Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski

Prezentacja multimedialna z przedmiotu „Mechanika budowli” kierunek „Budownictwo” specjalność „Technologie energooszczędne w budownictwie” sem.IV

1

Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski

Wykład został przedstawiony na podstawie podręcznika Gustawa

Rakowskiego „Mechanika budowli” Oficyna Wydawnicza

Wyższej Szkoły Ekologii i Zarządzania, Warszawa 2004

1.Przemieszczenia w ustrojach statycznie

wyznaczalnych

Praca sił zewnętrznych

4

j

'j

j

jM iP

i

i

'i

jjiiz MPL

Praca sił wewnętrznych

5

dx

N NT

T

M M

dx

N N

du

dx

M M

d

r

dx

T

T

dx

Praca siły podłużnej N

6

dx

N N

du

NdudLN

dxNdLN

l l

NN dxNdLL

Praca momentu zginającego M

7

dx

M M

d

r

MddLM

kdxdxr

d 1

MkdxdLM

l l

MM MkdxdLL

Praca siły poprzecznej T

8

dx

T

T

dx

dxTdLT

l l

TT dxTdLL

Całkowita praca sił przekrojowych

9

lll

w dxTMkdxdxNL

0l

dxT

ZASADA PRAC WIRTUALNYCH

Praca zewnętrznych sił wirtualnych na odpowiadających im rzeczywistych przemieszczeniach równa się pracy wirtualnych sił przekrojowych spowodowanych wirtualnym obciążeniem na odpowiadających im rzeczywistych odkształceniach

10

dxMkdxNMPll

jj

W układach prętowych

11

EAN

EJMk

Niech obciążenie wirtualne wynosi

1

Zatem:

n

j llii

jj

MdxEJMNdx

EAN

1

1

BELKI

12

n

j lii

j

MdxEJM

1

1

Całkowanie:

F – pole wykresu M

Środek ciężkości M

Rzędna wykresu

Mpod środkiem ciężkości pola F

ηFdxMM

l

13

abF31

a

b4b

abF21

a

b3b

a

b

b83

abF32

a

abF32

2b

2b

Figury złożone

14

2b

3b

3b

b

b

a

f

a

2b

2b

f

Przykład 1.1

15

q

l 4l

?

Momenty rzeczywiste

8

2ql

M

constEJ

Stan obciążeń wirtualnych

16

l 4l

Momenty wirtualne

41_ lM

1

Obliczenie przemieszczenia

17

8

2ql

M

41_ lM

41

21

83211

2 llqlEJ

EJql

96

4

Przykład 1.2

18

2J J

l l

P?

Momenty rzeczywiste

Pl2Pl

2J J

l l

Momenty wirtualne

l1l21

1

Stan wirtualny

19

Pl2Pl

l21 l1

EJPl 3

23

EJ2

l1

Pl

EJ

PlllEJ 3

221111 )

312

32(

2121

21 PlPlllEJ

)322

31(

211

21 PlPlllEJ

RAMY

W ramach zwykle można pomijać wpływ sił podłużnych na przemieszczenia punktów konstrukcji. Zatem

20

n

j lii

j

MdxEJM

1

1

21

P

A

B

C

?

ll

43

2l

2l

Przykład 1.3

constEJ

22

P

A

B

C

AH

BH

BV

AV

024

3

lVlHM AAC

04

lPlVlHM AAB

PH A 74

Stan rzeczywisty:

Czyli:

Pl73

Pl73

M

23

Stan wirtualny

A

B

C

1 1

H

HV

V041

lHlVM B

0143

2 lHlVMC

Czyli:781 H

M

781

761

24

M

781

761 1 1

711

711

'M "M

Ale:

)(113

1

"'

j

l lj j

MdxMMdxMEJ

jl

MdxM 0'

Pl73

Pl73

M

25

1711

711

"M711

32

21

43

73(11 lPl

EJ

)3223

322232

324233(

49

2

EJ

Pl

EJPl

1965 2

Pl73

Pl73

M

711

32

21

2732

lPl )711

32

21

73

lPl

Przykład 1.4

26

q

l

l

l

constEJ ?u

27

q

Stan rzeczywisty

V

H

H

02

2 lqllHM B

4qlH

4

2ql

4

2ql

MB

A

Stan wirtualny:

28

BV

BH

AH

B

A

1

012 llHM AB

211 AH

M

211 BH

21 l

21 l

29

4

2ql

4

2ql

M M

21 l

21 l

4

2ql

4

2ql

8

2ql

4

2ql

4

2ql

21

83211

2 llqlEJ

u

EJqlu

24

4

KRATOWNICEW kratownicach występują tylko siły podłużne,

które nie zmieniają się na długościach prętów.

Zatem równanie prac wirtualnych ma postać:

30

n

j j

jjj

l

n

j

n

j li EA

lNNdx

EANNdx

EANN

jj111

1

Przykład 1.5

31

?

P

l l l

l

A

2A

Przekroje prętów w pasach

Przekroje prętów w krzyżulcach

Przekroje prętów w słupkach

2A

W tym przypadku wygodniej jest rozpocząć obliczenia od stanu wirtualnego.

32

1 1

1

1

21

21 21

l l l

l

Stan rzeczywisty

33

P

l l l

l

Siły rzeczywiste obliczamy tylko w tych prętach, w których istnieją siły wirtualne2P2P

P2

P

P2

P3

34

1 P2

21 21 2P 2P

1

P

21 P3 1 P2

A

A A

2A2

A

2A

)()1(2221222)3()21()2()1(211 PEAlP

EAlP

EAlP

EAlP

EAl

)28622( PPPPPEAl

EAPl20

Przykład 1.6

35

l l l l

23l

P P

constEA

C

D

A B

?CD

Stan wirtualny jest stanem samozrównoważonym

36

l l l l

23l

C

D

A B

11

37

D1

1C

0211

23

CEC

y NP

331 CEN

E

F

331

331

331

331

l l l l

23l

C

D

A B

P P Stan rzeczywisty

PP

E

F

EFN

EDN

CFN

0023

EFEF NPPN PNlPlN CFCF 3023

23

PNN CFED 3

CEN

023

PNCE

PNCE 332

38

D

C

E

F

331

331

331

331

D

C

E

F

P3

P3

P3

32

EAlPCD )

332)(

331(1

EAPl

CD 32

PRĘTY ZAŁAMANE W PLANIE

3939

Siły przekrojowe

M

sM

T

Podpory i reakcje

Przegubowo-kulista

Przegubowo-walcowa

Utwierdzona

PRĘTY ZAŁAMANE W PLANIEW prętach tych występują momenty

zginające i skręcające. Wpływ obu tych wielkości na przemieszczenia jest porównywalny.

40

)(11

dxGCMMdx

EJMM

jj l

ssn

j li

Gdzie:ss MM , - momenty skręcające

G - moduł KirchhoffaC -charakterystyka przekroju na skręcanie; w

prętach o przekrojach kołowych biegunowy moment bezwładności

Równania równowagiJeśli pręt leży w płaszczyźnie xy a obciążenie jest

prostopadłe do tej płaszczyzny mamy 3 równania równowagi

41

x

y

z 0zP

0xM

0yM

- momenty względem osiyx MM ,

Przykład 1.7

42

q

l

l

l

2l GCEJ 2

?A

B

C

Stan rzeczywisty

43

q

l

l

l

2l

A

B

C

AV

BV

CV

x

y

z 0

232 lqllVM Cy

qlVC 43

043

23

23 lVlqllVM CBx

4243

32

43 qlqlqlVqlV CB

023

qlVVVP CBAz

243

423 qlqlqlqlVA

44

2ql

4ql

4

2ql

2

2ql

Równoległe przesunięcia sił

ql43

Oznaczenia:

Wektor siły

Wektor momentu

45

Wykresy momentów rzeczywistych

2

2ql

4

2ql43 2ql

8

2ql

32

2ql

M

2

2ql

4

2ql

sM

46

l

l

l

2l

A

B

C

1

Stan obciążeń wirtualnych

y

x

z

AV

CV

BV

012 llVM Cy

211 CV

023

lVlVM CBx

311

32

CB VV

01 CBAz VVVP

651

311

2111 AV

47

Wykresy momentów wirtualnych

M

l651

61 l

31 l

21 l

sM

l651

31 l

Wykresy momentów rzeczywistych

2

2ql

4

2ql43 2ql

8

2ql

32

2ql

M

2

2ql

4

2ql

sM

65

32

22(11

2 llqlEJ

62

183

2 2 llql

621

23232 2 llql

33

224

2 llql )

