10. 10. METODA SIŁ - RAMA -...

Część 1 10. METODA SIŁ - RAMA 1

10.

10. METODA SIŁ - RAMA

Sposób rozwiązywania zadań metodą sił przeanalizujemy szczegółowo na konkretnychprzykładach liczbowych.

Zadanie 1

Wykonać wykresy sił wewnętrznych od obciążeń rzeczywistych układu statycznie niewyznaczalnego:

P = 54 kN

q = 9 kN/m

EJ

2 EJ

4

3 3

2

4

[m]

EJ

Rys. 10.1. Układ rzeczywisty z obciążeniem zewnętrznym

Układ jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalny. Wybieramy jeden z możliwych układówpodstawowych. Odrzucamy myślowo dwie podpory prętowe (pozostawiając jedynie utwierdzenie) izastępujemy je niewiadomymi siłami X1 i X2.

P = 54 kN

q = 9 kN/m

EJ

2 EJ

4

3 3

2

4

X1X2

[m]

EJ

Rys. 10.2. Układ podstawowy z niewiadomymi siłami X1 i X2

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater


Aby układ ten był równoważny układowi rzeczywistemu należy go uzupełnić o układ równańkanonicznych opisujących warunek identyczności kinematycznej:

{11⋅X 112⋅X 21 P=0 21⋅X 122⋅X 22 P=0 (10.1)

W celu obliczenia przemieszczeń δik, wykonujemy wykresy momentów od sił jednostkowychprzyłożonych kolejno w miejsca niewiadomych X1 i X2, oraz od obciążenia zewnętrznego (rys. 10.2). Wykresyte nazwiemy kolejno M1 (rys. 10.3), M2 (rys. 10.4), MP

0 (rys. 10.5).

3 3

4

X1 = 1

3

3

M1 [m]

[m]

Rys. 10.3. Wykres momentów od siły jednostkowejprzyłożonej w miejsce niewiadomej X1

3 3

4

X2 = 13

3

M2 [m]

[m]

Rys. 10.4. Wykres momentów od siły jednostkowejprzyłożonej w miejsce niewiadomej X2

3

4MP0 [kN/m]

54

54

126

1 2 [m]

Rys. 10.5. Wykres momentów od obciążenia zewnętrznego

Mając gotowe wykresy momentów możemy przystąpić do obliczania współczynników równańkanonicznych (10.1) przy wykorzystaniu metody Maxwella-Mohra. Uwzględniając jedynie momenty zginająceprzemieszczenie obliczamy ze wzoru:

ik=∑∫j

M i M k

EJds (10.2)



Dla uproszczenia całkowania skorzystamy z numerycznej metody Wereszczagina – Mohra

11 =1 EJ [1

2⋅3 ⋅3 ⋅2

3⋅3 ] 1

2 EJ[4 ⋅3 ⋅3]=27 m3

EJ

22=1 EJ [1

2⋅3 ⋅3 ⋅2

3⋅3 ] 1

2 EJ⋅[4 ⋅3 ⋅3 ]=27 m3

EJ

12=21=− 1 2 EJ

[4 ⋅3 ⋅3]=−18 m3

EJ

1 P=1

2 EJ [126 542

⋅4 ⋅3 −23⋅9 ⋅42

8⋅4 ⋅3]=468 kNm3

EJ

2 P=1 EJ [12⋅1 ⋅54 ⋅−2

3⋅3 −1

3⋅2] 1

2 EJ [23⋅9 ⋅42

8⋅4 ⋅3 −12654

2⋅4 ⋅3]=−540 kNm3

EJ

Układ równań kanonicznych przyjmuje postać:

{ 27 EJ

⋅X 1−18 EJ

⋅X 2 468 EJ

=0

−18 EJ

⋅X 1 27 EJ

⋅X 2 −540 EJ

=0

Z rozwiązania powyższego układu równań otrzymamy następujące wyniki:

{X 1 =−7,2 kNX 2 =15,2 kN

Warto przy tym zadaniu zastanowić się nad sensem wprowadzania niewiadomych w postaci grupy sił.Rys. 10.6 przedstawia układ podstawowy dla tego zadania przyjęty jak poprzednio, z tą różnicą, że zamiastniewiadomych sił X1 i X2 wprowadzono grupy sił Z1 i Z2.

P = 54 kN

q = 9 kN/m

EJ

2 EJ

4

3 3

2

4

Z1

Z2

Z1

Z2

[m]

Rys. 10.6. Układ podstawowy z niewiadomymi Z1 i Z2



Wykonajmy zatem ponownie wykresy momentów, tym razem od grup sił Z1 i Z2. Wykresy te nazwiemykolejno M1' (rys. 10.7) i M2' (rys. 10.8). Tym razem układ równań kanonicznych ma postać:

{ '11⋅Z 1 '12⋅Z 2 ' 1 P=0 ' 21⋅Z 1 ' 22⋅Z 2 ' 2 P=0

3 3

4

Z1 = 1 3

M1' [m]

Z1 = 1

[m]

Rys. 10.7. Wykres momentów od sił jednostkowychprzyłożonych w miejsce niewiadomych Z1

3 3

4

Z2 = 13

M2' [m]

Z2 = 1

3

6

[m]

Rys. 10.8. Wykres momentów od sił jednostkowychprzyłożonych w miejsce niewiadomych Z2

Przyglądając się wykresom M1' i M2' można zauważyć, że niektóre przemieszczenia będą zerowe.Spróbujmy zatem sprawdzić czy nasze spostrzeżenia są słuszne i obliczmy ponownie przemieszczenia zukładu równań kanonicznych:

