arkusz2klucz

7/30/2019 arkusz2klucz

1/29

Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie

EGZAMIN MATURALNY 2011

MATEMATYKA

POZIOM PODSTAWOWY

Kryteria oceniania odpowiedzi

MAJ 2011


2/29

Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy


2

Zadanie 1. (01)

Obszar standardw Opis wymaga

Poprawna

odpowied

(1 p.)

Wykorzystanie i tworzenieinformacji Wykorzystanie pojcia wartocibezwzgldnejC

Zadanie 2. (01)

Wykorzystanie

i interpretowanie reprezentacji

Wykonanie oblicze procentowychB

Zadanie 3. (01)

Wykorzystanie i tworzenie

informacji

Rozoenie wielomianu na czynniki

z zastosowaniem wyczenia wsplnego

czynnika poza nawias

B

Zadanie 4. (01)

Modelowanie matematyczne Rozwizanie ukadu rwna D

Zadanie 5. (01)

Wykorzystanie


Rozwizanie rwnania liniowego

i sprawdzenie czy rozwizanie naleydo danego przedziau

D

Zadanie 6. (01)

Wykorzystanie


Sprawdzenie, ktre z podanych liczb

speniajnierwno i wybranie z nich

najmniejszej

B

Zadanie 7. (01)

Wykorzystanie


Zinterpretowanie rozwizania

nierwnoci kwadratowej i liniowej na osi

liczbowejC

Zadanie 8. (01)

Wykorzystanie


Wykorzystanie definicji logarytmuB


3/29



3

Zadanie 9. (01)

Wykorzystanie


Okrelenie funkcji za pomocwzoru

i interpretowanie wykresw funkcji

kwadratowych

A

Zadanie 10. (01)

Wykorzystanie


Obliczenie miejsca zerowego funkcji

liniowejD

Zadanie 11. (01)

Wykorzystanie


Zastosowanie wzory na n-ty wyraz cigu

geometrycznegoD

Zadanie 12. (01)

Uycie i tworzenie strategii Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz cigu

arytmetycznegoC

Zadanie 13. (01)

Wykorzystanie


Wyznaczenie wartoci pozostaych

funkcji tego samego kta ostrego, gdy

dana jest warto jednej z nich

A

Zadanie 14. (01)

Wykorzystanie


Zastosowanie prostych zwizkw midzy

funkcjami trygonometrycznymi kta

ostregoB

Zadanie 15. (01)

Uycie i tworzenie strategii Znalezienie zwizkw miarowych

w przestrzeniC

Zadanie 16. (01)

Wykorzystanie


Skorzystanie ze zwizkw midzy ktem

rodkowym i ktem wpisanymB

Zadanie 17. (01)

Uycie i tworzenie strategii Znalezienie zwizkw miarowych

w figurach paskich

A


4/29



4

Zadanie 18. (01)

Wykorzystanie


Zbadanie rwnolegoci i prostopadoci

prostych na podstawie ich rwna

kierunkowych

C

Zadanie 19. (01)

Wykorzystanie


Posuenie sirwnaniem okrgu

( ) ( ) 222 rbyax =+ i sprawdzanieczy dana prosta jest styczn

B

Zadanie 20. (01)

Wykorzystanie


Wyznaczenie zwizkw miarowych

w szecianie

D

Zadanie 21. (01)

Wykorzystanie


Wyznaczenie zwizkw miarowych

w bryach obrotowychB

Zadanie 22. (01)

Modelowanie matematyczne Zastosowanie twierdzenia znanego jako

klasyczna definicja prawdopodobiestwado obliczenia prawdopodobiestwa

zdarzenia

D

Zadanie 23. (01)

Wykorzystanie


Obliczenie redniej arytmetycznejD


5/29



5

Zadanie 24. (02)

Rozwizanie

Rozwizanie nierwnoci kwadratowej skada siz dwch etapw.

Pierwszy etap moe by realizowany na 2 sposoby:I sposb rozwizania (realizacja pierwszego etapu)

Znajdujemy pierwiastki trjmianu kwadratowego 23 10 3x x + obliczamy wyrnik tego trjmianu:

100 4 3 3 64 = = i std 110 8 1

6 3x

= = oraz

2

10 83

6x

+= =

albo

stosujemy wzory Vitea:

1 2

10

3x x+ = oraz

1 21x x = i std 1

1

3x = oraz 2 3x =

albo

podajemy je bezporednio, np. zapisujc pierwiastki trjmianu lub posta iloczynowtrjmianu, lub zaznaczajc na wykresie

1

1

3x = , 2 3x = lub ( )

13 3

3x x

lub

II sposb rozwizania (realizacja pierwszego etapu)

Wyznaczamy posta kanoniczn trjmianu kwadratowego 23 10 3x x + i zapisujemynierwno w postaci, np.

210 64

3 0 ,6 12

x

std

210 64

3 06 36

x

a nastpnie

Wykorzystanie


Rozwizanie nierwnoci kwadratowej

4 3 2 1 1 2 3 4 5

2

1

1

2

3

4

5

6

3

60

1

3


6/29



6

przeksztacamy nierwno, tak by jej lewa strona bya zapisana w postaciiloczynowej

10 8 10 83 0

6 6 6 6x x

+

( ) 13 33 0x x

albo

przeksztacamy nierwno do postaci rwnowanej, korzystajc z wasnoci wartocibezwzgldnej

210 64

6 36x

10 8

6 6x

Drugi etap rozwizania:

Podajemy zbir rozwiza nierwnoci:

1

33 x

lub

1

, 33 lub

1

, 33x

.

