Powiadomieniamarynka.edu.pl/images/files/pdf/innowacje/matematyka_wielomiany.pdfCreated Date:...

Wykład Uniwersytecki

Liceum Ogólnokształcąceśw. Marii Magdaleny w Poznaniu

Poznań, 13 grudnia 2012 rokuKrzysztof Pawałowski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Wielomiany Jonesa węzłów i splotów

Wielomiany Jonesa węzłów i splotów

Krzysztof PawałowskiUniwersytet im. Adama Mickiewicza

Topologia niskowymiarowa

Krzysztof Pawałowski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Wielomiany Jonesa węzłów i splotów

Pojęcie węzła i splotu

Węzeł K to krzywa zamknięta (powyginany okrąg) w przestrzeni3-wymiarowej.

Splot L to suma skończonej ilości węzłów wzajemnie rozłącznych,zwanych składowymi splotu, które mogą być zasupłane i splecioneze sobą. Węzeł jest splotem o jednej składowej.

Po wybraniu orientacji w każdej składowej danego splotu mówimyjuż o splocie zorientowanym.

Splot L to suma skończonej ilości węzłów wzajemnie rozłącznych,

zwanych składowymi splotu, które mogą być zasupłane i splecioneze sobą. Węzeł jest splotem o jednej składowej.

Splot L to suma skończonej ilości węzłów wzajemnie rozłącznych,zwanych składowymi splotu,

które mogą być zasupłane i splecioneze sobą. Węzeł jest splotem o jednej składowej.

Splot L to suma skończonej ilości węzłów wzajemnie rozłącznych,zwanych składowymi splotu, które mogą być zasupłane i splecioneze sobą.

Węzeł jest splotem o jednej składowej.

Równoważność węzłów i splotów

Jak matematycznie wypowiedzieć fakt, że dwa węzły (sploty) sąpodobnie zasupłane (zasupłane i splecione ze sobą)?

Dwa węzły (sploty) są równoważne, jeżeli jeden na drugi możnaprzekształcić za pomocą skończonej liczby następujących trzechruchów opisanych przez K. Reidemeistera w 1926 roku:

Dwa węzły (sploty) są równoważne,

jeżeli jeden na drugi możnaprzekształcić za pomocą skończonej liczby następujących trzechruchów opisanych przez K. Reidemeistera w 1926 roku:

Dwa węzły (sploty) są równoważne, jeżeli jeden na drugi możnaprzekształcić za pomocą skończonej liczby

następujących trzechruchów opisanych przez K. Reidemeistera w 1926 roku:

Węzły (sploty) rozsupłane i zasupłane

Mówimy, że węzeł (splot) jest rozsupłany, jeżeli jest równoważnyz okręgiem (sumą okręgów parami rozłącznych) położonych napłaszczyźnie. W przeciwnym razie mówimy, że jest on zasupłany.

· · ·

Czy ten splot jest rozsupłany czy zasupłany?

Mówimy, że węzeł (splot) jest rozsupłany,

jeżeli jest równoważnyz okręgiem (sumą okręgów parami rozłącznych) położonych napłaszczyźnie. W przeciwnym razie mówimy, że jest on zasupłany.

· · ·

Mówimy, że węzeł (splot) jest rozsupłany, jeżeli jest równoważnyz okręgiem (sumą okręgów parami rozłącznych) położonych napłaszczyźnie.

W przeciwnym razie mówimy, że jest on zasupłany.

· · ·

Węzły o dwóch skrzyżowaniach

Każdy węzeł o dwóch skrzyżowaniach jest rozsupłany

co łatwo można stwierdzić za pomocą ruchów Reidemeistera.

Ten węzeł o piętnastu skrzyżowaniach

też jest rozsupłany, ale to już nie tak łatwo zauważyć.

też jest rozsupłany,

ale to już nie tak łatwo zauważyć.

też jest rozsupłany, ale to już nie tak łatwo zauważyć.Krzysztof Pawałowski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Wielomiany Jonesa węzłów i splotów

Suma spójna węzłów i węzły pierwsze

Węzeł pierwszy to węzeł, który nie jest nierównoważny z sumąspójną dwóch węzłów zasupłanych.

Każda liczba naturalna ma jednoznaczny rozkład na iloczyn liczbpierwszych. Podobnie - każdy węzeł posiada jedoznaczny rozkładna sumę spójną skończonej liczby węzłów pierwszych.

Każda liczba naturalna ma jednoznaczny rozkład na iloczyn liczbpierwszych.

Podobnie - każdy węzeł posiada jedoznaczny rozkładna sumę spójną skończonej liczby węzłów pierwszych.

Klasyfikacja węzłów i splotów

Klasyfikacja węzłów pierwszych do siedmiu skrzyżowań

z uwzględnieniem zwierciadlanych odbić K ∗ węzłów K :01 31 3∗1 41 51 5∗1 52 5∗2 61 6∗1 62 6∗2 6371 7∗1 72 7∗2 73 7∗3 74 7∗4 75 7∗5 76 7∗6 77 7∗7Tutaj nk oznacza k-ty węzeł o n skrzyżowaniach.

z uwzględnieniem zwierciadlanych odbić K ∗ węzłów K :01 31 3∗1 41 51 5∗1 52 5∗2 61 6∗1 62 6∗2 63

71 7∗1 72 7∗2 73 7∗3 74 7∗4 75 7∗5 76 7∗6 77 7∗7Tutaj nk oznacza k-ty węzeł o n skrzyżowaniach.

