1 FIZYKA – wykład 3

DYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH

WYKŁAD 3

Obłok Oorta

Pas Kupiera

Pluton

Neptun

Uran

Saturn

Jowisz

Planetoidy

Mars

Księżyc

Ziemia

Wenus

Merkury

Słońce

Układ planetarny, w którym planety i Słońce można traktować jak układ punktów materialnych

UKŁAD PUNKTÓW MATERIALNYCH – zbiór skończonej liczby punktów materialnych o zadanej

konfiguracji przestrzennej.

2 FIZYKA – wykład 3

Załóżmy, że układ jest złożony z n punktów materialnych o masach: .

(3.1)

Układy cząstek

ŚRODEK MASY (środek bezwładności)

n

i

iiS rmM

r1

1

n

i

imM1

wektor położenia

środka masy układu ciał

wektor położenia ciała

o masie mi

(3.2)

Rys. źródło: http://semesters.in

Środek masy ciała lub układu ciał to punkt,

który porusza się tak, jak gdyby była w nim

skupiona cała masa układu, a wszystkie siły

zewnętrzne były przyłożone w tym właśnie

punkcie.

Masa całego układu

Położenie punktu ś.m., dane jest wzorem:

3 FIZYKA – wykład 3

Środek masy układu ciał (przykłady)

xs

dmM

mx

KZ

Ks

kmR

kmd

kgkgM

kgm

Dane

Z

z

K

14,6378

384400

1061098,5

1035,7

:

2424

22

kmxs 28,4667

4 FIZYKA – wykład 3

Przykład.

Środek masy układu ciał (cd.)

Cząstka

Rys. źródło: D. Holliday, R. Resnick, J. Walker,

"Podstawy fizyki ”.

5 FIZYKA – wykład 3

(3.3)

(3.4)

Środek masy – ciało rozciągłe

Obiekt o ciągłym rozkładzie masy

ndmdmdm ,...,, 21

Gdy liczba części , wtedy n

n

i

i

n

i

ii

nS

m

rm

r

1

1lim

Granice sum w powyższym wzorze wyrażają się odpowiednimi całkami oznaczonymi, stąd

PROMIEŃ

WODZĄCY ŚRODKA MASY:

V

M

M

S dVrM

dm

dmr

r0

0

0 1

całkowita masa - gęstość ciała.

W przypadku ciała o ciągłym rozkładzie masy

dzielimy je w myśli na n- małych części o

masach

Wzór (3.1) przyjmuje:

wektor położenia

środka masy danego ciała

6 FIZYKA – wykład 3

Środek masy – ciało rozciągłe. Przykład

Układy cząstek

Stożek jest bryłą symetryczną – środek

masy leży na osi symetrii.

7 FIZYKA – wykład 3

(3.5)

(3.6)

Środek masy c.d.

3.2. PĘD UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH

Każde ciało można traktować jako układ punktów materialnych. Dlatego pęd ciała możemy

obliczyć jako sumę pędów wszystkich n- punktów materialnych ciała:

n

i

iivmp1

Pamiętając o wyrażeniu na prędkość:

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii rmdt

d

dt

rdmvmp

111

Po podstawieniu do wyrażenia (3.6) wzoru (3.1) , otrzymamy:

(przypomnienie)

pęd środka

masy układu

(3.7)

Zatem:

Suma pędów układu

punktów materialnych = Pędowi jego środka masy

(3.8)

SS

Ssm vMdt

rdMrM

dt

dp

8 FIZYKA – wykład 3

Prędkość i przyspieszenie środka masy

(3.9)

(3.10)

9 FIZYKA – wykład 3

(3.11)

nn F

dt

pdF

dt

pdF

dt

pdF

dt

pd

,...,,, 33

22

11

Sumując stronami: oraz uwzględniając zależność:

n

i

i

n

i

i Fdt

pd

11

n

i

ism F

dt

pd

1

dt

pd

dt

pd smn

i

i

1

Otrzymujemy równanie

ruchu środka masy układu :

II zasada dynamiki Newtona dla układu cząstek

Zał. M – całkowita masa układu nie może się zmieniać – układ zamknięty.

II zasada dynamiki Newtona

dla układu cząstek

Szybkość zmian pędu środka masy układu cząstek jest równa wypadkowej sił

działających na układ i ma kierunek tej siły.

10 FIZYKA – wykład 3

Inna postać II zasady dynamiki Newtona dla układu cząstek :

Swyp aMF

Środek masy układu punktów materialnych porusza się tak, jak punkt materialny, w którym

skupiona jest całkowita masa układu, i na który działa siła, równa wypadkowej sił zewnętrznych

przyłożonych do układu.

