Wykład drugi · 2018. 3. 1. · 2 Metody rozwiązywania układów równań liniowych Poszukujemy...

1

Wykład drugi

2

Metody rozwiązywania układów równań liniowych

Poszukujemy rozwiązania układu równań liniowych A·x = b, det A ≠ 0

Rozwiązaniem jest wektor x*

Metody dokładne:eliminacji Gaussa, dekompozycji LU

Otrzymujemy rozwiązanie po określonej liczbie działań arytmetycznych,która zależy od liczby równań w układzie równań - n

Metody iteracyjne (przybliżone):Jacobiego, Gaussa-Seidla

Nie potrafimy określić ile kolejnych iteracji k należy wykonać, żeby oszacować wektor zbliżony do wektora x*

Metody rozwiązywania układów równań liniowych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3

Metody iteracji prostej:- metoda Jacobiego,- metoda Gaussa-Seidla.

2. Wzór rekurencyjny -

3. Warunki początkowe - )(ox

4. Warunki zakończenia obliczeń - )()1( kk xx

5. Rozwiązanie - *)1( xx k

1. Warunki zbieżności algorytmu

....,2,1,0)( )()1( kxfx kk

Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4

Metody iteracji prostej

Dane jest równanie liniowe nR xbxA , (1)

A – macierz nieosobliwa n x n wymiarowa, b – wektor wyrazów wolnych,x – jest wektorem niewiadomych.

Równanie (1) przekształcamy do postaci: cxGx (2)

G – macierz n x n wymiarowa, c – wyrazy wolne

,2,1,0dla,,

1

0

kkk

n

cxGxx R

(3)


5

,2,1,0dla,,

1

0

kkk

n

cxGxx R

(3)

Ciąg zdefiniowany formułą rekurencyjną algorytmu iteracji prostej.

Jeżeli ciąg

jest zbieżny, to jego granicą jest wektor będący

rozwiązaniem równania

*)1( xx k

...,2,1,0)1( kx k

...,2,1,0)1( kx k

cxGx


6

AlgorytmAlgorytm to przepis postępowania, zbiór pewnych reguł,

- wszystkie czynności,

- kolejność ich wykonywania.


w matematyce oraz informatyce to:

skończony, uporządkowany zbiór jasno zdefiniowanych czynności, koniecznych do wykonania pewnego zadania.

Zadanie:Algorytm ma przeprowadzić system z pewnego stanu początkowego do pożądanego stanu końcowego.

Realizacja:Algorytm może zostać zaimplementowany w postaci programu komputerowego lub innego urządzenia.

7

Zapis algorytmu – karta następstw, sieć działańSymbole i przykłady:

początek, koniec

operator, operacja do wykonania

operator wejścia, wyjścia, np. wprowadzanie danychdo pamięci, wyprowadzanie danych z pamięci

element decyzyjny

łącznikpołączenia poszczególnychsymboli

kierunek działania


START/STOP

k = k + 1

CZYTAJ a, b, c

A > B

8

Sieć działań Karta następstw

START

Dane wejściowe: M, x0, A, b, ε

Obliczenia: xk+1 = f (xk)

TAK

Drukuj xk+1

STOP

NIE

k = k + 1

k = 0

k = M

NIE

TAK

Ax + b = 0

M - liczba


9

nR xbxA , cxGx

,2,1,0dla,,

1

0

kkk

n

cxGxx R

nnnnnn

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

2

1

2

1

21

22221

11211

Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Metoda Jacobiego

10

Macierz G


0

0

0

=

321

22

2

22

23

22

21

11

1

11

13

11

12

nn

n

nn

n

nn

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

aa

a

a

a

a

a

G

---

---

---

A·x = b A = A – AD+ AD

(A – AD + AD)·x = b

nn

D

a

aa

A

.00....0.00.0

22

11

x = G·x + c

AD·x = – (A – AD )·x + b

...,1,0)( 1)(

1)1(

kbAxAAAx DkDDk

(A – AD )·x + AD·x = b

x = – AD · (A – AD )·x + AD ·b-1 -1

11

bxA

cxGx

nnnnnn

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

2

1

2

1

21

22221

11211


macierz G

+•

0

0

0

= 2

1

2

1

321

22

2

22

23

22

21

11

1

11

13

11

12

2

1

nn

nn

n

nn

n

nn

n

n

n

n c

c

c

x

x

x

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

aa

a

a

a

a

a

x

x

x

---

---

---

12

nn

nknnnknkn

nnkn

knnkkk

knnkkk

i

abxaxaxa

ax

abxaxaxa

ax

abxaxaxa

ax

nix

,11,,22,111,

22

2,2,323,121

221,2

11

1,1,313,212

111,1

0,

1..................................................................

