PRZETWARZANIE CZASOWO-PRZESTRZENNE SYGNAŁÓW
description
Transcript of PRZETWARZANIE CZASOWO-PRZESTRZENNE SYGNAŁÓW
R. Salamon, PCPS-2014 1
PRZETWARZANIE CZASOWO-PRZESTRZENNESYGNAŁÓW
WYKŁAD : 15 GODZIN, 2 GODZINY W TYGODNIU, DO POŁOWY SEMESTRUPROJEKT: 15 GODZIN, 2 GODZINY W TYGODNIU, OD POŁOWY SEMESTRUWARUNKI ZALICZENIA PRZEDMIOTU:
ZALICZENIA PROJEKTU ZALICZA CAŁY PRZEDMIOT
PROWADZĄCY WYKŁAD I PROJEKT: ROMAN SALAMON, pokój 747/748, tel. 58-327-17-17
e-mail: [email protected] konsultacje: codziennie od 11- 14
R. Salamon, PCPS-2014 2
PROBLEMATYKA PRZEDMIOTU
CEL PRZEDMIOTU: Poznanie metod cyfrowego, przetwarzania czasowo-przestrzennego sygnałów (PCPS), stosowanych w systemach echolokacyjnych oraz opanowanie umiejętności ich implementacjipoprzez symulację komputerową systemów.
PROGRAM1. Przeznaczenie metod cyfrowego przetwarzania czasowo-
przestrzennego sygnałów i ich rola w systemach echolokacyjnych.2. Metody PCPS stosowane w aktywnych systemach echolokacyjnych.3. Metody PCPS stosowane w pasywnych systemach echolokacyjnych.4. Wysokorozdzielcze metody estymacji widma przestrzennego.5. Metody skaningu i ogniskowania wiązki6. Systemy z syntetyczną aperturą.
R. Salamon, PCPS-2014 3
PRZEZNACZENIE METOD CYFROWEGO PRZETWARZANIA CZASOWO-
PRZESTRZENNEGO SYGNAŁÓW I ICH ROLA W SYSTEMACH ECHOLOKACYJNYCH
Głównym zadaniem systemów echolokacyjnych jest wykrycie (detekcja) w obserwowanej przestrzeni interesujących obiektóworaz określenie ich położenia (lokalizacja).Detekcja polega na przetwarzaniu w czasie odebranych sygnałów w celu wyróżnienia użytecznego sygnału echa spośród odbieranychzakłóceń.Lokalizacja polega na oszacowaniu odległości obiektu poprzez pomiar czasu, który upłynął od momentu emisji sygnału sondującego do momentu odbioru użytecznego sygnału echa określenia namiaru poprzez przestrzenną filtrację sygnałów echa.
R. Salamon, PCPS-2014 4
Filtracja przestrzenna polega na zwiększeniu amplitudy sygnałówodbieranych z określonego kierunku w stosunku do amplitudysygnałów odbieranych z pozostałych kierunków.Znając położenie wiązki w przestrzeni, z którego odbieramy największy sygnał, określamy namiar na wykryty obiekt.
00 360o
Filtracja w płaszczyźnie
Filtracja w przestrzeni
wiązka
wiązka
R. Salamon, PCPS-2014 5
W rzeczywistych, konwencjonalnych systemach echolokacyjnych rolę filtrów przestrzennych pełnią charakterystyki kierunkowe anten odbiorczych.
SYSTEMY ECHOLOKACYJNE 5
-3dB
-3dB
R. Salamon, PCPS-2014 6
Filtry przestrzenne, poza wyznaczaniem namiaru, poprawiająstosunek sygnału do szumu środowiska.
Filtry przestrzenne (charakterystyki kierunkowe) są stosowanerównież w nadajnikach, w których służą do koncentracji mocy emitowanych sygnałów w określonym kierunku. Powoduje to również zwiększenie amplitudy sygnałów odbieranych z tegokierunku – tak jak w odbiorczych filtrach przestrzennych.
W prostych systemach jednowiązkowych stosowana jest jedno-cześnie filtracja nadawcza i odbiorcza (ta sama antena służy doemisji sygnałów sondujących i odbioru sygnałów echa.
Położenie celu poszukiwanego obiektu (celu) jest nieznane, więc pojawia się problem przeszukiwania przestrzeni.
