Materiały pomocnicze do wykładu

1Materia

ły po

mocnic

ze

2

1. Tomasz P. Zieliński - Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Od teorii do zastosowań , WKŁ, 2009,

2. Richard G. Lyons, Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów, WKŁ, 2010 (wyd. 2 rozszerzone),

3. Jerzy Szabatin, Podstawy teorii sygnałów, WKŁ, 1982 i późniejsze,

4. Izydorczyk J., Płonka G., Tyma G. - Teoria sygnałów. Wstęp. Wydanie II, Helion 2006

Materia

ły po

mocnic

ze

3

pojecie sygnału jest rozumiane jako proces zmian w czasie pewnej wielkości fizycznej lub stanu obiektu fizycznego.

za modele matematyczne sygnałów przyjmujemy funkcje, których argumentem jest czas t gdyż opisują one ewolucje sygnałów w czasie. W najprostszym przypadku są to funkcje tylko jednej zmiennej t.

W przypadkach bardziej złożonych, np. w teorii linii długich lub zagadnieniach przetwarzania obrazów, mogą to być funkcje wielu zmiennych: czasu i współrzędnych przestrzennych.

Materia

ły po

mocnic

ze

4

Klasyfikacja (podział sygnałów)

- ze względu na model matematyczny:- rzeczywiste.- zespolone,- dystrybucyjne

-ze względu na możliwość przewidywania wartości sygnału w danej chwili:-deterministyczne,-losowe,

- ze względu na dziedzinę określoności:- ciągłe,- dyskretne,

Materia

ły po

mocnic

ze

5

sygnały ciągłe:

•Sygnały określone w zbiorze ciągłym osi czasu są nazywane sygnałami ciągłymi w czasie lub krótko sygnałami ciągłymi . •Najczęściej dziedziną takich sygnałów jest cała os (−∞,∞) , dodatnia półoś [0,∞) lub odcinek [t1, t2] osi czasu.

sygnały dyskretne:

•Sygnały określone w dyskretnym (przeliczalnym lub skończonym) zbiorze punktów osi czasu (. . . , t−1, t0, t1, t2, . . . ) i nieokreślone w pozostałych punktach są nazywane sygnałami dyskretnymi w czasie lub krótko sygnałami dyskretnymi.

•Najczęściej dziedziną tych sygnałów jest zbiór chwil tn = nTs, n ∈ ∁, odległychod siebie o stały odstęp Ts nazywany przedziałem dyskretyzacjiMate

riały

pomoc

nicze

6

- ze względu na przybieranie wartości różnych od zera:- w przedziale nieskończonym – sygnały o nieskończonym czasie trwania,- w przedziale skończonym – sygnały o skończonym i czasie trwania.

- ze względu na dziedzinę i przeciwdziedzinę (zbiór wartości)– ciągłe w czasie i ciągłe w amplitudzie (nazywane także analogowymi),– ciągłe w czasie i dyskretne w amplitudzie,– dyskretne w czasie i ciągłe w amplitudzie,– dyskretne w czasie i dyskretne w amplitudzie

szczególny rodzaj – sygnały binarne (przybierają tylko wartości 0 i 1)Materia

ły po

mocnic

ze

7

Sygnał i informacja

Czy każdy sygnał niesie ze sobą informacje?

Jeśli sygnał jest deterministyczny, znamy dokładnie jego przebieg w przeszłości, wartość w chwili bieżącej i zachowanie sie w przyszłości. Nasza wiedza o nim jest pełna. Nie może on nam zatem dostarczyć informacji, np. funkcja sin(t).

Informacje przekazują tylko takie sygnały, które dla odbiorcy są losowe

Sygnałami losowymi są: sygnały transmitowane w systemach komunikacyjnych powszechnego użytku: telefonicznych, radiowych, telewizyjnych.Mate

riały

pomoc

nicze

8

Sygnały analogowe - podstawy

notacja – x(t), y(t), z(t) itd...

parametry –- wartość średnia,- wartość skuteczna

- energia,- moc,Materia

ły po

mocnic

ze

Wartość średniaWartość średnia analogowego impulsowego sygnałudeterministycznego x(t) określonego w przedziale [t1, t2] jest całka ztego sygnału w przedziale[t1, t2] odniesiona do szerokości tego przedziału:

W przypadku sygnałów o nieskończonym czasie trwania wartość średnia jestokreślona jako wielkość graniczna:

Materia

ły po

mocnic

ze

Wartość średnia

W szczególnym przypadku, gdy sygnał o nieskończonym czasie trwania jest sygnałem okresowym o okresie To, uśrednianie w czasie nieskończonym jest równoważne uśrednianiu za okres:

przy czym chwila to jest dowolna.

