 2, ..., _

∆ . (5.66)

Liczba tych wektorów jest równa przyjtej liczbie wzłów w całym obszarze. Warunek zgodnoci przemieszcze w punktach wzłowych rozumiemy jako danie,

aby przemieszczenia punktów wzłowych ssiadujcych elementów, których wzły zajmuj identyczne miejsce w obszarze V, były jednakowe. Zamiast porównywa do siebie parametry wzłowe rónych elementów, bdziemy je porównywa z wielkoci zewntrzn w stosunku do elementów – z globalnym parametrem wzłowym. Porównanie takie zapiszemy w postaci zwizku transformacyjnego:

q ( )αe = Ω ( )eα

∆ q∆, (5.67)

gdzie Ω ( )eα∆ jest topologiczn macierz zero-jedynkow. Powysz transformacj mona

interpretowa jako przenumerowanie indeksów lokalnych parametrów wzłowych poszczególnych elementów na indeksy globalne.

Gdy wykonamy analogiczn operacj na lokalnych wektorach sił wzłowych, to otrzymamy:

F ( )e∆ = Ω ( )

Te

α∆ F ( )e

α , (5.68)

Warunki równowagi sił w punktach wzłowych dla wyodrbnionego obszaru i wzła ∆, pochodzcych od elementów stykajcych si w tym wle oraz sił zewntrznych przyłoonych do wzła, wynios:

V∆ - ( )=

∆

_

1

e

e

eF = 0 ( )=

∆Ω_

1

e

e

Te

α F ( )eα = V∆ ,

(5.69)

W powyszym równaniu oznaczamy przez V∆ oznaczamy wyłcznie siły bierne reakcji w punktach wzłowych, gdzie zadane s kinematyczne warunki brzegowe. Po podstawieniu równania (5.58) do równania (5.67) otrzymujemy:

( )=

∆Ω_

1

e

e

Te

α k ( )eαβ q ( )

βe + F ( )e

pα + F ( )ee α0 = V∆ ,

(5.70)

Std: K∆ΓqΓ = R∆ + V∆, (5.71)

Gdzie: macierz K∆Γ bdziemy nazywali macierz sztywnoci:

2 x 2K∆Γ ≡ ( )=

∆Ω_

1

e

e

Te

α k ( )eαβ Ω ( )eβ

Γ , (5.72)

natomiast R∆ jest wektorem prawej strony równania:

2 x 1R∆ ≡ - ( )=

∆Ω_

1

e

e

Te

α (F ( )epα + F ( )e

e α0 ) . (5.73)

W notacji globalnej równanie (5.71) zapiszemy nastpujco: Kq = R + V, (5.74)

Gdzie: K jest macierz sztywnoci całego obszaru:

2_

∆ x 2_

∆ K ≡

∆∆∆Γ∆∆

∆∆∆Γ∆∆

∆Γ

∆Γ

_____

_

_

_

21

21

222121

111211

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

,

(5.75)

Wektory q, R i V s odpowiednio wektorem parametrów wzłowych całego obszaru, wektorem prawej strony układu równa MES oraz wektorem nieznanych reakcji na podobszarze Su:

2_

∆ x 1 q ≡ T

qqq

∆Γ

_

,....,,....,1 ,

2_

∆ x 1 R ≡ T

RRR

∆Γ

_

,....,,....,1 .

(5.76)

Macierz sztywnoci K wyznaczamy jako „sum „ macierzy sztywnoci poszczególnych elementów skoczonych wchodzcych w skład połczonego modelu globalnego. Formalny zapis „sumowania” przedstawia równanie (5.72). Operacj t mona pokaza graficznie. Załómy, e macierz k(e) jest macierz elementu , którego wzły w numeracji globalnej maj nastpujce numery: Γ1, Γ2 i Γ3. Wówczas poszczególne podmacierze k(e) naley wprowadzi do struktury macierzy K w sposób pokazany poniej:

K =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )3

2

1

333231

232221

131211

321

Γ

Γ

Γ

ΓΓΓ

eee

eee

eee

kkk

kkk

kkk

,

(5.77)

Analogicznie budowany jest wektor wyrazów wolnych R jako „suma” równowaników statystycznych poszczególnych elementów. Warunki brzegowe Równanie (5.74) spełnia kinetyczne (napreniowe) warunki brzegowe. Obcienie elementów brzegowych zostało uwzgldnione w równaniach równowagi elementów.

