Optymalizacja wielokryterialnaOptymalizacja wielokryterialna

Optymalizacja wielokryterialnaOptymalizacja wielokryterialna

Dział badań operacyjnych zajmujący się Dział badań operacyjnych zajmujący się wyznaczaniem optymalnej decyzji w wyznaczaniem optymalnej decyzji w przypadku, gdy występuje przypadku, gdy występuje więcej niż jedno więcej niż jedno kryteriumkryterium

Problem wielokryterialnyProblem wielokryterialny

ffkk((xx) → max (k = 1,...,s)) → max (k = 1,...,s)x x ∈∈ DD

gdzie: gdzie: xx –– dowolne rozwidowolne rozwiąązanie (decyzja)zanie (decyzja)ffkk((xx) ) –– funkcja celu zwifunkcja celu zwiąązana z kzana z k--tym tym

kryterium czkryterium cząąstkowymstkowymD D –– zbizbióór rozwir rozwiąązazańń (decyzji) (decyzji)

dopuszczalnych dopuszczalnych

Porządkowanie rozwiązań Porządkowanie rozwiązań –– celecele

Uporządkowanie zbioru elementów w myśl Uporządkowanie zbioru elementów w myśl przyjętych reguł klasyfikacyjnychprzyjętych reguł klasyfikacyjnychWyróżnienie możliwie najmniejszego Wyróżnienie możliwie najmniejszego podzbioru stanowiącego podstawę do podzbioru stanowiącego podstawę do dokonywania wyborówdokonywania wyborów

Przykład 1Przykład 1

Spośród 10 uczniów ocenianych z 3 Spośród 10 uczniów ocenianych z 3 przedmiotów: biologii (B), historii (H) przedmiotów: biologii (B), historii (H) i matematyki (M) należy wybrać ucznia i matematyki (M) należy wybrać ucznia najlepszego. najlepszego.

UU11 UU22 UU33 UU44 UU55 UU66 UU77 UU88 UU99 UU1010

BB 44 44 44 33 44 33 44 55 44 33

HH 44 33 55 55 44 55 33 55 33 44

MM 33 55 44 55 55 33 33 33 44 33

Przykład 1Przykład 1-- porównanie ocenporównanie ocen

U4 U8 U3 U5

U6 U1 U9

U10 U7

U2

Diagram Diagram HassegoHassego

Definicja:Definicja: graf skierowany H(X,R), gdzie graf skierowany H(X,R), gdzie X jest zbiorem porównywanych elementów, X jest zbiorem porównywanych elementów, a R jest relacją częściowego porządku, a R jest relacją częściowego porządku, określoną na elementach zbioru X w taki określoną na elementach zbioru X w taki sposób, że: sposób, że:

" " .uRw w lepsze od u⇔

Przykład 1 Przykład 1 –– porównanie średniejporównanie średniej

xxii „lepsze od” „lepsze od” xxjj ⇔⇔ ( ) ( )1 1

m m

r i r jr r

K x K x= =

>∑ ∑

U4 U8U3 U5

U6U1 U9

U10U7

U2

Przykład 1 Przykład 1 –– porównanie sumy ważonejporównanie sumy ważonej

U4

U8

U3

U5

U6

U1

U9

U10

U7

U2

Przedmiotom Przedmiotom przypisano wagi:przypisano wagi:1 1 –– historiahistoria2 2 –– biologiabiologia3 3 –– matematykamatematyka

( ) ( )1 1

m m

r r i r r jr r

K x K xα α= =

>∑ ∑

Przykład 1 Przykład 1 –– podsumowaniepodsumowanieUporządkowanie zależy od przyjętych kryteriówUporządkowanie zależy od przyjętych kryteriówKryteria chociaż podobne mogą prowadzić do Kryteria chociaż podobne mogą prowadzić do różnych wynikówróżnych wynikówKryteria szczegółowe (sformułowanie, wagi, itp.) Kryteria szczegółowe (sformułowanie, wagi, itp.) ustalane przez decydentaustalane przez decydentaKryteria nie są obiektywnym odbiciem Kryteria nie są obiektywnym odbiciem rzeczywistości, tylko odbiciem preferencji rzeczywistości, tylko odbiciem preferencji decydentadecydentaBrak odpowiedzi, które rozwiązanie jest Brak odpowiedzi, które rozwiązanie jest obiektywnie najlepszeobiektywnie najlepszeUporządkowania pokazują, które rozwiązanie jest Uporządkowania pokazują, które rozwiązanie jest najlepsze w sensie przyjętego kryterium najlepsze w sensie przyjętego kryterium

