SPIS TREŒCI Wydanie II poprawione i uzupe³nione€ Filtry analogowe i cyfrowe Teoria sygna³ów...

Wydawnictwo Helionul. Chopina 644-100 Gliwicetel. (32)230-98-63e-mail: [email protected]

PRZYK£ADOWY ROZDZIA£PRZYK£ADOWY ROZDZIA£

IDZ DOIDZ DO

ZAMÓW DRUKOWANY KATALOGZAMÓW DRUKOWANY KATALOG

KATALOG KSI¥¯EKKATALOG KSI¥¯EK

TWÓJ KOSZYKTWÓJ KOSZYK

CENNIK I INFORMACJECENNIK I INFORMACJE

ZAMÓW INFORMACJEO NOWOŒCIACH

ZAMÓW INFORMACJEO NOWOŒCIACH

ZAMÓW CENNIKZAMÓW CENNIK

CZYTELNIACZYTELNIAFRAGMENTY KSI¥¯EK ONLINEFRAGMENTY KSI¥¯EK ONLINE

SPIS TREŒCISPIS TREŒCI

DODAJ DO KOSZYKADODAJ DO KOSZYKA

KATALOG ONLINEKATALOG ONLINE

Teoria sygna³ów. Wstêp.Wydanie II poprawionei uzupe³nioneAutorzy: Jacek Izydorczyk, Grzegorz P³onka, Grzegorz TymaISBN: 83-246-0401-4Format: B5, stron: 304

Kompendium wiedzy na temat sygna³ów i metod ich przetwarzania

• Modulacja sygna³ów• Transformaty Fouriera i Laplace’a• Filtry analogowe i cyfrowe

Teoria sygna³ów to jedna z fundamentalnych dziedzin wiedzy technicznej.Jej znajomoœæ jest niezbêdna nie tylko projektantom urz¹dzeñ elektronicznych,ale równie¿ automatykom, informatykom, elektrotechnikom i specjalistom od telekomunikacji. Rozwój techniki cyfrowej zrewolucjonizowa³ metody przetwarzania sygna³ów, lecz podstawy tych mechanizmów s¹ niezmienne — nadal wykorzystywane s¹ transformaty Fouriera i Laplace’a, klasyczne algorytmy modulacji oraz regu³y projektowania urz¹dzeñ.

Ksi¹¿ka „Teoria sygna³ów. Wstêp. Wydanie II” to kolejne wydanie publikacji poœwiêconej sygna³om i ich przetwarzaniu. Zawiera zbiór najwa¿niejszych informacji zwi¹zanych z przekszta³caniem i modulowaniem sygna³ów metodami analogowymii cyfrowymi oraz projektowaniem filtrów aktywnych i pasywnych. Ka¿dy jej rozdzia³ stanowi osobny wyk³ad uzupe³niony przyk³adami i zadaniami do samodzielnego rozwi¹zania, który mo¿na przeczytaæ bez odwo³ywania siê do pozosta³ych wyk³adów.

• Szeregi i transformaty Fouriera• Modulacja sygna³ów• Przekszta³cenie Laplace’a• Projektowanie filtrów analogowych• Sygna³y dyskretne i cyfrowe• Modulacja impulsowa• Dyskretna transformata Fouriera• Liniowe uk³ady cyfrowe• Projektowanie filtrów cyfrowych

Opanuj podstawy technologii cyfrowej

http://helion.pl

http://helion.pl/zamow_katalog.htm

http://helion.pl/katalog.htm

http://helion.pl/zakupy/add.cgi?id=tos2

http://helion.pl/emaile.cgi

http://helion.pl/cennik.htm

http://helion.pl/online.htm

mailto:[email protected]

http://helion.pl/ksiazki/tos2.htm

Spis treści

Rozdział 1. Szereg Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1. Wstep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Definicja rozwiniecia w szereg Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3. Warunki Dirichleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4. Wybrane własnosci szeregów Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5. Stan ustalony w obwodach liniowych z wymuszeniami okresowymi . . . . . . . . . 201.6. Przykłady zastosowan szeregów Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.8. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Rozdział 2. Transformacja Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1. Definicja przekształcenia Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2. Warunki Dirichleta istnienia transformaty Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3. Wybrane własnosci przekształcenia Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4. Gestosc widmowa sygnału na wyjsciu układu liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.6. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Rozdział 3. Modulacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1. Wstep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2. Modulacja w pasmie podstawowym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3. Modulacja sygnału sinusoidalnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.1. Modulacja amplitudowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3.2. Przemiana czestotliwosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3.3. Modulacja katowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3.4. Modulacja kwadraturowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.5. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6 Spis treści

Rozdział 4. Przekształcenie Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1. Przekształcenie Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2. Odwrotna transformacja Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2.1. Wzór Riemanna-Mellina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2.2. Funkcje wymierne, residua i rozkład na ułamki proste . . . . . . . . . . . . 77

4.3. Własnosci przekształcenia Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.3.1. Liniowosc transformaty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.3.2. Transformata pochodnej sygnału L -transformowalnego . . . . . . . . . . 814.3.3. Transformata całki sygnału L -transformowalnego . . . . . . . . . . . . . . 824.3.4. Granica sygnału w zerze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.3.5. Pochodna transformaty sygnału L -transformowalnego . . . . . . . . . . . 824.3.6. Opóznienie sygnału L -transformowalnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.3.7. Przesuniecie argumentu obrazu L -transformowalnego . . . . . . . . . . . 834.3.8. Transformata sygnału okresowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.3.9. Transformata splotu sygnałów L -transformowalnych . . . . . . . . . . . . 84

4.4. Zastosowanie przekształcenia Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.4.1. Równania rózniczkowe zwyczajne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.4.2. Równania rózniczkowe czastkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.4.3. Równania całkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.5. Transmitancja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.5.1. Odpowiedz impulsowa układu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.5.2. Badanie stabilnosci układu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.5.3. Transmitancja operatorowa a transmitancja symboliczna . . . . . . . . . . 100


