Post on 28-Feb-2019
1
Wykład trzeci
Wybrane metody przybliżonego
wyznaczania rozwiązań (pierwiastków)
równań nieliniowych
2
3
Rozwiązanie składa się z dwóch etapów:
- wyboru przedziału izolacji; przedziału, w którym funkcja ciągła, na końcach tego przedziału ma różne znaki, czyli f(a)∙f(b) < 0,
- zastosowania algorytmu iteracyjnego do wyszukiwania
właściwego rozwiązania.
Metody szukania przedziału [a, b]:
- tabelka, - oszacowanie przedziału, w którym f1(x) = f2(x)
Metody rozwiązywania równań nieliniowych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
( ) 0=xf f jest funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej x
4
Warunki gwarantujące znalezienie pierwiastka:
1. różne znaki funkcji na końcach przedziału 0 bfaf ,
2. ciągłość funkcji w przedziale [a, b],
3. istnienie pierwszej pochodnej, pochodna nie zmienia znaku w całym przedziale, funkcja jest gładka i monotoniczna,
4. druga pochodna ma stały znak w całym przedziale, tj. nie ma punktów przegięcia, przebieg funkcji albo wklęsły, albo wypukły.
Metody rozwiązywania równań nieliniowych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5
Zakończenie procesu poszukiwania rozwiązania:
- δxf k <)( )1+( , δ - zależy od poszukiwanej wartości,
- zbieżność iteracji, czyli ,xx )k()k( 1 ε - zależy od poszukiwanej wartości,
- iteracja trwa zbyt długo, warunek k > kmax, koniec obliczeń,
- wartości ,)(>)( )()1+( kk xfxf nieprawidłowy algorytm.
Wybór wartości .x )( 0
Metody: bisekcji, siecznych, regula falsi, stycznych, iteracji prostej.
Metody rozwiązywania równań nieliniowych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6
Zakłada się, że występująca w równaniu (1) funkcja f jest ciągła na zadanym przedziale ba, i spełnia w punktach krańcowych warunek
f (x) = 0 (1)
0 bfaf
Należy znaleźć przedział ba,
Ustalić liczby ε, δ
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Metoda bisekcji – metoda połowienia
7
Przebieg obliczeń:
Ustalamy, że )()( bb,aa 00
2
000
)()( bax
Sprawdzamy, czy
,)x(f )( 0
jeżeli TAK, to )(x 0 jest rozwiązaniem *xx )( 0
pierwsza iteracja
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
8
jeżeli NIE, to sprawdzamy, czy przedział [a, )(x 0 ] spełnia warunek 00 )(xfaf ,
jeżeli TAK, to )0()1()1( =,= xbaa
jeżeli NIE, to bbxa =,= )1()0()1(
Następnie
211
1)()(
)(
bax
Sprawdzamy, czy ,)x(f )( 1
druga iteracja
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9
jeżeli TAK, to )(x 1 jest rozwiązaniem *xx )( 1
jeżeli NIE, to sprawdzamy, czy przedział [ )(a 1 , )(x 1 ]
spełnia warunek 011 )()( xfaf ,
jeżeli TAK, to )1()2()1()2( =,= xbaa
jeżeli NIE, to )1()2()1()2( =,= bbxa
Następnie
222
2)()(
)(
bax
trzecia iteracja
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
10
Sprawdzamy, czy ,)x(f )( 2
jeżeli TAK, to )(x 2 jest rozwiązaniem *xx )( 2 .
Jeżeli nie, to sprawdzamy …. itd.
Algorytm
2)k()k(
)k(
bax
gdzie k = 0, 1, 2, 3, …..
