Analiza wielokryterialna

dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ

Instytut PolitechnicznyPaństwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Głogowie

k.patan@issi.uz.zgora.pl

Wprowadzenie

Wielokryterialny wybór wariantu – warianty oceniane są w różnychaspektach (cena, bezpieczeństwo, szkolenie, itd) w skali od 1 do 10(najlepsza ocena)

wariant kryt. 1 kryt. 2 kryt. 3 kryt. 4 kryt. 5w1 1 10 10 10 10w2 10 1 10 10 10w3 10 10 1 10 10w4 10 10 10 1 10w5 10 10 10 10 1w6 8 8 8 8 8

Optymalizacja wielokryterialna

x ∈ Q – decyzje dopuszczalne; wiele funkcji oceny decyzji

yi = fi(x)

Model w przestrzeni decyzji

max(f1(x), . . . , fm(x)) : x ∈ Q

Model w przestrzeni ocen

max y = (y1, . . . , ym) : y ∈ A

A = {y ∈ Y : y = f(x),x ∈ Q}

Przykład. Dwukryterialne zadanie ZPL

max{x2 − x1, x1 + x2}

x1 + x2 6 2, 2x1 + x2 6 8

2x1 − x2 > 4, x1, x2 > 0

Przykład. Zadanie programowania kwadratowego

max{9− x21 − x22, 2x1 + 2x2 + 1}

0 6 x1 6 2, 0 6 x2 6 2

zbiór dopuszczalny D – kwadrat o wierzchołkach (0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2)zbiór ocen osiągalnych A – niewypukłyzbiór ocen niezdominowanych N(A)

Systemy wspomagania decyzji opierają swoje działanie na modelach,które są wykorzystywane do wspomagania procesu wyboru warianturozwiązaniaPodział metod:wielokryterialne zadania liniowe: metody generowania wierzchołkówsprawnych lub wszystkich maksymalnych powierzchni sprawnych,korzystając ze szczególnych własności zadań liniowychwielokryterialne zadania liniowe: metody aproksymacji zbioru rozwiązańsprawnych oparte o metody niesympleksowemetody aproksymacji zbioru rozwiązań sprawnych zadań nieliniowych:metoda NISE, BAWD analogowe: fizyczne, graficzne

Zbiór rozwiązań sprawnych jest zazwyczaj zbyt liczny i tylko wniektórych sytuacjach powyższe metody generują rozwiązaniezadowalające

Metody wymagają dużych nakładów obliczeniowych

Zawężenie zbioru rozwiązań jest możliwe po uzyskaniu dodatkowejinformacji preferencyjnej od użytkownika

Podział metod analizy wielokryterialnej z dodatkowąinformacją preferencyjną

Metody deskryptywne

zakłada się istnienie stałych, istniejących a-priori preferencjiużytkownika zgodnych z określonym schematem lubparadygmatem podejmowania decyzji

Metody konstruktywne

metody wspomagające proces uczenia się preferencji użytkownika

Metody deskryptywne

Użytkownik wyraża swoje preferencje a-priori

Metody interaktywne proste

Metody interaktywne z modelem preferencji

Metody konstruktywne

Metoda punktu odniesienia

Metoda satysfakcjonujących współczynników wymiany

Interaktywna metoda wizualna

Metoda zawężania stożka z wizualną interakcją

Relacja dominacji

Mówimy, że wektor ocen y′ ∈ Y (racjonalnie) dominuje y′′ ∈ Y

(y′′jest (racjonalnie) dominowany przez y

′wtedy i tylko wtedy,

gdy y′ � y′′ dla wszystkich racjonalnych relacji preferencji

Jeżeli wektor ocen y′′jest (racjonalnie) dominowany przez y

′, to

może on być wyeliminowany z poszukiwań, ponieważ wszyscyracjonalni decydenci preferują y

′w stosunku do y

′′

Niezdominowane wektory ocen

Wektor ocen y ∈ A nazywamy (racjonalnie) niezdominowanymwtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje y

′ ∈ A taki, że y jestdominowany przez y

′

Wektor ocen y0 ∈ A jest wektorem niezdominowanym wtedytylko wtedy, gdy dla każdego y ∈ A istnieje racjonalna relacjapreferencji � taka, że nie zachodzi y � y0

Wystarczy wybierać wśród niezdominowanych wektorów ocen

Wektor ocen y0 ∈ A jest wektorem niezdominowanym wtedy itylko wtedy, gdy nie istnieje y ∈ A taki, że y > y0

