1 Pierścienie, algebry - Uniwersytet Gdańskiszafran/pierscienie.pdf · • Jeżeli P jest...

Podstawowe WłasnościPierścieni

Literatura Pomocnicza:

1. S.Balcerzyk,T.Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN

2. A.Białynicki-Birula, Algebra, PWN

3. J.Browkin, Teoria ciał, PWN

4. D.Cox, J.Little, D.O’Shea, Ideals, varieties and algorithms, Springer-Verlag

5. S.Lang, Algebra, PWN

1 Pierścienie, algebry

Niech P bedzie przemiennym pierścieniem z jedynka. Wtedy

• 1 = 0 ⇔ P jest zbiorem jednoelementowym

• 0 jest jedynym elementem neutralnym dla dodawania

• 1 jest jedynym elementem neutralnym dla mnożenia

• ∀ x ∈ P, 0 · x = 0

Każde ciało K jest pierścieniem. Zbiór wielomianów K[X] = K[X1, . . . , Xn]jest pierścieniem.

Definicja. Odwzorowanie pierścieni h : P → S nazywamy homomor-fizmem jeżeli ∀ x, y ∈ P

h(x + y) = h(x) + h(y)

h(x · y) = h(x) · h(y)

h(1) = 1

Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 2

• h(0) = 0

• ker h = {x ∈ P | h(x) = 0} – jadro h

• Im h = {s ∈ S | ∃ x ∈ P s = h(x)} – obraz h

• Homomorfizm h : P → S jest izomorfizmem, jeżeli istnieje homo-morfizm odwrotny g : S → P , tzn. g ◦ h = idP , h ◦ g = idS

• Homomorfizm h jest izomorfizmem⇔ h jest wzajemnie jednoznaczny, tzn. różnowartościowy i ”na”⇔ ker h = {0} oraz Im h = S

Definicja. Jeżeli istnieje homomorfizm η : R → P , to pierścień P

nazywamy R–algebra.

• Pierścień wielomianów K[X] jest K–algebra

• Jeżeli P jest K–algebra a K jest ciałem, to P jest w naturalnysposób przestrzenia wektorowa nad K. Dla r ∈ K oraz p ∈ P

definiujemy iloczyn r · p = η(r) · p.

W szczególności K[X] jest K–przestrzenia wektorowa.

Definicja. Element p ∈ P nazywamy

• odwracalnym, jeżeli istnieje taki s ∈ P , że ps = 1

• dzielnikiem zera, jeżeli istnieje taki s ∈ P, s 6= 0, że ps = 0 (Jeżelip 6= 0 to p jest właściwym dzielnikiem zera.)

• nilpotentnym, jeżeli istnieje taka liczba naturalna n ≥ 1, że pn = 0.(Przyjmujemy, że jeżeli p 6= 0 to p0 = 1.)

Definicja. P ∗ – zbiór elementów odwracalnych w P .(Zawsze 1 ∈ P ∗; 0 6∈ P ∗ o ile 1 6= 0.)

Fakt 1.1 Jeżeli an = 0 oraz p jest odwracalny, to p + a też jest odwra-calny.

Definicja. Jeżeli P nie zawiera właściwych dzielników zera, to nazy-wamy go pierścieniem bez dzielników zera (lub dziedzina całkowitości).

Fakt 1.2 Każdy element p ∈ P \ {0} jest odwracalny⇔ P jest ciałem.


Ćwiczenia.

1. Element odwracalny nie jest dzielnikiem zera (o ile 1 6= 0).

2. Dzielnik zera nie jest odwracalny (o ile 1 6= 0).

3. Jeżeli P jest pierścieniem bez dzielników zera, to zbiór elementówodwracalnych w P jest zbiorem elementów odwracalnych w P [X].

4. Jeżeli iloczyn p · q jest odwracalny, to p oraz q sa odwracalne.

5. Jeżeli p jest nieodwracalny, to dla dowolnego q, element p · q jestnieodwracalny.

6. W pierścieniu Z/4Z, element ”3” jest odwracalny, element ”2” jestwłaściwym dzielnikiem zera i elementem nilpotentnym.

7. Każdy właściwy element nilpotentny jest właściwym dzielnikiemzera.

8. Dowolny pierścień jest Z–algebra.

9. Z∗ = {±1}.

10. (Z/4Z)∗ = {1, 3}.

2 Ideały

Definicja. Ideałem pierścienia P nazywamy każdy podzbiór I ⊂ P

spełniajacy warunki:(a) r, s ∈ I ⇒ r + s ∈ I

(b) r ∈ I, p ∈ P ⇒ r · p ∈ I

• {0}, P sa ideałami. Każdy ideał I 6= P nazywamy właściwym

• Ideał I zawiera element odwracalny ⇔ I = P

• Wybierzmy p1, . . . , pk ∈ P . Wtedy

I = {p1a1 + · · ·+ pkak | p1, . . . , pk ∈ P}


jest ideałem. Mówimy, że I jest generowany przez a1, . . . , ak, ioznaczamy I = (a1, . . . , ak).Jeżeli I ma jeden generator a, to mówimy że I = (a) jest ideałemgłównym.

