Elektrotechnika elektronika miernictwoFranciszek Gołek (golek@ifd.uni.wroc.pl)

www.pe.ifd.uni.wroc.pl

Wykład 05 i 06

Filtry i układy RLC

Decybel Decybel to jednostka logarytmiczna. 1B = log10(P/Po), 1dB = 0,1B. Decybele służą do porównania dwóch sygnałów (oczywiście o identycznych jednostkach) i wyrażają ich logarytmiczny stosunek. Decybele stosujemy przede wszystkim w akustyce (tam gdzie reakcja układu biologicznego jest proporcjonalna do logarytmu natężenia bodźca). Stosujemy je również w elektronice. W przypadku porównywania amplitud mocy obowiązuje:

kP[dB] = 10log10(P2/P1). Dla napięciowych lub prądowych amplitud mamy:

kA[dB] = 20log10(A2/A1) bo 10log10(A2

2 /A1

2 ) = 10log10(A2/A1)2 = 20log10(A2/A1).

Przy porównywaniu sygnałów o różnych przebiegach np. sygnału sinusoidalnego i szumu bierzemy wartości RMS czyli wartości skuteczne. Czasem wyrażamy daną wielkość odniesioną do wzorca lub wartości progowej np. 1V, lub w akustyce 20µP jako próg słyszalności (120dB oznacza 20 000 000 µP). Jako wartości odniesienia można spotkać napięcia zapewniające wydzielanie mocy 1mW na standardowej oporności 50 Ω lub 600 Ω. Wartości skuteczne napięć wyrażone jako “0 dBm” (m oznacza mW) wynoszą odpowiednio 0.22V dla obciążenia 50 Ω i 0.78V dla 600 Ω).

DecybelW komunikacji moc bywa wyrażana w jednostkach: dBW lub dBm:

100 W to 20 dBW, 1 W to 0 dBW, 0,5 W to -3 dBW,1 W to 30 dBm.

Napięcie bywa wyrażane w jednostkach dBV, co należy rozumieć jako:

Z poprzednich wykładów wiemy że:indukcyjność i pojemność, w odróżnieniu od idealnej rezystancji, przyczyniająsię do powstawania różnicy faz między napięciem i prądem a ich impedancjezależą od częstotliwości wymuszeń elektrycznych:

XL = jωL, XC = 1/jωC.

Przypomnijmy nazwy: Impedancja (oporność zespolona): Z = R + X,R – rezystancja, X – reaktancja.

Dla szeregowo połączonych idealnych L i C - gdy pomijamy rezystancję cewki iupływność kondensatora:

X = j(XL – XC) = j(ωL – 1/ωC), Z = R + j(XL – XC). Admitancja (przewodność zespolona): Y = 1/Z = G + jBG – konduktancja, B – susceptancja.Dla równolegle połączonych idealnych L i C:

B = j(BC – BL) = j(ωC – 1/ωL)

Z = √(R2 + X2), Y = √(G2 + B2),

Z = Z ej[arctg(R/X)], Y = Y ej[arctg(B/G)]

Dla realnej cewki L obok jej indukcyjności Istotna jestrównież rezystancja uzwojenia RL

Z = RL + jωL.

Przy wysokich częstotliwościach napięć mogą okazać się istotne również pojemności pasożytnicze między doprowadzeniami i zwojami.

Dla realnego kondensatora obok jego pojemności C istotnymi mogą okazać się: rezystancja upływności Ru,rezystancja doprowadzeń Rd i indukcyjność doprowadzeń Ld

Z = Rd + jωLd + 1/(jωC + 1/RU)

W tym wykładzie pokażemy dalsze konsekwencje obecności pojemności i indukcyjności w obwodach elektrycznych. Między innymi zbadamy jaki wpływ mają one na tzw. pasmo przenoszenia oraz kształtowanie impulsów i skoków napięcia. Dowiemy się co to jest współczynnik dobroci (tzw. Q-factor).

Poznamy też najprostszefiltry i dzielniki napięciazawierające impedancjęzależną od częstotliwościsygnału.

