7/30/2019 arkusz2klucz
1/29
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie
EGZAMIN MATURALNY 2011
MATEMATYKA
POZIOM PODSTAWOWY
Kryteria oceniania odpowiedzi
MAJ 2011
7/30/2019 arkusz2klucz
2/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
2
Zadanie 1. (01)
Obszar standardw Opis wymaga
Poprawna
odpowied
(1 p.)
Wykorzystanie i tworzenieinformacji Wykorzystanie pojcia wartocibezwzgldnejC
Zadanie 2. (01)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Wykonanie oblicze procentowychB
Zadanie 3. (01)
Wykorzystanie i tworzenie
informacji
Rozoenie wielomianu na czynniki
z zastosowaniem wyczenia wsplnego
czynnika poza nawias
B
Zadanie 4. (01)
Modelowanie matematyczne Rozwizanie ukadu rwna D
Zadanie 5. (01)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Rozwizanie rwnania liniowego
i sprawdzenie czy rozwizanie naleydo danego przedziau
D
Zadanie 6. (01)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Sprawdzenie, ktre z podanych liczb
speniajnierwno i wybranie z nich
najmniejszej
B
Zadanie 7. (01)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Zinterpretowanie rozwizania
nierwnoci kwadratowej i liniowej na osi
liczbowejC
Zadanie 8. (01)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Wykorzystanie definicji logarytmuB
7/30/2019 arkusz2klucz
3/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
3
Zadanie 9. (01)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Okrelenie funkcji za pomocwzoru
i interpretowanie wykresw funkcji
kwadratowych
A
Zadanie 10. (01)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Obliczenie miejsca zerowego funkcji
liniowejD
Zadanie 11. (01)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Zastosowanie wzory na n-ty wyraz cigu
geometrycznegoD
Zadanie 12. (01)
Uycie i tworzenie strategii Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz cigu
arytmetycznegoC
Zadanie 13. (01)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Wyznaczenie wartoci pozostaych
funkcji tego samego kta ostrego, gdy
dana jest warto jednej z nich
A
Zadanie 14. (01)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Zastosowanie prostych zwizkw midzy
funkcjami trygonometrycznymi kta
ostregoB
Zadanie 15. (01)
Uycie i tworzenie strategii Znalezienie zwizkw miarowych
w przestrzeniC
Zadanie 16. (01)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Skorzystanie ze zwizkw midzy ktem
rodkowym i ktem wpisanymB
Zadanie 17. (01)
Uycie i tworzenie strategii Znalezienie zwizkw miarowych
w figurach paskich
A
7/30/2019 arkusz2klucz
4/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
4
Zadanie 18. (01)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Zbadanie rwnolegoci i prostopadoci
prostych na podstawie ich rwna
kierunkowych
C
Zadanie 19. (01)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Posuenie sirwnaniem okrgu
( ) ( ) 222 rbyax =+ i sprawdzanieczy dana prosta jest styczn
B
Zadanie 20. (01)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Wyznaczenie zwizkw miarowych
w szecianie
D
Zadanie 21. (01)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Wyznaczenie zwizkw miarowych
w bryach obrotowychB
Zadanie 22. (01)
Modelowanie matematyczne Zastosowanie twierdzenia znanego jako
klasyczna definicja prawdopodobiestwado obliczenia prawdopodobiestwa
zdarzenia
D
Zadanie 23. (01)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Obliczenie redniej arytmetycznejD
7/30/2019 arkusz2klucz
5/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
5
Zadanie 24. (02)
Rozwizanie
Rozwizanie nierwnoci kwadratowej skada siz dwch etapw.
Pierwszy etap moe by realizowany na 2 sposoby:I sposb rozwizania (realizacja pierwszego etapu)
Znajdujemy pierwiastki trjmianu kwadratowego 23 10 3x x + obliczamy wyrnik tego trjmianu:
100 4 3 3 64 = = i std 110 8 1
6 3x
= = oraz
2
10 83
6x
+= =
albo
stosujemy wzory Vitea:
1 2
10
3x x+ = oraz
1 21x x = i std 1
1
3x = oraz 2 3x =
albo
podajemy je bezporednio, np. zapisujc pierwiastki trjmianu lub posta iloczynowtrjmianu, lub zaznaczajc na wykresie
1
1
3x = , 2 3x = lub ( )
13 3
3x x
lub
II sposb rozwizania (realizacja pierwszego etapu)
Wyznaczamy posta kanoniczn trjmianu kwadratowego 23 10 3x x + i zapisujemynierwno w postaci, np.
210 64
3 0 ,6 12
x
std
210 64
3 06 36
x
a nastpnie
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Rozwizanie nierwnoci kwadratowej
4 3 2 1 1 2 3 4 5
2
1
1
2
3
4
5
6
3
60
1
3
7/30/2019 arkusz2klucz
6/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
6
przeksztacamy nierwno, tak by jej lewa strona bya zapisana w postaciiloczynowej
10 8 10 83 0
6 6 6 6x x
+
( ) 13 33 0x x
albo
przeksztacamy nierwno do postaci rwnowanej, korzystajc z wasnoci wartocibezwzgldnej
210 64
6 36x
10 8
6 6x
Drugi etap rozwizania:
Podajemy zbir rozwiza nierwnoci:
1
33 x
lub
1
, 33 lub
1
, 33x
.