• W ciele K istnieja tylko dwa ideały: {0}, K. Jeżeli P 6= {0}posiada tylko dwa ideały {0} oraz P , to P jest ciałem

• Jeżeli h : P → S jest homomorfizmem pierścieni, to ker h jestideałem

• Jeżeli V ⊂ Kn to

I(V ) = {f ∈ K[X] | f|V ≡ 0}

jest ideałem w K[X].

• Jeżeli I ⊂ K[X] jest ideałem, to definiujemy

V (I) = {p ∈ Kn | ∀ f ∈ I f(p) = 0}

• Przekrój dowolnej rodziny ideałów jest ideałem. W szczególno-ści, dla dowolnego zbioru A ⊂ P istnieje najmniejszy ideał w P

zawierajacy A, równy przekrojowi rodziny wszystkich ideałów za-wierajacych A.Nazywamy go ideałem generowanym przez A, i oznaczamy: (A)Jeżeli A = {a1, . . . , ak}, wtedy (A) = (a1, . . . , ak)

• Ideał (A) składa sie z tych elementów, które można przedstawić wpostaci p1a1+. . .+psas, gdzie s ≥ 1, a1, . . . , as ∈ A, p1, . . . , ps ∈ P

• Niech I1, I2 beda ideałami. Wtedy

I1 + I2 = {a1 + a2 | a1 ∈ I1, a2 ∈ I2}

jest najmniejszym ideałem zawierajacym I1 oraz I2

• Pierścień P nazywamy pierścieniem ideałów głównych, gdy wszyst-kie ideały w P sa główne. Z oraz pierścień wielomianów jednejzmiennej K[X] sa pierścieniami ideałów głównych.

Ćwiczenia.

1. r, s ∈ I ⇒ r − s ∈ I


2. Niech x0 ∈ R. Wtedy I = {f ∈ R[X] | f(x0) = 0} jest ideałemwłaściwym generowanym przez X − x0

3. Niech x1, . . . , xk ∈ R. Wtedy

I = {f ∈ R[X] | f(x1) = · · · = f(xk) = 0}

jest ideałem właściwym. Jakie sa generatory I? Czy I jest główny?

4. Niech p = (p1, . . . , pn) ∈ Kn, K = R, C. Używajac wzoru Taylorapokaż, że I({p}) jest generowany przez X1 − p1, . . . , Xn − pn

5. Jeżeli I ⊂ P jest ideałem, P jest K– algebra, to I jest K–podprzestrzenialiniowa w P

6. Ideał I ⊂ K[X] jest właściwy ⇔ I nie zawiera żadnej stałej

7. h : Z → R, h(m) = m, jest homomorfizmem, ale h((2)) nie jestideałem.

8. Jeżeli I ⊂ J to I + J = J .

9. Czy X2 ∈ K[X, Y ] należy do ideałów (X3, X4), (X3, Y 4), (X +1, Y + 1), (X2 + Y, Y ), (X3 + 1, X2 + X + 1)

10. I · J = {a1b1 + · · ·+ asbs | ai ∈ I, bi ∈ J} jest ideałem.Czy I · J = {ab | a ∈ I, b ∈ J}?

11. I · J ⊂ I oraz I · J ⊂ J .

12. Jeżeli I1, . . . , In sa ideałami, to zdefiniowany indukcyjnie zbiór I1 · · · In =(I1 · · · In−1) · In jest ideałem.

13. Którym z symboli "⊂", "=", "⊃"można zawsze zastapić symbol"?"we wzorze

I1 · · · In ? I1 ∩ . . . ∩ In

3 Kongruencje, pierścień ilorazowy

Niech I bedzie ideałem w pierścieniu P .

• Relacja a ≡ b ⇔ a− b ∈ I jest relacja równoważności.

• p ≡ 0 ⇔ p ∈ I.


• Jeżeli a1 ≡ a2 oraz b1 ≡ b2, to wtedy a1 + b1 ≡ a1 + b2 oraza1b1 ≡ a2b2.

• Klasy abstrakcji relacji ”≡” nazywamy warstwami. Warstwa sto-warzyszna z elementem p jest zbiorem postaci {p + a | a ∈ I}.Oznaczac ja bedziemy symbolem p + I lub [p].

• Zbiór klas abstrakcji, oznaczany symbolem P/I, jest pierścieniem zdziałaniami zdefiniowanymi w naturalny sposób na reprezentantachwarstw:

[p] + [q] = [p + q]

[p] · [q] = [p · q]Pierscień P/I jest nazywany pierścieniem ilorazowym.

• Odwzorowanie κ : P → P/I zdefiniowane jako κ(p) = [p] jestsurjektywnym homomorfizmem, ker κ = I. Odwzorowanie κ jestnazywane kanonicznym homomorfizmem.