W dalszej kolejnoci na układ równa naley narzuci kinematyczne (przemieszczeniowe) warunki brzegowe. Procedura taka jest konieczna nawet wówczas, kiedy istnieje moliwoci niezalenego wyznaczenia reakcji V. Mona wykaza, e macierz sztywnoci K układu równa (5.74) jest macierz osobliw. Kinematyczne warunki brzegowe narzucane s wyłcznie na punkty wzłowe. Załómy, e przemieszczenie punktu wzłowego XΓ jest równe q∗Γ (w szczególnoci równe zero) co zapisano w postaci tosamoci

qΓΓΓΓ = q∗∗∗∗ΓΓΓΓ. (5.78) Uwzgldnienie tego warunku brzegowego w układzie równa (5.73) polega na modyfikacji do postaci :

_R q

_K =

(5.79)

Gdzie:

_

K =

∆∆Γ∆∆

∆ΓΓΓΓ

∆Γ

____

_

_

KKK

KKK

KKK

1

1

1111

β , _

R =

∆

Γ∗ΓΓ

_R

qK

R1

,

(5.80)

oraz β jest du liczb , np. 1020. Powysza procedura jest prosta w realizacji i jednoczenie zabezpiecza symetryczno

zmodyfikowanej macierzy sztywnoci _

K . Mona zauway, e jednoczenie po prawej stronie znika nieznana reakcja VΓ . Opisan procedur powtarzamy dla wszystkich wzłów, w których zadane s kinematyczne warunki brzegowe. Rozwizanie układu równa Układ równa (5.90) jest układem liniowych równa algebraicznych. Macierz

współczynników _

K jest macierz symetryczn o strukturze pasmowej. Dla poprawnie sformułowanych warunków brzegowych macierz ta jest dodatnio okrelona. Równaniem układu równa jest wektor parametrów wzłowych:

q = _

K -1 _

R . (5.81)

Po obliczeniu wektora q moemy wyznaczy wektory parametrów wzłowych dla

poszczególnych elementów q(e) (e = 1, 2,..., _

e ), a nastpnie: • wektor przemieszczenia u(e)(x) = N(e)(x)q(e), • wektor odkształcenia ε(e)= B(e)q(e), • wektor naprenia σ(e) = D(B(e)q(e) - ( )

0eε ).

Niezalenie z równania (5.73) mona bezporednio wyznaczy reakcje podporowe:

V∆ = K∆ΓqΓ - R∆ . (5.82) Naley zauway, e w równaniu (5.82) wystpuje macierz sztywnoci i wektor prawych stron w postaci oryginalnej przed ich modyfikacj jaka ma miejsce w trakcie wprowadzania kinematycznych warunków brzegowych.

Metoda elementów skoczonych została tu omówiona na przykładzie płaskiego zadania teorii sprystoci dla trójktnego elementu skoczonego. Istotnym elementem w tej metodzie jest dobór tzw. funkcji bazowych. Jako metoda numeryczna ma zarówno zalety jak i wady.

Do najwaniejszych pozytywnych cech MES mona zaliczy: - dua efektywno i uniwersalno metody; mona j stosowa do kadej klasy zagadnie

analizy, optymalizacji i syntezy konstrukcji inynierskich, - prostota i łatwo algorytmizacji metody, - algorytmy dla rónych klas zagadnie maj wspólne cechy co daje moliwo

wprowadzenia typizacji, - dla typowych zagadnie analizy otrzymuje si symetryczne i stabilne układy równa, - rozwizanie otrzymuje si przy dowolnie małym modelu obliczeniowym.