Materia

ły po

mocnic

ze

Energia i Moc sygnałuEnergią analogowego sygnału deterministycznego x(t) nazywamy wielkość:

Mocą (średnia) analogowego sygnału deterministycznego x(t) nazywamy wielkość graniczną:

Materia

ły po

mocnic

ze

W przypadku sygnałów okresowych wzór przybiera postać:

gdzie To jest okresem, a to – dowolna chwila.

• zdefiniowane wielkości energii i mocy sygnału nie maja sensu nadawanego im w fizyce i należy je rozumieć w znaczeniu uogólnionym,

• przy przyjętym założeniu bezwymiarowości sygnałów wymiarem energii sygnału jest sekunda, a moc jest bezwymiarowa,

• gdyby jednak sygnał był sygnałem napięcia lub prądu, to wydzieliłby na oporze jednostkowym 1Ω energie (lub moc) równa liczbowo wielkości wyznaczonej na podstawie podanych zależności.

UWAGA:

Materia

ły po

mocnic

ze

Wartość skuteczna

Wartością skuteczną sygnału jest nazywany pierwiastek z jego mocy:

czyli:

Materia

ły po

mocnic

ze

1) Sygnał x(t) jest nazywany sygnałem o ograniczonej energii , jeśli:

2) Sygnał x(t) jest nazywany sygnałem o ograniczonej mocy , jeśli:

• Energia i moc charakteryzują właściwości energetyczne sygnału. • Na ich podstawie sygnały deterministyczne są dzielone na dwie

podstawowe rozłączne klasy.

• moc sygnałów o ograniczonej energii jest równa zeru. • energia sygnałów o ograniczonej mocy jest nieskończona. • klasa sygnałów o ograniczonej energii obejmuje oczywiście wszystkie sygnały impulsowe

ograniczone w amplitudzie, ale nie tylko. Do klasy tej należą także sygnały o nieskończonym czasie trwania, których wartości maleją dostatecznie szybko w funkcji czasu.

• sygnały o ograniczonej mocy i ograniczone w amplitudzie są sygnałami o nieskończonym czasie trwania. Szczególna podklasa tych ostatnich są sygnały okresowe.Mate

riały

pomoc

nicze

15

Sygnał harmoniczny

parametry sygnału harmonicznego:- amplituda – X0,- pulsacja - 0,- faza początkowa – φ0

gdzie: fo – częstotliwość,To - okres Mate

riały

pomoc

nicze

Każdy okresowy sygnał ciągły f(t) spełniający warunki Dirichleta można zapisać w postaci nieskończonej sumy składowych sinusoidalnych:

16Materia

ły po

mocnic

ze

gdzie: a0 – jest wartością średnią sygnałuak i bk są trygonometrycznymi współczynnikami Fouriera

17Materia

ły po

mocnic

ze

Korzystając z właściwości iż każdą liczbę zespoloną można zapisać w postaci wykładniczej i trygonometrycznej funkcję f(t) można przedstawić w postaci nieskończonego zespolonego szeregu wykładniczego:

gdzie ck są zespolonymi współczynnikami Fouriera:

18Materia

ły po

mocnic

ze

uwzględniając zależności Eulera:

trygonometryczne współczynniki Fouriera można wyznaczyć ze współczynnika zespolonego:

19Materia

ły po

mocnic

ze

Widmo amplitudowe sygnału f(t):

Widmo fazowe sygnału f(t):

20Materia

ły po

mocnic

ze

21

przykład: znaleźć trygonometryczne współczynniki Fouriera sygnału prostokątnego:

Materia

ły po

mocnic

ze

W miarę wzrostu N sygnał prostokątny będzie dokładniej aproksymowany

22

N=1 N=5 N=11

N=30 N=150Materia

ły po

mocnic

ze

23

widmo amplitudowe widmo fazowe

Materia

ły po

mocnic

ze

Dyskretne widmo Fouriera istnieje dla sygnałów okresowych. Natomiast wpraktycznych zastosowaniach istnieje konieczność analizy sygnałównieokresowych. Jeśli sygnał nieokresowy potraktuje się jako sygnał periodyczny ookresie dążącym do nieskończoności, to dyskretne widmo Fouriera takiegosygnału przechodzi w granicy w widmo ciągłe.