Schemat oceniania
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................1 pkt
gdy:
zrealizuje pierwszy etap rozwizania i na tym poprzestanie lub bdnie zapisze zbirrozwiza nierwnoci, np.
o obliczy lub poda pierwiastki trjmianu kwadratowego1
3x = , 3x = i na tym
poprzestanie lub bdnie zapisze zbir rozwiza nierwnoci
o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji ( ) 23 10 3f x x x= + i na tym
poprzestanie lub bdnie zapisze zbir rozwiza nierwnoci
o rozoy trjmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. ( )1
3 33
x x
i na
tym poprzestanie lub bdnie rozwie nierwno
o zapisze nierwno10 8
6 6x i na tym poprzestanie lub bdnie zapisze
zbir rozwiza nierwnoci
albo
realizujc pierwszy etap, popeni bd (ale otrzyma dwa rne pierwiastki)i konsekwentnie do tego rozwie nierwno, np.
o popeni bd rachunkowy przy obliczaniu wyrnika lub pierwiastkw
trjmianu kwadratowego i konsekwentnie do popenionego bdu rozwie
nierwno
o bdnie zapisze rwnania wynikajce ze wzorw Vitea, np.: 1 210
3x x+ =
i1 2
1x x = lub 1 210
3x x+ = i
1 21x x =
i konsekwentnie do popenionego
bdu rozwie nierwno
7/30/2019 arkusz2klucz
7/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
7
o bdnie zapisze nierwno, np.10 8
6 6x + i konsekwentnie do popenionego
bdu rozwie nierwno.Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy:
poda zbir rozwiza nierwnoci:1
, 33
lub1
, 33
x
lub1
33
x ,
albo
sporzdzi ilustracj geometryczn (o liczbowa, wykres) i zapisze zbir rozwiza
nierwnoci w postaci:1
3x , 3x
albo
poda zbir rozwiza nierwnoci w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymikocami przedziaw
Uwaga
Jeeli zdajcy poprawnie obliczy pierwiastki trjmianu 11
3x = i
2 3x = i zapisze np.
1, 3
3x , popeniajc tym samym bd przy przepisywaniu jednego z pierwiastkw, to za
takie rozwizanie otrzymuje 2 punkty.
Zadania 25. (02)
I sposb rozwizania
Poniewa 1a b+ = , wic ( )2
1a b+ = , czyli2 22 1a ab b+ + = .
Poniewa 2 2 7a b+ = , wic 2 7 1ab + = . Std mamy, e 3ab = i ( )2
2 2 9a b ab= = .
Stosujc wzory skrconego mnoenia, zapisujemy wyraenie4 4 31a b+ = w postaci:
( )2
2 2 2 22 31a b a b+ = czyli 27 2 9 31 = co naleao uzasadni.
II sposb rozwizania
Przeksztacamy tezw sposb rwnowany:4 4 31a b+ =
( )2
2 2 2 22 31a b a b+ =
2 249 2 31a b = 2 2 9a b = .
Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie zalenoci arytmetycznej z zastosowaniem
wzorw skrconego mnoenia
31
3
7/30/2019 arkusz2klucz
8/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
8
Korzystajc z zaoe 2 2 7a b+ = i 1a b+ = , otrzymujemy 2 7 1ab + = .
Std 3ab = . Zatem 2 2 9a b = , co koczy dowd.
Schemat oceniania I i II sposobu rozwizania
Zdajcy otrzymuje .............................................................................................................1 pkt
gdy:
korzystajc z zaoe obliczy, e 3ab = i na tym poprzestanie lub dalej popeniabdy
albo
przeksztaci tezw sposb rwnowany do postaci 2 2 9a b = i na tym poprzestanie lubdalej popenia bdy
Zdajcy otrzymuje .............................................................................................................2 pkt
gdy przeprowadzi pene rozumowanie.
III sposb rozwizania
Tak jak w sposobie I obliczamy, e 3ab = .Korzystamy ze wzoru dwumianowego Newtona:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 24 3 2 2 3 4 4 2 2 4
24 4 4 4 4 4
4 6 4 4 6
4 3 7 6 3 84 54 30
a b a a b a b ab b a ab a b ab b
a b a b a b
+ = + + + + = + + + + =
= + + + = + + = +
Std 4 4 31a b+ = .
Schemat oceniania III sposobu rozwizania
Zdajcy otrzymuje .............................................................................................................1 pkt
gdy
poda lub obliczy warto wyraenia 3ab = i na tym poprzestanie lub dalej popenibdy
albo
wykorzysta wzr dwumianowy Newtona i zapisze np.
( ) ( ) ( )4 24 2 2 44 6a b a ab a b ab b+ = + + + + .
Zdajcy otrzymuje .............................................................................................................2 pkt
gdy przeprowadzi pene rozumowanie.
IV sposb rozwizania
Rozwizujemy ukad rwna, wyznaczajc a i b :2 2 7
1
a b
a b
+ =
+ =std:
7/30/2019 arkusz2klucz
9/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
9
1 13
2
1 13
2
a
b
=
+ =
lub
1 13
2
1 13
2
a
b
+=
=
Ukad rwna2 2 7
1
a b
a b
+ =
+ =
moemy rozwiza jednym z podanych sposobw.
I sposb
Podstawiamy 1b a= do rwnania 2 2 7a b+ = , std otrzymujemy rwnanie
( )22 1 7a a+ = , ktre jest rwnowane rwnaniu 22 2 6 0a a = , czyli
2 3 0a a = .
Obliczamy 13 = oraz
1 13
2
1 13
2
a
b
=
+ =
lub
1 13
2
1 13
2
a
b
+=
=
II sposb
Oznaczamy:1
2a x= + ,
1
2b x= .
Wtedy 2 2 21
2 72
a b x+ = + = , std 213
22
x = , czyli 213
4x = , wic
13
2x = ,
13
2x = .
