Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski

Prezentacja multimedialna z przedmiotu „Mechanika budowli” kierunek „Budownictwo” specjalność „Technologie energooszczędne w budownictwie” sem.IV

Wykład został przedstawiony na podstawie podręcznika Gustawa

Rakowskiego „Mechanika budowli” Oficyna Wydawnicza

Wyższej Szkoły Ekologii i Zarządzania, Warszawa 2004

1.Przemieszczenia w ustrojach statycznie

wyznaczalnych

Praca sił zewnętrznych

jjiiz MPL

Praca sił wewnętrznych

Praca siły podłużnej N

NdudLN

dxNdLN

NN dxNdLL

Praca momentu zginającego M

kdxdxr

MkdxdLM

MM MkdxdLL

Praca siły poprzecznej T

dxTdLT

TT dxTdLL

Całkowita praca sił przekrojowych

w dxTMkdxdxNL

ZASADA PRAC WIRTUALNYCH

Praca zewnętrznych sił wirtualnych na odpowiadających im rzeczywistych przemieszczeniach równa się pracy wirtualnych sił przekrojowych spowodowanych wirtualnym obciążeniem na odpowiadających im rzeczywistych odkształceniach

dxMkdxNMPll

W układach prętowych

Niech obciążenie wirtualne wynosi

Zatem:

j llii

MdxEJMNdx

MdxEJM

Całkowanie:

F – pole wykresu M

Środek ciężkości M

Rzędna wykresu

Mpod środkiem ciężkości pola F

ηFdxMM

Figury złożone

Przykład 1.1

Momenty rzeczywiste

constEJ

Stan obciążeń wirtualnych

Momenty wirtualne

41_ lM

Obliczenie przemieszczenia

41_ lM

2 llqlEJ

Przykład 1.2

Momenty rzeczywiste

Momenty wirtualne

Stan wirtualny

l21 l1

EJPl 3

PlllEJ 3

221111 )

21 PlPlllEJ

W ramach zwykle można pomijać wpływ sił podłużnych na przemieszczenia punktów konstrukcji. Zatem

MdxEJM

Przykład 1.3

constEJ

lVlHM AAC

lPlVlHM AAB

PH A 74

Stan rzeczywisty:

Czyli:

Stan wirtualny

lHlVM B

2 lHlVMC

Czyli:781 H

761 1 1

l lj j

MdxMMdxMEJ

MdxM 0'

73(11 lPl

322232

324233(

1965 2

lPl )711

Przykład 1.4

constEJ ?u

Stan rzeczywisty

2 lqllHM B

Stan wirtualny:

012 llHM AB

211 AH

211 BH

2 llqlEJ

KRATOWNICEW kratownicach występują tylko siły podłużne,

które nie zmieniają się na długościach prętów.

Zatem równanie prac wirtualnych ma postać:

j li EA

EANNdx

Przykład 1.5

Przekroje prętów w pasach

Przekroje prętów w krzyżulcach

Przekroje prętów w słupkach

W tym przypadku wygodniej jest rozpocząć obliczenia od stanu wirtualnego.

Stan rzeczywisty

Siły rzeczywiste obliczamy tylko w tych prętach, w których istnieją siły wirtualne2P2P

21 21 2P 2P

21 P3 1 P2

)()1(2221222)3()21()2()1(211 PEAlP

)28622( PPPPPEAl

EAPl20

Przykład 1.6

l l l l

constEA

Stan wirtualny jest stanem samozrównoważonym

l l l l

331 CEN

l l l l

P P Stan rzeczywisty

EFEF NPPN PNlPlN CFCF 3023

PNN CFED 3

PNCE 332

EAlPCD )

PRĘTY ZAŁAMANE W PLANIE

Siły przekrojowe

Podpory i reakcje

Przegubowo-kulista

Przegubowo-walcowa

Utwierdzona

PRĘTY ZAŁAMANE W PLANIEW prętach tych występują momenty

zginające i skręcające. Wpływ obu tych wielkości na przemieszczenia jest porównywalny.

dxGCMMdx

Gdzie:ss MM , - momenty skręcające

G - moduł KirchhoffaC -charakterystyka przekroju na skręcanie; w

prętach o przekrojach kołowych biegunowy moment bezwładności

Równania równowagiJeśli pręt leży w płaszczyźnie xy a obciążenie jest

prostopadłe do tej płaszczyzny mamy 3 równania równowagi

- momenty względem osiyx MM ,

Przykład 1.7

2l GCEJ 2

Stan rzeczywisty

232 lqllVM Cy

qlVC 43

23 lVlqllVM CBx

43 qlqlqlVqlV CB

qlVVVP CBAz

423 qlqlqlqlVA

Równoległe przesunięcia sił

Oznaczenia:

Wektor siły

Wektor momentu

Wykresy momentów rzeczywistych

2ql43 2ql

Stan obciążeń wirtualnych

012 llVM Cy

211 CV

lVlVM CBx

01 CBAz VVVP

2111 AV

Wykresy momentów wirtualnych

Wykresy momentów rzeczywistych

2ql43 2ql

2 llqlEJ

2 2 llql

23232 2 llql

2 llql )

243 2 llql

2(1 2 llql

2 llql

GCEJ 2

EJql 4

decydujące

W układach statycznie wyznaczalnych wpływ temperatury nie wywołuje powstania sił przekrojowych

Wpływy pozastatyczne – wpływ temperatury

współczynnik rozszerzalności termicznejt

Równanie prac wirtualnych

dxhtMdxtN

Jeśli na długości pręta przyrost temperatury oraz stałe materiałowe nie zmieniają się, to

ltii F

htFtdxM

htdxNt

jtii F

W przypadku wielu prętów

Gdzie: jNF - pole wykresu wirtualnej siły podłużnej w pręcie j

- pole wykresu wirtualnego momentu zginającego w pręcie jjMF

Przykład 1.8 – nierównomierny przyrost temperatury

Stan wirtualny:

htl tt

Przykład 1.9 –równomierny przyrost temperatury

l l l l l l

Stan wirtualny:1

3 N2213 N

1 lNl2311 N

2 lNl 12 N

)22211

231(1 llltt

ltt 21

W układach statycznie wyznaczalnych osiadanie podpór nie wywołuje powstania sił przekrojowych

Wpływy pozastatyczne – osiadanie podpór

Ponieważ w układach statycznie wyznaczalnych nie powstają siły przekrojowe, zatem nie ma pracy sił przekrojowych.