1

1

,,,2,1dla,

R

,2,1,0k

nn

nn a

bc

abc

abc

22

22

11

11

macierz G

Formuła rekurencyjna algorytmu w metodzie Jacobiego


13

cx )0(

Kończymy obliczenia, gdy )()1( kk xx

Rozwiązanie *)1( xx k


Sprawdzamy warunek zbieżności:

Jeśli warunek zbieżności jest spełniony to zaczynamy obliczenia

od przyjęcia, że

nnnn

n

n

ggg

gggggg

G

21

22221

11211

nig

njg

n

jij

n

iij

,...,2,11

...,,2,11

1

1

14


Krok 1

+•

0

0

0

= 2

1

)(,

)(,2

)(,1

321

22

2

22

23

22

21

11

1

11

13

11

12

)1+(,

)1+(,2

)1+(,1

nkn

k

k

nn

n

nn

n

nn

n

n

n

kn

k

k

c

c

c

x

x

x

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

aa

a

a

a

a

a

x

x

x

---

---

---

15


Krok 1

Krok 2

…

+•

0

0

0

= 2

1

)(,

)(,2

)(,1

321

22

2

22

23

22

21

11

1

11

13

11

12

)1+(,

)1+(,2

)1+(,1

nkn

k

k

nn

n

nn

n

nn

n

n

n

kn

k

k

c

c

c

x

x

x

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

aa

a

a

a

a

a

x

x

x

---

---

---

+•

0

0

0

= 2

1

)1+(,

)1+(,2

)1+(,1

321

22

2

22

23

22

21

11

1

11

13

11

12

)2+(,

)2+(,2

)2+(,1

nkn

k

k

nn

n

nn

n

nn

n

n

n

kn

k

k

c

c

c

x

x

x

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

aa

a

a

a

a

a

x

x

x

---

---

---

16

521161215112

321

321

321

xxxxxxxxx


Przykład 1:

17

521161215112

321

321

321

xxxxxxxxx

ε = 0,2

cx )0(


Przykład 1:

( ) ( ) εkk <1+ xx -

18

521161215112

321

321

321

xxxxxxxxx

ε = 0,2

cx )0(


Przykład 1:

Przekształcamy układ równań do postaci dogodnej do rozwiązania metodę Jacobiego:

( ) ( ) εkk <1+ xx -

...,2,1,0

25

21

21

26

21

21

25

21

21

,2,11,3

,3,11,2

,3,21,1

k

xxx

xxx

xxx

kkk

kkk

kkk

19


Przykład 1: Warunek zbieżności

...,2,1,0

25

21

21

26

21

21

25

21

21

,2,11,3

,3,11,2

,3,21,1

k

xxx

xxx

xxx

kkk

kkk

kkk

nig

njg

n

jij

n

iij

,...,2,11

...,,2,11

1

1

20



...,2,1,0

25

21

21

26

21

21

25

21

21

,2,11,3

,3,11,2

,3,21,1

k

xxx

xxx

xxx

kkk

kkk

kkk

nig

njg

n

jij

n

iij

,...,2,11

...,,2,11

1

1

21

21

2

1

2

121

21

0

=

0--

- 0 -

--

G

21



...,2,1,0

25

21

21

26

21

21

25

21

21

,2,11,3

,3,11,2

,3,21,1

k

xxx

xxx

xxx

kkk

kkk

kkk

nig

njg

n

jij

n

iij

,...,2,11

...,,2,11

1

1

21

21

2

1

2

121

21

0

=

0--

- 0 -

--

G

121

21

121

21

121

21

22



...,2,1,0

25

21

21

26

21

21

25

21

21

,2,11,3

,3,11,2

,3,21,1

k

xxx

xxx

xxx

kkk

kkk

kkk

nig

njg

n

jij

n

iij

,...,2,11

...,,2,11

1

1

21

21

2

1

2

121

21

0

=

0--

- 0 -

--

G

121

21

121

21

121

21

Warunki zbieżności „po wierszach”nie są spełnione!

Nie liczymy dalej.

