สมการการแปลงพิกัด

8
! " # $!% & ’(#$ )#* "$#(+$,(#-!% &./ 0,!% " 1/ 0$$ (#$ ) # * " $. ". # $! -% $*. 0 2+ 0 y x P P , ! "#!. ! , r P P *. 0* "$.(#$ ) (+ ! sin cos r y r x + x y y x r arctan 2 2 #(+$ 324$,!% + 0*( r ! "#$3’456 * (+$!% y x y x P ,

description

บทความทางคณิตศาสตร์

Transcript of สมการการแปลงพิกัด

Page 1: สมการการแปลงพิกัด

��

������������ �� ����������������� ��� ������ �������������������� ����������������� ������������������������������!�"#������������ ��������������$� ����� ������ �����!���%���&������ ��'���������(# �$�����)���#� ����������*�"�$������ #(+���� $ � �,(� �#-� �� �����!���%���&����.������������/0�����,� �� ����� �����!���%���"����������������� �1/0�$�� ��$��(# �$�����)���#� ����������*�"�$���."���.�#� ���$�� �!��� �������������

��� �- �%�����$��������*.0�2���+0��� ������������ ��'�������� ���� ����������� � �yxPP ,� ����� �����������������!�"#����!.���������!��� � ��,rPP � ���*.0���������*�"�$���.(# �$�����)���(+��

������������� ������������������������������������������ �!�

� � � � ����

��

sincos

ry

rx ������� � � � � ����

��+������ � � ���

��

��

��

��

xy

yxr

arctan

22

�� � � � � ����

��� #(+��� �$�� ��324��� $ � �,� �� �����!���%��������������� �������+0��� *� �(� � r ������ �

���������������!�"#����� �$�� ��3'4��5��6�����* ��������(+��$� ����� �� �� �����!���%������

y

x �

� �yxP , ��

��

��

Page 2: สมการการแปลงพิกัด

�������������!�"#���*.0$�� �*�"�$���.(# �$���������+�� � �$�� ���.#���������6�� �������������#� �����������'�����*.0�� ������

� ��� �- ��������� ������ ��'������1/0���-.�."��6������������.#���(+������������������

������������� ����.�%��� ������#����������%�����������������6��%�*#��!5�� ��*.������������������������*.0�'���� ����� �� $�� �!��� ����������� ������������/0������.������������/0����+0�*� ��� �������������������������%�� ���%�!�����������������

�������"������#$���$�#%������ $�&'������������������������������������

(�)�������������*����'���� +���,��'��� �

� ����*.0�'���� �����!���%����������������������(+�� � �yxPP ,� ��� ������

� � � � ����

��

sincos

ry

rx � � � � � � ����

$� �������������������� �����!���%�����(+� � �YXPP ,� ��� ������ � � �

� � � � �� ��

��

����

����

������������

sincoscossinsinsinsincoscoscos

rrrY

rrrX � � � 374�

�����"���� ����!���%�� � �YXP , ����*��!������������������ ��*�(� $�� ��384����374��� ������

���

���

��

����

cossinsincosyxY

yxX �

��+0��!.������������1)������

� � � � ������� ��

���

���

���

���

���

y

x

Y

X

����

cossinsincos

� � � � �����

r�

� �� �YX

yxP

,,

��

��

��

��

Page 3: สมการการแปลงพิกัด

��� #(+���� $ � �,� �� �����!���%�� � �YXP , �����������������*.0�.� ���%�*#��!5���6��%��� ������

!�����!���� ������ � �yxP , ����������������������

� ��* ���������� ��� *� ��� �����!���%�� � �YXP , �����������������*.0�.� ���%�*#��!5���6��%��� ��� �5$ � �,(� �#-�� �����!���%�� � �yxP , ������� �$�� ��394�$���������

��

���

���

����

cossinsincos �

��*.0�� ���6�������1)������: ��� 0det �� ����.�#� ��������������� ��������� ������ �������1/0��.������1);�;��(+���

� � ��

���

� �

����

����

�� cossinsincos

cossin1

221 �

� � � � �� ��

���

� ��

����

cossinsincos �

��+0��� � 1�� �(�-*�"�$��!� �!��$�� ��394�������

� � � � ��� ��

���

���

���

� ���

���

Y

X

y

x

����

cossinsincos � � � � ����

$�� ��3<4�$� ����� �� �����!���%� � �yxP , ��������������������������!������� ����!���%�� � �YXP , �

����������������*.0�.� ���%���

� $� ������������� ������=����8������$������*.0�.�%��� ������#�����(+�����������������������

�������������+0���%������������������*.�������������������.���>-�������*.0�8���� ����� �� $�� �!��� ����������� ������������/0������.������������/0����*.0�."� ��� ���#�.� �����(+������()������!���#�����)� r� ���� ������ �&����.(# �%�� �� ����� $ � �,���������)� �� �� �(�-����%��� ������ ���� !���#�����)�1/0��� ������ �cosBABA

������ ���+0��� ���6��%����#� ��#�����)*�"�$��*.0�.