ωωπω

ωπ

ω →→→=∞→ 00 212 ndT

dT

T

{ }

{ })()()(

)()()(

ωωωπ

ω

ω

ω

jXFdejXtx

txFdtetxjX

tj

tj

1

21 −

∞

∞−

∞

∞−

−

∫

∫

==

==

Para transformat Fouriera

transformata prosta

zespolone widmo sygnału

transformata odwrotna

24Materia

ły po

mocnic

ze

[ ] [ ]22 ωωω jjjX Im()Re()( +=

=

)Re()Im(tg

ωω

ϕjjarc

widmo amplitudowesygnału

widmo fazowesygnału

25

Transformata Fouriera przekształca sygnał z dziedziny czasu na dziedzinę częstotliwości (widmo) nco często upraszcza analizę sygnału.

- widmo sygnału ciągłego jest widmem ciągłym

Materia

ły po

mocnic

ze

26

)()()()( ωω bYaXtbytax +↔+

↔

aX

aatx ω1)(

liniowość

zmiana skali (podobieństwo)

Jeśli a>1, to skala czasu jest rozszerzana, sygnał jest „rozciągnięty” w czasie.Rozszerzenie skali czasu powoduje zawężenie skali częstotliwości i jednocześniezwiększa się a-krotnie gęstość widmowa. Fizycznie oznacza to, że zmniejsza sięszybkość zmian sygnału, a widmo skupia się wokół małych częstotliwości, jegogęstość w tym zakresie wzrasta.Dla 0<a<1 sygnał jest „ściśnięty” w czasie, a efekty w dziedzinie częstotliwościsą przeciwne.

Materia

ły po

mocnic

ze

27

00

tjeXttx ωω −↔− )()(

przesunięcie w dziedzinie czasu

Widmo amplitudowe sygnału przesuniętego nie ulega zmianie wstosunku do widma amplitudowego sygnału nieprzesuniętego. Natomiastwidmo fazowe powiększa się o składnik (-ω0t). Jest to całkowicie zgodnez sensem fizycznym przesunięcia sygnału na osi czasu. Strukturaczęstotliwościowa amplitud poszczególnych harmonicznych sygnału niezmienia się. Zmieniają się natomiast fazy poszczególnych harmonicznychwzględem układu odniesienia.

Przesunięcie sygnału na osi czasu o t0 odpowiada pomnożeniu widma przez czynnik zespolony.

Materia

ły po

mocnic

ze

28

)()( 00 ωωω −↔ Xetx tj

)()( 00 ωωω −↔ Xetx tj

)()( 00 ωωω +↔− Xetx tj

Przesunięcie widma sygnału w lewo o wartość ω0>0 odpowiada pomnożeniusygnału przez sygnał zespolony , a więc

tje 0ω−

przesunięcie w dziedzinie częstotliwości (modulacja)

Jeśli widmo sygnału przesuwa się w prawo o wartość ω0>0, to sygnał należypomnożyć przez sygnał wykładniczy zespolony , czylitje 0ω

Materia

ły po

mocnic

ze

29

Dodając stronami powyższe pary transformat otrzymuje się

[ ])()(cos)( 000 21

ωωωωω ++−↔ XXttx

Z powyższej zależności wynika, że pomnożenie sygnału harmonicznegoprzez sygnał x(t) powoduje rozszczepienie widma na dwie częściprzemieszczone w prawo i w lewo o wartość ω0. Operacja ta nazywanajest modulacją i wykorzystywana jest w telekomunikacji do przesyłaniasygnałów na dalsze odległości. Sygnałem modulowanym jest sygnałharmoniczny (informacja zawarta jest w jego częstotliwości), a sygnałemmodulującym sygnał x(t).

Materia

ły po

mocnic

ze

30

impuls prostokątny

τΠ

t

x(t)

t-τ/2 τ/20

A

τπ2

τπ4

τπ2

−τπ4

−

τA

====

−===

−

−

−

−

−∫ 22

22

2

22

2222

2

2

2

2

ωττ

ωτ

ωτ

τωτ

τω

ττ

ωωωω

ωτωτωτ

τ

ωτ

τ

ω SaAAA

jjAee

jAe

jAdtAeX

jjtjtjsin

sin)sin()(/

/

/

/

Materia

ły po

mocnic

ze

31

x(t)

t-τ/4 τ/40

A

x(t)

t-τ τ0

A

2τA

τA2

τπ4

−τπ4

τπ8

τπ8

−

τπ

τπ4

τπ8

τπ

−τπ4

−τπ8

−

Materia

ły po

mocnic

ze

Materia

ły po

mocnic

ze

Materia

ły po

mocnic

ze

Materia

ły po

mocnic

ze

Materia

ły po

mocnic

ze

Materia

ły po

mocnic

ze

Materia

ły po

mocnic

ze

Materia

ły po

mocnic

ze

Materia

ły po

mocnic

ze

40Materia

ły po

mocnic

ze

41Materia

ły po

mocnic

ze

42Materia

ły po

mocnic

ze

43Materia

ły po

mocnic

ze

Materia

ły po

mocnic

ze

Materia

ły po

mocnic

ze

Materia

ły po

mocnic

ze

Materia

ły po

mocnic

ze

Materia

ły po

mocnic

ze

Materia

ły po

mocnic

ze

RE IM

Materia

ły po

mocnic

ze

Cechy DFT:

Materia

ły po

mocnic

ze

Symetria DFT

Materia

ły po

mocnic

ze

Materia

ły po

mocnic

ze

to:

Materia

ły po

mocnic

ze

Materia

ły po

mocnic

ze

Materia

ły po

mocnic

ze

Materia

ły po

mocnic

ze

Materia

ły po

mocnic

ze

59

DFT daje prawidłowe wyniki tylko wtedy, kiedy ciągdanych wejściowych zawiera energię rozłożonądokładnie przy częstotliwościach, dla którychdokonujemy analizy określonych powyższymrównaniem , będących całkowitymi wielokrotnościamiczęstotliwości podstawowej fp/N.Mate

riały

pomoc

nicze

60

• Obliczanie transformaty bezpośrednio ze wzoru jestnieefektywne ze względu na zbyt dużą złożonośćobliczeniową.

• Wzrost wydajności przy zastosowaniu FFT

• Algorytm FFT zmniejsza ilość operacji matematycznychpotrzebnych do obliczenia wartości transformatyMate

riały

pomoc

nicze

sygnały analogowe – ciągłe w czasie i amplitudzie

sygnały cyfrowe – dyskretne w amplitudzie i czasie –ciąg dyskretnych wartości danej wielkości fizycznej

gdzie tp – okres próbkowania

Materia

ły po

mocnic

ze

x(0) = 0 , (pierwsza wartość ciągu, n=0 )x(1) = 0.58779 , (druga wartość ciągu, n=1 )x(2) = 0.95106 , (trzecia wartość ciągu, n=2 )x(3) = 0.95106 , (czwarta wartość ciągu, n=3 )

x(n) – ciąg x argumentu n,n ts - wartości czasu dyskretnego

poza wartościami nts sygnał dyskretny nie jest określonyMateria

ły po

mocnic

ze

63Materia

ły po

mocnic

ze

System dyskretny – układ przekształcający dyskretny ciąg wejściowy próbek x(n) w ciąg wyjściowy y(n)

System dyskretnyx(0), x(1), x(2), x(3) ... y(0), y(1), y(2), y(3) ...

System dyskretnyx(n) y(n)

Materia

ły po

mocnic

ze

+a(n)

b(n)

c(n) c(n)=a(n)+b(n)

+a(n)

b(n)

c(n) c(n)=a(n)-b(n)+-

dodawanie

odejmowanie

Materia

ły po

mocnic

ze

+

b(n)

b(n+1)

b(n+2)

b(n+3)

sumowanie

gdy n = 0 , k zmienia się od 0 do 3 , a(0) = b(0) + b(1) + b(2) + b(3)gdy n = 1 , k zmienia się od 1 do 4 , a(1) = b(1) + b(2) + b(3) + b(4)gdy n = 2 , k zmienia się od 2 do 5 , a(2) = b(2) + b(3) + b(4) + b(5)gdy n = 3 , k zmienia się od 3 do 6 , a(3) = b(3) + b(4) + b(5) + b(6)

Materia

ły po

mocnic

ze

a(n)

b(n)

c(n) c(n)=a(n)·b(n)mnożenie

c(0)=a(0) ·b(0)c(1)=a(1) ·b(1)c(2)=a(2) ·b(2), itd.....

opóźnienie

opóźnienie

z-1

a(n) b(n)

a(n) b(n)b(n) = a(n-1)

Materia

ły po

mocnic

ze

proces reprezentowania sygnału o czasie ciągłymza pomocą próbek pobieranych w dyskretnych chwilach czasu.

Problem:z jaką szybkością sygnał musi być próbkowany w celu zachowania jego zawartości informacyjnej ?

Materia

ły po

mocnic

ze

dany jest ciąg próbek:

x(0) = 0,x(1) = 0.86603,x(2) = 0.86603,x(3) = 0,x(4) = -0.86603,x(5) = -0.86603,x(6) = 0,

Przykład:

Materia

ły po

mocnic

ze

Pytanie:Jaki sygnał jest reprezentowany przez dany ciąg próbek?