Liczba węzłów pierwszych

Liczba f (n) węzłów pierwszych o n skrzyżowaniach, n 0,

bez uwzględnienia zwierciadlanych odbić węzłów:

f (0) = 1, f (1) = 0, f (2) = 0, f (3) = 1,

f (4) = 1, f (5) = 2, f (6) = 3, f (7) = 7

f (8) = 21, f (9) = 49, f (10) = 165, f (11) = 552

f (12) = 2.176, f (13) = 9.988

f (14) = 46.972, f (15) = 253.293

f (16) = 1.388.705

Nie wiadomo jednak, czy f (n) < f (n + 1) dla każdego n 4.

Czy f (n) jest najwiekszą liczbą całkowitą mniejszą niż en−4?

Liczba Eulera e = limn→∞(1 + 1/n)n jest równa około

2, 71828182845904523536028747135266249775724709369995...

Liczba f (n) węzłów pierwszych o n skrzyżowaniach, n 0,bez uwzględnienia zwierciadlanych odbić węzłów:

f (0) = 1, f (1) = 0, f (2) = 0, f (3) = 1,

f (4) = 1, f (5) = 2, f (6) = 3, f (7) = 7

f (8) = 21, f (9) = 49, f (10) = 165, f (11) = 552

f (12) = 2.176, f (13) = 9.988

f (14) = 46.972, f (15) = 253.293

f (16) = 1.388.705

2, 71828182845904523536028747135266249775724709369995...

f (0) = 1, f (1) = 0, f (2) = 0, f (3) = 1,

f (4) = 1, f (5) = 2, f (6) = 3, f (7) = 7

f (8) = 21, f (9) = 49, f (10) = 165, f (11) = 552

f (12) = 2.176, f (13) = 9.988

f (14) = 46.972, f (15) = 253.293

f (16) = 1.388.705

2, 71828182845904523536028747135266249775724709369995...

f (0) = 1, f (1) = 0, f (2) = 0, f (3) = 1,

f (4) = 1, f (5) = 2, f (6) = 3, f (7) = 7

f (8) = 21, f (9) = 49, f (10) = 165, f (11) = 552

f (12) = 2.176, f (13) = 9.988

f (14) = 46.972, f (15) = 253.293

f (16) = 1.388.705

2, 71828182845904523536028747135266249775724709369995...

f (0) = 1, f (1) = 0, f (2) = 0, f (3) = 1,

f (4) = 1, f (5) = 2, f (6) = 3, f (7) = 7

f (8) = 21, f (9) = 49, f (10) = 165, f (11) = 552

f (12) = 2.176, f (13) = 9.988

f (14) = 46.972, f (15) = 253.293

f (16) = 1.388.705

2, 71828182845904523536028747135266249775724709369995...

f (0) = 1, f (1) = 0, f (2) = 0, f (3) = 1,

f (4) = 1, f (5) = 2, f (6) = 3, f (7) = 7

f (8) = 21, f (9) = 49, f (10) = 165, f (11) = 552

f (12) = 2.176, f (13) = 9.988

f (14) = 46.972, f (15) = 253.293

f (16) = 1.388.705

2, 71828182845904523536028747135266249775724709369995...

f (0) = 1, f (1) = 0, f (2) = 0, f (3) = 1,

f (4) = 1, f (5) = 2, f (6) = 3, f (7) = 7

f (8) = 21, f (9) = 49, f (10) = 165, f (11) = 552

f (12) = 2.176, f (13) = 9.988

f (14) = 46.972, f (15) = 253.293

f (16) = 1.388.705

2, 71828182845904523536028747135266249775724709369995...

f (0) = 1, f (1) = 0, f (2) = 0, f (3) = 1,

f (4) = 1, f (5) = 2, f (6) = 3, f (7) = 7

f (8) = 21, f (9) = 49, f (10) = 165, f (11) = 552

f (12) = 2.176, f (13) = 9.988

f (14) = 46.972, f (15) = 253.293

f (16) = 1.388.705

2, 71828182845904523536028747135266249775724709369995...

f (0) = 1, f (1) = 0, f (2) = 0, f (3) = 1,

f (4) = 1, f (5) = 2, f (6) = 3, f (7) = 7

f (8) = 21, f (9) = 49, f (10) = 165, f (11) = 552

f (12) = 2.176, f (13) = 9.988

f (14) = 46.972, f (15) = 253.293

f (16) = 1.388.705

2, 71828182845904523536028747135266249775724709369995...

f (0) = 1, f (1) = 0, f (2) = 0, f (3) = 1,

f (4) = 1, f (5) = 2, f (6) = 3, f (7) = 7

f (8) = 21, f (9) = 49, f (10) = 165, f (11) = 552

f (12) = 2.176, f (13) = 9.988

f (14) = 46.972, f (15) = 253.293

f (16) = 1.388.705

2, 71828182845904523536028747135266249775724709369995...

f (0) = 1, f (1) = 0, f (2) = 0, f (3) = 1,

f (4) = 1, f (5) = 2, f (6) = 3, f (7) = 7

f (8) = 21, f (9) = 49, f (10) = 165, f (11) = 552

f (12) = 2.176, f (13) = 9.988

f (14) = 46.972, f (15) = 253.293

f (16) = 1.388.705

Liczba Eulera e = limn→∞(1 + 1/n)n

jest równa około

2, 71828182845904523536028747135266249775724709369995...

f (0) = 1, f (1) = 0, f (2) = 0, f (3) = 1,

f (4) = 1, f (5) = 2, f (6) = 3, f (7) = 7

f (8) = 21, f (9) = 49, f (10) = 165, f (11) = 552

f (12) = 2.176, f (13) = 9.988

f (14) = 46.972, f (15) = 253.293

f (16) = 1.388.705

2, 71828182845904523536028747135266249775724709369995...

Niezmienniki węzłów i splotów

Dana własność węzła (splotu) jest jego niezmiennikiem, jeżeli nieulega zmianie podczas żadnego z trzech ruchów Reidemeistera.