R. Salamon, PCPS-2014 7
Metody przeszukiwania przestrzeni:• mechaniczny obrót anteny (wraz ze zmianą położenia anteny zmienia się położenie przestrzenne wiązki),• skaning elektroniczny ( zmienia się położenie wiązki względem nieruchomej anteny),• wielowiązkowa filtracja przestrzenna ( nieruchoma antena odbiorcza ma wiele odchylonych wiązek, pokrywających przestrzenny sektor obserwacji.
1
2
3
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
R. Salamon, PCPS-2014 8
Wielowiązkowa filtracja przestrzenna (nazywana w skróciebeamformingiem ) realizowana jest w odbiornikach systemówecholokacyjnych w zespołach zwanych wielowiązkowymi filtrami przestrzennymi lub beamformerami.
Zasadniczą rolą wielowiązkowej filtracji przestrzennej jest skróceniaczasu przeszukiwania przestrzeni. W stosunku do systemów z jedną wiązką czas ten skraca się tyle razy ile beamformerwytwarza jednocześnie wiązek.
Dzięki wielowiązkowej filtracji przestrzennej unika się (w pełni lubczęściowo) mechanicznego obrotu anteny, który - zwłaszcza przydużych antenach jest trudny technicznie i kosztowny.
R. Salamon, PCPS-2014 9
ZASADA PRACY BEAMFORMERÓWOPÓŹNIENIENIOWO-SUMACYCJNYCH
-N
sn(t,)
nd sin
front fali
d n
-1 0 N
})](t[f2sin{S),t(s gn00n
sin)(c
ndgn
Sygnał na wyjściu n-tego hydrofonu
Opóźnienie geometryczne
W celu wytworzenia jednej wiązki odchylonej o kąt θk, sygnały w każdym kanaleopóźnia się sygnał tak, aby opóźnienie we wszystkich kanałach było jednakowe, gdy fala przychodzi z kierunku θk. Wszystkie opóźnione sygnały sumuje się i otrzymuje sygnał w danej odchylonej wiązce.
N
Nnkgnn tfSts )]}()([2sin{),,( 00
Opóźnienie i sumowanie
kk cnd sin)( Opóźnienie w beamformerze
R. Salamon, PCPS-2014 10
N
Nsk00k })]sin(sin
cndt[f2sin{S),,t(s
Sygnał na wyjściu k-tego sumatora
)]sin)(sin/d(sin[M)]sin)(sin/d(Msin[
)tf2sin(MS),,t(sk0
k0s00k
)]sin)(sin/d(sin[M)]sin)(sin/d(Msin[
),(bk0
k0k
Charakterystyka kierunkowa k-tej wiązki
k=300k
0dB3 cos
1Md
4.50
Szerokość wiązki
Wiązka odchyla się o zadany kąti ulega poszerzeniu.Wniosek: Nie należy odchylać wiązek o zbyt duży kąt.
10Roman Salamon SYSTEMY ECHOLOKACYJNE -2014
𝑀=2𝑁+1
R. Salamon, PCPS-2014 11
1
-N
-1 0
N
zespół linii opóźniających
k=-K
k=K
k=0
s(t,,K)
s(t,,-K)
s(t,,0)
Schemat funkcjonalny beamforemera , który wytwarza 2K+1 wiązek
R. Salamon, PCPS-2014 12
Charakterystyki kierunkowe beamformera z anteną liniowązbudowaną z punktowych hydrofonów.
Poziom listków bocznych 0.21 -13 dB
Wiązki odchyla się zwykle o wielokrotność kąta równego szerokości wiązki.
R. Salamon, PCPS-2014 13
Anteny płaskie systemów wielowiązkowych
y
L
x
d l
1 n N
h
W systemach wielowiązkowych konieczne jest stosowanie antenwieloelementowych. Stosowane są także wieloelementowe antenycylindryczne i sferyczne. Beamformery z antenami cylindrycznymibędą omówione oddzielnie.
R. Salamon, PCPS-2014 14
Wpływ skończonych wymiarów elementów anteny na charakterystyki kierunkowe beamformera
(M=11, d/=0.6, l/=0.55, kąt odchylenia 90).
2Nd
nd
l d l
N n 2 1 0 -1 -2 -n -N
Obowiązuje zasadawymnażania charakterystykkierunkowych:Charakterystyka kierunkowa antenyzbudowanej z jednakowych elementówjest iloczynem charakterystykikierunkowej anteny punktowej i charakterystyki kierunkowej pojedynczego elementu.