Std otrzymujemy:
1 13
2
1 13
2
a
b
=
+ =
lub
1 13
2
1 13
2
a
b
+=
=
III sposbObliczamy 3ab = tak jak w I sposobie rozwizania. Mamy zatem ukad rwna:
1
3
a b
ab
+ =
=
Std otrzymujemy:
1 13
2
1 13
2
a
b
=
+ =
lub
1 13
2
1 13
2
a
b
+=
=
7/30/2019 arkusz2klucz
10/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
10
Obliczamy 4 4a b+ , korzystajc ze wzoru ( ) ( )4 4 4 2 2 42 12 2c d c d c c d d + + = + + :
4 4
4 4
4 4
2 44 2
1 13 1 13
2 2
1 13 1 132 2 2 2
1 1 13 132 12 2
2 2 2 2
1 13 169 2483 31
8 4 8 8
a b +
+ = + =
= + + =
= + + =
= + + = =
Uwaga
Zdajcy moe take obliczy:2
4 2 2 2 2
4
4
4
1 13 1 13 1 2 13 13 14 2 13 7 13
2 2 4 4 2
49 14 13 13 62 14 13 31 7 13 1 13 31 7 13albo
4 4 2 2 2
a
a
+ + + + + + = = = = = =
+ + + + = = = = =
oraz2
4 2 2 2 2
4
4
4
1 13 1 13 1 2 13 13 14 2 13 7 13
2 2 4 4 2
49 14 13 13 62 14 13 31 7 13 1 13 31 7 13albo
4 4 2 2 2
b
b
+ = = = = = =
+ + += = = = =
Zatem 4 431 7 13 31 7 13
312 2
a b+
+ = + = .
Schemat oceniania IV sposobu rozwizania
Zdajcy otrzymuje .............................................................................................................1 pkt
gdy obliczy jedn z wartoci 11 13
2a
= lub2
1 13
2a
+
= lub1
1 13
2b
+
= lub2
1 13
2b
= i na tym poprzestanie lub dalej popeni bdy
Zdajcy otrzymuje .............................................................................................................2 pkt
gdy przeprowadzi pene rozumowanie.
Uwaga
Jeeli zdajcy obliczy jedn z wartoci1
1 13
2a
= lub
2
1 13
2a
+= , lub
1
1 13
2b
+= ,
lub 21 13
2b
= i uzasadni teztylko dla tej jednej wartoci, to otrzymuje 2 punkty.
7/30/2019 arkusz2klucz
11/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
11
Zadanie 26. (02)
Rozwizanie
Odczytujemy z wykresu zbir wartoci funkcji: 2, 3 .
Zapisujemy przedzia maksymalnej dugoci,w ktrym funkcja jest malejca: 2,2 .
Schemat oceniania
Zdajcy otrzymuje............................................................................................................. 1 pkt
gdy:
zapisze zbir wartoci funkcji f : 2, 3 i na tym poprzestanie
albo zapisze zbir wartoci funkcji f : 2, 3 i bdnie zapisze przedzia maksymalnej
dugoci, w ktrym ta funkcja jest malejca
albo
zapisze przedzia maksymalnej dugoci, w ktrym funkcja f jest malejca: 2, 2
i na tym poprzestanie
albo
zapisze przedzia maksymalnej dugoci, w ktrym funkcja f jest malejca, np.:
2, 2 i bdnie zapisze zbir wartoci funkcji f .
Zdajcy otrzymuje............................................................................................................. 2 pkt
gdy zapisze zbir wartoci funkcji f : 2, 3 oraz przedzia maksymalnej dugoci,
w ktrym funkcja f jest malejca: 2, 2 .
Uwagi
1. Zdajcy moe zapisa przedzia maksymalnej dugoci, w ktrym funkcjafjest malejca,
w postaci 2 2x lub 2, 2 , x lub )2, 2 , x lub ( 2, 2 , x lub ( )2,2x .
2. Zdajcy moe zapisa zbir wartoci funkcjif, w postaci 2 3 lub 2,3 .y x
3. Zdajcy moe zapisa przedzia maksymalnej dugoci, w ktrym funkcjafjest malejca,w postaci 2,0 0,2 .
4. Nie akceptujemy, jeeli zdajcy zapisze przedzia maksymalnej dugoci, w ktrym
funkcjaf jest malejca, w postaci { }2,2 .
Wykorzystanie i tworzenie
informacji
Odczytanie z wykresu funkcji: zbioru wartoci oraz
maksymalnego przedziau, w ktrym funkcja maleje
7/30/2019 arkusz2klucz
12/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
12
Zadania 27. (02)
I sposb rozwizania
Liczby , , 19x y w podanej kolejnoci tworzcig arytmetyczny, std 2 19y x= + .
Zapisujemy wic ukad rwna
2 19
8
y x
x y
= +
+ =
ktrego rozwizaniem jest 1x = i 9y = .
Schemat oceniania I sposobu rozwizania
Zdajcy otrzymuje .............................................................................................................1 pkt
gdy wykorzysta wasnoci cigu arytmetycznego i zapisze rwnanie np. 2 19y x= + i na tym
poprzestanie lub dalej popenia bdy.
Zdajcy otrzymuje .............................................................................................................2 pkt
gdy obliczy: 1=x i 9=y .
Uwaga
Zdajcy moe jako rozwizanie poda cig ( )1, 9, 19 i wtedy rwnie otrzymuje 2 punkty.
II sposb rozwizania
Liczby , , 19x y w podanej kolejnoci tworzcig arytmetyczny. Niech rbdzie rnic tego
cigu i 1x a= , 2 1y a a r= = + , 3 119 2a a r= = + .
Otrzymujemy ukad rwna
1 1
1
8
2 19
a a r
a r
+ + =
+ =
Rozwizaniem tego ukadu jest 1 1a = , 10r= . Std: 1 1x a= = , 2 9y a= = .
Uwaga
Moemy rwnie otrzyma nastpujce ukady rwna:
1
11
2 819
2
a ra
a r
+ = +
= +
lub 19 2
8
y x rx r
x y
= += +
+ =
Schemat oceniania II sposobu rozwizania
Zdajcy otrzymuje .............................................................................................................1 pkt
gdy wprowadzi oznaczenia1
x a= , 2 1y a a r= = + i zapisze rwnanie 1 2 19a r+ = i na tym
poprzestanie lub dalej popenia bdy.