'11 =1 EJ 2 ⋅1

2⋅3 ⋅3 ⋅2

3⋅3 =18 m3

EJ

'12=21=1 EJ 12⋅3 ⋅3 ⋅2

3−1

2⋅3 ⋅3 ⋅2

3 =0

' 22=1 EJ

⋅18 1 2 EJ

⋅4 ⋅6 ⋅6 =90 m3

EJ

' 1 P=−1 EJ

⋅[1 2⋅1 ⋅54 ⋅1

3⋅2 2

3⋅3]=−72⋅kNm3

EJ

' 2 P=72 EJ

− 1 2 EJ

⋅[6 ⋅4 ⋅1 2⋅12654− 2

3 ⋅4 ⋅9 ⋅42

8⋅6 ]=1008 kNm3

EJ

Po podstawieniu do równań kanonicznych otrzymujemy dwa równania z jedną niewiadomą:

{ 18 EJ

⋅Z 10 ⋅Z 2 −72 EJ

=0

0 ⋅Z 1 90 EJ

⋅Z 2 1008

EJ=0

Po rozwiązaniu równań otrzymujemy wyniki:



{Z 1 =4 kNZ 2 =−11,2 kN

Wydaje się, że wyniki są różne, ale analizując rys. 10.2 i rys. 10.6 okazuje się, że niewiadome Xi sąodpowiednimi sumami zmiennych Zi:

X 1=Z 1 Z 2=4−11,2=−7,2 kNX 2=Z 1−Z 2=4−−11,2=15,2 kN

czyli uzyskaliśmy takie same wyniki unikając rozwiązywania skomplikowanego układu równań.

P = 54 kN

q = 9 kN/m

EJ

2 EJ

4

3 3

2

4

7,2 kN 15,2 kN

[m]

Rys. 10.9. Stan obciążenia siłami zewnętrznymi oraz nadliczbowymi siłami X1 i X2

Po otrzymaniu wartości niewiadomych X1 i X2 dokonujemy analizy końcowej zadania, czyli tworzymywykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w układzie podstawowym, obciążonym zewnętrznie oraz przez siłyX1 i X2 (rys. 10.9). Wartości sił wewnętrznych możemy określić w oparciu o zasadę superpozycji. Sumującwykresy momentów w układach podstawowych od obciążenia zewnętrznego M0

P (rys. 10.5) i wykresyjednostkowe M1 (rys. 10.3), M2 (rys. 10.4) przemnożone przez rzeczywiste wartości nadliczbowych X1 i X2.

Podobnie możemy postąpić przy wyznaczaniu sił tnących i normalnych :

M Pn=M P

O∑i=1

n

M i⋅X i

T Pn=T P

0 ∑i=1

n

T i⋅X i

N Pn=N P

0 ∑i1

n

N i⋅X i

(10.3)



3

4MP(n) [kN/m]

1 2

21,6

30,4

8,4

58,8

13,2

Rys. 10.10. Wykres momentów rzeczywistych MP(n)

Ponieważ nie dysponujemy wykresami normalnych i tnących ani w układzie podstawowym, ani wukładach od stanów X1 = 1 i X2 = 1, wykresy tych funkcji możemy narysować tradycyjnie korzystając zobciążeń na rys. 10.9 lub inaczej, korzystając z wykresu momentów w układzie statycznie niewyznaczalnym(rys. 10.10). W tym celu dzielimy układ na pojedyncze pomocnicze fragmenty i dla nich pomocą wyznaczamywartości sił tnących w poszczególnych przekrojach.

54 kN

15,2 kN

1 2

7,2 kN

3

21,6 kNm

8,4 kNm

α

α

β

β

30,48,4

γ

γ

Mp(n) [kNm]

Mp(n) [kNm]

21,6

q = 9 kN/m4

13,2 kNm

58,8 kNm

δδ

MP(n) [kN/m]

58,8

13,2

x

Rys. 10.11. Rysunki pomocnicze do wykonania wykresu sił tnących



T =−15,2 [kN ]T =38,8 [kN ]T =−7,2 [kN ]T =36 −9 x

3

4TP(n) [kN]

1 2

-7,2

38,8

36,0

-15,2

+

_ _

+

Rys. 10.12. Wykres rzeczywistych sił tnących TP(n)

Wartości sił normalnych można wyznaczyć równoważąc węzły układu (równowaga sił w węzłach)

Nδ

38,8 kN7,2 kN

Rys. 10.13. Równowaga sił w węźle ramy

∑ Y=0 N =−46 kN

3

4

NP(n) [kN]

1 2

-46,0_

Rys. 10.14. Wykres rzeczywistych sił normalnych NP(n)



10.1. Sprawdzenia poprawności obliczeń

10.1.1. Sprawdzenie globalne

Sprawdzenie to polega na zbudowaniu pewnego fikcyjnego wykresu momentów MS, będącego sumąwszystkich wykresów jednostkowych ( M1, M2, ..., Mi):

M S=∑i=1

n

M i (10.4)

Na podstawie tak sporządzonego wykresu obliczamy współczynnik δSS ze wzoru:

SS=∫M S

2

EJ⋅ds (10.5)

Okazuje się że wartość współczynnika δSS równa jest sumie wszystkich współczynników macierzy podatności:

SS=∑i=1

n

∑k=1

n

ik (10.6)

Można to udowodnić w następujący sposób:

SS=∫S

M S⋅M S

EJ⋅ds=∫

S

1 EJ

⋅M 1M 2...M n2⋅ds

=∫S

M 1 ⋅M 1

EJ⋅ds∫

S

M 1 ⋅M 2

EJ⋅ds...∫

S

M 1 ⋅M n

EJ⋅ds

∫S

M 2 ⋅M 1

EJ⋅ds∫

S

M 2 ⋅M 2

EJ⋅ds...∫

S

M 2 ⋅M n

EJ⋅ds

∫S

M n⋅M 1

EJ⋅ds∫

S

M n⋅M 2

EJ⋅ds...∫

S

M n⋅M n

EJ⋅ds=

=11 12 ...nn=∑i=1

n

∑k=1

n

ik

W ten sposób otrzymaliśmy możliwość sprawdzenia poprawności wyliczeń wszystkich uzyskanychwspółczynników δik (z pominięciem ΔiP). Jeżeli powyższa równość jest spełniona przeprowadzone dotychczasobliczenia są prawidłowe. Jeżeli nie, to lokalizujemy błąd sprawdzeniem lokalnym.