Przykład 2Przykład 2FiatFiatPandaPanda

Fiat Fiat SeicentoSeicento

Opel Opel AstraAstra

Renault Renault MeganeMegane

SeatSeatToledoToledo

SkodaSkodaFabiaFabia

Ford Ford FocusFocus

CenaCena 3535 2929 4545 4343 4040 3636 4545

SerwisSerwis dbdb dbdb bdbbdb dbdb dstdst dbdb bdbbdb

ZwrotnośćZwrotność 7,57,5 7,57,5 99 8,58,5 99 1010 99

PaliwoPaliwo bdbbdb dbdb dstdst dbdb dstdst dbdb dbdb

BagażnikBagażnik 200200 150150 250250 300300 250250 250250 300300

Przykład 2 Przykład 2 -- pytaniapytania

Jak porównywać kryteria ilościowe i Jak porównywać kryteria ilościowe i jakościowe?jakościowe?Jaka jest wrażliwość decydenta na różnice Jaka jest wrażliwość decydenta na różnice wartości kryteriów?wartości kryteriów?Czy dla wszystkich kryteriów istnieje taka Czy dla wszystkich kryteriów istnieje taka sama wartość progowa dla zmiany sama wartość progowa dla zmiany preferencji decydenta?preferencji decydenta?Czy w ocenie zróżnicowania jest pełna Czy w ocenie zróżnicowania jest pełna symetria?symetria?

Progi nierozróżnialnościProgi nierozróżnialności

Brak symetrii oznacza istnienie dwóch Brak symetrii oznacza istnienie dwóch progów nierozróżnialności.progów nierozróżnialności.Sformułowanie progów nierozróżnialności:Sformułowanie progów nierozróżnialności:–– decyzja Ddecyzja D11 jest lepsza od decyzji Djest lepsza od decyzji D22 w sensie w sensie

określonego kryterium, gdy wartość tego określonego kryterium, gdy wartość tego kryterium jest większa o p%,kryterium jest większa o p%,

–– decyzja Ddecyzja D33 jest gorsza od decyzji Djest gorsza od decyzji D2 2 (w sensie (w sensie tego samego kryterium), gdy wartość kryterium tego samego kryterium), gdy wartość kryterium jest mniejsza o q%.jest mniejsza o q%.

Przykład 3Przykład 3

Trzy decyzje DTrzy decyzje D11, D, D22 i Di D33 o wartościach o wartościach kryterium fkryterium f11=105, f=105, f22=100, f=100, f33=96=96p = 5 oraz q = 3p = 5 oraz q = 3DD1 1 jest lepsza od Djest lepsza od D22

DD2 2 nie jest lepsza od Dnie jest lepsza od D33, natomiast D, natomiast D33 jest jest gorsza od Dgorsza od D22

Przykład 4Przykład 4Przydzielanie kredytu Przydzielanie kredytu –– podejście 1podejście 1Na podstawie danych historycznych podzielić klientów na dwa Na podstawie danych historycznych podzielić klientów na dwa podzbiory „dobrych” i „niedobrych” kredytobiorcówpodzbiory „dobrych” i „niedobrych” kredytobiorcówWyznaczyć dla danego podzbioru wartości średnie i odchylenia Wyznaczyć dla danego podzbioru wartości średnie i odchylenia standardowe dla poszczególnych parametrów ekonomicznychstandardowe dla poszczególnych parametrów ekonomicznychPorównać wartości z nowego wniosku z otrzymanymi na podst. Porównać wartości z nowego wniosku z otrzymanymi na podst. danych historycznychdanych historycznychJeśli mieszczą się w przedziałach określonych dla klientów dobryJeśli mieszczą się w przedziałach określonych dla klientów dobrych, ch, to przydzielić kredyt to przydzielić kredyt –– warunek zgodności ze wzorcem pozytywnymwarunek zgodności ze wzorcem pozytywnymJeśli mieszczą się w przedziałach dla klientów niedobrych odrzucJeśli mieszczą się w przedziałach dla klientów niedobrych odrzucićićW przeciwnym przypadku przydzielić W przeciwnym przypadku przydzielić –– warunek niezgodności ze warunek niezgodności ze wzorcem negatywnym. wzorcem negatywnym.