Zdajcy otrzymuje .............................................................................................................2 pkt
gdy obliczy: 1=x i 9=y .
Modelowanie matematyczne Zastosowanie wzorw na n-ty wyraz cigu arytmetycznego
lub wykorzystanie wasnoci trzech kolejnych wyrazw
tego cigu
7/30/2019 arkusz2klucz
13/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
13
III sposb rozwizania
Wprowadzamy oznaczenia1
x a= , 2y a= , 319 a= .
Obliczamy:
319 8 19 27S x y= + + = + = .
Korzystajc ze wzoru na sum trzech pocztkowych wyrazw cigu arytmetycznego,
otrzymujemy 119
3 272
a + = .
Std 1 1a = , zatem 1x = , 9y = .
Schemat oceniania III sposobu rozwizania
Zdajcy otrzymuje............................................................................................................. 1 pkt
gdy wprowadzi oznaczenia1
x a= , 2y a= , 319 a= i zapisze rwnanie1 3 3 27
2
a a+ = i na tym
poprzestanie lub dalej popenia bdy.
Zdajcy otrzymuje............................................................................................................. 2 pkt
gdy obliczy: 1=x i 9=y .
Uwaga
Jeeli zdajcy zapisze 1=x i 9=y bez oblicze i nie uzasadni, e jest to jedyne
rozwizanie, to otrzymuje 1 punkt.
Zadanie 28. (02)
I sposb rozwizania
Sprowadzamy wyraeniesin cos
2cos sin
+ = do wsplnego mianownika i otrzymujemy
2 2sin cos2
sin cos
+= . Korzystajc z tosamoci 2 2sin cos 1 + = , otrzymujemy
12
sin cos = , a std
1sin cos .
2 =
Schemat oceniania I sposobu rozwizania
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy: sprowadzi wyraenie
sin cos2
cos sin
+ = do wsplnego mianownika i na tym
poprzestanie lub dalej popenia bdy.
albo
doprowadzi wyraeniesin cos
2cos sin
+ = do postaci 2 2sin cos 2sin cos + =
i na tym poprzestanie lub dalej popenia bdy.
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy obliczy, e1
sin cos .
2
=
Uycie i tworzenie strategii Zastosowanie prostych zwizkw midzy funkcjami
trygonometrycznymi kta ostrego
7/30/2019 arkusz2klucz
14/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
14
II sposb rozwizania
Rysujemy trjkt prostoktny, w ktrym oznaczamy dugoci przyprostoktnych a i b oraz
zaznaczamy kt ostry taki, e sin =a
club cos . =
b
c
a
b
c
Korzystajc z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczamy dugo przeciwprostoktnej: 2 2 2c a b= + .
Poniewa sin cos 2cos sin
+ =
, wic 2a bb a
+ = , czyli2 2
2a ba b+ =
. Std
2
2ca b
=.
Poniewa2
sin cos
=a b
c, to
1sin cos
2 = .
III sposb rozwizania
Rysujemy trjkt prostoktny, w ktrym oznaczamy dugoci przyprostoktnych a i b oraz
zaznaczamy kt ostry taki, e sin =a
club cos . =
b
c
a
b
c
Poniewasin cos
2cos sin
+ = , wic otrzymujemy kolejno:
2a b
b a
+ = ,2 2
2a b
ab
+= , 2 2 2a b ab+ = ,
std ( )2
0a b = , wic a b= . Zatem 454
= = .
Wtedy2
sin sin 452
= = i2
cos cos 452
= = .
Obliczamy2 2 1
sin cos2 2 2
= = .
7/30/2019 arkusz2klucz
15/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
15
Schemat oceniania II i III sposobu rozwizania
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy narysuje trjkt prostoktny o przyprostoktnych dugoci a i b, zaznaczy w tym trjkcie
kt i zapisze:
sin =a
c, cos =
b
ci
2 2
2a b
a b
+ =
i na tym zakoczy lub dalej popenia bdy
albo
sin =a
c, cos =
b
ci 2 2 2a b a b+ = i na tym zakoczy lub dalej popenia bdy.
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy obliczy, e1
sin cos2
= .
Uwaga
Zdajcy moe take odczyta z tablic przyblione wartoci funkcji trygonometrycznychi obliczy: sin 45 cos 45 0,7071 0,7071 0,4999 0,5 .
Nie akceptujemy innych przyblie.
IV sposb rozwizania
Wyraeniesin cos
2cos sin
+ = zapisujemy w postaci
1tg 2
tg
+ = .
Std 2tg 2tg 1 0 + = .
Zatem tg 1 = i std 45 = .Obliczamy warto wyraenia,2 2 1
sin 45 cos 45
2 2 2
= = .
Schemat oceniania IV sposobu rozwizania
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy zapisze rwnanie1
tg 2tg
+ = i na tym zakoczy lub dalej popenia bdy.
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy obliczy1
sin cos
2
= .
V sposb rozwizaniaZauwaamy, e suma liczby i jej odwrotnoci jest rwna 2 wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba
jest rwna 1. Zatemsin
tg 1cos
= = i std 45 = , a wic
2 2 1sin 45 cos 45
2 2 2 = = .
7/30/2019 arkusz2klucz
16/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
16
Schemat oceniania V sposobu rozwizania
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................1 pkt
gdy zapisze, e suma liczby i jej odwrotnoci jest rwna 2 wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba
jest rwna 1, zapisze tg 1 = lub
sin
1cos
= i na tym zakoczy lub dalej popenia bdy.
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................2 pkt
gdy obliczy1
sin cos2
= .
Uwaga
Jeeli zdajcy w V sposobie rozwizania zapisze bez uzasadnienia:
tg 1 = lubsin
1cos
= lub 45 = i na tym zakoczy lub dalej popenia bdy,
to otrzymuje 0 punktw.
tg 1 = lub sin 1cos
= lub 45 = i poprawnie obliczy 1sin cos
2 = , to otrzymuje
1 punkt.
