http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I

10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony

DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)

Siły oporu (tarcia) są zwykle proporcjonalne do prędkości ciała*:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

dt

xdrvrFoporu

Oscylator mechaniczny w obecności sił tarcia (tłumienie):

kxrvma

Obwód RLC (opór R odpowiada za tłumienie):

0C

qRI

dt

dIL

* A przedtem było (patrz wykład 3.), że do kwadratu prędkości! Nieoduczeni ci

wykładowcy, albo kłamią na wykładach…

DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)

Ogólne równanie drgań tłumionych (straty energii na oporze ośrodka,

proporcjonalne do pierwszej pochodnej zmiany położenia, czyli prędkości):

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

02 2

0 xxx

Dla oscylatora mechanicznego:

m

r

2

m

k0

DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)

Ogólne rozwiązanie w postaci kombinacji liniowej rozwiązań

szczególnych:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

txNtxNtx 2211

gdzie:

tAtx 2

0

2

2,12,1 exp

DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Rodzaje rozwiązań:

1) dla oba pierwiastki są

rzeczywiste i ujemne, więc rozwiązaniem

jest aperiodyczne, wykładnicze malenie

x od A do zera;

2) dla występuje tzw. tłumienie krytyczne – jest to minimalna

wartość tłumienia, przy której ruch jest aperiodyczny;

2

0

2

2

0

2

tAtx 2

0

2

2,12,1 exp

DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Rodzaje rozwiązań:

3) dla mamy drgania gasnące – oscylacje o zanikającej

amplitudzie:

2

0

2

titAx expexp02,1

tAtx 2

0

2

2,12,1 exp

22

0

DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)

Ograniczając się do jednego rozwiązania (znak „plus” przy fazie) i pisząc

rozwiązanie w postaci funkcji harmonicznej:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

00 sinexp ttAtx

tAtA exp0 nazywamy amplitudą drgań gasnących;

m

r

2 to współczynnik tłumienia;

22

0 to częstość własna drgań układu tłumionego;

m

k0 to częstość drgań swobodnych układu;

DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)

Drgania gasnące są drganiami nieokreślonymi – nigdy nie powtarzają się

największe wartości wychylenia, prędkości, przyspieszenia. Dlatego tylko umownie

można nazwać częstością kątową – w tym sensie, że wskazuje ona, ile razy w

ciągu sekund drgający układ przechodzi przez położenie równowagi!

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

00 sinexp ttAtx

Podobnie:

nazwiemy umownym okresem drgań gasnących.

22

0

22

T

DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)

Współczynnik tłumienia mówi nam o stosunku kolejnych amplitud

drgań gasnących:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

TA

A

n

n exp1

Logarytm naturalny stosunku amplitud dwóch kolejnych wychyleń,

następujących po sobie w odstępie czasu T (umownego okresu) nazywamy

logarytmicznym dekrementem tłumienia :

TA

A

n

n 1

ln

DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)

Oznaczmy przez odstęp czasu, w ciągu którego amplituda drgań

zmniejszy się e-krotnie. Wtedy:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

1 albo: 1

czyli: współczynnik tłumienia jest wielkością fizyczną równą

odwrotności odstępu czasu , w ciągu którego amplituda zmniejsza się

e-razy. Czas nazywamy czasem relaksacji.

Podobnie: gdy przez N oznaczymy liczbę drgań, po wykonaniu których

amplituda zmaleje e-razy, okaże się, że:

N

1

czyli: dekrement logarytmiczny tłumienia jest wielkością równą

odwrotności liczby drgań, po upływie których amplituda zmniejszy się

e-razy.

DRGANIA WYMUSZONE

Oprócz siły sprężystej i siły oporu, działamy na układ dodatkową siłą –

okresową siłą wymuszającą F:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

tFtF cos0

Ogólne równanie ruchu oscylatora mechanicznego przybiera wtedy

postać:

tFkxdt

dxr

dt

xdm cos02

2

Jest to równanie różniczkowe niejednorodne.

DRGANIA WYMUSZONE

Spodziewamy się rozwiązania powyższego równania różniczkowego w

postaci drgania harmonicznego z częstością , równą częstości siły

wymuszającej F, ale amplituda tych drgań powinna „zawierać informacje” o

masie m, tłumieniu i wielkości siły wymuszającej F0 a także częstości

własnej układu 0:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

tFkxdt

dxr

dt

xdm cos02

2

0sin tAtx

m

0F0

?

?0

DRGANIA WYMUSZONE

Można pokazać, że:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

22222

0

0

4

m

FA

Amplituda A ustalonych drgań wymuszonych jest wprost proporcjonalna do

amplitudy siły wymuszającej F0 i odwrotnie proporcjonalna do masy m

układu oraz zmniejsza się wraz ze wzrostem współczynnika tłumienia .

„Faza początkowa” ma teraz sens różnicy faz między amplitudą drgań

wymuszonych A i amplitudą siły wymuszającej F0 – ściślej: ponieważ

użyliśmy funkcji „cosinus” do opisu siły wymuszającej i funkcji „sinus” do

opisu drgania x(t), to szukaną różnicą faz będzie:

22

0

2tan

20

DRGANIA WYMUSZONE

Analizując wyrażenie na amplitudę drgań wymuszonych:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

22222

0

0

4

m

FA

możemy zauważyć, że w przypadku braku tłumienia (=0), gdy

częstość siły wymuszającej F równa jest częstości drgań własnych

układu 0, amplituda ta rośnie do nieskończoności!

DRGANIA WYMUSZONE

Natomiast w obecności tłumienia 0, maksimum wyrażenia na

amplitudę A uzyskamy dla:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

22

0 2

Zjawisko to nazywamy

rezonansem.

Ale co to jest rezonans?

Niedobry wykładowca nie podał

definicji, żeby ją na ściądze

zapisać…

DRGANIA WYMUSZONE

Przykład obwodu elektrycznego: siła elektromotoryczna, wymuszająca

drgania, jest równa:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

titE exp0

Wtedy: równanie opisujące ruch ładunku elektrycznego w obwodzie (=

prąd elektryczny!):

tiC

q

dt

dqR

dt

qdL exp02

2

Rozwiązanie ogólne w postaci:

tiqq exp0

2

222

0

00

L

RL

q

gdzie:

22

0

/

LRtg