Schemat oceniania

Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................1 pkt

gdy:

zrealizuje pierwszy etap rozwizania i na tym poprzestanie lub bdnie zapisze zbirrozwiza nierwnoci, np.

o obliczy lub poda pierwiastki trjmianu kwadratowego1

3x = , 3x = i na tym

poprzestanie lub bdnie zapisze zbir rozwiza nierwnoci

o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji ( ) 23 10 3f x x x= + i na tym

poprzestanie lub bdnie zapisze zbir rozwiza nierwnoci

o rozoy trjmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. ( )1

3 33

x x

i na

tym poprzestanie lub bdnie rozwie nierwno

o zapisze nierwno10 8

6 6x i na tym poprzestanie lub bdnie zapisze

zbir rozwiza nierwnoci

albo

realizujc pierwszy etap, popeni bd (ale otrzyma dwa rne pierwiastki)i konsekwentnie do tego rozwie nierwno, np.

o popeni bd rachunkowy przy obliczaniu wyrnika lub pierwiastkw

trjmianu kwadratowego i konsekwentnie do popenionego bdu rozwie

nierwno

o bdnie zapisze rwnania wynikajce ze wzorw Vitea, np.: 1 210

3x x+ =

i1 2

1x x = lub 1 210

3x x+ = i

1 21x x =

i konsekwentnie do popenionego

bdu rozwie nierwno


7/29



7

o bdnie zapisze nierwno, np.10 8

6 6x + i konsekwentnie do popenionego

bdu rozwie nierwno.Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt

gdy:

poda zbir rozwiza nierwnoci:1

, 33

lub1

, 33

x

lub1

33

x ,

albo

sporzdzi ilustracj geometryczn (o liczbowa, wykres) i zapisze zbir rozwiza

nierwnoci w postaci:1

3x , 3x

albo

poda zbir rozwiza nierwnoci w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymikocami przedziaw

Uwaga

Jeeli zdajcy poprawnie obliczy pierwiastki trjmianu 11

3x = i

2 3x = i zapisze np.

1, 3

3x , popeniajc tym samym bd przy przepisywaniu jednego z pierwiastkw, to za

takie rozwizanie otrzymuje 2 punkty.

Zadania 25. (02)

I sposb rozwizania

Poniewa 1a b+ = , wic ( )2

1a b+ = , czyli2 22 1a ab b+ + = .

Poniewa 2 2 7a b+ = , wic 2 7 1ab + = . Std mamy, e 3ab = i ( )2

2 2 9a b ab= = .

Stosujc wzory skrconego mnoenia, zapisujemy wyraenie4 4 31a b+ = w postaci:

( )2

2 2 2 22 31a b a b+ = czyli 27 2 9 31 = co naleao uzasadni.

II sposb rozwizania

Przeksztacamy tezw sposb rwnowany:4 4 31a b+ =

( )2

2 2 2 22 31a b a b+ =

2 249 2 31a b = 2 2 9a b = .

Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie zalenoci arytmetycznej z zastosowaniem

wzorw skrconego mnoenia

31

3


8/29



8

Korzystajc z zaoe 2 2 7a b+ = i 1a b+ = , otrzymujemy 2 7 1ab + = .

Std 3ab = . Zatem 2 2 9a b = , co koczy dowd.

Schemat oceniania I i II sposobu rozwizania

Zdajcy otrzymuje .............................................................................................................1 pkt

gdy:

korzystajc z zaoe obliczy, e 3ab = i na tym poprzestanie lub dalej popeniabdy

albo

przeksztaci tezw sposb rwnowany do postaci 2 2 9a b = i na tym poprzestanie lubdalej popenia bdy


gdy przeprowadzi pene rozumowanie.

III sposb rozwizania

Tak jak w sposobie I obliczamy, e 3ab = .Korzystamy ze wzoru dwumianowego Newtona:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

4 24 3 2 2 3 4 4 2 2 4

24 4 4 4 4 4

4 6 4 4 6

4 3 7 6 3 84 54 30

a b a a b a b ab b a ab a b ab b

a b a b a b

+ = + + + + = + + + + =

= + + + = + + = +

Std 4 4 31a b+ = .

Schemat oceniania III sposobu rozwizania


gdy

poda lub obliczy warto wyraenia 3ab = i na tym poprzestanie lub dalej popenibdy

albo

wykorzysta wzr dwumianowy Newtona i zapisze np.

( ) ( ) ( )4 24 2 2 44 6a b a ab a b ab b+ = + + + + .



IV sposb rozwizania

Rozwizujemy ukad rwna, wyznaczajc a i b :2 2 7

1

a b

a b

+ =

+ =std:


9/29



9

1 13

2

1 13

2

a

b

=

+ =

lub

1 13

2

1 13

2

a

b

+=

=

Ukad rwna2 2 7

1

a b

a b

+ =

+ =

moemy rozwiza jednym z podanych sposobw.

I sposb

Podstawiamy 1b a= do rwnania 2 2 7a b+ = , std otrzymujemy rwnanie

( )22 1 7a a+ = , ktre jest rwnowane rwnaniu 22 2 6 0a a = , czyli

2 3 0a a = .

Obliczamy 13 = oraz

1 13

2

1 13

2

a

b

=

+ =

lub

1 13

2

1 13

2

a

b

+=

=

II sposb

Oznaczamy:1

2a x= + ,

1

2b x= .

