RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

WYKŁAD 1

2

Przedmiot realizowany w układzie

• wykład 2 godz. tygodniowo

• ćwiczenia 2 godz. tygodniowo

Regulamin zaliczeń

www.mini.pw.edu.pl/~figurny

3

Program zajęć

Równania różniczkowe zwyczajne

Szeregi liczbowe

Ciągi i szeregi funkcyjne

Szeregi potęgowe

Szereg trygonometryczny Fouriera

Elementy geometrii różniczkowej

4

Literatura

• Gewert M., Skoczylas Z., Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria,

przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, 2006

• Krysicki W., Włodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach cz.2,

PWN, 2006

• Leksiński W., Żakowski W., Matematyka cz. IV, WNT, 2002

• Matwiejew N., Zadania z równań różniczkowych zwyczajnych,

PWN, 1974

• Muszyński J., Myszkis A., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN,

1984.

• Otto E. (red.), Matematyka dla wydziałów budowlanych i

mechanicznych, Tom 2, PWN,1980

• Przeradzki B., Teoria i praktyka równań różniczkowych zwyczajnych,

Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 2003.

• Stankiewicz W., Zadania z matematyki dla wyższych uczelni

technicznych., PWN 2006

5

Równania różniczkowe są ważnym narzędziem wykorzystywanym przy tworzeniu modeli matematycznych w wielu dziedzinach nauki i techniki.

Równania różniczkowe należą do kategorii równań funkcyjnych, czyli takich, w których niewiadomą jest funkcja. O ich specyfice decyduje to, że oprócz niewiadomej funkcji w równaniu występuje również pochodna (pochodne) tej funkcji.

Niniejszy wykład zawiera definicje podstawowych pojęć oraz prezentację metod rozwiązywania wybranych typów równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe

6

Jeżeli w równaniu różniczkowym występuje tylko pochodna rzędu pierwszego, to równanie możemy symbolicznie zapisać w postaci

F(x, y, y') = 0,

gdzie F oznacza pewną funkcję trzech zmiennych, x jest zmienną

niezależną, y poszukiwaną funkcją, zaś y' jej pochodną.

Przykłady Jeżeli F(x, y, y') = (y')

2 - y' + y - x, to równanie ma postać

(y')2 - y' + y - x = 0.

Jeżeli F(x, y, y') = tgy '- 2y' + y, to równanie ma postać tgy '-2y '+ y = 0.

Jeżeli F(x, y, y') = y'- y- x, to równanie można zapisać w równoważnej postaci y' = y + x.

W dwóch pierwszych przypadkach pochodna występuje w równaniach w sposób uwikłany, trzecie równanie jest rozwikływalne ze względu na pochodną.

Równania różniczkowe

7

Rozważmy szczegółowo przypadek równania rozwikływalnego

ze względu na pochodną, w którym niewiadoma funkcja y nie występuje

w sposób jawny. Można je wówczas zapisać w postaci

0)',( yxF

lub prościej

))((lub,)(' xfdx

dyxfy

Rozwiązanie takiego równania jest równoważne wyznaczeniu całki

nieoznaczonej funkcji f. Dowolna funkcja pierwotna funkcji f (o ile istnieje) jest rozwiązaniem równania. Zbiór rozwiązań tworzy całkę

nieoznaczoną funkcji f. Zatem każde rozwiązanie możemy zapisać w postaci

CxΦxy )()(

gdzie Φ oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji f, C jest stałą

rzeczywistą.

Równania różniczkowe

8

Jeżeli zażądamy dodatkowo, by spełniony był warunek (zwany warunkiem początkowym)

y(x0) = y0,

to (jeśli jest on realizowalny) funkcja y będzie wyznaczona

w sposób jednoznaczny przez dobór stałej C z równości

y(x0) = Φ(x0) + C = y0, czyli

C0 = y0 - Φ(x0). Wykorzystując pierwsze główne twierdzenie rachunku całkowego,

funkcję y możemy zapisać w postaci

x

x

dttfyxΦyxΦCxΦxy

0

)()()()()( 0000

Jest to tzw. rozwiązanie szczególne równania, spełniające

warunek początkowy y(x0) = y0.

