สมการการแปลงพิกัด
description
Transcript of สมการการแปลงพิกัด
��
������������ �� ����������������� ��� ������ �������������������� ����������������� ������������������������������!�"#������������ ��������������$� ����� ������ �����!���%���&������ ��'���������(# �$�����)���#� ����������*�"�$������ #(+���� $ � �,(� �#-� �� �����!���%���&����.������������/0�����,� �� ����� �����!���%���"����������������� �1/0�$�� ��$��(# �$�����)���#� ����������*�"�$���."���.�#� ���$�� �!��� �������������
��� �- �%�����$��������*.0�2���+0��� ������������ ��'�������� ���� ����������� � �yxPP ,� ����� �����������������!�"#����!.���������!��� � ��,rPP � ���*.0���������*�"�$���.(# �$�����)���(+��
�
������������� ������������������������������������������ �!�
�
� � � � ����
�
�
��
sincos
ry
rx ������� � � � � ����
��+������ � � ���
��
�
��
��
��
xy
yxr
arctan
22
�� � � � � ����
��� #(+��� �$�� ��324��� $ � �,� �� �����!���%��������������� �������+0��� *� �(� � r ������ �
���������������!�"#����� �$�� ��3'4��5��6�����* ��������(+��$� ����� �� �� �����!���%������
y
x �
� �yxP , ��
��
��
�������������!�"#���*.0$�� �*�"�$���.(# �$���������+�� � �$�� ���.#���������6�� �������������#� �����������'�����*.0�� ������
� ��� �- ��������� ������ ��'������1/0���-.�."��6������������.#���(+������������������
������������� ����.�%��� ������#����������%�����������������6��%�*#��!5�� ��*.������������������������*.0�'���� ����� �� $�� �!��� ����������� ������������/0������.������������/0����+0�*� ��� �������������������������%�� ���%�!�����������������
�
�������"������#$���$�#%������ $�&'������������������������������������
(�)�������������*����'���� +���,��'��� �
�
� ����*.0�'���� �����!���%����������������������(+�� � �yxPP ,� ��� ������
� � � � ����
�
�
��
sincos
ry
rx � � � � � � ����
$� �������������������� �����!���%�����(+� � �YXPP ,� ��� ������ � � �
� � � � �� ��
��
����
����
������������
sincoscossinsinsinsincoscoscos
rrrY
rrrX � � � 374�
�����"���� ����!���%�� � �YXP , ����*��!������������������ ��*�(� $�� ��384����374��� ������
���
���
��
����
cossinsincosyxY
yxX �
��+0��!.������������1)������
� � � � ������� ��
���
���
���
�
���
�
���
�
y
x
Y
X
����
cossinsincos
� � � � �����
r�
�
�
� �� �YX
yxP
,,
�
��
��
��
��
��� #(+���� $ � �,� �� �����!���%�� � �YXP , �����������������*.0�.� ���%�*#��!5���6��%��� ������
!�����!���� ������ � �yxP , ����������������������
� ��* ���������� ��� *� ��� �����!���%�� � �YXP , �����������������*.0�.� ���%�*#��!5���6��%��� ��� �5$ � �,(� �#-�� �����!���%�� � �yxP , ������� �$�� ��394�$���������
��
���
�
���
����
cossinsincos �
��*.0�� ���6�������1)������: ��� 0det �� ����.�#� ��������������� ��������� ������ �������1/0��.������1);�;��(+���
� � ��
���
� �
����
����
�� cossinsincos
cossin1
221 �
� � � � �� ��
���
� ��
����
cossinsincos �
��+0��� � 1�� �(�-*�"�$��!� �!��$�� ��394�������
� � � � ��� ��
���
���
���
� ���
�
���
�
Y
X
y
x
����
cossinsincos � � � � ����
$�� ��3<4�$� ����� �� �����!���%� � �yxP , ��������������������������!������� ����!���%�� � �YXP , �
����������������*.0�.� ���%���
� $� ������������� ������=����8������$������*.0�.�%��� ������#�����(+�����������������������
�������������+0���%������������������*.�������������������.���>-�������*.0�8���� ����� �� $�� �!��� ����������� ������������/0������.������������/0����*.0�."� ��� ���#�.� �����(+������()������!���#�����)� r� ���� ������ �&����.(# �%�� �� ����� $ � �,���������)� �� �� �(�-����%��� ������ ���� !���#�����)�1/0��� ������ �cosBABA
������ ���+0��� ���6��%����#� ��#�����)*�"�$��*.0�.