Wtedy 2 2 21

2 72

a b x+ = + = , std 213

22

x = , czyli 213

4x = , wic

13

2x = ,

13

2x = .

Std otrzymujemy:

1 13

2

1 13

2

a

b

=

+ =

lub

1 13

2

1 13

2

a

b

+=

=

III sposbObliczamy 3ab = tak jak w I sposobie rozwizania. Mamy zatem ukad rwna:

1

3

a b

ab

+ =

=

Std otrzymujemy:

1 13

2

1 13

2

a

b

=

+ =

lub

1 13

2

1 13

2

a

b

+=

=


10/29



10

Obliczamy 4 4a b+ , korzystajc ze wzoru ( ) ( )4 4 4 2 2 42 12 2c d c d c c d d + + = + + :

4 4

4 4

4 4

2 44 2

1 13 1 13

2 2

1 13 1 132 2 2 2

1 1 13 132 12 2

2 2 2 2

1 13 169 2483 31

8 4 8 8

a b +

+ = + =

= + + =

= + + =

= + + = =

Uwaga

Zdajcy moe take obliczy:2

4 2 2 2 2

4

4

4

1 13 1 13 1 2 13 13 14 2 13 7 13

2 2 4 4 2

49 14 13 13 62 14 13 31 7 13 1 13 31 7 13albo

4 4 2 2 2

a

a

+ + + + + + = = = = = =

+ + + + = = = = =

oraz2

4 2 2 2 2

4

4

4

1 13 1 13 1 2 13 13 14 2 13 7 13

2 2 4 4 2

49 14 13 13 62 14 13 31 7 13 1 13 31 7 13albo

4 4 2 2 2

b

b

+ = = = = = =

+ + += = = = =

Zatem 4 431 7 13 31 7 13

312 2

a b+

+ = + = .

Schemat oceniania IV sposobu rozwizania


gdy obliczy jedn z wartoci 11 13

2a

= lub2

1 13

2a

+

= lub1

1 13

2b

+

= lub2

1 13

2b

= i na tym poprzestanie lub dalej popeni bdy



Uwaga

Jeeli zdajcy obliczy jedn z wartoci1

1 13

2a

= lub

2

1 13

2a

+= , lub

1

1 13

2b

+= ,

lub 21 13

2b

= i uzasadni teztylko dla tej jednej wartoci, to otrzymuje 2 punkty.


11/29



11

Zadanie 26. (02)

Rozwizanie

Odczytujemy z wykresu zbir wartoci funkcji: 2, 3 .

Zapisujemy przedzia maksymalnej dugoci,w ktrym funkcja jest malejca: 2,2 .

Schemat oceniania

Zdajcy otrzymuje............................................................................................................. 1 pkt

gdy:

zapisze zbir wartoci funkcji f : 2, 3 i na tym poprzestanie

albo zapisze zbir wartoci funkcji f : 2, 3 i bdnie zapisze przedzia maksymalnej

dugoci, w ktrym ta funkcja jest malejca

albo

zapisze przedzia maksymalnej dugoci, w ktrym funkcja f jest malejca: 2, 2

i na tym poprzestanie

albo

zapisze przedzia maksymalnej dugoci, w ktrym funkcja f jest malejca, np.:

2, 2 i bdnie zapisze zbir wartoci funkcji f .


gdy zapisze zbir wartoci funkcji f : 2, 3 oraz przedzia maksymalnej dugoci,

w ktrym funkcja f jest malejca: 2, 2 .

Uwagi

1. Zdajcy moe zapisa przedzia maksymalnej dugoci, w ktrym funkcjafjest malejca,

w postaci 2 2x lub 2, 2 , x lub )2, 2 , x lub ( 2, 2 , x lub ( )2,2x .

2. Zdajcy moe zapisa zbir wartoci funkcjif, w postaci 2 3 lub 2,3 .y x

3. Zdajcy moe zapisa przedzia maksymalnej dugoci, w ktrym funkcjafjest malejca,w postaci 2,0 0,2 .

4. Nie akceptujemy, jeeli zdajcy zapisze przedzia maksymalnej dugoci, w ktrym

funkcjaf jest malejca, w postaci { }2,2 .

Wykorzystanie i tworzenie

informacji

Odczytanie z wykresu funkcji: zbioru wartoci oraz

maksymalnego przedziau, w ktrym funkcja maleje


12/29



12

Zadania 27. (02)

I sposb rozwizania

Liczby , , 19x y w podanej kolejnoci tworzcig arytmetyczny, std 2 19y x= + .

Zapisujemy wic ukad rwna

2 19

8

y x

x y

= +

+ =

ktrego rozwizaniem jest 1x = i 9y = .

Schemat oceniania I sposobu rozwizania


gdy wykorzysta wasnoci cigu arytmetycznego i zapisze rwnanie np. 2 19y x= + i na tym

poprzestanie lub dalej popenia bdy.


gdy obliczy: 1=x i 9=y .

Uwaga

Zdajcy moe jako rozwizanie poda cig ( )1, 9, 19 i wtedy rwnie otrzymuje 2 punkty.

II sposb rozwizania

Liczby , , 19x y w podanej kolejnoci tworzcig arytmetyczny. Niech rbdzie rnic tego

cigu i 1x a= , 2 1y a a r= = + , 3 119 2a a r= = + .

Otrzymujemy ukad rwna

1 1

1

8

2 19

a a r

a r

+ + =

+ =

Rozwizaniem tego ukadu jest 1 1a = , 10r= . Std: 1 1x a= = , 2 9y a= = .

Uwaga

Moemy rwnie otrzyma nastpujce ukady rwna:

1

11

2 819

2

a ra

a r

+ = +

= +

lub 19 2

8

y x rx r

x y

= += +

+ =

Schemat oceniania II sposobu rozwizania


gdy wprowadzi oznaczenia1

x a= , 2 1y a a r= = + i zapisze rwnanie 1 2 19a r+ = i na tym




Modelowanie matematyczne Zastosowanie wzorw na n-ty wyraz cigu arytmetycznego

lub wykorzystanie wasnoci trzech kolejnych wyrazw

tego cigu


13/29



13


Wprowadzamy oznaczenia1

x a= , 2y a= , 319 a= .

Obliczamy:

319 8 19 27S x y= + + = + = .

Korzystajc ze wzoru na sum trzech pocztkowych wyrazw cigu arytmetycznego,

otrzymujemy 119

3 272

a + = .

Std 1 1a = , zatem 1x = , 9y = .



gdy wprowadzi oznaczenia1

x a= , 2y a= , 319 a= i zapisze rwnanie1 3 3 27

2

a a+ = i na tym




Uwaga

Jeeli zdajcy zapisze 1=x i 9=y bez oblicze i nie uzasadni, e jest to jedyne

rozwizanie, to otrzymuje 1 punkt.

Zadanie 28. (02)

I sposb rozwizania

Sprowadzamy wyraeniesin cos

2cos sin

+ = do wsplnego mianownika i otrzymujemy

2 2sin cos2

sin cos

+= . Korzystajc z tosamoci 2 2sin cos 1 + = , otrzymujemy

12

sin cos = , a std

1sin cos .

2 =


Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt

gdy: sprowadzi wyraenie

sin cos2

cos sin

+ = do wsplnego mianownika i na tym


albo

doprowadzi wyraeniesin cos

2cos sin

+ = do postaci 2 2sin cos 2sin cos + =

i na tym poprzestanie lub dalej popenia bdy.


gdy obliczy, e1

sin cos .

2

=

Uycie i tworzenie strategii Zastosowanie prostych zwizkw midzy funkcjami

trygonometrycznymi kta ostrego


14/29



14

II sposb rozwizania

Rysujemy trjkt prostoktny, w ktrym oznaczamy dugoci przyprostoktnych a i b oraz

zaznaczamy kt ostry taki, e sin =a

club cos . =

b

c

a

b

c

Korzystajc z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczamy dugo przeciwprostoktnej: 2 2 2c a b= + .

Poniewa sin cos 2cos sin

+ =

, wic 2a bb a

+ = , czyli2 2

2a ba b+ =

. Std

2

2ca b

=.

Poniewa2

sin cos

=a b

c, to

1sin cos

2 = .


Rysujemy trjkt prostoktny, w ktrym oznaczamy dugoci przyprostoktnych a i b oraz

zaznaczamy kt ostry taki, e sin =a

club cos . =

b

c

a

b

c

Poniewasin cos

2cos sin

+ = , wic otrzymujemy kolejno:

2a b

b a

+ = ,2 2

2a b

ab

+= , 2 2 2a b ab+ = ,

std ( )2

0a b = , wic a b= . Zatem 454

= = .

Wtedy2

sin sin 452

= = i2

cos cos 452

= = .

Obliczamy2 2 1

sin cos2 2 2

= = .


15/29



15

Schemat oceniania II i III sposobu rozwizania


gdy narysuje trjkt prostoktny o przyprostoktnych dugoci a i b, zaznaczy w tym trjkcie

kt i zapisze:

sin =a

c, cos =

b

ci

2 2

2a b

a b

+ =

i na tym zakoczy lub dalej popenia bdy

albo

sin =a

c, cos =

b

ci 2 2 2a b a b+ = i na tym zakoczy lub dalej popenia bdy.


gdy obliczy, e1

sin cos2

= .

Uwaga

Zdajcy moe take odczyta z tablic przyblione wartoci funkcji trygonometrycznychi obliczy: sin 45 cos 45 0,7071 0,7071 0,4999 0,5 .

Nie akceptujemy innych przyblie.

IV sposb rozwizania

Wyraeniesin cos

2cos sin

+ = zapisujemy w postaci

1tg 2

tg

+ = .

Std 2tg 2tg 1 0 + = .

Zatem tg 1 = i std 45 = .Obliczamy warto wyraenia,2 2 1

sin 45 cos 45

2 2 2

= = .



gdy zapisze rwnanie1

tg 2tg

+ = i na tym zakoczy lub dalej popenia bdy.


gdy obliczy1

sin cos

2

= .

V sposb rozwizaniaZauwaamy, e suma liczby i jej odwrotnoci jest rwna 2 wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba

jest rwna 1. Zatemsin

tg 1cos

= = i std 45 = , a wic

2 2 1sin 45 cos 45

2 2 2 = = .


16/29



16

Schemat oceniania V sposobu rozwizania


gdy zapisze, e suma liczby i jej odwrotnoci jest rwna 2 wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba

jest rwna 1, zapisze tg 1 = lub

sin

1cos

= i na tym zakoczy lub dalej popenia bdy.


gdy obliczy1

sin cos2

= .

Uwaga

Jeeli zdajcy w V sposobie rozwizania zapisze bez uzasadnienia:

tg 1 = lubsin

1cos

= lub 45 = i na tym zakoczy lub dalej popenia bdy,

to otrzymuje 0 punktw.

tg 1 = lub sin 1cos

= lub 45 = i poprawnie obliczy 1sin cos

2 = , to otrzymuje

1 punkt.

