Post on 22-Feb-2016
description
Podstawowe elementy liniowe
Własności statyczne i dynamiczne
Elementy liniowe klasyfikuje się najczęściej ze względu na ich własności dynamiczne. Wyróżniamy sześć grup elementów podstawowych:1. Bezinercyjne (proporcjonalne)2. Inercyjne3. Całkujące4. Różniczkujące5. Oscylacyjne6. Opóźniające.
Własności statyczne określa charakterystyka statyczna, a własności dynamiczne równanie różniczkowe, transmitancja operatorowa i widmowa a także charakterystyki czasowe i częstotliwościowe.
Człon bezinercyjny (proporcjonalny)
Ogólna postać równania elementu bezinercyjnego jest następująca:
y = k x ,
gdzie y – wielkość wyjściowa, x – wielkość wejściowa, k – współczynnik proporcjonalności (wzmocnienia).
Transmitancja elementu bezinercyjnego jest równa współczynnikowi wzmocnienia:
ksXsYsG
)()()(
Odpowiedzią na skok jednostkowy członu proporcjonalnego jest skok o wartości k.
0
t
h(t)
1
k
Charakterystyki częstotliwościowe są linią prostą o stałym wzmocnieniu z przesunięciem fazowym równym 0.
Przykłady realizacji członu proporcjonalnego:a) dzielnik napięciowy
b) mnożenie przez stałą (wzmacniacz operacyjny)
21
2)(RR
RksG
1
2)(RRksG
R1
R2
-+
R1
R2
Człon inercyjny I rzędu
Ogólna postać równania różniczkowego elementu inercyjnego pierwszego rzędu jest następująca:
Stąd wynika transmitancja:
gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, T – stała czasowa [s]
kxydtdyT
1)(
TsksG
)1()1()(
)1(
1)1(
11
)()()(
Tt
Tt
ekeTTkty
TssT
kTssk
sTsksXsGsY
Odpowiedź na skok jednostkowy obliczamy na podstawie własności przekształcenia Laplace’a, otrzymując:
Transmitancja widmowa jest następująca:
221)1(
1)(
TTjk
TjkjG
Stąd
TT
kA
TTkQ
TkP
arctg)(1
)(
1)(
1)(
22
22
22
Charakterystyki częstotliwościowe członu inercyjnego I rzędu wyglądają następująco:
Przykładem układu inercyjnego I rzędu jest filtr dolnoprzepustowy RC, w którym sygnałem wejściowym i wyjściowym jest napięcie, lub silnik prądu stałego (lub indukcyjny 3-fazowy), w którym skokowe włączenie zasilania jest sygnałem wymuszającym a wyjściem jest prędkość kątowa wału silnika.
RC
Człon całkujący idealny
Ogólna postać równania różniczkowego elementu całkującego idealnego jest następująca:
Stąd wynika transmitancja:
gdzie: k – współczynnik wzmocnieniaW przypadku szczególnym (k ma wymiar odwrotności czasu), może zajść:
kxdtdy
sksG )(
TssG 1)(
kttysk
ssksXsGsY
)(
1)()()( 2
Odpowiedź na skok jednostkowy obliczamy na podstawie własności przekształcenia Laplace’a, otrzymując:
Transmitancja widmowa jest następująca:
kj
jkjG )(
Stąd
2)(
)(
)(
0)(
kA
kQ
P
Charakterystyki częstotliwościowe członu całkującego idealnego wyglądają następująco:
Przykładem układu całkującego jest układ zawierający idealny kondensator C, przy czym sygnałem wejściowym jest prąd a wyjściowym napięcie na kondensatorze.
C
-+
R
C
RCssG 1)(
Człon całkujący rzeczywisty
Ogólna postać równania różniczkowego elementu całkującego rzeczywistego (z inercją) jest następująca:
Stąd wynika transmitancja:
gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, T – stała czasowa.
kxdtdy
dtydT 2
2
)1()(
TssksG
)1()(
)1(1
)1()()()( 2
Tt
ekTktty
Tssk
sTssksXsGsY
Odpowiedź na skok jednostkowy obliczamy na podstawie własności przekształcenia Laplace’a, otrzymując:
Transmitancja widmowa jest następująca:
)1(1)1()( 2222 T
kjT
kTTjj
kjG
Stąd
2arctg1arctg)(
1)(
)1()(
1)(
22
22
22
TT
T
kA
TkQ
TkTP
Charakterystyki częstotliwościowe członu całkującego rzeczywistego wyglądają następująco:
Przykładem układu całkującego rzeczywistego jest układ filtru RC w układzie , lub silnik obcowzbudny prądu stałego, w którym wymuszeniem jest skok napięcia wirnika a wyjściem kąt obrotu wirnika.
RC
Człon różniczkujący idealny
Ogólna postać równania różniczkowego elementu różniczkującego idealnego jest następująca:
Stąd wynika transmitancja:
gdzie: k – współczynnik wzmocnienia.
dtdxky
kssG )(
)()(
11)()()(
tty
ksks
skssXsGsY
Odpowiedź na skok jednostkowy obliczamy na podstawie własności przekształcenia Laplace’a, otrzymując:
Transmitancja widmowa jest następująca:
kjkjjG )(
Stąd
2)(
)()(
0)(
kAkQ
P
Charakterystyki częstotliwościowe członu różniczkującego idealnego wyglądają następująco:
Przykładem układu różniczkującego idealnego jest kondensator idealny C , przy czym sygnałem wejściowym jest napięcie a wyjściowym prąd.
C
-+
R
CsCRsG )(
Człon różniczkujący rzeczywisty
Ogólna postać równania różniczkowego elementu różniczkującego rzeczywistego (z inercją) jest następująca:
Stąd wynika transmitancja:
gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, T – stała czasowa.
dtdxky
dtdyT
)1()(
TskssG
Tt
eTkty
Tsk
sTskssXsGsY
)(
)1(1
)1()()()(
Odpowiedź na skok jednostkowy obliczamy na podstawie własności przekształcenia Laplace’a, otrzymując:
Transmitancja widmowa jest następująca:
22
2
1)1()(
TjkTk
TjkjjG
Stąd
T
T
kA
TkQ
TTkP
arctg2
)(
1)(
)1()(
1)(
22
22
22
2
Charakterystyki częstotliwościowe członu różniczkującego rzeczywistego wyglądają następująco:
Przykładem układu różniczkującego rzeczywistego jest układ filtru górnoprzepustowego RC.
RC
Człon oscylacyjny
Ogólna postać równania różniczkowego elementu oscylacyjnego jest następująca:
przy czym
Stąd wynika transmitancja:
gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, T1, T2 – stałe czasowe.
21
22
22
22
1
4TT
kxydtdyT
dtydT
)1()(
222
1
sTsTksG
Inna postać równania różniczkowego elementu oscylacyjnego jest następująca:
przy czym
Stąd wynika transmitancja:
gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, T – stała czasowa, – współczynnik tłumienia.
1
2
2
20
2002
22
xkydtdy
dtydT
)12()( 22
TssTksG
2
202
1222
12112
1
202
1
21
222
2,1
222
221
1arctg
)]1sin(1
1[)(
])(
1)(
11[)(
)1(2
4
1)12(
1)1(
)()()(
0
21
tekty
esssT
esssT
kty
TTTT
s
sTssTk
ssTsTksXsGsY
t
tsts
Odpowiedź na skok jednostkowy obliczamy na podstawie własności przekształcenia Laplace’a, otrzymując:
Odpowiedź członu oscylacyjnego na skok jednostkowy wygląda następująco:
Transmitancja widmowa jest następująca:
222222
22
22 4)1(]2)1[(
12)()(
TTTjTk
TjjTkjG
Stąd
22
222222
222222
222222
22
12arctg)(
4)1()(
4)1(2)(
4)1()1()(
TT
TT
kA
TTTkQ
TTTkP
Charakterystyki częstotliwościowe członu oscylacyjnego wyglądają następująco:
Przykładem układu oscylacyjnego jest układ RLC.
RC
L
)()( txty
sesXsYsG
)()()(
Człon opóźniającyRównanie elementu opóźniającego ma postać:
skąd na podstawie twierdzenia o przesunięciu rzeczywistym wynika transmitancja:
Element opóźniający nie zniekształca sygnału wejściowego lecz jedynie przesuwa go w czasie.
Dziękuję za uwagę!