Rozdział 5. Filtry analogowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.1. Filtr idealny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.2. Aproksymacja charakterystyki amplitudowej filtru idealnego . . . . . . . . . . . . . 108

5.2.1. Filtr Butterwortha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.2.2. Aproksymacja Czebyszewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.2.3. Przekształcenia czestotliwosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.3. Synteza pasywnych filtrów LC o charakterystyce Butterwortha i Czebyszewa . . . . 1325.3.1. Obwód łancuchowy otwarty na koncu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.3.2. Obciazony obwód łancuchowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.3.3. Wzory dla syntezy filtrów Butterwortha — symetryczny obwód łancuchowy 1435.3.4. Wzory dla syntezy filtrów Butterwortha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.3.5. Wzory dla syntezy filtrów Czebyszewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.3.6. Przekształcenia czestotliwosci raz jeszcze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.3.7. Kilka słów o projektowaniu filtrów pasywnych . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.4. Synteza filtrów aktywnych RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.4.1. Idealny wzmacniacz operacyjny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.4.2. Kaskadowy filtr aktywny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.4.3. Równoległy filtr aktywny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.4.4. Transmitancje rzedu drugiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.4.5. Układy z wielokrotnym sprzezeniem zwrotnym . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.5. Charakterystyka opóznienia grupowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.5.1. Opóznienie grupowe filtru o stałych skupionych . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Spis treści 7

5.5.2. Wyrównywanie charakterystyki fazowej filtru . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.5.3. Meandry przyczynowosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169


Rozdział 6. Modulacja impulsowa, sygnały dyskretne i cyfrowe . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6.1. Transformata Fouriera dystrybucji delta Diraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.1.1. Transformaty Fouriera funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . 1756.1.2. Transformata Fouriera skoku jednostkowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766.1.3. Transformata Fouriera całki sygnału . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1786.1.4. Transformata Fouriera szeregu impulsów Diraca . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.1.5. Transformata Fouriera funkcji okresowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.1.6. Reguła sumacyjna Poissona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.2. Sygnał o ograniczonym pasmie czestotliwosci i sygnał o ograniczonym czasietrwania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.2.1. Nierównosc Schwartza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.2.2. Własnosci sygnałów o ograniczonym czasie trwania . . . . . . . . . . . . . 1846.2.3. Własnosci sygnałów o ograniczonym pasmie czestotliwosci . . . . . . . . . 185

6.3. Sygnał dyskretny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1896.3.1. Modulacja impulsowa — sygnał dyskretny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1896.3.2. Widmo sygnału dyskretnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1906.3.3. Odtwarzanie sygnału analogowego na podstawie sygnału dyskretnego . . 1916.3.4. Twierdzenie Kotelnikowa-Shannona-Nyquista . . . . . . . . . . . . . . . . . 1946.3.5. Wpływ kształtu sygnałów próbkujacych na widmo sygnału zmodulowanego 1956.3.6. Decymacja i interpolacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1966.3.7. Dowód twierdzenia o próbkowaniu bez teorii dystrybucji . . . . . . . . . . 1986.3.8. Próbkowanie sygnałów pasmowych — obwiednia sygnału . . . . . . . . . . 200

6.4. Sygnał cyfrowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.4.1. Stałoprzecinkowy, binarny format zapisu liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.4.2. Zmiennoprzecinkowy, binarny format zapisu liczb . . . . . . . . . . . . . . 2076.4.3. Podział kanału w dziedzinie czasu (TDM — time division multiplexing) . 2096.4.4. Szumy kwantowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.4.5. Przetwarzanie ∆Σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116.4.6. Wzór Shannona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223


Rozdział 7. Dyskretna transformacja Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

7.1. Dyskretna transformacja Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2277.1.1. Sygnał dyskretny o skonczonym czasie trwania i jego widmo . . . . . . . . 2277.1.2. Dyskretna transformacja Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2297.1.3. Własnosci DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

7.2. Szybki algorytm obliczania dyskretnej transformaty Fouriera (FFT) . . . . . . . . . 2407.2.1. Algorytm FFT z podziałem w dziedzinie czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . 2407.2.2. Algorytm FFT z podziałem w dziedzinie czestotliwosci . . . . . . . . . . . . 2427.2.3. O dodawaniu i mnozeniu liczb przez komputery . . . . . . . . . . . . . . . 2447.2.4. Przykłady zastosowan DFT poza cyfrowym przetwarzaniem sygnałów . . . 249

7.3. Algorytm swiergotowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252


Rozdział 8. Transformacja Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

8.1. Wstep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2578.2. Definicja transformacji Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2578.3. Transformacja odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2608.4. Transformacja Z sygnału przyczynowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2618.5. Transformacja sygnału stabilnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2628.6. Własnosci transformacji Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2638.7. Zwiazek z transformacja Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2678.8. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2688.9. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

Rozdział 9. Liniowe układy dyskretne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

9.1. Wstep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2699.2. Równania róznicowe i równania stanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2699.3. Odpowiedz impulsowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2729.4. Transmitancja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2739.5. Przyczynowosc i stabilnosc układów cyfrowych a obszar zbieznosci transmitancji 2769.6. Charakterystyka czestotliwosciowa a zera i bieguny transmitancji . . . . . . . . . . 2769.7. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2779.8. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Rozdział 10. Filtry cyfrowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

10.1. Filtry SOI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28010.1.1. Metoda okien czasowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

10.2. Filtry NOI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28510.2.1. Projektowanie filtrów NOI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

10.3. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

Skorowidz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

Transformacja FourieraGrzegorz Tyma 2

2.1. Denicja przekształcenia Fouriera

Spróbujmy znalezc wzory na transformacje Fouriera sygnałów aperiodycznych, korzy-stajac z wyników otrzymanych dla szeregów Fouriera. Pomysł jest nastepujacy: niechanalizowany sygnał aperiodyczny zostanie na chwile zamieniony na okresowy przezjego powielenie z okresem T . Dla takiego sygnału potrafimy znalezc rozwiniecie. Na-stepnie sprawdzimy, jak beda sie zachowywały współczynniki rozwiniecia w przypad-ku, gdy z okresem bedziemy zdazac do nieskonczonosci. Zabieg ten spowoduje, iz naszsztucznie powielony, okresowy przebieg znów zamieni sie w sygnał aperiodyczny.