Jeżeli więc dwa sploty są równoważne, to niezmiennik jest zgodnydla obu splotów. Zwykle stwierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe,tj. istnieją nierównoważne sploty o zgodnych niezmiennikach.

Jeśli jednak niezmiennik różni się dla dwóch splotów, to sploty tenie są ze sobą równoważne. Taka jest właśnie rola niezmienników:wskazać, że dane sploty nie są ze sobą równoważne.

Historia teorii węzłów i splotów to historia odkrywania i badanianiezmienników ruchów Reidemeistera na węzłach i splotach.Niezmienniki te służą do wskazania, że dane węzły, czy sploty,nie są podobnie zasupłane. Znajdują tym samym zastosowanieprzy rozwiązywaniu problemów natury klasyfikacyjnej.

Dana własność węzła (splotu) jest jego niezmiennikiem,

jeżeli nieulega zmianie podczas żadnego z trzech ruchów Reidemeistera.

Jeżeli więc dwa sploty są równoważne, to niezmiennik jest zgodnydla obu splotów.

Zwykle stwierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe,tj. istnieją nierównoważne sploty o zgodnych niezmiennikach.

Jeżeli więc dwa sploty są równoważne, to niezmiennik jest zgodnydla obu splotów. Zwykle stwierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe,

tj. istnieją nierównoważne sploty o zgodnych niezmiennikach.

Jeśli jednak niezmiennik różni się dla dwóch splotów,

to sploty tenie są ze sobą równoważne. Taka jest właśnie rola niezmienników:wskazać, że dane sploty nie są ze sobą równoważne.

Jeśli jednak niezmiennik różni się dla dwóch splotów, to sploty tenie są ze sobą równoważne.

Taka jest właśnie rola niezmienników:wskazać, że dane sploty nie są ze sobą równoważne.

Jeśli jednak niezmiennik różni się dla dwóch splotów, to sploty tenie są ze sobą równoważne. Taka jest właśnie rola niezmienników:

wskazać, że dane sploty nie są ze sobą równoważne.

Historia teorii węzłów i splotów to historia odkrywania i badanianiezmienników ruchów Reidemeistera na węzłach i splotach.

Niezmienniki te służą do wskazania, że dane węzły, czy sploty,nie są podobnie zasupłane. Znajdują tym samym zastosowanieprzy rozwiązywaniu problemów natury klasyfikacyjnej.

Historia teorii węzłów i splotów to historia odkrywania i badanianiezmienników ruchów Reidemeistera na węzłach i splotach.Niezmienniki te służą do wskazania, że dane węzły, czy sploty,nie są podobnie zasupłane.

Znajdują tym samym zastosowanieprzy rozwiązywaniu problemów natury klasyfikacyjnej.

Vaughan Frederick Randal Jones (31.12.1952 – ...)

W 1984 roku Vaughan F. R. Jones przypisał każdemu splotowizorientowanemu L wielomian Laurenta VL(t) zmiennej

· · ·+ c−2(√

t)−2 + c−1(√

t)−1 + c0 + c1(√

t) + c2(√

t)2 + · · ·

o współczynnikach całkowitych ci = ci (L), przy czym ci 6= 0 dlaskończonej liczby indeksów i = 0,±1,±2, . . . , a poza tym ci = 0.

Twierdzenie JonesaWielomian VL(t) jest niezmiennikiem splotów: VL(t) = VL′(t),tj. ci (L) = ci (L′), gdy sploty L oraz L′ są ze sobą równoważne.

· · ·+ c−2(√

t)−2 + c−1(√

t)−1 + c0 + c1(√

t) + c2(√

t)2 + · · ·

· · ·+ c−2(√

t)−2 + c−1(√

t)−1 + c0 + c1(√

t) + c2(√

t)2 + · · ·

· · ·+ c−2(√

t)−2 + c−1(√

t)−1 + c0 + c1(√

t) + c2(√

t)2 + · · ·

· · ·+ c−2(√

t)−2 + c−1(√

t)−1 + c0 + c1(√

t) + c2(√

t)2 + · · ·

· · ·+ c−2(√

t)−2 + c−1(√

t)−1 + c0 + c1(√

t) + c2(√

t)2 + · · ·

· · ·+ c−2(√

t)−2 + c−1(√

t)−1 + c0 + c1(√

t) + c2(√

t)2 + · · ·

· · ·+ c−2(√

t)−2 + c−1(√

t)−1 + c0 + c1(√

t) + c2(√

t)2 + · · ·

o współczynnikach całkowitych ci = ci (L),

przy czym ci 6= 0 dlaskończonej liczby indeksów i = 0,±1,±2, . . . , a poza tym ci = 0.

· · ·+ c−2(√

t)−2 + c−1(√

t)−1 + c0 + c1(√

t) + c2(√

t)2 + · · ·

· · ·+ c−2(√

t)−2 + c−1(√

t)−1 + c0 + c1(√

t) + c2(√

t)2 + · · ·

Twierdzenie JonesaWielomian VL(t) jest niezmiennikiem splotów:

VL(t) = VL′(t),tj. ci (L) = ci (L′), gdy sploty L oraz L′ są ze sobą równoważne.

· · ·+ c−2(√

t)−2 + c−1(√

t)−1 + c0 + c1(√

t) + c2(√

t)2 + · · ·

Twierdzenie JonesaWielomian VL(t) jest niezmiennikiem splotów: VL(t) = VL′(t),

tj. ci (L) = ci (L′), gdy sploty L oraz L′ są ze sobą równoważne.

· · ·+ c−2(√

t)−2 + c−1(√

t)−1 + c0 + c1(√

t) + c2(√

t)2 + · · ·

Twierdzenie JonesaWielomian VL(t) jest niezmiennikiem splotów: VL(t) = VL′(t),tj. ci (L) = ci (L′),

gdy sploty L oraz L′ są ze sobą równoważne.