Materia

ły po

mocnic

ze

Pytanie:Jaki sygnał jest reprezentowany przez dany ciąg próbek?

Materia

ły po

mocnic

ze

Niejednoznaczność częstotliwości – dwa różne przebiegi są reprezentowane przez ten sam ciąg dyskretny , nie można jednoznacznie określić częstotliwości jedynie na podstawie wartości próbek ciągu wejściowegoMate

riały

pomoc

nicze

Dany jest sygnał:x(t) = sin(2πf0t)próbkujemy sygnał x(t) z szybkością fs próbek/s tj. w

równomiernych odstępach ts sekund gdzie ts=1/fs

Rozpoczynając próbkowanie w chwili 0ts , 1ts , 2ts itd.. wartości n kolejnych próbek mają wartości:

0 próbka: x(0) = sin(2πf00 ts)1 próbka: x(1) = sin(2πf01 ts)2 próbka: x(2) = sin(2πf02 ts)..... .....nta próbka: x(n) = sin(2πf0n ts)Mate

riały

pomoc

nicze

Wartość n-tej próbki ciągu x(n) jest równa wartości oryginalnego sygnału sinusoidalnego w chwili n·ts

Dwie wartości przebiegu sinusoidalnego są identyczne gdy odległe są o całkowitą wielokrotność 2π radianów tj:sin(α) = sin(α+ 2πm), gdzie m jest dowolną liczb. całk.

Korzystając z tej zależności:

zakładając, że m będzie całkowitą wielokrotnością n tj. m = k·n

Materia

ły po

mocnic

ze

Z uwagi na to że:

i wiedząc że:fs = 1/ts

stąd:

co oznacza, że ciąg x(n) próbek reprezentujących przebiegsinusoidalny o częstotliwości f0 równie dokładnie reprezentujeprzebiegi sinusoidalne o innych częstotliwościachtj.: f0 + kfsMate

riały

pomoc

nicze

Podsumowując:

Podczas próbkowania z szybkością fs próbek/s , jeślik jest dowolną liczbą całkowitą, nie jesteśmy wstanie rozróżnić spróbkowanych wartości przebiegusinuisodalnego o częstotliwości f0 oraz przebiegusinusoidalnego o częstotliwości (fo+kfs).

Materia

ły po

mocnic

ze

Przykład:Spróbkujmy sygnał o częstotliwości 7kHz z szybkością 6000 próbek/s.czyli : f0=7kHz, fs=6kHz, k=-1

f0+kfs = [7+ (-1)·6] = 1kHz

stąd wynikałoby, że ciąg wartości próbek będzie identyczny dla częstotliwości 1kHz

Materia

ły po

mocnic

ze

Wartości próbek nie zmienią się gdyby próbkowany był sygnał o częstotliwości 1kHz z tą sama szybkością:

Odpowiedź na pytanie która częstotliwość odpowiada wartościom próbek zaznaczonych na niebiesko brzmi: NIE WIADOMO !!! – istnieje nieskończenie wiele częstotliwości odpowiadających tym próbkom.Mate

riały

pomoc

nicze

Przykład 2:Spróbkujmy sygnał o częstotliwości 4kHz z szybkością 6000 próbek/s.

f0+kfs = [4+ (-1·6)] = -2kHz

stąd wynikałoby, że ciąg wartości próbek będzie identyczny dla częstotliwości -2kHz

sin(2π·4000t)sin(2π·(-2000)t)

Materia

ły po

mocnic

ze

Jeśli ograniczymy nasze zainteresowanie do pasma w zakresie częstotliwości od –fs/2 do fs/2 okaże się, że w danym paśmie będzie można jednoznacznie odtworzyć sygnał z próbek.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

częstotliwość kHz

-fs/2 fs/2 fs

interesującenas pasmo częstotliwości

Materia

ły po

mocnic

ze

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

częstotliwość kHz-fs/2 0 fs/2 fs 2fs 3fs

interesującenas pasmo częstotliwości powielenie powielenie powielenie

- wartości szczytowe położone są przy wielkrotności częstotliwości próbkowania,

- próbkowanie sygnału sin. o częst. 7kHz z częst. 6kHz dostarczy dyskretnego ciągu liczb, które dokładnie w taki sam sposób opiszą sygnał o częst. 13kHz , 19kHz itd...

- podobnie z sygnałem sin o częst. 4 kHz....