232

243 2 llql

65

2(1 2 llql

GC )

324

2 llql

GCEJ 2

EJql 4

562,0

decydujące

W układach statycznie wyznaczalnych wpływ temperatury nie wywołuje powstania sił przekrojowych

48

Δt

h

Wpływy pozastatyczne – wpływ temperatury

h

gt

dt

h

t

ttt

htk t

t

współczynnik rozszerzalności termicznejt

49

Równanie prac wirtualnych

dxhtMdxtN

l

t

ltii

1

Jeśli na długości pręta przyrost temperatury oraz stałe materiałowe nie zmieniają się, to

Mt

Ntl

t

ltii F

htFtdxM

htdxNt

1

jM

n

j

tjN

n

jtii F

htFt

11

1

W przypadku wielu prętów

Gdzie: jNF - pole wykresu wirtualnej siły podłużnej w pręcie j

- pole wykresu wirtualnego momentu zginającego w pręcie jjMF

50

Przykład 1.8 – nierównomierny przyrost temperatury

l

l5,1

t

th

h2?

Stan wirtualny:

1

1

231

231

231 l

M

21

231

221

23

2311

ll

htll

ht tt

htl

htl tt

22

23)

83

89(

minus

minus

51

Przykład 1.9 –równomierny przyrost temperatury

l

l l l l l l

?

t

t

t

Stan wirtualny:1

3

2

1211

1N

2N

3N

022

21

3 N2213 N

0321

1 lNl2311 N

0221

2 lNl 12 N

)22211

231(1 llltt

ltt 21

W układach statycznie wyznaczalnych osiadanie podpór nie wywołuje powstania sił przekrojowych

52

Wpływy pozastatyczne – osiadanie podpór

Ponieważ w układach statycznie wyznaczalnych nie powstają siły przekrojowe, zatem nie ma pracy sił przekrojowych.

Przemieszczenia podpór powstają w rzeczywistych obiektach na skutek różnych zdarzeń, zwłaszcza awaryjnych. Po ich zmierzeniu możemy ustalić ich skutki, w tym przypadku na przemieszczenia innych punktów konstrukcji

Czyli praca zewnętrznych sił wirtualnych na rzeczywistych przemieszczeniach równa jest zero.

53

01 kk

kiiz RL

i

kR

k

- poszukiwane przemieszczenie

- reakcje podpór od jedynki wirtualnej

- znane (pomierzone) przemieszczenia podpór

Przemieszczenia podpór mogą być zarówno liniowe jak i kątowe

u

v

54

Przykład 1.10 – przemieszczenia podpór

C

l23

l l l

l

l0

0

?

55

C

l23

l l l

l

l

Stan wirtualny

1

A

B

D

E

1EV

01 llVM ED

BV

02121 lllVM BpC

1

1

AM

02311 llMM A

lC

lM A 251

l251

025111 00 l

00 25 l

0

0 A

2.Metoda sił

Aksjomat więzówJeżeli układ materialny jest w równowadze,

to odrzucenie dowolnego więzu i zastąpienie go reakcją nie zmienia stanu

równowagi układu

57

P

l l

P

2P

METODY SIŁ

Stopień statycznej niewyznaczalności

58

Stopniem statycznej niewyznaczalności układu prętowego nazywamy liczbę całkowitą, będącą różnicą między liczbą nieznanych wielkości statycznych występujących w układzie a liczbą możliwych do ułożenia równań statyki.

Chociaż można podać ogólny wzór na stopień statycznej niewyznaczalności dowolnych układów, wygodniej jest stosować wzory do

różnych typów układów prętowych

Rozpoczniemy od analizy belek, w których można szczególnie prosto omówić koncepcję

BELKI

59

Pq

Stopień statycznej niewyznaczalności: prn 3

Gdzie: r – liczba reakcji podpór3 – liczba równań równowagip – liczba przegubów rozdzielających pręty

5r 0p

235 n

60

Podpora utwierdzona przesuwna

134 n 2136 n

1135 n 2237 n

prn 3

61

Gdy n>0 układ jest statycznie niewyznaczalny

Gdy n=0 układ jest statycznie wyznaczalny

Gdy n<0 układ jest geometrycznie zmienny

1133 n

132 n

2335 n

62

Warunek geometrycznej niezmienności jest tylko warunkiem koniecznym, ale nie dostatecznym

0n

Należy jeszcze sprawdzić, czy układ taki nie ma żadnych stopni swobody (s- liczba stopni swobody). Czyli musi być s=0

0n 1s

1s1n

2n 1s

2n 2s

Algorytm metody siłNa przykładzie belki pokazanej uprzednio

63

1. Obliczyć stopień statycznej niewyznaczalności

Pq

5r 0p

235 n

2. Przyjąć schemat podstawowy statycznie wyznaczalny

Musimy odrzucić n więzów, zastępując je nieznanymi reakcjami, ponumerowanymi nXXX ,..., 21

Ta operacja nie jest obiektywna, zależy od rozwiązującego i silnie wpływa na efektywność rozwiązania

Algorytm metody sił

64

Pq

Warianty układu podstawowego statycznie wyznaczalnego

Pq

1X 2X

Pq

2X1X

Pq

1X2X

q

Algorytm metody sił65

3. Sporządzić wykresy momentów zginających iMod stanów jednostkowych iX w układzie podstawowym

Stan 11 X

11 X

11M

Stan 12 X

12 X

2M

4. Obliczyć przemieszczenia ik w miejscach usuniętych więzów na

na kierunkach wielkości nadliczbowych od jednostkowych wartości iX

11

21

12 221 2 1

2


Pq

5. Sporządzić wykres momentów zginających 0M od danego obciążenia w układzie podstawowym

0M

6. Obliczyć przemieszczenia 0i w miejscach usuniętych więzów na na kierunkach wielkości nadliczbowych od obciążenia zewnętrznego

1020

1 2


7. Budujemy kanoniczne równania metody sił. Są to przemieszczeniowe równania więzów, z których wynika, że więzy w rzeczywistości nie są odrzucone.

W omawianym przykładzie stwierdzamy, że sumaryczny kąt obrotu w punkcie 1 równy jest zeru, gdyż w tym miejscu jest podpora utwierdzona, natomiast sumaryczne przemieszczenie w punkcie 2 też musi być zerowe, gdyż tam znajduje się środkowa podpora.

11 1X 1012

2021 1X

2X

2X22

0

0

Pq

1 2

ik przyczyna

miejsce


8.Rozwiązać układ równań względem niewiadomych

11 1X 1012

2021 1X

2X

2X22

0

021, XX

9.Korzystając z wzoru superpozycyjnego 22110 XMXMMM

sporządzić wykres momentów zginających oraz wykresy pozostałych sił przekrojowych

Obliczanie współczynników układu równań metody sił

69

Współczynniki ik oraz 0i są przemieszczeniami, zatem do ich obliczenia można zastosować twierdzenie o pracy wirtualnej. Jeśli chcemy obliczyć np. czyli przemieszczenie w miejscu i spowodowane działaniem w miejscu k nadliczbowej należy w miejscu i przyłożyć jednostkowe obciążenie wirtualne i sporządzić od niego wykres momentów zginających. Zauważmy że takim obciążeniem będzie stan

i spowodowany nim wykres momentów .

ik1kX

1iX iM

Mamy więc: dxEJMM ki

ik

Podobnie: dxEJMM i

i0

0

70

Zauważmy:

1) Każdegdyż - funkcja podcałkowa jest dodatnia o ile istnieje zginanie. Oznacza to, że w układach sprężystych przemieszczenie pod siłą spowodowane działaniem tej siły jest zawsze zgodne ze zwrotem jej działania.