• Niech h : P → S bedzie homomorfizmem. Załóżmy, że I = ker h.Wtedy istnieje dokładnie jeden homomorfizm h∗ : P/I → S, takize h = h∗ ◦ κ. Nazywamy go homomorfizmem indukowanym.

• Jeżeli P jest R algebra, to P/I też jest R algebra. A wiec jeżeliR = K jest ciałem, to wtedy P/I jest przestrzenia wektorowanad ciałem K, a homomorfizm kanoniczny κ : P → P/I jestodwzorowaniem K–liniowym.

• Niech h : P → S bedzie surjektywnym homomorfizmem K–algebr (K–ciało), niech I = ker h. Wtedy h∗ : P/ ker h → S jestizomorfizmem, oraz

dimK S = dimK P/I.

• Jeżeli J ⊂ I są ideałami, to istnieje surjektywny homomorfizmh : P/J → P/I. Wtedy:h jest izomorfizmem ⇔ J = I ⇔ dimK P/J = dimK P/I.

Ćwiczenia.

1. Jeżeli I = (m) ⊂ Z, to Z/I = Z/mZ.


2. Niech I ⊂ K[X] (K – ciało). Wtedy istnieje wielomian h taki, żeI = (h).

Weźmy f, g ∈ K[X]. Dzielac te wielomiany z reszta przez h otrzy-mamy:

f = ph + r1, deg(r1) < deg(h),

g = qh + r2, deg(r2) < deg(h).

Wtedy f ≡ g ⇔ r1 = r2.

3. R[X]/(X + 7) jest izomomorficzny z R.

4. R[X]/(X2 + 5) jest izomorficzny z C.

5. R[X]/(X2 − 3) jest izomorficzny z R× R.

6. Jeżeli 0 6= h ∈ R[X] jest wielomianem posiadającym tylko jedno-krotne pierwiastki, to R[X]/(h) jest izomorficzny (jako R–agebra!)z

R× · · · × R︸︷︷︸r

×C× · · · × C︸︷︷︸s

,

gdzie r jest liczbą pierwiastków rzeczywistych, s jest połową liczbypierwiastków nie leżących na osi rzeczywistej. Czy można podobnieopisać R[X]/(h) jeżeli dopuścimy istnienie pierwiastków wielokrot-nych?

4 Chińskie twierdzenie o resztach

Jeżeli P1, . . . , Pn sa pierścieniami, to ich iloczyn kartezjańskiP1 × · · · × Pn, z naturalnie zdefiniowamymi działaniami, jest też pier-ścieniem.

Uwaga. Jeżeli P1, . . . , Pn sa ciałami, to P1 × · · · × Pn nie musi byćciałem.

Bedziemy od teraz zakładać, że wszystkie pierścienie sa K-algebrami dla ustalonego ciała K.


Skoro teraz każdy Pi jest K–algebra, to P1 × · · · × Pn jest też K–algebra.

Niech I1, . . . , In beda ideałami w pierścieniu P . Dla 1 ≤ k ≤ n orazp ∈ P , [p]k oznaczać bedzie warstwe elementu p w P/Ik.

Ćwiczenie.

1. Odwzorowanie h : P → P/I1 × · · · × P/In:

h(p) = ([p]1, . . . , [p]n)

jest homomorfizmem K–algebr.

Twierdzenie 4.1 (Chińskie twierdzenie o resztach) Załóżmy, że∀ k 6= `, Ik + I` = P . Wtedy

(i) I1 ∩ . . . ∩ In = I1 · · · In.

(ii) Istnieje kanoniczny izomorfizm K–algebr

P/I1 ∩ . . . ∩ In ' P/I1 × · · · × P/In

zdefiniowany wzorem p + I1 ∩ . . . ∩ In 7→ ([p]1, . . . , [p]n).

Przykład. Jeżeli m1, . . . ,mn sa wzglednie pierwszymi liczbami całkowi-tymi, to

Z/m1 · · ·mn ' Z/m1Z× · · · × Z/mnZ.

Wniosek 4.2 Załóżmy, że ∀ k 6= `, Ik + I` = P . Wtedy

dimK P/I1 ∩ . . . ∩ Ik < ∞

wtedy i tylko wtedy, gdy

∀ 1 ≤ k ≤ n dimK P/Ik < ∞.

Wniosek 4.3 Jeżeli ∀ k 6= `, Ik +I` = P oraz I1∩ . . .∩In = I1 · · · In ={0} to

P ' P/I1 × · · · × P/In.


5 Ideały pierwsze i maksymalne

Definicja. Ideał I ⊂ P nazywamy pierwszym, gdy dla dowolnych ele-mentów a, b ∈ P :

ab ∈ I ⇒ a ∈ I lub b ∈ I.

• Jeżeli I jest pierwszy, a1 · · · an ∈ I to ∃ 1 ≤ i ≤ n ai ∈ I.

• Jeżeli P → S jest homomorfizmem oraz S jest pierścieniem bezdzielników zera, to ker h jest ideałem pierwszym.