Przykład 4 Przykład 4 cdcd..

Przydzielanie kredytu Przydzielanie kredytu –– podejście 2podejście 2Uporządkować klientów wg „pożądanych” wartości Uporządkować klientów wg „pożądanych” wartości parametrów opisujących klienta i utworzyć zbiór parametrów opisujących klienta i utworzyć zbiór „najlepszych”, stosując określone reguły porządkowania:„najlepszych”, stosując określone reguły porządkowania:–– jeżeli dla pary klientów r i v wartość kryterium i (Kjeżeli dla pary klientów r i v wartość kryterium i (Kriri) )

dla klienta r przewyższa wartość kryterium i (dla klienta r przewyższa wartość kryterium i (KKvivi) dla ) dla klienta v o pewną zadaną wartość dklienta v o pewną zadaną wartość dii, to przyjmuje się, , to przyjmuje się, że klient r jest lepszy od klienta v w sensie kryterium iże klient r jest lepszy od klienta v w sensie kryterium i

–– zlicza się dla ilu kryteriów spośród m klient r jest zlicza się dla ilu kryteriów spośród m klient r jest lepszy od klienta v, wartość oznaczona przez l(r,v)lepszy od klienta v, wartość oznaczona przez l(r,v)

–– zlicza się dla ilu kryteriów r jest gorszy od v i oznacza zlicza się dla ilu kryteriów r jest gorszy od v i oznacza się przez g(r,v)się przez g(r,v)

–– klient r jest lepszy od klienta v jeśli l(r,v) > g(r,v) klient r jest lepszy od klienta v jeśli l(r,v) > g(r,v)

Zgodność kryteriówZgodność kryteriów

Dla dwóch kryteriów KDla dwóch kryteriów K11 i Ki K22 oraz dla dwóch oraz dla dwóch dowolnych decyzji xdowolnych decyzji x11 i xi x22::–– kryteria są zgodne jeślikryteria są zgodne jeśli

–– kryteria są niezgodne jeślikryteria są niezgodne jeśli

–– kryteria są przeciwstawne jeśli

( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 1 1 2 2 1 2 2,x x D

K x K x K x K x∈

≤ ⇒ ≤∀

( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 1 1 2 2 1 2 2,x x D

K x K x K x K x∈

≤ ⇒ ≥∃kryteria są przeciwstawne jeśli

( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 1 1 2 2 1 2 2,x x D

K x K x K x K x∈

≤ ⇒ ≥∀

Rozwiązania sprawneRozwiązania sprawne

Rozwiązaniem optymalnym w sensie Rozwiązaniem optymalnym w sensie Pareto Pareto nazywamy takie rozwiązanie nazywamy takie rozwiązanie x’x’∈∈D, D, żże nie e nie istnieje istnieje żżadne inne rozwiadne inne rozwiąązanie zanie xx ∈∈D dajD dająące ce poprawpoprawęę wartowartośści chociaci chociażż jednej funkcji jednej funkcji celu, nie powodujcelu, nie powodująąc pogorszenia wartoc pogorszenia wartośści ci innych funkcji celu. Rozwiinnych funkcji celu. Rozwiąązanie zanie optymalne w sensie optymalne w sensie Pareto Pareto nazywane jest nazywane jest rróówniewnieżż rozwirozwiąązaniem sprawnym lub zaniem sprawnym lub efektywnym.efektywnym.

Rozwiązania kompromisoweRozwiązania kompromisowe

Jedno rozwiązanie optymalne w sensie Jedno rozwiązanie optymalne w sensie Pareto Pareto występuje tylko wtedy, gdy wszystkie optima występuje tylko wtedy, gdy wszystkie optima cząstkowe znajdują się w tym samym punkcie, jest cząstkowe znajdują się w tym samym punkcie, jest to wtedy również rozwiązanie optymalne całego to wtedy również rozwiązanie optymalne całego problemuproblemuNa ogół rozwiązań Na ogół rozwiązań ParetoPareto--optymalnych jest wiele, optymalnych jest wiele, w skrajnym przypadku każde rozwiązanie może w skrajnym przypadku każde rozwiązanie może być rozwiązaniem sprawnymbyć rozwiązaniem sprawnymPytanie: Jak spośród wielu rozwiązań sprawnych Pytanie: Jak spośród wielu rozwiązań sprawnych wybrać jedno rozwiązanie, tzw. wybrać jedno rozwiązanie, tzw. rozwiązanie rozwiązanie kompromisowekompromisowe??