· · ·+ c−2(√

t)−2 + c−1(√

t)−1 + c0 + c1(√

t) + c2(√

t)2 + · · ·

· · ·+ c−2(√

t)−2 + c−1(√

t)−1 + c0 + c1(√

t) + c2(√

t)2 + · · ·

Definicja wielomianu Jonesa

Wielomian Jonesa splotu zorientowanego L:

VL(t) := (√

t)1−n+e(β) (−t − 1)n−1 trace ρ(β)

β jest warkoczem o n pasmach, którego zamknięciem jest L.e(β) jest sumą wykładników w przedstawieniu warkocza β zapomocą generatorów σ1, . . . , σn−1 grupy n-warkoczy, n 2.trace ρ(β) jest śladem macierzy Burau ρ(β) warkocza β.

Jak określić warkocz β, którego zamknięciem jest dany splot L?

VL(t) := (√

t)1−n+e(β) (−t − 1)n−1 trace ρ(β)

VL(t) := (√

t)1−n+e(β) (−t − 1)n−1 trace ρ(β)

β jest warkoczem o n pasmach, którego zamknięciem jest L.

e(β) jest sumą wykładników w przedstawieniu warkocza β zapomocą generatorów σ1, . . . , σn−1 grupy n-warkoczy, n 2.trace ρ(β) jest śladem macierzy Burau ρ(β) warkocza β.

VL(t) := (√

t)1−n+e(β) (−t − 1)n−1 trace ρ(β)

β jest warkoczem o n pasmach, którego zamknięciem jest L.e(β) jest sumą wykładników w przedstawieniu warkocza β zapomocą generatorów σ1, . . . , σn−1 grupy n-warkoczy, n 2.

trace ρ(β) jest śladem macierzy Burau ρ(β) warkocza β.

VL(t) := (√

t)1−n+e(β) (−t − 1)n−1 trace ρ(β)

VL(t) := (√

t)1−n+e(β) (−t − 1)n−1 trace ρ(β)

VL(t) := (√

t)1−n+e(β) (−t − 1)n−1 trace ρ(β)

VL(t) := (√

t)1−n+e(β) (−t − 1)n−1 trace ρ(β)

Warkoczowa postać splotu

Autor prezentacji: mgr Wojciech Politarczyk (doktorant UAM)

Twierdzenia Alexandera i Markowa

Twierdzenie AlexanderaKażdy węzeł (splot) ma postać zamkniętego warkocza.

Twierdzenie MarkowaDwa warkocze, być może o różnej ilości pasm, po zamknięciusą równoważne jako węzły (sploty) wtedy i tylko wtedy, gdywarkocze te powstają jeden z drugiego przez skończoną ilośćdwóch typów ruchów, zwanych dziś ruchami Markowa.

β ↔ αβα−1 β ↔ βσ±1n

Twierdzenie MarkowaDwa warkocze, być może o różnej ilości pasm, po zamknięciusą równoważne jako węzły (sploty)

wtedy i tylko wtedy, gdywarkocze te powstają jeden z drugiego przez skończoną ilośćdwóch typów ruchów, zwanych dziś ruchami Markowa.

Twierdzenie MarkowaDwa warkocze, być może o różnej ilości pasm, po zamknięciusą równoważne jako węzły (sploty) wtedy i tylko wtedy, gdywarkocze te powstają jeden z drugiego przez skończoną ilośćdwóch typów ruchów,

zwanych dziś ruchami Markowa.

SK-relacje dla wielomianów Jonesa

Wielomian Jonesa węzła rozsupłanego V©(t) = 1.

t−1VL+(t)− tVL−(t) = (t1/2 − t−1/2)VL0(t)dla dowolnych trzech splotów zorientowanych L+, L−, L0różniących się od siebie tylko w jednym fragmencie splotu:

t−1VL+(t)− tVL−(t) = (t1/2 − t−1/2)VL0(t)

dla dowolnych trzech splotów zorientowanych L+, L−, L0różniących się od siebie tylko w jednym fragmencie splotu:

t−1VL+(t)− tVL−(t) = (t1/2 − t−1/2)VL0(t)dla dowolnych trzech splotów zorientowanych L+, L−, L0

różniących się od siebie tylko w jednym fragmencie splotu:

Wielomian Jonesa splotu rozsupłanego

złożonego z dwóch składowych:

We wzorze t−1VL+(t)− tVL−(t) = (t1/2 − t−1/2)VL0(t) możemyprzyjąć, że L0 = 2© oraz L+ = L− =©, co daje

V2©(t) = (t−1 − t)(t1/2 − t−1/2)−1 = −t−1/2 − t1/2.

złożonego z n składowych, n 1:

Vn©(t) = (−1)n−1(t−1/2 + t1/2)n−1

· · ·

V2©(t) = (t−1 − t)(t1/2 − t−1/2)−1 = −t−1/2 − t1/2.

Vn©(t) = (−1)n−1(t−1/2 + t1/2)n−1

· · ·

V2©(t) = (t−1 − t)(t1/2 − t−1/2)−1 = −t−1/2 − t1/2.

Vn©(t) = (−1)n−1(t−1/2 + t1/2)n−1

· · ·

We wzorze t−1VL+(t)− tVL−(t) = (t1/2 − t−1/2)VL0(t)

możemyprzyjąć, że L0 = 2© oraz L+ = L− =©, co daje

V2©(t) = (t−1 − t)(t1/2 − t−1/2)−1 = −t−1/2 − t1/2.

Vn©(t) = (−1)n−1(t−1/2 + t1/2)n−1

· · ·

We wzorze t−1VL+(t)− tVL−(t) = (t1/2 − t−1/2)VL0(t) możemyprzyjąć, że L0 = 2© oraz L+ = L− =©,

co daje

V2©(t) = (t−1 − t)(t1/2 − t−1/2)−1 = −t−1/2 − t1/2.