Zadania 29. (02)
I sposb rozwizania
Niech CED =) . Poniewa trjkt DCE jest rwnoramienny i EC CD= ,
to EDC CED = =) ) . Zatem 180 2= )DCE .
Podobnie, poniewa trjkt ABE jest rwnoramienny i AEB EAB = =) ) ,
to 180 2= )ABE .
KtyABEiDCEsktami wewntrznymi trapezuABCD i 180DCE ABE+ = ) ) .
Std 180 2 180 2 180 + = , czyli
2 2 180 + =
90 + = .
Zatem ( )180 180 180 90 = = = + = ) ) )AED CED AEB .
Schemat oceniania I sposobu rozwizania
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................1 pkt
gdy napisze zalenoci midzy miarami ktw w trjktach rwnoramiennych ABE i DCE,
np. 180 2= )DCE i 180 2= )ABE i na tym zakoczy lub dalej popenia bdy.
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................2 pkt
gdy poprawnie uzasadni, e 90= )AED .
Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie, e wskazany kt jest prosty
7/30/2019 arkusz2klucz
17/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
17
II sposb rozwizania
Niech CED =) i AEB =)
Trjkty DCE i ABE s rwnoramienne. Zatem EDC CED = =) ) oraz
AEB EAB = =) ) .
Dorysowujemy w danym trapezie odcinekEF rwnolegy do podstaw trapezuABCD.
Kty naprzemianlege CDE i DEF maj rwne miary, zatem EDC DEF = =) ) .
Analogicznie EAB AEF = =) ) .
Zatem 180 2 2 = = +)BEC , wic 90 + = .
Std 90= )AED , co koczy dowd.
Schemat oceniania II sposobu rozwizania
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy napisze, e trjkty DCE i ABE s rwnoramienne, dorysuje odcinekEF rwnolegy
do podstaw trapezuABCD i zapisze, e EDC DEF = =) ) i EAB AEF = =) ) .
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy poprawnie uzasadni, e 90= )AED (uzasadnienie rwnoci ktw moe by
przedstawione na rysunku).
B
E
CD
F
A
7/30/2019 arkusz2klucz
18/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
18
III sposb rozwizania
Niech ABC =) , std 180 = )BCD .
Poniewa CE CD= i EB BA= , wic trjktyDCEiABEsrwnoramienne.
Zatem180
902 2
= = = ) )AEB EAB oraz
2EDC CED
= =) ) .
Dorysowujemy w danym trapezie odcinekEF rwnolegy do podstaw trapezu ABCD, wic
zachodzi rwno:
2
EDC CED DEF
= = =) ) ) i 90
2
= = = ) ) )AEB EAB AEF
Std otrzymujemy 90 902 2
AED AEF DEF
= + = + = ) ) ) .
Schemat oceniania III sposobu rozwizania
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................1 pkt
gdy napisze, e trjkty DCE i ABE s rwnoramienne i przyjmie, e ABC =) ,
dorysuje odcinek EF rwnolegy do podstaw trapezu ABCD i zapisze,
e180
2
= = =) ) )AEB EAB AEF i
2
EDC CED DEF
= = =) ) ) .
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................2 pkt
gdy poprawnie uzasadni, e 90= )AED (uzasadnienie rwnoci ktw moe by
przedstawione na rysunku).
B
E
CD
F
A
180 2
2
902
902
2
902
7/30/2019 arkusz2klucz
19/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
19
IV sposb rozwizania
Niech CED =) . Poniewa trjkt DCE jest rwnoramienny i EC CD= ,
to EDC CED = =) ) . Podobnie, poniewa trjkt ABE jest rwnoramienny,
to AEB EAB = =) )
KtyADCiBAD sktami wewntrznymi trapezuABCD i 180ADC BAD+ = ) ) .
Std ( )180ADE EAD + = +) ) .
Zatem w trjkcieDAEmamy: ( )180 180AED = + = + ) .
Std 180 2 2BEC DEC AED AEB = = + + = +) ) ) ) , czyli 90 + = .
Zatem 90= )AED .
Schemat oceniania IV sposobu rozwizania
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy zapisze zalenoci midzy miarami ktw w trjktach rwnoramiennych ABE i DCE,
np. EDC CED = =) ) oraz AEB EAB = =) ) i zapisze, e 180ADC BAD+ = ) ) .
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy poprawnie uzasadni, e 90= )AED .
Uwaga
Jeeli zdajcy przyjmie dodatkowe zaoenia o trapezie ABCD, przez co rozwaa tylko
szczeglny przypadek, np. 90= )ABC lub 45= )DEC , to za cae rozwizanie otrzymuje
0 punktw.
B
E
CD
A
7/30/2019 arkusz2klucz
20/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
20
Zadanie 30. (02)
I sposb rozwizania (metoda klasyczna)
Zdarzeniami elementarnymi s wszystkie pary ( ),a b liczb z podanego zbioru. Jest to model
klasyczny. Obliczamy liczbwszystkich zdarze elementarnych: 27 = .
Obliczamy liczb zdarze elementarnych sprzyjajcych zdarzeniu A polegajcym na
otrzymaniu liczb, ktrych suma jest podzielna przez 3, np. wypisujc je i zliczajc:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,2 , 1,5 , 2,1 , 2,4 , 2,7 , 3,3 , 3,6 , 4,2 , 4,5 5,1 , 5,4 , 5,7 , 6,3 , 6,6 , 7,2 , 7,5 ,A =
czyli 16A =
Obliczamy prawdopodobiestwo zdarzenia A:16
( )49
P A = .
II sposb rozwizania (metoda tabeli)Zdarzeniami elementarnymi s wszystkie pary ( ),a b liczb z podanego zbioru. Jest to model
klasyczny. Tworzymy tabelilustrujcsytuacjopisanw zadaniu
1 2 3 4 5 6 7
1 X X
2 X X X
3 X X
4 X X
5 X X X
6 X X
7 X X
Obliczamy liczbwszystkich zdarze elementarnych: 27 = .