Z równania ruchu środka masy układu równania wynika, twierdzenie o ruchu środka masy:

(3.12)

II zasada dynamiki Newtona dla układu cząstek c.d.

Fwyp – wypadkowa wszystkich sił zewnętrznych,

M – całkowita masa układu.

as – przyspieszenie środka masy

11 FIZYKA – wykład 3

Gdy , to przyspieszenie środka masy jest równe zeru, czyli środek masy albo

porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, albo spoczywa.

(3.15)

(3.13)

Ze wzoru (3.10) wynika, że na każdy punkt działają siły wewnętrzne i zewnętrzne

)()( z

i

w

iii FFF

dt

pd

Oddziaływania dowolnych dwóch ciał w układzie znoszą się wzajemnie (III zasada dynamiki),

zatem:

n

i

z

i

n

i

i Fdt

pd

1

)(

1

(3.14)

WNIOSKI:

Siły wewnętrzne nie mają wpływu na ruch układu.

0)( zF

Czy siły wewnętrzne mają wpływ na ruch układu?

12 FIZYKA – wykład 3

Dynamika punktu materialnego

3.4. ZASADA ZACHOWANIA PĘDU

Układ odosobniony (zamknięty, izolowany): jest to układ, na który nie działają

żadne siły zewnętrzne (źródła wszystkich sił znajdują się w obrębie samego

układu; są to siły oddziaływania między ciałami układu).

Rozpatrzmy układ odosobniony złożony z n ciał o masach .Ciała te mają prędkości

. Oznaczmy siły (wewnętrzne!) jakimi ciała działają na siebie jako: – siła, jaką ciało

k-te działa na ciało i-te.

nmmm ,...,, 21

nvvv ,...,, 21 ikF

Z II zasady dynamiki Newtona:

nFFFvmdt

d1131211 ...

wypFdt

pd

nFFFvmdt

d2232122 ...

nnnnnn FFFvmdt

d ...21

…

112112

1

...

nnnn

n

i

ii FFFFvmdt

d Dodając stronami

powyższe równania: (3.16)

13 FIZYKA – wykład 3

(3.19)

(3.17)

Zasada zachowania pędu c.d.

Z III zasady dynamiki Newtona mamy: kiik FF

Podstawiając ten warunek do poprzedniego równania (3.15), otrzymujemy:

n

i

ii

n

i

ii vmdt

dvm

dt

d

11

0

Pęd układu równy jest sumie pędów poszczególnych elementów:

n

i

ii

n

i

i vmpp11

Ostatecznie, otrzymujemy:

0dt

pd

constp

stąd

(3.18)

ZASADĘ ZACHOWANIA PĘDU

Jeśli na układ cząstek nie działają siły zewnętrzne lub ich wypadkowa jest

równa zeru, to całkowity pęd układu nie ulega zmianie.

14 FIZYKA – wykład 3

(3.21)

(3.20)

ZASADA ZACHOWANIA PĘDU C.D.

Podobny rezultat osiągniemy, gdy rozważymy działanie siły zewnętrznej a dokładniej: układ sił

zewnętrznych, których wypadkową jest .

Wtedy druga zasada dynamiki Newtona dla układu N punktów materialnych:

,0)( z

wypF

Jeżeli to

)( z

wypF

constp

Jeżeli na układ nie działają siły zewnętrzne lub oddziałujące siły się równoważą, to pęd układu

pozostaje stały.

Inna postać sformułowania zasady zachowania pędu:

Suma pędów wszystkich ciał układu w momencie początkowym równa się sumie pędów tych ciał

w dowolnym momencie późniejszym.

(Najczęściej stosowana do zagadnienia zderzeń).

ZASADA ZACHOWANIA PĘDU:

15 FIZYKA – wykład 3

Zasada zachowania pędu - konsekwencje

Przykład: ”rakieta” z butelki

Z butelki plastikowej, w połowie wypełnionej wodą i odwróconą do góry dnem, wypompowujemy

powietrze. Zwolnienie spustu umożliwia wytrysk wody w dół, zaś butelka szybuje w górę.

Pęd układu pozostaje równy zeru.

16 FIZYKA – wykład 3

POJĘCIE BRYŁY SZTYWNEJ

Każde ciało możemy uważać za układ n punktów materialnych, których suma mas równa się całkowitej

masie ciała: M

n

i

imM1

Bryła sztywna ,to takie ciało, które pod działaniem sił nie ulega odkształceniom, tzn.