• {0} ⊂ P jest ideałem pierwszym wtedy i tylko wtedy, gdy P jestpierścieniem bez dzielników zera.

• Ideał I jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy P/I jest pierścieniembez dzieników zera.

• Jeżeli h : P → S jest homomorfizmem oraz J ⊂ S ideałempierwszym, to h−1(J) ⊂ P jest ideałem pierwszym.

Definicja. Ideał właściwy I ⊂ P nazywamy maksymalnym, gdy dlakażdego ideału J ⊂ P :

I ⊂ J ⇒ J = I lub J = P.

• I jest ideałem maksymalnym wtedy i tylko wtedy, gdy P/I jestciałem.

• Ideał maksymalny jest pierwszy.

• Każdy ideał zawiera sie w pewnym ideale maksymalnym.

Ćwiczenia

1. Załóżmy, że h : P → S jest surjektywnym homomorfizmem orazI ⊂ P jest ideałem pierwszym. Czy h(I) ⊂ S jest zawsze pierwszy?

2. (n) ⊂ Z jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbapierwsza.

3. Niech f ∈ Z[X] bedzie wielomianem stopnia 2 . Ideał (f) jestmaksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy f nie ma pierwiastków rze-czywistych.


4. Niech h : P → S bedzie surjektywnym homomorfizmem orazniech I ⊂ P będzie ideałem maksymalnym. Czy h(I) ⊂ S jestzawsze ideałem maksymalnym?

5. Niech P bedzie pierścieniem ideałów głównych bez dzielników zera.Niezerowy ideał właściwy I jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdyI jest maksymalny.

6 Pierścienie noetherowskie

Definicja Pierścień nazywamy noetherowskim, gdy każdy ideał tegopierścienia jest skończenie generowany.

• Każdy pierścień ideałów głównych jest noetherowski.

• Każde ciało jest pierścieniem noetherowskim

Twierdzenie 6.1 Poniższe warunki sa równoważne:

(i) P jest noetherowski,

(ii) Każdy wstepujacy ciag ideałów I1 ⊂ I2 ⊂ · · · stabilizuje sie, tzn.dla pewnego n: In = In+1 = · · · .

(iii) Każda niepusta rodzina ideałów posiada element maksymalny zewzgledu na relacje zawierania.

Twierdzenie 6.2 (Twierdzenie Hilberta o bazie) Jeżeli P jest no-etherowski, to pierścień wielomianów P [X] jest też noetherowski.

Wiec pierścień wielomianów n–zmiennych K[X] = K[X1, . . . , Xn−1][Xn]o współczynnikach w ciele K jest noetherowski.

Ćwiczenia.

1. Z[X] nie jest pierścieniem ideałów głównych.

2. Niech I bedzie ideałem w pierścieniu noetherowskim P . Wtedypierścień P/I jest noetherowski.

3. Niech I, J beda takimi ideałami w pierścieniem noetherowskim P ,że:

∀ f ∈ I ∃ k > 0 fk ∈ J,

∀ g ∈ J ∃ ` > 0 g` ∈ I.

Wtedy istnieja stałe r, s > 0 takie, że Ir = I · · · I︸︷︷︸r

⊂ J, Js ⊂ I.


4. Niech fα bedzie dowolna rodzina wielomianów w K[X]. Oznaczmy

V =⋂α

f−1α (0).

Każdy zbiór tej postaci nazywamy zbiorem algebraicznym. Pokaż,że istnieje skończony podzbiór indeksów α1, . . . , αm taki, że

V =m⋂

i=1

f−1αi

(0),

a wiec każdy zbior algebraiczny może być opisany za pomoca skoń-czonej ilości równań.

7 Twierdzenie Hiberta o zerach

Twierdzenie 7.1 Załóżmy, że m ⊂ C[X] jest ideałem maksymalnym.Wtedy istnieje jednoznacznie wyznaczony punkt p = (p1, . . . , pn) ∈

Cn taki, że

m = mp = {f ∈ C[X] | f(p) = 0} = (X1 − p1, . . . , Xn − pn).

Wniosek 7.2 Jeżeli m ⊂ C[X] jest ideałem maksymalnym, to

C[X]/m ' C.

Przykład. Ideał (X2 + 1) ⊂ R[X] jest maksymalny, ale

R[X]/(X2 + 1) 6' R.

Definicja. Jeżeli I jest ideałem, to

rad(I) = {p ∈ P | ∃ n > 0 pn ∈ I}

jest ideałem. Nazywamy go radykałem ideału I.

Twierdzenie 7.3 (Tw. Hilberta o zerach I) Niech f1, . . . , fr ∈ C[X].Wtedy układ równań f1 = · · · = fr = 0 ma rozwiazanie w Cn wtedy itylko wtedy, gdy ideał (f1, . . . , fr) ⊂ C[X] jest właściwy, tzn. nie za-wiera żadnego elementu odwracalnego, czyli niezerowej stałej.