Wady MES wynikaj std, i: - siły wewntrzne wyznacza si z mniejsz dokładnoci ni parametry wzłowe

(przemieszczenia),

- generalnie otrzymuje si rozwizanie przyblione „lece” poniej rozwizania dokładnego,

- metoda MES ma tendencj „wygładzania” rozwizania kocowego. W podsumowaniu warto przedstawi algorytm rozwizywania zagadnie dynamiki

maszyn za pomoc MES: - dyskretyzacja konstrukcji układu: podział na elementy, wybór i numeracja wzłów,

zbudowanie relacji przylegania poszczególnych elementów do poszczególnych wzłów; - zbudowanie macierzy sztywnoci, macierzy bezwładnoci i wektorów sił wyjciowych dla

oddzielnych elementów; - agregacja elementów w układ: zbudowanie globalnych macierzy układu, czyli okrelenie

macierzowego równania ruchu metody przemieszcze; - wprowadzenie warunków brzegowych; - rozwizanie równa ruchu układu metodami numerycznego całkowania lub metod

transformacji własnej, czyli obliczenie przemieszcze wzłów (zmiennych w czasie); - obliczenie uogólnionych sił wewntrznych w poszczególnych elementach. 4. IDENTYFIKACJA PROSTA I ZŁOONA

Zmiany stanu maszyn opisywane sygnałem drganiowym odzwierciedlaj si w

zmiennych wartociach poziomu (parametrów) drga lub w zmianie transmitancji od punktu uszkodzenia do punktu odbioru. Kady układ mechaniczny w zakresie niskich czstotliwoci mona modelowa układami dyskretnymi (m, k, c), w najprostszym przypadku o jednym stopniu swobody (rys.5.12). W praktyce układ taki moe by modelem [16,34]]:

- wirnika maszyny w łoysku lizgowym z warstw oleju (c) zamocowanym na korpusie o duej masie (m) i sztywnoci (k);

- maszyny o masie (m) przytwierdzonej sztywno do fundamentu o własnociach sprystych (k, c);

- maszyny (m) na amortyzatorach (k, c) zamocowanej do fundamentu o duej masie; - wirnika maszyny (m) w łoysku tocznym (k, c) zamocowanym w korpusie o duej

masie i sztywnoci; - wysokiej konstrukcji (platforma wiertnicza, komin, wiea) poddanej działaniu fal

morskich lub wiatru. 4.1 Identyfikacja prosta

W wikszoci zastosowa korzysta si z identyfikacji prostej, gdzie wyznacza si zmiany wartoci m, k, c, albo zmiany parametrów charakterystyk amplitudowo – czstotliwociowych (widma). Do zada identyfikacji prostej w diagnostyce technicznej naley: - wyznaczanie struktury modelu, czyli wartoci i wzajemnych połcze midzy elementami

masowymi (m), sprystymi (k) i dyssypacyjnymi (c); - wyznaczanie charakterystyk amplitudowo – czstotliwociowych układów lub tylko

pewnego zbioru ich parametrów.

Rys.5.15 Układ o jednym stopniu swobody jako najprostszy model obiektu mechanicznego.

W zakresie czstotliwoci niskich maszyny mona modelowa układami dyskretnymi

o kilku stopniach swobody, a czsto o jednym stopniu swobody. Układ dyskretny w odrónieniu od cigłego cechuje si punktowym rozkładem mas, sztywnoci tłumienia i wymiary tych elementów nie odgrywaj roli. Dla układów mechanicznych, zwłaszcza majcych wizy spryste ustalajce ich połoenie w przestrzeni, przyjmuje si zwykle liczb stopni swobody równ liczbie mas w układzie.

Badania transmitancji układów o jednym stopniu swobody moe polepszy zrozumienie procesów drganiowych zachodzcych w maszynach, a take zrozumienie zmian zachodzcych w tych procesach z tytułu zmian wartoci parametrów m, k, c. Opis drga układu o jednym stopniu swobody przedstawiaj równania:

)(...

tFcxxbxm =++ (5.83) )sin( φϖ +⋅= tAx

)cos( ϕϖϖ +== tAdtdx

v )sin(22

2ϕϖϖ +−=== tA

dtdV

dt

xda

Warto modułu transmitancji )(ωH wyznacza si z ilorazu amplitudy odpowiedzi na wymuszenie harmoniczne do amplitudy tego wymuszenia. Faza transmitancji jest po prostu opónieniem fazowym midzy wymuszeniem a odpowiedzi. Transmitancja własna siła – przemieszczenie dla układu z rys.5.15 jest nastpujca:

2222

0

0

)2()(

1)(

rr

xFmF

xH

ξωωωωω

+==

22

2tg

ωωξωωϕ

−=

r

r (5.84)

Zatem posta transmitancji układu o jednym stopniu swobody okrelaj całkowicie dwa

parametry: czstotliwo rezonansowaπ2mk

f r = i stopie tłumienia krcc=ξ . Obydwa te

parametry s łatwo mierzalne: pierwszy z połoenia piku rezonansowego rf na wymiarowej osi czstotliwoci, za drugi z wysokoci piku rezonansowego, gdy:

ξk

fHHrffr 2

1)( ==

= std

ξ200st

rr

xHFx == (5.85)

gdzie: kF

xst0= oznacza statyczne ugicie spryny k pod działaniem siły F0.