0ii dxEJM i

ii 2)(

2) Zawsze jest kiik

11 X

12 X21

121 2 1

2

W rzeczywistości równe są prace 2112 11

Jest to szczególny przypadek twierdzenia o wzajemności, tzw. Twierdzenie Maxwella. W wyniku tego macierz układu równań metody sił jest macierzą symetryczną

W układach statycznie wyznaczalnych przyrost temperatury nie wywołuje powstania sił przekrojowych

Wpływy pozastatyczneNierównomierny przyrost temperatury

71

Δt

h htk t

t

t współczynnik rozszerzalności termicznejtk - krzywizna

Układ podstawowy jest układem statycznie wyznaczalnym.Zatem:

ijM

n

j

t

ji

n

j

ti F

htdxM

ht

11

0

gdzie: ijMF - pole wykresu momentu na pręcie jiM

Wpływy pozastatyczneRównomierny przyrost temperatury

72

h ttt

t

ijN

n

jt

ji

n

jti FtdxNt

110

gdzie: ijNF - pole wykresu siły na pręcie jiN


Wpływy pozastatyczneOsiadanie podpór

73

Zatem: 00 kk

iki R

gdzie: ikR - reakcja w podporze k wywołana obciążeniem 1iX

Czyli:k

k

iki R 0

W belkach taki schemat podstawowy jest najkorzystniejszy

BELKI

74

Przykład 2.1q

J JJ5,1

l l l


235 nSchemat podstawowy

q

1X1X 2X 2X

75

Stan 11 X11 X11 X

J5,1 JJ

11M

Stan 12 X

J5,1 JJ

2M

12 X12 X

1

EJll

EJl

EJ 95

32

211

32

21

32

11

EJll

EJ 32

32

211222

EJll

EJ 61

31

211

12

76

Stan obciążenia zewnętrznego

J5,1 JJ

0M

q

8

2ql

11M

EJqllql

EJ 3621

832

32 32

10 020

Układ równań:EJl

95

1X EJl

61

2X 036

3

EJql

EJl

61

1X EJl

32

02 X

77

95

1X 61

2X 036

2

ql

61

1X 32

02 X

21 4XX 366

141840 2

22qlXX

18937 2

2qlX

22 74

1 qlX 21 74

4 qlX

M

8

2ql 2

741 ql

2

744 ql

78

Siły poprzeczne

q2

744 ql

ql7433

ql7441

2

744 ql 2

741 ql

ql745

2

741 ql

ql741ql

741

ql7441

ql7433

ql745

ql741

T

ql745

79

Obliczenie momentów zginających i naprężeń od obciążenia i nierównomiernego przyrostu temperatury

79

q

l

mkNqml

/204

kNmql 408

4208

22

MPaWM

xq 187

102141040

6

3

cmh 20

3

4

214

2140

cmW

cmJ

x

x

8080

KCt 40400

1510 Kt

GPaE 205

42140cmJ x

cmh 20

kNmhtEJ xt 2,13

102021021401020540103

23

2

865

MPaWM

xt 62

10214102,13

6

3

8181

cmh 22

3

4

278

3060

cmW

cmJ

x

x

Granica plastyczności stali: MPaf y 300

Dopuszczalne naprężenie: MPaf ydop 2107,0

Zatem: MPaMPa dop 21024962187

MPaWM

xq 143

102781040

6

3

MPaWM

xt 62

10278101,17

6

3

kNmhtEJ xt 1,17

102221030601020540103

23

2

865

MPaMPa dop 21020562143

Ale jest:

433,014362)2

332,018762)1

tEW

WtEWM

WtEM

WhJ

tx

xt

x

xt

xx

435,0

23

5,0

5,0

BELKI Przykład 2.2

82

l3l

32l

t

constEJ consth

Stopień statycznej niewyznaczalności 11353 prn

Schemat podstawowy

1X

t

83

Stan 11 X

11 X

t

1

21

1M

132

21

321(1

11l

EJ

21

32

21

321 l

)21

32

21

21 l )

121

361

92(1

EJ

lEJ36

318EJl

3

iM

n

j

t Fht

11

10

htt

)21

321

21

321( ll

htlt

4

11

101

Xhtlt

4

lEJ3

h

tEJ t

43

11 MXM

htEJ t

43

M htEJ t

83

Thl

tEJ t

89

hltEJ t

83

RAMY

84

prn 3Gdzie: r – liczba reakcji podpór

3 – liczba równań równowagip – liczba warunków statyki wynikających z

istnienia przegubów

Wzór na stopień statycznej niewyznaczalności jest identyczny jak w belkach

6r

1p

2136 n 7r

2p

2237 n

85

Jeśli w ramie pojawiają się obwody zamknięte, stopień statycznej niewyznaczalności wzrasta o 3a – gdzie a oznacza liczbę obwodów

zamkniętych

parn )1(3

30)11(33 n 71)12(35 nUkłady podstawowe

86

Przeguby w ramie

2p 3p

1p3p

1p

RAMY Przykład 2.3

87

q

l2

l

l

constEJ


20353 prn

Schemat podstawowyq

1X

2X

Stan

88

11 X

11 Xl

l

l

1M

Stan 12 X

12 X2M

l2

l2

89

0M


EJllllll

EJ

32

113)2

32

23(1

EJllll

EJ

3

122

21221

EJlllllll

EJ 332)2

32

2122222(1 3

22

EJqlllql

EJ 32

222

311 4

210

l

l22ql

2l

2l

23l

1MEJqlllql

EJ 38222

311 4

220

90

Układ równań:

038

3322

03223

4

2

3

1

3

4

2

3

1

3

EJqlX

EJlX

EJl

EJqlX

EJlX

EJl

Po uproszczeniach:

03

83

322

03

223

21

21

qlXX

qlXX

qlX

qlX

9394

2

1

22110 XMXMMM

M

2

98 ql

2

92 ql

2

94 ql

91

Siły poprzeczne

T N

Siły podłużne

ql9

14

ql94

ql31

ql94

ql31

ql31

ql94

92

Przykład 2.4Przesunięcia i obroty podpór

l2

l

l

constEJ

0

0v

0u

Stan

93

11 X

11 XStan 12 X

12 X

l

01

l2

Równania prac wirtualnych

001 0010 vl 010 l

0121 0020 vl 0020 2 vl

Równania metody sił

02340

3

002

3

1

3

002

3

1

3

vlXEJlX

EJl

ulXEJlX

EJl

Obliczenie od przesunięcia poziomego prawej podpory

94

0340

3

2

3

1

3

02

3

1

3

XEJlX

EJl

uXEJlX

EJl

12 403 XX

30213lEJuXX

M

30

2

30

1

1173

11740

lEJuX

lEJuX

20

11740

lEJu

20

11746

lEJu

20

11734

lEJu

Obliczenie momentów zginających i naprężeń od przemieszczenia podpory

95

M

20

11740

lEJu

20

11746

lEJu

20

11734

lEJu

cmu 50

ml 3

GpaE 25

cm20

cm40

45834343

104510104510454500012

3020 mcmcmJ

kNmlEJuM 3,98

91174525246

910451025102

11746

11746 561

20

max

MPa4,18101033,53,98 3

3max

334221

1033,56

10104102 mWx

96

SYMETRIA I ANTYSYMETRIA

Zawsze warto wykorzystać symetrię układu, nawet jak obciążenie nie spełnia warunków symetrii

l

2l

2l

P P

1X

11 X

2X

3X

12 X

13 X

2Pl

0M

1M 2M 3M

1

11

l ll

l

97

00

0

30333322311

20233222211

10133122111

XXXXXXXXX

Pełny układ równań:

2l

2l

P

2l

2l

1X 1X

2X 2X

3X3X

2Pl

0M

1M 2M 3M

2l

2l

l l 1 1

1 1

98

021 dxMM 031 dxMM

Stąd: 01312

Układ równań

00

0

30333322

20233222

10111

XXXX

X

l

2l

2l

P 2P

2P

2P

2P

S A

99

SM 0

Symetria

010 00

30333322

20233222

XXXX

Antysymetria

AM 0

03020 010111 X

2Pl

2Pl

2Pl

2Pl

100

Niewiadome grupowe. W przypadku symetrii konstrukcji oraz symetrii lub antysymetrii obciążenia warto wykorzystać niewiadome w postaci grup