MetodyMetody

MetakryteriumMetakryteriumKryterium główne i kryteria drugorzędneKryterium główne i kryteria drugorzędneŚcisła hierarchia celówŚcisła hierarchia celówMinimalizacja odległości od punktu Minimalizacja odległości od punktu idealnegoidealnego

MetakryteriumMetakryteriumFunkcja określona na kryteriach cząstkowych, Funkcja określona na kryteriach cząstkowych, podająca użyteczność poszczególnych decyzji dla podająca użyteczność poszczególnych decyzji dla decydenta:decydenta:

Najprostsze Najprostsze metakryterium metakryterium –– suma ważonasuma ważona

Rozwiązanie zadania sprowadza się do znalezienia Rozwiązanie zadania sprowadza się do znalezienia w zbiorze rozwiązań dopuszczalnych decyzji w zbiorze rozwiązań dopuszczalnych decyzji najlepszej w sensie najlepszej w sensie metakryterium metakryterium uu((xx). Decyzja ). Decyzja najlepsza w sensie najlepsza w sensie uu((xx) jest poszukiwaną decyzją ) jest poszukiwaną decyzją kompromisową. kompromisową.

( ) ( ) ( ) ( )1 2x x , x , , xsu u f f f⎡ ⎤= ⎣ ⎦…

( ) ( )1

x xs

k kk

u w f=

= ∑

Kryterium główne i kryteria drugorzędneKryterium główne i kryteria drugorzędneGdy dla decydenta jedno kryterium jest zasadnicze (główne), a Gdy dla decydenta jedno kryterium jest zasadnicze (główne), a pozostałe mniej istotne (drugorzędne). Poszukiwane jest wtedy pozostałe mniej istotne (drugorzędne). Poszukiwane jest wtedy rozwiązanie najlepsze ze względu na kryterium główne, rozwiązanie najlepsze ze względu na kryterium główne, jednocześnie zapewniające określony poziom realizacji jednocześnie zapewniające określony poziom realizacji kryteriów drugorzędnych.kryteriów drugorzędnych.Wyznaczanie decyzji kompromisowej sprowadza się do Wyznaczanie decyzji kompromisowej sprowadza się do rozwiązania zadania:rozwiązania zadania:

gdzie gdzie ff11 –– kryterium główne,kryterium główne,ppkk –– zadowalający poziom realizacji zadowalający poziom realizacji kk--tego kryterium tego kryterium

drugorzędnego

( )( )

1 maxdla 2, ,k k

ff p k s

D

→⎧⎪ ≥ =⎨⎪ ∈⎩

xx

x…

drugorzędnego

Ścisła hierarchia celówŚcisła hierarchia celów

Uporządkowanie wszystkich kryteriów malejąco Uporządkowanie wszystkich kryteriów malejąco od najważniejszego. Przy wyznaczaniu od najważniejszego. Przy wyznaczaniu rozwiązania kompromisowego, nie można rozwiązania kompromisowego, nie można przekroczyć ustalonego odstępstwa od przekroczyć ustalonego odstępstwa od maksymalnych wartości poszczególnych maksymalnych wartości poszczególnych kryteriów.kryteriów.Wyznaczanie decyzji kompromisowej polega na Wyznaczanie decyzji kompromisowej polega na rozwiązaniu ciągu zadań pomocniczych rozwiązaniu ciągu zadań pomocniczych LLkk((k=k=1,..., 1,..., ss). Rozwiązanie końcowego zadania ). Rozwiązanie końcowego zadania LLss, , wyznacza decyzję kompromisową zadania wyznacza decyzję kompromisową zadania wielokryterialnego. wielokryterialnego.

Ścisła hierarchia celów Ścisła hierarchia celów cdcd..