Zmiana piku rezonansowego moe by spowodowana tylko zmian sztywnoci lub masy w układzie, za zmiana wartoci amplitudy rezonansowej drga moe wynika ze zmiany siły F0 , sztywnoci k , lub stopnia tłumienia ξ . Tak wic mierzc połoenie czstotliwoci rezonansowej fr i warto x0r mona orzeka o zmianie albo stacjonarnoci transmitancji układu, a tym samym o zachowaniu si parametrów fizycznych m, k, c samego modelu obiektu. Podobne podejcie mona zastosowa dla układów wielorezonansowych (realnych obiektów technicznych) pod warunkiem, e rezonanse te s dostatecznie od siebie oddalone

rfF ξ2∆ . Układ taki mona wtedy traktowa jako słabo sprzony zbiór układów o jednym stopniu swobody nastrojonych na róne czstotliwoci. Badania zmian transmitancji odzwierciedlajcej własnoci dynamiczne obiektu mona przeprowadzi trzema metodami, zgodnie z rys.5.15 : - za pomoc testu impulsowego (uderzenie młotkiem); - za pomoc testu harmonicznego (sygnał z generatora); - za pomoc testu przypadkowego (pobudzanie wielu rezonansów jednoczenie). Test impulsowy

Zastosowanie impulsu jako sygnału wymuszajcego w badaniach własnoci dynamicznych układów mechanicznych stało si moliwe po wprowadzeniu analizatorów cyfrowych. Impuls moe by aproksymowany poprzez funkcj delta Diraca, która zawiera energi we wszystkich czstotliwociach. Przy stosowaniu testu impulsowego naley uwzgldni dwie bardzo wane charakterystyki układu badanego: liniowo i tłumienia. Wysoki stosunek wartoci szczytowej do wartoci skutecznej przy wymuszeniu impulsowym, powoduje wymuszenia nieliniowoci układu. Oznacza to, e test ten nie moe by stosowany do układów silnie nieliniowych. Wielko tłumienia ma take istotny wpływ na wyniki testu. W przypadku zbyt małego tłumienia odpowied układu nie zdy zanikn w czasie równym próbce realizacji pobranej do estymacji odpowiedzi czstotliwociowej, natomiast w przypadku tłumienia zbyt duego zanik odpowiedzi układu jest taki, i decydujcym problemem jest eliminacja zakłóce. Istotnym jest zwikszenie stosunku sygnału do szumu, co realizowane jest poprzez właciwy wybór parametrów okien widmowych stosowanych w procesie przekształcenia Fouriera sygnałów wymuszenia i odpowiedzi [95].

Dla analiz metod testu impulsowego zalecane s nastpujce okna czasowe: - transjentowe dla sygnału wymuszenia, - wykładnicze dla sygnału odpowiedzi.

Istotnym jest take wybór młotka do pobudzania testowanego układu. Od rodzaju młotka (masa, twardo powierzchni) zaley kształt wyzwalanego impulsu (zakres wymuszanych czstotliwoci).

Uzyskiwane z pomiarów widmo drga okrela czstotliwo rezonansow (pierwszy max. pik) oraz warto amplitudy w tej czstotliwoci, co dla rónych stanów obiektu pozwala na wnioskowanie o zmianach m, k, c.

Rys.5.16 Schemat pomiarowy do identyfikacji własnoci dynamicznych metod testu impulsowego, harmonicznego i przypadkowego [16].