średnie odległości pomiędzy poszczególnymi jego elementami nie zmieniają się, niezależnie

od działających sił.

Dla bryły sztywnej obowiązują wszystkie wnioski i zależności słuszne dla układu punktów materialnych.

Rodzaje ruchów bryły sztywnej:

Pierwszym człowiekiem, który opisał śrubę, był grecki uczony i fizyk -Archimedes (około 287-212 p.n.e.).

W całym antycznym świecie śruba Archimedesa używana była do podnoszenia poziomu wody.

a) ruch postępowy- dowolny odcinek łączący dwa dowolne punkty

bryły pozostaje równoległy do swoich poprzednich położeń.

b) ruch obrotowy – wszystkie punkty danego ciała

poruszają się po okręgach, których środki znajdują się

na jednej prostej – osi obrotu.

3.5. DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

RUCH OBROTOWY

17 FIZYKA – wykład 3

(3.22)

(3.23)

RUCH OBROTOWY

. MOMENTEM BEZWŁADNOŚCI - wielkość charakterystyczna dla danego ciała

i określonej osi obrotu:

W przypadku ciał rzeczywistych, takich dla których masa jest rozłożona w sposób ciągły

stosuje się postać całkową definicji pozwalającą obliczać rzeczywiste momenty

bezwładności:

gdzie: r2- oznacza zmienną określającą odległość elementu masy dm od osi obrotu.

POSTAĆ CAŁKOWA:

18 FIZYKA – wykład 3

Momenty bezwładności kilku popularnych brył:

a) rura b) walec pełny

c) kula d) pręt

(WYPROWADZENIA WZORÓW NA TABLICY)

RUCH OBROTOWY

.

19 FIZYKA – wykład 3

d

O O’

m

(3.24)

3.5.2. TWIERDZENIE STEINERA (twierdzenie o osiach równoległych)

Jeżeli moment bezwładności danego ciała względem osi

przechodzącej przez środek masy wynosi I0, to moment

bezwładności I liczony względem innej osi równoległej do niej i

oddalonej od niej o d, wynosi :

2

0 mdII

WNIOSKI: * Moment bezwładności zależy od wyboru osi obrotu.

*Gdy środek masy ciała oddala się od osi obrotu, to moment bezwładności

ciała względem tej osi wzrasta.

RUCH OBROTOWY

.

20 FIZYKA – wykład 3

Okres, T (1s)- czas, w którym ciało wykonuje jeden pełen

obrót.

Częstotliwość, - liczba obrotów wykonanych

przez ciało w czasie jednej sekundy; odwrotność okresu.

Częstość kołowa - zwana też prędkością kątową,

(3.25)

(3.26)

Wielkości charakteryzujące ruch obrotowy (przypomnienie)

)11( 1 Hzs

… i ich wzajemne związki:

(3.27)

2

2

dt

d

dt

d (3.28)

przyspieszenie kątowe

21 FIZYKA – wykład 3

MOMENT SIŁY względem punktu O.

.

FrM

(3.29)

)(M

RUCH OBROTOWY

.

Zdolność siły do wprawiania ciała w ruch obrotowy zależy nie tylko od wartości składowej

stycznej, lecz także od tego jak daleko od punktu (osi) obrotu jest ona przyłożona.

ramię siły •

FrFrM

sin (3.30)

22 FIZYKA – wykład 3

I

M

(3.31)

(3.32)

3.5.3. II ZASADA DYNAMIKI NEWTONA DLA RUCHU OBROTOWEGO

Przyspieszenie kątowe bryły sztywnej (obracającej się wokół nieruchomej osi) jest

wprost proporcjonalne do wypadkowego momentu sił zewnętrznych działających na

ciało a odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności tego ciała.

Ir

arm

r

rramrFMskalarnie 2:

2rmI

Punkt materialny A , porusza się po okręgu o promieniu

pod wpływem siły F , stycznej do okręgu.

:wektorowo

23 FIZYKA – wykład 3

Przykład. Dla danych: M, R i m, znajdź przyspieszenie układu przedstawionego na

rysunku. Pomiń opór powietrza oraz tarcie na osi krążka.

RUCH OBROTOWY

.

M

m

Fa w

I

Mw

24 FIZYKA – wykład 3

Związek między

momentem pędu a prędkością kątową

Czy wektory momentu pędu i prędkości kątowej bryły sztywnej zawsze są równoległe?

(3.31)

RUCH OBROTOWY

.