Rozpatrzmy przypadek sygnału okresowego, którego rozwiniecie zostało znalezionew przykładzie 1.8, w rozdziale poswieconym szeregom Fouriera. Sygnał ten, o okre-sie T , moze byc opisany wzorem

x(t ) =

1 , gdy |t |< T1 ,

0 , gdy T1 < |t |< T /2 .(2.1)

Znalezione współczynniki rozwiniecia maja postac

ck = 2 sin(kω0T1)

kω0T, gdzie ω0 = 2π

T. (2.2)

Zdefiniujmy nowa wielkosc w postaci

T ck = 2 sin(ωT1)

ω

∣∣∣∣ω=kω0

(2.3)

i nazwijmy funkcje stojaca po prawej stronie równosci obwiednia. Współczynniki roz-winiecia moga byc traktowane jako próbki obwiedni pobierane w równych odstepach

32 2. Transformacja Fouriera

(rysunek 2.1). Dla ustalonej wartosci T1 obwiednia jest niezalezna od T . Wraz ze wzro-stem T maleja odstepy pomiedzy pobieranymi próbkami obwiedni. W granicznymprzypadku, gdy T dazy do nieskonczonosci, sygnał okresowy staje sie sygnałem ape-riodycznym, a próbki T ck tworza obwiednie.

w

kTc

w

kTc

14T T= ×a)14T T= ×a)

18T T= ×b)

02 w×

04 w×

Rysunek 2.1. Obwiednia T ck i próbki pobierane z niej z okresem próbkowania (a) T = 4T1

i (b) T = 8T1

Oznaczmy sztucznie utworzony sygnał okresowy przez x1(t ) (rysunek 2.2). Mozemydla niego napisac znane wzory rozwiniecia w szereg Fouriera:

x1(t ) =∞∑

k=−∞ck ejkω0t , (2.4a)

ck = 1

T

∫ T /2

−T /2x1(t ) e−jkω0t dt , (2.4b)

gdzie ω0 = 2π/T . Sygnał okresowy x1(t ) powstał przez powielenie z okresem T sygnałux(t ), zatem x1(t ) = x(t ) dla |t | < T /2, ponadto x(t ) = 0 poza tym przedziałem. Korzysta-jac z tych informacji mozemy poprzedni wzór zapisac w postaci

ck = 1

T

∫ T /2

−T /2x(t ) e−jkω0t dt = 1

T

∫ ∞

−∞x(t ) e−jkω0t dt . (2.5)

( )x t

1( )x t

t

t1T

1T1T-

1T- TT-

Rysunek 2.2. Sygnał aperiodyczny x(t ) i sztucznie utworzony sygnał okresowy x1(t )

2.2. Warunki Dirichleta istnienia transformaty Fouriera 33

Zatem obwiednie X (jω) z T ck mozna przedstawic jako

X (jω) =∫ ∞

−∞x(t ) e−jωt dt . (2.6)

Współczynniki rozwiniecia wyliczamy:

ck = 1

TX (jkω0) . (2.7)

Korzystajac z tego, otrzymujemy

x1(t ) =∞∑

k=−∞

1

TX (jkω0) ejkω0t = 1

2π

∞∑k=−∞

X (jkω0) ejkω0t ω0 . (2.8)

Gdy okres T dazy do nieskonczonosci, to x1(t ) dazy do x(t ), a ω0 dazy do zera. W efek-cie w ostatnim wzorze x(t ) zastapi x1(t ), a po prawej stronie suma zostanie zastapionacałka

x(t ) = 1

2π

∫ ∞

−∞X (jω) ejωt dω . (2.9)

Ostatecznie otrzymalismy pare wzorów na proste i odwrotne przekształcenie Fouriera:

X (jω) =∫ ∞

−∞x(t ) e−jωt dt , (2.10a)

x(t ) = 1

2π

∫ ∞

−∞X (jω) ejωt dω . (2.10b)

Funkcja po transformacji moze byc zapisana we współrzednych biegunowych:

X (jω) = |X (jω)|ej arg[X (jω)] . (2.11)

Moduł X (ω) = |X (jω)| nosi nazwe gestosci widmowej amplitudy, natomiast faza ϕ(ω) =arg

[X (jω)

]nazywana jest gestoscia widmowa fazy (czesto zamiennie mówi sie o wid-

mie amplitudowym i fazowym).Podane zostana teraz warunki, jakie musi spełniac funkcja x(t ), aby mozna było

znalezc jej transformate Fouriera.

2.2. Warunki Dirichleta istnienia transformaty Fouriera

Podobnie jak dla sygnałów okresowych podaje sie trzy warunki, zwane warunkami Di-richleta, na istnienie transformacji Fouriera funkcji x(t ).

Warunek 1. Funkcja x(t ) jest bezwzglednie całkowalna, tzn.∫ ∞

−∞|x(t )|dt <∞ . (2.12)

Warunek 2. Funkcja x(t ) ma skonczona liczbe maksimów i minimów w dowolnymskonczonym przedziale.


Warunek 3. Funkcja x(t ) ma skonczona liczbe punktów nieciagłosci w dowolnymskonczonym przedziale. Ponadto wartosci funkcji w tych punktach musza byc ogra-niczone.

W kolejnym podrozdziale przedstawiono wybrane własnosci przekształcenia Fouriera.

2.3. Wybrane własności przekształcenia Fouriera

Liniowość

Jezelix(t ) = X (jω) oraz y(t ) = Y (jω), (2.13a)

toa x(t )+b y(t ) = a X (jω)+b Y (jω) . (2.13b)

Dowód twierdzenia o liniowosci przekształcenia Fouriera jest łatwy i wynika wprost zewzoru na proste przekształcenie Fouriera.