Przemieszczenia podpór powstają w rzeczywistych obiektach na skutek różnych zdarzeń, zwłaszcza awaryjnych. Po ich zmierzeniu możemy ustalić ich skutki, w tym przypadku na przemieszczenia innych punktów konstrukcji

Czyli praca zewnętrznych sił wirtualnych na rzeczywistych przemieszczeniach równa jest zero.

kiiz RL

- poszukiwane przemieszczenie

- reakcje podpór od jedynki wirtualnej

- znane (pomierzone) przemieszczenia podpór

Przemieszczenia podpór mogą być zarówno liniowe jak i kątowe

Przykład 1.10 – przemieszczenia podpór

Stan wirtualny

01 llVM ED

02121 lllVM BpC

02311 llMM A

lM A 251

025111 00 l

00 25 l

2.Metoda sił

Aksjomat więzówJeżeli układ materialny jest w równowadze,

to odrzucenie dowolnego więzu i zastąpienie go reakcją nie zmienia stanu

równowagi układu

METODY SIŁ

Stopień statycznej niewyznaczalności

Stopniem statycznej niewyznaczalności układu prętowego nazywamy liczbę całkowitą, będącą różnicą między liczbą nieznanych wielkości statycznych występujących w układzie a liczbą możliwych do ułożenia równań statyki.

Chociaż można podać ogólny wzór na stopień statycznej niewyznaczalności dowolnych układów, wygodniej jest stosować wzory do

różnych typów układów prętowych

Rozpoczniemy od analizy belek, w których można szczególnie prosto omówić koncepcję

Stopień statycznej niewyznaczalności: prn 3

Gdzie: r – liczba reakcji podpór3 – liczba równań równowagip – liczba przegubów rozdzielających pręty

Podpora utwierdzona przesuwna

134 n 2136 n

1135 n 2237 n

Gdy n>0 układ jest statycznie niewyznaczalny

Gdy n=0 układ jest statycznie wyznaczalny

Gdy n<0 układ jest geometrycznie zmienny

1133 n

2335 n

Warunek geometrycznej niezmienności jest tylko warunkiem koniecznym, ale nie dostatecznym

Należy jeszcze sprawdzić, czy układ taki nie ma żadnych stopni swobody (s- liczba stopni swobody). Czyli musi być s=0

Algorytm metody siłNa przykładzie belki pokazanej uprzednio

1. Obliczyć stopień statycznej niewyznaczalności

2. Przyjąć schemat podstawowy statycznie wyznaczalny

Musimy odrzucić n więzów, zastępując je nieznanymi reakcjami, ponumerowanymi nXXX ,..., 21

Ta operacja nie jest obiektywna, zależy od rozwiązującego i silnie wpływa na efektywność rozwiązania

Algorytm metody sił

Warianty układu podstawowego statycznie wyznaczalnego

Algorytm metody sił65

3. Sporządzić wykresy momentów zginających iMod stanów jednostkowych iX w układzie podstawowym

Stan 11 X

Stan 12 X

4. Obliczyć przemieszczenia ik w miejscach usuniętych więzów na

na kierunkach wielkości nadliczbowych od jednostkowych wartości iX

12 221 2 1

5. Sporządzić wykres momentów zginających 0M od danego obciążenia w układzie podstawowym

6. Obliczyć przemieszczenia 0i w miejscach usuniętych więzów na na kierunkach wielkości nadliczbowych od obciążenia zewnętrznego

7. Budujemy kanoniczne równania metody sił. Są to przemieszczeniowe równania więzów, z których wynika, że więzy w rzeczywistości nie są odrzucone.

W omawianym przykładzie stwierdzamy, że sumaryczny kąt obrotu w punkcie 1 równy jest zeru, gdyż w tym miejscu jest podpora utwierdzona, natomiast sumaryczne przemieszczenie w punkcie 2 też musi być zerowe, gdyż tam znajduje się środkowa podpora.

11 1X 1012

2021 1X

ik przyczyna

miejsce

8.Rozwiązać układ równań względem niewiadomych

11 1X 1012

2021 1X

021, XX

9.Korzystając z wzoru superpozycyjnego 22110 XMXMMM

sporządzić wykres momentów zginających oraz wykresy pozostałych sił przekrojowych

Obliczanie współczynników układu równań metody sił

Współczynniki ik oraz 0i są przemieszczeniami, zatem do ich obliczenia można zastosować twierdzenie o pracy wirtualnej. Jeśli chcemy obliczyć np. czyli przemieszczenie w miejscu i spowodowane działaniem w miejscu k nadliczbowej należy w miejscu i przyłożyć jednostkowe obciążenie wirtualne i sporządzić od niego wykres momentów zginających. Zauważmy że takim obciążeniem będzie stan

i spowodowany nim wykres momentów .

1iX iM

Mamy więc: dxEJMM ki

Podobnie: dxEJMM i

Zauważmy:

1) Każdegdyż - funkcja podcałkowa jest dodatnia o ile istnieje zginanie. Oznacza to, że w układach sprężystych przemieszczenie pod siłą spowodowane działaniem tej siły jest zawsze zgodne ze zwrotem jej działania.