P2 PP P P

S A

S A

PPS

S

4n

1X 1X

2X 2X

000

0

40444433422411

30344333322311

20244233222211

10144133122111

XXXXXXXXXXXXXXXX

P P

A

A

3X 3X

4X4X

101

Symetria

SM 0 1M 2M

AM 0 4M3M

00

20222222

10122111

XXXX

Antysymetria

00

40444343

30344333

XXXX

KRATOWNICE

102

W przypadku kratownic wzór na stopień statycznej niewyznaczalności można przedstawić w wygodniejszej formie

wprn 2

gdzie:

w

pr - liczba reakcji węzłów

- liczba prętów

- liczba węzłów

Wzór ten skonstruowany jest przy założeniu, że w każdym pręcie występuje jedna siła a dla każdego węzła można ułożyć dwa warunki równowagi, gdyż układ sił w węźle jest układem zbieżnym

KRATOWNICE

103

W przypadku kratownic wzory na współczynniki układu równań Metody Sił zmieniają się, gdyż w prętach kratownic występują wyłącznie siły podłużne, stałe na długości prętów.Dlatego też:

p

j j

jkjijik EA

lNN

1

gdzie:p - liczba prętów w kratownicy

kjij NN , - siły w pręcie j odpowiednio od stanów i oraz k

jj Al , - długość i pole przekroju pręta j

E - moduł Younga materiału prętów kratownicy

104

Wyrazy wolne od obciążenia zewnętrznego:

p

j j

jjiji EA

lNN

1

00

gdzie:jN0 - siły w pręcie j od obciążenia zewnętrznego

Wyrazy wolne od równomiernego przyrostu temperatury:

jij

p

jjti lNt

1

0

ijNgdzie: - siła w pręcie j od stanu i

jl - długość pręta j

jt - przyrost temperatury w pręcie j

t - współczynnik rozszerzalności termicznej materiału kratownicy


Wyrazy wolne od osiadania podpór:

105

gdzie:

ikR - reakcja w podporze k wywołana obciążeniem 1iX

kk

iki R 0

k - osiadanie (lub obrót) podpory k

v v

u

106

Przykład 2.5P

l l l

l43

1

2

3

4

56

262104 n

Schemat podstawowy

1

2

3

4

56

P

1X2X 2X

constEA

107

11 XStan

12 XStan

1

2

3

4

5611 X

1

2

3

4

5612 X

1 1 1

12 X

6,0

53cos

6,0

6,0

6,0 6,0

1

1

8,0

8,0

8,08,0

11

43l 4

5l

l

108

Pręt Długość1-2 0 0 1,25l 0 0 01-3 1 0 l l 0 02-3 0 -0,6 0,75 0 0,27l 02-4 0 -0,8 l 0 0,64l 02-5 0 1 1,25l 0 1,25l 03-4 0 1 1,25l 0 1,25l 03-5 1 -0,8 l l 0,64l -0,8l4-5 0 -0,6 0,75l 0 0,27l 04-6 0 0 1,25l 0 0 05-6 1 0 l l 0 0

Suma iloczynów 3l 4,32l -0,8l

1N 2N lNN 11 lNN 22 lNN 21

EAl3

11 EA

l32,422

EAl8,0

12

109


1

2

3

4

56

P

l l l

l75,0

P67,0 P33,0

4

56

P33,035N

25N

24N2 4

6

P33,056N

45N

24N0233,075,0352 lPlNM

PN 89,035

PNN 89,03513

033,075,0245 lPlNMPN 44,024

033,06,025 PNPyPN 55,025

02456 NNPxPNN 44,02456

033,0 45NPPy

PN 33,045 023 N

110

Pręt Długość1-2 0 0 -1,11P 1,25l 0 01-3 1 0 0,89P l 0,89Pl 02-3 0 -0,6 0 0,75 0 02-4 0 -0,8 -0,44P l 0 0,35Pl2-5 0 1 -0,55P 1,25l 0 -0,69Pl3-4 0 1 0 1,25l 0 03-5 1 -0,8 0,89P l 0,89Pl -0,71Pl4-5 0 -0,6 0,33P 0,75l 0 -0,15Pl4-6 0 0 -0,55P 1,25l 0 05-6 1 0 0,44P l 0,44Pl 0

Suma iloczynów 2,22Pl -1,20Pl

1N 2N lNN 01 lNN 02

EAPl22,2

10 EAPl20,1

20

0N

111

022,28,0321

EAPlX

EAlX

EAl

020,132,48,021

EAPlX

EAlX

EAl

202210122

201210111

XX

gdzie:

2122211

1122

212122211

1212

2122211

2211

Czyli

lEA

lEA

lEA

lEA

lEA

lEA

244,08,032,43

3

065,08,032,43

8,0

351,08,032,43

32,4

222

22112

211

PPPXPPPX

149,020,1244,022,2065,0701,020,1065,022,2351,0

2

1

112

Siły w prętach: 22110 NXNXNN

Pręt1-2 -1,11P 0 0 0 0 -1,11P1-3 0,89P 1 -0,70P 0 0 0,19P2-3 0 0 0 -0,6 -0,09P -0,09P2-4 -0,44P 0 0 -0,8 -0,12P -0,56P2-5 -0,55P 0 0 1 0,15P -0,40P3-4 0 0 0 1 0,15P 0,15P3-5 0,89P 1 -0,70P -0,8 0,12P 0,31P4-5 0,33P 0 0 -0,6 -0,09P 0,24P4-6 -0,55P 0 0 0 0 -0,55P5-6 0,44P 1 -0,70P 0 0 -0,26P

1N 2N0N 11NX22NX N

PX 701.01 PX 149.02

113

1

2

3

4

5

6

P

P11,1

P19,0

P09,0

P56,0

P40,0

P15,0

P31,0

P24,0P55,0

P26,0

P67,0P33,0

P70,0 P70,0

Siły w prętach

114

1

2

3

4

5

6

Przykład 2.6

115

t

t

t t

2l

2l

2l

2l

83l

85l

t43 t

43

4t

4t

Średnia temperatura:

W pasie:

W słupku:

W krzyżulcu:

43

25,05,0 tllt

llttśr

475,01

21

275,0 t

llttśr

425,11

21

225,1 t

llttśr

116

1 63 5

1 1 1

Siły 1N

1 63 5

Przyrost temperatury

t43t

43

ltlt tt 232

43110

Siły 2N

2

3

4

512 X

12 X

6,0 6,0

8,0

8,0

11

Przyrost temperatury2

3

4

5

ltltltlt tttt 2011

43

46,0

45

41

438,020

t75,0

t25,0

t25,0

117

Siły w prętach: 2211 NXNXN

Pręt1-2 0 0 0 0 01-3 1 -0,56 0 0 -0,562-3 0 0 -0,6 0,14 0,142-4 0 0 -0,8 0,19 0,192-5 0 0 1 -0,23 -0,233-4 0 0 1 -0,23 -0,233-5 1 -0,56 -0,8 0,19 -0,374-5 0 0 -0,6 0,14 0,144-6 0 0 0 0 05-6 1 -0,56 0 0 -0,56

1N 2N11NX 22NX N

EAtltltlEAX

EAtltltlEAX

ttt

ttt

232,0)2011244,0

23065,0(

562,0)2011065,0

23351,0(

2

1

tEAt

118

1

2

3

4

5

6

56,0

14,0

19,0

23,0

56,0

tEAt

Siły w prętach

56,0

56,037,0

23,0

14,0

119

Microsoft Equation 3.0

tEAN t56,0

Siły i naprężenia od przyrostu temperatury

1510 Kt

Kt 100

GPaE 205

MPatEAN

t 8,11410205101056,056,0 325

RUSZTY PRZEGUBOWE

120

Rusztem przegubowym nazywamy układ krzyżujących się belek prostych, leżących w jednej płaszczyźnie i obciążonych prostopadle do tej płaszczyzny. Belki łączą się w węzłach, przekazując wzajemnie oddziaływania w postaci tylko sił prostopadłych do płaszczyzny rusztu.