Przesunięcie w czasie

Jezeli x(t ) = X (jω), to x(t − t0) = e−jωt0 X (jω). Udowodnijmy to. Wiemy, iz

x(t ) = 1

2π

∫ ∞

−∞X (jω) ejωt dω . (2.14)

Wprowadzajac przesuniecie w czasie, otrzymujemy

x(t − t0) = 1

2π

∫ ∞

−∞X (jω) ejω(t−t0) dω= 1

2π

∫ ∞

−∞e−jωt0 X (jω) ejωt dω . (2.15)

Dostajemy zatemF

x(t − t0)

= e−jωt0 X (jω) . (2.16)

Warto zauwazyc, ze przesuniecie oryginału powoduje zmiane jedynie gestosci widmo-wej fazy, natomiast bez zmiany pozostaje gestosc widmowa amplitudy.

Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości

Jezeli x(t ) = X (jω), to ejω0t x(t ) = X [j(ω−ω0)]. Udowodnijmy to. Wiemy, iz

x(t ) = 1

2π

∫ ∞

−∞X (jω) ejωt dω . (2.17)

Wprowadzajac przesuniecie w czestotliwosci, otrzymujemy

F−1X [j(ω−ω0)]

= 1

2π

∫ ∞

−∞X [j(ω−ω0)] ejωt dω=

= ejω0t

2π

∫ ∞

−∞X (v) ejv t dv = ejω0t x(t ) .

(2.18)

2.3. Wybrane własności przekształcenia Fouriera 35

Różniczkowanie i całkowanie oryginału

Zrózniczkujmy wzór x(t ) = 12π

∫ ∞−∞ X (jω) ejωt dω po czasie; w efekcie otrzymamy

dx(t )

dt= jωX (jω) (2.19)

Twierdzenie powyzsze jest prawdziwe, gdy funkcja x(t ) jest bezwzglednie całkowalnaw przedziale (−∞,+∞), ciagła i dazy do zera dla t → ±∞ oraz ma prawie wszedziepochodna x(t ), która jest bezwzglednie całkowalna w przedziale (−∞,+∞).

Niestety wzór na transformate Fouriera całki nie jest tak prosty, jak w przypadkutransformaty Laplace’a: ∫ t

−∞x(ζ) dζ = X (jω)

jω+πX (0)δ(ω) . (2.20)

Aby go udowodnic, trzeba zauwazyc, ze sygnał∫ t−∞ x(ζ) dζ jest splotem sygnału x(t )

z jedynka Heaviside’a

1(t ) =

1 dla t Ê 0 ,

0 dla t < 0 ,(2.21)

i zastosowac twierdzenie o transformacie Fouriera splotu sygnałów1.

Skalowanie w czasie i częstotliwości (podobieństwo)

Jezeli x(t ) = X (jω), to dla dowolnej stałej a > 0 zachodzi

x(at ) = 1

aX

(jω

a

). (2.22)

Dowód:

F [x(at )] =∫ ∞

−∞x(at ) e−jωt dt =

∫ ∞

−∞x(τ) e−j ωa τ

dτ

a= 1

aX

(jω

a

). (2.23)

Twierdzenie o transformacie splotu

Jezelix(t ) = X (jω) oraz y(t ) = Y (jω) , (2.24a)

to ∫ ∞

−∞x(t −τ)y(τ) dτ = X (jω)Y (jω) . (2.24b)

Udowodnijmy to:

F

∫ ∞

−∞x(t −τ)y(τ) dτ

=

∫ ∞

−∞

[∫ ∞

−∞x(t −τ)y(τ) dτ

]e−jωt dt =

=∫ ∞

−∞y(τ)

[∫ ∞

−∞x(t −τ) e−jωt dt

]dτ .

(2.25)

1 Wiecej o transformacie Fouriera jedynki Heaviside’a napisano w podrozdziale 6.1.2 na stronie 176.


Wprowadzajac nowa zmienna całkowania u = t−τ, mamy dt = du oraz t = u+τ, wobectego

F

∫ ∞

−∞x(t −τ)y(τ)dτ

=

∫ ∞

−∞y(τ)

[∫ ∞

−∞x(u) e−jω(u+τ) dt

]dτ=

=∫ ∞

−∞y(τ) e−jωτ dτ

∫ ∞

−∞x(u) e−jωu du = X (jω)Y (jω) .

(2.26)

Wzór Parsevala

Jezelix(t ) = X (jω) , (2.27a)

to ∫ ∞

−∞|x(t )|2 dt = 1

2π

∫ ∞

−∞|X (jω)|2 dω . (2.27b)

Spróbujmy to wykazac:∫ ∞

−∞|x(t )|2 dt =

∫ ∞

−∞x(t ) x∗(t ) dt =

∫ ∞

−∞x(t )

[1

2π

∫ ∞

−∞X ∗(jω) e−jωt dω

]dt . (2.28)

Zmieniajac kolejnosc całkowania, otrzymujemy∫ ∞

−∞|x(t )|2 dt = 1

2π

∫ ∞

−∞X ∗(jω)

[∫ ∞

−∞x(t ) e−jωt dt

]dω=

= 1

2π

∫ ∞

−∞X ∗(jω) X (jω) dω= 1

2π

∫ ∞

−∞|X (jω)|2 dω .

Wzór Parsevala posiada interpretacje fizyczna. Wartosc całki∫ ∞−∞|x(t )|2 dt moze byc

traktowana jako energia zamieniona na ciepło na oporniku 1Ω przy przepływie pradui = x(t ) w nieskonczenie wielkim przedziale czasowym. Zgodnie ze wzorem Parsevalacałka z kwadratu gestosci widmowej amplitudy równiez przedstawia energie. Dlategomówi sie o rozkładzie energii w funkcji pulsacji, a wielkosc |X (jω)|2/(2π) nazywana jestgestoscia widmowa energii2.