Materia

ły po

mocnic

ze

Idealny sygnał dolnopasmowy:

Materia

ły po

mocnic

ze

Dany jest sygnał dolnopasmowy ( o ograniczonym paśmie) o widmie:

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-6 -3 0 3 6

-Widmo jest symetryczne względem osi częstotliwości, - w sygnale nie ma częstotliwości | |> 0

Materia

ły po

mocnic

ze

Próbkowanie tego sygnału spowoduje powielenie widma względem częstotliwości próbkowania fs.

Jeżeli fs > 2 0 widmo sygnału spróbkowanego:

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-21 -18 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18 21- 0 - 0Materia

ły po

mocnic

ze

Kryterium Nyquista – aby odseparować od siebie powielone widma przy częstotliwościach ±fs/2 częstotliwość próbkowania spełniać związek:

fs 2 0

Twierdzenie Kotielnikowa – ShannonaSygnał ciągły może być wiernie odtworzony z ciągu swoich próbek tworzących sygnał dyskretny, jeśli próbki te zostały pobrane z częstotliwością co najmniej dwukrotnie większą od granicznej częstotliwości swego widma (warunek Nyquista).

Materia

ły po

mocnic

ze

aliasing aliasing aliasing aliasing

częstotliwość-2fs -fs -fs/2 fs/2 fs

- 0 0/2 0 /2 0

Części powieleń widma łączą się z widmem oryginalnym – rezultatem jest tzw. błąd aliasingu.

Dyskretne widmo spróbkowane nie reprezentuje oryginalnego sygnału.Widmo w pasmach: - 0 do - 0/2 i 0 do 0 /2 zostało zniekształcone pojawił się aliasing – przeciek widma z jednego powielenia do drugiego.

Materia

ły po

mocnic

ze

Wszystkie składowe oryginalnego sygnału spróbkowanego będą znajdować się w paśmie zainteresowania tj. – fs/2 do fs/2.

Efektem tego jest to, że każda składowa powyżej 0 i poniżej - 0 zawsze znajdzie się w interesującym nas paśmie –niezależnie od szybkości próbkowania.

Z tego powodu zawsze przed przewarzaniem AC stosowane są filtry dolnoprzepustowe – ograniczające pasmo do interesującej szerokości

Materia

ły po

mocnic

ze

Rzeczywiste sygnały w swoim widmie oprócz istotnych informacji zawartych w swoim paśmie zawierają szum – który jest nieistotny a w wyniku operacji próbkowania może zniekształcić widmo sygnału spróbkowanego.

częstotl.

szum szuminteresujące pasmo

-fs -fs/2 fs/2 fs Mate

riały

pomoc

nicze

-fs - fs/2 fs/2 fs

- Próbkowanie sygnału dolnopasmowego (wraz z towarzyszącym mu szumem) z częstotliwością próbkowania fs > 2 0 zapobiega nakładaniu się widma interesującego sygnału,

-nie chroni to jednak przed pojawieniem się energii szumu w paśmie pomiędzy –fs/2 a fs/2.

Materia

ły po

mocnic

ze

Analogowy filtrdolnoprzepustowyczęst. graniczna 0

PrzetwornikA/C

oryginalnysygnał ciągły

przefiltrowany sygnał ciągły próbki dyskretne

- 0 0

szum szum

Materia

ły po

mocnic

ze

Próbkowanie tego sygnału spowoduje powielenie widma względem częstotliwości próbkowania fs.

Jeżeli fs > 2ω0 widmo sygnału spróbkowanego:

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-21 -18 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18 21-ω0 ω 0

Materia

ły po

mocnic

ze

Filtrowanie antyaliasingowe

Widmo rzeczywistych sygnałów jest ze względu na zniekształcenia i szumy bardzo szerokie.

Filtrowanie antyalisingowe, dolnoprzepustowym filtrem analogowym stosowane jest w celu ograniczenia szerokości widma rzeczywistego sygnału.

Zastosowanie tego typu filtracji ma na celu zapobieżenie zjawisku nakładania się widm powstających w wyniku ich powielania podczas wykonywania próbkowania sygnału.

Materia

ły po

mocnic

ze

powielenie widma z szumem

Materia

ły po

mocnic

ze

-fs - fs/2 fs/2 fs

- Próbkowanie sygnału dolnopasmowego (wraz z towarzyszącym mu szumem) z częstotliwością próbkowania fs > 2 ω0 zapobiega nakładaniu się widma interesującego sygnału,

-nie chroni to jednak przed pojawieniem się energii szumu w paśmie pomiędzy –fs/2 a fs/2.

