*O uoglnionych i empirycznych bayesowskich przedziaach ufnoci dla pewnych funkcji komponentw wariancyjnych w mieszanych modelach liniowych

Andrzej Michalski

Katedra Matematyki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocawiu

*Plan referatu

0. Literatura1. Wprowadzenie2. Sformuowanie problemu3. Bayesowskie przedziay ufnoci dla funkcji komponentw wariancyjnych4. Uoglnione przedziay ufnoci dla komponentw wariancyjnych 4.1 idea konstrukcji uoglnionych przedziaw ufnoci 4.2 przegld uoglnionych statystyk testowych 5. Porwnania przykady numeryczne 6. Wnioski

*Literatura

A. Michalski, BAYESIAN AND GENERALIZED CONFIDENCE INTERVALS ON VARIANCE RATIO AND ON THE VARIANCE COMPONENT IN MIXED LINEAR MODELS, Discussiones Mathematicae Probability and Statistics 29 (2009), 5-29.

B. Arendack, GENERALIZED CONFIDENCE INTERVALS ON THE VARIANCE COMPONENT IN MIXED LINEAR MODELS WITH TWO VARIANCE COMPONENTS, Statistics 39 (4) (2005), 275-286.

K.W. Tsui and S. Weerahandi, GENERALIZED P-VALUES IN SIGNIFICANCE TESTING OF HYPOTHESES IN THE PRESENCE OF NUISANCE PARAMETERS, J. Amer. Statist. Assoc. 84 (1989), 602-607.

S. Weerahandi, TESTING VARIANCE COMPONENTS IN MIXED LINEAR MODELS WITH GENERALIZED P-VALUES, J. Amer. Statist. Assoc. 86 (1991), 151-153.

5. S. Weerahandi, GENERALIZED CONFIDENCE INTERVALS, J. Amer. Statist. Assoc. 86 (1991), 151-153.

6. S. Weerahandi, EXACT STATISTICAL METHODS FOR DATA ANALYSIS, Springer-Verlag, New York 1995.

7. L. Zhou and T. Mathew, SOME TESTS FOR VARIANCE COMPONENTS USING GENERALIZED P-VALUES, Technometrics 36 (1994), 394-402.

*1. WprowadzenieRozwamy nastpujcy mieszany liniowy model normalny:

y - (nx1) wektor obserwacjiX - (nxq) rank(X) =sqX1 - (nxq1) rank(X1) =s1q1 - znane macierze ukadu - (qx1) wektor staych efektw1- (q1x1) wektor losowych efektw e - (nx1) wektor bdw losowych ~ N(0 , 2 In) nieskorelowanych z 1

*Rozwaamy estymatory kwadratowe yAy , ktre s niezmiennicze wzgldem grupy translacji g(y) = y +X ,tj. dla ktrych AX=0.

Jeli B jest (n-s)xn macierz: BB = In-s i BB = I XX+ , to t = By jest maksymalnym niezmiennikiem wzgldem grupy G translacji.Wwczas model dla t jest postaci:

Niech W = hi=1iEiEi bdzie spektraln dekompozycj macierzy W,gdzie 1 .> 2 > h-1 > h = 0, a i dla i=1,,h sa ich krotnociami.

Rozwaamy nastpujce statystyki Zi = tEi t/i dla i=1,h.

*Lemat (Olsen, Seely, Birkes, (1976)Ponadto,jest maksymaln niezmiennicz statystyk wzgldem grupy G. ~

*2. Sformuowanie problemuProblem przedziaowej estymacji komponentu wariancyjnego 12jest zwizany rwnie z testowaniem hipotez postaci:

Na og testy o dobrych wasnociach statystycznych (najmocniejsze lub lokalnie najlepsze) prowadz do przedziaw ufnoci o podanych wasnociach statystycznych na ustalonym poziomie ufnoci.Ze wzgldu na obecno w modelu parametru zakcajcego 2 niemoemy bezporednio w oparciu o statystyki testowe skonstruowa przedziau ufnoci dla 12 , std uytecznym staje si wprowadzenie idei uoglnionych p-wartoci prawd. i uoglnionych statystyk testowych.