Pasmo częstotliwościPasmo częstotliwości jest ważną wielkością i podstawowym pojęciem w systemach komunikacji. Pasmem częstotliwości dla danego sygnału nazywamy zakres częstotliwości jaki obejmuje spektrum tego sygnału.Aby przesłać informację przypomocy fali nośnejo częstotliwości ωo trzebają zmodulować (zdeformować)w takt informacji.Taka modulacja oznaczazamianę sygnału nośnegoo jednej częstościna spektrum, którezajmuje pewne pasmo.

FM – modulacja częstotliwości

AM – modulacja amplitudy

Filtrem nazywamy urządzenie, które wpływa na spektralny rozkład energii sygnałów elektrycznych.

Filtry eliminujące zakłócenia

Rodzaje filtrówPodział pod względem pasma przenoszenia wyróżnia filtry: dolno-przepustowe, górno-przepustowe, pasmowe (wąsko-pasmowe, szeroko-pasmowe), pasmowo zaporowe.Filtry dzielimy pod względem technologii wykonania: a) Pasywne - są nimi dzielniki napięcia (lub prądu) z elementami pasywnymi: R, C i L). b) Aktywne (zawierają, oprócz elementów R, C i L, tranzystory lub wzmacniacze operacyjne).c) Cyfrowe, w których sygnał jest zamieniany na postać cyfrową a następnie szeregi liczb są przetwarzane, filtrowane i ponownie zamieniane na sygnał.Filtry dzielą się też na liniowe i nieliniowe.Filtry dzielimy pod względem złożoności na jednobiegunowe i wielobiegunowe.Inne np. atomowe, kwarcowe…... Filtry mają za zadanie przenosić sygnały o interesujących nasczęstotliwościach i tłumić sygnały o częstotliwościach niepożądanych. Filtry, poprzez zmianę składowych harmonicznych, modelują impulsy elektryczne.

W śród innych filtrów należy wymienić:Filtry atomowe.Filtry kwarcowe.Filtry z akustyczną falą powierzchniową SAW, lub objętościową BAW.Grzebieniowe.Filtry Nyquista.Filtry adaptacyjne (przestrajalne).Filtry obrazu….

Filtry kwarcowe, Rezonatory kwarcowe

Filtry z akustycznąfalą powierzchniową.

Obrazkowa ilustracja działania filtru

Zauważmy, że sinusoida nie jest deformowana!

Pasmo przenoszenia filtraJest to obszar częstotliwości o najlepszym przenoszeniu sygnału zawarty między granicami pasma. Granice pasma przenoszenia to takie częstotliwości fg1, fg2, przy których moc sygnału spada o 50%. Oczywiście moduł współczynnika przenoszenia sygnału kU= IUwy/UweI lub kI = IIwy/IweI przy tych granicach jest √2 razy mniejszy od swej maksymalnej wartości. W decybelach:20log(1/√2) = -3 dB, czyli stosunek k(fg)/kmax wyrażony w decybelach wynosi -3 dB. Pamiętając, że moc jest proporcjonalna do kwadratu napięcia jak również do kwadratu natężenia prądu, P = U2/R = I2R stwierdzamy, że graniczne częstotliwości fg spełniają równość:

IK(fg)/KmaxI = k(fg)/kmax = 1/√2 P(fg)/Pmax = U2(fg)/U2

max = I2(fg)/I2max =1/2

Pasmo przenoszenia dowolnego układuW zasadzie każdy układ, przez który następuje propagacja jakiegokolwiek sygnału ma jakieś ograniczenia dotyczące częstotliwości propagowanego sygnału, zatem charakteryzuje się pasmem przenoszenia.KP(fg) = P(fg)/Pmax = U2(fg)/U2

max = I2(fg)/I2max = 1/2

IK(fg)/KmaxI = k(fg)/kmax = 1/√2

Filtry pasywne – jako dzielniki napięcia lub prądu, zależne od częstotliwości, są zwykle filtrami RC (złożonymi z rezystorów i kondensatorów) i stanowią bardzo ważne zastosowanie kondensatorów. Obliczenia parametrów tych dzielników w dziedzinie częstotliwości wymagają stosowania uogólnionych praw Ohma i Kirchhoffa czyli praw w zapisie zespolonym.Przy analizie filtrów warto też stosować wykresy wskazowe bo mogą one stanowić dogodną ilustrację relacji między sygnałem wejściowym i wyjściowym danego filtra dla wybranej częstotliwości.