Zakończenie obliczeń )x(f )k(wtedy *xx )k(
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
11
a b
f(x)
x
f(a)
f(b)
x(0)
a(1) b(1)
a(0) b(0)
2)0()0(
0
bax
,)x(f )( 0 *xx )( 0
211
1)()(
)(
bax
,)x(f )( 1
*xx )( 1
x(1)
a(2)b(2)
x(2)
Ilustracja graficzna
│f (x(2))│ < δ x (2) = x*
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
12
Karta następstw START
CZYTAJ: a, b, δ f (x) = 0
k = 0
x (k) = (a+b)/2
│f (x (k) )│<δ
TAK
x* = x (k)
STOP
NIE
f (a)·f (x (k)) < 0NIE
a = x (k)TAK
b = x (k)
k = k + 1
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
13
Przykład:
0623 xx
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
14
1. Tabelka
Należy rozwiązać równanie 0623 xx
Obliczenia należy zakończyć, gdy 10,)x(f )k(
Lokalizacja przedziału [a, b]
x 1 2 3 f(x) -7 -2 15
2. Wykres funkcji
623 xx
Przedział [2, 3]
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
15
Przedział [a, b] f (a) = - 2 f (b) = 15 f (a) f (b) < 0
Obliczamy:
5220 ,bax
Sprawdzamy: 1,0625,4)( )0( xf
Wybieramy przedział: f (2) = - 2 f (2,5) = 4,625 f (3) = 15
2 2,5 3
Przedział: [2, 2,5] Obliczamy:
2522
5222
111 ,,ba
x )()()(
Sprawdzamy: f (2,25) = 0,89 1,089,0)( )1( xf
2,25
Wybieramy przedział: f (2) = - 2 f (2,25) = 0,89 f (2,5) = 4,625
Przedział: [2, 2,25]
522 11 ,b,a )()(
2522 22 ,b,a )()( Obliczamy:
12522
25222
222 ,,ba
x )()()(
Przedział [2, 3]pierwsza iteracja
druga iteracja
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
16
Sprawdzamy: f (2,125) = - 0,82 1,082,0)( )2( xf
Wybieramy przedział: f (2) = -2 f (2,125) = - 0,82 f (2,25) = 0,89
2 2,125 2,25
Przedział: [2,125, 2,25] 2521252 33 ,b,a )()(
Obliczamy:
187522
25212522
333 ,,,ba
x )()()(
Sprawdzamy: f (2,1875) = 0,09 1,009,0)( )3( xf
1875,2*)3( xxRozwiązanie:
trzecia iteracja
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
17
Zakłada się, że występująca w równaniu (1) funkcja f jest ciągła na zadanym przedziale ba, i spełnia w punktach krańcowych warunek
f (x) = 0 (1)
0 bfaf
Należy znaleźć przedział ba,
Ustalić liczby ε, δ
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Metoda siecznych
18
)a(f)b(f)ab()b(fbx )(
1
Sprawdzamy, czy ,)x(f )( 1
Jeżeli TAK, to )(x 1 jest rozwiązaniem *xx )( 1
Jeżeli NIE, to liczymy dalej, ale najpierw musimy określić, który z punktów
będzie stanowił punkt odniesienia - punkt wykreślania kolejnych siecznych
a
b
x(1)
f(x)
x
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przebieg obliczeń:Wyznaczamy punkt przecięcia prostej (siecznej)
przechodzącej przez punkty a, f (a) i b, f (b) z osią x
19
Ustalenie )(x 0
Jeżeli bxtobfxf )0()1( 0)()(
Jeżeli NIE, to ax )( 0
Wyznaczamy punkt przecięcia prostej (siecznej) przechodzącej przez punkty
)x(f,x),x(f,x )()()()( 1100z osią x
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
20
)x(f)x(f)xx()x(f
xx)()(
)()()()()(
01
01112
Sprawdzamy, czy ,)x(f )( 2
Jeżeli TAK, to )2(x jest rozwiązaniem *)2( xx
Jeżeli NIE, to liczymy dalej zgodnie z zależnością
)x(f)x(f)xx()x(f
xx)k()k(
)k()k()k()k()k(
1
11
k = 2, 3, …,
a
b
x(1)
x(2)
f(x)
x
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
21
Po każdej iteracji sprawdzamy, czy )x(f )k( 1
Koniec obliczeń, gdy )x(f )k( 1
Wtedy *xx )k( 1
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
22
f(x)
x
f(b)
f(a)
ab0
x(1)
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ilustracja graficzna
23
f(x)
x
f(b)
f(a)
ab0
x(1)
f (x (1)) ·f (b) < 0 x(0) = b
x(0)
│f(x(1))│ < δ TAK koniec obliczeń x (1) = x *NIE liczymy dalej
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ilustracja graficzna
24
f(x)
x
f(b)
f(a)
ab0
x(1)
x(0)
│f(x(2))│ < δ TAK koniec obliczeń x (2) = x *NIE liczymy dalej
x(2)
Ilustracja graficzna
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
25
f(x)
x
f(b)
f(a)
ab0
x(1)
x(0)
│f(x(3))│ < δ TAK koniec obliczeń x (3) = x *NIE liczymy dalej
x(2)
x(3)
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ilustracja graficzna
26
f(x)
x
f(b)
f(a)
ab0
x(1)
x(0)
x(2) x(3)
)x(f)x(f)xx()x(f
xx)k()k(
)k()k()k()k()k(
1
11
k = 2, 3, …,
)a(f)b(f)ab()b(fbx )(
1
Ilustracja graficzna
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład:
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
27
28
1. Tabelka
Należy rozwiązać równanie 0623 xx
Obliczenia należy zakończyć, gdy 10,)x(f )k(
Lokalizacja przedziału [a, b]
x 1 2 3 f(x) -7 -2 15
2. Wykres funkcji
623 xx
Przedział [2, 3]
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Obliczamy: f (a) = -2 f (b) = 15
1176288230317153
215231531
,,
)()(
)a(f)b(f)ab()b(fbx )(
Wyznaczamy punkt przecięcia z osią x
Sprawdzamy, czy 01 )b(f)x(f )(
f (2,1176) · f (3) = (-0,7939) · 15, czyli < 0 więc bx )( 0
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
29
Przebieg obliczeń:
Sprawdzamy, czy ,)x(f )( 1
f (2,1176) 79390, > 0,1
Liczymy dalej
15902739015739031176211762
01
01112
,),(,,.
)x(f)x(f)xx()x(f
xx)()(
)()()()()(
Sprawdzamy, czy ,)x(f )( 2 f (2,159) = - 0,2542
25420, > 0,1
Liczymy dalej
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
30
18225420739025420
1176215921592
12
12223
,),(),(,
,,.
)x(f)x(f)xx()x(f
xx)()(
)()()()()(
Sprawdzamy, czy ,)x(f )( 3 f (2,18) = 0,000232
0002320, < δ czyli, koniec obliczeń
1823 ,x )( jest przybliżonym rozwiązaniem równania 0623 xx
*18,2)3( xx
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
31
32
Zakłada się, że występująca w równaniu (1) funkcja f jest ciągła na zadanym przedziale ba, i spełnia w punktach krańcowych warunek
f (x) = 0 (1)
0 bfaf
Należy znaleźć przedział ba,
Ustalić liczby ε, δ
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula falsi---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Metoda regula falsi
33
Wyznaczamy punkt przecięcia prostej przechodzącej przez punkty a, f (a) i b, f (b) z osią x
)a(f)b(f)ab()b(fbx )(
1
Jeżeli axbxto)b(f)x(f )()p()( 01 0
Jeżeli NIE, to bxax )()p( 0
Sprawdzamy, czy ,)x(f )( 1
Jeżeli TAK, to )(x 1 jest rozwiązaniem *xx )( 1
a
b
x(1)
f(x)
x
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula falsi---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przebieg obliczeń:
34
Jeżeli NIE, to
k = 1, 2, 3 ,…
Koniec obliczeń, gdy )x(f )k( 1
wtedy
*xx )k( 1
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula falsi---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
)()()()(
)()(
)()()()()1(
pk
pkkkk xfxf
xxxfxx
35
f(x)
x
f(b)
f(a)
ab0
Ilustracja graficzna
x(1)
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula falsi---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
36
Ilustracja graficznaf(x)
x
f(b)
f(a)
ab0
x(1)
f (x(1)) ·f (b) < 0 x(0) = a x(p) = b
x(p)
│f(x(1))│ < δ TAK koniec obliczeń x (1) = x *NIE liczymy dalej
x(0)
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula falsi---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
37
Ilustracja graficznaf(x)
x
f(b)
f(a)
ab0
x(1)
f (x(1)) ·f (b) < 0 x(0) = a x(p) = b
x(p)
│f(x(2))│ < δ TAK koniec obliczeń x (2) = x *NIE liczymy dalej
x(0) x(2)
│f(x(3))│ < δ TAK koniec obliczeń x (3) = x *
x(3)
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula falsi---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
38
Przykład
0623 xx
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula falsi---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
39
1. Tabelka
Należy rozwiązać równanie 0623 xx
Obliczenia należy zakończyć, gdy 10,x(f )k(
Lokalizacja przedziału [a, b] x 1 2 3 f(x) -7 -2 15
2. Wykres funkcji 623 xx
Przedział [2, 3]
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula falsi---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
40
Obliczamy: f (2) = - 2 f (b) = 15
Wyznaczamy punkt przecięcia z osią x
1176288230317153
215231531
,,
)()(
)a(f)b(f)ab()b(fbx )(
Sprawdzamy, czy 01 )b(f)x(f )(
f (2,1176)· f (3) = - 0,7939·15, czyli < 0 czyli
axbx )()p( 0
pierwsza iteracja
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula falsi---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
41
Obliczamy:
Sprawdzamy, czy 01 )b(f)x(f )(
f (2,1176) = - 0, 7939, czyli 79390, > 0,1
Sprawdzamy, czy ,)x(f )( 2 f (2,161) = - 0,23 230, > 0,1
Liczymy dalej
Sprawdzamy, czy ,x(f )( 3 f (2,173) = - 0,0779 07790, < 0,1
Warunek spełniony, więc *x,x )( 17323
druga iteracja
trzecia iteracja
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula falsi---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
161,2)()(
)()(
)()1(
)()1()1()1()2(
p
p
xfxfxxxf
xx
173,2)()(
)()(
)()2(
)()2()2()2()3(
p
p
xfxfxxxf
xx
42
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda stycznych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Metoda stycznych
Zakłada się, że występująca w równaniu (1) funkcja f jest ciągła na zadanym przedziale ba, i spełnia w punktach krańcowych warunek
f (x) = 0 (1)
0 bfaf
Należy znaleźć przedział ba,
Ustalić liczby ε, δ
Funkcja f (x) musi mieć określoną i ciągłą pierwszą i drugą pochodną w przedziale [a, b]
Przebieg obliczeń:
)0(x
bxlubax )()( 00
Spełniony musi być warunek 000 )x(''f)x(f )()(
Obliczenia wykonujemy według wzoru iteracyjnego:
)x('f)x(f
xx)k(
)k()k()k( 1 k = 0, 1, 2, …
Po każdej iteracji sprawdzamy, czy )x(f )k( 1
Koniec obliczeń, gdy )x(f )k( 1 wtedy *xx )k( 1
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda stycznych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
43
Przebieg obliczeń:Ustalamy, który z końców przedziału będzie traktowany jako
f (b)·f ”(b) > 0 b = x(0)
X(0)
X(1)X(2)
│f (x(1)) │< δ TAK kończymy obliczenia x(1) = x*
NIE liczymy dalej
│f (x (2))│ < δ TAK kończymy obliczenia x (2) = x*
NIE liczymy dalej
Ilustracja graficzna
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda stycznych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
44
Przykład:
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda stycznych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
45
1. Tabelka
Należy rozwiązać równanie 0623 xx
Obliczenia należy zakończyć, gdy 1,0)( )( kxf
Lokalizacja przedziału [a, b] x 1 2 3 f(x) -7 -2 15
2. Wykres funkcji 623 xx
Przedział [2, 3]
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda stycznych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
46
W przedziale [a, b] funkcja musi być ciągła, monotoniczna i mieć pierwszą i drugą pochodną
Obliczamy: f(2) = - 2 f(3) = 15
f’(x) = 23 2 x f”(x) = x6 f(a)∙f”(a)= - 2∙12 = - 24 warunek nie jest spełniony, f(b)∙f”(b)= 15∙18 = > 0 warunek spełniony, czyli 30 bx )(
Obliczamy
42
25153
0
001 ,
)x('f)x(f
xx)(
)()()(
0623 xx
47
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda stycznych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sprawdzamy, czy )x(f )(1
02431 ,)x(f )(
Liczymy dalej
20222815
0243421
112 ,
,,,
)x('f)x(f
xx)(
)()()(
Sprawdzamy, czy )x(f )( 2 27302 ,)x(f )(
Liczymy dalej
175224121027302022
2
223 ,
,,,
)x('f)x(f
xx)(
)()()(
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda stycznych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
48
Sprawdzamy, czy )x(f )( 3
|06,0|)( )3(xf
17523 ,x )( jest przybliżonym rozwiązaniem równania
0623 xx
*175,2)3( xx
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda stycznych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
49
50
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Metoda iteracji prostej
Zakłada się, że występująca w równaniu (1) funkcja f jest ciągła na zadanym przedziale ba, i spełnia w punktach krańcowych warunek
f (x) = 0 (1)
0 bfaf
Należy znaleźć przedział ba,
Ustalić liczby ε, δ
Funkcja f (x) musi mieć określoną i ciągłą pierwszą i drugą pochodną w przedziale [a, b]
51
)x(Fx
Obliczenia wykonujemy według wzoru iteracyjnego
)x(Fx )k()k( 1 k = 0, 1, 2, …..