*2. Bayesowskie przedziay ufnoci dla funkcji komponentw wariancyjnychDefinicja 2.1. Estymator yAy jest Bayesowskim niezmienniczym kwadratowym i nieobcionym (BIQU) estymatorem funkcji f wzgldem U =(uij)i.j=1.2 (lub wzgldem rozkadu a priori : E = U ), jeli Aminimalizuje Bayesowskie ryzyko Var(yAy) w klasie symetrycznych i dodatnio okrelonych macierzy speniajcych warunki: AX=0 i E(yAy)=f.Niech U bdzie klas macierzy U symetrycznych i dodatnio okrelonych o nieujemnych elementach. Wwczas klasa U moe by z dokadnoci do mnoenia przez sta scharakteryzowana przez dwa nieujemne parametry u, v tj.:

[Gnot and Kleffe (1983), Gnot (1991) ]

* BAYESOWSKIE ESTYMATORY PRZEDZIAOWE DLA UZYSKANE W OPARCIU O ESTYMATORY PUNKTOWE TYPU BIQUE (BEST INVARIANT QUADRATIC UNBIASED ESTIMATOR) Dla dowolnej funkcji klasa dopuszczalnych niezmienniczych kwadratowych nieobcionych estymatorww modelu dla k=2 pokrywa si z liniowymi kombinacjami statystyk Zi postaci:gdzielub

*KONSTRUKCJA DOKADNYCH PRZEDZIAW UFNOCI DLA na poziomie ufnoci 1-p wg algorytmu A1-5 : 1. WYBR ESTYMATORA BIQUE dla ze wzgldu na rozkad a priori na 2. WYZNACZENIE WARIANCJI ESTYMATORA 3. WYZNACZENIE DOKADNEGO ROZKADU PRAWD. ESTYMATORA

*dla ustalonego i dla kadego ( 0, ) otrzymujemy: 4. ZASTOSOWANIE ROZKADU FORM KWADRATOWYCH DO WYZNACZENIA

KWANTYLI ODPOWIEDNIO RZDU p1 i p2lub

*5. OPTYMALNY WYBR KWANTYLI A5.1.A5.2.dla kadego ustalonego

Ostatecznie, otrzymujemy (1-p)*100% przedzia ufnoci dla , ktry jest dobrym otoczeniem estymatora punktowego i zabezpiecza nas przed najgorszym scenariuszem:

*Posta explicite ROZKADU PRAWD. DOWOLNEJ FORMY KWADRATOWEJdla dowolnych i zostaa podana przez GIL-PELAEZ (1951) :gdzieALGORYTMY: IMHOF (1961); MARTYNOV (1975, 1977); DAVIS (1977); MICHALSKI (1990); Mathematica 4.0 i

*4. Uoglnione przedziay ufnoci dla komponentw wariancyjnych4.1. Idea konstrukcji uoglnionych przedziaw ufnoci TSUI & WEERAHANDI (1989), WEERAHANDI (1991, 1993) X ~ F(x, ) , gdzie = (, ) jest wektorem nieznanych parametrw podlega wnioskowaniu statystycznemu, jest wektorem parametrw zakcajcychROZWAMY HIPOTEZY : H0: 0 vs H1: > 0 i odpowiednie testy oparte o tzw. uoglnione p-VALUE.

*PROBLEM: Jak okresli obszar krytyczny na bazie statystyki testowej, ktrej rozkad nie zaley od parametrw zakcajcych?W TYM CELU ROZWAAMY FUNKCJE T(X, x, ) O WASNOCIACH: 1. zaobserwowana warto tobs = T(x, x, ) nie zaley od nieznanych parametrw

2. dla ustalonego , rozkad zmiennej losowej T nie zaley od dla x

3. dla ustalonego x i , Pr{ T t, } jest monotoniczn funkcj wzgldem dla t FUNKCJa T(X, x, ) SPENIAJCA WARUNKI 1 3 NAZYWANA JEST

UOGLNION ZMIENN TESTOW

I MOE BY ZASTOSOWANA DO OKRESLENIA OBSZARU KRYTYCZNEGO. = (, )

*Niech dla kadego ustalonego x i funkcja rozkadu prawd. T(X, x, (, ))

bdzie nierosnc funkcj ( tj. Pr{T(X, x, (, )) t} jest f. niemalejca )