Współczynnik przenoszenia kU i przesunięcie fazy ϕ.Rysunek przedstawia dzielnik napięcia złożony z zespolonych impedancji Z1 i Z2, zasilany przez źródło o pomijalnie małej impedancji wewnętrznej Z0 ~ 0 Ω. Zatem Z0 ma pomijalny udział w podziale napięcia Thevenina. Ponadto dzielnik jest nieobciążony, gdyż obciążenie Z3 ~ ∞. Aby obliczyć współczynnik przenoszenia tego dzielnika, zwanego też czwórnikiem bo ma dwa zaciski wejściowe i dwa zaciski wyjściowe – razem cztery, stosujemy taką logikę postępowania jak przy zwykłych opornikach ale z użyciem liczb zespolonych. Zespolony stosunek Uwy/Uwe= KU = kUeiϕ zawiera współczynnik przenoszenia kU, czyli stosunek wartości skutecznych lub amplitud napięcia wyjściowego do napięcia wejściowego kU = IUwyI/IUweI oraz względne przesunięcie fazy ϕ. Napięcie wyjściowe to spadek napięcia na Z2: Uwy= U2 = I1 Z2. Napięcie wejściowe to spadek na szeregowo połączonych Z1 i Z2 czyli Uwe= I1Z1+I1Z2. kU

= IUwyI/IUweI = IZ2I/IZ1+Z2I, ϕ = arctg((Im(KU))/(Re(KU))).

Filtr dolnoprzepustowy, opis w dziedzinie częstotliwości.Opis ten mówi jak, w funkcji częstotliwości ma się stosunek amplitud napięcia wyjściowego do napięcia wejściowego - kU oraz względna różnica faz - ϕ sygnału wyjściowego względem wejściowego. Obie te wielkości mamy w funkcji zespolonej przedstawiającej stosunek zespolonych wartości napięcia wyjściowego do wejściowego. Zakładamy, że źródło sygnału ma zerową a obciążenie nieskończoną oporność wewnętrzną.

Charakterystyki Bodego Henrik Wade Bode (1905–1982)

Charakterystyka, która obrazuje logarytmiczną zależność amplitudy i fazy od częstotliwości nazywa się charakterystyką Bodego!

Ważne

Bardzo często podczas łączenia układów elektronicznych powstają pasożytnicze układy całkujące - filtry dolno-przepustowe (lub różniczkujące, czyli filtry górno-przepustowe). Zwykle składają się one z rezystancji wyjściowej jednego układu i pojemności wejściowej następnego lub pojemności przewodów łączących. Te pasożytnicze elementy mogą przyczyniać się do zmniejszenia górnej częstotliwości granicznej danej aparatury oraz wpływać na kształt i czas trwania impulsów.Przykład 5.3. Co pojawia się na nieobciążonym wyjściudolnoprzepustowego filtru RC gdy na jego wejściu wymuszamy skoknapięcia o wartości U0 ?Rozwiązania, jak na poprzedniej stronie: Dla skoku 0 do U0: uwy(t) = U0(1 - e-t/RC)Dla skoku U0 do 0: uwy(t) = U0e-t/RC. Iloczyn RC, zwany stałą czasową τ, określaczas, po którym uwy(t) zbliża się do swej asymptotycznej wartości na „odległość” = 1/e wysokości skoku.

τ = RC

Oszacujmy ile wynosi czas narastania impulsu prostokątnego zdeformowanego filtrem dolnoprzepustowym. Czyli w jakim czasieUwy(t) wzrośnie od 10% do 90% swej wartości maksymalnej?0.9 U0 = U0(1 - e-t/RC) -> t90%= -RCln0.1(U0 ≈ wartość maksymalna)0.1 = 1 - e-t/RC -> t10%= -RCln0.9tr = t90% - t10% = RC(ln0.9 - ln0.1) = RCln9 ≈ 2.2RC.Pamiętając, że fg = 1/(2πRC) -> RC = 1/2πfg otrzymamy związek:tr ≈ 2.2RC = 2.2/(2π fg). Zatem możemy napisać: tr ≈ 1/(3fg). Rysunek przedstawia odpowiedź filtru dolnoprzepustowego na ciąg impulsów prostokątnych o różnych częstotliwościach.

