Teoria sygnałów

ID II semestr zimowy

30 h wykładu +30 h ćwiczeń rachunkowych

Henryka Danuta Stryczewska

INSTYTUT PODSTAW ELEKTROTECHNIKI I ELEKTROTECHNOLOGII

2

Program wykładów1. Wprowadzenie. Literatura. Wiadomości organizacyjne.

Podstawowe pojęcia teorii sygnałów. Sygnały i systemy analogowe i cyfrowe. Cele analizy sygnałów. Przetwarzanie sygnałów. Przykłady sygnałów i systemów.

2. Klasyfikacja sygnałów. Sygnał mocy i sygnał energii. Przykłady. Transformacje sygnałów w dziedzinie czasu. Sygnały okresowe i prawie okresowe. Modulacja amplitudy, fazy i częstotliwości sygnału.

3. Parametry sygnałów deterministycznych - wartość średnia, skuteczna. Sygnały zespolone. Rozkład sygnałów na składowe. Przykłady wybranych sygnałów deterministycznych. Podstawowe zagadnienia występujące w cyfrowej obróbce sygnałów. Moc i energia sygnałów.

4. Sygnały dystrybucyjne. Właściwości dystrybucji Diraca. Inne sygnały dystrybucyjne.

3

5. Sygnały wykładniczy i harmoniczny. Ciągły sygnałwykładniczy zespolony i jego przypadki. Wyższe harmonicznych sygnału ciągłego. Dyskretny sygnałwykładniczy zespolony i jego przypadki. Warunek okresowości sygnału harmonicznego ciągłego i dyskretnego. Porównanie sygnału harmonicznego ciągłego i dyskretnego.

6. Systemy czasu ciągłego i dyskretnego. Przykłady systemów. Schemat blokowy. Połączenia systemów. Systemy ze sprzężeniem zwrotnym- przykład. Podstawowe właściwości systemów. Systemy liniowe stacjonarne LTI. Równania różniczkowe i różnicowe opisujące układy LTI- przykłady rozwiązań.

7. Analiza w dziedzinie czasu systemów LTI. Obliczanie odpowiedzi systemu LTI ciągłego i dyskretnego na dowolny sygnał na podstawie jego odpowiedzi czasowej na sygnałimpulsowy. Przykłady. Systemy o skończonej (FIR) i nieskończonej (IIR) odpowiedzi impulsowej.

4

8. Badanie właściwości systemów LTI na podstawie ich odpowiedzi impulsowej. Niewyprzedzalne systemy LTI opisane równaniami różniczkowymi i różnicowymi o stałych współczynnikach – konstruowanie schematów blokowych dla systemów pierwszego rzędu.

9. Odpowiedź liniowego układu stacjonarnego na sygnałzespolony - pojęcie funkcji własnej i wartości własnej systemu LTI. Szereg Fouriera sygnałów ciągłych okresowych. Warunki Dirichleta. Wzór Parsevala. Przykłady.

10. Szereg Fouriera sygnałów okresowych dyskretnych. Wyznaczanie współczynników szeregu Fouriera sygnału dyskretnego, przykłady. Właściwości dyskretnego szeregu Fouriera. Wzór Parsevala dla sygnału okresowego dyskretnego. Szeregi Fouriera a systemy LTI- odpowiedźczęstotliwościowa.

11. Filtracja sygnałów. Przykłady filtrów sygnałów ciągłych. Filtry sygnałów dyskretnych opisywane równaniami różnicowymi. Przykłady.

5

12. Przedstawienie sygnałów nieokresowych: dyskretna transformata Fouriera. Problemy zbieżności dyskretnej transformaty Fouriera. Dyskretna transformata Fouriera sygnałów periodycznych. Wybrane właściwości dyskretnego przekształcenia Fouriera. Zależność Parsevala. Właściwości splotu.

13. Własność powielania. Zestawienie właściwości i podstawowych transformat Fouriera. Dualizm: dyskretnego szeregu Fouriera, między dyskretną transformatą Fouriera a ciągłym szeregiem Fouriera.

14. Próbkowanie sygnałów. Próbkowanie sygnału ciągłego. Twierdzenie o próbkowaniu. Częstotliwość Nyquista.

15. Rekonstrukcja sygnału na podstawie jego próbek. Wybrane zagadnienia próbkowania sygnału dyskretnego.

6

Koncepcja sygnału Pojęcie sygnału wykorzystywane jest w wielu dziedzinach

nauki i technologii: • telekomunikacja, • astronomia, • teoria i projektowanie obwodów, • sejsmologia, • inżynieria biomedyczna, • generacja i przesył energii, • sterowanie procesami chemicznymi, • obróbka dźwięków, • rozpoznawanie mowy, • rekonstrukcja obrazów, • nauki społeczne i ekonomiczne, ekonometria, bankowość

7

Zastosowania przetwarzania sygnałów

badanie zachowania się systemów za pomocąanalizowania ich odpowiedzi na różne rodzaje sygnałów wejściowych

projektowanie systemów do obróbki sygnałów –należą tu: systemy do odzyskiwania sygnałów, które zostały z jakiegoś powodu zakłócone, zaśmiecone, rekonstruowanie obrazów, np. wnętrza zbiornika z paliwem, czy odległej gwiazdy

8

projektowanie systemów do analizy sygnału wejściowego, z którego wyprowadza się żądane informacje.

Przykłady:

- rynek finansowy (analizując jego zachowania i trendy w przeszłości można wyciągnąć informacje dotyczące prawdopodobnych zachowań w przyszłości), - elektrokardiogram (analizując zapis pracy serca stawiamy diagnozę o jego stanie)

modyfikacja i sterowanie parametrami systemu, np. na drodze odpowiedniego doboru sygnałów wejściowych lub zastosowanie specjalnego systemu. Ważnym zagadnieniem w tej klasie zastosowań jest pojęcie sprzężenia zwrotnego.

9

Szeroką dziedziną zastosowań, w której pojęcie sygnału i jego obróbki oraz związane z tym zagadnienia są niezwykle istotne, jest telekomunikacja.

Należą tu takie problemy jak: • konstruowanie sygnałów o szczególnych

właściwościach, np. o częstotliwości zapewniającej możliwość jego przesyłania na dalekie odległości,

• filtrowanie sygnałów, • modulacja i demodulacja, • transmisja danych do wielu urządzeń jednym kanałem

transmisyjnym (tzw. multipleksowanie w dziedzinie czasu i w dziedzinie częstotliwości oraz de-multipleksowanie).

10

Przykładowy system przetwarzania sygnałów

11

Operacje na sygnałach

Główna cechą sygnału jest to, że niesie on informacje o zachowaniu systemów i naturze zjawisk.

Obecnie wielokrotnie musimy dokonywać przekształceń sygnałów z analogowych na dyskretne i na odwrót. Proces przechodzenia z sygnału analogowego na cyfrowy nazywamy dyskretyzacją i odbywa się za pomocą tzw. próbkowania a proces odwrotny uciąglaniem sygnału i do tego wykorzystujemy aproksymację.

12

Najbardziej znany przykład dyskretyzacji systemów ciągłych, to numeryczne rozwiązywanie równań, w których wszystkie operacje

wykonywane są na sygnałach cyfrowych (np. operacje różniczkowania zastępujemy różnicami skończonymi).

Współcześnie, ponieważ dysponujemy wysokiej klasy systemami cyfrowymi (mikroprocesorami), wszelkie operacje dotyczące obserwacji i sterowania systemami odbywają się w dziedzinie dyskretnej.

Znacznie łatwiej prowadzić obserwacje i sterowanie systemem w dziedzinie dyskretnej niż ciągłej.