Vn©(t) = (−1)n−1(t−1/2 + t1/2)n−1

· · ·

V2©(t) = (t−1 − t)(t1/2 − t−1/2)−1 = −t−1/2 − t1/2.

Vn©(t) = (−1)n−1(t−1/2 + t1/2)n−1

· · ·

V2©(t) = (t−1 − t)(t1/2 − t−1/2)−1 = −t−1/2 − t1/2.

Vn©(t) = (−1)n−1(t−1/2 + t1/2)n−1

· · ·

V2©(t) = (t−1 − t)(t1/2 − t−1/2)−1 = −t−1/2 − t1/2.

Vn©(t) = (−1)n−1(t−1/2 + t1/2)n−1

· · ·Krzysztof Pawałowski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Wielomiany Jonesa węzłów i splotów

Dalsze własności wielomianu Jonesa

Wielomian Jonesa węzła,

czy splotu L mającego nieparzystąliczbę składowych, jest wielomianem Laurenta zmiennej t,

VL(t) = · · ·+ c−2t−2 + c−1t−1 + c0 + c1t + c2t2 + · · · ,

o współczynnikach całkowitych ci = ci (L), przy czym ci 6= 0tylko dla skończonej liczby indeksów i = 0,±1,±2, . . .

VL(1) = (−2)n−1, gdy splot L ma n składowych, n 1.

VL(t) 6= 0, tj. co najmniej jeden współczynnik ci (L) 6= 0.

VL1#L2(t) = VL1(t)VL2(t) dla dwóch splotów L1 oraz L2.

VL∗(t) = VL(t−1), tj. ci (L∗) = c−i (L) dla splotu L i jegozwierciadlanego odbicia L∗.

VLor(t) = VL(t), tj. ci (Lor) = ci (L) dla splotu L i jego kopiiLor będącej splotem L z odwróconą orientacją.

Wielomian Jonesa węzła, czy splotu L mającego nieparzystąliczbę składowych,

jest wielomianem Laurenta zmiennej t,

VL(t) = · · ·+ c−2t−2 + c−1t−1 + c0 + c1t + c2t2 + · · · ,

Wielomian Jonesa węzła, czy splotu L mającego nieparzystąliczbę składowych, jest wielomianem Laurenta zmiennej t,

VL(t) = · · ·+ c−2t−2 + c−1t−1 + c0 + c1t + c2t2 + · · · ,

o współczynnikach całkowitych ci = ci (L),

przy czym ci 6= 0tylko dla skończonej liczby indeksów i = 0,±1,±2, . . .

VL(t) = · · ·+ c−2t−2 + c−1t−1 + c0 + c1t + c2t2 + · · · ,

VLor(t) = VL(t), tj. ci (Lor) = ci (L)

dla splotu L i jego kopiiLor będącej splotem L z odwróconą orientacją.

VL(t) = · · ·+ c−2t−2 + c−1t−1 + c0 + c1t + c2t2 + · · · ,

Wielomian Jonesa zwierciadlanego odbicia splotu

Zwieciadlane odbicie L∗ splotu L otrzymujemy przez wzajemnązamianę mostów z tunelami na każdym skrzyżowniu splotu L.

Dla zwierciadlanego odbicia L∗ splotu L, VL∗(t) = VL(t−1), tj.

ci (L∗) = c−i (L) dla i = 0,±1,±2, . . .

Mówimy, że splot L jest zwierciadlany, jeżeli L i L∗ są równoważne.

Dla zwierciadlanego splotu L, VL(t) = VL∗(t) = VL(t−1), tj.

ci (L) = ci (L∗) = c−i (L) dla i = 0,±1,±2, . . .

czyli wielomian Jonesa VL(t) jest wielomianem symetrycznym.

ci (L∗) = c−i (L) dla i = 0,±1,±2, . . .

ci (L) = ci (L∗) = c−i (L) dla i = 0,±1,±2, . . .

Dla zwierciadlanego odbicia L∗ splotu L, VL∗(t) = VL(t−1),

ci (L∗) = c−i (L) dla i = 0,±1,±2, . . .

ci (L) = ci (L∗) = c−i (L) dla i = 0,±1,±2, . . .

ci (L∗) = c−i (L) dla i = 0,±1,±2, . . .

ci (L) = ci (L∗) = c−i (L) dla i = 0,±1,±2, . . .

ci (L∗) = c−i (L) dla i = 0,±1,±2, . . .

ci (L) = ci (L∗) = c−i (L) dla i = 0,±1,±2, . . .

ci (L∗) = c−i (L) dla i = 0,±1,±2, . . .

Dla zwierciadlanego splotu L,

VL(t) = VL∗(t) = VL(t−1), tj.

ci (L) = ci (L∗) = c−i (L) dla i = 0,±1,±2, . . .

ci (L∗) = c−i (L) dla i = 0,±1,±2, . . .

Dla zwierciadlanego splotu L, VL(t) = VL∗(t) = VL(t−1),

ci (L) = ci (L∗) = c−i (L) dla i = 0,±1,±2, . . .

ci (L∗) = c−i (L) dla i = 0,±1,±2, . . .

ci (L) = ci (L∗) = c−i (L) dla i = 0,±1,±2, . . .

ci (L∗) = c−i (L) dla i = 0,±1,±2, . . .

ci (L) = ci (L∗) = c−i (L) dla i = 0,±1,±2, . . .

Wielomiany Jonesa trójlistników

lewoskrętnego: V (t) = t−1 + t−3 − t−4

prawoskrętnego: V (t) = t + t3 − t4

Znając już jeden z tych wielomianów Jonesa, drugi obliczamyzastępując t przez t−1 w znanym wielomianie.