10.1.2. Sprawdzenie lokalne

Sprawdzenie to, zwane także wierszowym lub kolumnowym, polega na zlokalizowaniu błędu, przezodrębne rozpatrywanie elementów danego wiersza macierzy podatności (lub danej kolumny, bo macierz ta jestsymetryczna). Sumowania te wyrażone są wzorem:



is=∫S

M i⋅M S

EJds=∑

k=1

n

ik (10.7)

Gdzie i to numer wykresu jednostkowego (dla Xi = 1) oraz numer sprawdzanego wiersza macierzy.Sprawdzenie poprawności wartości obliczeń wyrazów wolnych ΔiP przeprowadza się wzorem:

SP=∫S

M S0 ⋅M P

0

EJds=∑

i=1

n

iP (10.8)

Dowód na skuteczność zależności (10.7) i (10.8) jest analogiczny jak dla sprawdzenia globalnego.Po zlokalizowaniu i poprawieniu błędu przystępujemy do dalszej analizy wyników.

10.1.3. Sprawdzenie wartości niewiadomych sił

Sprawdzenie to polega na podstawieniu wyznaczonych wielkości Xk do równań kanonicznych istwierdzeniu, czy układ równań jest spełniony.

10.1.4. Sprawdzenie statyczne

To sprawdzenie mówi nam, czy przy wyznaczonych siłach wewnętrznych spełnione są warunkistatycznej równowagi (ΣX=0, ΣY=0, ΣM=0). Polega ono na wykazaniu, że spełnione są równania równowagidla całości układu jak również dla wybranych jego części. Warto zaznaczyć, że sprawdzenie to nie badapoprawności wyliczonych Xk, a jedynie sprawdza poprawność wykresów sił wewnętrznych od obciążeńzewnętrznych i nadliczbowych (niekoniecznie prawidłowych).

10.1.5. Sprawdzenie kinematyczne

Sprawdzenie to jest najważniejsze, gdyż tak naprawdę to dopiero ono mówi nam czy uzyskane wynikisą prawidłowe. Polega ono na wykazaniu, że dla wybranych punktów (na ogół punktów, które nie doznająprzemieszczeń w układzie statycznie niewyznaczalnym) przemieszczenia są równe wartościom rzeczywiścietam występującym.

Zagadnienie wyznaczania przemieszczeń w układach statycznie niewyznaczalnych wydaje sięstosunkowo złożone, gdyż zgodnie z uniwersalną zasadą pracy wirtualnej w celu określenia przemieszczenia,należy znaleźć wykresy sił wewnętrznych w układzie statycznie niewyznaczalnym zarówno dla stanurzeczywistego jak i wirtualnego.

1 ⋅ j=∑∫S

M Pn ⋅M n

EJ⋅ds

Żeby uzyskać wykres momentów od obciążeń zewnętrznych trzeba było rozwiązać układ równańkanonicznych.



∑k=1

n

ik⋅X kiP=0 (10.9)

Podobnie w celu stworzenia wykresu momentów wirtualnych w układzie statycznie niewyznaczalnymmusimy najpierw wyznaczyć reakcje nadliczbowe:

∑k=1

n

ik⋅X kiP=0

iP Obliczamy mnożąc wykres ze stanu X1 i wykres momentów od obciążenia wirtualnego wukładzie podstawowym.

10.2. Twierdzenia redukcyjne

W celu obliczenia dowolnego przemieszczenia w układzie statycznie niewyznaczalnym należywykorzystać zasadę prac wirtualnych wprowadzając do równania funkcje sił wewnętrznych, wynikających zobciążenia wirtualnego oraz z obciążenia rzeczywistego. Jednak można jedną z tych funkcji (wirtualną lubrzeczywistą) wyznaczyć stosując dowolny układ podstawowy (statycznie wyznaczalny).

1 ⋅n=∑∫S

M Pn⋅M n

EJ⋅ds=∑∫

S

M Pn ⋅M 0

EJ⋅ds=∑∫

S

M P0 ⋅M n

EJ⋅ds (10.10)

Zadanie 2

Wyznaczyć przemieszczenie pionowe punktu znajdującego się w miejscu przyłożenia siły P(rys. 10.1) stosując trzy różne układy podstawowe (statycznie wyznaczalne) dla obciążenia wirtualnego.

a) Przy wykorzystaniu zależności (10.10) do rozwiąznia potrzebne nam będą dwa wykresy: wcześniejsporządzony wykres momentów rzeczywistych MP

(n) z rys. 10.10, oraz wykres momentów w przyjętymukładzie podstawowym obciążonym siłą wirtualną (po kierunku poszukiwanego przemieszczenia).