�%����0������.#������ $ � �,� $�� �!��� ����������������+0�*� ��� �������������������������%�� ���%�!����������������*.��������������������
�
�������-������#$���$�#%������ $�&'��.����������� xyz �������������� XYZ �/0����&'��%������������
�
� ���� r� �����R����6��#�����)����� �����!���%������&���$���������������������������������
� ��� ������+0��� ��%������� #��6��%���.#������.������� ��#�����*.0����� ������������"��� Rr��
� ����+���
� � � � ����� kzjyixKZJYIX ˆˆˆˆˆˆ ����� � � � � ����
��*.0� � �kji ˆ,ˆ,ˆ ����� � �KJI ˆ,ˆ,ˆ ���6��#�����)���#����������������������������������������������������� ��� ������� ���(# �����*.0#� $� �����#�����)�V
����&�3���$���)��6����?@�����4��
�
� � � � � �KKVJJVIIVV ˆˆˆˆˆˆ ����������
�
�*�(� � jiV ˆ,ˆ��
����� k ����+0���.�� ��� �������#������
� � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � ��
�
��
�
������
������
������
KKkJJkIIkk
KKjJJjIIjj
KKiJJiIIii
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
� � � � ����
�*�(� $�� ��3A4������3B4�������
� � � � � �� �� � � � � �� �� � � � � �� �KKkJJkIIkz
KKjJJjIIjy
KKiJJiIIixKZJYIX
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
������
������
��������
�
��� ��*.�$�����$�*�C!��� KJI ˆ,ˆ,ˆ �������
� �� �ZYX
zyxP
,,,,
Rr��,
z
X
Y
Z
i K
k
I J j
x
y
� � � � � �� � � � � �� � � � � ��
�
��
�
������
������
������
zKkyKjxKiZ
zJkyJjxJiY
zIkyIjxIiX
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
�
��+���+0��!.������������1)�
� � � ����
�
�
���
�
�
���
�
�
���
�
�
���
���
���
�
���
�
�
���
�
�
z
y
x
KkKjKi
JkJjJi
IkIjIi
Z
Y
X
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
� � � � 3D4�
��+0�(# �$��#���� ���$�E���>-)� jkl ���+0�� 3,2,1, �kj ��*��� ������������������ ���� �� �� ���� ��
!���������������������*.����������������������� ��� ������#�� ������ � �� � �cos11ˆˆ11 ��� iIl ���*.0�
� ���6��%����#� ���������������������+�� � �� � �cos11ˆˆ12 ��� jIl ���*.0�� ���6��%����#� �����������
����������+�� � �� � �cos11ˆˆ21 ��� iJl ���*.0�� ���6��%����#� ��������������������6�����
�
� �����"�����5�#� � kjll kjjk ,, �� ���*.0� kj � �
���$�� ��3D4�$ � �,�!.������6���
���
�
�
���
�
�
���
�
�
���
�
�
�
���
�
�
���
�
�
z
y
x
lll
lll
lll
Z
Y
X
333231
232221
131211
�
� $� ����� ���������������������������$ � �,*� �����*� �����.#��������� �- �#�����)�V����&�$ � �,�!.����#� �
� � � � � �kkVjjViiVV ˆˆˆˆˆˆ ����������
�
�*�(� � JIV ˆ,ˆ��
����� K ����+0���.�� ��� ������#�������
� � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � ��
�
��
�
������
������
������
kkKjjKiiKK
kkJjjJiiJJ
kkIjjIiiII
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
� � � � 32F4�
�*�(� $�� ��32F4������3B4����#�*.�$�����$�*�C!��� kji ˆ,ˆ,ˆ �������
� � � � � �� � � � � �� � � � � ��
�
��
�
������
������
������
ZkKYkJXkIz
ZjKYjJXjIy
ZiKYiJXiIx
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
�
�
��+���+0��!.������������1)�
� � � � ����
�
�
���
�
�
���
�
�
���
�
�
���
���
���
�
���
�
�
���
�
�
Z
Y
X
kKkJkI
jKjJjI
iKiJiI
z
y
x
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
� � � � �����
��+��
���
�
�
���
�
�
���
�
�
���
�
�
�
���
�
�
���
�
�
Z
Y
X
lll
lll
lll
z
y
x
332313
322212
312111
�
�
$�� �!��� ������3D4�����3224��� �� ���%��� ���.#�3���� ��������4���+0��� ��%��� ����!�����������*�"�$�����*.0�%���.#��������-.*.0�%��� ����!������������.� ���+0��*.0�������&����� ���%��3����������� � �����������4��� �5$ � �,#��(� ��)���0������������."���� �- � ����*.0�7���� ����� �� $�� �!��� �������������+0����������*�"�$���.� ���+0��*.0��������������� ���� ���%�������������$����*)1/0�������������*� �!�����!���� ������ � �ZYXP ,, ������������*.0�.� ��(�+0��*.0�3��+0��*.0�����%�4�
�
��
�������1������#$���$�#%������ $�&'��P ���2�$���������� XYZ ��������2�$���������2�$�����3���������4�
��������'�������������)�������������� xyz �
�� ��� �� ��#�!���#�����)��� *� �#� ���
� � � � � � aRr ����� � � � � � 32'4�
��*.0� kajaiaa ˆˆˆ321 ���
� ���6��#�����)����� �����!���%��� �����!�����������*.0�.� ��(�+0��*.0�*.������������������$�����#� �,� � 0
���a �� ����*.0�7����#� � Rr
��� ���6�� �+���#� $�� ��3B4���6������
R�
r�
� �� �ZYX
zyxP
,,,,
a� ��
��
��
��
��
��
��+0��� ��R����6��#�����)����� �����!���%���������������*.0�.� ��(�+0��*.0��/�� G�$�� ��3224��*�(�
���32'4������#� �
��
��
�
����
����
����
3332313
2322212
1332111
aZlYlXlz
aZlYlXly
aZlYlXlx
�
�
� � � ����
�
�
���
�
�
�
���
�
�
���
�
�
���
�
�
���
�
�
�
���
�
�
���
�
�
3
2
1
332313
322212
312111
a
a
a
Z
Y
X
lll
lll
lll
z
y
x
� � � � �����
�
� � � � �������
�
�
����
�
�
����
�
�
����
�
�
�
����
�
�
����
�
�
1100013332313
2322212
1312111
Z
Y
X
alll
alll
alll
z
y
x
� � � � �����
�� �$�� ��3294�,� $��������
����
�
�
����
�
�
�
10003332313
2322212
1312111
alll
alll
alll
T �
�� ����.�����#� ��6������������������������������ ������ �������������#� ����������+0��*.0����� ����������%��� ���� �- ��-.� � �!��$�� ��3294���+0��� ������� 0
���a �3�.�%��� ����
��.#���4����� 1ˆ33 ��� zZl �3������ ������ �����*�G��.#����������*.0�'4�1/0����(�������6�� ���%�!��
��� ����������������+�����;�*.0� �� (+������
� � � � �cosˆˆ11 ��� xXl �
�� � � ���������������� � � �� sin90cosˆˆ21 ��� ��� xYl �
� � � �������� � � 3231 090cosˆˆ lxZl �� ��� ���
� � � �������� � � �� sin90cosˆˆ12 �� ��� yXl �
� � � �������� �cosˆˆ22 ��� yYl �
�
�����"������� � �
����
�
�
����
�
� �
�
1000010000cossin00sincos
����
T �
�*�(� ��$�� ��3294������� ��������
���
���
�
�
�
��
��
11
cossinsincos
Zz
YXy
YXx
����
�
1/0���5�������#� $�������$�� ��3<4���� � ����%��)����� ���+0��� �����������."�����������#�� HI$��$)������� �����* �HI$��$)(� !��HJ��)��0�$��� �)��+�$� �$��� �)� � �zyx ,,! �*.0�%���/0�&�(#�����6���$��������������*.0������ ���� -
��"��������%-�=���*.0�%�&���/0����.(� �*� �������#� �� #��� ���������������������+������������ !" #"�$%&�� �zyx ,,! ���6��%-�=���*.0�%��������#�������������� ��!-�*.0� � �ZYX ,," ���6��%-�=���*.0�%���������+�����
�����#�����������������#�� �������#� � � � � �ZYXzyx ,,,, "�! �
�
� ,� � � � � �ZYXzyx ,,,, "�! ����+0���������������������� '()*&'+ ', "-./ "0�1+'/&234!/&2567!8�9�57%*:2&:2(1/� � �zyx ,,! �#� ��6���������������� ���� ���������*.����� �������"���
� ��* �#�G#�����.� ����%��)��.0#���� �������������� $ ! ������������ ����%�� �����!��#��,%��� ��!.����* �#�G#���������������� ��;������ �� �����#�;�= ���������������������+��� �#�G#�����%����)����<������ ����������� ��(� �#-� �� �����!���� �!������������� �*.����: ���<����=��������+0�*� ����>-�� �# ���#���������������!��!����������>������ �&���6������
�$� ��$5��$���
?�����@A�B�����C�� ��������������� �������������������������������������������D���C�?�E��;FG���C�H��AC�I�;�J��>C�HBKI�D��F�L�FL��F����
��� !"#!�$�%&'���"&14MN-M:�O�'P7' Q!'(���" /RS/T&62MUU&0N�V&)*MO&*MR*/22':)2WQ4!/7�)XY*MR*/22'R&+Z2.��'[&*MN1&7 1:N)0"071(,2Y\4':/7%&-"]2(���_F��������=���� �ab����A�����
()*�+,-(%��"&14MN-M:�O��'P7' Q!'(��$"�.%*+,-(%�L�DFLFL��L�F��/01$2.44'N2 ,1.�3'454060789.&�:4�4�$""+3+* +�Mc�.%*�&!;���d����['Pe]%&"+&' ))(��"*'M"N2.��L���$"""*'M"N2.�53*!)74!/e'���:3Z]S!/e'�/N'A��L��L�$+�0<=.0>,?.<��L�F���DF�L�L�[2W4�L�F��L��L��
