24

6. Transmisja i generacja sygnałów okresowych

Cele ćwiczenia

Zapoznanie ze środowiskiem programistycznym Code Composer Studio.

Zapoznanie z urządzeniem TMX320C5515 eZdsp.

Zapoznanie z podstawami programowania urządzenia TMX320C5515 eZdsp

w języku C.

Obserwacja zjawisk wynikających z twierdzenia o próbkowaniu, aliasingu

i niejednoznaczność reprezentacji sygnału przez ciąg próbek.

Zapoznanie z metodami programowej generacji sygnałów okresowych.

Transmisja sygnałów przez urządzenie TMX320C5515 eZdsp

Z analogowych zacisków zewnętrznych zestaw TMX320C5515 eZdsp jest

widziany, jako urządzenie analogowe przetwarzające analogowy sygnał wejściowy

x(t) w analogowy sygnał wyjściowy y(t). Wewnątrz urządzenia sygnał analogowy

x(t) jest zamieniany w sygnał cyfrowy x[n], następnie przetwarzany cyfrowo

w sygnał cyfrowy y[n], który jest zamieniany w sygnał analogowy y(t) dostępny na

wyjściu urządzenia, rysunek 5.1.

25

Rys. 5.1. Schemat przetwarzania sygnału analogowego przez zestaw TMX320C5515 eZdsp

We wszystkich uruchamianych programach dla próbek wejściowych

i wyjściowych przyjęto nazwy

left_input – wejściowa próbka kanału lewego,

right_input – wejściowa próbka kanału prawego,

left_output – wyjściowa próbka kanału lewego,

right_output – wyjściowa próbka kanału prawego.

Do komunikacji procesora z kodekiem wykorzystywane są dwie funkcje

aic3204_codec_read(*int, *int) i aic3204_codec_write(*int, *int),

z których pierwsza pobiera próbki wejściowe, a druga wysyła próbki na wyjście.

Na listingu 5.1 przedstawiony jest kod procedury transmisji próbek z wejścia na

wyjście.

Listing 5.1. Kod procedury transmisji próbek z wejścia na wyjście

aic3204_codec_read(&left_input, &right_input); // czytanie próbek. left_output = left_input; // transmisja z wejścia na wyjście right_output = right_input; // można zamienić na własny kod aic3204_codec_write(left_output, right_output); // wysłanie próbek

TMX320C5515 eZdsp

Kodek

TLV320AIC3204Procesor TMX320C5515

left_input right_input

Algorytm

CPS

left_output right_outpu

t

A/C

C/A

x[n]

y[n]

x(t)

y(t)

fp

26

Program przesyłający próbki z wejścia na wyjście nie przetwarza sygnału, ale

może być punktem wyjścia dla programu cyfrowego przetwarzania sygnału,

wystarczy umieścić odpowiedni kod przetwarzania sygnału między instrukcją

pobrania próbek z wejścia, a instrukcją wysłania próbek na wyjście.

Laboratoryjne badania programu transmisji sygnału z wejścia na wyjście

(nazywanego po angielsku Talkthru lub Audio Loopback) pozwalają na zbadanie

właściwości przetwarzania analogowo-cyfrowego i działania układu rekonstrukcji

sygnału analogowego.

Doświadczenie 5.1. Badanie transmisji sygnału przez urządzenie TMX320C5515

eZdsp – program TT.

1. Uruchomić program TT – przyciskami zmienia się szybkość próbkowania,

dostępne wartości to 8, 16, 24 i 48 kHz .

2. Uruchomić programy przyrządów pomiarowych Generator i Oscylograf.

3. Ustawić poziom sygnału generatora tak, aby nie wystąpił efekt jego nasycenia,

fp = 8 kHz.

4. Zbadać transmisję przez urządzenie sygnałów sinusoidalnych

o częstotliwościach (2,4 kHz; 5,6 kHz) i (3,5 kHz; 3,8 kHz) – pomierzyć

przebiegi czasowe (oscylogramy) i widma sygnałów wyjściowych przy

wszystkich szybkościach próbkowania.

5. Zbadać transmisję przez urządzenie sygnałów prostokątnych

o częstotliwościach (320 Hz, 880 Hz) i (2,4 kHz; 5,6 kHz) – pomierzyć

przebiegi czasowe i widma sygnałów wyjściowych przy wszystkich

szybkościach próbkowania.

W sprawozdaniu:

1. Wyjaśnić, co się stało z sygnałami o częstotliwości 5,6 kHz, gdy fp = 8 kHz?

2. Wyjaśnić, dlaczego niektóre zrekonstruowane sinusoidy mają zmienną

amplitudę?

27

3. Wyjaśnić, dlaczego podając na wejście sygnał prostokątny o częstotliwości

2,4 kHz dla fp = 8 kHz na wyjściu otrzymuje się sinusoidę?

4. Analizę wyników zilustrować wybranymi wykresami.

Błędy rekonstrukcji sygnału analogowego

W zrekonstruowanym sygnale sinusoidalnym o częstotliwości bliskiej

częstotliwości Nyguista równej 0,5fp pojawiają się widoczne zniekształcenia, które

można zobaczyć na rysunku 5.2, przedstawiającym wynik rekonstrukcji sygnału

sinusoidalnego o częstotliwości 3900 Hz pomierzony na wyjściu urządzenia

TMX320C5515 eZdsp; fp = 8 kHz.

Rys. 5.2. Wynik rekonstrukcji sygnału sinusoidalnego o częstotliwości = 3900 Hz, fp = 8 kHz

Przyczynę zmian amplitudy zrekonstruowanej sinusoidy można zidentyfikować

obserwując jej widmo amplitudowe przedstawione na rysunku 5.3.

28

Rys. 5.3. Pomierzone widmo amplitudowe zrekonstruowanego sygnału sinusoidalnego

o częstotliwości = 3900 Hz, fp = 8 kHz

W widmie tym występuje stłumiony pożądany prążek rekonstruowanej sinusoidy

o częstotliwości równej 3900 Hz i dodatkowo niepożądany prążek o częstotliwości

równej 4100 Hz, który powinien zostać usunięty przez dolnoprzepustowy filtr

układu rekonstrukcji sygnału analogowego. W idealnym układzie filtr

rekonstrukcyjny powinien usuwać wszystkie składowe sygnału analogowego

o częstotliwościach większych od częstotliwości Nyquista = 4 kHz. Ponadto filtr

nie powinien tłumić składowych o częstotliwościach poniżej częstotliwość

Nyquista. W rzeczywistych układach rekonstrukcji sygnału analogowego filtry

dolnoprzepustowe mają charakterystyki znacząco odbiegające od ideału i dlatego,

aby zadawalająco zrekonstruować sygnał analogowy, należy spełnić warunek

wynikający z twierdzenia o próbkowaniu z odpowiednim zapasem. Ów zapas

zależy od jakości filtru i wymaganej jakości zrekonstruowanego sygnału.

Na rysunku 5.4 przedstawiono pomierzoną charakterystykę amplitudową

toru sygnału z analogowego wejścia na analogowe wyjście urządzenia

TMX320C5515 eZdsp przy fp = 8 kHz.

29

Rys. 5.4. Pomierzona charakterystyka amplitudowa toru sygnału z analogowego wejścia na

analogowe wyjście urządzenia TMX320C5515 eZdsp, fp = 8 kHz

Charakterystyka toru sygnału z analogowego wejścia na analogowe wyjście

obejmuje transmitancje dolnoprzepustowego wejściowego filtru antyaliazingowego

i dolnoprzepustowego wyjściowego filtru rekonstrukcyjnego.

Rysunek 5.4 pozwala oszacować stromość zboczy filtru antyaliazingowego

i rekonstrukcyjnego platformy TMX320C5515 eZdsp. Na odcinku od 3,5 kHz do

4,5 kHz tłumienie toru sygnału rośnie o ponad 70 dB, co daje stromość zbocza =

70/log(4,5/3,5) = 641 dB/dekadę. Dzieląc obliczoną stromość zbocza na dwa filtry,

wychodzi, że każdy z nich powinien mieć zbocze o stromości ponad 300

dB/dekadę, co jest niezwykle trudne do uzyskania w filtrze analogowym.

Wymagania stawiane analogowym filtrom antyaliazingowym i rekonstrukcyjnym

można zmniejszyć zwiększając szybkość próbkowania przy tym samym paśmie

użytecznym. Dzięki nadpróbkowaniu i decymacji wymagania stawiane filtrowi

antyaliazingowemu można podzielić na dwa filtry jeden analogowy drugi cyfrowy.

Podobnie stosując interpolację można postąpić z filtrem rekonstrukcyjnym.

30

Nadpróbkowanie, decymacja i interpolacja sygnału cyfrowego

Filtr antyaliazingowy powinien zablokować zawijanie się do pasma

użytecznego składowych niepochodzących z tego pasma. Przyjmując fp = 48 kHz

i pasmo użyteczne = 20 kHz, pasmo zaporowe antyaliazingowego filtru

dolnoprzepustowego powinno zaczynać się na częstotliwości 28 kHz. Przyjmując

minimalne tłumienie w paśmie zaporowym = 60 dB, wymagana stromość zbocza

wyniesie 60/log(28/20) = 410 dB/dekadę. Przyjmując fp = 96 kHz pasmo

zaporowe filtru dolnopasmowego powinno zaczynać się na częstotliwości

96 – 20 = 76 kHz i wymagana stromość zbocza wyniesie 60/log(76/20) ≈ 100

dB/dekadę. Dla fp = 192 kHz wymagana stromość zbocza wyniesie 60 dB/dekadę.

Zwiększenie szybkości próbkowania nazywane nadpróbkowaniem pozwala

na zmniejszenie stromości zbocza filtru analogowego i dokonanie dalszej filtracji

antyaliazingowej przez łatwiejszy w realizacji filtr cyfrowy. Po filtracji cyfrowej

można zmniejszyć częstotliwość próbkowania do wymaganej poprzez decymację.

Filtr rekonstrukcyjny ma podobne parametry jak filtr antyaliazingowy

i przy jego realizacji można postąpić podobnie. Przed filtracją analogową można

zwiększyć szybkość próbkowania i odsunąć dalej repliki widma od pasma

użytecznego. Robi się to w dwóch etapach: najpierw pomiędzy istniejące próbki

wstawia się próbki zerowe następnie filtruje sygnał dolnoprzepustowym filtrem

interpolacyjnym. Filtr interpolacyjny powinien usunąć składowe widma powyżej

pasma użytecznego.

Kolejne doświadczenie pozwala prześledzić właściwości przetwarzania

analogowo-cyfrowego, zaobserwować aliazing i niejednoznaczność reprezentacji

sygnału przez ciąg próbek. Pełny tor sygnału, w programie Decymator,

przedstawiony na rysunku 5.5

Rys 5.5. Pełny tor sygnału w programie Decymator

LPF C/A A/C 6:1 LPF

31

składa się z

1. przetwornika C/A pracującego z częstotliwością 48 kHz,

2. filtru dolnoprzepustowego o częstotliwości granicznej = 4 kHz pełniącego rolę

filtru antyaliazingowego,

3. decymatora 6:1 pełniącego rolę układu próbkującego,

4. filtru dolnoprzepustowego o częstotliwości granicznej = 4 kHz pełniącego rolę

filtru rekonstrukcyjnego,

5. przetwornika A/C pracującego z częstotliwością 48 kHz.

W programie Decymator przyciskami zmienia się tor sygnału w kanałach lewym

i prawym (włącza i wyłącza filtry), aktualne składniki toru sygnału są wypisane na

konsoli i na wyświetlaczu. Pomijając filtr antyalizingowy można obserwować

aliazing i niejednoznaczność reprezentacji sygnału przez ciąg próbek. Pomijając

filtr rekonstrukcyjny można obserwować okresowe widmo spróbkowanego

sygnału, tylko do częstotliwości 24 kHz.

Doświadczenie 5.2. Badanie transmisji sygnału przez urządzenie TMX320C5515

eZdsp – program Decymator.