Filtr górno-przepustowy, opis w dziedzinie czasu.

Filtr pasmowo-przepustowy tłumi jednocześniesygnały o częstotliwościach niższych od fg. dolna oraz sygnały o częstotliwościach wyższych od fg. górna. Przykładem takiego filtra może być kaskadowe połączenie filtrów: górno i dolno przepustowego o odpowiednio dobranych częstotliwościach granicznych. Przykład z identycznymi fg poniżej.

Zastosowanie filtrówFiltry są stosowane do kształtowania charakterystyk częstotliwościowych układów elektronicznych i do kształtowania impulsów napięciowych. Wybierania jednych i eliminowania innych sygnałów (zakłócających) np. tunery to po prostu przestrajalne filtry pasmowe. W zasadzie każde urządzenie elektroniczne zawiera filtry. Filtry górno-przepustowe stosowane są często jako pojemnościowe sprzężenie między układami elektronicznymi (np. wzmacniaczami) celem zablokowania tzw. składowej stałej. Sygnały w.cz. mogą nieoczekiwanie przeniknąć przez pojemności wyłączników, albo zbliżonych do siebie przewodów powodując wzajemne zakłócanie obwodów elektronicznych. Warto pamiętać, że filtry typu RC lub RL wykazują raczej łagodne stromości charakterystyk. Natomiast bardziej złożone filtry typu RLC (wielostopniowe lub zawierające obwody rezonansowe o dużej dobroci) mogą wykazywać bardzo duże stromości na brzegach pasm!

Prosta zasada łączenia układów (np. pojedynczych filtrów w filtry wielostopniowe) mówi, że jeżeli obwód A steruje obwodem B (B obciąża obwód A) to warto zadbać o to aby Rwy układu A < 0,1RWE układu B. Wtedy wpływ B – układu obciążenia na A – układ sterujący będzie mało znaczący. Układ A po obciążeniu go takim układem B działa z zaburzeniemnie przekraczającym 10% (A wystawia na swoim wyjściu o 10% napięcie niższe niż w przypadku braku obciążenia). W sytuacji gdy takie 10%-we odchylenie możemy zaniedbać uzyskujemy prosty sposób na projektowanie wielostopniowych układów. Po prostu każdy podukład (stopień) projektujemy i obliczamy osobno (obliczenia są proste).

Dla poprawienia efektu filtracji stosowane są bardziej rozbudowane filtry, w tym filtry aktywne czy filtry cyfrowe.Filtry aktywne powstają poprzez zastosowanie układów aktywnych (tranzystorów, wzmacniaczy operacyjnych itp.) w obwodach filtrujących RLC. Elementy aktywne (dzięki dużej impedancji wejściowej i efektowi wzmacniania sygnału) pozwalają na budowanie filtrów wielostopniowych o bardzo stromym przebiegu charakterystyk na brzegach filtrowanych pasm.Filtry cyfrowe to układy filtrujące i przetwarzające sygnały dyskretne (cyfrowe).Filtry cyfrowe są coraz częściej i szerzej stosowane w wielu dziedzinach techniki bowiem każdy sygnał analogowy (prosty jednowymiarowy jak i złożony wielowymiarowy, fotografia, film itp) można zamieniać na sygnał cyfrowy odpowiednimi przetwornikami analogowo-cyfrowymi.(Skrót „DSP” oznacza: digital signal processing)http://www.intersil.com/data/AN/an9603.pdf

Poprawianie stromości charakterystyki przezzastosowanie filtrów wyższego rzędu.

RezonansObwody rezonansowe to szczególna grupa obwodów, które w zasadzie możemy zaliczyć do filtrów. Zasługują one jednak na odrębne potraktowanie co najmniej z dwu powodów:1) Wykorzystywane są przy wymuszaniu oscylacji o ściśle określonej częstotliwości fali nośnej stacji nadawczych (emitujących fale elektromagnetyczne).2) Jako przestrajane obwody rezonansowe wykorzystywane są w odbiornikach radio, TV itp. do wybierania pożądanych sygnałów (tj. pożądanych stacji nadawczych).Przykładowa krzywa rezonansowapokazana jest na rys. obok.Widać tu reakcję o dużej amplitudzietylko dla pewnego zakresu częstościw otoczeniu częstotliwościrezonansowej fr Dla sygnałówo bardziej oddalonych częstościachreakcja jest znikoma.

