WYKŁAD 11

ZJAWISKA DYFRAKCJI I INTERFERENCJI ŚWIATŁA;

SPÓJNOŚĆ

PLAN WYKŁADU

Uwagi wstępne i podstawowe pojęcia

Zasada superpozycji

Natężenie fali świetlnej w zapisie zespolonym

Interferencja fal z dwóch spójnych źródeł punktowych

PODSUMOWANIE

Uwagi wstępne i podstawowe pojęcia

Odstępstwa od modelu promieni, efekty „brzegowe”

RLR

Obraz geometryczny i

obszar dyfrakcji

R i R

Dyfrakcja Fresnela:

Dyfrakcja Fraunhofera:

RRLR

RRLR

Niezbyt duża i wystarczająco duża odległość ekranu od otworu

Warunki na otrzymanie dyfrakcji:

monochromatyczność – spójność czasowa, stała różnica faz pomiędzy falami przechodzącymi przez

ten sam punkt otworu w różnych chwilach czasu

spójność przestrzenna – stała różnica faz pomiędzy falami przechodzącymi przez różne punkty otworu

Spójność różnych źródeł; źródło „pierwotne” i źródła „wtórne”

Dyfrakcja i interferencja, nakładanie się efektów dyfrakcyjnych i interferencyjnych

Zasada superpozycji

22

2

22

12

2

22

212

2

22

E tc

1 + E tc

1

= EE tc

1

Jeśli E1 i E2 są rozwiązaniami to także E1+E2 jest rozwiązaniem równania falowego.

Zasada ta to podstawa teorii zjawisk dyfrakcji i interferencji

Natężenie fali świetlnej w zapisie zespolonym

kEcEkEcBEcS 22

02

02

0

Wektor Poyntinga (natężenie, czyli energia na jednostkę czasu i jednostkę powierzchni):

Natężenie fali świetlnej w zapisie zespolonym

kEcEkEcBEcS 22

02

02

0

Wektor Poyntinga (natężenie, czyli energia na jednostkę czasu i jednostkę powierzchni):

Znaczenie średniej w czasie. Dla fal harmonicznych:

Natężenie fali świetlnej w zapisie zespolonym

kEcEkEcBEcS 22

02

02

0

Wektor Poyntinga (natężenie, czyli energia na jednostkę czasu i jednostkę powierzchni):

*2 EE21E

Średnia w czasie wartość E2:

Znaczenie średniej w czasie. Dla fal harmonicznych:

Natężenie fali świetlnej w zapisie zespolonym

kEcEkEcBEcS 22

02

02

0

Wektor Poyntinga (natężenie, czyli energia na jednostkę czasu i jednostkę powierzchni):

*2 EE21E

Średnia w czasie wartość E2:

Znaczenie średniej w czasie. Dla fal harmonicznych:

20

220 E

21tcosE 2

0ti

0ti

0 EeEeE

Wstawiając: trki0eEE

kEEc

21kEEc

21S *

002

0*2

0

otrzymamy:

do wyrażenia na S

Wstawiając: trki0eEE

kEEc

21kEEc

21S *

002

0*2

0

otrzymamy:

albo, korzystając z :

do wyrażenia na S

i000 eEE i n

cnkk

Wstawiając: trki0eEE

kEEc

21kEEc

21S *

002

0*2

0

otrzymamy:

albo, korzystając z :

200

20 E nc

21E nc

21S

do wyrażenia na S

i000 eEE i n

cnkk

mamy :

Interferencja fal z dwóch spójnych i monochromatycznych źródeł punktowych

Interferencja fal z dwóch spójnych i monochromatycznych źródeł punktowych

tkriexpr

E +tkriexp

rE

= EE = E 22

021

1

0121

Całkowite uśrednione w czasie natężenie I(P):

*21210 EEEE cn

21PI

Całkowite uśrednione w czasie natężenie I(P):

*21210 EEEE cn

21PI

*220

*110 EE cn

21EE cn

21 *

12*210 EEEE cn

21

Całkowite uśrednione w czasie natężenie I(P):

*21210 EEEE cn

21PI

*220

*110 EE cn

21EE cn

21 *

12*210 EEEE cn

21

22

202

021

201

0r

E cn21

rE cn

21

1221210201

0 rrikexprrikexprrEEcn

21

Ostatecznie otrzymamy:

2cosII2IIPI 2121

gdzie: ,rr2rrk2 2121

21 rr

Ostatecznie otrzymamy:

2cosII2IIPI 2121

gdzie: ,rr2rrk2 2121

21 rr

2121max II2II = I 3...2,1,0,m ,m

interferencja konstruktywna mrr 21

Ostatecznie otrzymamy:

2cosII2IIPI 2121

gdzie: ,rr2rrk2 2121

21 rr

2121max II2II = I 3...2,1,0,m ,m

interferencja konstruktywna

2121min II2II = I

mrr 21

3...2,1,0,n ,211n2

2

1n2rr 21

interferencja destruktywna

Przypadek jednakowych źródeł:

zerowe natężenia w „ciemnych” prążkach

20000 cosI42cos1I22cosI2I2I

... 3, 2, 1, 0, = m gdzie m, = rr 21

Interferencja konstruktywna:

geometryczna definicja hiperboli: miejsce geometryczne punktów, których bezwzględna wartość

różnicy odległości od dwóch punktów (ognisk) jest stała

8m ;1 Hiperboloida „jasnego prążka” dla:

,a2mrr 21 ,2ma 10c2SS 21,8m

a2ycxycxrr 222221

a2ycxycxrr 222221

2222222 ycxa4ycxa4ycx

a2ycxycxrr 222221

2222222 ycxa4ycxa4ycx

222 ycxa4a4cx4

a2ycxycxrr 222221

2222222 ycxa4ycxa4ycx

222 ycxa4a4cx4

22222222 aca16ya16xac16

a2ycxycxrr 222221

2222222 ycxa4ycxa4ycx

222 ycxa4a4cx4

22222222 aca16ya16xac16

22 acb definiując: otrzymamy:

a2ycxycxrr 222221

2222222 ycxa4ycxa4ycx

222 ycxa4a4cx4

22222222 aca16ya16xac16

22 acb definiując:

222222 ba16ya16xb16 1by

ax

2

2

2

2

otrzymamy:

i dalej:

1ax b = y 2

2

1ax b = y 2

2

Pomijając jedynkę otrzymamy:

abxy

dwie proste na płaszczyźnie, stożek w przestrzeni

1ax b = y 2

2

Pomijając jedynkę otrzymamy:

abxy

Na płaszczyźnie (płaskim ekranie) otrzymamy krzywe stożkowe; dla płaszczyzny równoległej do prostej na

której leżą źródła, hiperbole, dla płaszczyzny prostopadłej, okręgi, dla innych elipsy

dwie proste na płaszczyźnie, stożek w przestrzeni

1ax b = y 2

2

c2mmax

Pomijając jedynkę otrzymamy:

liczba hiperbol:

abxy

Na płaszczyźnie (płaskim ekranie) otrzymamy krzywe stożkowe; dla płaszczyzny równoległej do prostej na

której leżą źródła, hiperbole, dla płaszczyzny prostopadłej, okręgi, dla innych elipsy

dwie proste na płaszczyźnie, stożek w przestrzeni

Doświadczenie Younga, obserwacja prążków

Lxtg α kąt określający położenie punktu

P na ekranie

Dla dużych odległości można

przyjąć, że promienie r1 i r2 są równoległe.

Dla dużych odległości można

przyjąć, że promienie r1 i r2 są równoległe.

W konsekwencji:

sind

Dla dużych odległości można

przyjąć, że promienie r1 i r2 są równoległe.

W konsekwencji:

mrr 21

sind

Warunek na interferencję konstruktywną:

Dla dużych odległości można

przyjąć, że promienie r1 i r2 są równoległe.

W konsekwencji:

mrr 21

sind

Warunek na interferencję konstruktywną:

,Lxtg uwzględniając:

da na położenie prążków jasnych: Ld

mxm

dla małych kątów α

Rozkład natężenia światła na ekranie (Young)

Rozkład natężenia światła na ekranie (Young)

20

0

00

cosI4

2cos1I22cosI2I2I

Rozkład natężenia światła na ekranie (Young)

20

0

00

cosI4

2cos1I22cosI2I2I

2121

rr2 = rrk = 2

Rozkład natężenia światła na ekranie (Young)

20

0

00

cosI4

2cos1I22cosI2I2I

2121

rr2 = rrk = 2

drrL L x 21

Rozkład natężenia światła na ekranie (Young)

20

0

00

cosI4

2cos1I22cosI2I2I

2121

rr2 = rrk = 2

drrL L x 21

dL =x lub ,x

Ld =

PODSUMOWANIE zjawiska dyfrakcji i interferencji to odstępstwa od

modelu promieni, spowodowane falową naturą światła (skończona długość fali)

zjawisko interferencji to nakładanie się fal przechodzących przez kilka otworów

zjawisko dyfrakcji to nakładanie się fal przechodzących przez różne fragmenty tego samego

otworu

PODSUMOWANIE o znaczeniu efektów dyfrakcji interferencji i dyfrakcji decyduje długość fali λ, wymiary otworów

(otworu) R i odległość ekranu obserwacyjnego L

RLR

dla efekty dyfrakcyjne i

interferencyjne dominują

Dyfrakcja (interferencja) FRAUNHOFERA

RLR

dla

Dyfrakcja (interferencja) FRESNELA

dyfrakcja i interferencja modyfikują obraz geometryczny

PODSUMOWANIE

Występowanie interferencji i dyfrakcji zależy także od spójności czasowej (monochromatyczności) i

przestrzennej światła. Brak spójności czasowej to brak korelacji pomiędzy falami wyemitowanymi w

różnych chwilach czasu przez to samo źródło światła; brak spójności przestrzennej to brak

korelacji pomiędzy fazami światła emitowanego przez różne fragmenty klasycznego źródła światła

PODSUMOWANIE W doświadczeniu Younga (dwa otwory lub szczeliny) obserwujemy strukturę dyfrakcyjną; w

tym prążek główny o szerokości

RLR

oraz nałożoną, na ogół gęstszą strukturę jasnych i ciemnych prążków interferencyjnych. Dla prążków

jasnych różnica dróg jest równa całkowitej wielokrotności długości fali. Odległość pomiędzy

prążkami jasnymi (lub ciemnymi) wynosi:

dL =x