Post on 01-Mar-2019
1
Specyficzne filtry cyfrowe
Materiał w znacznej części zaczerpnięty z książki
Sanjit K. Mitra „Digital Signal Processing. A Computer-Based
Approach”
2
Charakterystyki częstotliwościowefiltrów IIR
pfftff /
)2sin()2cos(2 fjfez fj
N
n
nfjn
M
n
nfjn
ea
ebfH
1
2
0
2
1)(
))(Re())(Im(
tgarc)(fHfH
f
N
n
nn
M
n
nn
za
zbzH
1
0
1)(
fdfd
f)(
)(
Kwadrat charakterystyki amplitudowej dla wszystkich filtrów
Fazowa
Opóźnienie fazowe
22221 )()()()()(2
fjfjfjezeHeHeHzHzH
fj
10 zf
15,0 zf
3
Dolnoprzepustowy filtr FIR pierwszego rzędu
115,0)( zzH L
Najprostszy filtr jest operacją uśredniającą
z charakterystyką zespoloną
)cos()( 2 feeH ffjL
1)( 0 eH L
0)( jL eH 5,0f
0ftzn. dla
tzn. dla
)1()(5,0)( nsnsns wewewy
Jest to filtr uśredniający wartości sygnału wejściowego
4
Górnoprzepustowy filtr FIR pierwszego rzędu
115,0)( zzH H
Najprostszy filtr ma transmitancję
z charakterystyką zespoloną
)sin()( 2 fjeeH fjfjH
0)( 0 eH H
1)( 2/ jjH eeH
tzn. dla
tzn. dla 5,0f
0f
)1()(5,0)( nsnsns wewewy
Jest to filtr preferujący różnice pomiędzy dwoma kolejnymi wartościami
5
Dolnoprzepustowy filtr IIR pierwszego rzędu
1
1
11
21)(
z
zzH L Transmitancja dana jest wzorem
gdzie aby filtr był stabilny. Kwadrat charakterystyki amplitudowej,1
)2cos(212
)2cos(11)( 2
222
ff
eH fjL
1
21221)( 2
220
eH L
5,0)( 2 cfjL eH
0
cos212cos11)( 2
22
j
L eH
Jeżeli to czyli 2122cos
cf c
c
ff
2cos
2sin1
)1()(15,0)1()( nsnsnsns wewewywy
gdzie jest częstotliwością odcięcia. Czy dla ? cf 0 25,0cf
6
Dolnoprzepustowy filtr IIR pierwszego rzędu
1
1
11
21)(
z
zzH L
Transmitancja dana jest wzorem
gdzie aby filtr był stabilny. Kwadrat charakterystyki amplitudowej,1
)2cos(212
)2cos(11)( 2
222
ff
eH fjL
Pierwsza pochodna względem częstotliwości ma postać
22
2222
)2cos(212
)2sin(1)(
f
ffd
eHd fjL
jest ujemna w przedziale czyli jest to funkcja monotonicznie malejąca.
,5,00 f
7
Górnoprzepustowy filtr IIR pierwszego rzędu
1
1
11
21)(
z
zzH H
Transmitancja dana jest wzorem
gdzie aby filtr był stabilny. ,1
0)( 0 eH H
5,0)( 2 cfjH eH
1)( jH eH
Jeżeli to czyli 2122cos
cf c
c
ff
2cos
2sin1
8
Pasmowo-przepustowy filtr IIR drugiego rzędu
21
211
)1(1)()1(
21)(
zz
zzzzH BP
Transmitancja dana jest wzorem
Tłumi składową stałą a przepuszcza częstotliwości wyższe
Przepuszcza średnie częstotliwości (bo niskich już „nie ma”) i tłumi wysokie
9
Pasmowo-przepustowy filtr IIR drugiego rzędu
21
2
)1(11
21)(
zz
zzH BP
Transmitancja dana jest wzorem
Kwadrat charakterystyki amplitudowej
)(0)( 0 jBPBP eHeH
1)( 02 fjBP eH Charakterystyka amplitudowa ma największą wartość dla
)4cos(2)2cos(12112
)4cos(11)( 2222
222
fff
eH fjBP
)cos(arc0 f
10
Pasmowo-zaporowy filtr IIR drugiego rzędu
21
21
)1(121
21)(
zz
zzzH BS
Transmitancja dana jest wzorem
Wartości charakterystyki amplitudowej
)(1)( 0 jBSBS eHeH
0)( 02 fjBS eH Charakterystyka amplitudowa ma najmniejszą wartość dla
)cos(arc0 f
11
Filtr grzebieniowy, ang. comb filterSą to filtry z wieloma pasmami przepustowymi i zaporowymi. Najczęściej ich rozmieszczenie jest periodyczne o okresie 1/M.