Twierdzenie 7.4 (Tw. Hilberta o zerach II) Niech I ⊂ C[X] bedzieideałem, niech V = V (I). Załóżmy, że g ∈ C[X] jest takim wielomia-nem, że g|V ≡ 0.

Wtedy istnieje m > 0 takie, że gm ∈ I (czyli g ∈ rad(I)).

Ćwiczenia. Dla K = C:

1. V (f1, . . . , fr) = V (g1, . . . , gs) ⇔ rad(f1, . . . , fr) = rad(g1, . . . , gs),czyliV (I) = V (J) ⇔ rad(I) = rad(J).

2. I ⊂ J ⇒ V (I) ⊃ V (J).

3. V (I) ⊃ V (J) ⇒ rad(I) ⊂ rad(J).

4. V (I ∩ J) = V (I) ∪ V (J).

5. V (I · J) = V (I) ∪ V (J).

6. V (Ik) = V (I).

7. V (I + J) = V (I) ∩ V (J).

8. Jeżeli V (I) = V (J), to istnieja k, ` > 0 takie, że

Ik ⊂ J oraz J ` ⊂ I.

9. W których z powyższych zadań można zastapić ciało C przez R?

8 Rozszerzenia całkowite

Niech B bedzie pierścieniem bez dzielników zera.Definicja. Podzbiór A ⊂ B nazywamy podpierścieniem, jeżeli A zdziałaniami indukowanymi z B jest pierścieniem.

Załóżmy, że A ⊂ B jest podpierścieniem.Definicja. Mówimy, że element b ∈ B jest całkowity wzgledem A, jeżeliistnieje taki wielomian unormowany f ∈ A[X], że f(b) = 0, tzn.:

bn + an−1bn−1 + · · ·+ a0 = 0

dla pewnych a0, . . . , an−1 ∈ A.


B nazywamy rozszerzeniem całkowitym pierścienia A, jeżeli każdy ele-ment b ∈ B jest całkowity wzgledem A.

Podzbiór M ⊂ B nazywamy skończenie generowanym A–modułem, je-żeli istnieja b1, . . . , bs ∈ B, takie że

M = {a1b1 + · · ·+ asbs | ai ∈ A} = A b1 + · · ·+ A bs.

Ćwiczenia.

1. Jeżeli M jest skończenie generowanym A–modułem, tom1, m2 ∈ M ⇒ m1 + m2 ∈ M ,a ∈ A, m ∈ M ⇒ a ·m ∈ M .

2. Jeżeli b1, . . . , bs ∈ B to

A[b1, . . . , bs] = {f(b1, . . . , bs) | f ∈ A[X1, . . . , Xs]}

jest podpierścieniem w B. Wyjaśnij, jaka jest różnica pomiedzyA[b1, . . . , bs] oraz A b1 + · · ·+ A bs.

3. Niech k ⊂ L beda ciałami. Wtedy b ∈ L jest całkowity wzgledemk wtedy i tylko wtedy, gdy b jest algebraiczny wzgledem k.

Lemat 8.1 Jeżeli b ∈ B jest całkowity wzgledem A, to A[b] = {h(b) | h ∈A[X]} jest skończenie generowanym A–modułem.


(i) B jest rozszerzeniem całkowitym A,

(ii) jeżeli b1, . . . , bs ∈ B, to A[b1, . . . , bs] jest skończenie generowanymA–modułem,

(iii) każdy skończony podzbiór zbioru B jest zawarty w pewnym podpier-ścieniu C ⊂ B, który jest skończenie generowanym A–modułem.

Wniosek 8.3 Jeżeli B jest skończenie generowanym A–modułem, to B

jest rozszerzeniem całkowitym A.

Wniosek 8.4 Zbiór wszystkich elementów w B cakowitych wzgledem A

jest podpierścieniem w B.


Twierdzenie 8.5 Jezeli A ⊂ B ⊂ C sa pierścieniami bez dzielnikówzera, B jest rozszerzeniem całkowitym A oraz C jest rozszerzeiem cał-kowitym B, to C jest rozszerzeniem całkowitym A.

Niech k bedzie ciałem, zaś k[X] pierścieniem wielomianów. Niech

k(X) =

{f(x)

g(x)| f, g ∈ k[X], g 6= 0

}bedzie ciałem funkcji wymiernych. Oczywiście istnieje naturalne zanu-rzenie k[X] ⊂ k(X).

Twierdzenie 8.6 Jeżeli h ∈ k(X) jest całkowity wzgledem k[X], to h ∈k[X].

Wniosek 8.7 Załóżmy, że ciało k jest podciałem ciała L.Załóżmy, żeelement b ∈ L jest przestepny wzgledem ciała k, tzn. b nie jest pier-wiastkiem żadnego niezerowego wielomianu o współczynnikach z k. Wtedy

k[X] ' k[b], k(X) ' k(b).

Jeżeli f ∈ k(b) jest całkowity wzgledem k[b], to f ∈ k[b]. (Oczywiściek[b] ⊂ k(b).)