23

ε = 0,2

cx )0(


Przykład 2:

( ) ( ) εkk <1+ xx -

531161415113

321

321

321

xxxxxxxxx

24

ε = 0,2

cx )0(


Przykład 2:

Przekształcamy układ równań do postaci:

( ) ( ) εkk <1+ xx -

531161415113

321

321

321

xxxxxxxxx

,...2,1,0

35

31

31

46

41

41

35

31

31

,2,11,3

,3,11,2

,3,21,1

k

xxx

xxx

xxx

kkk

kkk

kkk

,...2,1,0

35

31

31

46

41

41

35

31

31

,2,11,3

,3,11,2

,3,21,1

k

xxx

xxx

xxx

kkk

kkk

kkk

25



nig

njg

n

jij

n

iij

,...,2,11

...,,2,11

1

1

,...2,1,0

35

31

31

46

41

41

35

31

31

,2,11,3

,3,11,2

,3,21,1

k

xxx

xxx

xxx

kkk

kkk

kkk

26



nig

njg

n

jij

n

iij

,...,2,11

...,,2,11

1

1

31

31

4

1

4

131

31

0

=

0--

- 0 -

--

G

,...2,1,0

35

31

31

46

41

41

35

31

31

,2,11,3

,3,11,2

,3,21,1

k

xxx

xxx

xxx

kkk

kkk

kkk

27



nig

njg

n

jij

n

iij

,...,2,11

...,,2,11

1

1

31

31

4

1

4

131

31

0

=

0--

- 0 -

--

G

1<32

=31

+31

1<21

=41

+41

1<32

=31

+31

--

--

--

,...2,1,0

35

31

31

46

41

41

35

31

31

,2,11,3

,3,11,2

,3,21,1

k

xxx

xxx

xxx

kkk

kkk

kkk

28



nig

njg

n

jij

n

iij

,...,2,11

...,,2,11

1

1

31

31

4

1

4

131

31

0

=

0--

- 0 -

--

G

Warunki zbieżności „po wierszach”są spełnione!

Liczymy dalej.1<

32

=31

+31

1<21

=41

+41

1<32

=31

+31

--

--

--

2966,135

5,146

66,135

)0(

cx

...,2,1,0

35

31

31

46

41

41

35

31

31

,2,11,3

,3,11,2

,3,21,1

k

xxx

xxx

xxx

kkk

kkk

kkk

66,15,166,1 )0(3)0(2)0(1 xxx


Przykład 2:

30

606,066,15,13166,1

31

67,05,166,14166,1

41

606,066,166,1315,1

31

)1(3

)1(2

)1(1

x

x

x

66,15,166,1 )0(3)0(2)0(1 xxx


Przykład 2, iteracja nr 1:

66,1=5,1=66,1= 321 ccc

31

606,066,15,13166,1

31

67,05,166,14166,1

41

606,066,166,1315,1

31

)1(3

)1(2

)1(1

x

x

x

66,15,166,1 )0(3)0(2)0(1 xxx



Zapis macierzowy:

606,0

67,0

606,0

=

66,1

5,1

66,1

+

66,1

5,1

66,1

•

31

31

41

41

31

31

0

=

)1(,3

)1(,2

)1(,1

0--

- 0 -

--

x

x

x

66,1=5,1=66,1= 321 ccc

32

Sprawdzamy warunek zakończenia obliczeń

2,066,1606,02,05,167,02,066,1606,0

)0(3)1(3

)0(2)1(2

)0(1)1(1

xxxxxx



33


2,066,1606,02,05,167,02,066,1606,0

)0(3)1(3

)0(2)1(2

)0(1)1(1

xxxxxx



Warunek nie został spełniony, liczymy dalej.

34

606,0=67,0=606,0= )1(3)1(2)1(1 xxx



234,166,167,031606,0

31

197,15,1606,041606,0

41

23,166,1606,03167,0

31

)2(3

)2(2

)2(1

x

x

x 66,1=5,1=66,1= 321 ccc

35

606,0=67,0=606,0= )1(3)1(2)1(1 xxx



Zapis macierzowy:

234,166,167,031606,0

31

197,15,1606,041606,0

41

23,166,1606,03167,0

31

)2(3

)2(2

)2(1

x

x

x

234,1

197,1

23,1

=

66,1

5,1

66,1

+

606,0

67,0

606,0

•

31

31

4

1

4

131

31

0

=

)2(,3

)2(,2

)2(,1

0--

- 0 -

--

x

x

x

66,1=5,1=66,1= 321 ccc

36




2,0606,0234,12,067,0197,12,0606,023,1

)1(3)2(3

)1(2)2(2

)1(1)2(1

xxxxxx

37




2,0606,0234,12,067,0197,12,0606,023,1

)1(3)2(3

)1(2)2(2

)1(1)2(1

xxxxxx


38



851,066,1197,13123,1

31

884,05,1234,14123,1

41

849,066,1234,131197,1

31

)3(3

)3(2

)3(1

x

x

x

234,1197,123,1 )2(3)2(2)2(1 xxx

66,1=5,1=66,1= 321 ccc

39



Zapis macierzowy:

851,066,1197,13123,1

31

884,05,1234,14123,1

41

849,066,1234,131197,1

31

)3(3

)3(2

)3(1

x

x

x

234,1197,123,1 )2(3)2(2)2(1 xxx

851,0

884,0

849,0

=

66,1

5,1

66,1

+

234,1

197,1

23,1

•

31

31

4

1

4

131

31

0

=

)3(,3

)3(,2

)3(,1

0--

- 0 -

--

x

x

x

66,1=5,1=66,1= 321 ccc

40




2,0234,1851,02,0197,1884,0

2,023,1849,0

)2(3)3(3

)2(2)3(2

)2(1)3(1

xxxxxx

41




2,0234,1851,02,0197,1884,0

2,023,1849,0

)2(3)3(3

)2(2)3(2

)2(1)3(1

xxxxxx


42

851,0=884,0=849,0= )3(3)3(2)3(1 xxx



08,166,1884,031849,0

31

075,15,1851,041849,0

41

08,166,1851,031884,0

31

)4(3

)4(2

)4(1

x

x

x66,1=5,1=66,1= 321 ccc

43

851,0=884,0=849,0= )3(3)3(2)3(1 xxx



Zapis macierzowy:

08,166,1884,031849,0

31

075,15,1851,041849,0

41

08,166,1851,031884,0

31

)4(3

)4(2

)4(1

x

x

x

08,1

075,1

08,1

=

66,1

5,1

66,1

+

851,0

884,0

849,0

•

31

31

4

1

4

131

31

0

=

)4(,3

)4(,2

)4(,1

0--

- 0 -

--

x

x

x

66,1=5,1=66,1= 321 ccc

44




2,0229,0851,008,12,0191,0884,0075,1

2,0231,0849,008,1

)3(3)4(3

)3(2)4(2

)3(1)4(1

xxxxxx

45




2,0229,0851,008,12,0191,0884,0075,1

2,0231,0849,008,1

)3(3)4(3

)3(2)4(2

)3(1)4(1

xxxxxx


46



941,066,1075,13108,1

31

96,05,108,14108,1

41

941,066,108,131075,1

31

)5(3

)5(2

)5(1

x

x

x

08,1=075,1=08,1= )4(3)4(2)4(1 xxx

66,1=5,1=66,1= 321 ccc

47

08,1=075,1=08,1= )4(3)4(2)4(1 xxx



Zapis macierzowy:

941,066,1075,13108,1

31

96,05,108,14108,1

41

941,066,108,131075,1

31

)5(3

)5(2

)5(1

x

x

x

941,0

96,0

941,0

=

66,1

5,1

66,1

+

851,0

884,0

849,0

•

31

31

4

1

4

131

31

0

=

)5(,3

)5(,2

)5(,1

0--

- 0 -

--

x

x

x

66,1=5,1=66,1= 321 ccc

48




2,0139,008,1941,02,0115,0075,196,02,0139,008,1941,0

)4(3)5(3

)4(2)5(2

)4(1)5(1

xxxxxx

49




2,0139,008,1941,02,0115,0075,196,02,0139,008,1941,0

)4(3)5(3

)4(2)5(2

)4(1)5(1

xxxxxx

warunek spełniony

Rozwiązanie 94,096,0,94,0 *3

*2

*1 xxx

Rozwiązanie dokładne 1321 xxx

50

nR xbxA , cxGx

nnnnnn

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

2

1

2

1

21

22221

11211

Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, Gaussa-Seidla---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Metoda Gaussa-Seidla

51

bxA

cxGx

nnnnnn

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

2

1

2

1

21

22221

11211

Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Gaussa-Seidla---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

macierz G

+•

0

0

0

= 2

1

2

1

321

22

2

22

23

22

21

11

1

11

13

11

12

2

1

nn

nn

n

nn

n

nn

n

n

n

n c

c

c

x

x

x

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

aa

a

a

a

a

a

x

x

x

---

---

---

52

bxA

cxGx

nnnnnn

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

2

1

2

1

21

22221

11211


macierz G

+•

0

0

0

= 2

1

2

1

321

22

2

22

23

22

21

11

1

11

13

11

12

2

1

nn

nn

n

nn

n

nn

n

n

n

n c

c

c

x

x

x

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

aa

a

a

a

a

a

x

x

x

---

---

---

Wektor inny niż metodzie Jacobiego

53


A = AL + AD + AU

0.....0.00.00

21

21

nn

L

aa

aA

nn

D

a

aa

A

.00....0.00.0

22

11

0.00....

