Post on 03-Jan-2016
description
Wykład III
1.Absorpcja światła w półprzewodnikach
2.Gęstość stanów 3D, 2D, 1D, 0D
3.Koncentracja elektronów i dziur
Większość urządzeń półprzewodnikowych pracuje w oparciu o nośniki nadmiarowe:
Nośniki nadmiarowe są generowane dzięki wzbudzeniom optycznym, bombardowaniu elektronami lub wstrzykiwaniem nośników np. w złączu p-n.
• Pomiary przerwy wzbronionej :
- absorpcja fotonów gdy hν Eg; fotony nie są absorbowane, jeśli h Eg
to wyjaśnia, dlaczego niektóre materiały są przezroczyste dla pewnych
długości fal !
- jeśli Eg = ~2 eV : materiał jest przezroczysty w podczerwieni i dla światła czerwonego,
- jeśli Eg = ~3 eV : materiał jest przezroczysty w podczerwieni i dla światła widzialnego,
Jeśli strumień fotonów o energii hν Eg oświetla próbkę Si, to można oszacować jaka część tego strumienia zostanie pochłonięta przez tę próbkę.
Stosunek natężenia światła, które przeszło przez próbkę do natężenia światła padającego zależy od długości fali fotonów (λ) i grubości próbki (l).
Niech I0 (photony/cm2sec) = wiązka fotonów o długości fali λ, skierowana zostaje na próbkę o grubości (l). Zgodnie z prawem Lamberta-Beera spadek natężenia wiązki w odległości (x) od powierzchni na odcinku dx, jest proporcjonalny do natężenia wiązki w (x), grubości warstwy dx i współczynnika opisującego własności optyczne ośrodka :
Jeśli grubość jest mała i można założyć, że =const, to natężenie światła po przejściu przez próbkę o grubości (l) :
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) x
dI x I x dx I x I x dx
I x I e
lt eII 0
Absorpcja w półprzewodnikach
• Dla dłuższej drogi z powyższego wzoru wynika następujące wyrażenie:
2
1
2 1( ) ( ) exp[ ( ) ]x
x
I x I x x dx
Pomiar absorpcji
lt eII 0
Półprzewodniki absorbują fotony o energii hν Eg !
E (eV) = hc / λ (μm)E (eV) = hc / λ (μm)
- Si absorbuje nie tylko fale o długości odpowiadającej przerwie wzbronionej (~1μm) ale również fale krótsze, z zakresu widzialnego.
-Si będzie przezroczysty w podczerwieni (bo h Eg), ale nieprzezroczysty w zakresie UV-VIS (bo tam hν Eg).
W pobliżu k=0 zależność E(k) jest paraboliczna zarówno dla pasma przewodnictwa (e), pasma dziur ciężkich (hh), dziur lekkich (lh) oraz pasma powstałego na skutek oddziaływania spin – orbita (so). Różnica między zależnościami dyspersyjnym dla poszczególnych pasm wynika tylko z innej wartości masy efektywnej.
*
22
2)(
egc
m
kEkE
*
22
2)(
hhhh
m
kkE
*
22
2)(
lhlh
m
kkE
*
22
2)(
soso
m
kkE
Krawędź absorpcji w półprzewodnikach z prostą przerwą wzbronioną ( np. GaAs)
*
22
*
22
22 heg
m
k
m
kE
Z ZZE dla przejść optycznych w GaAs z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa:
*** lub lhhhh mmm gdzie **
111
he mm
i niech
2
22kEg
Łączna gęstość stanów.Gęstość stanów określa rozkład stanów po energii w obrębie jednego pasma. Łączna gęstość stanów uwzględnia fakt, że początkowy i końcowy stan elektronu znajdują się w obrębie kontinuum stanów dozwolonych, różnych pasm. Dla elektronów w paśmie:
D(E)dE=2D(k)dk
g(k) jest gęstością stanów w przestrzeni pędów a mnożnik 2 wynika z tego, że w danym stanie kwantowym mogą się znajdować dwa elektrony o różnych spinach. Stąd:
dkdE
kDED
/
)(2)(
Wiadomo, że gęstość stanów w przestrzeni wektora falowego g(k) jest równa liczbie stanów zawartych w przestrzeni między dwiema sferami o promieniach k i k+dk. Ta zaś jest równa liczbie stanów na jednostkę objętości, tj. 1/(2)3 pomnożonej przez objętość między sferami równą 4k2dk. Tak więc:
2
22
3 2)(4
)2(
1)(
k
kDdkkdkkD
dkdEk
dkdEkD
ED/1
/)(2
)( 2
2
0)(, DEgwtedy dla
2
22kEE g
2
1
2
3
22)()
2(
2
1)(, gg EDE
zaś dla
dla energii fotonów większej niż przerwa wzbroniona łączna gęstość stanów rośnie jak
2
1
)( gE
Łączna gęstość stanów