Moment pędu - ciało punktowe

(3.33)

(3.34)

25 FIZYKA – wykład 3

Moment pędu bryły sztywnej

RUCH OBROTOWY

.

(3.35)

(3.36)

26 FIZYKA – wykład 3

(3.37)

Szybkość zmiany momentu pędu ciała względem nieruchomej osi obrotu równa się

wypadkowemu momentowi sił zewnętrznych działających na ciało.

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Uogólniona II zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego

27 FIZYKA – wykład 3

(3.38)

3.5.5. ENERGIA KINETYCZNA RUCHU OBROTOWEGO

2

2IEK

Aby zwiększyć energie kinetyczną ciała w ruchu obrotowym trzeba nie tylko nadać mu

dużą prędkość kątową, ale także uczynić możliwie dużym jego moment bezwładności.

Można to zrealizować zwiększając masę ciała lub poprzez rozmieszczenie masy

w możliwie dużej odległości od osi obrotu.

WNIOSEK:

Energia kinetyczna ciała

w ruchu obrotowym

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

28 FIZYKA – wykład 3

Całkowita energia kinetyczna

RUCH OBROTOWY

.

Toczenie – złożenie ruchu postępowego i obrotowego.

obrót ruch postępowy toczenie

(3.39)

29 FIZYKA – wykład 3

Dwa walce (rys.) o tej samej masie i średnicy staczają się z tej samej równi pochyłej.

Który pierwszy osiągnie podstawę ? Co jest powodem tej różnicy?

Przykład. (Rola momentu bezwładności)

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

30 FIZYKA – wykład 3

(3.40)

3.5.4. ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU

Z zasady dynamiki dla ruchu obrotowego: Mdt

Ld

wynika wprost: tconstLdt

LdM

00

Jeśli działający na układ wypadowy moment sił jest równy zeru,

to całkowity moment pędu układu nie zmienia się niezależnie od tego,

jakim zmianom podlega układ.

Można pokazać, że również: moment pędu zamkniętego układu ciał względem dowolnego

punktu nieruchomego jest stały.

Podobnie: jeśli siły zewnętrzne dają moment względem nieruchomej osi równy zeru, to

moment pędu ciała względem tej osi nie zmienia się podczas ruchu.

(Pokazy: wahadło Oberbecka, żyroskop, stołeczek + hantle, koło rowerowe)

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

31 FIZYKA – wykład 3

(3.41)

3.5.4. ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU

Z zasady dynamiki dla ruchu obrotowego: Mdt

Ld

wynika wprost: tconstLdt

LdM

00

Jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych względem nieruchomego punktu ciała równa

się zeru, to moment pędu ciała względem tego punktu nie zmienia się w czasie.

Można pokazać, że również: moment pędu zamkniętego układu ciał względem dowolnego

punktu nieruchomego jest stały.

Podobnie: jeśli siły zewnętrzne dają moment względem nieruchomej osi równy zeru, to

moment pędu ciała względem tej osi nie zmienia się podczas ruchu.

(Pokazy: wahadło Oberbecka, żyroskop, stołeczek + hantle, koło rowerowe)

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

32 FIZYKA – wykład 3

RUCH OBROTOWY

.

Przykład. Zasada zachowania momentu pędu

33 FIZYKA – wykład 3

Siła ciężkości działająca na ciało jest efektywnie przyłożona w punkcie,

który nazywamy środkiem ciężkości.

•Środek ciężkości

Warunki równowagi ciała

Równowaga ciała

Jeśli dla wszystkich elementów ciała przyspieszenie g jest jednakowe,

to środek ciężkości ciała i jego środek masy znajdują się w tym samym punkcie.

(3.42)

(3.43)

34 FIZYKA – wykład 3

Gdzie należy umieścić przeciwwagę żurawia,

gdy ładunek jest podnoszony z ziemi?

(Przeciwwaga jest zazwyczaj przenoszona

automatycznie przez czujniki i silniki, aby precyzyjnie

kompensować obciążenie).

Rys. źródło: http://www.chegg.com

Równowaga ciała

Żuraw wieżowy (rys.) musi być zawsze starannie wyważony, tak że nie ma żadnego

momentu obrotowego. Żuraw na placu budowy ma podnieść klimatyzator

m = 3300 kg. Wymiary żurawia są pokazane na rysunku 2. Przeciwwaga żurawia ma

masę M = 10000 kg. Zignoruj masę belki.

Przykład dla zainteresowanych

35 FIZYKA – wykład 3

Dziękuję za uwagę !