9 Pierścienie lokalne

Definicja. Pierścień A nazywamy lokalnym, gdy zawiera dokładniejeden ideał maksymalny m. Np. każde ciało jest pierścieniem lokalnym,m = {0}.

Fakt 9.1 Jeżeli I jest ideałem właściwym w pierścieniu lokalnym A, toA/I jest pierścieniem lokalnym.


(i) A jest pierścieniem lokalnym,

(ii) zbiór elementów nieodwracalnych w A jest ideałem (właściwym)

Twierdzenie 9.3 (Lemat Nakayamy I) Niech I, J beda ideałami wpierścieniu lokalnym (A,m).

Załóżmy, że I jest skończenie generowany oraz I ⊂ J +m ·I. WtedyI ⊂ J .


Wniosek 9.4 (Lemat Nakayamy II) Jeżeli I jest takim skończeniegenerowanym ideałem w pierściniu lokalnym (A,m), że I = m · I, towtedy I = {0}.

Wniosek 9.5 Jeżeli A jest lokalnym pierścieniem noetherowskim, todla dowolnych ideałów I, J ⊂ A:

(i) I ⊂ J + m · I ⇒ I ⊂ J ,

(ii) I = m · I ⇒ I = {0}.

Twierdzenie 9.6 Załóżmy, że (A,m) jest pierścieniem lokalnym i K–algebra, gdzie K ' A/m. Załóżmy też, że ideał maksymalny m jestskończenie generowany oraz I jest ideałem w A.

Wtedy poniższe warunki sa równoważne:

(1) dimK A/I < ∞

(2) ∃ ` m` ⊂ I

(3) ∃ ` m` + I = m`+1 + I

Symbolem N oznaczmy zbiór złożony z zera i liczb naturalnych, tzn.N = {0, 1, 2, . . .}.

Definicja. Każdy napis∑α

aαXα =∑

α

aαXα11 · · ·Xαn

n ,

gdzie α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn oraz aα ∈ K, nazywamy formalnym szere-giem potegowym.

Zbiór szeregów potegowych oznaczamy symbolem

K[[X]] = K[[X1, . . . , Xn]].

K[[X]] z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia jest K-algebra.

Twierdzenie 9.7 K[[X]] jest pierścieniem noetherowskim i lokalnym.Ideał maksymalny m składa sie z tych szeregów, których wyraz wolnyjest równy zero.


Ćwiczenie. Dla dowolnego ideału I ⊂ K[X] i punktu p ∈ V (I); niech

mp = {f ∈ K[X] | f(p) = 0} = (X1 − p1, . . . , Xn − pn) ⊂ K[X]

bedzie ideałem maksymalnym stowarzyszonym z punktem p. Wtedy dlakażdej liczby naturalnej k;

1. pierścień ilorazowy K[X]/(I+mkp) jest pierścieniem noetherowskim

i lokalnym, gdzie jedynym ideałem maksymalnym jest

[mp] = (I + mp)/(I + mkp),

2. f = f(X) jest odwracalny w K[X]/(I + mkp) wtedy i tylko wtedy,

gdy wyraz wolny f(p) 6= 0,

3. znajdź (2 + X21 −X2)

−1 w K[X]/m60,

4. znajdź (2 + X21 −X2)

−1 w K[[X]].

10 Algebry skończenie wymiarowe

Niech I ⊂ K[X] będzie ideałem. Niech

V (I) = V (I)K = {p ∈ Kn | ∀ f ∈ I, f(p) = 0},

oznacza zbiór zer ideału I. Niech

A = AK = K[X]/I

oznacza K-algebrę stowarzyszoną z ideałem I. (Symbolu V (I)K lub AK

używa się aby podkreślić jakie ciało K rozpatrujemy.)

Twierdzenie 10.1 (i) dimK A = 0 ⇒ V (I) = ∅,

(ii) dimK A < ∞ ⇒ V (I) jest zbiorem skończonym,

(iii) K = C oraz V (I)C = ∅ ⇒ dimC AC = 0,

(iv) V (I)C – skończony ⇒ dimC AC < ∞.

Definicja. Algebra A jest skończenie wymiarowa, jeżeli

dimK A < ∞.


Ćwiczenia.

1. Załóżmy, że X3 − XY oraz Y 2 + X − Y należą do ideału I ⊂K[X, Y ]. Pokaż, że dimK A ≤ 6.

2. Niech fi ∈ K[X] = K[X1, . . . , Xn] będą takimi wielomianami, że

fi = Xk(i)i + pi (1 ≤ i ≤ n)

gdzie wielomian pi ma stopień < k(i). Niech

f1, . . . , fn ∈ I ⊂ K[X], A = K[X]/I .

Pokaż, że dimK A < ∞.

3. Niech I = (X2+Y,XY−1) ⊂ K[X, Y ]. Pokaż,że dimK K[X, Y ]/I <

∞.