Zliczamy oznaczone krzyykami zdarzenia elementarne sprzyjajce zdarzeniuA: 16A = .
Obliczamy prawdopodobiestwo zdarzenia A:16
( )49
P A = .
Schemat oceniania I i II sposobu rozwizania
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................1 pktgdy
obliczy liczbwszystkich moliwych zdarze elementarnych: 27 49 = =
albo
obliczy liczbzdarze elementarnych sprzyjajcych zdarzeniu A : 16A =
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................2 pkt
gdy obliczy prawdopodobiestwo zdarzenia A:16
( )49
P A = .
Uycie i tworzenie strategii Obliczenie prawdopodobiestwa zdarzenia
7/30/2019 arkusz2klucz
21/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
21
III sposb rozwizania (metoda drzewa)
Rysujemy drzewo, uwzgldniajc tylko istotne gazie. Prawdopodobiestwo na kadym
odcinku tego drzewa jest rwne1
7.
Obliczamy prawdopodobiestwo zdarzeniaA:1 1 16
( ) 167 7 49
P A = = .
IV sposb rozwizania (metoda drzewa)
Rysujemy drzewo, uwzgldniajc tylko istotne gazie i zapisujemy na nich
prawdopodobiestwo.
Obliczamy prawdopodobiestwo zdarzeniaA: ( )2 2 3 2 2 3 16
7 7 7 7 7 7 47P A = + + =
17
1
2 5
2 3 4 5 6 7
17
17
171
717
17
17
3 6 1 4 7 2 5
1 4 7 2 5 3 6
17
{ }3,6 { }1,4,7 { }2,5
{ }3,6 { }2,5 { }1,4,7
2
73
7
2
7
2
7
2
7
3
7
7/30/2019 arkusz2klucz
22/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
22
Schemat oceniania III i IV sposobu rozwizania
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................1 pktgdy:
narysuje pene drzewo i przynajmniej na jednej gazi opisze prawdopodobiestwoalbo
narysuje drzewo tylko z istotnymi gaziami.Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................2 pkt
gdy obliczy prawdopodobiestwo zdarzenia A:16
( )49
P A = .
Uwagi
1. Jeli zdajcy rozwie zadanie do koca i otrzyma ( ) 1P A > , to otrzymuje za cae
rozwizanie 0 punktw.
2. Jeeli zdajcy opuci przez nieuwag w rozwizaniu niektre gazie i konsekwentnie
obliczy prawdopodobiestwo, to za cae rozwizanie otrzymuje 1 punkt.
3. Jeeli zdajcy poprawnie obliczy prawdopodobiestwo i bdnie skrci uamek, np.
16 4( )49 7
P A = = , to otrzymuje 2 punkty.
Zadanie 31. (04)
I sposb rozwizaniaWyznaczamy wspczynnik kierunkowy m prostej prostopadej do prostej o rwnaniu
2 3y x= : 12m = .
Zapisujemy rwnanie prostej prostopadej do stycznej i przechodzcej przez punkt ( )3,7S= :
2
17
2
1+= xy .
Zapisujemy i rozwizujemy ukad rwna:
2 3
1 17
2 2
y x
y x
=
= +
1 172 32 2
x x + =
5
23=x
Std5
31=y .
Zatem punkt stycznoci ma wsprzdne:23 31
,5 5
.
Uycie i tworzenie strategii Wyznaczenie wsprzdnych punktu stycznoci prostejz okrgiem
7/30/2019 arkusz2klucz
23/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
23
Schemat oceniania I sposobu rozwizania
Rozwizanie, w ktrym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego
rozwizania zadania .......................................................................................................... 1 pkt
Zapisanie wspczynnika kierunkowego prostej prostopadej do prostej o rwnaniu
2 3y x= , np.1
2m = .
Rozwizanie, w ktrym jest istotny postp ..................................................................... 2 pkt
Zapisanie ukad rwna
2 3
1 17
2 2
=
= +
y x
y x
Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania .................................................................... 3 pkt
Przeksztacenie ukadu rwna do rwnania z jednniewiadom, np.
1 172 3
2 2x x + = lub
1 3 17
4 4 2y y= + .
Rozwizanie pene ............................................................................................................. 4 pkt
Obliczenie wsprzdnych punktu stycznoci:23 31
,5 5
.
UwagaJeli zdajcy zapisa ukad rwna liniowych i odgad jego rozwizanie, to otrzymuje4 punkty
II sposb rozwizania
Obliczamy odlegodrodka okrgu )7,3(=S od prostej 2 3y x= :
6 7 3 4
4 1 5
d
= =+
.
Punkt ( , 2 3)P x x= jest punktem stycznoci okrgu o rodku w punkcie )7,3(=S
i prostej 2 3y x= . Zatem PS d= oraz 2 2( 3) (2 10)PS x x= + .
Przeksztacamy rwnanie5
4)102()3( 22 =+ xx do postaci 0
5
16109465 2 =+ xx
Rozwizujemy rwnanie 05
4105465 2 =+ xx , std
5
23=x .
Zatem punkt stycznoci ma wsprzdne:23 31
,5 5
P
=
.
Schemat oceniania II sposobu rozwizaniaRozwizanie, w ktrym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego
rozwizania zadania .......................................................................................................... 1 pkt
obliczenie odlegoci punktu S od danej prostej6 7 3 4
4 1 5d
= =
+
albo
zapisanie dugoci odcinka PS: 2 2( 3) (2 10)PS x x= + .
Rozwizanie, w ktrym jest istotny postp ..................................................................... 2 pkt
Zapisanie ukad rwna, np. ( )22
2 3
4( 3) 75
y x
x y
=
+ =
7/30/2019 arkusz2klucz
24/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
24
Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania.....................................................................3 pkt
Zapisanie rwnania z jedn niewiadom, np. 05
4105465
2 =+ xx
albo5
4)102()3( 22 =+ xx .