1. Uruchomić program Decymator.

2. Dobierając odpowiednie częstotliwości sygnału wejściowego i tor sygnału bez

filtru antyaliazingowego zaobserwować aliazing i niejednoznaczność

reprezentacji sygnału przez ciąg próbek.

3. Zaobserwować widmo próbek sygnału wyjściowego, gdy pominięty jest filtr

rekonstrukcyjny.

W sprawozdaniu:

1. Umieścić przykładowe wykresy przedstawiające badane zjawiska.

Na rysunkach 5.6 i 5.7 przedstawiono przykładowe wykresy uzyskane

w doświadczeniu 5.2.

32

Rys. 5.6. Ciąg impulsów próbkujących o częstotliwości = 4 kHz na wyjściu analogowym

urządzenia TMX320C5515 eZdsp, fp = 48 kHz

Rys. 5.7. Widmo częstotliwościowe próbek prostokąta o częstotliwości = 700 Hz, fp = 8 kHz

uzyskanych z pominięciem filtru antyaliazingowego (u góry), widmo zrekonstruowanego

prostokąta z widocznym aliasingiem (u dołu)

Generacja sygnałów okresowych

Najprostszym sposobem wygenerowania sygnału okresowego jest zapisanie

w pamięci procesora obliczonych zewnętrznym programem próbek jednego okresu

tego sygnału i okresowe wysyłanie ich na wyjście. Metoda ta jest prosta i nie

obciąża procesora, ale nie pozwala dowolnie zmieniać częstotliwości

generowanego sygnału. Inną metodą jest obliczanie najpierw bieżącej

unormowanej fazy sygnału a następnie wartości sygnału dla tej fazy.

Analogowy przebieg sinusoidalny dany jest wzorem

33

)2sin()sin()( 00 ftAtAtx , (5.1)

gdzie A – amplituda, ω – pulsacja, f – częstotliwość, φ0 – faza początkowa. Ciąg

próbek sygnału danego wzorem (5.1) ma postać

)2sin()sin(][ 00 fnTAnTAnx (5.2)

gdzie T jest okresem próbkowania. Wzór ten można przedstawić także w postaci

)sin()sin(][ 00 FnAnTAnx (5.3)

gdzie

pffT /2 (5.4)

jest pulsacją cyfrową, a

pffF /2/ (5.5)

jest unormowaną cyfrową częstotliwością.

Przyjmując, że częstotliwość f spełnia warunek pp fff wynikający

z twierdzenia o próbkowaniu, to 11 F i unormowaną cyfrową częstotliwość

można zapisać jako liczbę w formacie Q15 z wykorzystaniem całego zakresu tych

liczb, czyli możliwie najdokładniej.

Wyrażony w radianach argument sinusa (kąt fazowy) 02][ ftt jest

liniową funkcją czasu i może przyjmować dowolne wartości rzeczywiste.

W obliczeniach numerycznych liniowo rosnący kąt fazowy może przekroczyć

zakres liczb danego typu i wystąpi przepełnienie, dlatego wykorzystując

okresowość sinusa należy kąt fazowy sprowadzić do przedziału [0, 2π) albo

[–π, π). Wykorzystując okresowość sinusa wzór (5.3) można zapisać w postaci

34

])[sin())2mod)/((sin()sin(][ 00 nAFnAFnAnx , (5.6)

gdzie 2mod)/(][ 0 Fnn jest unormowaną fazą należąca so przedziału

[0, 2).

Unormowaną fazę sygnału można obliczać rekurencyjnie

.2mod)][(]1[

,/]0[ 0

Fnn

(5.7)

Jeśli obliczenia dane wzorem (5.7) są wykonywane w arytmetyce modularnej na

liczbach całkowitych Q15, to modyfikacja fazy wymaga wykonania tylko

instrukcji dodawania – modulo 2 jest wykonywane automatycznie, gdy wystąpi

przepełnienie. Jeśli wynik jest zadeklarowany jako zmienna bez znaku to należy do

przedziału [0, 2), a jeśli wynik jest zadeklarowany jako zmienna ze znakiem, to

należy do przedziału [–1, 1). W uruchamiany w laboratorium programach zmienna

przechowująca wynik jest zmienną ze znakiem.

