Właściwości energetycznesygnałów
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
•Definicja energii i mocy sygnału
•Energia sygnału w dziedzinie częstotliwości
•Moc sygnału w dziedzinie częstotliwości
•Zmienna losowa, proces losowy
•Analiza widmowa procesów losowych
•Podsumowanie, przykłady
Definicja energii sygnału
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
R
txdttxdttituE ,2
i(t) = x(t)
u(t) = x(t)
E
R = 1
C
txdttxtxdttxE ,*2
Sygnał nazywamy energetycznym,jeżeli E < .
Definicja mocy sygnału
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
i(t) = x(t)
u(t) = x(t)
P = E/T
R = 1
C
txdttxT
dttxT
TEPT
T
T
,11 2
2
2
2
C txtxdttx
TP
TT,
1lim
22
Sygnał nazywamy sygnałem mocy,jeżeli P < .
Uśrednianie po czasie
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
TTdttv
Ttvv
1lim~
Uśrednianie po czasie zastępuje wielkość fluktuującąwielkością stałą równoważną w sensie całki oznaczonej.
v(t)
v~
Tt0 t0 + T
Moc sygnału okresowego
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
0
2
0
2
0
11lim
TTTdttx
Tdttx
TP
Ttxtx
Moc sygnału okresowego jest równajego mocy za jeden okres.
Moc sygnału okresowego -sygnał harmoniczny
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
22 22
1
sin
aaP
tatx
2a
a
Energia sygnałuw dziedzinie częstotliwości
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
0
222 1
2
1
dXdXdttxE
tx R
2 XS
Twierdzenie Parsevala
Widmowa gęstość energii (widmo gęstości energii):
Funkcja korelacji dla sygnału energetycznego
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
2 XS
dttxtx
dtdeXtxdedtetxX
deXXdeXX
tjjtj
jj
*
**
*221
2
1
2
12
1
2
1F
dttxtxRXS *2
Funkcja korelacji dla sygnału energetycznego
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
dttxtxRXS
tx
2
R
Funkcja korelacji jest parzysta:
RR
Funkcja korelacji jest ograniczona z maksimum R(0):
ERR 0
Widmowa gęstość energii dla sygnałów rzeczywistychjest funkcją parzystą:
SS
Funkcja korelacji jako miarapodobieństwa sygnałów
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
dtt
dtttxc
dttctxec
2opt
22 min
dtt
dtttxdttxe
dtt
dtttxc
2
2
22min
2opt
Funkcja korelacji jako miarapodobieństwa sygnałów
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
NierównośćSchwarza
dttdttxdtttx 22
2
0
dttxe 22
min0
dtt
dtttxdttxe
2
2
22min
ttx
dtttx
0
ttx
ttx
Funkcja korelacji jako miarapodobieństwa sygnałów
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Z nierównościSchwarza:
dttdttxdtttx 22
2
dttdttx
dtttx
22
wynika: 1
Współczynnik jest określany jako współczynnik korelacjiczyli podobieństwa sygnałów x(t) oraz (t).
dtt
dtttxc
2opt
Funkcja korelacji jako miarapodobieństwa sygnałów
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
dttdttx
dtttx
22
Analiza korelacji (podobieństwa) może uwzględniaćprzesunięcie sygnałów względem siebie.
dtttxR
Funkcja interkorelacji sygnałów x(t) oraz (t):
Funkcja autokorelacji sygnału x(t):
dttxtxR
Funkcja korelacji i widmowa gęstość energii - filtracja
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
)(H)(tx ty
xx SR yy SR
xy SHS
XHY
XHY
2
22
Widmowa gęstość energii jest modyfikowana przez kwadratch-aki a-cz.Cha-ka f-cz nie zmienia widmowej gęstości energii.
Moc sygnałuw dziedzinie częstotliwości
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
d
ST
XP
dXT
dttxT
P
txT
dttxT
P
Tttt
Tttttxtx
T
T
TT
TT
T
T
2
22
22
00
00
lim2
1
2
1lim
1lim
1lim
,,0
,,
Twierdzenie Parsevala
widmo gęstości mocy
txT
tx
0t Tt 0
Moc sygnałuw dziedzinie częstotliwości
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
d
ST
XP T
T
2
lim2
1
Widmowa gęstość mocy (widmo gęstości mocy):
T
XS T
T
2
lim
Funkcja autokorelacji sygnału mocy:
txtxdttxtx
TR
TT
**1lim
posiada identyczne właściwości jak funkcja autokorelacjisygnału energetycznego, w szczególności:
SR
Zmienna losowa
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Zmienna losowa x jest w istocie rzeczy funkcją (losową)przyporządkowującą zdarzeniom elementarnymliczby (rzeczywiste).