3

4MP(n) [kN/m]

1 2

21,6

30,4

8,4

58,8

13,2

[m]

EJ

2 EJ

13 2

41 3

[m]

2 3

2 3

0 [m]M

1

Przemieszczenie wyznaczamy korzystając z twierdzenia redukcyjnego:



1 ⋅Pn=∑∫

S

M Pn⋅M 0

EJ⋅ds

Pn = 1

EJ⋅[ 1

2⋅1 ⋅2

3⋅ 2

3⋅30,4 −1

3⋅8,4 1

2⋅2 ⋅2

3⋅2

3⋅30,4 ]=19,33 3

EJ

b) Obliczamy przemieszczenie po przyjęciu innego układu podstawowego dla obciążenia wirtualnego

EJ

2 EJ

13 2

4

[m]3

4MP(n) [kN/m]

1 2

21,6

30,4

8,4

58,8

13,2

[m]

1

1 3

4 3

1

0 [m]M

Przemieszczenie wyznaczone ze wzoru (10.10) ma wartość :

1 ⋅Pn=∑∫

S

M Pn⋅M 0

EJ⋅ds

Pn = 1

EJ⋅[ 1

2⋅1 ⋅1 ⋅ 2

3⋅8,4 −1

3⋅30,4 1

2⋅3 ⋅1 ⋅2

3⋅21,6 ]=19,33 3

EJ

c) Na koniec sprawdzamy rachunki dla jeszcze innego układu podstawowego:

3

4

1 2

1

1

3

4MP(n) [kN/m]

1 2

21,6

30,4

8,4

58,8

13,2

[m]

2 EJ

EJ

[m]

0 [m]

1

M

Wartość przemieszczenia wyznaczamy mnożąc i całkując powyższe wykresy :

1 ⋅Pn=∑∫

S

M Pn⋅M 0

EJ⋅ds

Pn = 1

EJ⋅[12⋅1 ⋅1 ⋅2

3⋅8,4 −1

3⋅30,4 ] 1

2 EJ⋅[1

2⋅58,8−13,2⋅4 ⋅1 −2

3⋅9 ⋅42

8⋅4 ⋅1 ]=19,33 3

EJ



We wszystkich przypadkach otrzymaliśmy identyczne wartości przemieszczeń co dowodzi, że układpodstawowy może być przyjęty dowolnie.

10.2.1. Dowód pierwszego twierdzenia redukcyjnego

Dowód twierdzenia przytoczymy uwzględniając w obliczeniach przemieszczeń jedynie wpływmomentów zginających. Spróbujemy dowieść prawdziwości twierdzenia:

∑∫S

M Pn ⋅M n

EJ⋅ds=∑∫

S

M Pn ⋅M 0

EJ⋅ds (10.11)

Zgodnie z zasadą superpozycji można zapisać, że :

M Pn =M P

0 X 1 ⋅M 1X 2 ⋅M 2 ...X n⋅M n

M n =M 0 X 1 ⋅M 1X 2 ⋅M 2 ...X n⋅M n(10.12)

Funkcje M pn

i M n podstawiamy do wyrażenia pod pierwszą całką:

M Pn ⋅M n=M P

0 X 1 ⋅M 1X 2 ⋅M 2 ...X n M n⋅M0 X 1 ⋅M 1X 2 ⋅M 2 ...X n M n=

=M 0 ⋅M P0 X 1 ⋅M 1X 2 ⋅M 2 ...X n M n

X 1 ⋅M P0 ⋅M 1X 1 ⋅M 1

2X 2 ⋅M 2 ⋅M 1 ...X n M n M 1X 2 ⋅M P

0 ⋅M 2X 1 ⋅M 1 ⋅M 2X 2 ⋅M 2 ⋅M 2 ...X n M n M 2...X n⋅M P

0 ⋅M nX 1 ⋅M 1 ⋅M nX 2 ⋅M 2 ⋅M n...M n2 ⋅X n

(10.13)

Biorąc pod uwagę, że całka z iloczynu momentów podzielonego prze sztywność jest odpowiednimprzemieszczeniem :

11 =∫S

M 12

EJ⋅ds

22 =∫S

M 22

EJ⋅ds

nn=∫S

M n2

EJ⋅ds

(10.14)

12=21 =∫S

M 1 ⋅M 2

EJ⋅ds

1 n=n1=∫S

M 1 ⋅M n

EJ⋅ds

2 n=n2=∫S

M 2 ⋅M n

EJ⋅ds

(10.15)



1 P=∫S

M 1 ⋅M P0

EJ⋅ds

2 P=∫S

M 2 ⋅M P0

EJ⋅ds

nP=∫S

M n⋅M P0

EJ⋅ds

(10.16)

Wykorzystując to we wzorze (10.13) zapiszemy:

1 ⋅ j=∫S

M Pn⋅M n

EJ⋅ds=X 1 ⋅X 1 ⋅11 X 2 ⋅12 ..X n⋅1 n1 P

X 2 ⋅X 1 ⋅21 X 2 ⋅22 ...X n⋅2 n2 P

X n⋅X 1 ⋅n1X 2 ⋅n2...X n⋅nnnP∫S

M 0 ⋅M Pn

EJ⋅ds

(10.17)

Na mocy równań kanonicznych metody sił, wartości w nawiasach są równe zeru. Ostatecznietwierdzenie (10.11) zostało udowodnione.

1 ⋅ j=∫S

M n⋅M n

EJ⋅ds=∫

S

M Pn ⋅M 0

EJ⋅ds (10.18)

10.2.2. Dowód drugiego twierdzenia redukcyjnego

W celu obliczenia dowolnego przemieszczenia w układzie statycznie niewyznaczalnym, wystarczyrozwiązać układ ten od obciążenia wirtualnego, zaś rzeczywisty stan obciążeń określić dla dowolnego układupodstawowego statycznie wyznaczalnego.