0ii dxEJM i

ii 2)(

2) Zawsze jest kiik

12 X21

121 2 1

W rzeczywistości równe są prace 2112 11

Jest to szczególny przypadek twierdzenia o wzajemności, tzw. Twierdzenie Maxwella. W wyniku tego macierz układu równań metody sił jest macierzą symetryczną

W układach statycznie wyznaczalnych przyrost temperatury nie wywołuje powstania sił przekrojowych

Wpływy pozastatyczneNierównomierny przyrost temperatury

h htk t

t współczynnik rozszerzalności termicznejtk - krzywizna

Układ podstawowy jest układem statycznie wyznaczalnym.Zatem:

gdzie: ijMF - pole wykresu momentu na pręcie jiM

Wpływy pozastatyczneRównomierny przyrost temperatury

jti FtdxNt

gdzie: ijNF - pole wykresu siły na pręcie jiN

Wpływy pozastatyczneOsiadanie podpór

Zatem: 00 kk

gdzie: ikR - reakcja w podporze k wywołana obciążeniem 1iX

Czyli:k

iki R 0

W belkach taki schemat podstawowy jest najkorzystniejszy

Przykład 2.1q

J JJ5,1

235 nSchemat podstawowy

1X1X 2X 2X

Stan 11 X11 X11 X

J5,1 JJ

Stan 12 X

J5,1 JJ

12 X12 X

211222

Stan obciążenia zewnętrznego

J5,1 JJ

EJqllql

EJ 3621

10 020

Układ równań:EJl

1X EJl

2X 036

1X EJl

2X 036

21 4XX 366

141840 2

22qlXX

18937 2

1 qlX 21 74

741 ql

744 ql

Siły poprzeczne

744 ql

ql7433

ql7441

744 ql 2

741 ql

ql741ql

ql7441

ql7433

Obliczenie momentów zginających i naprężeń od obciążenia i nierównomiernego przyrostu temperatury

mkNqml

kNmql 408

xq 187

102141040

cmh 20

KCt 40400

1510 Kt

GPaE 205

42140cmJ x

cmh 20

kNmhtEJ xt 2,13

102021021401020540103

10214102,13

cmh 22

Granica plastyczności stali: MPaf y 300

Dopuszczalne naprężenie: MPaf ydop 2107,0

Zatem: MPaMPa dop 21024962187

xq 143

102781040

10278101,17

kNmhtEJ xt 1,17

102221030601020540103

MPaMPa dop 21020562143

Ale jest:

433,014362)2

332,018762)1

BELKI Przykład 2.2

constEJ consth

Stopień statycznej niewyznaczalności 11353 prn

Schemat podstawowy

Stan 11 X

21 l )

318EJl

321( ll

11 MXM

htEJ t

M htEJ t

hltEJ t

prn 3Gdzie: r – liczba reakcji podpór

3 – liczba równań równowagip – liczba warunków statyki wynikających z

istnienia przegubów

Wzór na stopień statycznej niewyznaczalności jest identyczny jak w belkach

2136 n 7r

2237 n

Jeśli w ramie pojawiają się obwody zamknięte, stopień statycznej niewyznaczalności wzrasta o 3a – gdzie a oznacza liczbę obwodów

zamkniętych

parn )1(3

30)11(33 n 71)12(35 nUkłady podstawowe

Przeguby w ramie

RAMY Przykład 2.3

constEJ

20353 prn

Schemat podstawowyq

Stan 12 X

12 X2M

EJllllll

EJllll

EJlllllll

EJ 332)2

2122222(1 3

EJqlllql

1MEJqlllql

EJ 38222

Układ równań:

Po uproszczeniach:

22110 XMXMMM

Siły poprzeczne

Siły podłużne

Przykład 2.4Przesunięcia i obroty podpór

constEJ

11 XStan 12 X

Równania prac wirtualnych

001 0010 vl 010 l

0121 0020 vl 0020 2 vl

Równania metody sił

vlXEJlX

ulXEJlX

Obliczenie od przesunięcia poziomego prawej podpory

uXEJlX

12 403 XX

30213lEJuXX

Obliczenie momentów zginających i naprężeń od przemieszczenia podpory

cmu 50

GpaE 25

45834343

104510104510454500012

3020 mcmcmJ

kNmlEJuM 3,98

91174525246

910451025102

11746 561

MPa4,18101033,53,98 3

334221

1033,56

10104102 mWx

SYMETRIA I ANTYSYMETRIA

Zawsze warto wykorzystać symetrię układu, nawet jak obciążenie nie spełnia warunków symetrii

1M 2M 3M

30333322311

20233222211

10133122111

XXXXXXXXX

Pełny układ równań:

1M 2M 3M

l l 1 1

021 dxMM 031 dxMM

Stąd: 01312

Układ równań

30333322

20233222

Symetria

010 00

30333322

20233222

Antysymetria

03020 010111 X

Niewiadome grupowe. W przypadku symetrii konstrukcji oraz symetrii lub antysymetrii obciążenia warto wykorzystać niewiadome w postaci grup

P2 PP P P

40444433422411

30344333322311

20244233222211

10144133122111

XXXXXXXXXXXXXXXX

Symetria

SM 0 1M 2M

AM 0 4M3M

20222222

10122111

Antysymetria

40444343

30344333

KRATOWNICE

W przypadku kratownic wzór na stopień statycznej niewyznaczalności można przedstawić w wygodniejszej formie

wprn 2

gdzie:

pr - liczba reakcji węzłów

- liczba prętów

- liczba węzłów

Wzór ten skonstruowany jest przy założeniu, że w każdym pręcie występuje jedna siła a dla każdego węzła można ułożyć dwa warunki równowagi, gdyż układ sił w węźle jest układem zbieżnym