Materia

ły po

mocnic

ze

Filtracja dolnoprzepustowa

Materia

ły po

mocnic

ze

Próbkowanie sygnałów pasmowych

W praktyce często próbkowane są analogowe sygnały pasmowe czyli takie, których ograniczone pasmo jest skupione wokół pewnej częstotliwości różnej od zera.

Do tego typu sygnałów można z powodzeniem stosować próbkowanie dolnopasmowe, jednak zastosowanie specjalnej techniki zwanej próbkowaniem pasmowym pozwala znacznie zmniejszyć koszty realizacji sprzętowej, polegającej na zmniejszeniu szybkości przetwornika A/C oraz zmniejszeniu pamięci wymaganej do pamiętania wartości próbek.

Materia

ły po

mocnic

ze

Jako przykład próbkujmy przebieg pasmowy o szerokości pasma B=5kHz, skupiony wokół częstotliwości fc=20kHz.

Zgodnie z kryterium Nyquista, ponieważ najwyższa składowa częstotliwościowa w sygnale ma wartość 22,5kHz należy próbkować sygnał z częstotliwością nie mniejszą niż 45kHz.

Unikamy aliasingu. Okazuje się że próbkowanie z częstotliwością 45kHz nie jest konieczne.

Próbkowanie tego sygnału z częstotliwością znacznie mniejszą, równą 17,5 kHz.

Można zauważyć, że mimo mniejszej częstotliwości próbkowania powielenia widma nie zniekształcają widma oryginalnego skupionego wokół częstotliwości fc.

Materia

ły po

mocnic

ze

Dany jest ciągły sygnał pasmowy o szerokości pasma B, o częstotliwości nośnej fc. Próbkujemy ten sygnał z dowolną częstotliwością fc. Maksymalna częstotliwość próbkowania :

Przy arbitralnej liczbie powieleń widma m w przedziale 2fc-B sygnał można próbkować z maksymalną częstotliwością fp1 taką że:

Materia

ły po

mocnic

ze

Widmo sygnału dyskretnego, w przedziale 2fc-B sygnał można próbkować z maksymalną częstotliwością fp1:

Minimalna częstotliwość próbkowania:

Jeżeli szybkość próbkowania zmniejsza się to powielenia przesuwają się i osiągamy dolną granicę częstotliwości próbkowania fp2.

Przy arbitralnej liczbie powieleń widma m w przedziale 2fc+B sygnał można próbkować z minimalną częstotliwością fp2 taką że:

Materia

ły po

mocnic

ze

Widmo sygnału dyskretnego, w przedziale 2fc+B, sygnał można próbkować z minimalną częstotliwością fp2:

Materia

ły po

mocnic

ze

W ten sposób otrzymujemy zależność definiującą zakres częstotliwości próbkowania pasmowego zależną od szerokości pasma sygnału, częstotliwości nośnej i liczby powieleń:

przy czym m jest dowolną liczbą naturalną zapewniającą spełnianie kryterium Nyquista w odniesieniu do szerokości pasma sygnału

Materia

ły po

mocnic

ze

Przykład:

Przebieg pasmowy o szerokości pasma B=5kHz i częstotliwości nośnej fc=20kHz.

Za optymalną częstotliwość próbkowania przyjmuje się taką przy której powielenia widma stykają się ze sobą w punkcie f = 0Hz. Przy tak przyjętej częstotliwości próbkowania błędy związane dalszym przetwarzaniem cyfrowym (np. filtrowaniem) sygnału są minimalne Mate

riały

pomoc

nicze

Zdefiniujemy nowy parametr R jako stosunek częstotliwości najwyższej w paśmie sygnału do szerokości pasma

Wykreślimy zależność minimalnej częstotliwości próbkowania od parametru R dla różnych wartości m

Materia

ły po

mocnic

ze

Wynika z tego, że niezależnie od R minimalna częstotliwość próbkowania nie przekracza 4B i zmniejsza się dążąc do 2B przy zwiększaniu częstotliwości nośnej (wzrost R).

Materia

ły po

mocnic

ze

Wprowadzając na wykresie warunek ograniczający częstotliwość z góry (maksymalną) otrzymamy obszary częstotliwości zakazanych i dozwolonych związanych z odpowiednią wartością parametru m.

Materia

ły po

mocnic

ze

Wprawdzie z rysunku wynika, że możemy stosować częstotliwości próbkowania, które leżą na granicy strefy zakazanej i dozwolonej, jednak w praktycznych zastosowaniach należy wybierać częstotliwości nieco oddalone od tych granic.

Takie postępowanie pozwala uniknąć np. problemów związanych z niedokładnością filtrów pasmowych, niestabilnością zegara układu próbkującego itp.