Zadanie pomocnicze Zadanie pomocnicze LLkk

przy założeniu, że kryterium o niższym indeksie jest ważniejsze przy założeniu, że kryterium o niższym indeksie jest ważniejsze od od kryterium o wyższym indeksie, a współczynnik odstępstwa dla danekryterium o wyższym indeksie, a współczynnik odstępstwa dla danego go kryterium oznaczono przez kryterium oznaczono przez ddkk (0 (0 ≤≤ ddkk ≤≤ 1 dla 1 dla k = k = 1,1,……,s,s--11).

( ){ }

( ){ }( ){ }( ){ }

1 1 1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

max :

gdziedla 1,

: dla 2, , ,

max : ,

min : ,

.

k k

k

k k k k k k

k k k

k k k

k k k

f D

D D kD D f x M d t k s

M f D

m f D

t M m

− − − − −

− − −

− − −

− − −

∈

= == ∈ ∧ ≥ − =

= ∈

= ∈

= −

x x

x x

x x

x x

…

).

Minimalizacja odległości od punktu idealnegoMinimalizacja odległości od punktu idealnego

W przypadku, gdy nie ma żadnych preferencji dla W przypadku, gdy nie ma żadnych preferencji dla poszczególnych kryteriów cząstkowych, jako rozwiązanie poszczególnych kryteriów cząstkowych, jako rozwiązanie kompromisowe wybiera się punkt leżący najbliżej punktu kompromisowe wybiera się punkt leżący najbliżej punktu idealnego.idealnego.Punkt nazywamy Punkt nazywamy punktem idealnympunktem idealnym w w przestrzeni wyników, natomiast punkt przestrzeni wyników, natomiast punkt nazywamy nazywamy punktem idealnympunktem idealnym w przestrzeni rozwiązań o ile w przestrzeni rozwiązań o ile

Jeżeli , to jest rozwiązaniem optymalnym. Jeżeli Jeżeli , to jest rozwiązaniem optymalnym. Jeżeli natomiast lub nie istnieje, to szukamy takiego punknatomiast lub nie istnieje, to szukamy takiego punktu tu xx’’∈∈DD, aby punkt le, aby punkt leżżaałł jak najblijak najbliżżej punktu ej punktu idealnego , gdzie idealnego , gdzie dla dla k k = 1,...,= 1,...,ss..

[ ]1, , sz z=z …[ ]1, , nx x=x …

( ) ( ){ }max : dla 1, , .k k kz f f D k s= = ∈ =x x x …D∈x x

D∉x[ ]1, , sz z′ ′ ′=z …

( )k kf′ ′=z xz

Min. Min. odlodl. od punktu idealnego . od punktu idealnego –– cdcd..

Gdy każde jest dodatnie, to punkt Gdy każde jest dodatnie, to punkt xx wyznaczamy wyznaczamy rozwiązując pomocnicze zadanie:rozwiązując pomocnicze zadanie:

gdzie gdzie yy –– minimalny stopień realizacji celów cząstkowych.minimalny stopień realizacji celów cząstkowych.

kz

( ) ( )max

0 1, ,k k

yf z k s

D

→⎧⎪ − ≥ =⎨⎪ ∈⎩

xx

…

Min. Min. odlodl. od punktu idealnego . od punktu idealnego –– cdcd..Gdy jest ujemne lub zerowe (co najmniej jedno kryterium z Gdy jest ujemne lub zerowe (co najmniej jedno kryterium z minimalizacją funkcji kryterialnej), to wprowadzając minimalizacją funkcji kryterialnej), to wprowadzając współczynnik odchylenia w realizacji współczynnik odchylenia w realizacji kk--tego kryterium tego kryterium cząstkowego przez decyzję cząstkowego przez decyzję xx::

gdzie gdzie mmkk = min{= min{ffkk((xx): ): xx∈∈DD}.}.Rozwiązuje się wówczas zadanieRozwiązuje się wówczas zadanie

gdzie gdzie ww –– zmienna pomocnicza określająca maksymalne zmienna pomocnicza określająca maksymalne względne odstępstwo od optymalnej wartości kryterium.względne odstępstwo od optymalnej wartości kryterium.

kz

( ) ( )min

1, ,k

wd w k s

D

→⎧⎪ ≤ =⎨⎪ ∈⎩

xx

…

( ) ( )k kk

k k

z fd

z m−

=−

xx