Równania różniczkowe

9

Przykład

Rozwiązaniem równania

y' = ex

jest każda funkcja o postaci

y = ex + C.

Dla różnych wartości stałej C, funkcje te określają całkę ogólną

równania.

Ich wykresy tworzą rodzinę krzywych różniących się przesunięciem wzdłuż osi Oy.

Zadając warunek początkowy y(0) = 3 dostajemy

e0+ C = 3, czyli C = 2.

Stąd rozwiązanie szczególne równania spełniające warunek początkowy ma postać

y = ex + 2.

Równania różniczkowe

10

Uogólnieniem wprowadzonych pojęć są następujące definicje.

Definicja

Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie

F(x, y, y', y'', ..., y(n)) = 0,

w którym niewiadomą jest funkcja y zmiennej x i w którym występują

pochodne tej funkcji.

Przymiotnik "zwyczajne" oznacza, że funkcja niewiadoma zależy od jednej zmiennej.

Równania różniczkowe, w których występują funkcje wielu zmiennych, noszą nazwę równań różniczkowych cząstkowych.

W niniejszym wykładzie zajmować się będziemy wyłącznie równaniami zwyczajnymi.

Równania różniczkowe zwyczajne

11

Definicja

Liczbę n 1 nazywamy rzędem równania różniczkowego,

jeżeli w równaniu tym występuje pochodna rzędu n i nie występują

pochodne rzędu wyższego niż n.

Przykłady

y' = y + x - rząd = 1,

y'' + y' + y + x = 0 - rząd = 2,

y''' = y2 + x - rząd = 3.

Równania różniczkowe zwyczajne

12

Definicja Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną) równania

różniczkowego na przedziale (a, b) nazywamy funkcję spełniającą

to równanie w każdym punkcie tego przedziału.

Przykłady

Funkcja y = xex jest rozwiązaniem szczególnym równania

y' - y = ex, na przedziale (-, ),

ponieważ

(xex)' - xex = ex, dla każdego x(-, ).

Równie łatwo można sprawdzić, że funkcje y1(x) = x - 1

oraz y2(x) = ex + x - 1 są rozwiązaniami szczególnymi równania

y' - y + x - 2 = 0.

Definicja Krzywą całkową nazywamy wykres rozwiązania szczególnego równania różniczkowego.

Równania różniczkowe zwyczajne

13

Definicja

Zagadnieniem Cauchy'ego dla równania różniczkowego rzędu n nazywamy następujące zagadnienie:

Znaleźć rozwiązanie szczególne tego równania spełniające warunki początkowe

y(x0) = y0, y'(x0) = y1, ... , y(n-1)(x0) = yn-1

gdzie liczby x0 oraz y0, y1, ... , yn-1, zwane wartościami początkowymi

są dane.

W przypadku n = 1 warunek początkowy ma postać

y(x0) = y0,

dla n = 2

y(x0) = y0, y'(x0) = y1 .

Zagadnieniem Cauchy'ego bywa nazywane zagadnieniem początkowym.

Równania różniczkowe zwyczajne

14

Przykład Rozwiążemy zagadnienie Cauchy'ego dla równania różniczkowego rzędu 2

y'' = 6x,

z warunkami początkowymi y(0) = 0, y'(0) = 1.

Dwukrotnie całkując otrzymujemy

Z warunków początkowych dostajemy

Stąd C1 = 1, C2 = 0 i rozwiązanie szczególne spełniające warunki

początkowe ma postać y = x3 + x.

Równania różniczkowe zwyczajne

15

Definicja

Jeżeli każdemu układowi n liczb (C1, C2, ... , Cn) wybieranych dowolnie

z pewnych przedziałów, jest przyporządkowana dokładnie jedna krzywa

całkowa równania różniczkowego rzędu n, to mówimy, że jest określona

rodzina krzywych całkowych tego równania zależna od n parametrów

(C1, C2, ... ,Cn). Definicja Rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) równania różniczkowego rzędu n nazywamy rodzinę krzywych całkowych tego równania zależną

od n parametrów (C1, C2, ... ,Cn), których wartości można tak dobrać,

aby otrzymać krzywą całkową spełniającą warunki początkowe

y(x0) = y0, y'(x0) = y1, ... , y(n-1)(x0) = yn-1

dla każdego układu wartości początkowych x0, y0, y1, ... , yn-1, dla których

krzywa taka istnieje.