.00

.0

2

112

n

n

U

aaa

A

(AL + AD + AU)·x = b

(AL + AD)·x = - AU ·x + b

...,1,01)(

1)1(

1)1(

kbAxAAxAAx DkUDkLDk

(AL + AD)·x(k+1) = - AU ·x(k) + b k = 0, 1, …

AD·x(k+1) = - AL·x(k+1) - AU ·x(k) + b k = 0, 1, …

54

,2,1,0k

nn

nn a

bc

abc

abc

22

22

11

11

macierz G

Formuła rekurencyjna algorytmu w metodzie Gaussa-Seidla


nn

nknnnknnnknkn

nnkn

knnkkkk

knnkkk

knnkkk

abxaxaxaxa

ax

abxaxaxaxa

ax

abxaxaxa

ax

abxaxaxa

ax

,1,11,1,221,111,

33

3,3,4341,2321,131

331,3

22

2,2,3231,121

221,2

11

1,1,313,212

111,1

1...................................................................................

1

1

1

55

,2,1,0k

nn

nn a

bc

abc

abc

22

22

11

11

macierz G

Formuła rekurencyjna algorytmu w metodzie Gaussa-Seidla


nn

nknnnknnnknkn

nnkn

knnkkkk

knnkkk

knnkkk

abxaxaxaxa

ax

abxaxaxaxa

ax

abxaxaxa

ax

abxaxaxa

ax

,1,11,1,221,111,

33

3,3,4341,2321,131

331,3

22

2,2,3231,121

221,2

11

1,1,313,212

111,1

1...................................................................................

1

1

1

56

cx )0(

Kończymy obliczenia, gdy )()1( kk xx

Rozwiązanie *)1( xx k


Sprawdzamy warunek zbieżności:

Jeśli warunek zbieżności jest spełniony to zaczynamy obliczenia

od przyjęcia, że

nnnn

n

n

ggg

gggggg

G

21

22221

11211

nig

njg

n

jij

n

iij

,...,2,11

...,,2,11

1

1

57


Krok 1, obliczenia dla x1



…

1+•...=

)(,

)(,2

)(,1

11

1

11

12

11

12)1+(,1 c

x

x

x

a

a

a

a

a

ax

kn

k

k

nk

---0

2+•...0=

)(,

)(,2

)1+(,1

22

2

22

23

22

21)1+(,2 c

x

x

x

a

a

a

a

a

ax

kn

k

k

nk

---

3+•...0=

)(,

)1+(,2

)1+(,1

33

3

33

32

33

31)1+(,3 c

x

x

x

a

a

a

a

a

ax

kn

k

k

nk

---

Pierwszy wiersz macierzy G

Trzeci wiersz macierzy G

Drugi wiersz macierzy G

58

5=3+1+1

6=1+4+1

5=1+1+3

321

321

321

xxx

xxx

xxx


Przykład:

59

ε = 0,2

cx )0(


Przykład:

( ) ( ) εkk <1+ xx -

5=3+1+1

6=1+4+1

5=1+1+3

321

321

321

xxx

xxx

xxx

,...2,1,0

35

31

31

46

41

41

35

31

31

1,21,113

,31,11,2

,3,21,1

k

xxx

xxx

xxx

kkk

kkk

kkk

60

ε = 0,2

cx )0(


Przykład:

Przekształcamy układ równań do postaci:

( ) ( ) εkk <1+ xx -

5=3+1+1

6=1+4+1

5=1+1+3

321

321

321

xxx

xxx

xxx

,...2,1,0

35

31

31

46

41

41

35

31

31

1,21,113

,31,11,2

,3,21,1

k

xxx

xxx

xxx

kkk

kkk

kkk

61


Przykład: Warunek zbieżności

nig

njg

n

jij

n

iij

,...,2,11

...,,2,11

1

1

,...2,1,0

35

31

31

46

41

41

35

31

31

1,21,113

,31,11,2

,3,21,1

k

xxx

xxx

xxx

kkk

kkk

kkk

62



nig

njg

n

jij

n

iij

,...,2,11

...,,2,11

1

1

31

31

4

1

4

131

31

0

=

0--

- 0 -

--

G

,...2,1,0

35

31

31

46

41

41

35

31

31

1,21,113

,31,11,2

,3,21,1

k

xxx

xxx

xxx

kkk

kkk

kkk

63



nig

njg

n

jij

n

iij

,...,2,11

...,,2,11

1

1

31

31

4

1

4

131

31

0

=

0--

- 0 -

--

G

1<32

=31

+31

1<21

=41

+41

1<32

=31

+31

--

--

--

,...2,1,0

35

31

31

46

41

41

35

31

31

1,21,113

,31,11,2

,3,21,1

k

xxx

xxx

xxx

kkk

kkk

kkk

64



nig

njg

n

jij

n

iij

,...,2,11

...,,2,11

1

1

31

31

4

1

4

131

31

0

=

0--

- 0 -

--

G

1<32

=31

+31

1<21

=41

+41

1<32

=31

+31

--

--

--Warunki zbieżności „po wierszach”są spełnione!

Liczymy dalej.

6566,135

5,146

66,135

)0(

cx

...,2,1,0

35

31

31

46

41

41

35

31

31

,2,11,3

,3,11,2

,3,21,1

k

xxx

xxx

xxx

kkk

kkk

kkk

66,15,166,1 )0(3)0(2)0(1 xxx


Przykład:

66

66,15,166,1 )0(3)0(2)0(1 xxx


Przykład, iteracja nr 1:

147,166,1932,031606,0

31

932,05,166,141606,0

41

606,066,166,1315,1

31

)1(3

)1(2

)1(1

x

x

x

147,1932,0606,0 )1(3)1(2)1(1 xxx

Sprawdzamy warunek zakończenia obliczeń:

2,066,1147,12,05,1932,02,066,1606,0

)0(3)1(3

)0(2)1(2

)0(1)1(1

xxxxxx Warunek

nie został spełniony, liczymy dalej.

66,1=5,1=66,1= 321 ccc

67


Przykład, iteracja nr 2: 147,1=932,0=606,0= )1(3)1(2)1(1 xxx

013,166,19715,031967,0

31

9715,05,1147,141967,0

41

967,066,1147,131932,0

31

)2(3

)2(2

)2(1

x

x

x

013,19715,0967,0 )2(3)2(2)2(1 xxx

sprawdzamy warunek zakończenia obliczeń:

2,0101,01147,1013,12,00395,0932,09715,0

2,0606,0967,0

)1(3)2(3

)1(2)2(2

)1(1)2(1

xxxx

xxWarunek nie został spełniony, liczymy dalej.

66,1=5,1=66,1= 321 ccc

9948,066,19971,0319985,0

31

9971,05,1013,1419985,0

41

9985,066,1013,1319715,0

31

)3(3

)3(2

)3(1

x

x

x

68


Przykład, iteracja nr 3: 013,1=9715,0=967,0= )2(3)2(2)2(1 xxx

9948,09971,09985,0 )3(3)3(2)3(1 xxx

sprawdzamy warunek zakończenia obliczeń:

2,00182,0013,19948,02,00256,09715,09971,0

2,00315,0967,09985,0

)2(3)3(3

)2(2)3(2

)2(1)3(1

xxxxxx

9948,09971,0,9985,0 *3

*2

*1 xxxRozwiązanie

Warunek spełniony, koniec obliczeń.

66,1=5,1=66,1= 321 ccc

69

Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, podsumowanie---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

metoda Gaussa-Seidla

wynik uzyskany po trzeciej iteracji:

metoda Jacobiego

wynik uzyskany po piątej iteracji:

9948,09971,0,9985,0 *3

*2

*1 xxx

94,0=96,0=94,0= *3

*2

*1 xxx

wynik dokładny:

1321 xxx

Pytania na kolokwium z wykładu:

1. Co to jest algorytm? Narysuj sieć działań obrazującą algorytm obliczeń w metodzie Jacobiego.

2. Opisać metodę Jacobiego rozwiązywania układu równań liniowych.

3. Opisać metodę Gaussa-Seidla rozwiązywania układu równań liniowych.

Wykład 2 – pytania ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

72

Wykład drugi · 2018. 3. 1. · 2 Metody rozwiązywania układów równań liniowych Poszukujemy...

Documents

Transcript of Wykład drugi · 2018. 3. 1. · 2 Metody rozwiązywania układów równań liniowych Poszukujemy...