Proces uciąglania prowadzimy w celu znalezienia bardziej ogólnych prawidłowości rządzących systemami.

13

Sygnał może być funkcja wielu zmiennych i zwykle jest, np. obraz(nieruchomy - f. współrzędnych prostokątnych, ruchomy jw. + czas), aleomawiać będziemy tylko sygnały jednej zmiennej niezależnej i będziemy przez tę zmienną rozumieć czas: ciągły t, bądź dyskretny n.

Sygnał możemy przedstawić w postaci graficznej oraz za pomocą funkcji analitycznej. Zawsze jeśli sygnał jest opisany analitycznie, można go przedstawić w postaci graficznej. Sygnał otrzymany graficznie, np. na ekranie oscyloskopu lub jako wynik obliczeń numerycznych, aproksymujemy aby mieć jego analityczną postać.

a) b)

x(t)

0 t

x[n]

3

n

21 4-1 0 -2

14

Podział sygnałów

Wśród sygnałów ciągłych wyróżniamy:

• Ograniczone co do wartości, to takie których wartości liczbowe w całym zakresie zmiennej niezależnej n nie przekraczają pewnej liczby

• O skończonym czasie trwania, do których zaliczymy sygnały różne od zera w ograniczonym przedziale czasu oraz równe zeru dla czasu spoza tego przedziału

• O ograniczonym widmie, to zbiór sygnałów, których widmo X(jw) jest ograniczone pewną stałą W.

Widmo sygnału - transformata Fouriera sygnału x[n]

15

Sygnał dyskretny może mieć skończona lub nieskończonądługość. Sygnał dyskretny o skończonej długości zawiera się w przedziale od N1 do N2, przy czym N2 >N1. Czas trwania sygnału wyznaczamy jako: N=N2-N1+1.

Sygnały dyskretne dzielimy na:

• Sygnały kwantowane w pionie

• Sygnały kwantowane w poziomie

• Sygnały cyfrowe

x(t)

t

0 t

0 t

0 t

Sygnał kwantowany w pionie Sygnał kwantowany w poziomie

Sygnał cyfrowy

16

Dyskretyzacja sygnału

17

Energia sygnału

∑∑

∫∫∞+

−∞=

+

−=∞→∞

∞

∞−−∞→∞

==

==

n

N

NnN

def

T

TT

def

]n[x]n[xlimE

dt)t(xdt)t(xlimE

22

22

18

Moc sygnału

∑

∫

+

−=∞→∞

−∞→∞

+=

=

N

NnN

def

T

TT

def

]n[xN

limP

dt)t(xT

limP

2

2

121

21

19

Moc sygnału okresowego

dt)t(xT

P

,]n[xN

P

T

T

N

nN

∫

∑

=

=−

=

0

2

1

0

2

1

1

20

Sygnał mocy i energii

• Sygnały o skończonej energii, E<∞. Takie sygnały muszą miećzerową moc średnią - sygnał energii. Przykładem sygnału o skończonej energii i zerowej mocy jest sygnał bramki.

• Sygnały o skończonej mocy średniej i nieskończonej energii. Jeśli sygnał niesie niezerową moc średnią, to w nieskończonym przedziale czasu uzyskamy nieskończoną ilość energii. Przykładem takiego sygnału jest każdy sygnał stały oraz sygnały okresowe - sygnał mocy, np. sygnał stały x[n]=4, którego moc średnia wynosi 16, zaśenergia jest nieskończenie duża.

• Sygnały, których moc i energia mają w nieskończonym przedziale czasu nieskończoną wartość.

21

Zależności przydatne przy wyznaczaniu parametrów sygnałów dyskretnych

• suma skończonego szeregu sygnału wykładniczego, a - liczba zespolona

∑−

= ⎪⎩

⎪⎨⎧

≠αα

α

=α=α

1

0 1

1N

n

nN

-1-1

dlaN ( )∑ ∑

=

+

=

αα

=α+N

k

N

k

kk

ddk

0

1

01

• suma nieskończonego szeregu sygnału wykładniczego

1<α( )

∑

∑

∑

∞

=

∞

=

∞

=

α−α

=α

α−α

=α

α−=α

kn

kn

n

n

n

n

n

1

1

11

02

0

22

Parametry sygnałów deterministycznych

Średnia bieżąca

Wartość średnia sygnału okresowego

Wartość średnia całego sygnału

Wartość średnia w przedziale czasu

Sygnał dyskretny x[n]Sygnał ciągły x(t)Parametr

( )∫−=

2

112

1 t

t

dttxtt

x

( )∫τ+

τ−∞→τ τ

= dttxx21lim

( ) okres, −= ∫+

TdttxT

xTt

tT

o

o

1

( ) ,∫+

−

ττ=Tt

Ttt dx

Tx

21

∑=+−

=2

11

112

n

nn

nxnn

x ][

∑−=

∞→ +=

N

NnNN nxN

x ][lim12

1

∑+

−=+=

Nn

Nnkn kx

Nx ][

121

( )okres,][ −= ∑

−+

=

NnxN

xNn

nn

o

o

11

23

Parametry sygnałów deterministycznych

Wariancja sygnału

Wartość skuteczna sygnału okresowego

Wartość skuteczna całego sygnału (wartość średniokwadratowa)

Wartość skuteczna w przedziale czasu

Sygnał dyskretny x[n]Sygnał ciągły x(t)Parametr

( )∫−=

2

1

2

12

1 t

t

dttxtt

X

( )∫τ+

τ−∞→τ τ

= dttxx 22

21lim

( )[ ]∫τ

τ−∞→τ

τ−ττ

=σ dxxx2

21lim

∑=+−

=2

1

2

12

2

11 n

nnnx

nnx ][

∑−=

∞→ +=

N

NnNnx

Nx ][lim 22

121

[ ]∑−=

∞→−

+=σ

N

NnNx xnxN

2

121 ][lim

( )

∑−+

=

=121 Nn

nn

o

o

nxN

X ][( )∫+

=Tt

t

o

o

dttxT

X 21

24

Transformacje sygnału w dziedzinie zmiennej niezależnej

• Przesunięcie w czasie, zwane przesunięciem fazowym –sygnały opóźnione i wyprzedzające (y[n]=x[n-no] – w zależności od znaku no system wprowadza opóźnienie -no>0 lub przyspieszenie no<0)

• Odwrócenie sygnału w dziedzinie czasu (odbicie względem początku układu współrzędnych) y[n]=x[-n]

• Skalowanie sygnału w dziedzinie czasu (x[2n] – sygnałskompresowany, x[n/2] – sygnał rozciągnięty

W ogólnym przypadku transformacji sygnału obejmującym trzy powyższe operacje zapiszemy: x[an+b], gdzie dla |a|>1 otrzymamy sygnał liniowo skompresowany (ściśnięty), dla 0<|a|<1 sygnał liniowo rozciągnięty w czasie, dla a<0 uzyskamy odwrócenie sygnału w czasie; wartość i znak b decydują o przesunięciu fazowym sygnału.