Test harmoniczny

Sygnał harmoniczny z generatora, po wzmocnieniu zasila wzbudnik elektrodynamiczny. Wymuszenie moe by charakteryzowane za pomoc przetwornika siły, natomiast odpowied za pomoc przetwornika przyspiesze lub prdkoci drga. Główn zalet wymuszenia testu) harmonicznego jest moliwo precyzyjnej kontroli i sterowania sił wejcia. Jest to bardzo wane w badaniu zachowa nieliniowych, mona bowiem dokona pomiaru odpowiedzi czstotliwociowej dla rónych poziomów siły wymuszajcej. Metoda testu harmonicznego umoliwia uzyskanie duego stosunku sygnału do szumu poprzez filtrowanie sygnału wyjciowego filtrem pasmowym o czstotliwoci wymuszenia. Główn wad testu harmonicznego jest długi czas trwania bada oraz dobór dostatecznie niskiego poziomu wymusze dla czstotliwoci drga własnych układu. Atutem metody jest moliwo doboru prdkoci przestrajania czstotliwoci sygnału siły wymuszajcej w zwizku z du bezwładnoci dynamiczn struktur mechanicznych [33,71].

Test przypadkowy

Sygnał wzbudzenia przypadkowego cechuje si rozkładem normalnym, nie jest wic procesem okresowym. Oznacza to, e zarówno wymuszenie jak te odpowied testowanego układu nie s procesami okresowymi o całkowitej liczbie w realizacji czasowej, przetwarzanej przez analizator cyfrowy. Wymaga to stosowania funkcji wacych, np. okno

(5.86) Inn wad testu przypadkowego jest to, i mimo doprowadzenia do wzbudnika sygnału o płaskim widmie, testowana struktura jest wzbudzana sił o innym składzie widmowym, wynikajcym z okrelonych własnoci dynamicznych połczenia wzbudnika z układem. W tecie przypadkowym kada jego realizacja jest inna. Oznacza to, e w wyniku uredniania zbioru uzyskanych wyników moliwe jest wyeliminowanie efektów nieliniowoci, szumów i

zakłóce pomiarowych. Dziki temu test przypadkowy umoliwia najlepsz liniow aproksymacj układów nieliniowych.

Przedstawione podejcia i uzyskane zalenoci obrazuj ruch drgajcy obiektu (modelu) i wynikajce z niego parametry procesu drganiowego, co pozwala na zaniechanie trudnego opisu analitycznego (szczególnie dla wielu stopni swobody) i zastpienie go bezporednimi pomiarami drga. Stan obiektu mona wic opisywa zamiennie, zamiast modelowania w kategoriach (m,k,c) stosowa opis drganiowy w kategoriach (a,v,x). 4.2 Identyfikacja złoona

Dla układów złoonych, czsto nieliniowych uywa si dla potrzeb identyfikacji złoonej analizy modalnej (teoretycznej, eksperymentalnej lub eksploatacyjnej). W wyniku przeprowadzenia analizy modalnej otrzymuje si model modalny, który stanowi uporzdkowany zbiór czstoci własnych, odpowiadajcych im współczynników tłumienia oraz postaci drga własnych. Na podstawie znajomoci modelu modalnego mona przewidzie reakcje obiektu na dowolne zaburzenie, zarówno w dziedzinie czasu, jak i czstotliwoci. Analiza modalna zostanie przedstawiona nico dalej w tym opracowaniu.

Mamy wic do dyspozycji róne narzdzia dla potrzeb identyfikacji prostej i złoonej, co skrótowo zestawiono poniej. IDENTYFIKACJA STANU DYNAMICZNEGO

PROSTA ZŁOONA - test impulsowy - teoretyczna AM - test harmoniczny - eksperymentalna AM - test przypadkowy - eksploatacyjna AM [m, k, c] ============= [ϖϖϖϖ, c, pd] widmo drga ======== diagram stabilizacyjny

Drgania odzwierciedlaj analityczne modele dynamiczne. 5. METODYKI BUDOWY MODELU DYNAMICZNEGO

Idea metodyki budowy modelu dynamicznego systemu mechanicznego oparta jest na danych z eksperymentu modalnego i danych z pomiaru wielkoci drganiowych (przyspiesze drga, momentu obrotowego, sił itp.) w warunkach eksploatacyjnych. Modele analizy obcie budowane s ze wzgldu na zastosowanie ich w procedurach optymalizacji dynamicznej i diagnostyki eksploatacyjnej. Podstaw budowanych modeli dynamicznych jest ich przydatno do realizacji bada metodami analizy modalnej, omówionej w rozdziale 6.

