Analiza matematyczna II

Lista 3

III. Dyfeomorfizmy. Twierdzenie o lokalnym odwracaniu odwzorowan.

Definicja. Niech U ⊂ Rk b ↪edzie zbiorem otwartym. Powiemy, ze odwzorowanie f : U → Rm gdzie k ≤ m, klasy C1 jest

dyfeomorfizmem, jesli:

(a) jest roznowartosciowe,

(b) jest nieosobliwe,

(c) odwzorowanie odwrotne f−1 : f(U)→ Rk jest ci ↪ag le.

Twierdzenie. (o lokalnym odwracaniu odwzorowan) Niech U ⊂ Rk b ↪edzie otwartym otoczeniem punktu x0 oraz niech

f : U → Rk, b ↪edzie odwzorowaniem klasy C1. Wowczas, jesli f jest osobliwe w punkcie x0, to

(a) f(U) jest otoczeniem punktu f(x0),

(b) odwzorowanie f zaw ↪ezone do pewnego otoczenia punktu x0 jest roznowartosciowe.

Twierdzenie. Jesli U ⊂ Rk jest zbiorem otwartym oraz odwzorowanie f : U → Rk jest dyfeomorfizmem, to zbior f(U)

jest otwarty, odwzorowanie f−1 : f(U) → Rk jest klasy C1 oraz dla dowolnego w ∈ f(U) mamy Df−1(w) = Df(u)−1

gdzie w = f(u).

Zadanie III.1 (dyfeomorfizm biegunowy)

Niech f : U → R2 gdzie U = {(r, α) ∈ R2 | r > 0, −π < α < π} b ↪edzie odwzorowaniem danym wzorem

f(r, α) = (r cosα, r sinα) dla (r, α) ∈ U.

Pokazac, ze f jest dyfeomorfizmem.

Zadanie III.2 (dyfeomorfizm walcowy)

Niech f : U → R3 gdzie U = {(r, α, β) ∈ R3 | r > 0, −π < α < π} b ↪edzie odwzorowaniem danym wzorem

f(r, α, z) = (r cosα, r sinα, z) dla (r, α, z) ∈ U.

Pokazac, ze f jest dyfeomorfizmem.

Zadanie III.3 (dyfeomorfizm sferyczny)

Niech f : U → R3 gdzie U = {(r, α, β) ∈ R3 | r > 0, −π < α < π, −π2 < β < π2 } b ↪edzie odwzorowaniem danym wzorem

f(r, α, β) = (r cosβ cosα, r cosβ sinα, r sinβ) dla (r, α, β) ∈ U.

Pokazac, ze f jest dyfeomorfizmem.

Zadanie III.4 (inwersja lub odbicie wzgl ↪edem okr ↪egu)

Niech f : Rk \ {0} → Rk b ↪edzie odwzorowaniem danym wzorem

f(x) = |x|−2x dla x ∈ Rk \ {0}.

Pokazac, ze f jest dyfeomorfizmem.

Zadanie III.5 Niech ϕ : (−2π, 1)→ R2 b ↪edzie odwzorowaniem danym wzorem

ϕ(t) =

{(cos t, sin t) dla − 2π < t < 0

(1, t) dla 0 ≤ t < 1.

1

Narysowac przeciwdziedzin ↪e odwzorowania ϕ oraz wykazac, ze ma ono wszystkie w lasnosci wyst ↪epuj ↪ace w definicji dyfe-

omorfizmu, z wyj ↪atkiem ci ↪ag losci ϕ−1.

Zadanie III.6 Niech f : R2 → R2 b ↪edzie dane wzorem

f(u, v) = (eu+v + eu−v, eu+v − eu−v) dla (u, v) ∈ R2.

Znalezc f(R2) oraz zbadac, czy f jest dyfeomorfizmem.

Zadanie III.7 Niech f : R2 → R2 dana b ↪edzie wzorem f(x, y) := (x2 − y2, xy).

(a) Czy f jest odwracalna?

(b) Co mozna powiedziec o odwracalnosci lokalnej woko l (0, 0), (−2,−3) i (2, 3)?

(c) Wyznaczyc pochodne (lokalnych) funkcji odwrotnych woko l tych punktow (o ile istniej ↪a).

Zadanie III.8 Znalezc dyfeomorfizm pewnego przedzia lu otwartego P ⊂ R2 na obszar U ⊂ R2 dany jako:

(a) U = {(x, y) ∈ R2 | 1 < x2 + y2 < 4, 0 < x < y < 2x},(b) U = {(x, y) ∈ R2 | y2 < x < 2y2 < 4, 2x2 < y < 3x2},(c) U = {(x, y) ∈ R2 | 0 < x, 0 < y < x2},(d) U = {(x, y) ∈ R2 |

(xa

)2+(yb

)2< 1} \ {(x, y) ∈ R2 | x ≤ 0, y = 0},

(e) U = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ U, f(x) < y < g(x)}, gdzie f, g : U → R s ↪a funkcjami klasy C1 okreslonymi na przedziale

otwartym U oraz f(x) < g(x) dla x ∈ U .

Zadanie III.9 Znalezc przeciwobraz zbioru {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 − x < 0} przy dyfeomorfizmie f : U → R2 gdzie

U = {(r, α) | r > 0, −π < α < π} oraz f(r, α) = (r cosα, r sinα) dla (r, α) ∈ U .

Zadanie III.10 Znalezc macierz rozniczki odwzorowania odwrotnego do dyfeomorfizmu sferycznego.

Zadanie III.11 Znalezc dyfeomorfizm z danego przedzia lu otwartego P ⊂ Rn na Rn.

Zadanie III.12 Wykazac, ze odwzorowanie f : Rk → Rk dane wzorem

f(x) =x

1 + |x|dla x ∈ Rk

jest dyfeomorfizmem i przekszta lca ono przestrzen Rk na kul ↪e {y ∈ Rk | |y| < 1}.

Zadanie III.13 Niech f : U → Rn b ↪edzie odwzorowaniem klasy C1, gdzie U ⊂ Rk jest otwartym otoczeniem punktu

x0 ∈ Rk. Wykazac, ze jesli f jest nieosobliwe w punkcie x0, to f zaw ↪ezone do pewnego otoczenia tego punktu jest

dyfeomorfizmem.

Zadanie III.14 Niech f : U → Rn b ↪edzie odwzorowaniem klasy C1, gdzie U ⊂ Rk jest otwartym otoczeniem punktu

x0 ∈ Rk. Wykazac, ze jesli rz ↪ad pochodnej df(x0) wynosi m, to f(U) jest otoczeniem punktu f(x0).

Zadanie III.15 Znalezc wszystkie odwzorowania rozniczkowalne f : R2 → R spe lniaj ↪ace warunek

a1∂f

∂x(x, y) + a2

∂f

∂y(x, y) = g(x, y) dla (x, y) ∈ R2,

gdzie g : R2 → R jest danym odwzorowaniem ci ↪ag lym, zas a1, a2 s ↪a danymi liczbami rzeczywistymi nie znikaj ↪acymi

jednoczesnie.

Zadanie III.16 Niech g : Rk → Rk b ↪edzie odwzorowaniem rozniczkowalnym, dla ktorego istnieje liczba 0 < L < 1 taka,

ze ‖dg(x)‖ ≤ L dla x ∈ Rk. Wykazac, ze odwzorowanie f : Rk → Rk dane wzorem f(x) = x− g(x) jest roznowartosciowe,

f(Rk) = Rk oraz f−1 jest rozniczkowalne.

2