25

Przykłady transformacji sygnałów

26

Sygnał parzysty i nieparzysty

27

Przykłady sygnałów deterministycznych analogowych i ich równania

• Sygnały impulsowe o ograniczonej energii

28

• Sygnały o nieskończonym czasie trwania i o ograniczonej energii

29

• Sygnały o ograniczonej mocy średniej - nieokresowe

30

• Sygnały o ograniczonej mocy średniej okresowe

31

32

• Sygnały zmodulowane

ka, kf,kφ, - głębokość modulacji, ωo- częstotliwość nośna,

33

Sygnały okresowe i prawie okresowe

x(t)=sin(2π5t) x(t)=sin(2π5t)+sin(2π10t)

x(t)=sin(2π5t)+0,2sin(2π25t) x(t)=sin(2π5t)+sin(2π(π)t)

34

Sygnały zmodulowane

x(t)=exp[-20(t-0,5)2] sin(2π10t) x(t)=exp(-5t) sin(2π10t)

x(t)=sin[2π(10t2)] x(t)=sin[2π(10t+(10/2π2)sin2π2t)]

35

Sygnały dystrybucyjne

• Impuls Diraca (delta Kronekera)

• Ciągi aproksymujące dystrybucję Diraca

• Związek impulsu Diraca z sygnałem skoku jednostkowego

( ) ( ) 10

=δ⎩⎨⎧

=∞≠

=δ ∫+∞

∞−

dttt ,0tdla0tdla

( ) ( )

( ) 2

2

10

τπ

−

→τ

τ=τδ

τδ=δ

t

et

tt

,

,lim

36

Właściwości dystrybucji Diraca

• Mnożenie przez stałą • Zmiana skali

( )∫+∞

∞−

=δ adtta ( ) ( ) ( )ta

attTTt

δ=δδ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛δ

1,

• Parzystość dystrybucji

( ) ( )tt −δ=δ

• Właściwość próbkowania dystrybucji

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ttxtttx

txttxδ=−δ

δ=δ

00

0

37

• Właściwość powtarzania

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )00 ttxtttx

txttx

txdtxdtx

−=−δ⊗=δ⊗

=ττδτ−=ττ−δτ ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

• Właściwość filtracji

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )00

0

txdttttx

xdtttx

=−δ

=δ

∫

∫∞+

∞−

+∞

∞−

38

Pochodna dystrybucji Diraca

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )∫

∫∞

∞−

∞

∞−

′−=−δ′

=δ′

τδ′=τδ′

00

0

txdttttx

t

tdtdt ,,

39

Parzysta i nieparzysta para dystrybucji

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −δ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +δ=

21

21

21 tttII ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −δ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +δ=

21

21

21 tttII

1/2-1/2

1/2

(t)

1/2

-1/2

1/2

(t)

40

Dystrybucja grzebieniowa (funkcją sza)

0 1-1 2-2 3-3 t

(t)

(t/T)(1/T)

T0

( ) ( )

( ) ( )∑

∑∞+

−∞=

+∞

−∞=

−δ=

δ=

kT

k

kTttIII

ttIII

41

Właściwości dystrybucji grzebieniowej• Właściwość próbkowania

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )∑

∑

∞+

−∞=

+∞

−∞=

−δ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−δ+δ++δ−+

+δ−=−δ=

n

n

nTtnTxTtIII

Ttx

txtxtx

txntnxtIIItx

)(

)(

111011

22

K

K

• Właściwość powielania okresowego

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ∑

∑∞+

−∞=

+∞

−∞=

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⊗

++++++++−=−=⊗

n

n

nTtxTtIII

Ttx

txtxtxtxtxntxtIIItx

)(

)()(

1

2123 KKK

42

Dyskretny sygnał impulsowy (próbka)

43

Właściwości dyskretnego impulsu

• Właściwość powtarzania

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nxnnxknkxnxk

=⊗=−= ∑+∞

−∞=

δδ

• Właściwość przemienności

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

−=−=kk

nknxknkxnx δδ

44

• Właściwość filtracji

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]00

0

nxnnkx

xkkx

k

k

=−

=

∑

∑∞+

−∞=

+∞

−∞=

δ

δ

• Właściwość parzystości

[ ] [ ]nn δδ =−

• Zmiana skali

[ ] [ ]nn δα

αδ 1=

45

Sygnał wykładniczy ciągły i dyskretny

α > 1

0< α <1

-1< α < 0

α < -1

46

Sygnał sinusoidalny

N= 12

N= 31

nieokresowy

x [n] = ejωn

Warunek okresowości

47

Sygnały dyskretne okresowe różnej częstotliwości

48

Sygnały wykładniczy zespolony rosnący i malejące

49

Porównanie sygnału ciągłego i dyskretnego

x [n] = ejωnx (t)] = ejωt

Nieskończenie wiele sygnałów harmonicznych o tym samym okresie (pulsacji) podstawowym

Skończona liczba harmonicznych równa okresowi N

Te same sygnały dla częstotliwości różniących się o 2π

Różne sygnały dla różnych kωo

Okresowy tylko dla ωo=2πm/NOkresowy dla każdej wartości ωo

Największą częstotliwość oscylacji ma sygnał dyskretny okresowy dla ωo = ± π i jego nieparzystych wielokrotności, zaś dla ωo=0 bądź 2πk sygnał, otrzymujemy sygnał stały.

50

Aproksymacja sygnału bramki za pomocą szeregu sygnałów harmonicznych

Sygnał analogowy (efekt Gibbsa) Sygnał dyskretny

51

Podstawowe właściwości systemów

Liniowość systemu(zasada addytywności +homogeniczności =zasada superpozycji)

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]nynyny

nxnxnx

21

21

βαβα

+=+=

Stacjonarność systemu

[ ] [ ][ ] [ ]01

01

nnynynnxnx

−=−=

52

Przyczynowość systemów i sygnałówJeżeli y1[n] i y2[n] są odpowiedziami systemu na sygnały wejściowe odpowiednio x1[n] i x2[n], a ponadto sygnały te dla n<N, są sobie równe to:

System jest przyczynowy jeżeli odpowiedź jego zależy tylko od wartości sygnałów wejściowych i wyjściowych w przeszłości i w badanej chwili.

Systemy nieprzyczynowe, zwane wyprzedzającymi, to takie, w których wartość sygnału wyjściowego w badanej chwili zależy także od przyszłych wartości sygnału na wejściu. Przykładami takich systemów są:

· systemy, w których zmienną niezależną nie jest czas (np. systemy cyfrowego przetwarzanie obrazów),· systemy w których uśredniamy dane zebrane w pewnym okresie czasu (ceny akcji na giełdzie, dane demograficzne, sygnały meteorologiczne), i w których interesuje nas określenie wolnozmiennych trendów w danych, zawierających także szybkozmienne (często przypadkowe) fluktuacje.

x1[n] = x2[n] dla n<N y1[n] = y2[n] dla n<N

53

Filtr średniej ruchomej rzędu M(jako przykład systemu wyprzedzającego)

System, w którym uśredniamy dane zebrane w pewnym przedziale czasu, aby usunąć przypadkowe (nietypowe dla danego zjawiska) zakłócenia, nazywamy filtrem średniej ruchomej rzędu M (gdzie rząd filtru oznacza uśrednianie na liczbie próbek równej M). Jest to system nieprzyczynowy.

[ ] [ ]∑+

−=

−+

=M

Mkknx

Mny

121

54

Odwracalność systemów

System jest odwracalny, jeżeli jest możliwe znalezienie takiego systemu, który włączony z nim kaskadowo da na wyjściu sygnał wejściowy.

55

Pamięć systemu

System jest z pamięcią, jeżeli potrafi gromadzić wartości sygnału wejściowego i wyjściowego z przeszłości.

Konsekwencja tej właściwości jest to, że w systemach bez pamięci wartość sygnału wyjściowego w chwili n zależy tylko od wartości sygnału wejściowego w tej samej chwili.

Systemy bez pamięci opisane są równaniami algebraicznymi, zaś systemy z pamięcią równaniami różnicowymi.

Przykładami systemów dyskretnych z pamięcią są sumator (akumulator) i filtr średniej ruchomej.