Przykład

wektory dominowane wektory dominujące

wektory niezdominowane

Rozwiązanie efektywne, Pareto-optymalne

Wektor dopuszczalny x ∈ Q nazywamy rozwiązaniem efektywnym(Pareto–optymalnym, sprawnym) zadania wielokryterialnego wtedy itylko wtedy, gdy odpowiadający mu wektor ocen y = f(x) jestwektorem niezdominowanym

Wektor dopuszczalny x0 ∈ Q jest rozwiązaniem efektywnym zadaniawielokryterialnego wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje spójna, racjonalnarelacja preferencji � taka, że f(x0) � f(x) dla każdego x ∈ QWektor dopuszczalny x0 ∈ Q jest rozwiązaniem efektywnym zadaniawielokryterialnego wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje x ∈ Q taki, żef(x) > f(x0)

Rozwiązanie optymalne, a efektywne

Optymalizacja jednokryterialna

max f(x) : x ∈ Q

Wszystkie rozwiązania optymalne dają ten sam wynik

y∗ = f(x′) = f(x”)

Cel: Wyznaczyć dowolne rozwiązanie optymalne

Optymalizacja wielokryterialna

max{f1(x), . . . , fm(x) : x ∈ Q}

Różne rozwiązania efektywne generują wzajemnie porównywalnewektory ocenCel: Wyznaczyć wszystkie rozwiązania efektywne

Wektor utopii

Macierz realizacji celów – tablica wartości wszystkich funkcji ocenyotrzymanych podczas rozwiązywania poszczególnych problemówjednokryterialnych

K = (kij), i, j = 1, . . . ,m, kij = fi(xj)

gdzie xj – rozwiązanie optymalne jednokryterialnego zadania

max fj(x) : x ∈ Q

Wektor utopii yu – najlepsze wartości każdej funkcji oceny osobno,czyli

yui = kii = fi(xi)

Górne ograniczenie wszystkich osiągalnych wektorów ocen, tzn.

yu>= y ∀y ∈ A

Jest on zwykle nieosiągalnyGdyby istniał wektor dopuszczalny x0 ∈ Q taki, że f(x0) = yu, to x0byłby rozwiązaniem optymalnym zadania wielokryterialnego

Wektor nadiru

Wektor nadiru yn – najgorsze wartości dla każdej funkcji ocenyodnotowane podczas poszczególnych optymalizacji jednokryterialnych:

yni = min kij j = 1, ...,m⇒ yni = min fi(xj) j = 1, ...,m

Składowe wektora nadiru nie muszą wyrażać najgorszych wartościfunkcji oceny na całym zbiorze rozwiązań efektywnych

W przypadku dwóch ocen, wektor nadiru stanowi dolne ograniczeniewszystkich niezdominowanych wektorów ocen

yn<= y <= yu ∀y ∈ N(A)

gdzie N(A) – zbiór ocen niezdominowanych

W ogólnym przypadku (dla liczby ocen większej od 2) nie możnazagwarantować, że y <= y dla każdego niezdominowanego wektoraocen y ∈ A

Wektory utopii i nadiru

pierwsza ocena

y1 = [y11 y12]

druga ocena

y2 = [y21 y22]

wektor utopii

yu = [y11 y22]

wektor nadiru

yn = [y21 y12]

Przykład

Przeanalizujmy sześć wektorów ocen, gdzie wszystkie są niezdominowane:

[10 3 3] [3 10 3] [3 3 10] [1 8 8] [8 1 8] [8 8 1]

Macierz realizacji celów

kryterium 1 10 3 3kryterium 2 3 10 3kryterium 3 3 3 10

wektor utopii – [10 10 10]wektor nadir – [3 3 3]faktyczne dolne ograniczenie ocen niezdominowanych – [1 1 1]

Metoda NISE

NISE (ang. NonInferior Set Estimation)

Metoda iteracyjna pozwalająca na coraz dokładniejsze szacowaniecałego zbioru wektorów niezdominowanych

Szacowanie zbioru niezdominowanych wektorów ocen za pomocąsumy coraz mniejszych prostokątów

W przypadku wypukłych zadań dwukryterialnych pozwala naprecyzyjne szacowanie za pomocą sumy coraz mniejszych trójkątów

G – wektot utopii, N – wektor nadiruL, P – niezdominowane wektory ocen

W celu uściślenia oszacowania przeprowadza się minimalizacjęodległości od punktu G mierzonej w sensie ważonego maksimum

d(y) = max{w1(g1 − y1), w2(g2 − y2)}

z wagami odwrotnie proporcjonalnymi do odpowiednich bokówprostokąta

b = g1 − l1 i h = g2 − p2 czyli w1 =1bi w2 =

1h

Zauważmy, żed(L) = d(N) = d(P ) = 1

Minimalizacja odleglości wymaga rozwiązania zadania

min{z : bz > g1 − f1(x), hz > g2 − f2(x),x ∈ Q}

Niech z0 oznacza wartość optymalną tego zadania

Określamy V = (v1, v2) taki, że v1 = g1 − bz0 i v2 = g2 − hz0

Wszystkie wektory ocen o obu współrzędnych mniejszych odwspółrzędnych V są zdominowane