121

Węzły rusztu przegubowego

Siły przekrojowe

MT

Podpory

122


pbwrn 2

gdzier - liczba reakcjiw - liczba węzłów

b - liczba belek

p - liczba przegubów

123

Węzły

2w

23226 n

1w

1r

16294 n

124

Przeguby 1p

1w

2p

1w

012214 n

222217 n

125

Przykład 2.7q

ll

l

l

l

23226 n

constEJ

126

q

1X

1X

2X

2X 2

2ql0M

1M

2l

32l

2M

2l

32l

Schemat podstawowy

127

1M

2l

32l

2M

2l

32l

0M

EJllllllllll

EJ

3

11 5433)

32

32

212

32

32

32

21

32

232

21

22(1

EJl 3

22 5433

2

2ql

3l

3l

)]33

132

32(

21

3)

32

31

332(

21

32

332

21

322[1

12lllllllllll

EJ

EJl3

12 5421

EJqlllql

EJ

42

20 245

285

2322

010

128

0245

5433

5421

05421

5433

21

21

qlXX

XX

112 57,12133 XXX

0208,057,1611,0389,0 11 qlXX qlX 365,01

qlX 365,057,12 qlX 573,02

M

205,0 ql

218,0 ql

221,0 ql

226,0 ql

22110 MXMXMM

129

Przykład 2.8

EJ

EJEJ2

l

l

2l

- przesunięcie podpory

12214 nSchemat podstawowy

1X

1Xl

3l

1M

32

130

)33

221

3332

21

23(1

32

221

11llllll

EJlll

EJ

EJl3

11 92

0321 10

32

10

331 32

93

2lEJ

lEJX

M23lEJ

2lEJ

11 MXM

131

Przykład 2.9

l

l

l

l

l

l

ll

P2

constEJ

962912 n

132

Schemat podstawowy

P

P

1X

1X

2X

2X

3X

3X

4X

4X

5X

5X

6X

6X

7X

7X

8X

8X

9X

9X Uwaga: siłę 2P rozdzielić na obie belki

II

I

I

II

II

133

S S

SS

09731 XXXX

05 X

S

S

S S

8642 XXXX

134134

Schemat podstawowy

P

P

2X

2X

2X

2X

2X

2X

2X

2X

I

I

I

I

II

II

135

2M

l

l

l l

l

l

l

l

0M

Pl

EJllllllllll

EJ

3

228)22

32

24

32

228(1

EJPlPlPlllPlll

EJ 1211)

2(

21

232

21 3

20

PlEJ

EJPlX

9611

81211

3

3

2

M

96Pl

85

3711

1137

RUSZTY O WĘZŁACH SZTYWNYCH

136

Elementami rusztów o węzłach sztywnych są pręty załamane w planie.Obciążenie jest prostopadłe do płaszczyzny rusztu.

137137

Siły przekrojowe

M

sM

T

Podpory i reakcje

Przegubowo-kulista

Przegubowo-walcowa

Utwierdzona


138

parn )1(3

Gdzie: r – liczba reakcji podpór3 – liczba równań równowagia – liczba obwodów zamkniętychp – liczba warunków statyki wynikających z

istnienia przegubów

3r2r

0pa 3r0p

1a

1r 3r 1r

1a

1p

2n 4n3n

Współczynniki układu równań.

139

)(1

dxGCMMdx

EJMM

jj l

sksin

j l

kiik

Gdzie:

sksi MM , - momenty skręcająceG - moduł KirchhoffaC -charakterystyka przekroju na skręcanie; w prętach o

przekrojach kołowych biegunowy moment bezwładności

Wyrazy wolne:

m

rrir

l

ssin

j l j

jtii Rdx

GCMMdx

ht

EJMM

jj1

0

1

00 ))((

Gdzie:sii MM ,

00 , sMM

t

jt

jh

nm

irR

r

- Momenty w stanie 1iX

- Współczynnik rozszerzalności termicznej

-Nierównomierny przyrost temperatury w pręcie j- Wysokość pręta j

- Liczba prętów

- Liczba więzów podporowych

- Reakcja podpory r w stanie

1iX

- Przesunięcie podpory r

- Momenty od obciążenia zewnętrznego

Przykład 2.10

140

l

l

l

2l 2

lA

B

C

PPrzekrój

wd zd

Materiał : stal 3,0

EEEG 385,0)3,01(2)1(2

)(64

44wz ddJ

JddJC wz 2)(32

440

1135 n

Schemat podstawowy

AB

C

P

1X Wektor momentu

141

A

C

11 X

l

2l 2

lB

AV

02

1^ lVM ACC l

VA2

A

C

B

1

1

4

3

C

l2

2

1

l2

1

C

4

A

C

4 1

1SM

l2

^C

1M

1

142142

A

C

l

2l 2

lB

AV

022

^

lVlPM ACCPVA

A

C

B

Pl

C

P

Pl

P2C

A

C

0SM

l

l

P

^CPl

Pl3

Pl3

Pl

Pl3

0MB

Pl

Pl3

P

Pl

143

)121424(1)432

21241

32

21

2133

32

21

233(1

11 llGC

lllEJ

)232(385,02

)3

3221

29(11

EJl

EJl

EJl

EJl 83,59)16,4467,15(11

)12423(1)]2314

32(

2132

2121

32

21

23

32

21

233[1

10 lPllPlGC

lPllPllPllPlEJ

)224(385,02

)5261

29(

22

10

CJ

PlEJPl

EJPl

EJPl 22

10 44,45)77,3367,11(

PlPlX 76,082,5944,45

1

A

C

B

Pl52,0

Pl76,0

Pl24,0

Pl72,0

M

A

C

B

Pl24,0

SM

Pl24,0

Pl04,0

Pl04,0

WPl

WPl

WPl

red 76,060,024,05,0352.03 2222 WPl52,0

WPl

224,0

144

l

2l2

l

83l

Przykład 2.11 Przekrój

b

b2

43

32

12)2( bbbJ

44

4

4

458,0)16052,063,02(

3)052,063,0(

3bb

nnbC

Materiał : żelbet 2,0

EEEG 417,0)2,01(2)1(2

Schemat podstawowy

336 n

1X

1X

2X2X

3X

3X

Oznaczenia:

Wektor siły

Wektor momentu

JJC 687,02

3458,0

145

Plan

11 X 11 X

54cos

53sin

8,08,0

1M 6,01SM

6,0

11

S

S

A

A

12 X

12 X

6,0

2M

8,0

2SM

11S

S

A

A

6,0

8,0

021 dsMM 021 dsMM SS012

146

Plan Siła od nas Siła do nas

13 X

54cos

53sin

13 XSA

3M3SM

S013

l85

l85

l83 l

83

l8

11 l811

2l

2l

A

Wyrazy wolne:

W stanach 21, XX w podporach nie pojawiają się reakcje w postaci sił. Stąd 02010

W stanie 3X

1

w podporze lewej pojawia się reakcja równa jeden. )1(30

147

00 1111 XX

00

30333322

233222

XXXX

EJll

JEl

EJl

GCll

EJ24,5

687,0417,04,0245,28,0

858,02)6,0

856,011(2

22

EJlll

EJGClllll

EJ

222

23 984,1)12815

87(202)6,0

21

85

851

2)

83

811[(2

222)

85

32

21

85

85)

811

31

83

32(

21

83)

83

31

811

32(

21

811[(2

33lll

GClllllllllll

EJ

EJl

JEl

EJl 333

33 410,15687,0417,04

2]2464

125)2411

246(

283)

243

2422(

2811[2

041,15984,1

0984,124,5

32

2

32

lEJXlXl

XlX

lEJX

lEJX

0682,0

0258,0

3

22

148

206

M SMS

341

581

514

1096

A

A

210000lEJ

206

341S

155 155

581

1096

514

581 206

514

341

1096 1096

514 514581

581155

155

Plan

Aksonometria Równowaga węzła

05148,02066,058106,02068,0581341

3.Metoda przemieszczeń

1 2

Układ analizowany

Niewiadomymi metody są wielkości geometryczne

φ1 φ2

1 2

Kąty φ1 , φ2 muszą być takie, by zachodziła równowaga węzłów

151

Konwencja znakówDodatnie zwrotu kątów i momentów zgodnie z ruchem wskazówek zegara

φ φ

M

M

152

φ1= 1

1 2

K11

K21

φ2= 1

1 2

K12

K22

154

1 2

K20K10=0

155

Równania równowagi węzłów

K11φ1 + K12φ2 + K10 = 0K21φ1 + K22φ2 + K20 = 0

Jest to układ równań algebraicznych liniowych. Niewiadomymi są kąty φ1 i φ2 a współczynniki Kik oznaczają reakcje w narzuconych na węzły więzach