�%����0������.#������ $ � �,� $�� �!��� ����������������+0�*� ��� �������������������������%�� ���%�!����������������*.��������������������

Page 4: สมการการแปลงพิกัด

�������-������#$���$�#%������ $�&'��.����������� xyz �������������� XYZ �/0����&'��%������������

� ���� r� �����R����6��#�����)����� �����!���%������&���$���������������������������������

� ��� ������+0��� ��%������� #��6��%���.#������.������� ��#�����*.0����� ������������"��� Rr��

� ����+���

� � � � ����� kzjyixKZJYIX ˆˆˆˆˆˆ ����� � � � � ����

��*.0� � �kji ˆ,ˆ,ˆ ����� � �KJI ˆ,ˆ,ˆ ���6��#�����)���#����������������������������������������������������� ��� ������� ���(# �����*.0#� $� �����#�����)�V

����&�3���$���)��6����?@�����4��

� � � � � �KKVJJVIIVV ˆˆˆˆˆˆ ����������

�*�(� � jiV ˆ,ˆ��

����� k ����+0���.�� ��� �������#������

� � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � ��

��

������

������

������

KKkJJkIIkk

KKjJJjIIjj

KKiJJiIIii

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

� � � � ����

�*�(� $�� ��3A4������3B4�������

� � � � � �� �� � � � � �� �� � � � � �� �KKkJJkIIkz

KKjJJjIIjy

KKiJJiIIixKZJYIX

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

������

������

��������

��� ��*.�$�����$�*�C!��� KJI ˆ,ˆ,ˆ �������

� �� �ZYX

zyxP

,,,,

Rr��,

z

X

Y

Z

i K

k

I J j

x

y

Page 5: สมการการแปลงพิกัด

� � � � � �� � � � � �� � � � � ��

��

������

������

������

zKkyKjxKiZ

zJkyJjxJiY

zIkyIjxIiX

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

��+���+0��!.������������1)�

� � � ����

���

���

���

���

���

���

���

���

z

y

x

KkKjKi

JkJjJi

IkIjIi

Z

Y

X

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

� � � � 3D4�

��+0�(# �$��#���� ���$�E���>-)� jkl ���+0�� 3,2,1, �kj ��*��� ������������������ ���� �� �� ���� ��

!���������������������*.����������������������� ��� ������#�� ������ � �� � �cos11ˆˆ11 ��� iIl ���*.0�

� ���6��%����#� ���������������������+�� � �� � �cos11ˆˆ12 ��� jIl ���*.0�� ���6��%����#� �����������

����������+�� � �� � �cos11ˆˆ21 ��� iJl ���*.0�� ���6��%����#� ��������������������6�����

� �����"�����5�#� � kjll kjjk ,, �� ���*.0� kj � �

���$�� ��3D4�$ � �,�!.������6���

���

���

���

���

���

���

z

y

x

lll

lll

lll

Z

Y

X

333231

232221

131211

� $� ����� ���������������������������$ � �,*� �����*� �����.#��������� �- �#�����)�V����&�$ � �,�!.����#� �

� � � � � �kkVjjViiVV ˆˆˆˆˆˆ ����������

�*�(� � JIV ˆ,ˆ��

����� K ����+0���.�� ��� ������#�������

� � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � ��

��

������

������

������

kkKjjKiiKK

kkJjjJiiJJ

kkIjjIiiII

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

� � � � 32F4�

�*�(� $�� ��32F4������3B4����#�*.�$�����$�*�C!��� kji ˆ,ˆ,ˆ �������

� � � � � �� � � � � �� � � � � ��

��

������

������

������

ZkKYkJXkIz

ZjKYjJXjIy

ZiKYiJXiIx

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

Page 6: สมการการแปลงพิกัด

��+���+0��!.������������1)�

� � � � ����

���

���

���

���

���

���

���

���

Z

Y

X

kKkJkI

jKjJjI

iKiJiI

z

y

x

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

� � � � �����

��+��

���

���

���

���

���

���

Z

Y

X

lll

lll

lll

z

y

x

332313

322212

312111

$�� �!��� ������3D4�����3224��� �� ���%��� ���.#�3���� ��������4���+0��� ��%��� ����!�����������*�"�$�����*.0�%���.#��������-.*.0�%��� ����!������������.� ���+0��*.0�������&����� ���%��3����������� � �����������4��� �5$ � �,#��(� ��)���0������������."���� �- � ����*.0�7���� ����� �� $�� �!��� �������������+0����������*�"�$���.� ���+0��*.0��������������� ���� ���%�������������$����*)1/0�������������*� �!�����!���� ������ � �ZYXP ,, ������������*.0�.� ��(�+0��*.0�3��+0��*.0�����%�4�

��

�������1������#$���$�#%������ $�&'��P ���2�$���������� XYZ ��������2�$���������2�$�����3���������4�

��������'�������������)�������������� xyz �

�� ��� �� ��#�!���#�����)��� *� �#� ���

� � � � � � aRr ����� � � � � � 32'4�

��*.0� kajaiaa ˆˆˆ321 ���

� ���6��#�����)����� �����!���%��� �����!�����������*.0�.� ��(�+0��*.0�*.������������������$�����#� �,� � 0

���a �� ����*.0�7����#� � Rr

��� ���6�� �+���#� $�� ��3B4���6������

R�

r�

� �� �ZYX

zyxP

,,,,

a� ��

��

��

��

��

��

Page 7: สมการการแปลงพิกัด

��+0��� ��R����6��#�����)����� �����!���%���������������*.0�.� ��(�+0��*.0��/�� G�$�� ��3224��*�(�

���32'4������#� �

��

��

����

����

����

3332313

2322212

1332111

aZlYlXlz

aZlYlXly

aZlYlXlx

� � � ����

���

���

���

���

���

���

���

3

2

1

332313

322212

312111

a

a

a

Z

Y

X

lll

lll

lll

z

y

x

� � � � �����

� � � � �������

����

����

����

����

����

1100013332313

2322212

1312111

Z

Y

X

alll

alll

alll

z

y

x

� � � � �����

�� �$�� ��3294�,� $��������

����

����

10003332313

2322212

1312111

alll

alll

alll

T �

�� ����.�����#� ��6������������������������������ ������ �������������#� ����������+0��*.0����� ����������%��� ���� �- ��-.� � �!��$�� ��3294���+0��� ������� 0

���a �3�.�%��� ����

��.#���4����� 1ˆ33 ��� zZl �3������ ������ �����*�G��.#����������*.0�'4�1/0����(�������6�� ���%�!��

��� ����������������+�����;�*.0� �� (+������

� � � � �cosˆˆ11 ��� xXl �

�� � � ���������������� � � �� sin90cosˆˆ21 ��� ��� xYl �

� � � �������� � � 3231 090cosˆˆ lxZl �� ��� ���

� � � �������� � � �� sin90cosˆˆ12 �� ��� yXl �

� � � �������� �cosˆˆ22 ��� yYl �

�����"������� � �

����

����

� �

1000010000cossin00sincos

����

T �

Page 8: สมการการแปลงพิกัด

�*�(� ��$�� ��3294������� ��������

���

���

��

��

11

cossinsincos

Zz

YXy

YXx

����

1/0���5�������#� $�������$�� ��3<4���� � ����%��)����� ���+0��� �����������."�����������#�� HI$��$)������� �����* �HI$��$)(� !��HJ��)��0�$��� �)��+�$� �$��� �)� � �zyx ,,! �*.0�%���/0�&�(#�����6���$��������������*.0������ ���� -

��"��������%-�=���*.0�%�&���/0����.(� �*� �������#� �� #��� ���������������������+������������ !" #"�$%&�� �zyx ,,! ���6��%-�=���*.0�%��������#�������������� ��!-�*.0� � �ZYX ,," ���6��%-�=���*.0�%���������+�����

�����#�����������������#�� �������#� � � � � �ZYXzyx ,,,, "�! �

� ,� � � � � �ZYXzyx ,,,, "�! ����+0���������������������� '()*&'+ ', "-./ "0�1+'/&234!/&2567!8�9�57%*:2&:2(1/� � �zyx ,,! �#� ��6���������������� ���� ���������*.����� �������"���

� ��* �#�G#�����.� ����%��)��.0#���� �������������� $ ! ������������ ����%�� �����!��#��,%��� ��!.����* �#�G#���������������� ��;������ �� �����#�;�= ���������������������+��� �#�G#�����%����)����<������ ����������� ��(� �#-� �� �����!���� �!������������� �*.����: ���<����=��������+0�*� ����>-�� �# ���#���������������!��!����������>������ �&���6������

�$� ��$5��$���

?�����@A�B�����C�� ��������������� �������������������������������������������D���C�?�E��;FG���C�H��AC�I�;�J��>C�HBKI�D��F�L�FL��F����

��� !"#!�$�%&'���"&14MN-M:�O�'P7' Q!'(���" /RS/T&62MUU&0N�V&)*MO&*MR*/22':)2WQ4!/7�)XY*MR*/22'R&+Z2.��'[&*MN1&7 1:N)0"071(,2Y\4':/7%&-"]2(���_F��������=���� �ab����A�����

()*�+,-(%��"&14MN-M:�O��'P7' Q!'(��$"�.%*+,-(%�L�DFLFL��L�F��/01$2.44'N2 ,1.�3'454060789.&�:4�4�$""+3+* +�Mc�.%*�&!;���d����['Pe]%&"+&' ))(��"*'M"N2.��L���$"""*'M"N2.�53*!)74!/e'���:3Z]S!/e'�/N'A��L��L�$+�0<=.0>,?.<��L�F���DF�L�L�[2W4�L�F��L��L��