56

Stabilność systemów

|x[n]|<Bx dla każdego n,

|y[n]|<By dla każdego n,

gdzie: Bx i By są dowolnymi skończonymi stałymi.

W literaturze anglojęzycznej określamy , że układ jest stabilny w sensie BIBO (Bounded Input Bounded Output)

57

Analiza systemów liniowych, stacjonarnych w dziedzinie czasu

• relacja między sygnałem wejściowym i wyjściowym• charakterystyki czasowe• równania różnicowe

δ[n] h[n]

s[n]u[n]

Odpowiedzią systemu cyfrowego na sygnał w postaci impulsu Diraca δ[n], nazywamy odpowiedzią impulsową i oznaczamy h[n], zaś odpowiedź systemu na sygnał skoku jednostkowego u[n], oznaczamy przez s[n] i nazywamy odpowiedzią skokową(na skok jednostkowy).

58

Wyznaczanie odpowiedzi systemu dyskretnego

h[n]x[n] y[n]

Odpowiedź y[n] systemu liniowego stacjonarnego na dowolny sygnał x[n], wyznaczamy znając odpowiedź impulsową h[n]tego systemu, z zależności:

[ ] [ ] [ ]∑+∞

−∞=

−=k

knxkhny

[ ] [ ] [ ]nxnhny ⊗=splot

59

60

61

62

Połączenia systemówKaskadowe, szeregowe

h1[n] h2[n]

Ze sprzężeniem zwrotnymRównoległe

h1[n]

h2[n]

+

+ h1[n]

63

• Odpowiedź impulsowa szeregowo połączonych systemów liniowych stacjonarnych o odpowiedziach impulsowych równych odpowiednio h1[n] i h2[n] jest równa splotowi odpowiedzi impulsowych:

[ ] [ ] [ ]nhnhnh 21 ⊗=

• Odpowiedź impulsowa równolegle połączonych systemów liniowych stacjonarnych o odpowiedziach impulsowych równych odpowiednio h1[n] i h2[n] jest równa sumieodpowiedzi impulsowych:

[ ] [ ] [ ]nhnhnh 21 +=

64

• Liniowy system stacjonarny jest stabilny jeżeli jego odpowiedź impulsowa jest absolutnie sumowana (ma skończoną sumę):

• Liniowy system stacjonarny jest przyczynowy, (niewyprzedzający) jeżeli jego odpowiedź impulsowa spełnia warunek:

h[k] = 0 dla k<0

[ ] ∞<∑+∞

−∞=n

nh

65

Równania różniczkowe i różnicoweW dziedzinie czasu relacja między sygnałem wejściowym i wyjściowym dla systemu LTI jest opisana liniowym równaniem różniczkowym (dla układu analogowego ) bądź różnicowym (układ dyskretny) N-tego rzędu o stałych współczynnikach, postaci:

LTIx[n] y[n]

( ) ( )

∑∑

∑∑

==

==

−=−

=

M

kk

N

kk

k

kM

kk

N

kk

k

k

knxbknya

dttxdb

dttyda

00

00

][][

(1)

66

Rozwiązanie równania różniczkowego (różnicowego) składa się z rozwiązania równania jednorodnego (rozwiązanie ogólne- odpowiedź swobodna) oraz rozwiązania szczególnego (odpowiedź wymuszona):

( )

0

0

0

0

∑

∑

=

=

=−

=

N

kk

N

kk

k

k

knya

dttyda

][

(2)

Rozwiązanie wymaga podania dodatkowych warunków początkowych. Jeśli system jest liniowy, stacjonarny i przyczynowy to możemy zapisać:

( )[ ] [ ] 00

00

0000

nnnynnnx

tttytttx

≤=⇒≤=

≤=⇒≤=

dladla

dladla)(

67

Dla układów liniowych stacjonarnych i przyczynowych odpowiedź systemu y(t)/y[n] dla czasu t>t0 (n>n0) można zatem wyznaczyć z równań (1) dla następujących warunków początkowych:

( ) ( ) ( )

[ ] [ ] [ ] 01

0

000

10

10

0

=−==−=

==== −

−

Nnynynydt

tdydt

tdyty N

N

K

K

Równania (1) można zapisać w postaci:

( ) ( ) ( )

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∑∑

∑∑

==

==

N

kk

M

kk

N

kk

k

kk

kM

kk

knyaknxba

ny

dttyda

dttxdb

aty

100

100

1

1

][][][

,

które dla przypadku równania różnicowego nazywamy równaniem rekurencyjnym - wartości sygnału wyjściowego w czasie n zależą od wartości wejścia i wyjścia w tym czasie i w chwilach wcześniejszych.

68

Dla N=0, równania upraszczają się do postaci:

( ) ( )

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧ ≤≤=

−=

=

∑

∑

=

=

0

00

0 0

0 0

Mnab

nh

knxabny

dttxd

abty

n

M

k

k

k

kM

k

k

dla

][][

równanie różnicowe dla N=0 nazywamy równaniem nierekurencyjnym - dla wyznaczenia wartości sygnału wyjściowego w czasie n wystarczy znajomość wartości sygnału wejściowego w czasie n i w chwilach wcześniejszych.

Systemy opisane równaniem rekurencyjnym mają odpowiedź impulsową nieskończoną - systemy NOI, zaś systemy opisane równaniem nierekurencyjnym - systemy SOI mają skończoną odpowiedź impulsową.

Gdy N≥1, równanie jest nierekurencyjne i wymaga do rozwiązania warunków początkowych, których liczba określona jest rzędem równania.

69

Elementy schematów blokowych

Element opóźniający Element całkujący i różniczkujący

∫x(t)dtz-1

x[n] x[n-1] x(t)∫

Dx(t) dx(t)/dtElement mnożący

ax[n] a x[n]

x(t) a x(t)

70

Schemat blokowy równania różnicowego

][][][ nbxnayny =−+ 1

z-1

+x[n]

y[n-1]

-ay[n-1]b

-a

bx[n]

y[n]

71

Schemat blokowy równania różniczkowego ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ττ−τ+=

=+

∫t

t

aybxtyty

tbxtaytty

0

0 d

dd

x[t]+

-ay(t)

b

-a

bx[t]

∫y(t)

72

Przykład:Wyznaczyć odpowiedź układu liniowego stacjonarnego opisanego równaniem różniczkowym I rzędu:

na sygnały: skoku jednostkowego, impulsowy, wykładniczy

przy założeniu, że dla t<0, y(0)=0

( ) ( ) ( )txtydt

tdy=+ 2

73

74

Przykład:Wyznaczyć odpowiedź układu liniowego stacjonarnego opisanego równaniem różnicowym I rzędu

na sygnał impulsowy:

którym y[-1]=0

][][][ nxnyny =−− 121

,][][ nKnx δ=

75

Rozwiązanie równania ma postać:

Knynxny

Kyxy

Kyxy

Kyxy

n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+=

=−+=

211

21

211

2122

210

2111

12100

2

1

][][][

][][][

][][][

][][][

M

a odpowiedź impulsowa: ][][ nunhn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=21

76

Przekształcenia całkowe: Laplace'a , transformacja Z, przekształcenie Fouriera

Metody analizy sygnałów polegające na zastąpieniu równań różniczkowych (różnicowych) opisujących relacje wejście -wyjście równaniami algebraicznymi wykorzystują przekształcenia: Laplace'a jednostronne i dwustronne (sygnały analogowe), Laurenta , Fouriera i inne.