R. Salamon, PCPS-2014 15
M=7 d/=2 l/=1.8
Skutki wymnażania charakterystyk kierunkowych bez odchylenia wiązki
Nastąpiła redukcja poziomu listków dyfrakcyjnych i charakterystyka zbliżyłasię do charakterystyki anteny ciągłej. Taki efekt nie występuje przy odchylaniuwiązek w beamformerze.
R. Salamon, PCPS-2014 16
Wpływ ważenia amplitudowego na charakterystyki kierunkowe beamformera
Ważenie amplitudowe dla układu symetrycznego
N
Nknk
ndWs )]sin(sin2cos[),(0
Ważenie amplitudowenie redukuje poziomu listków dyfrakcyjnych
Wn - funkcja ważenia amplitudowegodla nieparzystej liczby elementów
[1+p+(1-p)cos(πn/N)]
R. Salamon, PCPS-2014
CYFROWY BEAMFORMEROPÓŹNIENIENIOWO-SUMACYCJNY
17
)](t[sS),t(s gn0n
Sygnał na wyjściu n-tego elementu anteny
)]/),(([),,( 0 tnitsSnis g
tn
ni g
),(),(
)],([),,( 0 niisSnis
Beamformery dokonują bezpośredniego opóźniania dowolnych sygnałów,wąsko i szerokopasmowych.
Próbkowanie
- sygnał dyskretny
sin),(c
ndng
t=
θ- kierunek padania fali
- opóźnienie w liczbie próbek
sin),(tc
ndni
R. Salamon, PCPS-2014 18
Potrzebne opóźnienie nie jest liczbą całkowitą - konieczne jest zwiększenie częstotliwości próbkowania
btcd
)sin()/(1 1
fg = 1/Tg - górna częstotliwość widma sygnału2
Tf21t g
g
)]sin([),( nroundni
Próbkowanie zgodnie z twierdzeniem Nyquista
sin2sin2),(gg
ndcT
ndni
W celu uniknięcia listków dyfrakcyjnych d/λg = 1/2
Zaokrąglenie do liczby całkowitej wg MATLAB
Beamformer wytwarza K wiązek odchylonych o kθ1 . Najmniejszemu odchyleniu wiązki powinna odpowiadać odstęp pomiędzy sąsiednimipróbkami, co w liczbach próbek odpowiada jedności.
R. Salamon, PCPS-2014 19
)sin()/( 1cdtb
Stąd mamy:
Iloraz okresu próbkowania wg twierdzenia Nyguista i wg potrzeb beamformera
- okres próbkowania potrzebny dla realizacji opóźnień w beamformerze
)sin(1
)sin(2)sin(2 111
ddfc
tt g
gb
Częstotliwości próbkowania w beamformerze powinna wynosić:
)sin( 1sN
sbFceilF
1
180sNsb FF
R. Salamon, PCPS-2014 20
Przy takiej częstotliwości próbkowania opóźnienie w liczbie próbekw k-tej wiązce i n-tym kanale powinno wynosić:
)sin()sin(),(
1
1
knroundnki
Sygnał odbierany przez każdy element anteny jest próbkowanyz częstotliwością Fsb , a próbki są gromadzone w pamięci. Dla każdej k-tej wiązki beamformer wybiera próbki opóźnioneo i(k,n) i je sumuje. Wartość sumy jest wartością próbki sygnału w k-tej wiązce. Operacja ta jest powtarzana dla kolejnych próbeksygnału.Można również wybierać tylko próbki w odstępach odpowiadającychczęstotliwości Nyquista, co zmniejsza liczbę operacji.
R. Salamon, PCPS-2014 21
Antena
∑
∑
∑
∑
Pamięć
sygnał z k-tej wiązki
n
m
kole
jne
prób
ki
STRUKTURA BEAMFORMERA
R. Salamon, PCPS-2014 22
CYFROWY BEAMFORMERFAZOWY
Beamformery fazowe działają poprawnie tylko przy odbierze sygnałówwąskopasmowych.W beamformerach tych zastąpiono opóźnienie odpowiednim przesunięciem fazy. Przesunięcie fazy odnosi się tylko do sygnału nośnego. Opóźnienia obwiedni nie są kompensowane w beamformerze, czego skutkiem są jej zniekształcenia.Ponieważ beamformer działa na sygnałach wąskopasmowych, wykorzystuje się często w odbiorniku próbkowanie kwadraturowe, które oszczędza pamięć i przyspiesza wykonywanie operacji.Beamformery fazowe mogą działać zarówno przy próbkowaniu bezpośrednim, zgodnym z twierdzeniem Nyquista, jak przy próbkowaniukwadraturowym.