Rezonans szeregowo połączonych elementów R, L i C.Indukcyjność L i pojemność C są tu konieczne natomiast rezystancja R zwykle pojawia się jako oporność wewnętrzna źródła wymuszania i jako rezystancja przewodu uzwojenia solenoidu stanowiącego indukcyjność L. Czasem należy uwzględnić nawet rezystancję połączeń.Gdy impedancje źródła można pominąć to zawadą (impedancją) szeregowego układu rezonansowego RLC jest Z = R + XL + XC = R + j(ωL – 1/ωC).Rezonans wystąpi dla pulsacji ω = ω0, przy której Z = R i (ω0L – 1/ω0C) = 0.Dla rezonansu zawada Z = R ma najmniejszą wartość co skutkuje największym prądem: I = UT/(ZT + Z) ≈ UT/R – gdy ZT jest do zaniedbania. Poza rezonansem, dla ω > ω0 lub ω < ω0, moduł Z ma wartość większą co zmniejsza prąd I a UC i UL mają różne moduły.Gdy ZT nie pomijamy to:Z = R + RT + j[ω(L + LT) – 1/ω(C∙ CT/(C + CT))].

Czasem mówi się, że rezonans szeregowo połączonych elementów R, L i C jest rezonansem napięć.Łatwo to zrozumieć gdy w rezonansie Impedancje XL = XC >> R. Wówczas spadki napięcia na Indukcyjności i pojemności są wielokrotnie większe od napięcia wymuszającego UT, a UR = UT. Dla zadanych wartości L i C pulsacja rezonansowa spełnia równość: ω0L = 1/ω0C, ω0 = 1/√(LC) a wartość częstotliwości rezonansowej wynosi:

Z czego wynika, że chcąc dostroić obwód rezonansowy do częstotliwościwybranego sygnału należy zmieniać wartość L lub C, w praktyce zwykle zmieniamy pojemność.

Rezonans równolegle połączonych elementów R, L i C.Dla zadanych wartości L i C pulsacja rezonansowa spełnia równość susceptancji (przewodności zespolonych) BL i BC: 1/ω0L = ω0C, ω0 = 1/√(LC) a wartość częstotliwości rezonansowej wynosi:

Mamy tu rezonans prądów, gdyż przy małym G = 1/R (dużym R) i jednocześnie dużych BL i BC (czyli małych XL i XC) mamy olbrzymi prąd w L i C wielokrotnie większy od prądu wymuszenia, który płynie przez rezystor R.

Niestety w praktyce niemożemy pomijać rezystancjiprzewodów cewki stanowiącejIndukcyjność i otrzymany tu wzór na częstotliwość rezonansową jest tylko przybliżeniem.

Rzeczywisty równoległy obwód rezonansowy. Aby wyznaczyć częstotliwość rezonansową fp r szeregowy układ L i RL zastąpimy równoważnym mu obwodem równoległym:

Dla tak przekształconego ale równoważnego układu mamy:

Zerowanie się części urojonej (rezonans) oznacza: XLp = XC

Oba powyższe wzory mówią między innymi, że chcąc zwiększać częstotliwość rezonansową (w obszar wielu GHz) musimy zmniejszać L i C.

Zmniejszając L i C niemaldo granic możliwościosiągamy tzw.

rezonatory wnękowe:

Filtry mikrofalowe(tu zamiast zwoi i okładek mamy wnęki rezonansowe!)

Współczynnik dobroci Q, Q factor (quality factor)Dobroć Q dotyczy tracenia energii przez układ, który może oscylować (elektryczny lub elektroniczny obwód rezonansowy, huśtawka, struna itp.) i wyraża się stosunkiem posiadanej energii do względnej szybkości jej tracenia.Dobroć układu decyduje o kształcie (ostrości) jego krzywej rezonansowej.

DEFINICJA

Po prostymprzekształceniu:

widzimy, że Q jest stosunkiem posiadanej energii do jej porcji traconej w ciągu jednostkowej części cyklu (w rezonansie) jaką jest 1 radian!Dla dowolnego układu elektrycznego to część rzeczywista R jego impedancji Z jest tym czynnikiem, który odpowiada za straty (rozpraszanie) energii.