Jeżeli jest filtrem pasmowym (zaporowym lub przepustowym), to )(zH)()( MzHzG
jest filtrem grzebieniowym. W oparciu o tę zasadę filtr grzebieniowy można otrzymać również z filtru dolnoprzepustowego
MML zzHzG 15,0)()(
W przedziale posiada M częstotliwości
z minimalnymi wartościami widma amplitudowego i M wartości szczytowych dla przy czym czyli
Mkfk /)5,0(
.10 kf,/ Mkfk ,1,,1,0 Mk
Podobnie można zrobić z filtrem górnoprzepustowym
MMH zzHzG 15,0)()(
10 f
12
Filtry wszechprzepustowe
NN
NN
NNNN
zdzdzdzzdzddzH
11
11
11
11
1)(
Transmitancja ma postać
)()()(
1
zDzDzzH
N
Wprowadzając oznaczenieN
NN
N zdzdzdzD
11
111)(
otrzymujemy
W przypadku filtru wszechprzepustowego otrzymujemy
1)()(
)()()()( 1
11
zDzDz
zDzDzzHzH
NN
13
Własności filtrów wszechprzepustowych
Dla filtru stabilnego wszystkie bieguny, czyli zera wielomianu leżą wewnątrz koła jednostkowego. Jeżeli jest biegunem transmitancji, tzn. to jest jej zerem. Zatem wszystkie zera muszą leżeć poza kołem jednostkowym.
)( pDp ,0)( pD
1 pz
1gdy11gdy11gdy1
)(zzz
zHJeżeli filtr wszechprzepustowy jest stabilny, to
nas interesuje przypadek
Filtr wszechprzepustowy jest bezstratny bo 1)(
)(2
22
fjwe
fjwyfj
es
eseH
wefjwefjwywy EfdesfdesE
2222 )()(
czyli )()( 22 fjwyfjwe eses
12 fjez
14
Przykład filtru wszechprzepustowego
Jeśli filtr posiada bieguny
to jego zera muszą mieć wartości
5,05,05,05,05,0 321 pjpjp
211 133
122
111 pzjpzjpz
31
32
24421)(
zz
zzzH
a transmitancja niech będzie
1515
Rozmieszcenie zer i biegunów filtru wszechprzepustowego
-2 -1 0 1 2 3-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Real(z)
Imag
(z)
1616
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-3
-2
-1
0
1
Częstotliwość znormalizowana
AmplitudaFaza []
Charakterystyki częstotliwościowefiltru wszechprzepustowego
17
Filtry minimalno i maksymalnofazowe
Filtry stabilne i przyczynowe o jednakowych charakterystykach amplitudowych, z zerami poza kołem jednostkowym mają większe odchyłki charakterystyk fazowych względem niż filtry z zerami w kole jednostkowym.Filtry z zerami w kole jednostkowym są nazywane minimalnofazowymi a filtry z zerami poza kołem jednostkowym, maksymalnofazowmi.
Każdy filtr nieminimalnofazowy może być zastąpiony połączeniem szeregowym filtru minimalnofazowego i filtru wszechprzepustowego
)()()( wszminnie zHzHzH
0)( f 5,00: ff
18
Przykład
1
1
1 11)(
azbzzH 1
1
2 1)(
azzbzH
Porównajmy charakterystyki częstotliwościowe dwóch filtrów:
załóżmy 2,05,0 ba
Wtedy oba filtry mają bieguny w punkcie czyli są stabilne.5,0z
Pierwszy filtr ma zero w punkcie czyli jest minimalnofazowy.
Drugi filtr ma zero w punkcie czyli jest maksymalnofazowy.
