Automatyka
11
1 Automatyka Wykład 5 Zastosowanie metody równań Lagrange’a do budowy modeli matematycznych
description
Automatyka. Wykład 5 Zastosowanie metody równań Lagrange’a do budowy modeli matematycznych. Równania Lagrange’a. (1). x n – współrzędna uogólniona, – prędkość uogólniona, E k – energia kinetyczna, E p – energia potencjalna, P – moc strat, f n – siła uogólniona. - PowerPoint PPT Presentation
Transcript of Automatyka
1
Automatyka
Wykład 5Zastosowanie metody równań Lagrange’a do
budowy modeli matematycznych
2
Równania Lagrange’a
nnn
p
n
k fxP
xE
xE
dtd
21
(1)
xn – współrzędna uogólniona,
– prędkość uogólniona,
Ek – energia kinetyczna,
Ep – energia potencjalna,
P – moc strat,
fn – siła uogólniona.
nx
3
Elementy magazynujące energię potencjalną Ep:
sprężystość Cm , Cr , pojemność elektryczna C, ściśliwość gazów Cp
napełnianie zbiornika cieczą nieściśliwą Ch.
m
mp C
xfCE22
22
r
rrp C
fCE22
22
- w układach mechanicznych
CqCuEp 22
22
- w układach elektrycznych
p
pp C
VpCE
22
22
- w układach pneumatycznych
4
Elementy magazynujące energię kinetyczną Ek: masa, indukcyjność, bezwładność cieczy i gazów
2
2mvEk
- w układach mechanicznych
2
2JEk
2
2LiEk - w układach elektrycznych
2
2pp
k
iJE - w układach hydraulicznych
i pneumatycznych
5
Elementami powodującymi straty energii rozpraszanej na energię cieplną są:
opory tarcia Rm Rr , rezystancja elektryczna R , opór przepływu cieczy i gazów Rh , Rp.
2vRP m2rRP
2RiP
2ppiRP
- w układach mechanicznych
- w układach elektrycznych
- w układach hydraulicznych i pneumatycznych
6
Cuwe(t) uwy(t)
i(t)
i(t) R L
Równanie wejścia – wyjścia obiektu oscylacyjnego uzyskane metodą równań Lagrange’a na przykładzie czwórnika elektrycznego RLC
2)]([
2)( 22 tqLtLiEk
C
tqEp 2)(2
22 )]([)( tqRtRiP
qLq
Ek
Cq
qEp
qRqP
2
7
)(we2
2
tudtdqR
Cq
dtqdL
)(1we2
2
tuLLC
qdtdq
LR
dtqd
)()( tCutq wy
)(1we2
2
tuLL
udt
duC
LR
dtud
C wywywy
)(1)(we2
2
tuLCLC
tudt
duLR
dtud wywywy
)()(2 222
2
tutudt
dudtud
wenwynwy
nwy
LCR
LCn 21
(2)
8
)()()( tudtdiLtRitu wywe
dtdu
Cti wy)(
)()( 2
2
tudtud
LCdt
duRCtu wy
wywywe
)(1)(we2
2
tuLCLC
tudt
duLR
dtud wywywy
)()(2 222
2
tutudt
dudtud
wenwynwy
nwy (3)
Równanie wejścia - wyjścia czwórnika RLC uzyskane na podstawie II prawa Kirchhoffa
9
Transmitancja operatorowa czwórnika RLC
)()(2 222
2
tutudt
dudtud
wenwynwy
nwy
22
2
22
2
222
2)(
2)()(
)()()(2)(
nn
n
nn
n
we
wy
wenwynwynwy
sssG
sssUsU
sUsUssUsUs
10
Równania stanu i równanie wyjścia
Czwórnika RLC
)()()( tudtdiLtRitu wywe
Zmiennymi stanu są: )(ti oraz )(tuwy
)(1)(1)( tuL
tuL
tiLR
dtdi
wewy
)(1 tiCdt
duwy
równania stanu
Równanie wyjścia:
Cuwe(t) uwy(t)
i(t)
i(t) R L
t
wy diC
tu0
)(1)(
11
Transmitancja operatorowa czwórnika RLC uzyskana na podstawie równań stanu i równania wyjścia
)(1)(1)( tuL
tuL
tiLR
dtdi
wewy
)(1 tiCdt
duwy
t
wy diC
tu0
)(1)(
)(1)(1)()( sUL
sUL
sILRssI wewy
)(1)( sIC
ssU wy
)(1)( sICs
sU wy
22
2
22
2
222
222
2
2
2
2)(
2)()(
)()()2(
)()()(2)(
)(1)(1)()(
)(1)(1)()(
)(1)(1)()(
nn
n
nn
n
we
wy
wenwynn
wenwynwynwy
wewywywy
wewywywy
wewywywy
sssG
sssUsU
sUsUss
sUsUssUsUs
sULC
sULC
ssULRsUs
sUL
sUL
sCsULRsCUs
sUL
sUL
sCsULRsCUs