Zadania 29. (02)

I sposb rozwizania

Niech CED =) . Poniewa trjkt DCE jest rwnoramienny i EC CD= ,

to EDC CED = =) ) . Zatem 180 2= )DCE .

Podobnie, poniewa trjkt ABE jest rwnoramienny i AEB EAB = =) ) ,

to 180 2= )ABE .

KtyABEiDCEsktami wewntrznymi trapezuABCD i 180DCE ABE+ = ) ) .

Std 180 2 180 2 180 + = , czyli

2 2 180 + =

90 + = .

Zatem ( )180 180 180 90 = = = + = ) ) )AED CED AEB .



gdy napisze zalenoci midzy miarami ktw w trjktach rwnoramiennych ABE i DCE,

np. 180 2= )DCE i 180 2= )ABE i na tym zakoczy lub dalej popenia bdy.


gdy poprawnie uzasadni, e 90= )AED .

Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie, e wskazany kt jest prosty


17/29



17

II sposb rozwizania

Niech CED =) i AEB =)

Trjkty DCE i ABE s rwnoramienne. Zatem EDC CED = =) ) oraz

AEB EAB = =) ) .

Dorysowujemy w danym trapezie odcinekEF rwnolegy do podstaw trapezuABCD.

Kty naprzemianlege CDE i DEF maj rwne miary, zatem EDC DEF = =) ) .

Analogicznie EAB AEF = =) ) .

Zatem 180 2 2 = = +)BEC , wic 90 + = .

Std 90= )AED , co koczy dowd.

Schemat oceniania II sposobu rozwizania


gdy napisze, e trjkty DCE i ABE s rwnoramienne, dorysuje odcinekEF rwnolegy

do podstaw trapezuABCD i zapisze, e EDC DEF = =) ) i EAB AEF = =) ) .


gdy poprawnie uzasadni, e 90= )AED (uzasadnienie rwnoci ktw moe by

przedstawione na rysunku).

B

E

CD

F

A


18/29



18


Niech ABC =) , std 180 = )BCD .

Poniewa CE CD= i EB BA= , wic trjktyDCEiABEsrwnoramienne.

Zatem180

902 2

= = = ) )AEB EAB oraz

2EDC CED

= =) ) .

Dorysowujemy w danym trapezie odcinekEF rwnolegy do podstaw trapezu ABCD, wic

zachodzi rwno:

2

EDC CED DEF

= = =) ) ) i 90

2

= = = ) ) )AEB EAB AEF

Std otrzymujemy 90 902 2

AED AEF DEF

= + = + = ) ) ) .



gdy napisze, e trjkty DCE i ABE s rwnoramienne i przyjmie, e ABC =) ,

dorysuje odcinek EF rwnolegy do podstaw trapezu ABCD i zapisze,

e180

2

= = =) ) )AEB EAB AEF i

2

EDC CED DEF

= = =) ) ) .


gdy poprawnie uzasadni, e 90= )AED (uzasadnienie rwnoci ktw moe by

przedstawione na rysunku).

B

E

CD

F

A

180 2

2

902

902

2

902


19/29



19

IV sposb rozwizania

Niech CED =) . Poniewa trjkt DCE jest rwnoramienny i EC CD= ,

to EDC CED = =) ) . Podobnie, poniewa trjkt ABE jest rwnoramienny,

to AEB EAB = =) )

KtyADCiBAD sktami wewntrznymi trapezuABCD i 180ADC BAD+ = ) ) .

Std ( )180ADE EAD + = +) ) .

Zatem w trjkcieDAEmamy: ( )180 180AED = + = + ) .

Std 180 2 2BEC DEC AED AEB = = + + = +) ) ) ) , czyli 90 + = .

Zatem 90= )AED .



gdy zapisze zalenoci midzy miarami ktw w trjktach rwnoramiennych ABE i DCE,

np. EDC CED = =) ) oraz AEB EAB = =) ) i zapisze, e 180ADC BAD+ = ) ) .


gdy poprawnie uzasadni, e 90= )AED .

Uwaga

Jeeli zdajcy przyjmie dodatkowe zaoenia o trapezie ABCD, przez co rozwaa tylko

szczeglny przypadek, np. 90= )ABC lub 45= )DEC , to za cae rozwizanie otrzymuje

0 punktw.

B

E

CD

A


20/29



20

Zadanie 30. (02)

I sposb rozwizania (metoda klasyczna)

Zdarzeniami elementarnymi s wszystkie pary ( ),a b liczb z podanego zbioru. Jest to model

klasyczny. Obliczamy liczbwszystkich zdarze elementarnych: 27 = .

Obliczamy liczb zdarze elementarnych sprzyjajcych zdarzeniu A polegajcym na

otrzymaniu liczb, ktrych suma jest podzielna przez 3, np. wypisujc je i zliczajc:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,2 , 1,5 , 2,1 , 2,4 , 2,7 , 3,3 , 3,6 , 4,2 , 4,5 5,1 , 5,4 , 5,7 , 6,3 , 6,6 , 7,2 , 7,5 ,A =

czyli 16A =

Obliczamy prawdopodobiestwo zdarzenia A:16

( )49

P A = .

