1

Zadanie: Narysuj wykresy sił N, T, M. Zadanie rozwiąż metodą sił.

dr inż. Hanna Weber

q =4kN/mP=18kNP=24kN1

4 2 3 1 3

EJ EJ EJ EJ

2

Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności :

23163 =−−=−−= Prs lln

dr inż. Hanna Weber

q =4kN/mP=18kNP=24kN1

4 2 3 1 3

EJ EJ EJ EJ

Układ dwukrotnie statycznie niewyznaczalny

3

Dobór schematu podstawowego:

X 1X 1X 2

mechanizm

4

Dobór schematu podstawowego:

X 1X 1 X 2X 2

5

Schemat alternatywny:

X 1 X 2X 2

6

Schemat podstawowy:

X 1X 1 X 2X 2

7

Wykres X1=1

dr inż. Hanna Weber

X =1 1X =11

4 2 4 2 11/43/41/2

2

1

2

M1

8

Wykres X2=1

dr inż. Hanna Weber

X =1 2X =12

4 2 4 2 11/4 3/4

M2

1/2

1

9

Wykres od obciążenia zewnętrznego

dr inż. Hanna Weber

q =4kN/mP=18kNP=24kN1

4 2 3 1 2 1

R =27kNE0

R =17kND0

R =18kNC0

R =20kNA0

M =48kNmA0

A B C D E

48

=224

18

M[kNm]

0

4 28

2

10

Całkowanie wykresów:

dr inż. Hanna Weber

⋅⋅⋅⋅= 23

242

2

1111 EI

δ

4 2 4 2 1

1

2

M1

M2

148

=224

18

M[kNm]

0

4 28

2

11

Całkowanie wykresów:

dr inż. Hanna Weber

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= 13

221

2

12

3

242

2

1111 EI

δ

4 2 4 2 1

1

2

M1

M2

148

=224

18

M[kNm]

0

4 28

2

12

Całkowanie wykresów:

dr inż. Hanna Weber

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= 13

241

2

11

3

221

2

12

3

242

2

1111 EI

δ

4 2 4 2 1

1

2

M1

M2

148

=224

18

M[kNm]

0

4 28

2

13

Całkowanie wykresów:

dr inż. Hanna Weber

EIEI 3

221

3

241

2

11

3

221

2

12

3

242

2

1111 =

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ

4 2 4 2 1

1

2

M1

M2

148

=224

18

M[kNm]

0

4 28

2

14

Całkowanie wykresów:

dr inż. Hanna Weber

EIEI 3

21

3

141

2

1112 =

⋅⋅⋅⋅=δ

4 2 4 2 1

1

2

M1

M2

148

=224

18

M[kNm]

0

4 28

2

15

Całkowanie wykresów:

dr inż. Hanna Weber

⋅⋅⋅⋅= 13

241

2

1122 EI

δ

4 2 4 2 1

1

2

M1

M2

148

=224

18

M[kNm]

0

4 28

2

16

Całkowanie wykresów:

dr inż. Hanna Weber

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= 13

221

2

11

3

241

2

1122 EI

δ

4 2 4 2 1

1

2

M1

M2

148

=224

18

M[kNm]

0

4 28

2

17

Całkowanie wykresów:

dr inż. Hanna Weber

EIEI

21

3

221

2

11

3

241

2

1122 =

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ

4 2 4 2 1

1

2

M1

M2

148

=224

18

M[kNm]

0

4 28

2

18

Całkowanie wykresów:

dr inż. Hanna Weber

⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅= 2

2

14

8

44

3

22

3

2448

2

11 2

10 EIδ

4 2 4 2 1

1

2

M1

M2

148

=224

18

M[kNm]

0

4 28

2

19

Całkowanie wykresów:

dr inż. Hanna Weber

⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅= 1

2

12

8

24

3

22

2

14

8

44

3

22

3

2448

2

11 22

10 EIδ

4 2 4 2 1

1

2

M1

M2

148

=224

18

M[kNm]

0

4 28

2

20

Całkowanie wykresów:

dr inż. Hanna Weber( )

⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅+

⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

25,03

2124

2

125,01

2

13

8

34

3

21

13

125,0

3

2324

2

11

2

12

8

24

3

22

2

14

8

44

3

22

3

2448

2

11

2

22

10

EI

EIδ

4 2 4 2 1

1

2

M1

M2

148

=224

18

M[kNm]

0

4 28

2

1

0,25

21

Całkowanie wykresów:

( )EIEI

EI

3

40125,0

2

11

8

14

3

225,0

3

2124

2

125,01

2

13

8

34

3

21

13

125,0

3

2324

2

11

2

12

8

24

3

22

2

14

8

44

3

22

3

2448

2

11

22

22

10

=

⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅+

⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=δ

4 2 4 2 1

1

2

M1

M2

148

=224

18

M[kNm]

0

4 28

2

1

0,25

22

Całkowanie wykresów:

⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= 75,0

2

13

8

34

3

275,0

3

2324

2

11 2

20 EIδ

4 2 4 2 1

1

2

M1

M2

148

=224

18

M[kNm]

0

4 28

2

1

0,25

0,75

dr inż. Hanna Weber

23

Całkowanie wykresów:

( )

+⋅⋅⋅⋅⋅+

⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= 175,02

11

8

14

3

21

3

175,0

3

2124

2

175,0

2

13

8

34

3

275,0

3

2324

2

11 22

20 EIδ

4 2 4 2 1

1

2

M1

M2

148

=224

18

M[kNm]

0

4 28

2

1

0,25

0,75

dr inż. Hanna Weber

24

Całkowanie wykresów:

( )

13

1218

2

11

175,02

11

8

14

3

21

3

175,0

3

2124

2

175,0

2

13

8

34

3

275,0

3

2324

2

11 22

20

⋅⋅⋅⋅−

+⋅⋅⋅⋅⋅+

⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=

EI

EIδ

4 2 4 2 1

1

2

M1

M2

148

=224

18

M[kNm]

0

4 28

2

1

0,25

0,75

dr inż. Hanna Weber

25

Całkowanie wykresów:

( )

EIEI

EI

3

771

3

1218

2

11

175,02

11

8

14

3

21

3

175,0

3

2124

2

175,0

2

13

8

34

3

275,0

3

2324

2

11 22

20

=⋅⋅⋅⋅−

+⋅⋅⋅⋅⋅+

⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ

4 2 4 2 1

1

2

M1

M2

148

=224

18

M[kNm]

0

4 28

2

1

0,25

0,75

dr inż. Hanna Weber

26

Układ równań kanonicznych metody siłdla schematu dwukrotnie statycznie

niewyznaczalnego:

=+⋅+⋅=+⋅+⋅

0

0

20222121

10212111

δδδδδδ

XX

XX

kNmX

kNmX

EIX

EIX

EI

EIX

EIX

EI

97,6

59,17

03

772

3

2

03

401

3

2

3

22

2

1

21

21

−=−=

↓

=+⋅+⋅

=+⋅+⋅

27

Tworzenie ostatecznego wykresu momentów:

02211 iiii MXMXMM +⋅+⋅=

kNmX

kNmX

97,6

59,17

2

1

−=−=

1

2

M1

M2

148

=224

18

M[kNm]

0

4 28

2

1

0,25

0,75

M[kNm]

186,97

17,59

14,38

12,82

28

Wyznaczenie wartości sił tnących:

q =4kN/mP=18kNP=24kN1

4 2 3 1 3

EJ EJ EJ EJ

q =4kN/mP=18kNP=24kN1

4 2 3 1 2 1

29

Wyznaczenie wartości sił tnących:

q =4kN/mP=18kNP=24kN1

4 2 3 1 2 1

12,82 17,59 17,59

6,97 6,97

M[kNm]

186,97

17,59

14,38

12,82

30

Wyznaczenie wartości sił tnących:

q =4kN/mP=18kNP=24kN1

4 2 3 1 2 1

12,82 17,59 17,59

6,97 6,97

A B

R =11,2kNA T =4,8kNBL

M[kNm]