R. Salamon, PCPS-2014 23
-N
sn(t,)
nd sin
front fali
d n
-1 0 N
})]([2sin{)]([),( 0 gngnn tftStsSygnał na wyjściu n-tego hydrofonu
Opóźnienie geometryczne
sin)(c
ndgn
Pomijamy opóźnienie obwiedni i mamy:
])(22sin[)(),( 0 gnn ftftStsPrzesunięcie fazy geometrycznej
)(2)( gnogn f ])(2sin[)(),( 0 gnn tftSts
R. Salamon, PCPS-2014 24
sin2sin2)( ndc
ndfogn
Zadaniem beamformera jest kompensacji opóźnienia sygnałów przychodzą-cych z założonych kierunków k , które są kierunkami odchylonych wiązek.Po kompensacji sygnały są sumowane dla każdego kierunku odchylonychwiązek, analogicznie jak to pokazano wcześniej.
Rozwiązania techniczne różnią się w zależności od metody kompensacji fazy.
Pierwsza z metod (analogowa, bądź cyfrowa) polega na wykorzystaniu znanejzależności trygonometrycznej:
sincoscossin)sin( xxx
Jeżeli chcemy przesunąć fazę x funkcji sinus należy wygenerować funkcjęcosinus (przesunąć fazę sinx o 90 deg), a następnie pomnożyć obie funkcje przezliczby cos i sin. Przesunięcie fazy realizuje się także stosując transformatęHilberta.
R. Salamon, PCPS-2014 2525
cos[n(k)] yn(t,)
xn(t,)
sn(t,)
FDP
FDP
sin(0t)
cos(0t)
DETEKTOR KWADRATUROWY PRZESUWNIK
FAZY
sin[n(k)]
sin[n(k)]
sin(0t)
cos(0t)
xn(t,,k)
yn(t,,k)
sn(t,,k)
Można także zastosować analogową lub cyfrową detekcję kwadraturowąwedług pokazanego niżej schematu.Operacje pokazane na schemacie przesuwają fazę wąskopasmowegosygnału wejściowego o założoną fazę (k).
R. Salamon, PCPS-2014 2626
Wąskopasmowy beamformer cyfrowy z detekcją kwadraturową
)](2sin[),(),( 0 gnnn tftAts Sygnał odebrany w n-tym kanele
Próbkowanie kwadraturowe
)](5.0sin[),(
)](412sin[),(
)](2sin[),(),(
00
0
gnn
gnn
gnnn
iiAf
ifiA
tiftiAiy
)](5.0cos[),(
)](5.05.0sin[),(
)](412
412sin[),(
)]()1(2sin[),)1[(),(
00
00
0
gnn
gnn
gnn
gnnn
iiA
iiAf
ff
ifiA
tiftiAix
R. Salamon, PCPS-2014 27
Próbki sygnału po detekcji kwadraturowej
)](cos[),(),( gnnn mAmx
)](sin[),(),( gnnn mAmy
)]}([exp{),(),(),(),(ˆ gnnnnn jmAmjymxms
Wybieramy próbki o numerach i=(p4)m, gdzie p jest liczbą naturalną,a m=1,2,3,…. są numerami próbek W powyższych wzorach pierwszy argument jest równy 0.5i=2 pm, a zatem mamy:
Tworzymy liczby zespolone:
)](exp[),(),(ˆ gnn jmAnms
Otrzymaliśmy zespolony sygnał dolnopasmowy. Informacja o fazie jestzapisana w argumencie funkcji eksponencjalne.