Wielomian Jonesa trójlistnika nie jest symetryczny i dlatego teżtrójlistnik nie jest węzłem zwierciadlanym.

Obliczenie wielomianu Jonesa trójlistnika lewoskrętnego

−t−1(t12 − t−

V = −t−12 − t

V = −t−52 − t−

V = t−1 + t−3 − t−4

−t−1(t12 − t−

V = −t−12 − t

V = −t−52 − t−

V = t−1 + t−3 − t−4

−t−1(t12 − t−

V = −t−12 − t

V = −t−52 − t−

V = t−1 + t−3 − t−4

−t−1(t12 − t−

V = −t−12 − t

V = −t−52 − t−

V = t−1 + t−3 − t−4

−t−1(t12 − t−

V = −t−12 − t

V = −t−52 − t−

V = t−1 + t−3 − t−4

−t−1(t12 − t−

V = −t−12 − t

V = −t−52 − t−

V = t−1 + t−3 − t−4

−t−1(t12 − t−

V = −t−12 − t

V = −t−52 − t−

V = t−1 + t−3 − t−4

−t−1(t12 − t−

V = −t−12 − t

V = −t−52 − t−

V = t−1 + t−3 − t−4

−t−1(t12 − t−

V = −t−12 − t

V = −t−52 − t−

V = t−1 + t−3 − t−4

Wielomian Jonesa węzła ósemkowego

V (t) = t−2 − t−1 + 1− t + t2 = V (t−1)

V (t) jest wielomianem symetrycznym, co więcej,

węzeł ósemkowy jest zwierciadlany.

Istnieją węzły, których wielomiany Jonesa są symetryczne, leczsame węzły nie są zwierciadlane.

V (t) = t−2 − t−1 + 1− t + t2 = V (t−1)

Obliczenie wielomianu Jonesa dla węzła ósemkowego

−t−1(t12 − t−

t(t12 − t−

V = −t−12 − t

V = −t52 − t

V = t−2 − t−1 + 1− t1 + t2

−t−1(t12 − t−

t(t12 − t−

V = −t−12 − t

V = −t52 − t

V = t−2 − t−1 + 1− t1 + t2

−t−1(t12 − t−

t(t12 − t−

V = −t−12 − t

V = −t52 − t

V = t−2 − t−1 + 1− t1 + t2

−t−1(t12 − t−

t(t12 − t−

V = −t−12 − t

V = −t52 − t

V = t−2 − t−1 + 1− t1 + t2

−t−1(t12 − t−

t(t12 − t−

V = −t−12 − t

V = −t52 − t

V = t−2 − t−1 + 1− t1 + t2

−t−1(t12 − t−

t(t12 − t−

V = −t−12 − t

V = −t52 − t

V = t−2 − t−1 + 1− t1 + t2

−t−1(t12 − t−

t(t12 − t−

V = −t−12 − t

V = −t52 − t

V = t−2 − t−1 + 1− t1 + t2

−t−1(t12 − t−

t(t12 − t−

V = −t−12 − t

V = −t52 − t

V = t−2 − t−1 + 1− t1 + t2

−t−1(t12 − t−

t(t12 − t−

V = −t−12 − t

V = −t52 − t

V = t−2 − t−1 + 1− t1 + t2

Wielomiany Jonesa splotów

VL(t) =√

t + (√

t)5 = (1 + t2)√

pierścieni rodziny Borromean

VL(t) = −t3 + 3t2 − 2t + 4− 2t−1 + 3t−2 − t−3

Whiteheada

VL(t) = −(√

t)−3 + (√

t)−1 − 2√

t + (√

t)3 − 2(√

t)5 + (√

= (−1 + t − 2t2 + t3 − 2t4 + t5)(√

t)−3

VL(t) =√

t + (√

t)5 = (1 + t2)√

VL(t) = −t3 + 3t2 − 2t + 4− 2t−1 + 3t−2 − t−3

Whiteheada

VL(t) = −(√

t)−3 + (√

t)−1 − 2√

t + (√

t)3 − 2(√

t)5 + (√

= (−1 + t − 2t2 + t3 − 2t4 + t5)(√

t)−3

VL(t) =√

t + (√

t)5 = (1 + t2)√

VL(t) = −t3 + 3t2 − 2t + 4− 2t−1 + 3t−2 − t−3

Whiteheada

VL(t) = −(√

t)−3 + (√

t)−1 − 2√

t + (√

t)3 − 2(√

t)5 + (√

= (−1 + t − 2t2 + t3 − 2t4 + t5)(√

t)−3

ICM 1990, Kyoto, Japan

Zdobywcy medalu Fieldsa z 1990 roku (Kyoto, Japan)

Edward Witten (USA)

Shigefumi Mori (Japonia)

Vaughan Frederick Randal Jones (Nowa Zelandia)

Władimir Drinfeld (ZSRR)

Edward Witten (USA)

Uogólnienie wielomianu Jonesa do HOMFLY-PT

Dla każdego splotu zorientowanego L istnieje wielomian dwóchzmiennych PL(t, z) znany dziś pod nazwą HOMFLY-PT, któryw szczególnym przypadku jest wielomianem Jonesa z 1984 roku:

VL(t) = PL(t, t1/2 − t−1/2).

Autorami odkrycia tego wielomianu byli, w 1985 roku:

Hoste, J.Ocneanu, A.Millett, K.Freyd, P. J.Lickorish, W. B. R.Yetter, D. N.

w 1987 roku:

Przytycki, J.Traczyk, P.