Unormowaną częstotliwość formacie Q15 FQ15, dla fp = 48 kHz, można

obliczyć na podstawie wzoru

14143016

151515 2/223702

48000

2

48000

2222 ffff

fFF

p

Q , (5.8)

instrukcją

int F = ( (long)f * 22370 ) >> 14;

Dla fp = 8 kHz unormowana częstotliwość 11

15 2/16777fFQ a instrukcja, która

ją oblicza, ma postać

int F = ( (long)f * 16777 ) >> 11;

35

Do obliczenia wartości sinusa można wykorzystać funkcję sine() z biblioteki

TMS320C55x™ DSPLIB, która oblicza wartość sinusa dla unormowanej fazy.

Nagłówek funkcji na postać

ushort sine(DATA *x, DATA *r, ushort nx);

gdzie x[] jest wektorem danych unormowanych faz x[n] ,

jest wektorem obliczonych wartości funkcji sinus, nx jest wymiarem

wektorów x[] i r[], n = 0, 1, …, nx – l.

Wartości próbek sinusoidy można obliczać na podstawie rozwinięcia

funkcji sin(x) w szereg potęgowy

...!9!7!5!3

)sin(9753

xxxx

xx , x , (5.9)

lub na podstawie wielomianu aproksymującego. Funkcja sine()

wykorzystuje wielomian 5. stopnia aproksymujący funkcję sin(πx) dla

]/21 ,0[x [?].

,800293,15446778,0325196,502026367.0140625,3

)sin(5432

55

44

33

221

xxxxx

xaxaxaxaxax

(5.10)

Wartość funkcji sine() dla argumentów z poza przedziału ]2/1,0[ można

obliczyć wykorzystując okresowość sinusa oraz wzory redukcyjne

)sin()sin( xx i )sin()sin( xx .

Doświadczenie 5.3. Pomiary generatora przebiegów sinusoidalnych – program

Generator.

1. Uruchomić program Generator – przyciskami zmienia się typ generowanego

przebiegu, ostatnia pozycja pozwala na wprowadzenie z konsoli częstotliwości

generowanych sygnałów i wybór szybkości próbkowania.

36

2. Wygenerować analogowe przebiegi sinusoidalne o częstotliwościach 100 Hz,

1 kHz, 3 kHz, 3333 Hz, 3,8 kHz, 3,95 kHz, przy szybkości próbkowania

fp = 8 kHz.

3. Zaobserwować generowane przebiegi.

4. Pomierzyć widmo amplitudowe generowanych przebiegów.

W sprawozdaniu:

1. Umieścić przebieg czasowy i wykres widma amplitudowego sygnału

o częstotliwości 3,95 kHz – na wykresie widma amplitudowego ręcznie opisać

składowe i zaznaczyć częstotliwość Nyquista.

2. Umieścić 2 wybrane przez autorów przebiegi czasowe i odpowiadające im 2

wykresy widma amplitudowego badanych przebiegów.

3. Wyjaśnić kształt generowanych przebiegów oraz kształt ich widma

amplitudowego.

Generator przebiegów piłokształtnych, trójkątnych

i prostokątnych

Przy analizie widna generowanych przebiegów przydatne będą ich

rozwinięcia w szereg Fouriera. Na rysunku 5.7 przedstawiono przebieg

piłokształtny, którego próbki oblicza program Generator (wartość szczytowa

a = 1).

a

T 0 2T

−a

y

x −T 3T

37

Rys. 5.7. Przebieg piłokształtny

Rozwinięcie w szereg Fouriera przebiegu piłokształtnego z rysunku 5.7, dla a = π,

2T , dane jest następującym wzorem [4]

...

3

3sin

2

2sin

1

sin2

xxxy . (5.11)

Rozwinięcie w szereg Fouriera przebiegu trójkątnego przedstawionego rysunku

5.8,

Rys. 5.8. Przebieg trójkątny

dla a , 2T , dane jest wzorem [4]

...