R. Salamon, PCPS-2014 28
N
n
mnsnkwmkS1
),(),(),(
)](exp[),( knjnkw
Algorytm beamformera
Zmianę fazy otrzymujemy mnożąc sygnał przez zespoloną funkcjęwykładniczą o odpowiednim argumencie.
k – numer odchylonej wiązkin – numer elementu antenym – numer próbki
kkn cdnf sin)1(2)( 0
Wyznaczamy współczynniki
Dla każdej kolejnej próbki m wykonujemy następujące operacje:
R. Salamon, PCPS-2014 29
)...1,(
)...1,(
)...1,2()...1,1(
),(
),(
),2(),1(
),(),()2,()1,(
),(),()2,()1,(
),2(),2()2,2()1,2(),1(),1()2,1()1,1(
)...1,(
)...1,(
)...1,2()...1,1(
),(
),(
),2(),1(
mNs
mns
msms
mNs
mns
msms
NKwnKwKwKw
Nkwnkwkwkw
NwnwwwNwnwww
mKS
mkS
mSmS
mKS
mkS
mSmS
S(k,m)=W(k,n)s(n,m)
Zapis macierzowy wzoru
Działanie beamformera pokazano dla sygnału sinusoidalnego o pewnej obwiedni.Beamformer może być wykorzystany także do innych sygnałów wąskopasmowych,np. do bardzo często stosowanego w echolokacji sygnału z liniową modulacją częstotliwości.
R. Salamon, PCPS-2014 30
SYGNAŁ Z LINIOWĄ MODULACJĄ CZĘSTOTLIWOŚCI LFM
tt
TBBfTtSts
222sin)/()( 00
Sygnał sondujący
Sygnał odebrany przez n-ty element anteny (z pominięciem opóźnieniana drodze nadajnik, - cel – odbiornika) jako nieistotnego dla funkcjonowaniabeamformera.
)()(
2212sin)/()(
0000 nn tt
TfB
fBfTtSts
W wyniku próbkowania z częstotliwością fs =4fo otrzymujemy:
snsnf
ss ffifi
fTfB
fBfTfiSis /)()(
2212sin)/()(
0000
R. Salamon, PCPS-2014 31
Wstawiając b=B/2fo oraz I=Tfs – liczba próbek mamy:
)()(15.0sin)/()( 0 nsnss fifi
IbbTfiSiy
)(1)(5.0cos)/(
)1(1)](5.05.0[sin)/(
)1(1)1(5.0sin)/(
)1()1(15.0sin)/()(
0
0
0
0
nsnss
nsnss
nsnss
nsnss
fiIbbfiTfiS
fiIbbfiTfiS
fiIbbfiTfiS
fifiIbbTfiSix
Wstawiając jak poprzednio i =4pm otrzymujemy:
)()(5.0sin)/()( 0 nsnss fmfm
IbbTfmSmy
)()(5.0sin)/()( 0 nsnss fmfm
IbbTfmSmx
R. Salamon, PCPS-2014 32
CYFROWY BEAMFORMERFAZOWY Z ANTENĄ CYLINDRYCZNĄ
Zastosowanie: bardzo szeroki lub pełny kąt jednoczesnej obserwacji.
Beamformery z anteną płaską mają sektor obserwacji nie większy od 1200
W celu uzyskania pełnego sektora obserwacji konieczny jest mechanicznyobrót anteny, a więc wiązki nie są wytwarzane równocześnie.
Wieloelementowa antenacylindryczna sonaru.
R. Salamon, PCPS-2014 33
Beamformer może wytwarzać wiązki w płaszczyźnie poziomej.Wszystkie elementy anteny znajdujące się w poszczególnych kolumnachanteny są zwarte. Z jednej kolumny mamy wtedy jeden sygnał echa.Charakterystyka kierunkowa anteny w przekroju pionowym jest równa charakterystyce kierunkowej kolumny, czyli zwykle charakterystyce kierunkowej linii o długości równej wysokości kolumny.
R
R
n
n
0
Czoło fali
(n, )=(R/c)[cos-cos(n-)]
Opóźnienie sygnału względemelementu 0.