Rozwizanie pene..............................................................................................................4 pkt
Obliczenie wsprzdnych punktu P stycznoci:23 31
,5 5
.
III sposb rozwizania
Punkt ( ),P x y= jest punktem stycznoci okrgu o rodku )7,3(=S i prostej 2 3y x= .
Zapisujemy ukad rwna:2 2 2( 3) ( 7)
2 3
x y r
y x
+ =
=
Przeksztacamy ukad rwna do rwnania kwadratowego z niewiadomx:2 2 2
( 3) (2 10)x x r + =
2 25 46 109 0x x r + = .Zapisujemy warunek 0 = , dla ktrego okrg ma jeden punkt wsplny z prost 2 3y x=
i obliczamy 2r :
264 20r = + , 220 64 0r = , 220 64r = , 264 16
20 5r = = .
Rozwizujemy rwnanie:
05
16109465
2 =+ xx
05
4
105465
2 =+xx
5
23=x .
Zatem punkt stycznoci ma wsprzdne:23 31
,5 5
P
=
.
Schemat oceniania III sposobu rozwizania
Rozwizanie, w ktrym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego
rozwizania zadania...........................................................................................................1 pkt
Zapisanie ukadu rwna i warunku pozwalajcego wyznaczy promie okrgu:2 2 2( 3) ( 7)
2 3
x y r
y x
+ = =
Rozwizanie, w ktrym jest istotny postp......................................................................2 pkt
Przeksztacenie ukadu do rwnania z jedn niewiadom 2 25 46 109 0x x r + = , zapisanie
warunku 0 = i obliczenie 2r : 216
5r = .
Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania.....................................................................3 pkt
Zapisanie rwnania kwadratowego, np. 05
4105465 2 =+ xx .
Rozwizanie pene..............................................................................................................4 pkt
Obliczenie wsprzdnych punktu stycznoci: 23 31,5 5
P =
.
7/30/2019 arkusz2klucz
25/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
25
Uwaga
Jeli zdajcy popeni bd rachunkowy, przeksztacajc ukad rwna do rwnaniakwadratowego, rozwiza to rwnanie i otrzyma dwa punkty stycznoci, to za cae
rozwizanie otrzymuje 2 punkty.
Zadanie 32. (05)
I sposb rozwizania
Niechx oznacza liczbdni wdrwki, y liczbkilometrw przebytych kadego dnia przez
turyst. Drogprzebytprzez turystopisujemy rwnaniem 112x y = .
Turysta moe przeznaczy na wdrwk o 3 dni wicej, idc kadego dnia o 12 km mniej,
wwczas zapisujemy rwnanie: ( ) ( )3 12 112x y+ = .
Zapisujemy ukad rwna, np.( ) ( )
112
3 12 112
x y
x y
=
+ =
Z pierwszego rwnania wyznaczamy
112y
x=
112x
y=
podstawiamy do drugiego rwnania i rozwizujemy
( )112
3 12 112xx
+ =
Przeksztacamy to rwnanie do rwnania
kwadratowego, np.2 3 28 0x x+ = .
29 112 121 11 = + = =
1
3 117
2x
= = sprzeczne z za. 0x >
2
3 114
2x
+= =
Obliczamyy:112
284
y = =
Odp.: Turysta przechodzi dziennie 28 km.
( )112
3 12 112y
y
+ =
Przeksztacamy to rwnanie do rwnania
kwadratowego, np. 2 12 448 0y y = 2144 1792 1936 44 = + = =
1
12 4416
2y
= = sprzeczne z za. 0y >
2
12 4428
2y
+= =
Odp.: Turysta przechodzi dziennie 28 km.
II sposb rozwizania
Niechx oznacza liczbdni wdrwki, y liczbkilometrw przebytych kadego dnia przez
turyst. Drogprzebytprzez turystopisujemy rwnaniem 112x y = .
Turysta moe przeznaczy na wdrwk o 3 dni wicej, idc kadego dnia o 12 km mniej,
wwczas zapisujemy rwnanie: ( ) ( )3 12 112x y+ = .
Zapisujemy ukad rwna, np.( ) ( )
112
3 12 112
x y
x y
=
+ =
Std otrzymujemy kolejno 11212 3 36 112
x yx y x y
= + =
Modelowanie matematyczne Rozwizanie zadania umieszczonego w kontekciepraktycznym, prowadzcego do rwnania kwadratowego
z jednniewiadom
7/30/2019 arkusz2klucz
26/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
26
112
112 12 3 36 112
x y
x y
=
+ =
112
12 3 36 0
x y
x y
=
+ =
W rwnaniu 12 3 36 0x y + = obie strony dzielimy przez ( )3 .Otrzymujemy 4 12 0x y + = , std wyznaczamy
4 12y x= + 13
4x y=
podstawiamy do rwnania pierwszego i rozwizujemy
( )4 12 112x x + = 24 12 112 0x x+ =
2 3 28 0x x+ = 29 112 121 11 = + = =
1
3 117
2x
= = sprzeczne z za. 0x >
2
3 114
2x
+= =
Obliczamyy: 4 4 12 28y = + =
Odp.: Turysta przechodzi dziennie 28 km.
13 112
4y y
=
21 3 112 04
y y =
2 12 448 0y y = 2144 1792 1936 44 = + = =
1
12 4416
2y
= = sprzeczne z za. 0y >
2
12 4428
2y
+= =
Odp.: Turysta przechodzi dziennie 28 km.
Schemat oceniania I i II sposobu rozwizania
Rozwizanie, w ktrym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego
rozwizania zadania ......................................................................................................... 1 pktZapisanie zalenoci midzy przebyt drog, liczb dni wdrwki oraz liczb kilometrw
przebytych kadego dnia przez turyst, np.:
( ) ( )3 12 112x y+ =
albo
112x y = .