KRATOWNICE

W przypadku kratownic wzory na współczynniki układu równań Metody Sił zmieniają się, gdyż w prętach kratownic występują wyłącznie siły podłużne, stałe na długości prętów.Dlatego też:

jkjijik EA

gdzie:p - liczba prętów w kratownicy

kjij NN , - siły w pręcie j odpowiednio od stanów i oraz k

jj Al , - długość i pole przekroju pręta j

E - moduł Younga materiału prętów kratownicy

Wyrazy wolne od obciążenia zewnętrznego:

jjiji EA

gdzie:jN0 - siły w pręcie j od obciążenia zewnętrznego

Wyrazy wolne od równomiernego przyrostu temperatury:

jjti lNt

ijNgdzie: - siła w pręcie j od stanu i

jl - długość pręta j

jt - przyrost temperatury w pręcie j

t - współczynnik rozszerzalności termicznej materiału kratownicy

Wyrazy wolne od osiadania podpór:

gdzie:

ikR - reakcja w podporze k wywołana obciążeniem 1iX

iki R 0

k - osiadanie (lub obrót) podpory k

Przykład 2.5P

262104 n

Schemat podstawowy

1X2X 2X

constEA

11 XStan

12 XStan

5611 X

5612 X

6,0 6,0

8,08,0

Pręt Długość1-2 0 0 1,25l 0 0 01-3 1 0 l l 0 02-3 0 -0,6 0,75 0 0,27l 02-4 0 -0,8 l 0 0,64l 02-5 0 1 1,25l 0 1,25l 03-4 0 1 1,25l 0 1,25l 03-5 1 -0,8 l l 0,64l -0,8l4-5 0 -0,6 0,75l 0 0,27l 04-6 0 0 1,25l 0 0 05-6 1 0 l l 0 0

Suma iloczynów 3l 4,32l -0,8l

1N 2N lNN 11 lNN 22 lNN 21

l32,422

EAl8,0

P67,0 P33,0

P33,035N

24N2 4

P33,056N

24N0233,075,0352 lPlNM

PN 89,035

PNN 89,03513

033,075,0245 lPlNMPN 44,024

033,06,025 PNPyPN 55,025

02456 NNPxPNN 44,02456

033,0 45NPPy

PN 33,045 023 N

Pręt Długość1-2 0 0 -1,11P 1,25l 0 01-3 1 0 0,89P l 0,89Pl 02-3 0 -0,6 0 0,75 0 02-4 0 -0,8 -0,44P l 0 0,35Pl2-5 0 1 -0,55P 1,25l 0 -0,69Pl3-4 0 1 0 1,25l 0 03-5 1 -0,8 0,89P l 0,89Pl -0,71Pl4-5 0 -0,6 0,33P 0,75l 0 -0,15Pl4-6 0 0 -0,55P 1,25l 0 05-6 1 0 0,44P l 0,44Pl 0

Suma iloczynów 2,22Pl -1,20Pl

1N 2N lNN 01 lNN 02

EAPl22,2

10 EAPl20,1

022,28,0321

020,132,48,021

202210122

201210111

gdzie:

2122211

212122211

2122211

244,08,032,43

065,08,032,43

351,08,032,43

PPPXPPPX

149,020,1244,022,2065,0701,020,1065,022,2351,0

Siły w prętach: 22110 NXNXNN

Pręt1-2 -1,11P 0 0 0 0 -1,11P1-3 0,89P 1 -0,70P 0 0 0,19P2-3 0 0 0 -0,6 -0,09P -0,09P2-4 -0,44P 0 0 -0,8 -0,12P -0,56P2-5 -0,55P 0 0 1 0,15P -0,40P3-4 0 0 0 1 0,15P 0,15P3-5 0,89P 1 -0,70P -0,8 0,12P 0,31P4-5 0,33P 0 0 -0,6 -0,09P 0,24P4-6 -0,55P 0 0 0 0 -0,55P5-6 0,44P 1 -0,70P 0 0 -0,26P

1N 2N0N 11NX22NX N

PX 701.01 PX 149.02

P24,0P55,0

P67,0P33,0

P70,0 P70,0

Siły w prętach

Przykład 2.6

Średnia temperatura:

W pasie:

W słupku:

W krzyżulcu:

25,05,0 tllt

llttśr

475,01

275,0 t

llttśr

425,11

225,1 t

llttśr

1 63 5

Siły 1N

1 63 5

Przyrost temperatury

ltlt tt 232

Siły 2N

6,0 6,0

Przyrost temperatury2

ltltltlt tttt 2011

438,020

Siły w prętach: 2211 NXNXN

Pręt1-2 0 0 0 0 01-3 1 -0,56 0 0 -0,562-3 0 0 -0,6 0,14 0,142-4 0 0 -0,8 0,19 0,192-5 0 0 1 -0,23 -0,233-4 0 0 1 -0,23 -0,233-5 1 -0,56 -0,8 0,19 -0,374-5 0 0 -0,6 0,14 0,144-6 0 0 0 0 05-6 1 -0,56 0 0 -0,56

1N 2N11NX 22NX N

EAtltltlEAX

232,0)2011244,0

23065,0(

562,0)2011065,0

23351,0(

Siły w prętach

56,037,0

Microsoft Equation 3.0

tEAN t56,0

Siły i naprężenia od przyrostu temperatury

1510 Kt

Kt 100

GPaE 205

MPatEAN

t 8,11410205101056,056,0 325

RUSZTY PRZEGUBOWE

Rusztem przegubowym nazywamy układ krzyżujących się belek prostych, leżących w jednej płaszczyźnie i obciążonych prostopadle do tej płaszczyzny. Belki łączą się w węzłach, przekazując wzajemnie oddziaływania w postaci tylko sił prostopadłych do płaszczyzny rusztu.

Węzły rusztu przegubowego

Siły przekrojowe

Podpory

pbwrn 2

gdzier - liczba reakcjiw - liczba węzłów

b - liczba belek

p - liczba przegubów

Węzły

23226 n

16294 n

Przeguby 1p

012214 n

222217 n

Przykład 2.7q

23226 n

constEJ

Schemat podstawowy

EJllllllllll

11 5433)

22 5433

12lllllllllll

12 5421

EJqlllql

20 245

112 57,12133 XXX

0208,057,1611,0389,0 11 qlXX qlX 365,01

qlX 365,057,12 qlX 573,02

205,0 ql

218,0 ql

221,0 ql

226,0 ql

22110 MXMXMM

Przykład 2.8

- przesunięcie podpory

12214 nSchemat podstawowy

11llllll

0321 10

331 32

M23lEJ

11 MXM

Przykład 2.9

constEJ

962912 n

Schemat podstawowy

9X Uwaga: siłę 2P rozdzielić na obie belki

09731 XXXX

8642 XXXX

134134

Schemat podstawowy

EJllllllllll

228)22

EJPlPlPlllPlll

EJ 1211)

RUSZTY O WĘZŁACH SZTYWNYCH

Elementami rusztów o węzłach sztywnych są pręty załamane w planie.Obciążenie jest prostopadłe do płaszczyzny rusztu.