R. Salamon, PCPS-2014 34
)],(2exp[)2(exp[)(]),(22[exp{)(),,(
0
0
nfjtfjtAnftfjtAnts
Sygnał odbierany przez n-ty element anteny
Jeżeli chcemy, żeby amplituda sumy sygnałów z 2N+1 elementówanteny była maksymalna, gdy fala pada pod kąztem =0,należy każdy powyższy sygnał pomnożyć przez
)](exp[)]0,(2exp[)( njnfjnw
)cos1)(/(2)0,(2)( ncfRnfn
Faza tego współczynnika jest równa
co wynika ze wzoru na poprzedniej stronie
R. Salamon, PCPS-2014 35
Po wymnożeniu sygnałów z elementów anteny przez podane współczynnikiotrzymujemy:
)]}cos(coscos1)[/(2exp{
)]2(exp[)()(),,(),( 0
nncfRj
tfjtAnwntstS
N
Nn
N
Nn
Ponieważ maksymalna amplituda sygnału wynosi (2N+1)A(t),więc charakterystyka kierunkowa jest równa:
)]}cos(coscos1)[/(2exp{12
1)(
nncfRjN
BN
Nn
R. Salamon, PCPS-2014 36
Można wykazać, że charakterystyka ta nie różni się znacznie od charakterystykikierunkowej cięciwy opartej na łuku z 2N+1 elementów.
N-N
0
cięciwaR
oś wiązki
R. Salamon, PCPS-2014 37
DZIAŁANIE BEAMFORMERA1. Próbkujemy jednocześnie kwadraturowo sygnały ze wszystkich M kolumnanteny.2. Z pobranych w jednym momencie czasu zespolonych próbek tworzymywektor o M elementach.3. Z wektora tego tworzymy wektor zawierający 2N+1 elementów co pokazujerysunek
-M/2 –M/2+ 1 …. –N –N-1 … 0 …N-1 N N+1 … M/2
4. Wszystkie elementy mnożymy przez współczynniki w(n) i sumujemySuma próbek jest sygnałem z centralnej wiązki.5. Wybieramy następny, przesunięty o jeden element wektor zawierający 2N+1 elementów , jak to pokazuje rysunek
-M/2 –M/2+ 1 …. –N –N-1 … 0 …N-1 N N+1 … M/2
6. Wszystkie elementy mnożymy przez współczynniki w(n) i sumujemySuma próbek jest sygnałem z przesuniętej o kąt wiązki.7. Kolejno przesuwamy wektor o jeden element i mnożymy przez w(n)i otrzymujemy sygnały ze wszystkich M wiązek.
R. Salamon, PCPS-2014 38
PROJEKTOWANIE ANTENY CYLINDRYCZNEJ BEAMFORMERA
Założenia projektowe:• kątowy odstęp między środkami kolumn jest prawie równy założonej
szerokości wiązki• liniowy odstęp między środkami kolumn jest równy lub nieco większy od /2• liczba elementów użytych do wytworzenia jednej wiązki wynosi 2N+1• kątowy sektor anteny 2N nie powinien przekraczać /2• liczba elementów anteny M =2 /
Etapy projektowania:1. Liniowa odległość środków sąsiednich kolumn wynosi
2/180/)2/sin(2 RR
Stąd obliczamy promień: )/(90 R
R. Salamon, PCPS-2014 39
2. Długość cięciwy wynosi
3. Szerokość wiązki jest równa
Eliminując L otrzymujemy
Z powyższego wzoru obliczamy N
)sin(2 NRL
L 88.0sin
sin44.0sin
RN
PrzykładZakładamy szerokość wiązki =90, f= 7.5 kHz. Obliczamy: =1500(m/s)/7500(1/s)=0.2 m.
][64.0914.3/20.090)/(90 mR
88.09sin64.0
2.044.0sin
44.0sin 0
R
N
N=620 Stąd N=62/99 Liczba elementów w sekcji 2N+1=19
40R. Salamon, PCPS-2014
Sektor kątowy czynnej sekcji 2N=1890= 1620. Sektor jest zbyt duży, więc trzeba dokonać korekty projektu.Ponieważ wiązka nie jest odchylana, odstęp między środkami kolumnmoże być większy od /2 i wynosi k /2 (k>1) Wtedy
)/(90 kR
sin
44.0sinkR
N
Mamy zatem
Załóżmy, że sektor kątowy sekcji wynosi 900 ,czyli N=450 i mamy:
sin
44.07.0kR
Z równania tego obliczmy k=1.26, czyli =0.63 , a promień po korekciejest równy R=1.260.64=0.8 m.Liczba elementów anteny wynosi teraz 2N+1=11.Po wstępnym projekcie wyznacza numerycznie się charakterystykę kierunkową i dokonuje dalszych korekt.