W równaniach różniczkowych i różnicowych występują sygnały jako funkcje argumentu rzeczywistego t(n). Takie funkcje czasu nazywamy oryginałem lub funkcją oryginalną.Ich odpowiednik w dziedzinie zmiennej zespoonej

77

Każdej funkcji rzeczywistej czasu f(t) można przyporządkować funkcję zmiennej zespolonej s=σ+jω, którą nazywamy parametrem zespolonym. Funkcję tę nazywamy transformatą funkcji czasu lub obrazemfunkcji czasu w zbiorze liczb zespolonych, oznaczamy przez F(s)i wyznaczamy z zależności:

dsesFj

tf

dtetfs

stjc

jc

st

∫

∫∞+

∞−

∞

∞−

−

π=

=

)()(

)()(

21

F przekształcenie proste

przekształcenie odwrotne

w którym c - liczba rzeczywista dodatnia nie mniejsza od odciętej zbieżnościtransformaty, c≥σ

78

Przekształcenie Laplace'a proste i odwrotne oznaczamy jako:

[ ][ ])()(

)()(sFLtf

tfLs1

F−=

=

Zestawienie oryginałów i transformat Laplace'a wybranych funkcji spotykanych w teorii sygnałów i systemów przedstawiono w tablicy

79

1( )tδ

)(tAusA

as ±1ate m

tωsin22 ω+

ωs

22 ω+ss

tωcos

21st

( )21as +

atte −

80

Podstawowe wzory i twierdzenia

Twierdzenie 1: (o liniowości):

)()()()()()( sbGsaFtgbLtfaLtbgtafL +=+=+

Twierdzenie 2: (o podobieństwie, zmianie skali):

01>⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= a

asF

aatfL ,)(

Twierdzenie 3: (o przesunięciu zespolonym):

( ) stala dowolna,)( −−= kksFtfeL kt

81

Twierdzenie 4 :(o opóźnieniu-przesunięciu rzeczywistym):

)()( sFehtfL sh−=−

Twierdzenie 5 :(graniczne): Jeżeli F(s)=Lf(t) oraz a) jeżeli istnieje granica prawostronna:

to:

b) jeśli wszystkie bieguny funkcji F(s) znajdują się w obszarze Ω, dla dowolnie małego ε>0, to:

)(lim)( tfft 00

0→<

+ =

)(lim)( ssFfs ∞→

+ =0

)(lim)(lim)( ssFtffst 0→∞→

==∞

! Uwaga, jeśli bieguny funkcji F(s) leżą na osi urojonej (ε=0), to twierdzenie nie obowiązuje - istnienie granicy F(s) nie zawsze oznacza istnienie granicy f(t)

82

Twierdzenie 6 (o transformacie funkcji okresowej): jeżeli f(t) jest funkcja okresową o okresie T, to:

gdzie: FT(s) jest transformatą funkcji f(t) za okres.

( )

( ) dttfsF

sFtfL

stT

T

sTT

−

−

∫=

−=

e)(

e)(

0

1

Twierdzenie 7 (o transformacie pochodnej):

( ) ( )++

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= 00 fssF

sfsFstfL )()()('

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−=

+−++

n

nnn

sf

sf

sfsFstfL 000 1

2

)()( ')()(

83

Twierdzenie 8 (o transformacie całki):

ssFdfL

t )()( =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ττ∫0

Twierdzenie 9 (o transformacie splotu funkcji - twierdzenie Borela):

)()()()()()( sGsFdtgtfLtgtfLt

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ττ−=⊗ ∫0

Twierdzenie 10 (o transformacie pochodnej splotu - całki Duhamela):

( ) ( )sGssFtgtft

Lt

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ττ−∫ d)()(dd

0

84

Region zbieżności transformaty Laplace'aWłaściwość 1:Obszar zbieżności transformaty X(s) składa się z pasm równoległych do osi urojonych (jω). Właściwość 2:Wymierna transformata Laplace'a nie zawiera biegunów w obszarze zbieżności.Właściwość 3:Jeśli x(t) jest funkcją o skończonym czasie i jest bezwzględnie całkowalna, to obszarem zbieżności jest cała płaszczyzna zmiennej zespolonej s.Właściwość 4:Jeśli funkcja x(t) jest prawostronna i jeśli prosta Res=σ0 znajduje się w obszarze zbieżności, to wszystkie wartości s, dla których Res>σ0 także znajdują się w obszarze zbieżności.

Właściwość 5:

Jeśli funkcja x(t) jest lewostronna i jeśli prosta Res=σ0 znajduje się w obszarze zbieżności, to wszystkie wartości s, dla których Res<σ0 będą także w obszarze zbieżności.

85

Właściwość 6:

Jeśli funkcja x(t) jest obustronna i jeśli prosta Res=σ0 znajduje się w obszarze zbieżności, to obszar zbieżności jest pasmem na płaszczyźnie zmiennej zespolonej.

Właściwość 7:

Jeśli transformata X(s) funkcji x(t) jest wymierna, wtedy jej obszar zbieżności jest ograniczony biegunami, bądź rozciąga się do nieskończoności i żadne bieguny nie znajdują się w jego obszarze.

Właściwość 8:

Jeśli transformata X(s) funkcji x(t) jest wymierna, i jeśli jest prawostronna , to jej obszar zbieżności jest ograniczony biegunem leżącym najbardziej na prawo, zaś jeśli jest lewostronna , to jej obszar zbieżności jest ograniczony biegunem leżącym najbardziej na lewo.

przykłady

86

Wyznaczenia oryginału transformaty odwrotna transformata Laplace'a

W celu wyznaczenia oryginału transformaty wykorzystuje się:

• tablice oryginałów i transformat

• metodę residuów bazująca na twierdzeniu Heaviside'a

Stosowanie tablic oryginałów i transformat jest najprostszą metodą i zawsze, gdy to możliwe, tak wyznaczamy oryginał x(t).

87

Metoda residuów bazuje na możliwości przedstawienia transformaty w postaci ilorazu wielomianów funkcji wymiernych zmiennej zespolonej s,

przy czym zakładamy, że:- ułamek L(s)/M(s) jest nieskracalny,- stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika.

011

1

011

1

bsbsbsbasasasa

sNsLsF n

nn

n

ll

ll

++++++

== −−

−−

K

K

)()()(

88

Twierdzenie Heaviside'a mówi, że funkcję operatorową X(s) posiadająca bieguny jednokrotne można rozłożyć na ułamki proste:

gdzie: n - jest stopniem wielomianu M(s) i oznacza liczbę biegunów funkcji X(s)

n

n

k

kn

i i

i

ssA

ssA

ssA

ssA

sMsLsX

−+

−++

−=

−== ∑

=

KK1

1

1)()()(

89

Współczynniki od A1 do An wyznaczamy ze wzoru na residuum funkcji X(s), według:

( )[ ]

( )∏≠=

→=

−=

=−==

n

kii

kk

k

kkssk

sssM

sMsLsXsssXA

k

1)('

)(')()(lim)(res

kss

ts

k

k

ssL e=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

− 11

Ponieważ, transformata odwrotna: więc oryginał funkcji operatorowej wyrazimy:

tsn

k k

k k

sMsLtx e

)(')()( ∑

=

=1

Podstawowy wzór Heaviside'a

90

Jeśli jeden z biegunów funkcji operatorowej X(s) jest biegunem zerowym s0=0, wtedy funkcje operatorową przedstawiamy w postaci:

a oryginał liczymy z zależności:

1−== nmssN

sLsX ,)(

)()(

( )∏

∑

≠=

=

−=

+=

m

kii

kk

tsm

k kk

k

sssN

sNssL

NLtx k

1

100

)('

e)('

)()()()(

91

Przekształcenie ZCiągowi liczb f[n] można przyporządkować funkcję zmiennej zespolonej z, według:

[ ]

[ ] )(

)(

zFZnf

znfzFn

n

1−

∞

−∞=

−

=

= ∑ Transformata dyskretna

Oryginał dyskretny

Obszar zbieżności szeregu znajduje się na płaszczyźnie zmiennej zespolonej na zewnątrz lub wewnątrz okręgu jednostkowego.