II sposb rozwizania (metoda tabeli)Zdarzeniami elementarnymi s wszystkie pary ( ),a b liczb z podanego zbioru. Jest to model

klasyczny. Tworzymy tabelilustrujcsytuacjopisanw zadaniu

1 2 3 4 5 6 7

1 X X

2 X X X

3 X X

4 X X

5 X X X

6 X X

7 X X

Obliczamy liczbwszystkich zdarze elementarnych: 27 = .

Zliczamy oznaczone krzyykami zdarzenia elementarne sprzyjajce zdarzeniuA: 16A = .

Obliczamy prawdopodobiestwo zdarzenia A:16

( )49

P A = .


Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................1 pktgdy

obliczy liczbwszystkich moliwych zdarze elementarnych: 27 49 = =

albo

obliczy liczbzdarze elementarnych sprzyjajcych zdarzeniu A : 16A =


gdy obliczy prawdopodobiestwo zdarzenia A:16

( )49

P A = .

Uycie i tworzenie strategii Obliczenie prawdopodobiestwa zdarzenia


21/29



21

III sposb rozwizania (metoda drzewa)

Rysujemy drzewo, uwzgldniajc tylko istotne gazie. Prawdopodobiestwo na kadym

odcinku tego drzewa jest rwne1

7.

Obliczamy prawdopodobiestwo zdarzeniaA:1 1 16

( ) 167 7 49

P A = = .

IV sposb rozwizania (metoda drzewa)

Rysujemy drzewo, uwzgldniajc tylko istotne gazie i zapisujemy na nich

prawdopodobiestwo.

Obliczamy prawdopodobiestwo zdarzeniaA: ( )2 2 3 2 2 3 16

7 7 7 7 7 7 47P A = + + =

17

1

2 5

2 3 4 5 6 7

17

17

171

717

17

17

3 6 1 4 7 2 5

1 4 7 2 5 3 6

17

{ }3,6 { }1,4,7 { }2,5

{ }3,6 { }2,5 { }1,4,7

2

73

7

2

7

2

7

2

7

3

7


22/29



22

Schemat oceniania III i IV sposobu rozwizania

Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................1 pktgdy:

narysuje pene drzewo i przynajmniej na jednej gazi opisze prawdopodobiestwoalbo

narysuje drzewo tylko z istotnymi gaziami.Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................2 pkt

gdy obliczy prawdopodobiestwo zdarzenia A:16

( )49

P A = .

Uwagi

1. Jeli zdajcy rozwie zadanie do koca i otrzyma ( ) 1P A > , to otrzymuje za cae

rozwizanie 0 punktw.

2. Jeeli zdajcy opuci przez nieuwag w rozwizaniu niektre gazie i konsekwentnie

obliczy prawdopodobiestwo, to za cae rozwizanie otrzymuje 1 punkt.

3. Jeeli zdajcy poprawnie obliczy prawdopodobiestwo i bdnie skrci uamek, np.

16 4( )49 7

P A = = , to otrzymuje 2 punkty.

Zadanie 31. (04)

I sposb rozwizaniaWyznaczamy wspczynnik kierunkowy m prostej prostopadej do prostej o rwnaniu

2 3y x= : 12m = .

Zapisujemy rwnanie prostej prostopadej do stycznej i przechodzcej przez punkt ( )3,7S= :

2

17

2

1+= xy .

Zapisujemy i rozwizujemy ukad rwna:

2 3

1 17

2 2

y x

y x

=

= +

1 172 32 2

x x + =

5

23=x

Std5

31=y .

Zatem punkt stycznoci ma wsprzdne:23 31

,5 5

.

Uycie i tworzenie strategii Wyznaczenie wsprzdnych punktu stycznoci prostejz okrgiem


23/29



23


Rozwizanie, w ktrym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego

rozwizania zadania .......................................................................................................... 1 pkt

Zapisanie wspczynnika kierunkowego prostej prostopadej do prostej o rwnaniu

2 3y x= , np.1

2m = .

Rozwizanie, w ktrym jest istotny postp ..................................................................... 2 pkt

Zapisanie ukad rwna

2 3

1 17

2 2

=

= +

y x

y x

Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania .................................................................... 3 pkt

Przeksztacenie ukadu rwna do rwnania z jednniewiadom, np.

1 172 3

2 2x x + = lub

1 3 17

4 4 2y y= + .

Rozwizanie pene ............................................................................................................. 4 pkt

Obliczenie wsprzdnych punktu stycznoci:23 31

,5 5

.

UwagaJeli zdajcy zapisa ukad rwna liniowych i odgad jego rozwizanie, to otrzymuje4 punkty

II sposb rozwizania

Obliczamy odlegodrodka okrgu )7,3(=S od prostej 2 3y x= :

6 7 3 4

4 1 5

d

= =+

.

Punkt ( , 2 3)P x x= jest punktem stycznoci okrgu o rodku w punkcie )7,3(=S

i prostej 2 3y x= . Zatem PS d= oraz 2 2( 3) (2 10)PS x x= + .

Przeksztacamy rwnanie5

4)102()3( 22 =+ xx do postaci 0

5

16109465 2 =+ xx

Rozwizujemy rwnanie 05

4105465 2 =+ xx , std

5

23=x .


,5 5

P

=

.

Schemat oceniania II sposobu rozwizaniaRozwizanie, w ktrym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego

rozwizania zadania .......................................................................................................... 1 pkt

obliczenie odlegoci punktu S od danej prostej6 7 3 4

4 1 5d

= =

+

albo

zapisanie dugoci odcinka PS: 2 2( 3) (2 10)PS x x= + .