Algorytm systemu identyfikacji modelu struktury systemu mechanicznego zamieszczono na rys.17. Opracowanie schematu modelu analitycznego systemu mechanicznego sprowadza si do przyjcia szeregu załoe upraszczajcych, ułatwiajcych opis matematyczny i analiz procesów dynamicznych w obiekcie. Czsto korzystniejsze jest identyfikowanie analitycznego modelu uproszczonego przy wiadomoci załoe upraszczajcych i dokładna analiza modelu, ni identyfikacja modelu złoonego i jego analiza metodami przyblionymi.

W modelowaniu takim stosowane s zwykle przyblienia techniczne, które nie obniaj istotnie cech układu rzeczywistego [48]. Główne z nich to: stacjonarno modelu

(niezaleno własnoci dynamicznych modelu od czasu t, liniowo modelu, zastpienie cigłego modelu modelem dyskretnym, pomijanie oddziaływa zewntrznych o wzgldnie niskiej amplitudzie, mało istotnych ze wzgldu na cel opisu modelu.

Rys.5.17 Schemat procedury identyfikacji struktury modelu systemu mechanicznego dla potrzeb analizy stanu obcie obiektu [47].

Do modelowania analitycznego obcie dynamicznych systemu mechanicznego buduje si układ zastpczy, moliwie odpowiadajcy rzeczywistemu modelowi fizycznemu systemu. Przyjcie metody wielokryterialnej redukcji modelu prowadzi do jego uproszczenia:

- traktujc maszyn jak hierarchiczny układ transformacji energii [51,53,54], dokonuje si redukcji modelu stosujc kryterium malejcego prawdopodobiestwa uszkodze i w konsekwencji brak potrzeby diagnozowania (np. silnik elektryczny jako ródło napdu maszyny); - liniowo lub quasi-liniowo obiektu oraz zastosowanie odpowiedniego rodzaju wymuszenia przy tecie wyznaczajcym charakterystyki dynamiczne ( )Θ,ωjH ik obiektu pozwala przyj załoenie liniowoci modelu; - redukcja modelu cigłego do modelu dyskretnego metodami analizy modalnej z uwzgldnieniem składowych charakterystyk dynamicznych ( )Θ,ωjH ik o najwyszych amplitudach. Oznacza to zastpienie cigłego modelu maszyny rozprzonym zbiorem układów o jednym stopniu swobody; - ograniczenie pasma czstotliwoci opisu modelu do zakresu czstotliwoci składowych charakterystyk eksploatacyjnych odpowiedzi o wysokich amplitudach; - o ocenie zachowa dynamicznych złoonych układów mechanicznych w warunkach eksploatacyjnych rozstrzyga zwykle kilka lub kilkanacie składowych widma dynamicznych wielkoci mechanicznych (sił, drga, cinie, hałasu itp). Std w opisie tych układów wystarczajce jest przyjcie modelu modalnego w postaci układu dyskretnego o niewielkiej iloci stopni swobody (redukcja modelu). Oznacza to jednak, i parametry masowo-spryste oraz tłumice tylko niektórych elementów lub zespołów maszyny rozstrzygaj o duym zwielokrotnieniu amplitud sygnałów przyjtych do oceny stanu. bdc jednak zalene od stopnia degradacji eksploatacyjnej D(Θ). Std potrzeba lokalizacji i identyfikacji własnoci tych zespołów, potrzeba lokalizacji uszkodze a nastpnie korygowanie własnoci; - moliwo składania sił pozwala zredukowa ilo punktów przyłoenia sił zewntrznych do punktów, w których umiejscowione s punkty przyłoenia wypadkowych sił wymuszajcych.

Realizacja bada dynamiki obiektów dla potrzeb analizy stanu obcie prowadzi do przyjcia nastpujcych załoe [48,49]:

- wektory stanu systemu s funkcj deterministyczn zmiennej przestrzennej. Załoenie to warunkuje metoda wyznaczania macierzy charakterystyk dynamicznych ( )Θ,ωjH ik struktury, w której punkty (i,k) maszyny s dowolne, ale ustalane na pocztku procedury budowy dyskretnego modelu maszyny. Załoenie to nie powinno wpływa na wyniki bada;

- quasi-liniowo zachowa obiektu oraz zastosowanie odpowiedniego rodzaju wymuszenia przy tecie wyznaczajcym charakterystyki dynamiczne ( )Θ,ωjH ik obiektu pozwala przyj załoenia liniowoci modelu;