Symetria dualna

Podobienstwo wzorów na proste i odwrotne przekształcenie Fouriera pociaga za so-ba dualnosc oryginałów i ich obrazów. Zilustrujmy to przykładem. Znajdzmy obrazdla sygnału czasowego bedacego pojedynczym impulsem prostokatnym, a nastepnieznajdzmy oryginał dla pojedynczego impulsu prostokatnego w dziedzinie czestotliwo-sci:

x1(t ) =

1 dla |t | < T1 ,

0 dla T1 < |t | = X1(jω) = 2 sin(ωT1)

ω(2.29a)

x2(t ) = sin(ω0t )

πt= X2(jω) =

1 dla |ω| <ω0 ,

0 dla ω0 < |ω| . (2.29b)

2 Jezeli całkowanie we wzorze (2.27b) odbywa sie wzgledem czestotliwosci f wyrazonej w hercach, a niewzgledem pulsacji ω wyrazonej w radianach na sekunde, to pomija sie współczynnik 1/(2π).

2.3. Wybrane własności przekształcenia Fouriera 37

Odpowiednie pary (oryginał i transformata) przedstawiono na rysunku 2.3. Łatwo za-uwazyc symetrie, jaka wystepuje w tych dwóch przekształceniach. Bedzie ona wyste-powała takze w przypadku innych funkcji. Jezeli tylko wezmiemy jedna funkcje i po-liczymy jej transformate, a nastepnie oryginał potraktujemy jako obraz i zastosujemydo niego odwrotne przekształcenie, to otrzymane w ten sposób obraz i oryginał bedado siebie podobne. Mozemy to zapisac w nastepujacej postaci:

x(t ) = X (jω) ⇒ X (t ) = 2πx(−ω). (2.30)

1( )X jw

w

12T

1/Tp

1T1T- t

1( )x t 1

12 ( )X jw

0w0w- w

2 ( )x t 0 /w p

0/p w

t

Rysunek 2.3. Podobienstwo oryginałów i obrazów

Sprzężenie i symetria

Jezelix(t ) = X (jω) , (2.31a)

tox∗(t ) = X ∗(−jω) . (2.31b)

Mozna to w prosty sposób udowodnic. Obliczajac wartosc sprzezona X (jω), otrzymu-jemy

X ∗(jω) =[∫ ∞

−∞x(t ) e−jωt dt

]∗=

∫ ∞

−∞x∗(t ) ejωt dt . (2.32)

Zamieniajac ω na −ω, uzyskujemy

X ∗(−jω) =∫ ∞

−∞x∗(t ) e−jωt dt =F

x∗(t )

. (2.33)

Jesli x(t ) jest rzeczywiste i x∗(t ) = x(t ), to na podstawie dwóch poprzednich wzorówłatwo pokazac, ze

X (−jω) = X ∗(jω) oraz X ∗(−jω) = X (jω) . (2.34)

Jezeli przedstawimy X (jω) w postaci

X (jω) = ReX (jω)+ j ImX (jω) , (2.35)


to korzystajac ze wzoru (2.34) otrzymujemy nastepujace zaleznosci (cały czas zakłada-my, ze x(t ) jest rzeczywiste):

ReX (jω) = ReX (−jω) ,

ImX (jω) =− ImX (−jω) .(2.36)

Ze wzorów tych wynika takze, ze gestosc widmowa amplitudy jest funkcja parzysta,a gestosc widmowa fazy — funkcja nieparzysta. Wynik ten mozna takze otrzymac w in-ny sposób. Jesli zapiszemy e−jωt = cos(ωt )− j sin(ωt ), to transformata Fouriera sygnałux(t ) moze byc zapisana w postaci

F x(t ) = X (jω) = X1(jω)− jX2(jω) , (2.37)

gdzie

X1(jω) =∫ ∞

−∞x(t ) cos(ωt ) dt ,

X2(jω) =∫ ∞

−∞x(t ) sin(ωt ) dt .

(2.38)

Widac, ze funkcja X1(jω) jest parzysta, zas X2(jω) nieparzysta wzgledem ω. Zatem łatwopokazac, iz gestosc widmowa amplitudy jest funkcja parzysta, a gestosc widmowa fazyfunkcja nieparzysta wzgledem ω.

W tabeli 2.1 zebrano niektóre własnosci transformaty Fouriera. Natomiast w tabe-li 2.2 znalazły sie wybrane pary transformat. Wyliczenia poszczególnych transformatCzytelnik moze znalezc w podrozdziale zawierajacym przykłady.

Tabela 2.1. Własnosci transformaty Fouriera

WłasnośćSygnał aperiodyczny Transformata Fouriera

x(t ), y(t ) X (jω), Y (jω)

Liniowosc a x(t )+b y(t ) a X (jω)+b Y (jω)

Przesuniecie w czasie x(t − t0) e−jωt0 X (jω)

Przesuniecie w czestotliwosci ejω0t x(t ) X [j(ω−ω0)]

Rózniczkowanie oryginałudx(t )

dtjωX (jω)

Całkowanie oryginału∫ t

−∞x(ζ) dζ

X (jω)

jω+πX (0)δ(ω)

Skalowanie w czasiei czestotliwosci (podobienstwo)

x(at ) , a > 01

aX

(jω

a

)Splot

∫ ∞

−∞x(t −τ) y(τ) dτ X (jω)Y (jω)

Wzór Parsevala∫ ∞

−∞|x(t )|2 dt = 1

2π

∫ ∞

−∞|X (jω)|2 dω

2.4. Gęstość widmowa sygnału na wyjściu układu liniowego 39

Tabela 2.2. Wybrane pary transformat

Oryginał Obraz∞∑

k=−∞ck ejkω0t 2π

∞∑k=−∞

ck δ(ω−kω0)

ejω0t 2πδ(ω−ω0)

cos(ω0t ) π[δ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)]

sin(ω0t ) jπ[δ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)]

x(t ) = 1 2πδ(ω)

δ(t ) 1

1(t )1

jω+πδ(ω)

δ(t − t0) e−jωt0

sin(ω0t )