137137

Siły przekrojowe

Podpory i reakcje

Przegubowo-kulista

Przegubowo-walcowa

Utwierdzona

parn )1(3

Gdzie: r – liczba reakcji podpór3 – liczba równań równowagia – liczba obwodów zamkniętychp – liczba warunków statyki wynikających z

istnienia przegubów

0pa 3r0p

1r 3r 1r

2n 4n3n

Współczynniki układu równań.

dxGCMMdx

Gdzie:

sksi MM , - momenty skręcająceG - moduł KirchhoffaC -charakterystyka przekroju na skręcanie; w prętach o

przekrojach kołowych biegunowy moment bezwładności

Wyrazy wolne:

jtii Rdx

GCMMdx

00 ))((

Gdzie:sii MM ,

00 , sMM

- Momenty w stanie 1iX

- Współczynnik rozszerzalności termicznej

-Nierównomierny przyrost temperatury w pręcie j- Wysokość pręta j

- Liczba prętów

- Liczba więzów podporowych

- Reakcja podpory r w stanie

- Przesunięcie podpory r

- Momenty od obciążenia zewnętrznego

Przykład 2.10

PPrzekrój

Materiał : stal 3,0

EEEG 385,0)3,01(2)1(2

44wz ddJ

JddJC wz 2)(32

1135 n

Schemat podstawowy

1X Wektor momentu

1^ lVM ACC l

142142

lVlPM ACCPVA

)121424(1)432

11 llGC

)232(385,02

EJl 83,59)16,4467,15(11

)12423(1)]2314

10 lPllPlGC

lPllPllPllPlEJ

)224(385,02

PlEJPl

EJPl 22

10 44,45)77,3367,11(

PlPlX 76,082,5944,45

Pl52,0

Pl76,0

Pl24,0

Pl72,0

Pl24,0

Pl04,0

red 76,060,024,05,0352.03 2222 WPl52,0

Przykład 2.11 Przekrój

12)2( bbbJ

458,0)16052,063,02(

3)052,063,0(

Materiał : żelbet 2,0

EEEG 417,0)2,01(2)1(2

Schemat podstawowy

Oznaczenia:

Wektor siły

Wektor momentu

JJC 687,02

3458,0

11 X 11 X

8,08,0

1M 6,01SM

021 dsMM 021 dsMM SS012

Plan Siła od nas Siła do nas

13 XSA

11 l811

Wyrazy wolne:

W stanach 21, XX w podporach nie pojawiają się reakcje w postaci sił. Stąd 02010

W stanie 3X

w podporze lewej pojawia się reakcja równa jeden. )1(30

00 1111 XX

30333322

233222

EJ24,5

687,0417,04,0245,28,0

858,02)6,0

856,011(2

EJGClllll

23 984,1)12815

87(202)6,0

811[(2

GClllllllllll

EJl 333

33 410,15687,0417,04

2]2464

125)2411

2811[2

041,15984,1

0984,124,5

lEJXlXl

0682,0

0258,0

210000lEJ

155 155

581 206

1096 1096

514 514581

581155

Aksonometria Równowaga węzła

05148,02066,058106,02068,0581341

3.Metoda przemieszczeń

Układ analizowany

Niewiadomymi metody są wielkości geometryczne

φ1 φ2

Kąty φ1 , φ2 muszą być takie, by zachodziła równowaga węzłów

Konwencja znakówDodatnie zwrotu kątów i momentów zgodnie z ruchem wskazówek zegara

φ1= 1

φ2= 1

K20K10=0

Równania równowagi węzłów

K11φ1 + K12φ2 + K10 = 0K21φ1 + K22φ2 + K20 = 0

Jest to układ równań algebraicznych liniowych. Niewiadomymi są kąty φ1 i φ2 a współczynniki Kik oznaczają reakcje w narzuconych na węzły więzach

Założenia

1.Układy ramowe –siatka prętów ortogonalna2.Małe przemieszczenia3.Obowiązuje prawo Hooke’a4.Siły podłużne nie powodują zmian długości prętów