Brak osiągalnych wektorów o obu współrzędnych większych odwspółrzędnych V

Wniosek. Wszystkie niezdominowane wektory ocen znajdują się wsumie dwóch prostokątów: N1V G1L i V G2PN2

W kolejnej iteracji zawężamy obszar poszukiwań wybierająć większy zprostokątów N1V G1L i V G2PN2 i powtarzając całą analizę

Metoda NISE – przypadek wypukły

Coraz dokładniejsze przybliżanie zbioru niezdominowanego przezdzielenie trójkąta na dwa mniejsze

Początkowy trójkąt obejmuje cały zbiór niezdominowany

Początkowe przybliżenie zbioru niezdominowanego – odcinek LP

Trójkąt LPG – oszacowanie dokładności przybliżenia

Uściślenie oszacowania – problem optymalizacji odległości rozwiązaniaod punktu G (ważone maksimum)

max{w1y1, w2y2 : y1 6 f1(x), y2 6 f2(x),x ∈ Q}

z wagami w1 = l2 − p2 i w2 = −p1 − l1Niech O = (y01, y

02) oznacza rozwiązanie optymalne tego zadania

Wszystkie niezdominowane wektoryocen zawarte w ∆LPG muszą sięznaleźć między podstawą trójkąta,a warstwicą optymalną zawierajacąpunkt O

Wszystkie niezdominowane wektoryocen zawarte w ∆LPG muszą sięznaleźć w obszarze trapezu LPFE

Eliminując wektory ocendominowane przez odcinki LO iOP otrzymuje się oszacowanieniezdominowanych wektorów ocenw sumie dwóch trójkątów LOE iPFO

Uzyskujemy nowe przybliżenie zbioru niezdominowanego w postaci łamanejLOP

Oszacowanie dokładności – ∆LEO +∆PFO

Kontynuujemy przybliżanie wybierając trójkąt o większej wysokości ipowtarzając procedurę

Skalaryzacja

Definicja

Skalaryzacją zadania optymalizacji wielokryterialnej nazywa się zadanieoptymalizacji jednokryterialnej postaci

max{s (f1(x), f2(x), . . . , fm(x)) : x ∈ Q}

gdzie s : Rm → R jest funkcją skalaryzującą

Maksymalizacja funkcji skalaryzującej definiuje relację preferencji

y′ � y′′ ⇒ s(y′) � s(y′′)

Jeżeli funkcja skalaryzująca jest ściśle rosnąca po współrzędnych, tojej relacja preferencji jest ściśle monotoniczna i rozwiązanie optymalneskalaryzacji jest rozwiązaniem efektywnym zadania optymalizacjiwielokryterialnej

Skalaryzacja sumacyjnaSuma indywidualnych ocen

s(y) =∑i

yi

Rozwiązanie optymalne zadania skalaryzacji sumacyjnej

max

{m∑i=1

fi(x) : x ∈ Q}

Skalaryzacja ważonaWażona suma ocen

s(y) =∑i

wiyi

gdzie wagi wi są liczbami dodatnimiZwykle przyjmuje się wagi znormalizowane (

∑iwi = 1)

Rozwiązanie optymalne zadania skalaryzacji sumacyjnej

max

{m∑i=1

wifi(x) : x ∈ Q}

Skalaryzacja sumacyjnaSuma indywidualnych ocen

s(y) =∑i

yi

Rozwiązanie optymalne zadania skalaryzacji sumacyjnej

max

{m∑i=1

fi(x) : x ∈ Q}

Skalaryzacja ważonaWażona suma ocen

s(y) =∑i

wiyi

gdzie wagi wi są liczbami dodatnimiZwykle przyjmuje się wagi znormalizowane (

∑iwi = 1)