Materia

ły po

mocnic

ze

Materia

ły po

mocnic

ze

Materia

ły po

mocnic

ze

Materia

ły po

mocnic

ze

Uwzględnienie niedokładności próbkowania Δfp oraz marginesu zmian widma sygnału ΔB

Materia

ły po

mocnic

ze

Przekształcenie Laplace’a:

Funkcja F(s) jest transformatą Laplace’a funkcji f(t)

zmienna s jest liczbą zespoloną: s= σ +jω

Czynnik e -st jest zespoloną wirującą tłumioną sinusoidą:

Przekształcenie Z

Materia

ły po

mocnic

ze

Funkcja transmitancji:

iloraz transformaty Laplace’s wielkości wejściowej X(s) przez transformatę Laplace’a wartości wyjściowej Y(s)

X(s) H(s) Y(s)

Czyli w dziedzinie operatorowej:

Y(s) = X(s)∙H(s)

Przekształcenie Z

Materia

ły po

mocnic

ze

Odpowiedź impulsowa układu:

Odpowiedź układu liniowego na wymuszenie w postaci bardzo wąskiego i bardzo wysokiego impulsu o powierzchni jednostkowej, który można uznać, w przypadku układów ciągłych, za przybliżenie delty Diraca - przy zerowych warunkach początkowych (w przypadku układów dyskretnych impulsem tym jest impuls Kroneckera).

Odpowiedź impulsowa układu jest odwrotną transformatą Laplace’a funkcji transmitancji H(s)

Przekształcenie Z

Materia

ły po

mocnic

ze

Związek pomiędzy transmitancją a odpowiedzią impulsową układu

gdzie:

h(t)*y(t) jest splotem odpowiedzi impulsowej układu i pobudzenia

Przekształcenie Z

Materia

ły po

mocnic

ze

Przekształcenie Z

Materia

ły po

mocnic

ze

Przekształcenie Z

Materia

ły po

mocnic

ze

Przekształcenie Z

Materia

ły po

mocnic

ze

Przekształcenie Z

Materia

ły po

mocnic

ze

Przekształcenie Z

Materia

ły po

mocnic

ze

Przekształcenie Z

Materia

ły po

mocnic

ze

Przekształcenie Z

Materia

ły po

mocnic

ze

Przekształcenie Z

Materia

ły po

mocnic

ze

Przekształcenie Z

Materia

ły po

mocnic

ze

Przekształcenie Z

Materia

ły po

mocnic

ze

Przekształcenie Z

Materia

ły po

mocnic

ze

Przekształcenie Z

Materia

ły po

mocnic

ze

Przekształcenie Z

Materia

ły po

mocnic

ze

Przekształcenie Z

Materia

ły po

mocnic

ze

Przekształcenie Z

Materia

ły po

mocnic

ze

Przekształcenie Z

Materia

ły po

mocnic

ze

Filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej - (Finite Impulse Response filter –FIR )

Nazwa FIR oznacza filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej (polski skrót tej nazwy to filtr SOI). Oznacza to tyle, że reakcja na wyjściu tego układu na pobudzenie o skończonej długości jest również skończona (przez długość pobudzenia i odpowiedzi rozumiemy tu długość odcinka czasu, dla którego próbki sygnału przyjmują wartości niezerowe). Aby warunek ten był spełniony, w filtrach tego typu nie występuje pętla sprzężenia zwrotnego.

Filtry cyfrowe FIR i IIR

Materia

ły po

mocnic

ze

Filtry cyfrowe FIR i IIR

Materia

ły po

mocnic

ze

Filtry cyfrowe FIR i IIR

Materia

ły po

mocnic

ze

Filtry cyfrowe FIR i IIR

Materia

ły po

mocnic

ze

Filtry cyfrowe FIR i IIR

Materia

ły po

mocnic

ze

Filtry cyfrowe FIR i IIR

Materia

ły po

mocnic

ze

Filtry cyfrowe FIR i IIR

Materia

ły po

mocnic

ze

Filtr IIR

jest jednym z rodzajów filtrów cyfrowych, który w odróżnieniu od filtrów FIR jest układem rekursywnym. Skrót IIR (ang. Infinite Impulse Response) oznacza nieskończoną odpowiedź impulsową (w polskiej literaturze stosowany jest również skrót NOI). Znaczy to tyle, że reakcja na pobudzenie o skończonym czasie trwania jest teoretycznie nieskończenie długa. Jest to efektem występowania pętli sprzężenia zwrotnego

Filtry cyfrowe FIR i IIR

Materia

ły po

mocnic

ze