Ćwiczenia

1. Jeżeli f =∑

cαXα ∈ C[X], to f =∑

cαXα ∈ C[X] oraz f =12

∑(cα + cα)Xα ∈ R[X].

2. Jeżeli f ∈ C[X] to: f ∈ R[X] ⇔ f = f ⇔ f = f .

Fakt 10.2 Niech g, f1, . . . , fr ∈ R[X]. Oznaczmy:IR – ideał generowany przez f1, . . . , fr w R[X]IC – ideał generowany przez f1, . . . , fr w C[X]Wtedy

(i) g ∈ IR ⇔ g ∈ IC,więc IR = IC ∩ R[X].

(ii) IR = R[X] ⇔ IC = C[X].

Fakt 10.3 Niech IR (odp. IC) będzie ideałem w R[X] (odp. w C[X])generowanym przez f1, . . . , fr ∈ R[X]. Wtedy

dimR R[X]/IR = dimC C[X]/IC ,

orazdimR C[X]/IC = 2 dimC C[X]/IC = 2 dimR R[X]/IR.


Twierdzenie 10.4 Niech f1, . . . , fr ∈ K[X]. Jeżeli

0 < dimK K[X]/(f1, . . . , fr) < ∞

to r ≥ n.

Ćwiczenie. Udowodnij powyższe Twierdzenie, gdy n = 2.

Definicja. Wielomian h ∈ K[X] jest jednorodny stopnia k jeżeli wszyst-kie jego jednomiany są stopnia k, tzn.

h =∑

α

aαXα, |α| = k.

(Przyjmujemy że wielomian zerowy ma dowolny stopień!)

• Każdy wielomian f stopnia p daje się jednoznacznie przedstawićjako suma

f = (f)0 + (f)1 + · · ·+ (f)p,

gdzie (f)k jest sumą jednomianów z f stopnia k, oraz (f)p 6= 0.

• Jeżeli h jest jednorodny stopnia k ≥ 1, to 0 ∈ h−1(0).

• Wielomiany jednorodne stopnia 0 są stałymi.

Ćwiczenia.

1. Niech h1, . . . , hs będą wielomianami jednorodnymi. Jeżeli

x0 ∈ h−11 (0) ∩ . . . ∩ h−1

s (0), x0 6= 0

to prosta K ·x0 jest zawarta w h−11 (0)∩ . . .∩h−1

s (0). Więc h−11 (0)∩

. . . ∩ h−1s (0) jest

– zbiorem pustym jeżeli jeden z hi 6= 0 jest stopnia 0,– = {0}, albo– jest zbiorem nieskończonym. (Jeżeli n = 2 to w trzecim wypadkujest to skończona suma prostych przechodzących przez początekukładu 0.)


2. Jednorodny wielomian h ∈ C[X, Y ] daje się jednoznacznie (z do-kładnością do niezerowej stałej) rozłożyć na iloczyn składników li-niowych postaci aX + bY .

Twierdzenie 10.5 (Bézout I) Jeżeli h1, . . . , hn ∈ C[X] = C[X1, . . . , Xn]są jednorodne stopni k1, . . . , kn to poniższe warunki są równoważne:

(i) h−11 (0) ∩ . . . ∩ h−1

n (0) jest skończony (tzn. = {0}),

(ii) dimC C[X]/(h1, . . . , hn) < ∞,

(iii) dimC C[X]/(h1, . . . , hn) = k1 · · · kn.

Twierdzenie 10.6 (Bézout II) Niech g1, . . . , gn ∈ K[X] = K[X1, . . . , Xn]będą stopnia k1, . . . , kn (K = C lub K = R). Niech h1 = (g1)k1

, . . . , hn =(gn)kn

.Jeżeli {z ∈ Cn | h1(z) = · · · = hn(z) = 0} jest skończony (tzn.

= {0}), todimK K[X]/(g1, . . . , gn) = k1 · · · kn.

Twierdzenie 10.7 (Bézout I, wersja lokalna) Jeżeli h1, . . . , hn ∈ C[X] =C[X1, . . . , Xn] są jednorodne stopni k1, . . . , kn to poniższe warunki sąrównoważne:

(i) h−11 (0) ∩ . . . ∩ h−1

n (0) jest skończony (tzn. = {0}),

(ii) dimC C[[X]]/(h1, . . . , hn) < ∞,

(iii) dimC C[[X]]/(h1, . . . , hn) = k1 · · · kn.

Twierdzenie 10.8 (Bézout II, wersja lokalna) Niech g1, . . . , gn ∈K[X] = K[X1, . . . , Xn] będą niezerowymi wielomianami. Wtedy istniejąniezerowe jednorodne wielomiany hi stopnia `i takie, żegi = hi+ jednomiany stopnia > `i.

Jeżeli {z ∈ Cn | h1(z) = · · · = hn(z) = 0} jest skończony (tzn.= {0}), to

dimK K[[X]]/(g1, . . . , gn) = `1 · · · `n.