2,0z
5z
1919
Zera i bieguny
-4 -2 0-3
-2
-1
0
1
2
3
Real(z)
Imag
(z)
H1[z]
-4 -2 0-3
-2
-1
0
1
2
3
Real(z)
H2[z]
2020
Jednakowe charakterystyki amplitudowe
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
0.5
1
1.5
2
2.5
Częstotliwość znormalizowana
Am
plitu
da
H1[z]H2[z]
)( 2 fjeH
2121
Charakterystyki amplitudowe [dB]
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-15
-10
-5
0
5
Częstotliwość znormalizowana
Am
plitu
da [d
B]
H1[z]H2[z]
)(lg20 210
fjeH
2222
Różne charakterystyki fazowe
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
Częstotliwość znormalizowana
Faza
[ ]
H1[z]H2[z]
H1 jest filtrem minimalnofazowym, H2 maksymalnofazowym
23
Filtry komplementarne
Opóźnieniowo-komplementarne 0
1
0)( n
K
kk zzH
Wszechprzepustowo-komplementarne )()(1
0zAzH
K
kk
Energetycznie-komplementarne 1)()()(21
0
21
0
12
K
k
fjk
ezK
kkk eHzHzH
fj
Amplitudowo-komplementarne
1
0
2 )(K
k
fjk eH
Filtry komplementarne są filtrami równoległymi, bo np.
)()()(.....)()()()( 0121 zszzszHzszHzszH n
K
2424
Całkowanie w dziedzinie czasu
A może by tak wykorzystać wzór
s djf
s ft
( ) ( )
12
( )s 0 0 s t dt( )
0
do „całkowania” sygnału cyfrowego? Oczywiście pamiętamy, że musi być spełniony warunek
25
Procedura całkowania sygnału poprzez transformację Fouriera
Posłużymy się zatem schematem
gdziedla N nieparzystego
dla N parzystego
?
?
2626
Całkowanie przez FFT(N parzyste, DC=0)
-1
0
1N=40
DC = 0
0 5 10 15 20 25 30 35 40-4
-2
0
2
4
6
8
DC = 0
2727
Całkowanie przez FFT(N nieparzyste, DC=0)
-1
0
1N=39
DC = 0
0 5 10 15 20 25 30 35 40-4
-2
0
2
4
6
8
DC = 0
2828
-1
0
1N=40
DC = 0.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40-5
0
5
DC = 0
K I E P S K O
2929
-1
0
1N=40
DC = 0.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40-6
-4
-2
0
2
4
6
DC = 0.5
K I E P S K O
3030
-1
0
1N=39
DC = 0.51282
0 5 10 15 20 25 30 35 40-5
0
5
DC = 0
K I E P S K O
3131
-1
0
1N=39
DC = 0.51282
0 5 10 15 20 25 30 35 40-6
-4
-2
0
2
4
6
DC = 0.51282
K I E P S K O
32
Procedura całkowania sygnału poprzez dolnoprzepustowe filtry IIR
Wyliczanie wartości całek metodą prostokątów
jest filtracją
N
i
wewy istNs0
)()(
pwewywy fnsnsns /)()()1(
Podobnie całkowanie metodą trapezów tisNssNs
N
i
wewewewy
1
1
)()()0(5,0)(
jest filtracją pwewewywy fnsnsnsns /)()1(5,0)()1(
Oba filtry mają bieguny równe 1, czyli są „na granicy stabilności”. Może to pogarszać jakość „całkowania” jeżeli sygnał był wcześniej poddany filtracji górnoprzepustowej.
1
1
1)(
zztzH
1
21
15,0)(
z
zztzH
3333
Całkowanie przez IIR(metoda prostokątów, DC=0)
-1
0
1N=40
DC = 0
0 5 10 15 20 25 30 35 400
2
4
6
8
10DC = 2.5
3434
-1
0
1N=40
DC = 0.5
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
15
20DC = 10.25
3535
Całkowanie przez IIR(metoda trapezów, DC=0)
-1
0
1N=40
DC = 0
0 5 10 15 20 25 30 35 400
2
4
6
8
10DC = 2.5
3636
-1
0
1N=40
DC = 0.5
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
15
20DC = 10
3737
Całkowanie przez IIRmetodą prostokątów
-2
-1
0
1 N=40
DC = 0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-3
-2
-1
0
1
2
3 DC = 0
3838
Całkowanie przez IIRmetodą trapezów
-2
-1
0
1 N=40
DC = 0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-3
-2
-1
0
1
2
3 DC = 0
3939
Całkowanie przez IIRmetodą prostokątów
-1
0
1N=40
DC = 0
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
DC = 1.5
4040
Całkowanie przez IIRmetodą trapezów
-1
0
1N=40
DC = 0
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
DC = 1.5