W zastosowaniach telekomunikacyjnych mamy do czynieniaze zmiennymi losowymi w takich sytuacjach jak: napięcie wukładzie elektronicznym (z uwzględnieniem szumów), liczbarozmów telefonicznych w ustalonym przedziale czasu czyliczba przekłamanych bitów w słowie kodowym.Zmiena losowa jest wygodnym modelem, gdy nie jesteśmyw stanie uchwycić w modelu wszystkich mechanizmów.
R
x()
Dystrybuanta zmiennej losowej
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
i ixxF PrPrPr Ax
i
RPr{x() x} x
A
Dystrybuanta zmiennej losowej
xxF xPr
Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Dystrybuanta zmiennej losowej
xxF xPr
xxfxxx
xxxxFxxF
x
x
Pr
Pr
dx
xdF
x
xFxxFxf x
0
Kształt funkcji gęstości prawdopodobieństwa wskazujena „preferowany” zakres wartości zmiennej losowej x.
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Momenty zmiennej losowejWartość średnia zmiennej losowej
dxxxfxxx E
Wartość średniokwadratowa zmiennej losowej
dxxfx222E xx
Wariancja zmiennej losowej
dxxfx 2222E xxxxxx
Odchylenie standardowe zmiennej losowej
2xxx
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Momenty zmiennej losowej
Odchylenie standardowe jest miarą rozrzutu wartościzmiennej losowej wokół jej wartości średniej.
xx
xx xx
xx
xx xx
Im mniejsza jest wartość współczynnika
rozproszenia zmiennej losowej cx, tymbardziej zmienna losowa „przypomina”
stałą deterministyczną (cx = 0).
xxx c
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Zmienna losowa normalna
22 2exp2
1:,
xxfN
2exp2
1:1,0 2xxf
N
0
+
+2
- +3
-2
-3
9999,041,0Pr
997,031,0Pr
95,021,0Pr
68,01,0Pr
N
N
N
N
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
x(t,)
x(t=const,=var) – zmienna losowax(t=var,=const) – realizacja procesu losowegox(t=var,=var) – zbiór realizacji procesu losowegox(t=const,=const) – liczba
Realizacja procesu losowego x(t,) jest zwykłym, deterministycznymprzebiegiem czasowym; losowość procesu nie jest nieodłączną właściwościątej funkcji, a przejawia się wyłącznie w losowym jej wyborze.
Procesylosowe x(t,)
x(t,)x(t,)
Gęstości prawdopodobieństwa procesu losowego
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
xtxfxxtx ;,Pr xGęstość prawdopodobieństwa I rzędu
Gęstość prawdopodobieństwa II rzędu
2121
222111
,;,
,,Pr
xxtxxf
xxtxxxtx
xx
2x
22 xx
t11 xx
1xt
txftxxf ,0,;, 21
Wartości średnie procesu losowego
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Wartość średnia procesu losowego
dxtxxftt ;xx
Wartość średniokwadratowa procesu losowego
dxtxfxt ;22x
ttRtR
dxdxtxxfxxtR
2
212121
0,
,;,,
xxx
x
Funkcja autokorelacji procesu losowego
212121 ,;,, dxdxtxxftxtxtC
xxx
Funkcja autokowariancji procesu losowego
Wartości średnie procesu losowego
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Wartości średnie procesu są średnimi „po zbiorze”(ensamble averages), gdyż są wyliczane
Wartości średnie „po czasie”(time averages) są wyliczanez pojedynczych realizacjiprocesu losowego.
dla ustalonych chwil czasu ze zbioru wszystkich realizacjiprocesu losowego na podstawie rozkładu wartości procesu reprezentowanych przez gęstości prawdopodobieństwa.
Wartości średnie „po czasie” procesu losowego
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
2
2
1lim~ T
TTdtt
Tt xxx
Wartość średnia „po czasie” procesu losowego
Autokorelacja „po czasie” procesu losowego
2
2
1lim
~ T
TTdttt
TRtt xxxx x
Symbol ~ podkreśla, że operacja uśredniania po czasiezostała wykonana dla pojedynczej realizacji procesu losowego.Wartość średnia po czasie jest zmienną losową,a autokorelacja po czasie jest procesem losowym.