Rodzaje węzłów

Węzeł sztywny Węzeł przegubowy

12 1 2 3

Δ Δ Δ

Niewiadome: φ1 , φ2 Niewiadome: φ1 , φ2 , φ3 , Δ

Stopień geometrycznej niewyznaczalności: n=Σ φi + Σ Δi

Ramy o węzłach sztywnych

Ramy z częścią węzłów przegubowych

ΔIΔI

ΔII ΔII

Niewiadome: φ1 , φ2 , ΔI , ΔII

Cięciwy prętów po odkształceniu

Ramy z częścią węzłów przegubowych

ΔIΔI ΔII

Niewiadome: φ1 , φ2 , φ3 , φ4 , ΔI , ΔII161

WZORY TRANSFORMACYJNEBelka obustronnie utwierdzona

EJiki k

Momenty przywęzłoweObliczenie metodą sił

i kX1=Mik X2=Mki

φi φk

Ψik = (wk – wi) ∕

Obliczenie wyrazów wolnychna podstawie twierdzenia o pracy wirtualnej

X1 = 1

X2 = 1

iki wl

111 10

lww ik

Współczynniki układu równań metody sił

3221 kil

3222 ikl

Belka obustronnie utwierdzona

kiikki

ikkiik

WZORY TRANSFORMACYJNE

WZORY TRANSFORMACYJNEBelka jednostronnie utwierdzona

EJiki k

wi wkMik

Moment przywęzłowyObliczenie metodą sił

i kX1=Mik

Ψik = (wk – wi) ∕

Obliczenie momentu

X1 = 1 iki w

111 10

lww ik

Belka jednostronnie utwierdzona

03ikiik M

WZORY TRANSFORMACYJNE

Momenty wywołane wpływami zewnętrznymi

Schemat 0kiM0

0ikM 0

0,5 l 0,5 l

Schemat 0ikM

0,5 l 0,5 l

ALGORYTM METODY PRZEMIESZCZEŃPostępowanie formalne

1. Ustalić stopień geometrycznej niewyznaczalnościn=Σφi + ΣΔj

i=1,2,3,…k k – liczba węzłów sztywnych

j= k+1, k+2,…k+m m – liczba niezależnych przesunięć węzłów

2. Ponumerować niewiadome rozpoczynając od kątów obrotuφ1 , φ2 ,….φk , Δk+1 , Δk+2 ,.. Δn

3. Napisać układ równań kanonicznychK11φ1 + K12φ2 + … + K1,k+1 Δk+1 +…+ K1n Δn + K10 = 0K21φ1 + K22φ2 + … + K2,k+1 Δk+1 +…+ K2n Δn + K20 = 0…………………………………Kn1φ1 + Kn2φ2 + … + Kn,k+1 Δk+1 +…+ Knn Δn + Kn0 = 0

4. Przyjąć układ geometrycznie wyznaczalny przez nałożenie więzów na przyjęte niewiadome; utwierdzić węzły sztywne, podeprzeć podporami węzły przesuwne; ponumerować nałożone więzy zgodnie z numerami niewiadomych.

5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych.

6. Obliczyć reakcje nałożonych więzów Ki0 wywołane przyczynami zewnętrznymi.

7. Reakcje Kij oraz Ki0 wstawić do układu równań kanonicznych i rozwiązać równania ze względu na φi oraz Δj .

8. Obliczyć momenty przywęzłowe na podstawie wzorów transformacyjnych.

9. Sporządzić wykresy momentów zginających w ramie.

10.Na podstawie wykresu momentów zginających sporządzić wykresy sił poprzecznych, traktując poszczególne pręty jak belki swobodnie podparte.

11. Na podstawie wykresu sił poprzecznych sporządzić wykresy sił podłużnych obliczając je z warunków równowagi węzłów.

Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna k=2, m=0, n=2

.constEJ

Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna Niewiadome: φ1 , φ2

.constEJ 1 2

Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna K11φ1 + K12φ2 + K10 = 0K21φ1 + K22φ2 + K20 = 0

.constEJ 1 2

3. Napisać układ równań kanonicznychK11φ1 + K12φ2 + … + K1,k+1 Δk+1 +…+ K1n Δn + K10 = 0K21φ1 + K22φ2 + … + K2,k+1 Δk+1 +…+ K2n Δn + K20 = 0…………………………………Kn1φ1 + Kn2φ2 + … + Kn,k+1 Δk+1 +…+ Knn Δn + Kn0 = 0

Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna

.constEJ 1 2

Stan φ1 =1 φ2=0

M12K21

M1A M2B=0M21

lEJM AAA

4)03012(2)32(2111

lEJM 4)03012(2)32(2

122112

lEJMMK A

812111

lEJM 2)03102(2)32(2

211221

0)00(3)(32122

lEJM B

0)00(3)(3222

lEJM CC

lEJMMMK CB

2222121

Stan φ2 =1 φ1=0

K12 M12

M1A=0 M2B

lEJM 2)03102(2)32(2

122112

0)03002(2)32(2111

lEJM AAA

lEJMMK A

211212

lEJMMMK CB

10222122

lEJM 4)03012(2)32(2

121221

lEJM BB

3)01(3)(3222

lEJM CC

3)01(3)(3222

Ważna uwaga:Zauważmy, że rozwiązywanym przykładzie K21=K12. Nie jest to przypadek. Przypomnijmy znane wcześniej twierdzenie Betti’ego: „Jeśli na ustrój sprężysty działają dwa układy sił, to praca pierwszego na przesunięciach wywołanych przez drugi układ równa się pracy drugiego układu na przesunięciach wywołanych przez układ pierwszy”.

Rozpatrzmy dwa układy statycznie niewyznaczalne. Na żaden nie działa jakakolwiek siła czynna, natomiast w pierwszym układzie podpora i doznaje jednostkowego przesunięcia (lub obrotu), zaś w układzie drugim podobnego przesunięcia (lub obrotu) doznaje podpora k .

Twierdzenie o wzajemności reakcji

Układ 1 Układ 2

1Rki 1

Rik ∙ 1 = Rki ∙ 1

Rik = Rki

.constEJ 1 2

201210

7. Reakcje Kij oraz Ki0 wstawić do układu równań kanonicznych i rozwiązać równania ze względu na φi oraz Δj .

101238

301238

381220121238

638522 2

qlqlql

1238622 ql

lEJM A 8

1212385

38622 2

123862 2

1 qlEJlql

lEJM A

151238

qlEJlql

gdzie:152

Wykres momentów zginającychPrzykład 3.1 Rama nieprzesuwna

Wyznaczanie sił poprzecznychPrzykład 3.1 Rama nieprzesuwna

Wykres sił poprzecznychPrzykład 3.1 Rama nieprzesuwna

Wyznaczanie sił podłużnychPrzykład 3.1 Rama nieprzesuwna

N12 N21 N2C

NN A 01P

1221 NN

Wykres sił podłużnychPrzykład 3.1 Rama nieprzesuwna

Ramy przesuwneSą to ramy, w których co najmniej jeden węzeł doznaje przemieszczeń

n=1+1=2

Niewiadome φ1 , Δ2

3. Napisać układ równań kanonicznych

K11φ1 + K12Δ2 + K10 = 0K21φ1 + K22Δ2 + K20 = 0

5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych

K11K21

11 2 2

Do wyznaczenia reakcji w podporze 2 potrzebna jest znajomość sił poprzecznych

5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych

Reakcje w podporze 1 obliczyć można podobnie jak w przykładzie 1. Inaczej jest z reakcjami w podporze 2.