Równania różniczkowe zwyczajne

16

W przypadku gdy każda krzywa całkowa jest wykresem tylko jednej całki szczególnej (a więc funkcji), sformułowanie "rodzina krzywych całkowych" jest równoważne sformułowaniu "rodzina funkcji spełniających równanie różniczkowe".

Krzywa całkowa, może też być łącznym wykresem większej liczby całek szczególnych - nie będąc wykresem funkcji. Jak się przekonamy, rozwiązując zadania przykładowe, często otrzymujemy wyniki właśnie w postaci takich krzywych.

W dalszej części wykładu, zgodnie z powszechnie stosowaną terminologią, polecenie "rozwiązać równanie" będzie oznaczać wyznaczenie całki ogólnej tego równania.

Rozwiązanie zagadnienia Cauchy'ego uzyskamy wyznaczając całkę ogólną równania i dobierając występującą w nim stałą (stałe) tak, by spełniony był warunek początkowy (warunki początkowe).

Równania różniczkowe zwyczajne

17

Uwagi

Przyjęta definicja rozwiązania ogólnego nie wyklucza istnienia krzywych całkowych nie należących do niego.

Istnieją równania różniczkowe, nie posiadające rozwiązań, np. równanie

ey' = 0.

Nie zawsze istnieje rozwiązanie szczególne równania spełniające konkretne warunki początkowe.

Są natomiast równania mające wiele rozwiązań tego samego zagadnienia Cauchy'ego.

Równania różniczkowe zwyczajne

18

Przykład

Zagadnienie Cauchy'ego dla równania różniczkowego

𝑦′ = 2 |𝑦|

z warunkiem początkowym y(0) = 0, ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Łatwo sprawdzić, że dla każdego 𝑐 ≥ 0 funkcja

𝑦 𝑥 = 0

(𝑥 − 𝑐)2𝑑𝑙𝑎 𝑥 ≤ 𝑐𝑑𝑙𝑎 𝑥 > 𝑐

jest jego rozwiązaniem.

Równania różniczkowe zwyczajne

19

Równania różniczkowe zwyczajne

𝑦 𝑥 = 0

(𝑥 − 𝑐)2𝑑𝑙𝑎 𝑥 ≤ 𝑐𝑑𝑙𝑎 𝑥 > 𝑐

20

Definicja

Zapis równania rzędu pierwszego

0)',,( yyxF

nazywamy postacią ogólną (uwikłaną) równania.

Jeżeli można tę postac rozwikłać, tzn. zapisać równanie w postaci

),(' yxfy

to postać tę nazywamy normalną.

W notacji Leibniza równanie ma postać

),( yxfdx

dy

Równania rzędu pierwszego

21

Warunek wystarczający istnienia rozwiązań

Twierdzenie (Peano) Jeżeli prawa strona równania różniczkowego

),(' yxfy

jest funkcją ciągłą w obszarze D R2, to przez każdy punkt tego obszaru

przechodzi co najmniej jedna krzywa całkowa tego równania.

(tzn. zagadnienie Cauchy'ego z warunkiem początkowym y(x0) = y0,

gdzie (x0, y0)D posiada rozwiązanie).

Równania rzędu pierwszego

22

Warunek wystarczający istnienia i jednoznaczności rozwiązań

Definicja

Funkcja f spełnia warunek Lipschitza w otoczeniu U punktu (x0, y0) ze względu na y

L > 0 (x,y1)U (x,y2)U | f(x,y1) f(x,y2)| < L|y1 - y2|

Twierdzenie (Picarda) Jeżeli prawa strona równania różniczkowego

),(' yxfy

jest funkcją ciągłą w otoczeniu U punktu (x0, y0) i spełnia w nim warunek Lipschitza,

to przez ten punkt przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania

(tzn. zagadnienie Cauchy'ego z warunkiem początkowym y(x0) = y0, gdzie (x0, y0)D

posiada lokalnie jednoznaczne rozwiązanie).

Uwaga

Jeżeli pochodna cząstkowa funkcji f względem y jest ciągła w otoczeniu U, to funkcja

spełnia w U warunek Lipschitza ze względu na y.