11 Bazy Gröbnera dla dwóch zmiennych

W zbiorze N2 można wprowadzić tzw. porządek leksykograficzny z gra-dacją:

Definicja. Jeżeli α = (α1, α2), β = (β1, β2) należą do N2 to α > β

jeśli |α| > |β|, lub |α| = |β| i α1 > β1.

Dla niezerowego wielomianu f =∑

α aαXα ∈ K[X, Y ] oznaczmy

• multideg(f) = max(α | aα 6= 0),

• LC(f) = amultideg(f),

• LM(f) = Xmultideg(f),

• LT(f) = amultideg(f)Xmultideg(f).

Fakt 11.1 • multideg(f · g) = multideg(f) + multideg(g),

• LC(f · g) = LC(f) · LC(g),

• LM(f · g) = LM(f) · LM(g),

• LT(f · g) = LT(f) · LT(g).

Definicja. Niech I ⊂ K[X] będzie niezerowym ideałem. Oznaczmy:

• LT(I) = {LT(f) | f ∈ I \ {0}},

• < LT(I) > – ideał generowany przez LT(I).

Fakt 11.2 Jeżeli jednomian Xα ∈< LT(I) >, to dla każdego β ∈ N2

jednomian Xα · Xβ = Xα+β ∈< LT(I) >.

Twierdzenie 11.3 (i) Istnieją g1, . . . , gs ∈ I takie, że ideał < LT(I) >

jest generowany przez LM(g1), . . . , LM(gs),

(ii) g1, . . . , gs generują ideał I,


(iii) dla dowolnego f ∈ K[X] istnieje dokładnie jeden wielomian g =g(f) oraz dokładnie jeden wielomian r = r(f) takie, że

f = r(f) + g(f) = r + f,

g ∈ I oraz żaden jednomian wielomianu r nie dzieli się przez żadenz jednomianów LM(g1), . . . , LM(gs).

Definicja. Wielomiany g1, . . . , gs nazywamy bazą Gröbnera ideału I.Wielomian r(f) nazywamy postacią normalną wielomianu f . (Uwaga:nie każdy zbiór generatorów ideału jest jego bazą Gröbnera!)

Wniosek 11.4 • Każdy element pierścienia ilorazowego K[X]/I dajesię jednoznacznie przedstawić jako skończona K–liniowa kombina-cja jednomianów które nie dzielą się przez żaden z jednomianówLM(g1), . . . , LM(gs),

• wymiar dimK K[X]/I jest równy ilości jednomianównie które niedzielą się przez żaden z jednomianów LM(g1), . . . , LM(gs).

Ćwiczenie. Niech f1, f2 ∈ K[X] = K[X, Y ] będą takimi wielomianami,że

f1 = Xk(1) + p1, f2 = Y k(2) + p2,

gdzie wielomian pi ma stopień < k(i). Niech

I = (f1, f2) ⊂ K[X].

Pokaż, że f1, f2 są bazą Gröbnera ideału I. (Można skorzystać z Twier-dzenia Bézout.)

12 Dziedziny z jednoznacznością rozkładu

Niech P będzie dziedziną całkowitości.Element a 6= 0 nazywamy nierozkładalnym, jeżeli nie jest odwracalny,

i jeżeli a = bc, to b lub c jest odwracalny.

Zbiór wszystkich elementów P jest sumą parami rozłącznych zbiorów:{0}, zbiór elementów odwracalnych, zbiór elementow nierozkładalnych,zbiór elementow rozkładalnych.

Element nieodwracalny jest pierwszy, jeżeli:

a|bc ⇒ a|b lub a|c .

Fakt 12.1 Elementy pierwsze są nieodwracalne.

Dziedzinę całkowitości P nazywamy dziedziną z jednoznacznościąrozkładu, jeżeli

(a) każdy element rozkładalny jest iloczynem pewnej liczby elementownierozkładalnych,

(b) przedstawienie w postaci iloczynu jest jednoznaczne z dokładnościądo porządku i stowarzyszenia.

Twierdzenie 12.2 P jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu wtedyi tylko wtedy, gdy

(i) każdy element rozkładalny jest iloczynem elementów nierozkładal-nych,

(ii) każdy element nierozkładalny jest pierwszy.

Twierdzenie 12.3 Jeżeli P jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu,to pierścień wielomianów P [x] jest dziedziną z jednoznacznością roz-kładu.

Twierdzenie 12.4 Jeżeli K jest ciałem ułamków dziedziny z jedno-znacznością rozkładu P i element a ∈ P [x] jest nierozkładalny w P [x],to a jest nierozkładalny w K[x] lub a ∈ P i a jest nierozkładalny w P .

(Więc jeżeli a jest rozkładalny w K[x], to jest też rozkładalny w P [x].)

1 Pierścienie, algebry - Uniwersytet Gdańskiszafran/pierscienie.pdf · • Jeżeli P jest...

Documents

Transcript of 1 Pierścienie, algebry - Uniwersytet Gdańskiszafran/pierscienie.pdf · • Jeżeli P jest...