5

5cos

3

3cos

1

cos4

2 22

xxxy

. (5.12)

Rozwinięcie w szereg Fouriera sygnału prostokątnego o wartości szczytowej

równej a, okresie równym 2π, zerowej składowej stałej i współczynniku

wypełnienia równym 50% ma postać [4]

...

5

5sin

3

3sinsin

4 xxx

ay

. (5.13)

Z powyższego wzoru wynika, że fala prostokątna jest przebiegiem

szerokopasmowy, zawierającym nieskończenie wiele nieparzystych

harmonicznych. Przyjmując, że składowa podstawowa fali prostokątnej ma

a

T 0 2T

y

x −T 3T

38

amplitudę równą 1, amplituda n-tej harmonicznej wyniesie 1/n, gdzie n = 3, 5, 7, ...

(amplitudy parzystych harmonicznych są równe 0). Amplitudy kolejnych

nieparzystych harmonicznych fali prostokątnej maleją powoli, co utrudnia

dyskretyzację przebiegów prostokątnych. Aby, w miarę poprawnie,

zrekonstruować przebieg prostokątny, musi on zawierać sporą liczbę

harmonicznych, co wymusza dużą szybkość próbkowania – kilkadziesiąt razy

większą od częstotliwości fali prostokątnej. We wzorach (5.11), (5.12) i (5.13)

widać mniejszą zawartość harmonicznych w przebiegu trójkątnym niż

piłokształtnym i prostokątnym, co ma istotny wpływ na kształt generowanych

sygnałów analogowych.

Na rysunku 5.9 przedstawiono przebieg czasowy (oscylogram)

zrekonstruowanej fali prostokątnej o częstotliwości 320 Hz wygenerowanej przez

program Generator – szybkość próbkowania równa 8 kHz.

Rys. 5.9. Przebieg czasowy generowanej fali prostokątnej o częstotliwości = 320 Hz,

fp = 8 kHz

Próbki obliczane przez program, na podstawie których zrekonstruowano sygnał, są

próbkami przebiegu prostokątnego zawierającego wszystkie harmoniczne, nie

zastosowano tu żadnego filtru antyaliasingowego. W generowanym sygnale

harmoniczne o częstotliwościach większych od częstotliwości Nyquista są podczas

39

rekonstrukcji sygnału analogowego tłumione przez filtr dolnoprzepustowy i nie ma

ich w pomierzonym widmie sygnału przedstawionym na rysunku 5.10.

Rys. 5.10. Widmo amplitudowe generowanej fali prostokątnej o częstotliwości = 320 Hz,

fp = 8 kHz

W wyniku przeplatania się widm, w paśmie podstawowym pojawiają się natomiast

dodatkowe prążki widma, widoczne na rysunku 5.10, pochodzące od nieusuniętych

przez filtr antyaliasingowy składowych widma o częstotliwościach większych od

częstotliwości Nyquista.

Istotny wpływ na kształt generowanych przebiegów prostokątnych, oprócz

zjawiska aliasingu, mają obwody wyjściowe zestawu TMX320C5515 eZdsp,

w których występują kondensatory sprzęgające odcinające napięcia stałe i tłumiące

składowe widma o małych częstotliwościach. Kondensatory sprzęgające powodują,

że jeśli kolejne próbki mają stałą wartość, to wyjściowe napięcie analogowe

eksponencjalnie maleje do zera.

Doświadczenie 5.4. Pomiary generatora przebiegów piłokształtnych, trójkątnych

i prostokątnych – program Generator.

40

1. Wygenerować analogowe przebiegi piłokształtne, trójkątne i prostokątne

o częstotliwościach 200 Hz, 310 Hz i 700 Hz; szybkość próbkowania

fp = 8 kHz.

2. Zaobserwować generowane przebiegi.

3. Pomierzyć widmo amplitudowe generowanych przebiegów.

W sprawozdaniu:

1. Umieścić wykresy przebiegów czasowych sygnałów o częstotliwości 310 Hz

i wykresy ich widma amplitudowego.

2. Wyjaśnić kształt generowanych sygnałów oraz kształt ich widma

amplitudowego.

3. Na wykresach widma amplitudowego ręcznie ponumerować harmoniczne.