1 ⋅ j=∫S

M Pn⋅M n

EJ⋅ds=∫

S

M P0 ⋅M n

EJ⋅ds (10.19)

Warto zaznaczyć, że dzięki twierdzenia redukcyjnemu w rozważanym układzie można przeprowadzićbardzo dużo sprawdzeń kinematycznych, gdyż możemy przyjąć wiele różnych układów podstawowych.Reasumując, kontrole kinematyczną najlepiej przeprowadzać stosując inny układ podstawowy niżwykorzystywany przy liczeniu niewiadomych, ponieważ efektem tego sprawdzenia byłoby tylko wykazaniepoprawności równania kanonicznego.

Uwzględniając w obliczeniach przemieszczeń jedynie wpływ momentów zginających udowodnimytwierdzenie redukcyjne w postaci:

1 ⋅ j=∫S

M Pn⋅M n

EJ⋅ds=∫

S

M P0 ⋅M n

EJ⋅ds



Zgodnie z zasadą superpozycji moment w układzie statycznie niewyznaczalnym jest równy:

M Pn =M P

0 X 1 ⋅M 1X 2 ⋅M 2 ...X n⋅M n

M n =M 0 X 1 ⋅M 1X 2 ⋅M 2 ...X n⋅M n

Funkcje M Pn i M n podstawiamy do wyrażenia podcałkowego:

M Pn⋅M n=M P

0 X 1 ⋅M 1X 2 ⋅M 2 ...X n M n⋅M P0 X 1 ⋅M 1X 2 ⋅M 2 ... .X n M n=

=M p0⋅M 0 X 1 ⋅M 1X 2 ⋅M 2 ....X n M n

X 1 ⋅M0 ⋅M 1X 1 ⋅M 1

2X 2 ⋅M 2 ⋅M 1 ....X n M n M 1

X 2 ⋅M0 ⋅M 2X 1 ⋅M 1 ⋅M 2X 2 ⋅M 2 ⋅M 2 ....X n M n M 2...

X n⋅M0 ⋅M nX 1 ⋅M 1 ⋅M nX 2 ⋅M 2 ⋅M n...M n

2 ⋅X n

(10.20)

Biorąc pod uwagę wyrażenia (10.14), (10.15), (10.16) oraz (10.20) otrzymamy :

1 ⋅ j=∫S

M Pn M n

EJds=X 1 ⋅X 1 ⋅11 X 2 ⋅12 ..X n⋅1 n1 P

X 2 ⋅X 1 ⋅21 X 2 ⋅22 ...X n⋅2 n2 P

X n⋅X 1 ⋅n1X 2 ⋅n2...X n⋅nnnP∫S

M P0 ⋅M n

EJ⋅ds

(10.21)

Na mocy równań kanonicznych metody sił, wartości w nawiasach są równe zeru. Po ich wyeliminowaniu otrzymujemy twierdzenie redukcyjne:

1 ⋅ j=∫S

M Pn⋅M n

EJ⋅ds=∫

S

M P0 ⋅M n

EJ⋅ds

Zadanie 3

Dokonać sprawdzenia obliczeń układu statycznie niewyznaczalnego z rys. 10.1

Obliczone wcześniej przemieszczenia (współczynniki macierzy podatności) mają wartość:

1 1=18 EJ

1 2=2 1=0

2 2=90 EJ

1 P=−72

EJ

2 P=1008

EJ



a) Sprawdzenie globalne

Sumujemy wykresy Z1 i Z2 aby otrzymać wykres Ms.

3 3

4

Z1 = 1 3

M1' [m]

Z1 = 1

3 3

4

Z2 = 13

M2' [m]

Z2 = 1

3

6

3

4

Ms [m]

1 2

6

6

[m] [m][m]

Rys. 10.17. Zestawienie wykresów momentów od stanu Z1 i Z2

Przy wykorzystaniu wzoru (10.5) otrzymujemy wartość współczynnika δSS.

SS=1 EJ

⋅1 2 ⋅6 ⋅3 ⋅2

3⋅6 1

2 EJ⋅6 ⋅4 ⋅6 =108

EJ

Aby sprawdzić nasze obliczenia według (10.6) musimy znaleźć jeszcze drugą stronę równania:

∑i=1

n

∑k=1

n

ik=1 11 22 12 2=180090

EJ=108

EJ

Sprawdzenie globalne jest spełnione ponieważ :

SS=∑i=1

n

∑k=1

n

ik

108 EJ

=108 EJ

b) Sprawdzenia lokalne

3 3

4

Z1 = 1 3

M1' [m]

Z1 = 1

3

4

Ms [m]

1 2

6

6

[m] [m]

Rys. 10.18. Wykres momentów w stanie M'1 i Ms



Dla rozważanego przykładu suma współczynników pierwszego wiersza macierzy podatności wynosi:

∑k=1

n

1 k=1 11 2=180

EJ=18

EJ

Aby sprawdzić obliczenia musimy znaleźć jeszcze wartość współczynnika δ1S. W tym celu należy przemnożyćwykresy M1' i MS.

1 S=∫S

M 1 ⋅M S

EJds= 1

EJ [1 2⋅3 ⋅3 ⋅2

3⋅6 ]=18

EJ

Ponieważ:

iS=18 EJ

=∑k=1

2

1 k=18 EJ

Równanie (10.7) jest spełnione dla wiersza pierwszego.