186,97

17,59

14,38

12,82

31

Wyznaczenie wartości sił tnących:

q =4kN/mP=18kNP=24kN1

4 2 3 1 2 1

12,82 17,59 17,59

6,97 6,97

A B

R =11,2kNA T =4,8kNBL

C

T =4,8kNBPT =12,8kNCL

T =4,8kNBPT =4,8kNBL

M[kNm]

186,97

17,59

14,38

12,82

32

Wyznaczenie wartości sił tnących:

q =4kN/mP=18kNP=24kN1

4 2 3 1 2 1

12,8217,59 17,59 6,97 6,97

A B

R =11,2kNA T =4,8kNBL

C

T =4,8kNBPT =12,8kNCL

T =4,8kNBPT =4,8kNBL D

T =16,65kNCPT =23,35kNDL

T =12,8kNCL T =16,65kNCP

R =29,45kNC

M[kNm]

186,97

17,59

14,38

12,82

33

Wyznaczenie wartości sił tnących:

q =4kN/mP=18kNP=24kN1

4 2 3 1 2 1

12,8217,59 17,59 6,97 6,97

A B

R =11,2kNA T =4,8kNBL

C

T =4,8kNBPT =12,8kNCL

T =4,8kNBPT =4,8kNBL D

T =16,65kNCPT =23,35kNDL

T =12,8kNCL T =16,65kNCP

R =29,45kNC

T =5,52kNDP

R =23,52kNE

ET =5,52kNDPT =23,35kNDL

DR =17,83kN

M[kNm]

186,97

17,59

14,38

12,82

34

Rysowanie wykresu sił tnących:

q =4kN/mP=18kNP=24kN1

4 2 3 1 2 1

12,8217,59 17,59 6,97 6,97

A B

R =11,2kNA T =4,8kNBL

C

T =4,8kNBPT =12,8kNCL

T =4,8kNBPT =4,8kNBL D

T =16,65kNCPT =23,35kNDL

T =12,8kNCL T =16,65kNCP

R =29,45kNC

T =5,52kNDP

R =23,52kNE

ET =5,52kNDPT =23,35kNDL

DR =17,83kN

T[kN]

1816,6511,2

4,812,8

+

-

4,65

19,3523,35

+

--

5,52

+

35

Wyznaczanie ekstremum:

T[kN]

1816,6511,2

4,812,8

+

-

4,65

19,3523,35

+

--

5,52

+

e

q =4kN/mP=18kNP=24kN1

4 2 3 1 2 1

12,8217,59 17,59 6,97 6,97

A B

R =11,2kNA T =4,8kNBL

C

T =4,8kNBPT =12,8kNCL

T =4,8kNBPT =4,8kNBL D

T =16,65kNCPT =23,35kNDL

T =12,8kNCL T =16,65kNCP

R =29,45kNC

T =5,52kNDP

R =23,52kNE

ET =5,52kNDPT =23,35kNDL

DR =17,83kN

36

Wyznaczanie ekstremum:

4

12,82

A

R =11,2kNA T =4,8kNBL

x

q =4kN/m

T[kN]

1816,6511,2

4,812,8

+

-

4,65

19,3523,35

+

--

5,52

+

e

37

Wyznaczanie ekstremum:

4

12,82

A

R =11,2kNA T =4,8kNBL

x

q =4kN/m

T[kN]

1816,6511,2

4,812,8

+

-

4,65

19,3523,35

+

--

5,52

+

e

kNmxM

mx

xxT

86,22

8,248,22,1182,12)(

8,24

2,11

042,11)(

2

=⋅−⋅+−=

==

↓=−=

38

Wyznaczanie ekstremum:

4

12,82

A

R =11,2kNA T =4,8kNBL

x

q =4kN/m

M[kNm]

186,97

17,59

14,38

12,82

kNmxM

mx

xxT

86,22

8,248,22,1182,12)(

8,24

2,11

042,11)(

2

=⋅−⋅+−=

==

↓=−=

39

Wyznaczanie ekstremum:

4

12,82

A

R =11,2kNA T =4,8kNBL

x

q =4kN/m

M[kNm]

186,97

17,59

14,38

12,82

2,86

kNmxM

mx

xxT

86,22

8,248,22,1182,12)(

8,24

2,11

042,11)(

2

=⋅−⋅+−=

==

↓=−=