ω0tX (jω) =

π/ω0 dla |ω| <ω0 ,

0 dla |ω| >ω0

e−ω20t 2

pπ

|ω0|exp

(− ω2

4ω20

)

e−|ω0t | 2|ω0|ω2

0 +ω2

2.4. Gęstość widmowa sygnału na wyjściu układu liniowego

Przedstawiajac własnosci przekształcenia Fouriera, pokazano, ze splot dwóch sygna-łów równy jest iloczynowi transformat Fouriera tych sygnałów. Korzystajac z tej wła-snosci, mozemy podac zwiazek pomiedzy transformata Fouriera X (jω) sygnału na wej-sciu układu liniowego a transformata Fouriera Y (jω) sygnału wyjsciowego. Dany jeston zaleznoscia

Y (jω) = K (jω) X (jω) , (2.39)

gdzie K (jω) = |K (jω)|ej arg[K (jω)] jest charakterystyka czestotliwosciowa obwodu. Zwiazkipomiedzy gestosciami widmowymi amplitudy i fazy sygnału wejsciowego i wyjsciowe-go dane sa wzorami

|Y (jω)| = |K (jω)| |X (jω)| , (2.40a)

arg[Y (jω)] = arg[K (jω)]+arg[X (jω)] . (2.40b)

2.5. Przykłady

Przykład 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Znajdz transformate Fouriera delty Diraca.


Rozwiazanie. Korzystajac z definicji prostego przekształcenia Fouriera, otrzymujemy

F δ(t ) =∫ ∞

−∞δ(t ) e−jωt dt = 1 . .

Przykład 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Znajdz transformate Fouriera sygnału jednostkowego

1(t ) =

0 , gdy −∞< t < 0 ,

1 , gdy ∞> t > 0 .

Rozwiazanie. Niestety, w przypadku tej funkcji nie mozemy skorzystac z twierdzeniao obrazie pochodnej, gdyz nie spełnia ona załozen. Wykorzystamy natomiast twier-dzenie o obrazie całki. Skok jednostkowy moze byc przedstawiony jako całka z deltyDiraca, tj. 1(t ) = ∫ t

−∞δ(ζ) dζ. W efekcie otrzymujemy

F x(t ) = 1

jω+πδ(ω) . .

Przykład 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Znajdz oryginał X (jω) = δ(ω).

Rozwiazanie. Korzystajac z definicji odwrotnego przekształcenia Fouriera, otrzymu-jemy

x(t ) = 1

2π

∫ ∞

−∞δ(ω) ejωt dω= 1

2π.

Dzieki temu wynikowi mozemy zapisac, jak wyglada transformata Fouriera wartoscistałej:

F 1 = 2πδ(ω) . .Przykład 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Znajdz transformate Fouriera sygnału okresowego x(t ) majacego rozwiniecie w wy-kładniczy szereg Fouriera.

Rozwiazanie. Sygnał x(t ) posiada rozwiniecie w szereg Fouriera, zatem

x(t ) =∞∑

k=−∞ck ejkω0t .

Znajdzmy transformate Fouriera tego sygnału. Skorzystamy w tym przypadku z twier-dzenia o przesunieciu obrazu3:

F x(t ) =F ∞∑

k=−∞ck e−jkω0t = ∞∑

k=−∞2πck δ(ω−kω0) . .

3 Chodzi tu o przesuniecie obrazu funkcji w dziedzinie czestotliwosci.

2.5. Przykłady 41

Przykład 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Znajdz transformate Fouriera funkcji x(t ) = cos(ω0t ).

Rozwiazanie. Zapiszmy funkcje x(t ), korzystajac ze wzorów Eulera:

x(t ) = cos(ω0t ) = e−jω0t +ejω0t

2.

Korzystajac teraz z twierdzenia o przesunieciu obrazu i wzoru na transformate wartoscistałej, otrzymujemy koncowy wzór:

F cos(ω0t ) =πδ(ω+ω0)+πδ(ω−ω0) .

W tym miejscu warto przeanalizowac, jak wyglada gestosc widmowa funkcji typu y(t ) =x(t ) cos(ω0t ), w przypadku gdy znamy obraz funkcji x(t ). Łatwo pokazac, korzystajacz twierdzenia o przesunieciu obrazu, ze jezeli

F x(t ) = X (jω) ,

to

F y(t ) =F

x(t )

2e−jω0t +x(t )

2ejω0t

= 1

2X [j(ω+ω0)]+ 1

2X [j(ω−ω0)] .

Wiecej informacji na ten temat mozna znalezc w rozdziale poswieconym modulacji..Przykład 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Znajdz transformate Fouriera funkcji x(t ) = sin(ω0t ).

Rozwiazanie. Zapiszmy funkcje x(t ) w innej postaci:

x(t ) = sin(ω0t ) = ejω0t −e−jω0t

2j.

Korzystajac teraz z twierdzenia o przesunieciu obrazu i wzoru na transformate wartoscistałej, otrzymujemy koncowy wzór:

F sin(ω0t ) = πjδ(ω+ω0)−πjδ(ω−ω0) . .Przykład 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Znajdz oryginał dla X (jω) danego wzorem

X (jω) = π

ω0[1(ω+ω0)−1(ω−ω0)] .

Rozwiazanie. Korzystajac z definicji odwrotnego przekształcenia Fouriera, otrzymu-jemy

x(t ) = 1

2π

∫ ω0

−ω0

πejωt

ω0dω= 1

2jtω0ejωt

∣∣∣∣ω0

−ω0

= 2j sin(ω0t )

2jω0t= sin(ω0t )

ω0t.

Zatem

x(t ) = sin(ω0t )

ω0t. .


Przykład 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Znajdz transformate Fouriera sygnału przedstawionego na rysunku 2.4.

tb aa- b-

( )x tA

Rysunek 2.4. Sygnał x(t ) z przykładu 2.8

Rozwiazanie. Mozna oczywiscie znalezc obraz zadanej funkcji, korzystajac ze wzorudefiniujacego to przekształcenie. Spróbujmy jednak ułatwic sobie troche dojscie dorozwiazania, wykorzystujac twierdzenie o obrazie zrózniczkowanej funkcji. Zróznicz-kujmy dwukrotnie funkcje x(t ). Zabieg ten został zilustrowany na rysunkach 2.5 i 2.6.Druga pochodna składa sie z czterech impulsów Diraca. W prosty sposób mozemyznalezc obraz drugiej pochodnej.

F x(t ) = A

a −bF

δ(t +a)−δ(t +b)−δ(t −b)+δ(t −a)

= A

a −b(ejωa −ejωb −e−jωb +e−jωa ) = A

a −b[cos(ωa)−cos(ωb)] .

tb a

a- b-

/( )A a b-

/( )A a b- -

( )x t&

Rysunek 2.5. Pierwsza pochodna sygnału x(t ) z przykładu 2.8

t

b

aa-

b-

/( )A a b-

/( )A a b- -/( )A a b- -

/( )A a b-( )x t&&

Rysunek 2.6. Druga pochodna sygnału x(t ) z przykładu 2.8

Pamietajac, zeF x(t ) = (jω)2F x(t ) ,

otrzymujemy

F x(t ) =− 1

ω2

A

a −b[cos(ωa)−cos(ωb)] . .

2.5. Przykłady 43

Przykład 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Znajdz transformate Fouriera sygnału x(t ) przedstawionego na rysunku 2.7.

( )x t A

t

ee- 0

Rysunek 2.7. Sygnał x(t ) z przykładu 2.9

Rozwiazanie. Zrózniczkujmy dwukrotnie funkcje x(t ). Zabieg ten został zilustrowanyna rysunku 2.8. Druga pochodna składa sie z trzech impulsów Diraca. W prosty sposóbmozemy znalezc obraz drugiej pochodnej:

F x(t ) = A

εF

δ(t +ε)−2δ(t )+δ(t −ε)

= A

ε(ejωε−2+e−jωε) = 2A

ε[cos(ωε)−1] =−4A

εsin2

(ωε

2

).

( )x t& ( )x t&&/A e

/A e-

e

e-

t

ee-

/A e /A e

2 /A e-

t

Rysunek 2.8. Pierwsza i druga pochodna sygnału x(t ) z przykładu 2.9

Pamietajac, zeF x(t ) = (jω)2F x(t ) ,

otrzymujemy

F x(t ) =(− 1

ω2

)[−4A

εsin2

(ωε

2

)]= 4A

εω2sin2

(ωε

2

). .

Przykład 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Oblicz oryginalny sygnał x(t ), którego widmo przedstawione jest na rysunku 2.9.

Rozwiazanie. Korzystajac z definicji odwrotnego przekształcenia Fouriera, mozemyzapisac

x(t ) = 1

2π

∫ ∞

−∞X (jω) ejωt dω=

= 1

2π

∫ 0

−2A

π

A

1

2A(2A+ω) ejωt dω+ 1

2π

∫ 2A

0

π

A

1

2A(2A−ω) ejωt dω .


0

( )X jw / Ap

w2A2A-

Rysunek 2.9. Widmo sygnału x(t ) z przykładu 2.10

Obliczmy wartosc pierwszej całki:

I1 = 1

4A2

∫ 0

−2A(2A+ω) ejωt dω=

= 1

4A2

[2A

jtejωt

]0

−2A+

[ω

jtejωt

]0

−2A+

[1

t 2ejωt

]0

−2A

= 1

4A2

[2A

jt+ 1

t 2(1−e−j2At )

]oraz drugiej:

I2 = 1

4A2

∫ 2A

0(2A−ω) ejωt dω=

= 1

4A2

[2A

jtejωt

]2A

0+

[−ωjt

ejωt]2A

0−

[1

t 2ejωt

]2A

0

= 1

4A2

[−2A

jt− 1

t 2(ej2At −1)

].

W efekcie otrzymujemy

x(t ) = I1 + I2 = 1

4(At )2(1−e−jAt +1−ejAt ) = 1

2(At )2[1−cos(2At )] =

= 1

2(At )2[sin2(At )+cos2(At )−cos2(At )+ sin2(At )].

Zatem

x(t ) = sin2(At )

(At )2=

[sin(At )

At

]2

. .Przykład 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Okreslic pulsacje graniczna idealnego filtru dolnoprzepustowego o wzmocnieniu w pa-smie przepuszczania równym 2, jezeli wiadomo, ze po pobudzeniu sygnałem

x(t ) = 500 sin2(500t )

(500t )2

energia sygnału na wejsciu i wyjsciu filtru jest taka sama.

Rozwiazanie. Na rysunku 2.10 przedstawiono gestosc widmowa sygnału na wejsciufiltru X (ω), wyjsciu Y (ω) oraz charakterystyke czestotliwosciowa filtru K (ω). Obliczmyenergie sygnału na wejsciu filtru. Zgodnie ze wzorem Parsevala mozemy zapisac

Ex =∫ +∞

−∞|x(t )|2 dt = 1

2π

∫ +∞

−∞|X (ω)|2 dω .

2.5. Przykłady 45

1000-g

w- gw 10000

( )K w ( )X w

w

2

p ( )Y w2p

gw- g

w0 w

Rysunek 2.10. Gestosci widmowe X (ω) i Y (ω) oraz charakterystyka czestotliwosciowa filtruK (ω)

W naszym przypadku

Ex = 1

2π

∫ 0

−1000

[π

(1+ ω

1000

)]2

dω+ 1

2π

∫ 1000

0

[π

(1− ω

1000

)]2

dω=

=π∫ 0

−1000

(1+ ω

1000

)2

dω=π[ω+ ω2

103+ 1

3

ω3

106

]0

−1000= π103

3.

Energia sygnału na wyjsciu filtru dana jest wzorem

Ey = 1

2π2∫ 0

−ωg

[2π

(1+ ω

1000

)]2

dω= 4π

[ω+ ω2

103+ 1

3

ω3

106

]0

−ωg

= 4π

(ωg −

ω2g

103+ 1

3

ω3g

106

).

Zgodnie z warunkami zadania Ex = Ey , zatem

ωg −ω2

g

103+ 1

3

ω3g

106= 1

12103 .

Rozwiazujac to równanie, otrzymujemy

ωg ≈ 91,4 rad/s. .Przykład 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Znajdz transformate Fouriera sygnału

x(t ) = e−a|t | , a > 0 .

Rozwiazanie. Zgodnie z definicja prostego przekształcenia Fouriera mozemy zapisac

X (jω) =∫ ∞

−∞e−a|t | e−jωt dt =

∫ 0

−∞eat e−jωt dt +

∫ ∞

0e−at e−jωt dt .

Zatem

X (jω) = 1

a − jωet (a−jω)

∣∣∣∣0

−∞− 1

a + jωe−t (a+jω)

∣∣∣∣∞0

= 1

a − jω+ 1

a + jω= 2a

a2 +ω2. .

Przykład 2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Wyznacz gestosc widmowa impulsu prostokatnego przedstawionego na rysunku 2.11:

f (t ) = A[1(t +ε)−1(t −ε)] .


( )f t A

ee- t

e

e- t

( )f t&( )A td e+

( )A td e- -

Rysunek 2.11. Sygnał f (t ) z przykładu 2.13 oraz jego pierwsza pochodna

Rozwiazanie. Korzystajac z twierdzenia o transformacie funkcji przesunietej w czasie,znajdujemy transformate Fouriera f (t ):

F f (t ) = A[F δ(t +ε)−F δ(t −ε)] = A(ejωε−e−jωε) .

Równoczesnie na podstawie twierdzenia o transformacie pochodnej funkcji czasowejmamy

F f (t ) = jωF (ω) .

Wobec tegojωF (ω) = A(ejωε−e−jωε) .

W efekcie otrzymujemy

F (ω) = 2A(ejωε−e−jωε)

2jω= 2A

ωsin(ωε) . .

Przykład 2.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Sygnał x(t ) = (πt )−1 sin(100t ) podano na dwa połaczone kaskadowo filtry, których cha-rakterystyki amplitudowe przedstawiono na rysunku 2.12, przy czym filtry te nie ob-ciazaja sie wzajemnie. Oblicz energie sygnału y(t ) na wyjsciu układu.

-100 -60 -20 60 10020

( )A

K w

w -100 -60 -20 60 10020 w

1

( )B

K w

Rysunek 2.12. Charakterystyki amplitudowe filtrów z przykładu 2.14

Rozwiazanie. Na rysunku 2.13 przedstawiono gestosci widmowe sygnałów na wejsciui wyjsciu układu. Korzystajac ze wzoru Parsevala oraz uwzgledniajac symetrie gestosciwidmowej sygnału na wyjsciu układu, mozemy obliczyc szukana energie:

Ey = 81

2π

∫ 40

20

(ω−20

20

)2

dω= 81

2π

∫ 20

0

(ω

20

)2

dω= 80

3π. .

2.5. Przykłady 47

-100 100 w

( )X w

-100 -60 -20 20 60 100 w

( )Y w

1

Rysunek 2.13. Gestosci widmowe sygnałów wejsciowego i wyjsciowego w przykładzie 2.14

Przykład 2.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Sygnał

x(t ) = A cos(Ωt )sin(ω0t )

ω0t,

gdzie Ω= 300 rad/s, ω= 100 rad/s, A = 200, podano na wejscie idealnego filtru górno-przepustowego o wzmocnieniu w pasmie przepuszczania równym 2.

• Oblicz i narysuj gestosc widmowa sygnału x(t ).• Wyznacz pulsacje graniczna filtru, jezeli wiadomo, ze energia sygnału y(t ) na

wyjsciu filtru stanowi 25% energii sygnału wejsciowego.

Rozwiazanie. Gestosc widmowa sygnału x(t ) przedstawiono na rysunku 2.14. Wyzna-czono ja jako gestosc widmowa sygnału cos(Ωt ), zmodulowanego sygnałem Sa(ω0t )4.Analitycznie moze byc ona zapisana w postaci

X (jω) =π[1(ω+400)−1(ω+200)+1(ω−200)−1(ω−400)] .

( )X w

2p [ ]0Sa( t)F w

w-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400

Rysunek 2.14. Gestosc widmowa sygnału x(t ) z przykładu 2.15

Energie sygnału x(t ), zgodnie ze wzorem Parsevala, mozemy obliczyc:

Ex = 1

2π

∫ −200

−400(π)2 dω+ 1

2π

∫ 400

200(π)2 dω= 1

π

∫ 400

200(π)2 dω= 200π .

Natomiast energia sygnału y(t ) wynosi

Ey = 1

π

∫ 400

ωg

(2π)2 dω= 4π(400−ωg) .

4 Sa(ω0t ) = (ω0t )−1 sin(ω0t ).


Zgodnie z warunkami zadania Ey = 0,25Ex , zatem

4π(400−ωg) = 0,25 ·200π

Rozwiazujac to równanie, otrzymujemy

ωg = 387,5 rad/s .2.6. Literatura

[1] M. Krakowski, Elektrotechnika teoretyczna, Panstwowe Wydawnictwo Naukowe,Warszawa 1991.

[2] A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, Cyfrowe przetwarzanie sygnałów, Wydawnictwa Ko-munikacji i Łacznosci, Warszawa 1979.

[3] A. V. Oppenheim, A. S. Willisky, Signals & Systems, Prentice Hall Inc., Upper SaddleRiver, New Jersey 1997.

[4] A. Wojnar, Teoria sygnałów, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1980.

SPIS TREŒCI Wydanie II poprawione i uzupe³nione€ Filtry analogowe i cyfrowe Teoria sygna³ów...

Documents

Transcript of SPIS TREŒCI Wydanie II poprawione i uzupe³nione€ Filtry analogowe i cyfrowe Teoria sygna³ów...