Wartości średnie „po czasie” procesu losowego
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
2
2
1lim~ T
TTdtt
Tt xxx
Wartość średnia „po czasie” procesu losowego
Autokorelacja „po czasie” procesu losowego
2
2
22
2
2
1lim0
~
1lim
~
T
TT
T
TT
dttT
t
dtttT
tt
xx
xxxx
x
x
R
R
Istnienie granic wartości średniej po czasie orazautokorelacji po czasie gwarantują twierdzenia ergodyczne.
Konsekwencja:realizacje procesu losowego są sygnałami mocy.
Stacjonarny proces losowy
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
dxxxfxx
Proces losowy jest stacjonarny (w szerszym sensie), jeżelijego wartość średnia nie zależy od czasu:
a funkcja korelacji zależy wyłącznie od długościhoryzontu obserwacji , a nie od jego położenia na osi czasuczasu (t, t + ):
dxxfxR
dxdxxxfxxR
22
212121
0
;,
x
x
x
Ergodyczny proces losowy
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Losowy proces stacjonarny jest ergodyczny, jeżelijego wartości średnie po zbiorze są równewartościom średnim po czasie.
-x
xxx
dxxxf
dttT
tT
TT
1Pr
1Pr2
2
1lim~ Ergodyczność
wartościśredniej
212121
1Pr
1Pr
;, dxdxxxfxxR
Rtt
x
xxx Ergodycznośćfunkcjikorelacji
Analiza widmowaprocesów losowych
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Realizacje procesu losowego są sygnałami mocy, więckażdej realizacji można przyporządkowaćfunkcję korelacji własnej,
2
2
1lim
~ T
TTdttt
Tttt xxxxx xR
a przez przekształcenie Fouriera widmo gęstości mocy:
det jxxxx RSR
~~~ F
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Uśrednione widmo gęstości mocy procesu losowegootrzymujemy w wyniku uśredniania (w zbiorze realizacji)widm gęstości mocy poszczególnych realizacji.
detRdettS
dettS
deS
det
jj
j
j
j
,E
E
~~
~~~
EE
xx
x
xxx
xxx
xx
xx
x
RS
RSRF
Uśrednione widmo gęstości mocy procesu losowego
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Uśrednione widmo gęstości mocy procesu losowego
Twierdzenie Wienera – ChinczynaWidmo gęstości mocy stacjonarnego procesu losowegojest transformatą Fouriera funkcji korelacji.
xx StR F,
xx SR F
Uśrednione widmo gęstości mocy procesu losowego jest trans-formatą Fouriera funkcji korelacji uśrednionej po czasie.
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Uśrednione widmo gęstości mocy procesu losowego –metoda alternatywna
T
XS T
Tx
2
lim
Widmo gęstości mocy deterministycznego sygnału mocy:
Widmo gęstości mocy procesu losowego:
2
2
~E
1lim
~
limE
TT
T
T TTS X
Xx
można otrzymać w wyniku uśredniania (po zbiorze)widm gęstości mocy poszczególnych realizacji, a te sądeterministycznymi sygnałami mocy.
Podsumowanie
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
• Twierdzenie Parsevala pozwala wyznaczyć energię/mocsygnału w dziedzinie częstotliwości.• Widmowa gęstość energii/mocy określa energię/moc sygnałuprzypadającą na poszczególne częstotliwości sygnału.• Widmowa gęstość energii/mocy jest transformatą Fourierafunkcji autokorelacji.• Funkcja autokorelacji opisuje podobieństwo sygnału dojego opóźnionej w czasie repliki.• Funkcja autokorelacji sygnału mocy jest określona podobniedo funkcji autokorelacji sygnału energii; definicja uwzględniadodatkowo uśrednianie po czasie.• Filtracja sygnału powoduje przekształcenie widmowejgęstości energii/mocy przez kwadrat cha-ki a-cz.• Realizacje procesu losowego są deterministycznymisygnałami mocy.• Uśrednione widmo gęstości mocy procesu losowego jesttransformatą Fouriera funkcji autokorelacji (uśrednionej – wprzypadku procesów losowych niestacjonarnych).
Właściwości widma gęstościenergii/mocy
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
•Widmo gęstości energii/mocy jest zawsze transformatąFouriera funkcji autokorelacji: xx SR F
•Widmo gęstości energii/mocy pozwala określić energię/mocsygnału w wybranym pasmie częstotliwości oraz energię/moccałkowitą:
dSP
dSdSP
x
xx
2
12
1
2
1,
d
g
d
ggd
•Widmo gęstości energii/mocy jest funkcją parzystą dlasygnałów rzeczywistych: xx SS
)( jH xS 2 jHSx
Podsumowanie – właściwościfunkcji autokorelacji
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Niezależnie od rodzaju sygnału (deterministyczny, losowy)funkcje autokorelacji, aczkolwiek definiowane w odmiennysposób posiadają identyczne właściwości.