Po każdej iteracji sprawdzamy, czy )x(f )k( 1
Obliczenia kończymy, gdy )x(f )k( 1 wtedy *xx )k( 1
Początek obliczeń
20
bax )(
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przebieg obliczeń:Funkcję f (x) przekształcamy do postaci
52
Warunek zbieżności:
Jeżeli istnieje taki ułamek q, że
bxadlaq)x('F 1
to iteracja będzie zbieżna.
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
53
Ilustracja graficzna
x
f(x)f(x)=x
F(x)
0 a b
F(x)
x(0)x(1)
│f (x(1))│< δ TAK kończymy obliczenia x (1) = x *NIE liczymy dalej
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ilustracja graficzna
Przykład:
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
54
1. Tabelka
Należy rozwiązać równanie 0623 xx
Obliczenia należy zakończyć, gdy 10,)x(f )k(
Lokalizacja przedziału [a, b] x 1 2 3 f(x) -7 -2 15
2. Wykres funkcji 623 xx
Przedział [2, 3]
55
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Należy funkcję f (x) = 0 przekształcić do postaci x = F (x)
Propozycja 1 3
21 3 xx czyli
3
21 3 x)x(F
Sprawdzamy warunek zbieżności
2
23 x)x('F 1>375,9=
23
=)5,2(' 2xFdla a = 2,5
Warunek zbieżności nie jest spełniony
Propozycja 2 63 xxx czyli 63 xx)x(F
Sprawdzamy warunek zbieżności
13 2 x)x('F dla a = 2,5 1>75,17=13=)5,2(' 2 -xF
Warunek zbieżności nie jest spełniony
bxadlaq)x('F 1
0623 xx
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
56
Propozycja 3 3 62 xx czyli 3 62)( xxF
Sprawdzamy warunek zbieżności
3 2
311 )62(
132
)62(
132)('
xxxF
dla a = 2,5 1<134,0=11
132
=)6+5(
132
=)5,2('3 22
3F
Warunek spełniony
0623 xx
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
57
Wykonujemy obliczenia kolejnych iteracji zgodnie z regułą iteracyjną
31 62 )k()k( xx k = 0, 1, 2, ….
Obliczamy pierwszą iterację 52
232
20 ,bax )(
Sprawdzamy 62540 ,)x(f )(
58
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Liczymy dalej 22326562 33
01 ,xx )()(
Sprawdzamy 52501 ,)x(f )(
Liczymy dalej
185924461062 3312 ,,xx )()(
Sprawdzamy 07202 ,)x(f )(
1859,2)2( x jest przybliżonym rozwiązaniem równania 0623 xx
*1859,2)2( xx
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
59
Zestawienie wyników
Metoda Wynik Liczba iteracji
Bisekcja 2,1875 4
Siecznych 2,18 3
Regula falsi 2,173 3
Stycznych 2,175 3
Iteracji prostej 2,1859 3
60
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, zestawienie wyników---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
61
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, zadanie domowe---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. Znaleźć trzy pierwsze przybliżenia wartości x metodą bisekcji dla równania:x2 - 2x – 3 = 0 w przedziale [2; 5].
2. Znaleźć trzy pierwsze przybliżenia wartości x metodą siecznych dla równania:x2 - 2x – 3 = 0 w przedziale [2; 5].
3. Znaleźć trzy pierwsze przybliżenia wartości x metodą stycznych dla równania:x2 - 2x – 3 = 0 dla x0 = 2.
4. Zaproponuj (z uzasadnieniem) przekształcenie funkcji x3 - 3x – 4 = 0 na postać dogodną do rozwiązania metodą iteracji prostej.
Zadania domowe
62
Metody rozwiązywania równań nieliniowych, pytania na kartkówkę---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. Metoda bisekcji – założenia, przepis na kolejne iteracje, warunki zakończenia iteracji.
2. Metoda siecznych – założenia, przepis na kolejne iteracje, warunki zakończenia iteracji.
3. Metoda iteracji prostej – założenia, przepis na kolejne iteracje, warunki zakończenia iteracji.
4. Metoda stycznych– założenia, przepis na kolejne iteracje, warunki zakończenia iteracji.