Prawdopodobieństwo przejścia Wi-f jest proporcjonalne do łącznej gęstości stanów, więc współczynnik absorpcji będzie miał podobną zależność funkcyjną od energii fotonów co łączna gęstość stanów, ponieważ w przybliżeniu dipolowym można założyć, że M =const ( tzn. słabo zależy od k)
0)(, gE
2
1
)(~)(, gg EE
)ωD(M2π
W2
fi
Z ekstrapolacji części liniowej wykresu do przecięcia z osią odciętych można wyznaczyć przerwę wzbronioną Eg
)(2 f
Przejścia skośne Przejścia skośne mogą pojawić się wtedy i tylko wtedy, gdy w procesie oddziaływania foton–elektron bierze udział trzecia cząstka, która umożliwia spełnienie zasady zachowania wektora falowego. Zazwyczaj taką rolę pełni fonon ,
,
c c v v p
c v p
E k E k E
k k K
gdzie Ep, , – energia i pęd fononu. Znak „+” odpowiada procesowi z emisją, „–”
procesowi z absorpcją fononu. pK
Si1. Proces dwuetapowy: elektron jest wzbudzany przy udziale fotonu z pasma walencyjnego do stanu wirtualnego bez zachowania energii ale z zachowaniem wektora falowego. W drugim etapie elektron przechodzi ze stanu do stanu na dnie pasma przewodnictwa przy udziale procesu absorpcji lub emisji fononu.2. Możliwe jest przejście takie, że najpierw jest oddziaływanie z fononem, a potem – z fotonem
i
i1
,022
, 0pvvcc
vkck i i
eRep
i EkEkEE
HiiHf
gdzie: HeR – hamiltonian oddziaływania elektronu z fotonem, Hep – hamiltonian
oddziaływania elektronu z fononem. – stan początkowy układu z zapełnionym pasmem walencyjnym, pustym pasmem przewodnictwa oraz liczbą fononów np,
– stan końcowy układu z elektronem w minimum pasma przewodnictwa, dziurą w maksimum pasma walencyjnego oraz liczbą fononów , – przedstawia dwa możliwe stany pośrednie, opisane wyżej.
0
f1pn
i
Prawdopodobieństwo absorpcji fotonu w jednostce czasu i w jednostce objętości
Element macierzowy oddziaływania elektron – fonon zależy od stopnia obsadzenia stanów fononowych
fononu,emisjązprocesudla
,fononuabsorpcjązprocesudla
1
p
pep n
niHf .1exp
1
kT
En p
pgdzie
Przejścia skośne
W wielu półprzewodnikach elementy macierzowe są stałe. Wtedy wystarczy wykonać sumowanie po kc i kv , które sprowadza się do całkowania po Ec i Ev:
vcpvvccccvvi dEdEEωkEkEδ)(E)D(ED~
Zakładając, że pasma są paraboliczne mamy:
02/1)(00{
vEdlavE
vEdlavD igEcEdlaigEcE
igEcEdlacD
2/1)(
0{
gdzie Eig jest przerwą wzbronioną. Zero energii przyjęto dla wierzchołka pasma walencyjnego. Podstawiając do równania na Ri i całkując po Ev mamy:
c
1/2
ccp
E
0
2/1ci dEkE-Eω)(E~
p
igE
igE
)()()()()( afdxaxafdxaxxf
Przejścia skośne
c
1/2
ccp
E
0
2/1ci dEkE-Eω)(E~
p
igE
igE
Podstawiając
igp
igc
EE
EEx
mamy
dxxx 2/11
0
2/12igpi )1(E-Eω~
Przejścia skośne
, ea
dla procesów z emisją fononu:
,
02
pig
pig
pigpa EE
EE
EECn
dla procesów z absorpcją fononu:
,1
02
pig
pig
pigpe EE
EE
EEnC
Po scałkowaniu mamy:
Przejścia skośne
Schematyczny przebieg krawędzi absorpcji w obszarze przejść skośnych dla dwu temperatur z zaznaczonym sposobem wyznaczenia przerwy energetycznej oraz energii fononu
Przejścia skośne
Wyprowadzenie wzoru na gęstość stanów i koncentrację elektronów w metalu
Stany elektronów swobodnych
r
k
22 2 22 2
22 2
- -( ) + + ( ) = (E - V( )) ( )
2m 2m yx z
r r r r
Dla elektronów swobodnych w metalu V(r) = 0. Stąd rozwiązanie :
Zbiór dozwolonych stanów elektronowych wynika z rozwiązania stacjonarnego r. Schrödingera
exp( )k ( ) i r k r
gdzie -wektor w przestrzeni rzeczywistej zaś wektor falowy
Włączając zależność od czasu mamy
exp( )k ( ) i t r k r
Jest to fala płaska poruszająca się w kierunku r
Kwantyzacja stanów w pudełku
LzzkLyykLxxkizzkyykxxkiee
Rozważmy kryształ w postaci sześcianu o boku LTakie założenie prowadzi do rozwiązania w postaci fali stojącej. Jest ono równoważne periodycznemu warunkowi brzegowemu:
L
Rozwiązanie r. Schrödingera (zaniedbując człon zależny od czasu)
Teraz trzeba uwzględnić rozmiary kryształu.
z)y(xz)Ly(x kk ,,,, z)y(xL)zy(x kk ,,,, z)y(xz)yL(x kk ,,,,
nL
2 = k ; n
L
2 = k ; n
L
2 = k zzyyxx
gdzie nx, ny, i nz = +/- 1,2,3…
exp( )k ( ) i r k r
Jednej trójce liczb nx, ny, nz odpowiada jeden wektor k.
Swobodne elektrony klasycznie: dozwolone stany są zdefiniowane przez położenie (x,y,z) i pęd (px, py, pz)
Stany elektronowe zdefiniowane są przez punkt w przestrzeni k
x
z
y
px
py
pz
Swobodne elektrony kwantowo:
dozwolone stany zdefiniowane są przez wektor falowy (kx, ky, kz)=(px, py, pz)
kx
ky
kz
Jednej trójce liczb nx, ny, nz odpowiada jeden wektor k.2D: - każda kropka reprezentuje jeden stan w przestrzeni k. -wszystkie stany są równomiernie rozłożone w przestrzeni k. -jeden stan zajmuje objętość:
3D: jeden stan zajmuje jednostkową objętość w przestrzeni k:
nL
2 = k ; n
L
2 = k ; n
L
2 = k zzyyxx
gdzie nx, ny, i nz = +/- 1,2,3…
ky
2/L
kx
2/L
Stany w przestrzeni k (3D)
22
L
Stany k są dyskretne, ale zwykle w metalu mamy do dyspozycji 1026 stanów zatem można je traktować jako zbiór ciągły!
3 32 8
L V
zatem liczba stanów na jednostkę objętości: 38
V
Gęstość stanów na jednostkę objętości
Równanie to jest słuszne dla wszystkich kryształów!
32
2
kD(k)dk = dk m2
Gęstość stanów w 3D D(k)dk jest liczbą dozwolonych stanów zawartych pomiędzy k i k+dk (tzn. liczbą stanów zawartych pomiędzy sferą o promieniu k a sferą o promieniu k+dk)= objętość w przestrzeni k x liczba stanów na jednostkę objętości w przestrzeni k:
.
kx
ky
2/L
2/L
k
k+dk
22
3 2( ) 4
8 2
V VkD k dk k dk dk
Gęstość stanów
Dla elektronów swobodnych E = 2k2/2m i dE = (2k/m)dk
stąd
Każdemu stanowi k odpowiada stan o energii E. Gęstość stanów to liczba dozwolonych stanów D(E) energetycznych zawartych w przedziale E do E+dE
Zgodnie z zakazem Pauliego, każdy stan może być obsadzony przez 2 elektrony o przeciwnych spinach.
32
2
kD(k)dk = dk m2
32
2mdE
dE
dk
2k 2 = D(E)dE
dEE2m
2
1 = D(E)dE 2
1
2
3/2
2
E
D(E)dE
Gęstość stanów zajętych elektronami
3 12 2
3
8 2( ) ( ) ( )
1Fo E E kT
m En E dE N E f E dE dE
h e
Aby policzyć no(E)dE, tj. ilość elektronów w jednostce objętości o energiach od E do E+dE w stanie równowagi w temperaturze T, to gęstość stanów należy pomnożyć przez funkcję Fermiego-Diraca:
Gęstość stanów
Gęstość stanówWymiar a własności
kryształu
Based on Bimberg (1999)
3D2D studnia kwant. 1D drut kwant. 0D kropka kwant.
Energy
D(E
)
Energy
D(E
)
1 32 4
Energy
D(E
)
1,1 1,2 1,3
Energy
D(E
)
Uwiezienie elektronu chociażby w jednym wymiarze zmienia gęstość stanów i energie elektronu…
Koncentracja nośników
Przybl. parabol. (swob.elektron):
m*: masa efektywna
Elektrony:
Dziury:
0
21
2
dxex x
32
2/3*
2
)2(
kTm
n n
Koncentracja elektronów i dziur w stanie równowagi termodynamicznej
Niech gęstość stanów = D(E) zaś prawdopodobieństwo, że zostaną zajęte elektronami = f(E), wówczas koncentracja elektronów:
• f(E)D(E) maleje istotnie dla E> EC , więc mało elektronów zajmuje stany powyżej dna pasma przewodnictwa
• efektywna gęstość stanów (NC): wszystkie stany są zastąpione stanami na dnie pasma przewodnictwa
• koncentracja elektronów w pasmie przewodnictwa=(efektywna gęstość stanów NC) x (funkcja Fermiego) :
• koncentracja dziur w paśmie walencyjnym
( ) ( )CE
n f E D E dE
( ) /
( ) /
1( ) (300 )
1C F
C F
E E kTC E E kTf E e K
e
( ) ~D E E
kTEECCC
FCeNEfNn /)(0 )(
2/3
2
*22
h
kTmN n
C
kTEEVVV
VFeNEfNp /)(0 )](1[
2/3
2
*22
h
kTmN p
V
Koncentracja samoistna
• półprzewodnik samoistny EF = Ei :
•
i
( ) /0 ( ) C FE E kT
C C Cn N f E N e ( ) /
0 [1 ( )] F VE E kTV V Vp N f E N e
kTEECi
iCeNn /)( kTEE
ViVieNp /)(
( ) / ( ) /0 0
/( ) /
( )( )C F F V
gC V
E E kT E E kTC V
E kTE E kTC V C V
n p N e N e
N N e N N e
kTEVC
kTEEVC
kTEEV
kTEECii
gVC
ViiC
eNNeNN
eNeNpn//)(
/)(/)( ))((
/ 2gE kT
i C Vn N N e
ponieważ i in p0 0i in p n p
20 0 in p n
kTEVCi
geNNn 2/
Położenie poziomu Fermiegow półprzewodniku samoistnym
kTEECi
iCeNn /)( / 2gE kT
i C Vn N N e
ln2 2
g vi
c
E kT NE
N
EC
EF=Ei
EV
półprz. samoistny dla T=0 lub Nc=Nv
Krzem Eg=1.15eV m*n = 0.2me i m*p = 0.8me w 300K. Stąd:
0.0262
gi
EE eV
( ) /0 ( ) C FE E kT
C C Cn N f E N e
kTEECi
iCeNn /)(
( ) /0
F iE E kTin n e ( ) /
0i FE E kT
ip p e
Koncentracje równowagowe
domieszkowane półprzewodniki
N
iFF EEq
i
DFn
i
diF
kTEEiD
n
NkTq
n
NkTEE
enNn iF
ln
ln
/0
(bo )
P
A
iFp
A
iFi
kTEEiA
N
nkTq
N
nkTEE
enNp Fi
ln
ln
/0
Koncentracja równowagowa nośników w półprzewodniku domieszkowym
/0
/0
F i
i F
E E kTi
E E kTi
n n e
p n e
EC
Ei
EV
EC
Ei
EV
EC
EF=Ei
EV
samoistny
EF
EF
N-typu P-typu
qFn
qFp
Koncentracja równowagowa nośników w półprzewodnikach
Koncentr. nośników w półprzew. domieszkowych.
War. neutralności.:
Warunekneutralności
Czysty półprzewodnik typu n (p-podobnie)
= 0
Donory obsadz. elektronami:
Akceptory obsadz. dziurami:
Przybliżenie
(tylko jeden typ domieszki)
Konc. nośników w półprz. domieszk.
Przykład: Si i niech n=1017 cm-3
gdzie
I) Niskie temperatury
wymrażanie nośników
II) Wysokie temperatury
nasycenie
III) B. wysokie temp. n ~ ni
obszar samoistny
Temperaturowa zależność koncentracji
gorący zimny
Koncentracjaod temperatury