- charakterystyka procesu technologicznego: proces quasiergodyczny w dziedzinie czstotliwoci;

- rodzaje wymusze: przypadkowe, impulsowe;

- budujc model energetyczny danej konstrukcji przyjmuje si a priori wektor wymusze zewntrznych F(ω,Θ), tzn. ilo elementów wektora, oraz punkty przyłoenia wypadkowych poszczególnych sił i kierunki ich działania. Punkty przyłoenia sił wymuszajcych zewntrznych s w modelu modalnym punktami pomiarowymi, gdy model przestrzenny

punktów przyłoenia sił oraz ich kierunków działania jest niezbdny do poprawnego wyznaczenia ich charakterystyk amplitudowych.

Ze wzgldu na to, i zachowania dynamiczne maszyny s funkcj wektora wymusze, F(ω,Θ), w deklarowanym modelu stanu dynamicznego (modelu modalnym) nie mona pomin adnego z jego elementów. Model dynamiczny systemu w diagnostyce konstrukcyjnej

Model holistyczny układu wielowejciowego-wielowyjciowego przedstawiony jako równanie sił zapisa mona w postaci [17,47,81]:

( )[ ] ( ) ( )[ ] [ ] ( )[ ] ( ) ( )Θ=ΘΘ+ΘΘ+ΘΘ ,,,,, tFtxDKtxDCtxtDM (5.87)

Zmiany parametrów obiektu, które mog wystpi w procesie uszkodze eksploatacyjnych, oraz zmiany wprowadzane w celu obnienia dynamicznoci konstrukcji mona zapisa w postaci:

CCC

KKK

MMM

∆+=∆+=∆+=

(5.88)

gdzie: ∆ - przyrost parametru fizycznego układu w funkcji czasu wewntrznego Θ (czas ewolucji dynamicznej).

Równanie ruchu w czasie Θr mona wic zapisa w postaci:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )rrrr tFtxKKtxCCtxMM Θ=Θ∆++Θ∆++Θ∆+ ,,,, (5.89)

Równanie (5.89) w dziedzinie czstotliwoci przyjmuje posta:

( ) ( ) ( )Θ=Θ+− ,,2 ωωωω FxCjMK (5.90)

przy czym elementy macierzy K, M, C s funkcj charakterystyk destrukcji D(Θ). Dokonujc modalnej transformacji, w oparciu o macierz parametrów modalnych

mona utworzy holistyczny model dyskretny systemu działaniowego:

[ ] qx Φ=

opis modalny przyjmuje posta:

[ ] [ ] [ ] [ ] FqqqI TΦ=++ 202 ωσ (5.91)

przy skalowaniu jednostkowej masy modalnej:

[ ] [ ][ ] [ ]ImT =ΦΦ (5.92)

gdzie: [ ]Φ - wektor własny postaci modalnej.

W procesie eksploatacji maszyny i postpujcego zuycia (uszkodzenia) nastpuje modyfikacja strukturalna [∆M], [∆K], [∆C]. Tote parametry strukturalne systemu po czasie eksploatacji T mona zapisa:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ]Φ∆Φ+=

Φ∆Φ+=

Φ∆Φ+=

KM

CC

MIM

T

T

T

20

~2

~

~

ωσ (5.93)

Std wyznacza si macierze przyrostów (zmian) parametrów strukturalnych:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 12

0

1

11

11

~2

~

~

−−

−−

−−

Φ−Φ=∆

Φ−Φ=∆

Φ−Φ=∆

ω

σ

KK

CC

IMM

T

T

T

(5.94)

Moliwe jest wic badanie symptomów ewolucji stanu przy symulowanych uszkodzeniach D(Θ) poprzez badanie zmiany parametrów modalnych ∆M, ∆K, ∆C.

Symulowana zmiana dowolnych parametrów mechanicznych systemu mechanicznego masa. sztywno, tłumienie) powoduje zmian jego charakterystyk własnych, wyznaczanych poprzez transmitancje widmowe oraz charakterystyk eksploatacyjnych, okrelonych np. przez widma dpowiedzi. Macierz inertancji dynamicznej, w której elementy poszczególnych kolumn s inertancjami dynamicznymi porednimi wyznaczonymi midzy wybranymi punktami systemu mechanicznego kolejno dla czstotliwoci ω1, ω2, ..., ωr przedstawiona jest relacj (5.3). Kada z kolumn macierzy wyznaczana jest przy kolejnych zmianach parametrów mechanicznych układu.