VL(t) = PL(t, t1/2 − t−1/2).

w 1987 roku:

VL(t) = PL(t, t1/2 − t−1/2).

w 1987 roku:

VL(t) = PL(t, t1/2 − t−1/2).

w 1987 roku:

VL(t) = PL(t, t1/2 − t−1/2).

w 1987 roku:

Wielomiany Aleksandera i Alexandera-Conwaya

Wielomian PL(t, z) jest też uogólnieniem wielomianu Alexandera:

∆L(t) = PL(1, t1/2 − t−1/2).

James Waddell Alexander II określił swój wielomian w 1928 roku.Znacznie później, bo 1969 roku, John Conway opracował pewnąwersję wielomianu Alexandera, ∇(z), zwanego dziś wielomianemAlexandera–Conwaya.

∆L(t2) = ∇L(t − t−1)

Conway udowodnił też, że dwie SK-relacje (znane Alexanderowi)wystarczają do obliczania wielomianu ∆L(t) i jego wersji ∇L(z).

Odkrycie wielomianu Jonesa w 1984 roku pokazało jak ważną rolęodgrywają SK-relacje przy obliczaniu wielomianów splotów.

∆L(t) = PL(1, t1/2 − t−1/2).

∆L(t2) = ∇L(t − t−1)

∆L(t) = PL(1, t1/2 − t−1/2).

∆L(t2) = ∇L(t − t−1)

∆L(t) = PL(1, t1/2 − t−1/2).

James Waddell Alexander II określił swój wielomian w 1928 roku.

Znacznie później, bo 1969 roku, John Conway opracował pewnąwersję wielomianu Alexandera, ∇(z), zwanego dziś wielomianemAlexandera–Conwaya.

∆L(t2) = ∇L(t − t−1)

∆L(t) = PL(1, t1/2 − t−1/2).

∆L(t2) = ∇L(t − t−1)

∆L(t) = PL(1, t1/2 − t−1/2).

∆L(t2) = ∇L(t − t−1)

∆L(t) = PL(1, t1/2 − t−1/2).

∆L(t2) = ∇L(t − t−1)

∆L(t) = PL(1, t1/2 − t−1/2).

∆L(t2) = ∇L(t − t−1)

∆L(t) = PL(1, t1/2 − t−1/2).

∆L(t2) = ∇L(t − t−1)

Porównanie SK-relacji dla różnych wielomianów

Czy wielomian Jonesa wykrywa rozsupłanie węzła?

Czy równość VK (t) = 1 oznacza, że węzeł K jest rozsupłany?

Czy istnieje zasupłany splot o n składowych, którego wielomianJonesa jest taki sam, jak splotu rozsupłanego o n składowych?

Twierdzenie Homologie Khowanowa splotów odróżniają splotzasupłany od rozsupłanego – także, gdy splot jest węzłem.

Wielomian Jonesa zawiera w sobie część informacji homologicznej,bo można go interpretować jako charakterystykę Eulera–Poincaregohomologii Khowanowa..., ale to już jest temat innego wykładu!

Czy istnieje zasupłany splot o n składowych,

którego wielomianJonesa jest taki sam, jak splotu rozsupłanego o n składowych?

Twierdzenie Homologie Khowanowa splotów odróżniają splotzasupłany od rozsupłanego

– także, gdy splot jest węzłem.

Wielomian Jonesa zawiera w sobie część informacji homologicznej,

bo można go interpretować jako charakterystykę Eulera–Poincaregohomologii Khowanowa..., ale to już jest temat innego wykładu!

Wielomian Jonesa zawiera w sobie część informacji homologicznej,bo można go interpretować jako charakterystykę Eulera–Poincaregohomologii Khowanowa...

, ale to już jest temat innego wykładu!

Dziękuję za uwagę!

... a dla zaciekawionych mam krótką informację o grupie Bnwarkoczy β o n-pasmach, n 1, i reprezentacji Burau ρ(β).

... a dla zaciekawionych mam krótką informację o grupie Bnwarkoczy β o n-pasmach, n 1,

i reprezentacji Burau ρ(β).

Grupa Bn warkoczy o n pasmach, n 1

Drugi warkocz nie jest równoważny z pierwszym, ale jestrównoważny z trzecim.

Iloczyn pierwszych dwóch warkoczy jest trzecim warkoczem.

Drugi warkocz nie jest równoważny z pierwszym,

ale jestrównoważny z trzecim.

Iloczyn pierwszych dwóch warkoczy jest trzecim warkoczem.Krzysztof Pawałowski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Wielomiany Jonesa węzłów i splotów

Generatory i relacje w grupie B4

Każdy warkocz w grupie B4 może byc przedstawiony jako iloczynpewnej ilości następujących warkoczy σ1, σ2, σ3 i ich odwrotności:

Pomiędzy warkoczami σ1, σ2, σ3 zachodzą następujące relacje:

σ1σ3 = σ3σ1

σ1σ2σ1 = σ2σ1σ2

Wszystkie inne relacje pomiedzy warkoczami σ1, σ2, σ3 wynikająz powyższych trzech relacji i aksjomatów grupy, co zapisujemy

B4 = 〈σ1, σ2, σ3 | σ1σ3 = σ3σ1, σ1σ2σ1 = σ2σ1σ2, σ2σ3σ2 = σ3σ2σ3〉

i mówimy o prezentacji grupy B4 za pomocą generatorów i relacji.

σ1σ3 = σ3σ1

i mówimy o prezentacji grupy B4 za pomocą generatorów i relacji.Krzysztof Pawałowski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Wielomiany Jonesa węzłów i splotów

Generatory i relacje w grupie Bn

Grupa warkoczy Bn określona jest przez generatory i relacje:

Bn = 〈σ1, . . . , σn−1 | σiσj = σjσi , σiσi+1σi = σi+1σiσi+1〉

gdzie |i − j | 2 w przypadku relacji σiσj = σjσi , a druga relacjazachodzi dla i = 1, . . . , n − 2.