T1A T2B

To nie jest wygodne. Uprościmy algorytm metody przemieszczeń

Siły poprzeczne mogą być oczywiście wyznaczone z równań równowagi odpowiednich belek. I tak w belce obustronnie utwierdzonej mamy:

ikkikiik

ik TlEJ

Natomiast w belce jednostronnie utwierdzonej:ikki TT

ikik T

Algorytm uproszczony202

n=k+m2. Narysować plan przemieszczeń węzłów. Jako niewiadome przyjąć kąty obrotu węzłów i cięciw prętów.3. Ponumerować niewiadome, osobno numerując kąty obrotu węzłów i niezależne kąty obrotu cięciw prętów φ1 , φ2 ,….φk , ψI , ψII ,.. ψM . Cięciwy prętów numerujemy

liczbami rzymskimi.4. Przyjąć układ geometrycznie wyznaczalny przez nałożenie więzów na przyjęte niewiadome; utwierdzić węzły sztywne, podeprzeć podporami węzły przesuwne; ponumerować nałożone więzy zgodnie z numerami niewiadomych.

5. Zwolnić wszystkie więzy i zapisać momenty przywęzłowe wywołane obrotami węzłów i cięciw.6. Obliczyć momenty przywęzłowe w układzie geometrycznie wyznaczalnym.7. Napisać równania równowagi węzłów.8. Napisać równania pracy wirtualnej momentów i sił zewnętrznych działających na wirtualne łańcuchy kinematyczne.9. Rozwiązać układ równań metody przemieszczeń.

ΔI ΔIIΔII

Plan przemieszczeń węzłów205

2 niezależne przesuwy. Kąty obrotu cięciw prętów

1,5 l l

I 362514

5,15623

Praca momentów na łańcuchu kinematycznym206

1,5 l l

Ale KI=0 brak podpory I

036254114 uP1M1M1MMl1K I

0IM - Moment sił zewnętrznych na łańcuchu I

0036254114 IMMMMM

Praca momentów na łańcuchu kinematycznym207

1,5 l l

5 611,5

M21 M23 M32

03223452112 1,5MMMMM

03223452112 11,5MM1M1MM1,5l1K II

00 IIM

Przykład 3.2 Rama przesuwna

.constEJ 2l

Przykład 3.2 Rama przesuwna k=2 ; m=1 ; n=3

1. Ustalić stopień geometrycznej niewyznaczalnościn=Σφi + ΣΔj i=1,2,3,…k k – liczba węzłów sztywnych j= k+1, k+2,…k+m m – liczba niezależnych przesunięć węzłów; n=k+m

Przykład 3.2 Rama przesuwna Niewiadome: φ1, φ2 , ψI

2.Narysować plan przemieszczeń węzłów. Jako niewiadome przyjąć kąty obrotu węzłów i cięciw prętów.

3. Ponumerować niewiadome, osobno numerując kąty obrotu węzłów i niezależne kąty obrotu cięciw prętów φ1, φ2,….φk , ψI , ψII ,..ψM. Cięciwy prętów numerujemy liczbami rzymskimi.

5. Zwolnić wszystkie więzy i zapisać momenty przywęzłowe wywołane obrotami węzłów i cięciw.

0111 322AIA M

2112 22 lEJM

1221 22 lEJM

0111 32AIA M

EJM 344

lEJM C

6. Obliczyć momenty przywęzłowe w układzie geometrycznie wyznaczalnym.

PlM A 801

7. Napisać równania równowagi węzłów.

628 21 Pl

16122 21

8. Napisać równania pracy wirtualnej momentów i sił zewnętrznych działających na wirtualne łańcuchy kinematyczne.

M1A M2B

lPMMM BAA

Ponieważ 01

01 AA MM

166 21

9. Rozwiązać układ równań metody przemieszczeń. 0

8628 21

16122 21

166 21

03161,0

01328,0

00458,0

0.115Pl0.053PL

0.062Pl

0.045Pl

0.302Pl M

PlMPlMPlMPlMPlMPlM

115.0053.0062.0045.0

045.0302.0

0.121Pl

0.847P

0.153P

0.107P0.071P

0.153P

Równowaga na oś poziomą

0.847P

0.153P

0.107P

0.036P

Równowaga na oś pionową

N 0.107P

0.036P

0.071P

Wpływy pozastatyczneNależą do nich przede wszystkim wpływ temperatury oraz wpływ przemieszczeń podpór

1. Nierównomierny przyrost temperatury

Momenty w układzie geometrycznie wyznaczalnym wywołane nierównomiernym przyrostem temperatury

zestawione są w tablicy

Przykład 3.3 Nierównomierny przyrost temperatury

A 1 2 BΔt

1,5l l l

EJ=const.

212212

7667621

181872

901872

Wpływy pozastatyczneRozwiązanie nie zależy od przyjętego układu geometrycznie wyznaczalnego

2. Równomierny przyrost temperatury

Stan zewnętrzny musi być rozważany w układzie geometrycznie wyznaczalnym. Należy w tym układzie sporządzić plan przemieszczeń węzłów.

Przykład 3.4 Równomierny przyrost temperatury

.constEJ 1 2

K11φ1 + K12φ2 + K10 = 0K21φ1 + K22φ2 + K20 = 0

lEJM t

65,1232 0111

lEJM t

632322 0111

lEJM t

032222112

lEJM t

5,102221221

lEJM C

lEJM t

033 0222

6β3β

NRównowaga

Wpływy pozastatyczneRozwiązanie nie zależy od przyjętego układu geometrycznie wyznaczalnego

2. Osiadanie podpór

Stan zewnętrzny musi być rozważany w układzie geometrycznie wyznaczalnym. Należy w tym układzie sporządzić plan przemieszczeń węzłów.