Rozwiązanie optymalne zadania skalaryzacji sumacyjnej

max

{m∑i=1

wifi(x) : x ∈ Q}

Skalaryzacja maksyminowa

Maksymalizacja najgorszej oceny

s(y) = miniyi

Zbiór rozwiązań optymalnych skalaryzacji maksyminowej

max{mini=1,...,m

fi(x) : x ∈ Q}

Maksiminowa skalaryzacja ważona

Maksymalizacja najgorszej ważonej oceny

s(y) = miniwiyi

Zbiór rozwiązań optymalnych maksiminowej skalaryzacji ważonej

max{mini=1,...,m

wifi(x) : x ∈ Q}

Skalaryzacja maksyminowa

Maksymalizacja najgorszej oceny

s(y) = miniyi

Zbiór rozwiązań optymalnych skalaryzacji maksyminowej

max{mini=1,...,m

fi(x) : x ∈ Q}

Maksiminowa skalaryzacja ważona

Maksymalizacja najgorszej ważonej oceny

s(y) = miniwiyi

Zbiór rozwiązań optymalnych maksiminowej skalaryzacji ważonej

max{mini=1,...,m

wifi(x) : x ∈ Q}

Przykład

Rozważmy problem wielokryterialnego wyboru wariantu. Każdy wariantzostał oceniony w pięciu różnych aspektach reprezentowanych przezkryteria o skali od 1 (najgorsza ocena) do 10 (najlepsza ocena)

wariant kryt. 1 kryt. 2 kryt. 3 kryt. 4 kryt. 5w1 1 10 10 10 10w2 10 1 10 10 10w3 10 10 1 10 10w4 10 10 10 1 10w5 10 10 10 10 1w6 8 8 8 8 8

Wszystkie wektory ocen są niezdominowane i mogą zostać uznane zanajlepsze przy odpowiednich preferencjach użytkownika

Przykład

Rozważmy problem wielokryterialnego wyboru wariantu. Każdy wariantzostał oceniony w pięciu różnych aspektach reprezentowanych przezkryteria o skali od 1 (najgorsza ocena) do 10 (najlepsza ocena)

wariant kryt. 1 kryt. 2 kryt. 3 kryt. 4 kryt. 5w1 1 10 10 10 10w2 10 1 10 10 10w3 10 10 1 10 10w4 10 10 10 1 10w5 10 10 10 10 1w6 8 8 8 8 8

Wszystkie wektory ocen są niezdominowane i mogą zostać uznane zanajlepsze przy odpowiednich preferencjach użytkownika

Skalaryzacja sumacyjna

sumując oceny uzyskujemy

max

{ 5∑i=1

fi(x) : x ∈ {w1, w2, w3, w4, w5, w6}}

max{41, 41, 41, 41, 41, 40} = 41

taki samwynik uzyskujemy dla wariantów w1, w2, w3, w4 i w5

nie można zdecydować który wariant jest najlepszy

Skalaryzacja ważona

załóżmy następującą ważność kryteriów f1–10%, f2–20%, f3–25%,f4–30%, f5–15%

stąd znormalizowane wagi: w1 = 0.1, w2 = 0.2, w3 = 0.25, w4 = 0.3 iw5 = 0.15

stosując skalaryzaję ważoną otrzymujemy

max

{ 5∑i=1

wifi(x) : x ∈ {w1, w2, w3, w4, w5, w6}}

max{9.1, 8.2, 7.75, 8.65, 8} = 9.1

najlepszy wynik uzyskał wariant w1

UWAGA. Bez względu na rozkład wartości wag wariant w6 nigdy niezostanie wskazany!

Skalaryzacja maksyminowa

obliczamy najgorsze oceny dla każdego wariantu

mini=1,...,5

fi(x) : x ∈ {w1, w2, w3, w4, w5, w6} =

= {1, 1, 1, 1, 1, 8}

obliczamy najlepsze rozwiązanie spośród najgorszych

max{1, 1, 1, 1, 1, 8} = 8

najlepszy wynik uzyskał wariant w6

Przykład. Dzielnik napięcia

Rozważmy dzielnik mnapięcia, gdzie napięcie żródła E i rezystancjaR0 > 0 są stałe, zaś rezystancja obciążenia R może być dobierana wzakresie [0,∞). Jak dobrać wartość R?

zmienna decyzyjna u = RR0

przestrzeń decyzyjna U = Rzbiór rozwiązań dopuszczalnych D = [0,∞)

Miary jakości1 Moc P wydzielana na oporze

P =E2u

R0(1 + u)2

2 Sprawność ηη =

u

1 + u

Wprowadzamy oznaczenia

Q1(u) = −P, Q2 = −η, Q = [Q1 Q2]

Podstawiając Q2 do Q1 otrzymujemy

Q1(u) =E2

R0Q2(u)(1 +Q2(u))

zmieniając u od 0 do ∞, Q1 zmienia się od 0 do −1, Q2 od 0 do −1zbiór ocen osiągalnych – Y ⇒ zakres zmienności zmiennej decyzyjnejUY = [1,∞)jeżeli energia jest tania wybierzemy R niewiele większe od R0 (bliskopunktu A)

jeżeli energia jest droga i bardziej zależy nam na sprawnościwybierzemy pracę blisko punktu B (duża wartość u)