W celu sprawdzenia kolumny wyrazów wolnych, zgodnie ze wzorem (10.8) obliczamy sumę:

∑k=1

n

k P=1 P2 P=−72 1008

EJ=936

EJ

A następnie współczynnik ΔSP na podstawie wykresów:

3

4MP [kN/m]

5454

126

1 2 3

4

Ms [m]

1 2

6

6

[m] [m]

Rys. 10.19. Wykres momentów w stanie P i Ms

SP=∫S

M S⋅M P

EJds= 1

2 EJ [ 54 1262

⋅4 ⋅6 − 2 3⋅9 ⋅42

8⋅4 ⋅6]=936

EJ

Równanie (10.8) jest spełnione ponieważ:

SP=∫S

M S⋅M P

EJds=∑

i=1

n

iP

936 EJ

=936 EJ



c) Sprawdzenie wartości niewiadomych sił

Aby upewnić się, że układ równań został poprawnie rozwiązany należy wartości niewiadomych Xi

podstawić do równań:

{18 EJ

⋅4 0EJ

⋅−11,2−72EJ

=0

0 EJ

⋅4 90 EJ

⋅−11,21008 EJ

=0

{0 =0 0 =0

Wartości nadliczbowych spełniają układ równań.

d) Sprawdzenie statyczne

Dysponując wszystkimi siłami wewnętrznymi odcinamy myślowo ramę od podpór i przykładamy siłyprzypodporowe (reakcje).

P = 54 kN

q = 9 kN/m

3 2

4

7,2 kN 15,2 kN

146 kN

36 kN

58,8 kNm

K

[m]

Rys. 10.20. Rama “zawieszona” na wewnętrznych siłach przypodporowych

Obciążenie zewnętrzne wraz z reakcjami musi spełniać równania równowagi.

∑ X : 9 ⋅4 −36=0 ⇒0=0 ∑ Y : −7,2 −5415,2 46=0 ⇒0=0 ∑M : −58,8 −7,2 ⋅3 9 ⋅4 ⋅2 54 ⋅1 −15,2 ⋅3=0 ⇒0=0

e) Sprawdzenie kinematyczne

Skorzystamy z twierdzenia redukcyjnego i obliczymy przemieszczenie mnożąc rzeczywisty wykresmomentów MP

(n) przez wykres wirtualny utworzony w nowym układzie podstawowym.



Żeby dokonać sprawdzenia musimy policzyć znane przemieszczenie. W układzie podstawowym narys. 10.21 znamy przemieszczenie pionowe i kąt obrotu przekroju w dolnej podporze. W rzeczywistości jesttam utwierdzenie, tak więc wszystkie przemieszczenia są równe zero. Liczymy kąt obrotu przekroju(przykładamy wirtualny moment):

3

4MP(n) [kN/m]

1 2

21,6

30,4

8,4

58,8

13,2

EJ

2 EJ

13 2

4

1 [-]

1

[m][m]

0 [m]M

1 6

0,50,5

1 6

Rys. 10.21. Wykresy momentów zginających od: obciążenia rzeczywistego w układzie rzeczywistym (statycznieniewyznaczalnym) oraz od jedynkowej siły w innym układzie podstawowym

Uwzględniając tylko wpływ momentów otrzymujemy:

1 ⋅= 1 EJ

⋅[1 2⋅3 ⋅21,6 ⋅2

3 ⋅1

2−1

2 ⋅1 ⋅8,4 ⋅ 2

3⋅1

2 1

3 ⋅1

3 1

2 ⋅1 ⋅30,4 ⋅1

3⋅1

22

3⋅1

3 1 2 ⋅2 ⋅30,4 ⋅2

3⋅1

3 ] 1

2 EJ⋅[−1

2⋅4 ⋅58,8 ⋅1 1

2⋅4 ⋅13,2 ⋅1 2

3 ⋅9 ⋅42

8⋅4 ⋅1]= 0

EJ=0 rad

Wynik jest poprawny.

10.3. Metoda sił dla innych typów obciążeń

Podstawową różnicą pomiędzy obliczaniem układów statycznie wyznaczalnych a niewyznaczalnych jestto, że w tych drugich obciążenia takie jak: temperatura, osiadanie czy błąd montażu wywołują obokprzemieszczeń konstrukcji także siły wewnętrzne. Dlatego obciążenia te należy uwzględnić w wyrazachwolnych w równaniach kanonicznych, tzn. δik pozostaje bez zmian, natomiast w zależności od obciążenia ΔiP

zastępuje się następującymi wielkościami:

10.3.1. Wpływ temperatury

i t=t⋅ t

h⋅∫M i⋅ds∫N i⋅t⋅t0 ⋅ds (10.22)

gdzie :

αt - współczynnik rozszerzalności termicznej,

Δt - różnica temperatur,



to - równomierne ogrzanie,

h - wysokość przekroju,

Mi i Ni - wykresy sił wewnętrznych dla stanu Xi =1,

αt, Δt, to są takie same jak dla układów statycznie wyznaczalnych.

Równanie kanoniczne przyjmie postać:

∑k=1

n

ik⋅X kit=0 (10.23)

10.3.2. Wpływ osiadania podpór

i =−∑i

Ri⋅i−∑i

M i⋅i (10.24)

gdzie:

Δi - przemieszczenie liniowe podpory,

φi - przemieszczenie kątowe podpory,

Ri i Mi - reakcje po kierunkach przemieszczanych podpór.


∑k=1

n

ik⋅X ki =0 (10.25)

10.3.3. Wpływ błędów montażu

i m=∑i

Bi m⋅bi m (10.26)

gdzie:

bim - błąd w wymiarze elementu (np. pręt zbyt długi),

Bim - siła wewnętrzna po kierunku błędnego wymiaru (np. siła normalna).


∑k=1

n

ik⋅X ki m=0 (10.27)

Uwaga!

Gdy wpływem zewnętrznym jest temperatura, osiadanie podpór lub błędy montażu zadanie jestrozwiązywalne tylko przy znanym EJ, EA, GA. Wyrazy wolne Δit, ΔiΔ, Δim nie są wyrażone przez sztywnośćdlatego też nie można pominąć sztywności we współczynnikach δik.