Równania różniczkowe zwyczajne

23

Definicja

Równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie, które można przedstawić w postaci

)(

)('

yg

xfy

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

24

Twierdzenie

Jeżeli f jest funkcją ciągłą na przedziale (a, b), zaś g funkcją ciągłą i różną od zera

na przedziale (c, d), to:

1. całka ogólna równania jest postaci

CxFyG )()(

gdzie G jest funkcją pierwotną funkcji g na przedziale (c, d), zaś F funkcją

pierwotną funkcji f na przedziale (a, b),

2. dla każdego x0 (a, b) i y0 (c, d) zagadnienie Cauchy'ego

00)(

)(

)('

yxy

yg

xfy

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Z punktu 1.) tezy twierdzenia wynika, że wyznaczenie rozwiązania ogólnego równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych wymaga znalezienia całek

nieoznaczonych funkcji f, oraz g.

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

25

Procedura wyznaczania rozwiązania ogólnego równania o zmiennych rozdzielonych

1. Zapisujemy równanie w postaci

)(

)(

yg

xf

dx

dy

2. Rozdzielamy zmienne (obustronnie mnożąc przez g(y)dx)

dxxfdyyg )()(

3. Obustronnie całkujemy równanie (lewą stronę po y, prawą po x)

dxxfdyyg )()(

4. Rozwiązanie ogólne równania ma postać

CxFyG )()(

5. gdzie G jest funkcją pierwotną funkcji g na przedziale (c, d), zaś F

funkcją pierwotną funkcji f na przedziale (a, b).

Ostatnia równość zazwyczaj określa funkcję y w sposób uwikłany. Często się zdarza,

że związku tego nie udaje się rozwikłać.

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

26

Przykład Wyznaczyć całkę szczególną równania różniczkowego

spełniającą warunek początkowy y(0) = 0.

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

27

Przykład Wyznaczyć całkę szczególną równania różniczkowego

spełniającą warunek początkowy y(0) = 0. Rozdzielając zmienne i całkując obustronnie wyznaczamy całkę ogólną równania

Zatem funkcję y dało się wyznaczyć w sposób jawny. Wyznaczamy całkę szczególną dla x = 0 i y = 0

Stąd C = 1 i całka szczególna spełniająca warunek początkowy y(0) = 0,

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

28

Przykład Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

29

Przykład Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Metodą rozdzielenia zmiennych całkujemy równanie różniczkowe

30

Przykład (c. d.) Otrzymaliśmy rozwiązanie ogólne równania różniczkowego, w którym poszukiwana funkcja y występuje w postaci uwikłanej (i związku tego nie da się rozwikłać).

Z przytoczonego twierdzenia wynika istnienie i jednoznaczność rozwiązania zagadnienia Cauchy'ego. Zatem wstawiając x = 1 i y = 2 do rozwiązania równania dostajemy 4 + ln2 = 1 + C, czyli C = 3 + ln2. Rozwiązaniem zagadnienia Cauchy'ego jest więc funkcja spełniająca równanie

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

31

Przykład Wyznaczyć krzywą całkową równania różniczkowego

przechodzącą przez punkt (1, 1). Metodą rozdzielenia zmiennych wyznaczamy całkę ogólną równania

Rozdzielamy zmienne

Całkujemy obustronnie

Stąd

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

32

Przykład (c. d.)

Całka ogólna jest jednoparametrową rodziną okręgów (a więc krzywych!) o równaniach

(półokręgi: górne - dla y >0 i dolne - dla y <0 , są wykresami funkcji spełniających równanie różniczkowe).

Uwzględniając warunek początkowy y(1) = 1 dostajemy C = 2, zatem szukana krzywa całkowa jest opisywana równaniem

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Jak to robią inni?

33

Kurs e-learningowy- OCW Massachusetts Institute of

Technology

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03sc-differential-

equations-fall-2011/Syllabus/

Wykład video

http://videolectures.net/mit1803s06_differential_equations/

Generowanie wykresu rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego

http://www.soft82.com/download/windows/ode-toolkit/

http://www.sosmath.com/diffeq/basicdef/basicdef.html

34

Dziękuję za uwagę