•Deterministyczny sygnał energii:
dttxtxRx *
•Deterministyczny sygnał mocy:
txtx
dttxtxT
RTT
x
*
*1lim
Podsumowanie – właściwościfunkcji autokorelacji
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Niezależnie od rodzaju sygnału (deterministyczny, losowy)funkcje autokorelacji, aczkolwiek definiowane w odmiennysposób posiadają identyczne właściwości.
ttR
tttR
dxdxtxxfxxtR
xx
xx
x
x
x
E
E,
,;,, 212121
• Niestacjonarny proces losowy:
ttER
dxdxxxfxxR
xxx
x
212121 ;,• Stacjonarny proces losowy:
Przykład – modulacja amplitudy
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
amplitudy modulacjacos
0~losowy, procesy stacjonarn
0
ttt
t
x
xx
tRRtR
ttRtR
tttttR
tttttR
00
00
00
00
2cos2
1cos
2
1,
coscos,
coscosE,
coscosE,
xx
x
xx
xx
00
2
0
4
12
10
2
10
cos2
1,
xx
x
x
x
SSS
RRP
RtRR
Przykład – kod transmisyjny bipolarny NRZ
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
nkqpaEaE
nkaEaaE
pqa
pa
nk
nnk
n
n
,
,1
11Pr
1Pr
22
2
Symbole an sąniezależne.
T 2T 4T 6T
+1
-1
t
x(t)
nT (n+1)T
an
Kod transmisyjny bipolarny NRZ -funkcja korelacji
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
T 2T 3T 4T
t
+1
(p – q)2
-T
,tRx
T- 2T- 3T-
T0
T
TT
qpTtRR
2
2
111
,xx
Kod transmisyjny bipolarny NRZ -funkcja korelacji
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
T
qptRR
22,xx
T 2T 3T 4T
t
+1
(p – q)2
-T
,tRx
T- 2T- 3T-
T
Kod transmisyjny bipolarny NRZ -uśredniona funkcja korelacji& widmowa gęstość mocy
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
T 2T 3T 4T
t
+1
-T
xR
T- 2T- 3T-
2
Sa12
1
222
222
TTRS
R T
xx
x
F
2
Kod transmisyjny bipolarny NRZ -widmowa gęstość mocy
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
f [Hz]
T2T1 T3
Widmo gęstości mocy sygnału cyfrowego jest skupione wpasmie 0 < f < 1/T; twierdzenie Nyquista orzeka, że pasmodwukrotnie węższe 0 < f < 1/2T jest wystarczające.
21
Sa2
Sa 22
2
qp
fTTT
TRS
R T
xx
x
F
Kody transmisyjne - kod Millera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
„0”
• zachowanie polaryzacji przy przejściu„1” „0”• zmiana polaryzacji przy przejściu„0” „0”
„1”
• zachowanie polaryzacji przy przejściu„1” „1”• zachowanie polaryzacji przy przejściu„0” „1”
1 0 001 1 00 00 1 1 1
Kody transmisyjne - kod Millera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
„1”
„0” „1”
„1”
„0”
„0”
Właściwości kodu Millera:• eliminacja składowych n-cz widma• istotny poziom timing content• koncentracja widma w wąskim pasmie• sekwencje „0...” lub „1...” – rozproszenie widma• sekwencja „0 1 1...” – istotny poziom składowej dc
Kody transmisyjne - kod Millera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
fTTf
fTfTfTfT
fTTf
fTfTfTfTS
8cos8172
8cos27cos86cos25cos12
8cos8172
4cos53cos122cos22cos223
22
22
x
kod bipolarny NRZ
kod Millera
Przykład – szum gaussowski
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
~THz
SR F R
Szum biały ma płaskie widmo gęstości mocy w bardzoszerokim zakresie częstotliwości.Funkcja korelacji szumu białego ma charakter impulsowy;wartości szumu białego w dowolnie bliskich chwilach czasunie są skorelowane ze sobą.
Przykład – szum gaussowski
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
~THz
W
Idealny filtr pasmowo-przepustowy Szum gaussowski po filtracji jest
nadal szumem gaussowskim.
W
WdN
12
2
2
2
1 x
exf
WW
R Sa
Top Related