B1 jest grupą trywialną: B1 = {1}B2 jest grupą wolną o jednym generatorze: B2 ∼= ZB3, B4, B5 . . . są grupami nieabelowymi, bo każda z nichzawiera podgrupę wolną o dwóch generatorach.

Dla n 2 określony jest homomorfizmy abelianizacji e : Bn → Zprzez równość e(σi ) = 1 dla i = 1, . . . , n − 1. Na przykład,

e(σ2σ3σ−11 σ2σ

−13 σ1) = 1 + 1− 1 + 1− 1 + 1 = 2.

B1 jest grupą trywialną: B1 = {1}

B2 jest grupą wolną o jednym generatorze: B2 ∼= ZB3, B4, B5 . . . są grupami nieabelowymi, bo każda z nichzawiera podgrupę wolną o dwóch generatorach.

−13 σ1) = 1 + 1− 1 + 1− 1 + 1 = 2.

B1 jest grupą trywialną: B1 = {1}B2 jest grupą wolną o jednym generatorze: B2 ∼= Z

B3, B4, B5 . . . są grupami nieabelowymi, bo każda z nichzawiera podgrupę wolną o dwóch generatorach.

−13 σ1) = 1 + 1− 1 + 1− 1 + 1 = 2.

B1 jest grupą trywialną: B1 = {1}B2 jest grupą wolną o jednym generatorze: B2 ∼= ZB3, B4, B5 . . . są grupami nieabelowymi,

bo każda z nichzawiera podgrupę wolną o dwóch generatorach.

−13 σ1) = 1 + 1− 1 + 1− 1 + 1 = 2.

Reprezentacja Burau grupy Bn

Reprezentację Burau ρ grupy warkoczy Bn określa się poprzezwybór macierzy ρ(σi ) tak, by spełnione były relacje pomiędzyσ1, . . . , σn−1, gdy σi zastąpi się przez ρ(σi ).

ρ(σ1) =

1− t t 0 0 . . .

1 0 0 0 . . .0 0 1 0 . . ....

......

...0 0 0 . . . 1

......

ρ(σn−1) =

1 0 0 0 . . .0 1 0 0 . . ....

......

...0 0 . . . 1− t t0 0 . . . 1 0

ρ(σ1) =

1− t t 0 0 . . .

1 0 0 0 . . .0 0 1 0 . . ....

......

...0 0 0 . . . 1

......

ρ(σn−1) =

1 0 0 0 . . .0 1 0 0 . . ....

......

...0 0 . . . 1− t t0 0 . . . 1 0

ρ(σ1) =

1− t t 0 0 . . .

1 0 0 0 . . .0 0 1 0 . . ....

......

...0 0 0 . . . 1

......

ρ(σn−1) =

1 0 0 0 . . .0 1 0 0 . . ....

......

...0 0 . . . 1− t t0 0 . . . 1 0

ρ(σ1) =

1− t t 0 0 . . .

1 0 0 0 . . .0 0 1 0 . . ....

......

...0 0 0 . . . 1

......

ρ(σn−1) =

1 0 0 0 . . .0 1 0 0 . . ....

......

...0 0 . . . 1− t t0 0 . . . 1 0

Reprezentacja Burau grupy B4

ρ(σ1) =

1− t t 0 0

1 0 0 00 0 1 00 0 0 1

ρ(σ2) =

1 0 0 00 1− t t 00 1 0 00 0 0 1

ρ(σ3) =

1 0 0 00 1 0 00 0 1− t t0 0 1 0

Na przykład, dla warkocza β = σ1σ

−12 σ3 otrzymujemy

ρ(β) = ρ(σ1σ−12 σ3) = ρ(σ1)ρ(σ2)

−1ρ(σ3).

ρ(σ1) =

1− t t 0 0

1 0 0 00 0 1 00 0 0 1

ρ(σ2) =

1 0 0 00 1− t t 00 1 0 00 0 0 1

ρ(σ3) =

1 0 0 00 1 0 00 0 1− t t0 0 1 0

ρ(β) = ρ(σ1σ−12 σ3) = ρ(σ1)ρ(σ2)

−1ρ(σ3).

ρ(σ1) =

1− t t 0 0

1 0 0 00 0 1 00 0 0 1

ρ(σ2) =

1 0 0 00 1− t t 00 1 0 00 0 0 1

ρ(σ3) =

1 0 0 00 1 0 00 0 1− t t0 0 1 0

ρ(β) = ρ(σ1σ−12 σ3) = ρ(σ1)ρ(σ2)

−1ρ(σ3).

ρ(σ1) =

1− t t 0 0

1 0 0 00 0 1 00 0 0 1

ρ(σ2) =

1 0 0 00 1− t t 00 1 0 00 0 0 1

ρ(σ3) =

1 0 0 00 1 0 00 0 1− t t0 0 1 0

Na przykład, dla warkocza β = σ1σ−12 σ3 otrzymujemy

ρ(β) = ρ(σ1σ−12 σ3) = ρ(σ1)ρ(σ2)

−1ρ(σ3).

ρ(σ1) =

1− t t 0 0

1 0 0 00 0 1 00 0 0 1

ρ(σ2) =

1 0 0 00 1− t t 00 1 0 00 0 0 1

ρ(σ3) =

1 0 0 00 1 0 00 0 1− t t0 0 1 0

ρ(β) = ρ(σ1σ−12 σ3) = ρ(σ1)ρ(σ2)

−1ρ(σ3).

Powiadomieniamarynka.edu.pl/images/files/pdf/innowacje/matematyka_wielomiany.pdfCreated Date:...

Documents

Transcript of Powiadomieniamarynka.edu.pl/images/files/pdf/innowacje/matematyka_wielomiany.pdfCreated Date:...