Współczynnik Q zależy oczywiście od budowy elementów składowych. U idealnych indukcyjności L i pojemności C przyjmujemy, że gromadząc energię nie rozpraszają jej. W rzeczywistych L i C rozpraszanie energii nie jest zerowe ale może być małe, a czasem pomijalnie małe. Rozważmy układ równoległy RLC, którego admitancja (przewodność zespolona) wyraża się przez:

Zatem dla obwodu równoległegoRLC (L i C idealne) jak na rysunkumamy Q faktor wyrażony przez:

Widać, że rezystancjarównolegle włączonado równoległego układuLC powinna być jak największa dla największego Q (najlepiej ten rezystor usunąć). Opornik R tak włączony osłabia dobroć Q. W praktyce jednak należy uwzględniać przynajmniej nieidealność L czyli niezerową oporność drutu z jakiego wykonana jest indukcyjność.Wtedy obowiązuje schemat jak obok:

Dobroć Q jest również miarą ostrości krzywychrezonansowych wyrażanej jako:

Dla sprawdzenia równoważności tegowyrażenia na Q, przydatnego do analizyfiltrów RLC, z innymi wyrażeniami, policzmy ωrez i ∆ω3dB. Niech np. UWY = UR to ku = |UR/URLC| i kumax = 1.

Dla ω3dB: ku/kumax =

Zatem dla szeregowego układu RLC mamy cały szereg wyrażeń na Q!

Dodajmy, że w elektronice poza dobrocią układów rezonansowych można mówić o dobroci innych układów czy elementów. Przykładowo straty energii w cewkach lub kondensatorach można wyrażać przy pomocy współczynnika dobroci Q.

Dobroć cewki zdefiniowana jest jako stosunek: ωL/R

Q = ωoL/R albo R = ωoL/Q

(gdzie L-indukcyjność cewki, R oporność cewki).

Traktując kondensator jako równoległe połączenie idealnej pojemności i rezystancji R (reprezentującej straty w dielektryku) definiujemy dobroć kondensatora jako stosunek prądów

Q = IC/IR = (U/XC)/(U/R) = R/XC= ωCR.

Wynika z tego, że układy o dużej dobroci to takie, które „marnotrawią” mało energii na straty w rezystancjach przewodów cewki, ewentualnego rezystora R oraz w materiale kondensatora.

Filtry w radiu.

.

Akcelerometry i zastosowanie pojemności

MEMS (ang. Micro Electro-Mechanical Systems) czyli Mikrosystemy, są to zintegrowane układy elektro-mechaniczne, u których co najmniej jeden wymiar szczególny mieści się w skali mikro (0,1 - 100 μm).

Akcelerometr piezoelektryczny

.

Przykładowe ekstra zastosowanie pojemności:Trzy-osiowy akcelerometr: MMA7260Q, MMA7261QT,LIS3L06AL i inne. (też MEMS)

MMA7260Q

LIS3L06AL

Inne ekstra zastosowanie pojemności to czujniki pojemnościowe w ekranach dotykowych.

LIS3L06AL

Trzy-osiowy akcelerometr ADXL330

Czułość do 330mV/g

LIS3L06AL

E-E-M. Lista-051 Narysuj wykres wskazowy dla układu równolegle połączonych L = 10mH i C = 50µF, zasilanych z generatora napięcia sinusoidalnego o pulsacji ω = 1000 rad/s i amplitudzie 1V. Impedancja wewnętrzna generatora wynosi Rwe = 1Ω.

2 Na zaciski układu RC podano sygnało złożonym (prostokątnym) przebiegu.Naszkicuj przebiegi napięć UR i UC.

3. Szeregowy obwód rezonansowy zawiera: R = 1Ω, L = 1mH, C = 1µF. Oblicz dobroć układu i stosunki: UR/UWe, UC/UWe i UL/UWe w rezonansie (Uwe - napięcie zasilające o częstotliwości rezonansowej).

4. Wylicz częstotliwościgraniczne i określ pasmaprzenoszenia układów:

5. Zaprojektuj filtr pasmowy dla pasma 1 kHz-10kHz wykorzystując prostą zasadę ułatwiającą obliczenia: Zwy/Zwe ≤1/10 (strona 25).