Wwczas UOGLNIONA ZMIENNA TESTOWA T

nazywana jest STOCHASTYCZNIE ROSNAC ze wzgldu na ,

a UOGLNIONY OBSZAR KRYTYCZNY dla testowania hipotezy H0 jest postaci:C(x, ) = {X; T(X, x, ) T(x, x, )} a UOGLNIONA WARTO p ( p VALUE ) dla testowania ww hipotezjest wyraona przez:p(x) = supo Pr(X C(x, ) ) = supo Pr(T(X, x, (, ) tobs ) = = Pr(T(X, x, (0, ) tobs 0)

*MAJC UOGLNIONY OBSZAR KRYTYCZNY MOEMY OKRESLI FUNKCJ MOCY OPART O DANE (a data based power function):(x, ) = Pr(X C(x, (, )) ) dla ktrej zachodzi: (x, 0) =p(x)b) dla kadego ustalonego x (x, ) (dla dowolnego ) jest zmienn ~ R(0,1) c) dla kadego ustalonego x (x, ) jest monotoniczna funkcj Ze wzgldu na wasnoci b) i c) funkcja mocy moe by uyta do konstrukcji przedziau ufnoci dla . Dla dowolnych 1 , 2 (0 ,1) i danej zaobserwowanej wartoci x mamy:

Pr{ 1(x, )2}=1-pOstatecznnie, przez inwersj funkcji otrzymujemy (1-p)100% uoglniony przedzia ufnoci dla .

*4. Uoglnione przedziay ufnoci dla komponentw wariancyjnych4.2. Przegld uoglnionych statystyk testowychRozwamy nastpujce statystyki Ui i Si :dla i = 1,,h1. Dla h=2posiada wasnoci uoglnionej zmiennej testowej: tobs = u1/u2 nie zaley od nieznanych parametrw, jej rozkad jest niezaleny od parametru zakcajcego 2 a T jest stochastycznie rosnca wzgldem 12 .

*2. Dla h > 2(Zhou & Mathew (1994) )dla dowolnych ci > 0odp. testowi Walda1. odp. zmod. testowi Walda i oparta o Bayesowski est. 2. 3. odp. stat. testowej opartej o Bayesowski gran. est.

*4.Weerahandi (1995) dla mieszanego niezrwnowazonego modelu 1-kierunkowej klasyfikacji Wartoci funkcji mocy opartej o statystyk T1 obliczamy z nastpujcej nierwnoci :gdzie oznacza rozkad prawd. liniowej kombinacji niezalenych

zmiennych losowych , a jest f. gestoci dla t.j.:

*5. Porwnania przykady numeryczneMIESZANY MODEL 2-KIERUNKOWEJ KLASYFIKACJI [ Ex.2 , Michalski (2009)]

N macierz incydencji ukadu blokowegor = (4, 4, 4, 8, 48) ; n=68~

*WYNIKI SYMULACJI (LS=2000) DLA WARTOCI PARAMETRW { (0.1 , 10) , (0.5 , 2) , ( 1, 1 ) , (2, 0.5) , (5 , 0.2) } Tab.1. Prawdopodobiestwa pokrycia prawdziwej wartoci przez uoglnione przedziay ufnoci dla rnych statystyk testowych

*Tab.2. rednie dugoci uoglnionych przedziaw ufnoci dla rnych statystyk testowych

*Tab.3. Bayesowskie przedziay ufnoci na poziomie ufnoci 1-(p1+p2)=0.95 i ich dugoci l(p1, p2) dla wybranych par (u,v).

*6. WnioskiWyniki symulacji nie wykazuj, e obliczone prawdopodobiestwa pokrycia prawdziwych wartoci parametru 12 s mniejsze ni przyjty poziom ufnoci 1-p = 0.95

(ii) Naley zachowa ostrono przy wyborze uoglnionych statystyk testowych do konstrukcji przedziaw ufnoci np. statystyka testowa T1 daje mao stabilne rezultaty dla r. dugoci przedziaw ufnoci dla rnych par (12 , 2 ).

(iii) Statystyki T11/ i T2 daj zblione rezultaty i krtsze przedziay ufnoci jak ronie iloraz komponentw wariancyjnych w porwnaniu do statystyki Walda

(iv) Bayesowskie przedziay ufnoci stanowi istotn alternatyw dla uoglnionych przedziaw ufnoci dla rnych par (u,v) s krtsze i bardziej stabilne. Ponadto, wybr odp. wartoci kwantylowych pozwalajcych zachowa zadany poziom ufnoci, powinien by asymetryczny.

*

D z i k u j Szanownym Suchaczom za Uwag

Max

*