Rozwizanie, w ktrym jest istotny postp ..................................................................... 2 pkt

Zapisanie ukad rwna, np. ( )22

2 3

4( 3) 75

y x

x y

=

+ =


24/29



24

Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania.....................................................................3 pkt

Zapisanie rwnania z jedn niewiadom, np. 05

4105465

2 =+ xx

albo5

4)102()3( 22 =+ xx .

Rozwizanie pene..............................................................................................................4 pkt

Obliczenie wsprzdnych punktu P stycznoci:23 31

,5 5

.


Punkt ( ),P x y= jest punktem stycznoci okrgu o rodku )7,3(=S i prostej 2 3y x= .

Zapisujemy ukad rwna:2 2 2( 3) ( 7)

2 3

x y r

y x

+ =

=

Przeksztacamy ukad rwna do rwnania kwadratowego z niewiadomx:2 2 2

( 3) (2 10)x x r + =

2 25 46 109 0x x r + = .Zapisujemy warunek 0 = , dla ktrego okrg ma jeden punkt wsplny z prost 2 3y x=

i obliczamy 2r :

264 20r = + , 220 64 0r = , 220 64r = , 264 16

20 5r = = .

Rozwizujemy rwnanie:

05

16109465

2 =+ xx

05

4

105465

2 =+xx

5

23=x .


,5 5

P

=

.



rozwizania zadania...........................................................................................................1 pkt

Zapisanie ukadu rwna i warunku pozwalajcego wyznaczy promie okrgu:2 2 2( 3) ( 7)

2 3

x y r

y x

+ = =

Rozwizanie, w ktrym jest istotny postp......................................................................2 pkt

Przeksztacenie ukadu do rwnania z jedn niewiadom 2 25 46 109 0x x r + = , zapisanie

warunku 0 = i obliczenie 2r : 216

5r = .

Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania.....................................................................3 pkt

Zapisanie rwnania kwadratowego, np. 05

4105465 2 =+ xx .

Rozwizanie pene..............................................................................................................4 pkt

Obliczenie wsprzdnych punktu stycznoci: 23 31,5 5

P =

.


25/29



25

Uwaga

Jeli zdajcy popeni bd rachunkowy, przeksztacajc ukad rwna do rwnaniakwadratowego, rozwiza to rwnanie i otrzyma dwa punkty stycznoci, to za cae

rozwizanie otrzymuje 2 punkty.

Zadanie 32. (05)

I sposb rozwizania

Niechx oznacza liczbdni wdrwki, y liczbkilometrw przebytych kadego dnia przez

turyst. Drogprzebytprzez turystopisujemy rwnaniem 112x y = .

Turysta moe przeznaczy na wdrwk o 3 dni wicej, idc kadego dnia o 12 km mniej,

wwczas zapisujemy rwnanie: ( ) ( )3 12 112x y+ = .

Zapisujemy ukad rwna, np.( ) ( )

112

3 12 112

x y

x y

=

+ =

Z pierwszego rwnania wyznaczamy

112y

x=

112x

y=

podstawiamy do drugiego rwnania i rozwizujemy

( )112

3 12 112xx

+ =

Przeksztacamy to rwnanie do rwnania

kwadratowego, np.2 3 28 0x x+ = .

29 112 121 11 = + = =

1

3 117

2x

= = sprzeczne z za. 0x >

2

3 114

2x

+= =

Obliczamyy:112

284

y = =

Odp.: Turysta przechodzi dziennie 28 km.

( )112

3 12 112y

y

+ =

Przeksztacamy to rwnanie do rwnania

kwadratowego, np. 2 12 448 0y y = 2144 1792 1936 44 = + = =

1

12 4416

2y

= = sprzeczne z za. 0y >

2

12 4428

2y

+= =


II sposb rozwizania

Niechx oznacza liczbdni wdrwki, y liczbkilometrw przebytych kadego dnia przez

turyst. Drogprzebytprzez turystopisujemy rwnaniem 112x y = .


wwczas zapisujemy rwnanie: ( ) ( )3 12 112x y+ = .

Zapisujemy ukad rwna, np.( ) ( )

112

3 12 112

x y

x y

=

+ =

Std otrzymujemy kolejno 11212 3 36 112

x yx y x y

= + =

Modelowanie matematyczne Rozwizanie zadania umieszczonego w kontekciepraktycznym, prowadzcego do rwnania kwadratowego

z jednniewiadom


26/29



26

112

112 12 3 36 112

x y

x y

=

+ =

112

12 3 36 0

x y

x y

=

+ =

W rwnaniu 12 3 36 0x y + = obie strony dzielimy przez ( )3 .Otrzymujemy 4 12 0x y + = , std wyznaczamy

4 12y x= + 13

4x y=

podstawiamy do rwnania pierwszego i rozwizujemy

( )4 12 112x x + = 24 12 112 0x x+ =

2 3 28 0x x+ = 29 112 121 11 = + = =

1

3 117

2x

= = sprzeczne z za. 0x >

2

3 114

2x

+= =

Obliczamyy: 4 4 12 28y = + =


13 112

4y y

=

21 3 112 04

y y =

2 12 448 0y y = 2144 1792 1936 44 = + = =

1

12 4416

2y

= = sprzeczne z za. 0y >

2

12 4428

2y

+= =




rozwizania zadania ......................................................................................................... 1 pktZapisanie zalenoci midzy przebyt drog, liczb dni wdrwki oraz liczb kilometrw

przebytych kadego dnia przez turyst, np.:

( ) ( )3 12 112x y+ =

albo

112x y = .