Przykład 3.5 Osiadanie podpórPodpory osiadają o ustalone (pomierzone) wielkości

.constEJ 2l

Układ geometrycznie wyznaczalny

EJlEJM CC

llC 38

2 0002

0628 012

0121 MM

16122 02

166 01

AAI MM

EJlEJMM AAA

EJlEJMM 00

Przykład 3.5 Osiadanie podpór

628 20

316122 2

3166 2

1 4496,2

2 2968,2

lI04994,0

0111 32AIA M

0111 322AIA M

2112 22 lEJM

1221 22 lEJM

lEJM C

EJM 344

1.90β

6.80β

16.29β

22.81β

6.52β

8,70γ

23,09γ30,41γ

8,70γ T

23,09 γ7,32 γ

8,70 γ

Nγ=β/l

Symetria i antysymetria

Każde obciążenie w konstrukcji symetrycznej można rozłożyć na część symetryczną i antysymetryczną

Oś symetriikonstrukcji

q/2 q/2q/2 q/2

S APręt przecięty osią symetrii konstrukcji

q/2 q/2

Belka utwierdzona z jednej strony przesuwnie

2ikiikiiik M

Wzór transformacyjny

Schemat 0kiM0

0ikM 0

0,5 l 0,5 l

Δt – jak w belce obustronnie utwierdzonej

Przykład 3.6242

J=const

Przykład 3.6243

t/21,5l

Przykład 3.6244

Przykład 3.6245

0211221

0122112

3632 012

lEJMM tSS

MM tSS

44184427

Przykład 3.6246

272227

Przykład 3.6247

t/21,5l

Plan przemieszczeń węzłówψ ψ

Ψ=2Δ/3l

Przykład 3.6248

0212121

0122112

3632 012

lEJMM tAA

MM tAA

0292122

029226

127124

Przykład 3.6249

EJttlEJM

1254108

21254420

Przykład 3.6250

ltEJ t

P/2 P/2 P/2 P/2

Pręt leżący na osi symetrii konstrukcji

P/2 P/2

P/2 J=∞

P/2 P/2P/2

J1=J∕2

Przykład 3.7A co ze stanem symetrycznym?

Przykład 3.7255

PlMMMMMMM

156306820327

EJPlEJPl

44313443

Przykład 3.7256

1044113232

7̀44113234

7441342

5441324

5441133

5β7β

7β5β14β

Koniec prezentacji multimedialnej z przedmiotu

„Mechanika budowli” kierunek „Budownictwo” specjalność „Technologie energooszczędne w budownictwie” sem.IV

Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski

Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski

Documents

Transcript of Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski

ROZPRAWA DOKTORSKA...ROZPRAWA DOKTORSKA mgr inż. Paweł Witkowski Wpływ parametrów roboczych zespołu tnącego na zapotrzebowanie energii cięcia roślin energetycznych Promotor:

PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU · Web viewRecenzenci: dr hab. Marek Chmielewski, mgr inż. Krystyna Kwestarz Lider grupy branżowej: mgr inż. Ewa Marciniak-Kulka Lider zadania „Opracowanie

Witkowski Waldemar - Tajemnice Istnienia

Michał Witkowski Dookoła zagadki steblowskiej

zakazana - tomaszwitkowski.pl · zakazana psychologia. tomasz witkowski zakazana psychologia tom i 21/+ô&

Wykªad 1 Paweª Witkowski - mimuw.edu.plpwit/TI/wyklad-np-1.pdf · echnologieT Informacyjne Wykªad 1 Paweª Witkowski MIM UW Wiosna 2018.P Witkwskio (MIM UW) echnologieT Informacyjne

zn49 AKTUALNY poprawiony - wsa.edu.pl 49.pdf · Andrzej Borusiewicz, Dr n. hum. Jolanta Łodzińska, Mgr inż. Marek Pawłowski, Dr inż. Piotr Ponichtera, Mgr Paulina Zabielska RADA

Festiwal Nauki - Koordynator: dr Rafał NowickiścieżKa SPOŁecZNa 09:00 - 10:30 Jak wygląda praca kryminalistyka - warsztat z walizką kryminalistyczną mgr inż. Marek Grabowicz

INSTYTUT AUTOMATYKI SYSTEMÓW …1 INSTYTUT AUTOMATYKI SYSTEMÓW ENERGETYCZNYCH mgr inż. Marek Kozłowski 1), mgr inż.Tomasz Piesiewicz 1) IASE Wrocław prof. dr hab. Aleksander

8 Konferencja Naukowa - INPO 2017 Konferencji... · Częstochowa / Wisła –Jawornik ... Prowadzący obrady: Prof. dr hab. inż. Marek Hetmańczyk Prof. dr inż. Leopold Jeziorski

Igor Witkowski - Supertajne bronie Hitlera - część 5.pdf

Ortoli, Witkowski - Η μπανιέρα του Αρχιμήδη

Waldemar Witkowski - Tajemnice Istnienia

Element Logistyczne zabezpieczenie Rozwój techniki PRZEGLĄD · 2019-08-07 · SZKOLENIE ppłk dypl. Marek Gryga 32 DALEKIE ROZPOZNANIE A DZIAŁANIA SPECJALNE kmdr por. mgr inż.

Internet of things poland 2015, 18 19 listopada, poznań - Rafał Witkowski

ROCZNIK BEZPIECZEŃSTWA MORSKIEGO ROK VII – 2013 · Transport morski i gospodarka morska – dr hab. inż. Marek PRZYBORSKI ... (AMW) 4. Bezpieczeństwo wewnętrzne – prof. dr

Informatyczne Podstawy Projektowania - AutoCAD · Informatyczne Podstawy Projektowania - AutoCAD PROWADZĄCY: mgr inż. Marek Badura marek.badura@pwr.wroc.pl lab. 341/C-6 tel. 320-26-02

Projektowanie stanowisk pracy dla osób niepełnosprawnych · PROJEKTOWANIE STANOWISK PRACY DLA OSÓB NIEPEŁNOSPRAWNYCH Opracował mgr Inż. Marek Skorus 1

Michał Witkowski: Analiza zachowania graczy, jak zbudować grę w oparciu o dane?

KOMISJA EUROPEJSKA - ippc-ps index · Marek Mierzwiński, dr inż. Adam Ruciński, ... oddziaływaniu na środowisko z użyciem środków technologicznych jest w pierwszym okresie