Zadanie 4

Obliczyć siły wewnętrzne w analizowanej ramie, wywołane działaniem temperatury (pominiemy wpływrównomiernego ogrzania) oraz osiadaniem podpór.

EJ

2 EJ

3

4

0,01 rad

0,015 [m]

-5 oC

35 oC 25 oC

3 [m]

Rys. 10.22. Układ rzeczywisty obciążony temperaturą i osiadaniem podpór

Do obliczeń przyjmujemy układ podstawowy, który daje prostszą postać macierzy podatności:

EJ

2 EJ

3 3

4

Z1

Z2

Z1

Z2

-5 oC

25 oC35 oC

0,015 [m]0,01 rad

Rys. 10.23. Układ podstawowy z niewiadomymi Z1 i Z2

W zadaniu przyjęto:

• współczynnik rozszerzalności termicznej jak dla stali:

t=1,2 ⋅10−5 1 ˚C

• ramę wykonaną z profili stalowychrygiel ramy I200 słup ramy 2 I200o następujących parametrach:



E=206,01 GPa=206,01 ⋅106 kNm2

J x=2140 ⋅10−8 m4

E⋅J=4408,614 kN⋅m2

Ponieważ układ podstawowy przyjęto jak w poprzednim zadaniu możemy skorzystać z wykonanychwcześniej wykresów:

3 3

4

Z1 = 1 3

M1' [m]

Z1 = 1

3 3

4

Z2 = 13

M2' [m]

Z2 = 1

3

6

[m][m]

Rys. 10.24. Wykresy momentów zginających w układzie podstawowym pochodzące kolejno od: siły jedynkowejprzyłożonej w miejsce niewiadomej Z1 i siły jedynkowej przyłożonej w miejsce niewiadomej Z2

i wcześniej obliczonych wartości niektórych współczynników:

11 =1 EJ 2 ⋅1

2⋅3 ⋅3 ⋅2

3⋅3 =18 m3

EJ

12=21=1 EJ 12⋅3 ⋅3 ⋅2

3−1

2⋅3 ⋅3 ⋅2

3 =0

22=1 EJ

⋅18 1 2 EJ

⋅4 ⋅6 ⋅6 =90 m3

EJ

a) Obciążenie teperaturą

W układzie równań kanonicznych:

{11⋅Z 112⋅Z 21 t=021⋅Z 122⋅Z 22 t=0

brakuje jeszcze wyrazów wolnych. Obliczamy je według wzoru (10.22) pomijając wpływ t0.

1 t=1,2 ⋅10−5

0,20⋅3 ⋅3

2 ⋅40 3 ⋅3

2 ⋅30 =0,0189 m

2 t=1,2 ⋅10−5

0,20⋅3 ⋅3

2 ⋅40 3 ⋅3

2 ⋅306 ⋅4 ⋅10 =0,0171 m

Jeżeli cały układ równań pomnożymy przez EJ współczynniki δik będą liczbami, a wyrazy wolne będą miaływartość:



E⋅J⋅1 t=0,0189 ⋅4408,614 =83,232 kN⋅m3

E⋅J⋅2 t=0,0171 ⋅4408,614 =75,387 kN⋅m3

Układ równań kanonicznych przyjmie więc postać:

{18⋅Z 1 83,323 =0 90 ⋅Z 2 75,387 =0

Z powyższego układu rownań otrzymano wyniki:

{Z 1 =−4, 629 kNZ 2 =−0,838 kN

W miejscu usuniętych podpór działają odpowiednie sumy sił Zi:

Z 1Z 2=−5,467 kNZ 1−Z 2=−3,791 kN

Aby uzyskać wykres momentów od temperatury obciążamy ramę tylko siłami nadliczbowymi Zi.

3

4

Mt(n) [kNm]

3

5,467 kN 3,791 kN

16,401 11,373

5,028

[m]

Rys. 10.25. Wykresy momentów zginających od temperatury w układzie rzeczywistym (statycznie niewyznaczalnym)

Kontrolę kinematyczną przeprowadzimy mnożąc wykres rzeczywisty Mt(n) przez wykres wiryualny M 0 .



EJ

2 EJ

13 2

4

1 [-]

1

[m]

0 [m]M

0,50,5

1 6

1 6

Rys. 10.26. Wykresy momentów zginających od: jedynkowej siły wirtualnej w innym układzie podstawowym

Licząc wartość przemieszczenia należy pamiętać o wpływie temperatury (wpływ t0 pominięto):

1 ⋅=∑ t⋅ th

⋅∫M 0 ⋅ds∑∫ M tn ⋅M 0

EJ⋅ds (10.28)

Wykres momentów Mt(n) jest poprawny jeśli przemieszczenie bedzie zerowe.

1 ⋅=1 2⋅3 ⋅1

2⋅ 1

EJ⋅2

3⋅16,401 −1,2 ⋅10−5⋅40

0,20 1 2⋅3 ⋅1

2⋅−1

EJ⋅2

3⋅11,373 1,2 ⋅10−5⋅30

0,20 4 ⋅1 ⋅5,028

2 EJ−1,2 ⋅10−5⋅10

0,20 =0,000001 ≈0 rad

Wykresy sił tnących i normalnych również wykonujemy tylko od sił Zi.

3

4

Tt(n) [kN]

3

-5,467

_

+3,791

Rys. 10.27. Wykres rzeczywistych sił tnących Tt(n)



3

4

Nt(n) [kN]

3

-9,258 _

Rys. 10.28. Wykres rzeczywistych sił normalnych Nt(n)

Warto zwrócić uwagę, że wykresy momentów zginających odłożone są po stronie zimniejszej, cowynika z istnienia (działania) dodatkowych więzów. W układach statycznie wyznaczalnych zawsze rozciąganebyły włókna cieplejsze.

b) Obciążenie osiadaniem podpór

Podobnie jak w przypadku temperatury do rozwiązania układu równań brakuje wartości wyrazówwolnych ΔiΔ. Obliczamy je na podstawie pracy reakcji w stanach jednostkowych.

EJ

2 EJ

3 3

4

Z2Z2

0,015 [m]0,01 rad

EJ

2 EJ

3 3

4

Z1 Z1

0,015 [m]0,01 rad

R = 2 R = 0M = 6M = 0

Rys. 10.29. Reakcje w podporach od stanów Z1 oraz Z2

1=−−0,015 ⋅1 =0,015 m2=−0,015 ⋅1 −6 ⋅0,01=0,045 m

Cały układ równań mnożymy przez EJ, stąd wartości wyrazów wolnych:

E⋅J⋅1=0,015 ⋅4408,614 =66,129 [kN⋅m3]

E⋅J⋅2=0,045 ⋅4408,614 =198,388 [kN⋅m3]

Układ równań kanonicznych przyjmie więc postać:



{18⋅Z 1 66,129 =0 90 ⋅Z 2 198,388 =0

Z powyższego układu rownań otrzymano wartości nadliczbowych sił:

{Z 1 =−3,674 kNZ 2 =−2,204 kN

A po zsumowaniu wartości nadliczbowych reakcji:

Z 1Z 2=−5,878 kNZ 1−Z 2=−1,470 kN

Obciążając układ podstawowy tylko wyliczonymi siłami możemy narysować wykres momentówzginających od obciążenia rzeczywistego w układzie rzeczywistym (statycznie niewyznaczalnym).

3

4

MΔ(n) [kNm]

3

5,878 kN 1,470 kN

17,6344,410

13,224

[m]

Rys. 10.30. Wykres momentów zginających od obciążenia osiadaniem podpór w układzie rzeczywistym

Kontrola kinematyczna – sprawdzenie wykresu momentów MΔ(n).

Aby wyznaczyć dowolne przemieszczenie w układzie, którego podpory osiadają trzeba uwzględnićpracę reakcji wirtualnych na rzeczywistych przemieszczeniach.



EJ

2 EJ

3 3

40,01 rad

0,015 [m]

[m]

EJ

2 EJ

13 2

4

1 [-]

1

[m]

0 [m]M

1 6

0,50,5

1 6

Rys. 10.31. Układ rzeczywisty poddany obciążeniu osiadaniem; wykres momentów zginających od jedynkowej siływirtualnej w innym układzie podstawowym

Korzystamy z wzoru:

1 ⋅=−∑ R0⋅∑∫M

n ⋅M 0

EJ⋅dx (10.29)

Podstawiając wartości nadliczbowe otrzumujemy przemieszczenie o wartości bliskiej zeru co znaczy, żesprawdzany wykres jest poprawny.

1 = 1EJ

⋅1 2⋅3 ⋅1

2⋅2 3⋅17,634 −1

2 ⋅3 ⋅1

2⋅2 3⋅4,410

1 2 EJ

⋅4 ⋅1 ⋅13,224 −1 ⋅0,01 −1 6⋅0,015=−0,000001 rad≈0 rad

Wykresy sił tnących i normalnych w układzie rzeczywistym powstają tylko od sił Zi.

3

4

TΔ(n) [kN]

3

-5,878

_

+1,470

Rys. 10.32. Wykres rzeczywistych sił tnących TΔ(n)



3

4

NΔ(n) [kN]

3

-7,348 _

Rys.10.33. Wykres rzeczywistych sił normalnych NΔ(n)

10.4. Projektowanie konstrukcji metodą sił

Zaprojektować konstrukcję tzn. przyjąć przekroje elementów (np. prętów, słupków rygli ram, itp.) wtaki sposób by spełnić warunek dopuszczalności, nie przekroczyć nośności elementów lub dopuszczalnychugięć.

∣M eks.∣W

≤dop.

f eks. f dop.

(10.30)

gdzie:

Meks. - maksymalny moment zginający w elemencie,

W - wskaźnik wytrzymałości przekroju,

σdop. - dopuszczalne naprężenia przy zginaniu,

feks. - ekstremalne ugięcie elementu,

fdop. - dopuszczalne ugięcie (przemieszczenie).

Przystępując do projektowania zakładamy pewne przekroje elementów. Jeżeli po przeprowadzeniuobliczeń okazuje się, że przyjęte przekroje nie spełniają naszych założeń wytrzymałościowych, ekonomicznychbądź innych, to jesteśmy zmuszeni zmienić wymiary przekroi. Przyjmując w konstrukcji inne przekrojemusimy ponownie rozwiązać układ metodą sił, ponieważ zmiana sztywności prętów pociągnęła za sobązmianę macierzy podatności (δik) oraz wektora wyrazów wolnych (ΔiP) w równaniach kanonicznych. Podokonaniu obliczeń ponownie sprawdzamy, czy przyjęte do obliczeń przekroje prętów w drugim etapiespełniają narzucone kryteria. Jeżeli nie, to dokonujemy kolejnej zmiany przekrojów prętów i powtarzamyobliczenia, aż do skutku.

Reasumując konstrukcję statycznie niewyznaczalną projektujemy metodą kolejnych przybliżeń(iteracyjnie rozwiązując w każdym kroku układ statycznie niewyznaczalny).


10. 10. METODA SIŁ - RAMA -...

Documents

Transcript of 10. 10. METODA SIŁ - RAMA -...