Zestawienie oryginałów i transformat Laurenta wybranych funkcji spotykanych w teorii sygnałów i systemów przedstawiono w tablicy

92

[ ]nδ 1

[ ]nu1−z

z

azz−

na

122 +ω−ω

TzzTz

cossinTnωsin

122

2

+ω−ω−TzzTzz

coscosTnωcos

21)( −zz

n

( )2azz

−1−nna

93

Podstawowe własności przekształcenia Z

Twierdzenie 1 (o liniowości):

)()()()()()( zbGzaFtgbZtfaZtbgtafZ +=+=+

Twierdzenie 2 (o ciągu przesuniętym):

[ ] ( )

[ ] ( ) [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=+

=−

∑−

=

−

−

1

0

k

m

mk

k

zmfzFzknfZ

zFzknfZ

94

Twierdzenie 3 (o transformacie ciągu sum):

[ ] ( )zFz

zkfZn

k 10 −=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∑

=

Twierdzenie 4 (o różniczkowaniu transformaty):

[ ] ( )zzFznnfZ

dd

−=

Twierdzenie 5 (o zamianie zmiennej z na az):

[ ] ( )azFnfaZ n =−

95

Twierdzenie 6a (graniczne):

( ) [ ]0fzFz

=∞→

lim

Twierdzenie 6b (graniczne):

[ ] ( ) ( )zFznfzn

111

−=→<∞→

limlim

Twierdzenie 7 (o splocie dwóch ciągów):

[ ] [ ] ( ) ( )zGzFngnfZ =⊕

96

Transformata odwrotna przekształcenia Z

Przekształcenie odwrotne dyskretne przyporządkowuje funkcji zmiennej zespolonej F(z) sygnał dyskretny (ciąg liczbowy) f[n].Omówione zostaną 2 metody. Obie dotyczą wymiernej funkcji F(z), którą można przedstawić w postaci iloczynu funkcji wymiernych postaci:

przy czym zakładamy , że m>=ν.

011

1

011

1

azazazabzbzbzb

zMzLzF m

mm

m ++++++++

== −−

−ν−ν

νν

K

K

)()()(

97

• Metoda rozwinięcia w szereg potęgowy

W metodzie mnożymy licznik i mianownik transformaty F(z) przez z-m . Dzieląc następnie licznik tak otrzymanego wyrażenia przez mianownik otrzymuje się szereg:

,

którego kolejne współczynniki są wyrazami poszukiwanego ciągu.Metodę stosujemy, gdy chcemy wyznaczyć kilka początkowych wyrazów sygnału.

[ ]∑∞

−∞=

−=n

nznfzF )(

98

• Metoda rozkładu na ułamki proste - odpowiednik metody bazującej na twierdzeniu Heaviside'a

∑= −

==m

k k

k

zzA

zNzLzF

1)()()(

( ) ( ))(')(

)(limk

kk

zzk zNzL

zNzzzLA

k

=−

=→

Oryginał f[n] funkcji operatorowej F(z) wyrazimy następująco:

[ ] 1

1

−

=∑= n

k

m

k k

k zzNzLnf

)(')(

99

Przykłady: Wyznaczyć transformaty następujących sygnałów dyskretnych:

Wyznaczyć oryginały następujących transformat dyskretnych:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] nnnunf

nununf

431123

6

−−δ+=

−−=

( )

( )( )( )2

2

2

2

532234

−−−

=

+−=

zzzzzF

zzzzF

100

Układy cyfrowe i ich rozwiązywanie z wykorzystaniem transformacji Z

m

m

m

ymyyyyy

nnx

mnxbnxbnxbmnyanyanyany

−−− =−=−=−

<=

−+−+=−+−+−+

][,][,][

][

][][][][][][][

K

K

K

21

10

21

21

00

121

- warunki początkoweRozwiązanie zawiera: - odpowiedź wymuszoną, będącą rozwiązaniem równania (1) przy zerowych warunkach początkowych,- odpowiedź swobodną, będącą rozwiązaniem równania jednorodnego

(1)

101

Dla układu I rzędu:

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )zYzYaz

zyazXazbzbzY

zayazX

zazbbzY

yazXzbbzazY

zXzbzXbyzYzazY

ynxbnxbnyany

pw +=+

−+

++

=

+−

+++

=

−+=+

+=++

=−−+=−+

−

−−

−

−

−−−

−−

−

1

11

1

10

11

111

1

110

111

101

1

1101

11

101

11

1

0111 ][],[][][][

Odpowiedź wymuszoną układu cyfrowego wyznaczamy znając transmitancję systemu H(z) (transformatę jego odpowiedzi impulsowej h[n]):

( ) ( ) ( )zXzHzYw =

102

Gdy x[n]=δ[n] to X(z)=1, wtedy dla układu I rzędu zapiszemy:

( ) ( )( )

( )

[ ] [ ] ( ) [ ]nuaabbn

abnh

azz

abb

abzH

az

zab

b

ab

az

az

azz

bb

ab

az

zbb

ab

azbzbzH

n1

1

10

1

1

11

10

1

1

1

11

0

1

1

1

111

0

1

1

1

1

0

1

1

1

10

1

1

11

1

1

1

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+δ=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

−++=

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+=

++

=

103

Przykład: Dla układu dyskretnego opisanego równaniem:

obliczyć: h[n], H(z), oraz odpowiedź układu na wymuszenie sygnałem skoku jednostkowego x[n]=u[n].

][][][][ 134121

−+=−− nxnxnyny

104

Analiza częstotliwościowa sygnałów i systemówSzereg i przekształcenie Fouriera

Dla sygnału okresowego szereg Fouriera pozwala określićamplitudy częstotliwości podstawowej i wyższych harmonicznych.

W przypadku funkcji nieokresowych analizowaną funkcjęrozpatruje się w nieskończenie długim przedziale czasu i stosuje całkowe przekształcenie Fouriera.

Za pomocą analizy częstotliwościowej można też badaćszeregi dyskretne – w takim przypadku stosuje się tzw. dyskretną analizę częstotliwościową - szczególnie ważną przy obliczeniach na maszynach cyfrowych.

105

Szereg Fouriera funkcji okresowej ciągłej

( ) ( ) ( )

∑∞+

−∞=

π

=

=θ+ω++θ+ω+θ+ω+=

k

tT

jk

k

nn

a

tnatataatx2

02021010 2

e

sin...sinsin)(

- równanie syntezy

( ) αβ+βα=β+α cossincossinsin

tnatnatataatx

nnnn 00

0110110

ωθ+ωθ+++ωθ+ωθ+=

sincoscossin...sincoscossin)(

( ) ( )[ ]∑=

ω+ω+=n

kkk tkBtkAAtx

100

0

2sincos)(

106

107

Współczynniki szeregu Fouriera

( )∫=T

ttxT

A

0

0 12

dRównanie analizy

( ) ttxT

a tjk

Tk de 01 ω−∫=

( ) ( )∫ ω=T

k ttktxT

A0

02 dcos

( ) ttxT

aT

d∫=1

0

( ) ( )∫ ω=T

k ttktxT

B0

02 dsin

108

Widmo amplitudowe i fazowe sygnału

Wykres współczynników Fouriera, przedstawiający udziałposzczególnych harmonicznych w sygnale x(t), daje obraz rozkładu zawartych w nim częstotliwości;

wykres ten jest nazywany widmem częstotliwościowym lub krótko – widmem sygnału.