(5.95)

W wyniku rozkładu tak zbudowanej macierzy transmitancji wzgldem wartoci szczególnych uzyska si niezerowe wartoci szczególne, których ilo równa jest liczbie przeprowadzonych modyfikacji parametrów mechanicznych (rzdy tych macierzy odpowiadaj iloci przeprowadzonych modyfikacji) [47,48].

W analogiczny sposób mona zbudowa macierz, której kolumnami s składowe widma odpowiedzi systemu, wyznaczone w dowolnym w punkcie „i" (dla czstotliwoci ω1, ω2, ..., ωk) kolejno dla poszczególnych zmian parametrów mechanicznych układu pl:

(5.96)

Rozkład na wartoci szczególne tak zbudowanej macierzy widma odpowiedzi daje tyle niezerowych wartoci szczególnych ile wynosi liczba przeprowadzonych modyfikacji parametrów mechanicznych (rzd macierzy Gp,i(ω) i równy jest iloci przeprowadzonych modyfikacji p1) [61]. Oznacza to, i charakterystyki widmowe (transmitancje widmowe) systemu mechanicznego, wywołane zmian jego parametrów mechanicznych, s liniowo niezalene wzgldem charakterystyk pocztkowych. Prowadzi to do wniosku, i transmitancji wyznaczonej w jakiejkolwiek chwili Θr czasu ewolucji dynamicznej nie mona uzyska z kombinacji liniowych transmitancji wyznaczonych w innym czasie procesu destrukcji. Zachowania układu o zmiennych w czasie parametrach modelowane s wic jako zachowania układu o stałych parametrach w wybranych chwilach czasu Θr.

Postacie własne s funkcj deterministyczn zmiennej przestrzennej. Obserwujc postacie własne, wyznaczone z modelu modalnego, obserwuje si „słabe" obszary konstrukcji, objawiajce si du dynamicznoci. Badane s moliwoci jej obnienia poprzez zmian parametrów modelu: mas ∆M w odpowiednich punktach maszyny Ai, sprystoci ∆K, lub tłumienia ∆C. Rozwaajc np. dołoenie próbnej masy ∆Mi mona zapisa:

(5.97) Energi kinetyczn masy modalnej układu wyjciowego mona zapisa:

(5.98) Mona załoy proporcjonalno:

(5.99)

Po zainstalowaniu dodatkowej masy w pkt. Ar maszyny

( )rrrIII zxmVmm ,2modmod ∆+= ε (5.100)

Zmian sztywnoci dynamicznej mona zapisa podobnie:

( )rrrIII zxmVkk ,2modmod ∆+= ε (5.101)

Oznaczajc I

II

T

T

mod

mod wyznacza si miar obnienia dynamicznoci maszyny.

Zmniejszajc parametry dynamiczne w modelu modalnym obiektu analizujemy wraliwo parametrów modalnych na wprowadzone modyfikacje. W modelu modalnym mona wprowadza zmiany mas, sztywnoci lub tłumie. Moduł obliczeniowy informuje o zmianach parametrów modalnych obiektu w wyniku przeprowadzonej modyfikacji. Opracowane metodami analizy dynamicznej charakterystyki obcie dynamicznych w systemach mechanicznych wskazywa mog słabe elementy konstrukcji. W procesie projektowania winny by kształtowane własnoci dynamiczne konstrukcji (macierz

( ) ωjH ik ) w odniesieniu do wektora wymusze (gsto widmowa wymusze GFF(ω), co jest podstaw optymalizacji uytkowania obiektów mechanicznych, działa profilaktycznych zapobiegajcych ich awariom, racjonalizacji napraw oraz poprawy bezpieczestwa w danych warunkach eksploatacji.

Własnoci dynamiczne konstrukcji maj zatem bezporedni wpływ na poziom drga, emitowany hałas, wytrzymało zmczeniow, sterowalno i stabilno konstrukcji. Analiz własnoci dynamicznych konstrukcji przeprowadza si na podstawie budowanych modeli dynamicznych z jednej strony oraz na podstawie modeli strukturalnych w diagnostyce holistycznej lub na podstawie eksperymentów na rzeczywistym obiekcie w diagnostyce symptomowej.