156

Założenia

1.Układy ramowe –siatka prętów ortogonalna2.Małe przemieszczenia3.Obowiązuje prawo Hooke’a4.Siły podłużne nie powodują zmian długości prętów

157

Rodzaje węzłów

φi

φi

i

Węzeł sztywny Węzeł przegubowy

i

φk

φj

158

12 1 2 3

Δ Δ Δ

Niewiadome: φ1 , φ2 Niewiadome: φ1 , φ2 , φ3 , Δ

Stopień geometrycznej niewyznaczalności: n=Σ φi + Σ Δi

Ramy o węzłach sztywnych

159

Ramy z częścią węzłów przegubowych

12

ΔIΔI

ΔI

ΔII ΔII

Niewiadome: φ1 , φ2 , ΔI , ΔII

Cięciwy prętów po odkształceniu

160

Ramy z częścią węzłów przegubowych

1 2 3

4

ΔI

ΔIΔI ΔII

ΔII

Niewiadome: φ1 , φ2 , φ3 , φ4 , ΔI , ΔII161

WZORY TRANSFORMACYJNEBelka obustronnie utwierdzona

EJiki k

φi

φk

Ψik

wi wk

Mki

Mik

ikl

163

Momenty przywęzłoweObliczenie metodą sił

i kX1=Mik X2=Mki

wi wk

φi φk

Ψik

Ψik = (wk – wi) ∕

ikl

ikl

164

Obliczenie wyrazów wolnychna podstawie twierdzenia o pracy wirtualnej

X1 = 1

X2 = 1

iki wl

wl

111 10

lww ik

i

10

lww ik

k

20

l1

l1

l1

l1

165

Współczynniki układu równań metody sił

1 M1

1

M2

k

i

EJl

EJl

20

10

2112

2211

6

3

166

k

i

XEJlX

EJl

XEJlX

EJl

21

21

36

63

3261

32

1

kiX

EJl

3221 kil

EJX

3222 ikl

EJX

167

Belka obustronnie utwierdzona

0kiM0

ikM

0

0

322

322

kiikki

ikkiik

MlEJM

MlEJM

168

WZORY TRANSFORMACYJNE

WZORY TRANSFORMACYJNEBelka jednostronnie utwierdzona

EJiki k

φi

Ψik

wi wkMik

ikl

169

Moment przywęzłowyObliczenie metodą sił

i kX1=Mik

wi wk

φi

Ψik

Ψik = (wk – wi) ∕

ikl

ikl

170

Obliczenie momentu

X1 = 1 iki w

lw

l

111 10

lww ik

i

10

i

i

lEJX

EJl

3

3

1

10

11

l1

l1

171

Belka jednostronnie utwierdzona

0ikM

03ikiik M

lEJM

172

WZORY TRANSFORMACYJNE

Momenty wywołane wpływami zewnętrznymi

Schemat 0kiM0

ikM

0ikM 0

kiM

0ikM 0

kiM

0kiM0

ikM

P

0,5 l 0,5 l

q

8Pl

8Pl

12

2ql

12

2ql

t ht

EJ t

ht

EJ t

l

173


Schemat 0ikM

0ikM

0ikM

0ikM

P

0,5 l 0,5 l

q

t

l

163Pl

8

2ql

ht

EJ t

23

174

ALGORYTM METODY PRZEMIESZCZEŃPostępowanie formalne

175

1. Ustalić stopień geometrycznej niewyznaczalnościn=Σφi + ΣΔj

i=1,2,3,…k k – liczba węzłów sztywnych

j= k+1, k+2,…k+m m – liczba niezależnych przesunięć węzłów

n=k+m

2. Ponumerować niewiadome rozpoczynając od kątów obrotuφ1 , φ2 ,….φk , Δk+1 , Δk+2 ,.. Δn

3. Napisać układ równań kanonicznychK11φ1 + K12φ2 + … + K1,k+1 Δk+1 +…+ K1n Δn + K10 = 0K21φ1 + K22φ2 + … + K2,k+1 Δk+1 +…+ K2n Δn + K20 = 0…………………………………Kn1φ1 + Kn2φ2 + … + Kn,k+1 Δk+1 +…+ Knn Δn + Kn0 = 0


176

4. Przyjąć układ geometrycznie wyznaczalny przez nałożenie więzów na przyjęte niewiadome; utwierdzić węzły sztywne, podeprzeć podporami węzły przesuwne; ponumerować nałożone więzy zgodnie z numerami niewiadomych.

5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych.

6. Obliczyć reakcje nałożonych więzów Ki0 wywołane przyczynami zewnętrznymi.

7. Reakcje Kij oraz Ki0 wstawić do układu równań kanonicznych i rozwiązać równania ze względu na φi oraz Δj .


177

8. Obliczyć momenty przywęzłowe na podstawie wzorów transformacyjnych.

9. Sporządzić wykresy momentów zginających w ramie.

10.Na podstawie wykresu momentów zginających sporządzić wykresy sił poprzecznych, traktując poszczególne pręty jak belki swobodnie podparte.

11. Na podstawie wykresu sił poprzecznych sporządzić wykresy sił podłużnych obliczając je z warunków równowagi węzłów.

Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna k=2, m=0, n=2

178




n=k+m

q

l l

l

.constEJ

A B

C

Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna Niewiadome: φ1 , φ2

179

q

l l

l


.constEJ 1 2

A B

C

Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna K11φ1 + K12φ2 + K10 = 0K21φ1 + K22φ2 + K20 = 0

180

q

l l

l

.constEJ 1 2

3. Napisać układ równań kanonicznychK11φ1 + K12φ2 + … + K1,k+1 Δk+1 +…+ K1n Δn + K10 = 0K21φ1 + K22φ2 + … + K2,k+1 Δk+1 +…+ K2n Δn + K20 = 0…………………………………Kn1φ1 + Kn2φ2 + … + Kn,k+1 Δk+1 +…+ Knn Δn + Kn0 = 0

A B

C

Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna

181

q

l l

l

.constEJ 1 2


12

A B

C


182


Stan φ1 =1 φ2=0

12

K11

M12K21

A B

C

M1A M2B=0M21

M2C=0

MA1


183


lEJ

lEJ

lEJM AAA

4)03012(2)32(2111

lEJ

lEJ

lEJM 4)03012(2)32(2

122112

lEJMMK A

812111

lEJ

lEJ

lEJM 2)03102(2)32(2

211221

0)00(3)(32122

lEJ

lEJM B

0)00(3)(3222

lEJ

lEJM CC

lEJMMMK CB

2222121


184


Stan φ2 =1 φ1=0

12

K12 M12

K22

A B

C

M1A=0 M2B

M21

M2C

MA1=0


185


lEJ

lEJ

lEJM 2)03102(2)32(2

122112

0)03002(2)32(2111

lEJ

lEJM AAA

lEJMMK A

211212

lEJMMMK CB

10222122

lEJ

lEJ

lEJM 4)03012(2)32(2

121221

lEJ

lEJ

lEJM BB

3)01(3)(3222

lEJ

lEJ

lEJM CC

3)01(3)(3222

186

Ważna uwaga:Zauważmy, że rozwiązywanym przykładzie K21=K12. Nie jest to przypadek. Przypomnijmy znane wcześniej twierdzenie Betti’ego: „Jeśli na ustrój sprężysty działają dwa układy sił, to praca pierwszego na przesunięciach wywołanych przez drugi układ równa się pracy drugiego układu na przesunięciach wywołanych przez układ pierwszy”.

Rozpatrzmy dwa układy statycznie niewyznaczalne. Na żaden nie działa jakakolwiek siła czynna, natomiast w pierwszym układzie podpora i doznaje jednostkowego przesunięcia (lub obrotu), zaś w układzie drugim podobnego przesunięcia (lub obrotu) doznaje podpora k .