Współczynniki szeregu Fouriera są liczbami zespolonymi.

|ak|=f(k) - widmo amplitudowe

≮ak=f(k) - widmo fazowe

109

Przykład: wyznaczyć widmo amplitudowe i fazowe następującego sygnału rzeczywistego:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ω+ω+ω+=2

221 000 ttttx coscossin)(

( )

( )

20

142

21

142

21

211

211

211

211

1

42

42

1

1

0

>=

−==

+==

+=−=

−=+=

=

π−

−

π

−

ka

a

a

a

a

a

k ,

je

je

jj

jj

j

j

110

Sygnał okresowy prostokątny i jego widmo

⎪⎩

⎪⎨⎧

<<

<=

20

1

1

1

TtT

Tttx

,

,)(

Tπ

=ω2

0

( ) 01 101

1

0 ≠πω

== ∫−

ω− kk

TkteT

aT

T

tjkk ,sind

TTt

Ta

T

T1

021 1

1== ∫−

d

111

Współczynniki szeregu Fouriera (widmo) sygnału okresowego prostokątnegodla wybranych wartości T w stosunku do T1

M

π==

π−==

π==

=

≠π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=

=

−

−

−

5131

121

02

4

55

33

11

0

1

aa

aa

aa

a

kk

ka

TT

k ,sin

T=8T1

T=16T1

T=4T1

112

Effekt Gibbsa

113

Zależność Parsevala

( ) ∑∫+∞

−∞=

=k

kTadttx

T221

114

Porównanie sygnału wykładniczego (okresowego) analogowego i dyskretnego

x [n] = ejωnx (t)= ejωt

Nieskończenie wiele sygnałów harmonicznych o tym samym okresie (pulsacji) podstawowym

Skończona liczba harmonicznych równa okresowi N

Te same sygnały dla częstotliwości różniących się o 2π

Różne sygnały dla różnych kωo

Okresowy tylko dla ωo=2πm/NOkresowy dla każdej wartości ωo

Największą częstotliwość oscylacji ma sygnał dyskretny okresowy dla ωo = ± π i jego nieparzystych wielokrotności, zaś dla ωo=0 bądź 2πk sygnał, otrzymujemy sygnał stały.

115

Sygnał dyskretny okresowy i jego widmo Fourierarównania analizy i syntezy

[ ]

[ ] [ ]∑∑

∑∑

=

π−

=

ω−

+∞

=

π

=

ω

==

==

Nn

nN

k

Nn

nkk

Nk

nN

k

kNk

nkk

nxN

nxN

a

aanx

2

2

110

0

jj

jj

ee

ee równanie syntezy

równanie analizy

Zależność Parsevala

[ ] ∑∑==

=Nk

kNn

anxN

221

116

Przykład: wyznaczyć widmo amplitudowe i fazowe następującego sygnału rzeczywistego:

[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ω+ω+ω+=2

231 000 nnnnx coscossin

j

j

jj

jj

21

21

21

23

21

23

21

23

21

231

2

2

1

1

0

−=

=

+=−=

−=+=

=

−

−

a

a

a

a

a

117

Sygnał dyskretny okresowy prostokątny i jego widmo

[ ]⎩⎨⎧ ≤

=,,01 1Nn

nxNπ

=ω2

0

K

K

,,,,sin

sin

,,,,

NNk

Nk

N

Nk

Na

NNkN

Na

k

k

20

21

2

1

2012

1

1

±±≠π

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ +π

=

±±=+

=

118

Współczynniki szeregu Fouriera (widmo) sygnału okresowego prostokątnego

dla wybranych wartości N w stosunku do N1, 2N1+1=5

N=10

N=20

N=40

119

Odwzorowanie sygnału dyskretnego prostokątnego za sumy pomocą sygnałów harmonicznych

[ ]

[ ] [ ]

21

2

−=

=

= ∑−=

π

NM

nxnx

anxM

Mk

nN

k

k

)

) je

120

Podstawowe właściwości szeregu Fouriera Fciągłego i dyskretnego

Liniowość szeregu Fouriera:

( ) ( ) kk

SFBbAatBytAx +↔+

Przesunięcie w dziedzinie czasu:

( )

( ) k

tT

k

ktk

SF

k

SF

aeaettx

atx

000

2

0

πω =↔−

↔

jj

Odwrócenie w czasie:

( )

( ) k

SFk

SF

atx

atx

−↔−

↔ ( ) ( )( ) ( ) kk

kk

aatxtxaatxtx−=⇒−−=

=⇒−=

−

−

121

Skalowanie w czasie:

[ ]

[ ]/ am

mnx

anx

k

DSF

k

DSF

1↔

↔( ) ( )

( )t

Tjk

kk

k

SF

k

SF

eatx

atxatx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

απ∞

−∞=∑=α

↔α↔

/2

Dla n będącego wielokrotnością m. Okresowe o okresie mN

Skalowanie w dziedzinie częstotliwości:

( )

( ) Mk

SFtjM

k

SF

atxe

atx

−ω ↔

↔

0

122

Sprzężenie:

[ ] [ ] k

DSF

k

DSFanxanx −

∗∗ ↔↔

Splot okresowy

[ ] [ ] kk

DSF

NrbNarnyrx ↔−∑

=( ) ( ) kk

SF

TbTatyx ↔ττ−τ∫ d

Mnożenie sygnałów

[ ] [ ] lkNl

lkk

SFbabanynx −

=∑=⊗↔( ) ( ) lk

llkk

SFbabatytx −

∞

−∞=∑=⊗↔

123

Pochodna:

( ) ( )k

SF

k

SFa

Tk

ttxatx π

↔↔2j

dd

Pierwsza różnica

[ ] [ ] [ ] kN

kDSF

k

DSFanxnxanx ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−↔−−↔

π−

2

11j

e

Suma bieżącaCałka

( ) ( ) ( ) k

SFt

k

SFa

kttxatx

0

1ω

↔↔ ∫∞− j

d [ ] [ ] ( ) kk

DSFn

kk

DSFakxanx

011

ω−−∞= −

↔↔ ∑ jeO skończonej wartości i okresowa tylko wtedy, gdy a0=0

124

( )

kk

kk

kk

kk

kk

aaaa

aatxaa

aa

−∠=∠

=

−=⇒=

=

−

−

−

∗−

ImImReRe

Symetria sprzężenia dla sygnałów rzeczywistych

Ponadto, - gdy sygnał jest rzeczywisty i parzysty to współczynniki akszeregu są rzeczywiste i parzyste- gdy sygnał jest rzeczywisty i nieparzysty to współczynniki ak są czysto urojone i nieparzyste

125

Odpowiedź częstotliwościowa systemu LTI

( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( )

( )

[ ] [ ]

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇔=

ω=

ω=⇔=

=ττ=ω

=ττ=

π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−π∞+

−∞=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−∞+

=

ω−∞+

−∞=

ω−∞+

−∞=

ω−∞+

−∞=

ω∞+

−∞=τ

ωτ−

−+∞

−∞=

+∞

−∞=τ

τ−

∑∑

∑∑

∑∫

∑∫

Njk

kk

nN

kN

jk

nk

nN

k

Nkk

kk

tk

nk

tk

nk

n

n

k

k

s

Hab

Hanyanx

jkHab

jkHatyatx

nhHdhH

zkhzHdhsH

2

222

0

000

e

eee

ee

eeej

e

jj

jj

jjj

126

Przykład 1:

Okresowy sygnał , którego współczynniki

szeregu Fouriera wynoszą:

podano na zaciski systemu liniowego stacjonarnego o

odpowiedzi impulsowej: .

