7/25/2019 1etap11r

1/2

www.omg.edu.pl

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistw

Zawody stopnia pierwszego cz korespondencyjna

(1 wrzenia 2011 r. 24 padziernika 2011 r.)

Szkice rozwiza zada konkursowych

1.Czy istniej takie liczby rzeczywiste x, y, dla ktrychx2 + 1 +

y2 + 1 =x+y ?

Odpowied uzasadnij.

Szkic rozwizania

Dla kadej liczby rzeczywistej x,x2 + 1>

x2 = |x| x. Wobec tego

x2 + 1 +

y2 + 1>x+y ,

a zatem nie istniej liczby speniajce warunki zadania.

2.Dany jest trjktABC, w ktrym AC=BC. PunktD ley na boku AB , przy czymBD = 2AD, a kt BCD jest prosty. Wyznacz miar kta BAC.

Szkic rozwizania

Niech Ebdzie rodkiem przeciwprostoktnej DB trjkta prostoktnego DBC. Ww-czas punkt Ejest rodkiem okrgu opisanego na trjkcie DBC, a wic DE=CE. Z koleitrjkt ABCma o symetrii, przechodzc przez wierzchoek C, a punkty D i Es wzgl-dem niej symetryczne. Zatem CD=CE. Wobec tego trjkt DECjest rwnoboczny, a wic

7/25/2019 1etap11r

2/2

Otrzymana sprzeczno koczy rozwizanie zadania.

Uwaga

W powyszym rozwizaniu uylimy kongruencji i ich wasnoci. Czytelnikw, ktrymto pojcie nie jest znane, polecamy lektur broszury I Olimpiada Matematyczna Gimnazja-listw, Sprawozdanie Komitetu Gwnego, Dodatek, str. 33.

5.W piciokcie wypukym ABCDEkty przy wierzchokach B i Ds proste. Wyka,

e obwd trjkta ACE jest nie mniejszy od 2BD.Szkic rozwizania

Oznaczmy przez K i L odpowiednio rodki odcinkw AC i CE. Poniewa punkt Kjestrodkiem okrgu opisanego na trjkcie prostoktnym ABC, wic BK= 1

2AC. Podobnie

uzasadniamy, e LD= 12CE. Ponadto KL= 1

2AE.

Z nierwnoci trjkta wynika, e BK+KL+LDBD. A zatem AC+CE+AE2BD.6.Dane s takie dodatnie liczby wymierne a i b, dla ktrych liczba

a+b+

ab

jest wymierna. Wyka, e liczbya oraz

b take s wymierne.

Szkic rozwizania

Niecha+

b+

ab=x. Wwczas

b+

ab=xa. Podnoszc t rwno stronami

do kwadratu, uzyskujemy

b+ 2ba+ab=x22xa+a.

Std wynika, ea=

x2 +abab2(b+x)

.

Wobec tego liczbaa jest wymierna, jako iloraz dwch liczb wymiernych. Analogicznie

wykazujemy, e liczba b jest wymierna.

A B

CD

A B

CD

K L

M

N

P

Q

7.Niech ABCDABCD bdzie szecianem, jak na rysunku.Punkty K, L, M, Ns odpowiednio rodkami krawdzi AD, BC,AB, CD. Punkty P i Q le odpowiednio na odcinkach KMi LN. Krawd szecianu jest rwna 2. Udowodnij, e PQ2 .

Szkic rozwizania

NiechP, Q, M, N bd rzutami prostoktnymi odpowied-nio punktwP, Q,M,Nna paszczyzn ABCD. Wwczas prosteKM oraz LN s rwnolege, a ich odlego jest rwna

2. Std

wynika, e PQP

Q

2.