Rozwizanie, w ktrym jest istotny postp .................................................................... 2 pktZapisanie ukadu rwna z niewiadomymix iy odpowiednio: liczbdni wdrwki i liczb

kilometrw przebytych kadego dnia przez turyst, np.

( ) ( )

112

3 12 112

x y

x y

=

+ =

Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania ................................................................... 3 pkt

Zapisanie rwnania z jednniewiadomx luby, np:

( )112

3 12 112xx

+ =

lub ( )

1123 12 112y

y

+ =

, lub ( )4 12 112x x + = ,

lub1

3 1124

y y

=

Uwaga

Zdajcy nie musi zapisywa

uk

adu rwna

, mo

e bezpo

rednio zapisa

rwnanie z jedn

niewiadom.


27/29



27

Rozwizanie zadania do koca lecz z usterkami, ktre jednak nie przekrelaj

poprawnoci rozwizania (np. bdy rachunkowe) ...................................................... 4 pkt

rozwizanie rwnania z niewiadomx bezbdnie i nie obliczenie liczby kilometrwprzebytych kadego dnia przez turyst

albo

rozwizanie rwnania z niewiadomx luby z bdem rachunkowym i konsekwentneobliczenie liczby kilometrw przebytych kadego dnia przez turyst.

Rozwizanie pene ........................................................................................................... 5 pkt

Obliczenie liczby kilometrw przebytych kadego dnia przez turyst: 28 km.


Niechx oznacza liczbdni wdrwki, y liczbkilometrw przebytych kadego dnia przezturyst. Liczb kilometrw przebytych kadego dnia przez turyst opisujemy rwnaniem

112y

x= .


wwczas zapisujemy rwnanie:112 112

123x x

= ++

.

Przeksztacamy to rwnanie do postaci2 3 28 0x x+ = .

Rozwizaniem rwnania s: 13 11

72

x

= = sprzeczne z zaoeniem 0x >

i 23 11

42

x +

= =

Obliczamyy:112

28

4

y = =



rozwizania zadania ........................................................................................................ 1 pktPrzyjcie oznacze:x - liczba dni wdrwki,y liczba kilometrw przebytych kadego dnia

przez turysti zapisanie zalenoci, np.

112

yx

=

albo

112

123y x= ++ .

Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania .................................................................. 3 pkt

Zapisanie rwnania z jednniewiadom:112 112

123x x

= ++

.

Rozwizanie zadania do koca lecz z usterkami, ktre jednak nie przekrelaj

poprawnoci rozwizania (np. bdy rachunkowe) ...................................................... 4 pkt

rozwizanie rwnania z niewiadomx bezbdnie i nie obliczenie liczby kilometrwprzebytych kadego dnia przez turyst

albo

rozwizanie rwnania z niewiadom x bdem rachunkowym i konsekwentneobliczenie liczby kilometrw przebytych kadego dnia przez turyst, przy czymobliczona liczba kilometrw musi by wiksza od 12.


28/29



28

Rozwizanie pene ............................................................................................................ 5 pkt

Obliczenie liczby kilometrw przebytych kadego dnia przez turyst: 28 km.

Uwagi

1. Jeeli zdajcy porwnuje wielkoci rnych typw, to otrzymuje 0 punktw.

2. Jeeli zdajcy odgadnie liczbkilometrw przebytych kadego dnia przez turysti nieuzasadni, e jest to jedyne rozwizanie, to otrzymuje 1 punkt.

Zadanie 33. (04)

Rozwizanie

Trjkt ABK jest trjktem prostoktnym, zatem2

2 11

2AK

= +

. Std

2 5

4AK = .

Trjkt MAK jest trjktem prostoktnym, zatem

22 2 2 1 5 3

2 4 2MK MA AK

= + = + =

.

Analogicznie dla trjktw MEL i LGK obliczamy kwadraty dugoci bokw ML i KL:

2 2 3

2ML KL= = .

Poniewa2 2 2

ML KL MK= = , wic trjkt KLMjest rwnoboczny.

Zatem jego pole wyraa siwzorem

23

4

MKP = , std

3 3 32 34 8

P

= = .

Uwaga

Zdajcy nie musi oblicza kwadratw dugoci bokw ML i KL. Wystarczy, e korzystajc

z przystawania trjktw MAK,MEL , LGK uzasadni rwno bokw: ML KL MK= = .

Uycie i tworzenie strategii Wyznaczenie zwizkw miarowych w szecianie

LH G

FE

M

KD

A B

C


29/29



29

Schemat ocenianiaRozwizanie, w ktrym jest istotny postp ..................................................................... 2 pkt

Obliczenie kwadratu dugoci odcinka AK:2 5

4AK = .

Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania .................................................................... 3 pkt

obliczenie kwadratw dugoci lub dugoci bokw trjkta KLM:

2 2 2 3

2ML KL MK= = = lub

6

2ML KL MK= = = i na tym poprzestanie lub

dalej popeni bdy

albo

zauwaenie, e trjkt KLMjest rwnoboczny i obliczenie kwadratu dugoci jednego

z bokw tego trjkta, np.2 3

2MK = .

Rozwizanie pene ............................................................................................................. 4 pkt

Obliczenie pola trjkta KLM:

3

38P = .

UwagaAkceptujemy rozwizanie, w ktrym zdajcy przyjmuje, e dugo krawdzi szecianu jestoznaczona literl.

arkusz2klucz

Documents

Transcript of arkusz2klucz