Twierdzenie o wzajemności reakcji

187

Układ 1 Układ 2

i i

k k

1Rki 1

Rik

Rik ∙ 1 = Rki ∙ 1

Rik = Rki


188

q

l l

l

.constEJ 1 2


12

A B

C


189

l


q

12

2ql

12

2ql

12

122

02120

201210

qlMK

qlMK


190

7. Reakcje Kij oraz Ki0 wstawić do układu równań kanonicznych i rozwiązać równania ze względu na φi oraz Δj .

012

102

012

28

2

21

2

21

qllEJ

lEJ

qllEJ

lEJ

EJlql

EJlql

12102

1228

2

21

2

21

EJlql

EJlql

12385

12386

2

2

2

1


191


101238

301238

381220121238

638522 2

222

21

qlqlql

EJlql

lEJM

22

1 191

1238622 ql

EJlql

lEJM A 8

8191

1212385

38622 2

22

12

qlql

EJlql

lEJM

4381

123862 2

2

1 qlEJlql

lEJM A

51238

151238

53

51238

151238

53

22

2

22

2

qlEJlql

lEJM

qlEJlql

lEJM

C

B

gdzie:152

2ql

Wykres momentów zginającychPrzykład 3.1 Rama nieprzesuwna

192


8

4

5

510

M

8

2ql

2l

152

2ql

Wyznaczanie sił poprzecznychPrzykład 3.1 Rama nieprzesuwna

193


8

4

12

12

q8 10

74

78

5

55

5

5

5l

Wykres sił poprzecznychPrzykład 3.1 Rama nieprzesuwna

194


+

-12

5

5

74

78

T

Wyznaczanie sił podłużnychPrzykład 3.1 Rama nieprzesuwna

195


1

A B

C

N1A

12

12

74 78

7874

5

5

25

5

N12 N21 N2C

N2B

1274

12

1

NN A 01P

1221 NN

02P

837

2

2

B

C

NN

l

Wykres sił podłużnychPrzykład 3.1 Rama nieprzesuwna

196


-

-

-

-

74 83

12

7

l

N

Ramy przesuwneSą to ramy, w których co najmniej jeden węzeł doznaje przemieszczeń

197


n=1+1=2


Niewiadome φ1 , Δ2

1 2

A B


198

3. Napisać układ równań kanonicznych

1 2

A B

K11φ1 + K12Δ2 + K10 = 0K21φ1 + K22Δ2 + K20 = 0

1

2



199

5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych

1 2

A B

1

2

1

K11K21

A B

11 2 2

1K22

K12

Do wyznaczenia reakcji w podporze 2 potrzebna jest znajomość sił poprzecznych

200

5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych

Reakcje w podporze 1 obliczyć można podobnie jak w przykładzie 1. Inaczej jest z reakcjami w podporze 2.

K2i

T1A T2B

To nie jest wygodne. Uprościmy algorytm metody przemieszczeń

201

Siły poprzeczne mogą być oczywiście wyznaczone z równań równowagi odpowiednich belek. I tak w belce obustronnie utwierdzonej mamy:

02 26

ikkikiik

ik TlEJ

lMM

T

Natomiast w belce jednostronnie utwierdzonej:ikki TT

02

3iki

ikik T

lEJ

lM

T

Algorytm uproszczony202




n=k+m2. Narysować plan przemieszczeń węzłów. Jako niewiadome przyjąć kąty obrotu węzłów i cięciw prętów.3. Ponumerować niewiadome, osobno numerując kąty obrotu węzłów i niezależne kąty obrotu cięciw prętów φ1 , φ2 ,….φk , ψI , ψII ,.. ψM . Cięciwy prętów numerujemy

liczbami rzymskimi.4. Przyjąć układ geometrycznie wyznaczalny przez nałożenie więzów na przyjęte niewiadome; utwierdzić węzły sztywne, podeprzeć podporami węzły przesuwne; ponumerować nałożone więzy zgodnie z numerami niewiadomych.


5. Zwolnić wszystkie więzy i zapisać momenty przywęzłowe wywołane obrotami węzłów i cięciw.6. Obliczyć momenty przywęzłowe w układzie geometrycznie wyznaczalnym.7. Napisać równania równowagi węzłów.8. Napisać równania pracy wirtualnej momentów i sił zewnętrznych działających na wirtualne łańcuchy kinematyczne.9. Rozwiązać układ równań metody przemieszczeń.

1 2 3

4

ΔI

ΔI

ΔI ΔIIΔII

Plan przemieszczeń węzłów205

2 niezależne przesuwy. Kąty obrotu cięciw prętów

l

1,5 l l

5 6

I 362514

P

II

II

5,15623

4512

12

3

4

Praca momentów na łańcuchu kinematycznym206

l

1,5 l l

5 6

1 1 1

M14

M41

M25

M36

KI

l1

Ale KI=0 brak podpory I

Pu

036254114 uP1M1M1MMl1K I

0IM - Moment sił zewnętrznych na łańcuchu I

0036254114 IMMMMM

12

3

4

Praca momentów na łańcuchu kinematycznym207

l

1,5 l l

5 611,5

11,5

1

1

1,5l1

KII

M12

M45

M21 M23 M32

03223452112 1,5MMMMM

P

03223452112 11,5MM1M1MM1,5l1K II

00 IIM

Przykład 3.2 Rama przesuwna

208

.constEJ 2l

2l

l43l

1 2

AB

C

P l43

Przykład 3.2 Rama przesuwna k=2 ; m=1 ; n=3

209

2l

2l

l43l

1 2

AB

C

1. Ustalić stopień geometrycznej niewyznaczalnościn=Σφi + ΣΔj i=1,2,3,…k k – liczba węzłów sztywnych j= k+1, k+2,…k+m m – liczba niezależnych przesunięć węzłów; n=k+m

Pl4

3

Przykład 3.2 Rama przesuwna Niewiadome: φ1, φ2 , ψI

210

2l

2l

l43l

1 2

AB

C

2.Narysować plan przemieszczeń węzłów. Jako niewiadome przyjąć kąty obrotu węzłów i cięciw prętów.

l43

II

34

3. Ponumerować niewiadome, osobno numerując kąty obrotu węzłów i niezależne kąty obrotu cięciw prętów φ1, φ2,….φk , ψI , ψII ,..ψM. Cięciwy prętów numerujemy liczbami rzymskimi.

P


211

2l

2l

l43l

1 2

AB

C


1 2I

Pl4

3


212

2l

2l

l43l

1 2

AB

C

5. Zwolnić wszystkie więzy i zapisać momenty przywęzłowe wywołane obrotami węzłów i cięciw.

P

0111 322AIA M

lEJM

2112 22 lEJM

1221 22 lEJM

l43

0111 32AIA M

lEJM

IB l

EJM 344

22

22244

33

lEJ

lEJM C


213

6. Obliczyć momenty przywęzłowe w układzie geometrycznie wyznaczalnym.

801

PlM A 801

PlM A

7. Napisać równania równowagi węzłów.

08

628 21 Pl

lEJ

I

03

16122 21

Il

EJ


214

2l

1 2

A

B

C

8. Napisać równania pracy wirtualnej momentów i sił zewnętrznych działających na wirtualne łańcuchy kinematyczne.

P

1

34

1

M1A M2B

MA1

023

4211

lPMMM BAA

Ponieważ 01

01 AA MM

029

1723

166 21

lPlEJ

I


215

9. Rozwiązać układ równań metody przemieszczeń. 0

8628 21

PllEJ

I

03

16122 21

Il

EJ

029

1723

166 21

lPlEJ

I

EJlPl

EJlPl

EJlPl

I

03161,0

01328,0

00458,0

2

1


216



0.115Pl0.053PL

0.062Pl

0.045Pl

0.302Pl M

PlMPlMPlMPlMPlMPlM

B

C

A

A

115.0053.0062.0045.0

045.0302.0

2

2

21

12

1

1

0.121Pl


217


0.847P

0.153P

0.107P0.071P

0.153P

Równowaga na oś poziomą

P

0.847P

0.153P

T


218


0.153P

0.107P

0.036P

Równowaga na oś pionową

N 0.107P

0.036P

0.071P

Wpływy pozastatyczneNależą do nich przede wszystkim wpływ temperatury oraz wpływ przemieszczeń podpór

219

1. Nierównomierny przyrost temperatury

Δt

h

Momenty w układzie geometrycznie wyznaczalnym wywołane nierównomiernym przyrostem temperatury

zestawione są w tablicy

Przykład 3.3 Nierównomierny przyrost temperatury

220

A 1 2 BΔt

1,5l l l

EJ=const.