Należy wyznaczyć współczynniki szeregu Fouriera bk odpowiedzi systemu y(t).

( ) tk

nkatx π−

+

−=∑= 23

3

je

,,,,31

21

411 3322110 ======= −−− aaaaaaa

( ) ( )tuth t−= e

Przykład 2: Znaleźć odpowiedź y[n] systemu dyskretnego LTI

na sygnał , jeśli jego odpowiedź impulsowa

wynosi:

[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=N

nnx 2cos

[ ] [ ] 11 +<α<−α= ,nunh n

127

Filtracja sygnałów

Odpowiedzi częstotliwościowe czterech idealnych filtrów cyfrowych zero-fazowych o rzeczywistych współczynnikach odpowiedzi impulsowej przedstawione są na rysunkach:

π−π ωc−ωc

ΗLP(ejω)

1

π−π ωc−ωc

ΗHP(ejω)

1

ω

ωc1 π−π −ωc1

ΗBS(ejω)

1

−ωc2 ωc2

ω

ω

π−π ωc1 ωc2−ωc1

ΗBP(ejω)

1

−ωc2

ω

(a)

(c) (d)

(b)

128

Filtry dolno- i górnoprzepustowy są opisane funkcjami przejścia pierwszego rzędu postaci odpowiednio:

π−π ωc−ωc

ΗLP(ejω)

1

( ) 1

1

11

21

−

−

α−+

⋅α−

=z

zzH LP

π−π ωc−ωc

ΗHP(ejω)

1

( ) 1

1

11

21

−

−

α−−

⋅α+

=z

zzH HP

129

Filtry pasmowe z rysunków c i d są opisane funkcjami przejścia drugiego rzędu rzędu postaci odpowiednio:

( ) ( ) 21

2

111

21

−−

−

α+α+β−−

⋅α−

=zz

zzHBP

( ) ( ) 21

21

1121

21

−−

−−

α+α+β−+β−

⋅α+

=zz

zzzHBS

ωc1 π−π −ωc1

ΗBS(ejω)

1

−ωc2 ωc2

ω

π−π ωc1 ωc2−ωc1

ΗBP(ejω)

1

−ωc2

ω

130

Łącząc szeregowo opisane wyżej proste filtry cyfrowe, możnabudować filtry z bardziej ostrą odpowiedzią impulsową. Łącząc K dolnoprzepustowych filtrów pierwszego rzędu.

Wypadkowa funkcja przejścia takiej struktury będzie opisanafunkcja przejścia postaci:

( )K

LP zzzG ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α−

+⋅

α−= −

−

1

1

11

21

Podane filtry idealne należą do grupy o NOI i zerowej fazie.

Konstruuje się także filtry, w których funkcja przejścia odpowiada skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) z odpowiedzią fazową będącą liniową funkcją ω.

131

Przykłady filtrów:1) dolnoprzepustowy 2) górnoprzepustowy

( ) ( )

( ) ω=ω

=

jjHdt

tdxty[ ] [ ][ ]

( ) ( ) ( )2121

121

2 /coseee

][

/jjj ω=+=

−+=

ω−ω−ωH

nxnxny

132

3) Filtr rekursywny I -rzędu (system NOI)

[ ] [ ]

( ) [ ] [ ]nuanha

H

nxnayny

n=−

=

=−−

ω−ω ,

ee

][

jj

111

60,=a60,−=a

133

3) Filtr nierekursywny (system SOI):

gdzie, y[n] jest średnią ważoną po N+M+1 wartościach x[n], od x[n-M] do x[n+N], z wagami równymi współczynnikom bk.

- dolnoprzepustowya) N+M+1=3

[ ] ( )∗= ∑−=

M

Nkk nxbny ][

[ ] [ ] [ ]( )

[ ] [ ] [ ]( )

( ) ( ) ( )ω+=++=

+δ+δ+−δ=

+++−=

ω−ωω coseee

][

][

jjj 21311

31

1131

1131

H

nnnnh

nxnxnxny

134

[ ]

( )22

1

11

11

01

11

1

2

/sin

sinee

poza][

][

jj

ω

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++ω

++=

++=

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤−

++=

−++

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

ω

−=

ω−ω

−=

∑

∑

NM

eMNMN

H

MnNMNnh

knxMN

ny

MNjM

Nk

k

M

Nk

b) N+M+1=33 (M=N=16)

c) N+M+1=65 (M=N=32)

135

Filtr nierekursywny (SOI) - górnoprzepustowy

[ ] [ ][ ]

( ) ( ) ( )2121

121

2 /sinjeee

][

/jjj ω=−=

−−=

ωω−ωH

nxnxny

-wszystkie filtry SOI są stabilne, bo odpowiedź impulsowa jest skończona, a zatem sumowalna.- dla N>0 w równaniu filtr jest systemem nieprzyczynowym,tj. y[n]zależy od przyszłych wartości x[n]. W filtracji w czasie rzeczywistym, w równaniu musimy założyć N≤0

( )∗

136

Próbkowanie sygnałów

Próbkowanie polega na przekształceniu sygnału ciągłego w równoważny sygnał dyskretny a następnie w sygnał cyfrowy. Przekształcenie powinno umożliwiać odtworzenie sygnału ciągłego na podstawie sygnału dyskretnego (ciągu próbek) z dowolną dokładnością.

137

Próbkowanie za pomocą funkcji Sza

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )∑

∑

∞+

−∞=

∞+

−∞=

−δ=

−δ=

=

np

n

p

nTtnTxtx

nTttp

tptxtx

138

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )∑

∑

∫

∞+

−∞=

∞+

−∞=

+∞

∞−

ω−ω=ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ωδπ

=ω

θθ−ωθπ

=ω

ksp

k

p

kjXT

jX

Tk

TjP

djPjXjX

1

22

21

139

Twierdzenie o próbkowaniu

Niech x(t) oznacza sygnał analogowy o ograniczonym widmie, takim, że X(jω)=0 dla |ω|>ωM .

Sygnał x(t) jest jednoznacznie określony (równoważny) przez zbiór odległych o T jego próbek x(nT), n=0, ±1, ±2,... , jeśli częstotliwość próbkowania:

ωs≥2ωM

a graniczny czas próbkowania:

T≤π/ωM

gdzie: ωs = 2π/T, ωM - częstotliwość Nyquista

140

W dziedzinie częstotliwości,idea dowodu twierdzenia o próbkowaniu polega na zastosowaniu do widma X(jω) sygnału x(t) dwóch znoszących się wzajemnie operacji:

• przedłużania okresowego widma - powielenia

• filtracji widma powielonego.

141

Próbkowanie składa się z następujących operacji:

• Powielanie okresowe widma X(jω) sygnału x(t),

• Filtrowanie powielonego widma Xp(jω) za pomocąidealnego filtru dolno-przepustowego o częstotliwościach odcięcia ±ωc, takiej, że: ωM<|ωc|<ωs-ωM

• Przekształcanie przefiltrowanego widma X(jω) na sygnałw dziedzinie czasu x(t).

142

Odtworzenie sygnału ciągłego ze znajomości ciągu jego próbekTwierdzenie Kotielnikowa-Shannona

Dowolną funkcję czasu można przedstawić w postaci szeregu Kotielnikowa-Shannona, który ma postać szeregu Fouriera z funkcja bazową Sa:

( ) ( ) ( )( )∑∞=

−∞=

−π=n

nm nTtfSanTxtx 2

143

144

Przyczyny błędów próbkowania

• niepoprawny dobór częstotliwości próbkowania,

• założenie idealności filtru dolnoprzepustowego,

• założenie idealności impulsów bramkujących.