Rozwizanie, w ktrym jest istotny postp .................................................................... 2 pktZapisanie ukadu rwna z niewiadomymix iy odpowiednio: liczbdni wdrwki i liczb
kilometrw przebytych kadego dnia przez turyst, np.
( ) ( )
112
3 12 112
x y
x y
=
+ =
Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania ................................................................... 3 pkt
Zapisanie rwnania z jednniewiadomx luby, np:
( )112
3 12 112xx
+ =
lub ( )
1123 12 112y
y
+ =
, lub ( )4 12 112x x + = ,
lub1
3 1124
y y
=
Uwaga
Zdajcy nie musi zapisywa
uk
adu rwna
, mo
e bezpo
rednio zapisa
rwnanie z jedn
niewiadom.
7/30/2019 arkusz2klucz
27/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
27
Rozwizanie zadania do koca lecz z usterkami, ktre jednak nie przekrelaj
poprawnoci rozwizania (np. bdy rachunkowe) ...................................................... 4 pkt
rozwizanie rwnania z niewiadomx bezbdnie i nie obliczenie liczby kilometrwprzebytych kadego dnia przez turyst
albo
rozwizanie rwnania z niewiadomx luby z bdem rachunkowym i konsekwentneobliczenie liczby kilometrw przebytych kadego dnia przez turyst.
Rozwizanie pene ........................................................................................................... 5 pkt
Obliczenie liczby kilometrw przebytych kadego dnia przez turyst: 28 km.
III sposb rozwizania
Niechx oznacza liczbdni wdrwki, y liczbkilometrw przebytych kadego dnia przezturyst. Liczb kilometrw przebytych kadego dnia przez turyst opisujemy rwnaniem
112y
x= .
Turysta moe przeznaczy na wdrwk o 3 dni wicej, idc kadego dnia o 12 km mniej,
wwczas zapisujemy rwnanie:112 112
123x x
= ++
.
Przeksztacamy to rwnanie do postaci2 3 28 0x x+ = .
Rozwizaniem rwnania s: 13 11
72
x
= = sprzeczne z zaoeniem 0x >
i 23 11
42
x +
= =
Obliczamyy:112
28
4
y = =
Schemat oceniania III sposobu rozwizania
Rozwizanie, w ktrym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego
rozwizania zadania ........................................................................................................ 1 pktPrzyjcie oznacze:x - liczba dni wdrwki,y liczba kilometrw przebytych kadego dnia
przez turysti zapisanie zalenoci, np.
112
yx
=
albo
112
123y x= ++ .
Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania .................................................................. 3 pkt
Zapisanie rwnania z jednniewiadom:112 112
123x x
= ++
.
Rozwizanie zadania do koca lecz z usterkami, ktre jednak nie przekrelaj
poprawnoci rozwizania (np. bdy rachunkowe) ...................................................... 4 pkt
rozwizanie rwnania z niewiadomx bezbdnie i nie obliczenie liczby kilometrwprzebytych kadego dnia przez turyst
albo
rozwizanie rwnania z niewiadom x bdem rachunkowym i konsekwentneobliczenie liczby kilometrw przebytych kadego dnia przez turyst, przy czymobliczona liczba kilometrw musi by wiksza od 12.
7/30/2019 arkusz2klucz
28/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
28
Rozwizanie pene ............................................................................................................ 5 pkt
Obliczenie liczby kilometrw przebytych kadego dnia przez turyst: 28 km.
Uwagi
1. Jeeli zdajcy porwnuje wielkoci rnych typw, to otrzymuje 0 punktw.
2. Jeeli zdajcy odgadnie liczbkilometrw przebytych kadego dnia przez turysti nieuzasadni, e jest to jedyne rozwizanie, to otrzymuje 1 punkt.
Zadanie 33. (04)
Rozwizanie
Trjkt ABK jest trjktem prostoktnym, zatem2
2 11
2AK
= +
. Std
2 5
4AK = .
Trjkt MAK jest trjktem prostoktnym, zatem
22 2 2 1 5 3
2 4 2MK MA AK
= + = + =
.
Analogicznie dla trjktw MEL i LGK obliczamy kwadraty dugoci bokw ML i KL:
2 2 3
2ML KL= = .
Poniewa2 2 2
ML KL MK= = , wic trjkt KLMjest rwnoboczny.
Zatem jego pole wyraa siwzorem
23
4
MKP = , std
3 3 32 34 8
P
= = .
Uwaga
Zdajcy nie musi oblicza kwadratw dugoci bokw ML i KL. Wystarczy, e korzystajc
z przystawania trjktw MAK,MEL , LGK uzasadni rwno bokw: ML KL MK= = .
Uycie i tworzenie strategii Wyznaczenie zwizkw miarowych w szecianie
LH G
FE
M
KD
A B
C
7/30/2019 arkusz2klucz
29/29
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
29
Schemat ocenianiaRozwizanie, w ktrym jest istotny postp ..................................................................... 2 pkt
Obliczenie kwadratu dugoci odcinka AK:2 5
4AK = .
Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania .................................................................... 3 pkt
obliczenie kwadratw dugoci lub dugoci bokw trjkta KLM:
2 2 2 3
2ML KL MK= = = lub
6
2ML KL MK= = = i na tym poprzestanie lub
dalej popeni bdy
albo
zauwaenie, e trjkt KLMjest rwnoboczny i obliczenie kwadratu dugoci jednego
z bokw tego trjkta, np.2 3
2MK = .
Rozwizanie pene ............................................................................................................. 4 pkt
Obliczenie pola trjkta KLM:
3
38P = .
UwagaAkceptujemy rozwizanie, w ktrym zdajcy przyjmuje, e dugo krawdzi szecianu jestoznaczona literl.