22

1221

2112

111

3

22

222

322

33

23

lEJM

lEJM

lEJM

htEJ

lEJ

htEJ

lEJM

B

ttA


221

072

02

326

21

21

lEJ

htEJ

lEJ t

0322

0222

32

212212

2111

lEJ

lEJMM

lEJ

htEJ

lEJM

ii

t

ii

EJl

htEJ

EJl

htEJ

t

t

7667621

2

1


222

181872

72

2

21

12

1

B

A

MMMM

htEJt

76

M72β

18β

T

l

lTT

lTT

lTT

BB

AA

1818

901872

485.1

72

22

2112

11

48γ

90γ

18γ

Wpływy pozastatyczneRozwiązanie nie zależy od przyjętego układu geometrycznie wyznaczalnego

223

2. Równomierny przyrost temperatury

Stan zewnętrzny musi być rozważany w układzie geometrycznie wyznaczalnym. Należy w tym układzie sporządzić plan przemieszczeń węzłów.

t tΔ

Δ

Przykład 3.4 Równomierny przyrost temperatury

224

l l

l

.constEJ 1 2

A B

C

K11φ1 + K12φ2 + K10 = 0K21φ1 + K22φ2 + K20 = 0

tt

01A

02B


225

tltl

tt

A

220

1

tltl

tt

B

02

tlEJ

lEJMK

tlEJ

lEJMK

tAB

tAA

33

1232

01

0220

01

0110

03102

01228

21

21

tlEJ

lEJ

lEJ

tlEJ

lEJ

lEJ

t

t

05,1

2

1

tt


226

ltEJ

tlEJ

lEJM t

tAA

9

65,1232 0111

ltEJ

tlEJ

lEJM t

tAA

6

632322 0111

ltEJ

tlEJ

lEJM t

t

6

032222112

ltEJ

tlEJ

lEJM t

t

3

5,102221221

0322

lEJM C

ltEJ

tlEJ

lEJM t

tBB

3

033 0222


227

9β

6β3β

M

ltEJt

T

l15

l6

l3


228

l6

l18

l18

NRównowaga

l15 l

3

l6 l

6

l6

l15

Wpływy pozastatyczneRozwiązanie nie zależy od przyjętego układu geometrycznie wyznaczalnego

229

2. Osiadanie podpór

Stan zewnętrzny musi być rozważany w układzie geometrycznie wyznaczalnym. Należy w tym układzie sporządzić plan przemieszczeń węzłów.

Przykład 3.5 Osiadanie podpórPodpory osiadają o ustalone (pomierzone) wielkości

230

.constEJ 2l

2l

l43l

1 2

AB

C

l43

Δ0

2Δ0


231

.constEJ 2l

2l

l43l

1 2

A

B

C

l43

Δ0

2Δ0

Układ geometrycznie wyznaczalny

01A

012 0

2C


232

lA00

1

l00

122

ll

EJlEJM CC

002

02

3243

3

llC 38

43

2 0002

0628 012

0121 MM

lEJ

AI

03

16122 02

02121

CI MM

lEJ

09

1723

166 01

0121

AAI MM

lEJ

ll

EJlEJMM AAA

001

01

01

632

ll

EJlEJMM 00

12021

012

1232

Przykład 3.5 Osiadanie podpór

233

018

628 20

21

lEJ

lEJ

I

020

316122 2

021

lEJ

lEJ

I

012

9172

3166 2

021

lEJ

lEJ

I

l0

1 4496,2

l0

2 2968,2

lI04994,0


234

0111 32AIA M

lEJM

0111 322AIA M

lEJM

2112 22 lEJM

1221 22 lEJM

22244

33

lEJ

lEJM C

IB l

EJM 344

222

02

20

2

20

21

20

12

20

1

20

1

52,6

81,22

29,16

80,6

80,6

90,1

lEJ

M

lEJ

M

lEJ

M

lEJ

M

lEJ

M

lEJ

M

B

C

A

A


235

1.90β

6.80β

16.29β

22.81β

6.52β

M

8,70γ

23,09γ30,41γ

8,70γ T

23,09 γ7,32 γ

8,70 γ

Nγ=β/l

Symetria i antysymetria

236

Każde obciążenie w konstrukcji symetrycznej można rozłożyć na część symetryczną i antysymetryczną

237

q

Oś symetriikonstrukcji

q/2 q/2q/2 q/2



S APręt przecięty osią symetrii konstrukcji

238

q/2 q/2

S

q/2

239

q/2 q/2


A

q/2

Belka utwierdzona z jednej strony przesuwnie

240

i

φi

l

i

φi

2l

φi

0022

2ikiikiiik M

lEJM

lEJM

Wzór transformacyjny

k


Schemat 0kiM0

ikM

0ikM 0

kiM

0ikM 0

kiM

0kiM0

ikM

P

0,5 l 0,5 l

q

l

241

83PL

8Pl

3

2ql 6

2ql

l

P

2Pl

2Pl

2Pl

Δt – jak w belce obustronnie utwierdzonej

Przykład 3.6242

J=const

1,5l

l l l

t

Przykład 3.6243

l l/2

t/21,5l

l l/2

t/21,5l

Przykład 3.6244

l l/2

t/2

1 2 C

A B

1,5l


l l/2

t/2

1 2

A B

1,5l

012

tltl

tt

43

25,10

12

Przykład 3.6245

22

22

0211221

0122112

11

2

23

3

22

22

23

3

lEJM

lEJM

MlEJM

MlEJM

lEJM

SC

SB

SS

SS

SA

4

3632 012

021

012

tlEJ

lEJMM tSS

ltEJ

MM tSS

290

210

12

02982

02926

21

21

t

t

t

t

t

t

t

t

44184427

2

1

Przykład 3.6246

ltEJ

M

M

M

MltEJ

M

t

SC

SB

S

S

tSA

22

18

18

36

27

272227

2

2

21

12

1

27 27

36 36

18 18

18

MS

Przykład 3.6247

l l/2

t/21,5l


l l/2

t/2

1 2

A B

1,5l

012

tltl

tt

43

25,10

12

Plan przemieszczeń węzłówψ ψ

Ψ=2Δ/3l

Przykład 3.6248

22

22

0212121

0122112

11

23

23

3

)2(2

)2(2

23

3

lEJM

lEJM

MlEJM

MlEJM

lEJM

SC

SB

AA

AA

AA

4

3632 012

021

012

tlEJ

lEJMM tAA

ltEJ

MM tAA

290

210

12

0422

0292122

029226

21

21

21

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

127124

1210

2

1

Przykład 3.6249

MA

tlEJt

lEJM

tl

EJtl

EJM

tlEJt

lEJM

tl

EJttlEJM

tl

EJtl

EJM

ttSC

ttSB

ttA

tttA

ttAA

28123

2742

12

23

1254108

122

21254420

122

27102

12

2

2

21

12

1

3

4

4

tl

EJt

2

3

Przykład 3.6250

7

69

26

2916

62

3

38

ltEJ t

22

M

251

P


P/2 P/2 P/2 P/2



AS

Pręt leżący na osi symetrii konstrukcji

252

P/2 P/2


P/2 J=∞

S

253

A


P/2 P/2P/2

J1=J∕2

Przykład 3.7A co ze stanem symetrycznym?

254

2P

J J

J J

2J

P

J J

J

l

l l

l

l

A B

1 2

Przykład 3.7255

000

82281

2821

121

PlMMMMMMM

A

A

32

322

22

22

3

22

22

2121

2112

11

lEJM

lEJM

lEJM

lEJM

lEJM

B

B

A

Pl

156306820327

21

21

21

EJPl

EJPlEJPl

44313443

441

2

1

Przykład 3.7256

22

1044113232

7̀44113234

7441342

5441324

5441133

2

2

21

12

1

Pl

PlM

PlM

PlM

PlM

PlM

B

B

A

5β7β

7β5β14β

20β

M

Koniec prezentacji multimedialnej z przedmiotu

„Mechanika budowli” kierunek „Budownictwo” specjalność „Technologie energooszczędne w budownictwie” sem.IV

257

Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski

Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski

Documents

Transcript of Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski