INSTRUMENTY INSTRUMENTY DŁUŻNEDŁUŻNE

Cena brudna obligacjiCena brudna obligacji

Obligacje są notowane na giełdzie.Obligacje są notowane na giełdzie. Cena giełdowa (rynkowa)Cena giełdowa (rynkowa) podawana jest procentowo w stosunku podawana jest procentowo w stosunku

do wartości nominalnej, nie uwzględnia narosłych odsetek do wartości nominalnej, nie uwzględnia narosłych odsetek Cena czysta obligacji Cena czysta obligacji to cena giełdowa to cena giełdowa Cena brudna obligacjiCena brudna obligacji jest sumą ceny giełdowej i naliczonych jest sumą ceny giełdowej i naliczonych

odsetek odsetek

Cena brudna pomnożona przez wartość nominalnąCena brudna pomnożona przez wartość nominalną jest ceną zakupu obligacjijest ceną zakupu obligacji

Odsetki Odsetki II nalicza nalicza się także procentowosię także procentowo w stosunku do wartości w stosunku do wartości nominalnej - wg wzoru:nominalnej - wg wzoru:

... kuponokrwobligacjioprockuponowymokresiewdniliczba

kuponuostatniegooddniliczbaI

Cena czysta, cena brudnaPrzykład

Obligacja kuponowa o nominale 1000 zł, rocznych kuponach, oprocentowaniu w wysokości 6%, na kwartał przed kolejnym kuponem ma cenę giełdową 98,20 %. Jaka jest cena brudna tej obligacji ?

Po jakiej cenie można nabyć tę obligację ?

Narosłe odsetki: (270/360)*6% = 4,5 % Cena brudna: 98,20 % + 4,5 %= 102,70 % Cena zakupu 102,70 % * 1000 zł =1027 zł

Zakup obligacji na giełdzieZakup obligacji na giełdzie, , między wypłatami między wypłatami kuponówkuponów (n kuponów do wykupu)(n kuponów do wykupu)

cena zakupu obligacji (P) =cena zakupu obligacji (P) =

= cena brudna * wartość nominalna obligacji= cena brudna * wartość nominalna obligacji

Dzieląc przez M równanie definiujące stopę YTM w tym przypadkuDzieląc przez M równanie definiujące stopę YTM w tym przypadku

otrzymujemyotrzymujemy

gdzie lewa strona oznacza cenę brudną obligacji, zaś prawa jest gdzie lewa strona oznacza cenę brudną obligacji, zaś prawa jest

sumą zaktualizowanych stopą YTM przyszłych przepływów w sumą zaktualizowanych stopą YTM przyszłych przepływów w

ujęciu procentowym (C/M oznacza oprocentowanie obligacjiujęciu procentowym (C/M oznacza oprocentowanie obligacji))

anaa YTM

CM

YTM

C

YTM

CP

11 )1(...

)1()1(

anMC

aMC

aMC

YTMYTMYTMM

P

11 )1(

1...

)1()1(

Stopa rentowności obligacji a jej cena Stopa rentowności obligacji a jej cena brudnabrudna

(inne sformułowanie)(inne sformułowanie)

Stopa rentowności obligacjiStopa rentowności obligacji – –

zanualizowana (obliczona w stosunku zanualizowana (obliczona w stosunku rocznym) stopa procentowa, taka że obliczona rocznym) stopa procentowa, taka że obliczona za jej pomocą wartość bieżąca przyszłych za jej pomocą wartość bieżąca przyszłych przepływów z obligacji w ujęciu procentowym przepływów z obligacji w ujęciu procentowym jest równa cenie brudnejjest równa cenie brudnej

Ryzyko inwestycji w obligacjeRyzyko inwestycji w obligacje

Ryzyko reinwestycyjne – możliwość uzyskania Ryzyko reinwestycyjne – możliwość uzyskania niskiej stopy zwrotu z wypłaconych odsetekniskiej stopy zwrotu z wypłaconych odsetek

Ryzyko ceny – występuje w przypadku handlu Ryzyko ceny – występuje w przypadku handlu obligacjami na rynku wtórnym (ceny podlegają obligacjami na rynku wtórnym (ceny podlegają fluktuacjom związanym z popytem, podażą i fluktuacjom związanym z popytem, podażą i przewidywaniami co do bazowej stopy przewidywaniami co do bazowej stopy procentowej a także wahaniom przypadkowym) procentowej a także wahaniom przypadkowym)

Ryzyko inwestycji w obligacjeRyzyko inwestycji w obligacje

Ryzyko kredytowe – związane z emitentem, ryzyko Ryzyko kredytowe – związane z emitentem, ryzyko niedotrzymania warunków umowy (tj. niezapłacenia niedotrzymania warunków umowy (tj. niezapłacenia odsetek bądź niewykupienia obligacji)odsetek bądź niewykupienia obligacji)

Ryzyko stopy procentowej – możliwość zrealizowania Ryzyko stopy procentowej – możliwość zrealizowania stopy dochodu z inwestycji różniącej się od stopy dochodu z inwestycji różniącej się od oczekiwanej np. w wyniku zmiany obowiązujących oczekiwanej np. w wyniku zmiany obowiązujących stóp procentowych (dotyczy obligacji o zmiennym stóp procentowych (dotyczy obligacji o zmiennym oprocentowaniu lub obligacji o stałym oprocentowaniu lub obligacji o stałym oprocentowaniu przy sprzedaży na rynku wtórnym)oprocentowaniu przy sprzedaży na rynku wtórnym)

Rating krajów europejskich wykonany przez S&P, czerwiec 2011(ciemnonieb.-AAA, jasnonieb. BBB, pom.- BB, czerw. B, róż- CCC, szary – brak oceny)

Ryzyko inwestycji w obligacjeRyzyko inwestycji w obligacje

Ryzyko płynności

(jeśli planowana jest wcześniejsza odsprzedaż na rynku wtórnym)

Ryzyko inflacji

(przy obligacjach długoterminowych o stałym oprocentowaniu)

Średni ważony czas trwania inwestycjiC1, C2,..,Cn,- wpływy w chwilach 1,2,..,n

C

Ct

C

Ct

C

Ctt t

n

tn

tt

tn

tn

tt

n

tt

1

1

1

1

1

Rozważmy dwie 10-letnie obligacje o rocznych wypłatach kuponu i wartości nominalnej 100 zł. Oprocentowanie pierwszej wynosi 6%, drugiej 8%. Obliczymy średnie ważone czasy trwania tych obligacji

0000,8180

1440

1008...888

10010810...838281

3125,8160

1330

1006...666

10010610...636261

2

1

t

t

(1)

Duracja (średni czas trwania) obligacji przynoszącej Duracja (średni czas trwania) obligacji przynoszącej regularne wpływy Cregularne wpływy Ctt po roku, dwóch,..,n latach. po roku, dwóch,..,n latach. Założenie: do wygaśnięcia pozostało n pełnych lat Założenie: do wygaśnięcia pozostało n pełnych lat YTM - stopa do wykupu. YTM - stopa do wykupu. Kapitalizacja rocznaKapitalizacja roczna

duracja (duracja (duration)duration) D zdefiniowana jest wzorem D zdefiniowana jest wzorem

lub inaczejlub inaczej

gdzie P jest wyceną obligacji, dokonaną przy użyciu stopy gdzie P jest wyceną obligacji, dokonaną przy użyciu stopy YTM YTM

n

tt

t

n

tt

t

YTMCYTMCt

D

1

1

)1(

)1(

PYTMCt

D

n

tt

t

1 )1(

(2)

Duracja (średni czas trwania) Duracja (średni czas trwania) inwestycji inwestycji przynoszącejprzynoszącej regularne wpływy C regularne wpływy Ctt w chwilach 1,2, w chwilach 1,2,…,n. …,n.

Duracja jest liczbą okresów bazowych (niekoniecznie

całkowitą)

(3)

lub krócej

n

tt

t

n

tt

t

IRRCIRRCt

D

1

1

)1(

)1(

n

tt

n

tt

CPV

CPVtD

1

1

)(

)(

Duracja inwestycji przynoszącej Duracja inwestycji przynoszącej regularne wpływy Cregularne wpływy Ctt w chwilach 1,2, w chwilach 1,2,…,n.…,n.

1

/)(

)(

)(

)(

1

11

1

1

1

n

tt

n

tt

n

tt

n

tt

n

tt

n

tt

w

gdzie

wtPVCPVt

PV

CPVt

CPV

CPVtD

Duracja - uwagi

Bezpośrednio z analizy wzorów wynikają następujące wnioski:

Gdy stopa procentowa użyta do dyskontowania jest równa zeru, to duracja jest równa średniemu ważonemu czasowi trwania

Jeżeli następuje tylko jeden wpływ w chwili t, to duracja rozważanego instrumentu wynosi t.

Duracja jako funkcja YTM (IRR) jest funkcją malejącą

Duracja obligacji przy niepełnym pierwszym okresie odsetkowym

1

0)(

1

0)(

)1(

)1(

)(

n

tta

t

n

tta

t

YTM

CYTM

Cta

D

Zakładamy, że obligacja przyniesie n wypłat, pierwszy okres odsetkowy jest niepełny i wynosi a

Wrażliwość wyceny (wartości bieżącej przyszłych przepływów) na zmianę stopy procentowej

Suma w mianowniku wzoru definiującego durację jest wyceną przepływów przy stopie YTM. Rozważmy taką sumę ze stopą procentową r.

n

t

tt

n

tt

t

rgdzieCP

r

CrP

1

1

1

1

)1()(

Wrażliwość wyceny (wartości bieżącej przyszłych przepływów) na zmianę stopy procentowej z użyciem duracji

Obliczmy pochodną funkcji P względem r

rDrrP

Pr

PrPD

rrP

DDrrP

rP

r

Ct

rr

CtrP

r

CrP

n

tt

t

n

tt

t

r

Cr

Ct

r

n

tt

tn

ttt

n

tt

t

1

1

)(

)(1

1)('

1

1

)(

)('

)1(1

1

)1()('

)1()(

1

1

)1(

)1(1

1

111

1

Wrażliwość wyceny przepływów finansowych

Ostatni wzór wyraża wrażliwość wyceny na zmianę stopy procentowej

Lewa strona oznacza względną zmianę wyceny (ceny) Jej bezwzględna wartość jest proporcjonalna do duracji

Iloraz D/(1+r) nazywany jest zmodyfikowaną duracją

Przy wzroście r o jeden punkt procentowy względna procentowa zmiana ceny jest w przybliżeniu równa minus zmodyfikowana duracja

Przy spadku r o jeden punkt procentowy względna zmiana ceny jest w przybliżeniu równa zmodyfikowanej duracji

rDrrP

P

1

1

)(

Wrażliwość wyceny obligacjiRyzyko stopy procentowej yzyko stopy procentowej

Oznaczmy zmodyfikowaną durację przez DOznaczmy zmodyfikowaną durację przez DMM::

Bezwzględna wartość względnej zmiany ceny obligacji jest Bezwzględna wartość względnej zmiany ceny obligacji jest proporcjonalna do zmodyfikowanej duracji. Zmodyfikowana proporcjonalna do zmodyfikowanej duracji. Zmodyfikowana duracja jest nazywana duracja jest nazywana współczynnikiem zmienności wartości bieżącej przepływówwartości bieżącej przepływów

YTMDP

P

YTMPDPPDYTM

P

zatemPDPczyliDP

P

wtedyDYTM

D

M

MM

MYTMM

YTM

M

,

,,

1

1

''

Duracja nieskończonego ciągu przepływów ( r > 0)

1

1

1

1

1

1

11 1

1,

)1()(

t

t

t

t

t

tt

t

tt

t

t

tt

t

tt

t

tt

tt

t

t

C

CtDmamyCCgdy

C

CtD

rgdzieCP

r

CrP

Duracja nieskończonego ciągu jednakowych przepływów

r

rdd

dd

ttD t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

Współczynnik P’/P dla nieskończonego ciągu przepływów

DC

Ct

rP

rP

CtCt

CtCtP

rgdzieCP

r

CrP

t

tt

t

tt

r

t

tt

t

tt

tr

tt

tr

ttr

t

tt

tt

t

1

1'

11

21

1)1(

11

1

1

11

)(

)(

))((

))((')('

1

1,

)1()(

2

Wypukłość obligacjiWypukłość obligacjipodejście propedeutycznepodejście propedeutyczne

(Wzrost stopy dochodu (YTM) powoduje (Wzrost stopy dochodu (YTM) powoduje spadek wartości (ceny) obligacji, zaś spadek wartości (ceny) obligacji, zaś spadek YTM powoduje wzrost jej spadek YTM powoduje wzrost jej wartości.)wartości.)

Wzrost wartości obligacjiWzrost wartości obligacji wywołany wywołany spadkiem YTM o 1 punkt procentowy spadkiem YTM o 1 punkt procentowy jest większy niż spadek jej wartościjest większy niż spadek jej wartości wywołany wzrostem YTM o 1 punkt wywołany wzrostem YTM o 1 punkt procentowy procentowy

Zależność ceny obligacji od rentowności (oś X)Zależność ceny obligacji od rentowności (oś X)

wartość nominalna 1000oprocentowanie obligacji 9%okres do wykupu 5liczba płatności w roku 2

Cena obligacji a rentowność (wykres 1)Cena obligacji a rentowność (wykres 1)Zmiana ceny przy zmianie rentowności o 1 Zmiana ceny przy zmianie rentowności o 1 punkt procentowy (wykres 2)punkt procentowy (wykres 2)

Współczynnik wypukłości C

CrrP

rP

r

Ctt

rrP

r

Ctt

r

CttrP

r

CtrP

r

CrP

n

tt

t

n

tt

t

r

Cr

Ctt

n

tt

t

n

tt

tn

tt

t

n

ttt

n

tt

t

1

1

)1(

)1(

)1(

2

12

12

12

11

1

)1(

1

)(

)(''

)1(

)1(

)1(

1)(''

)1(

)1(

)1(

))1(()(''

)1()('

)1()(

Wzór Taylora dla dwóch składników

rrPP

rrPDr

P

DrrP

rP

r

CrP

n

tt

t

)('

)(1

1

1

1

)(

)('

)1()(

1

)(

)()()(

)()()(

)()('')('

)()(''

221

11

2)()(''

21

)()('

221

convexityCgdzie

rrPCrrPDP

rrPrrPP

rrPrrPP

rPrP

r

rPrP

rPrP

Wypukłość nieskończonego ciągu przepływów

1

1

2''

1

2

211

1

1

1

1

''

1

'

)1(

)(

)(

)1(

)1(

1)1(

)(

)(

t

tt

t

tt

r

t

tt

t

tt

t

tt

t

tt

t

ttr

t

ttr

C

Ctt

rP

rP

Ctt

rCtt

dr

dCt

d

d

Ctdr

dCt

dr

drP

mamyCtrPwzoruze

Wypukłość nieskończonego ciągu jednakowych przepływów Ct=C, t=1,2,…

22

2

2

232

332

32

3232

21

32

1

1

2

1

1

2''

2

1

11

)1(

2

)1(

2

1

)1(

2

)1(

2...34232

)1(

2...34232

)1(

2

)1(

1...)4321(

)1(

1

1...4321

)1()1(

)(

)(

r

r

rC

d

d

d

d

d

d

d

d

tt

C

Ctt

rP

rPC

t

t

t

t

t

t

t

tt

t

tt

r

Przybliżona wartość wyceny aktywa z użyciem duracji i wypukłości

Pp

])(1[)()(

)()()()()(

)()()()()(

)()('')(')()(

)()(

)()('')('

221

11

221

11

221

11

221

221

rCrDrPrrP

rrPCrrPDrPrrP

rrPCrrPDrPrrP

rrPrrPrPrrP

rPrrPP

rrPrrPP

r

r

r

Wrażliwość wyceny (wartości bieżącej przyszłych przepływów) na zmianę stopy procentowej z uwzględnieniem duracji i wypukłości

221

11

221

)()(

)()('')('

rCrDrP

P

rrPrrPP

r

)%(%100)( 200

11

1 CDrP

Pr

Z ostatniego wzoru wynika że jeżeli r wzrośnie o 1 punkt procentowy, to względna procentowa zmiana ceny wyniesie:

Jeżeli zaś r spadnie o 1 punkt procentowy to względna procentowa zmiana ceny wyniesie

)%(%100)( 200

11

1 CDrP

Pr

Wrażliwość wyceny na zmianę stopy rocentowej z uwzględnieniem duracji i wypukłości

Analogicznie można stwierdzić że, jeżeli r wzrośnie o p punktów procentowych, to względna zmiana ceny maleje o

( p DM – C p2 / 200 ) %

Jeżeli r spadnie o p punktów procentowych, to względna zmiana ceny wzrośnie o

( p DM + Cp2 / 200 ) %

Duracja ciągu przepływów przy kapitalizacji ciągłej

DeC

eCt

P

P

eCP

rocznastopaeC

eCtD

n

t

tt

n

t

tt

n

t

tt

n

t

tt

n

t

tt

1

1

1

1

1

)(

)('

)(

;

Duracja jako funkcja zmiennej delta

0)(]))(()([

)()(

)(

)('

22

2

1

1

1

1

2

2

1

2

1

1

1

2

2

1

1

2

11

2

2

1

1 111

2

1

1

1

1

TVARTETEeC

eCt

eC

eCt

eC

eCt

eC

eCt

eC

eCteCeCt

eC

eCteCteCeCt

eC

eCt

d

d

d

dD

DeC

eCt

P

P

n

k

kk

tt

n

tn

t

tt

tt

n

t

n

t

tt

n

t

tt

n

t

tt

n

t

tt

n

t

tt

n

t

n

t

tt

n

t

tt

tt

n

t

tt

n

t

n

t

tt

n

t

tt

n

t

tt

tt

n

t

tt

n

t

tt

n

t

tt

n

t

tt

Duracja jako funkcja zmiennej delta () - kapitalizacja ciągła

Wniosek 1. Przy kapitalizacji ciągłej duracja jest malejącą funkcją zmiennej .

Wniosek 2. Duracja (przy kapitalizacji rocznej) jest malejącą funkcją zmiennej r

(złożenie funkcji rosnącej i malejącej jest funkcją malejącą)

)1ln(,1

1:

1

1

1

1

rr

e

C

Ct

eC

eCt

t

tt

n

t

tt

n

t

tt

n

t

tt

Efektywna duracja

Jeśli wycena instrumentu (ciągu przepływów nie jest możliwa) ze względu np.. na zależność wielkości przepływów od zmiennej stopy procentowej lub brak możliwości ustalenia chwili przepływów (opcja przedterminowego wykupu), wówczas obliczamy tzw. efektywną durację według wzoru

)(2

)()(

rhP

hrPhrPDE

Efektywna wypukłość

W podobnej sytuacji definiujemy efektywną wypukłość jako

Jest to przybliżenie wypukłości definiowanej jako C=P’’/P

)(

)()(2)(2 rPh

hrPrPhrPCE