Wykład 5. Ryzyko działania systemów. Źródła i rodzaje ryzyka,

niepewność i ocena ryzyka.

Źródła ryzyka

Ocena ryzyka

Zarządzanie ryzykiem

Statystyczna ocena ryzyka

Gry w podejmowaniu decyzji

o Gra z naturą

o Dwuosobowa gra o sumie zerowej

Ryzyko – staro-włoskie „risicore” – odważyć sięo Ryzyko to możliwość, zdarzenie (prawdopodobieństwo), że coś

może się nie udać, przedsięwzięcie, którego wynik jest nieznany, niepewny

o Ryzyko to niebezpieczeństwo, możliwość poniesienia straty lub wystąpienie uszkodzenia

o Ryzyko – na skutek niepełnej informacji są podejmowane decyzje, które mogą być nieoptymalne z punktu widzenia osiągnięcia celu

o Ryzyko to zagrożenie, wynikające z posiadania niepełnej wiedzy, osiągnięcia w aktualnych warunkach zamierzonego celu (np.: zysku)

o Ryzyko to możliwość wystąpienia odchylenia faktycznego wyniku od wyników planowanych (odchylenie może być pozytywne lub negatywne)

o Ryzyko to niebezpieczeństwo niezrealizowania celu założonego przy podejmowania decyzji

Ryzyko w odniesieniu do systemów: projektowe, wytwarzania, eksploatacjio Ryzyko, że projekt systemu nie zapewni wymaganej funkcjonalności

planowanego systemu oraz jego trwałości, niezawodności, bezpieczeństwa itp.

o Ryzyko, że w trakcie realizacji zaprojektowanego systemu zostaną przekroczone koszty, terminy lub też pojawią się przeszkody uniemożliwiające wykonanie projektu

o Ryzyko w trakcie funkcjonowania systemu będą zużywane nadmierne zasoby, nie uzyska wymaganej jakości, system będzie funkcjonował zawodnie

o Ryzyko, że ewolucja eksploatowanego systemu będzie postępować odmiennie do założeń projektowych i system nie realizuje planowanej misji

Typowe rodzaje ryzyka w systemach gospodarczycho Ryzyko związane z niestabilnością sytuacji ekonomicznej oraz

przepisów prawnych określających zasady inwestowania, opodatkowania itp.

o Ryzyko związane z niestabilnością międzynarodowej sytuacji polityczno-ekonomicznej (embarga, ograniczenia, kursy walut itp.)

o Ryzyko związane z wahaniami popytu, podaży zmiany potrzeb i mody

o Ryzyko związane z niestabilnością warunków klimatycznych, katastrofy, szkody

o Ryzyko związane ze zmiennością zdolności produkcyjnych (zawodność maszyn i urządzeń, wady planowania)

o Ryzyko związane ze zmiennością celów poszczególnych interesariuszy (klienci, dostawcy, banki, kredyty itp.)

o Ryzyko związane z niepełną lub niedokładną informacją o stanie finansowym, wiarygodność interesariuszy itp..

Wewnętrzne czynniki ryzyka pochodzą z organizacjio Ryzyko techniczne – brak wystarczającej wiedzy na etapie

projektowania, odchylenia elementów, brak prób i testów, niewłaściwe parametry funkcjonowania, brak nadzoru nad warunkami eksploatacji

o Ryzyko programowe – uzyskanie właściwych zasobów do realizacji zadania, wadliwe decyzje na odpowiednich szczeblach zarządzania, pominięcie wpływu pewnych czynników, potencjał (ludzki, techniczny, finansowy), zmiana środowiska wewnętrznego i zewnętrznego

o Ryzyko obsługowe – niewłaściwe przygotowanie, nadzorowanie i eksploatacja systemów, obsługa infrastruktury, jakość personelu, działania prewencyjne, diagnostyczne, obsługa i eksploatacja codzienna

o Ryzyko kosztowe – błędy szacowania kosztów wynikające z zawodności ludzi i sprzętu oraz nieprzewidzianych problemów

o Ryzyko harmonogramowe – wadliwe oszacowanie czasów realizacji poszczególnych zadań, fluktuacja kadry, niekompetencje wykonawców

Źródła ryzyka poza organizacjąo Ryzyko rynkowe – związane z wahaniami popytu, podaży,

kursy walut, sezonowość

o Ryzyko polityczne – powodowane zmianami polityki państwowej, zmiana prawa, rozporządzeń, zmiana priorytetów, wspomagania

o Ryzyko finansowe – związane z prowadzonymi operacjami finansowymi, inwestycje, kredyty

o Ryzyko ekonomiczne – pogorszenie konkurencyjności organizacji wskutek nieoczekiwanych, nieprzewidywalnych zmian w ekonomicznym otoczeniu organizacji

Typowe sytuacje decyzyjneo Sytuacja pewności – występuje w krótkotrwałych przedsięwzięciach

projektowanych w oparciu o rozpoznany obszar wiedzy i pełną informację. Przewidywalne skutki podejmowania decyzji. Znikome prawdopodobieństwo zakłóceń.

o Sytuacja ryzyka – możliwe jest oszacowanie niepożądanych zdarzeń. Można oszacować poziom ryzyko i podejmować decyzje

o Sytuacja niepewności – występuje przy projektowaniu systemów w oparciu o niewystarczające zasoby informacji. Informacje zniekształcone, dotyczące dłuższych okresów, możliwe zmiany otoczenia. Oszacowanie prawdopodobieństwa niepożądanych zdarzeń jest trudne, a czasem niemożliwe i obarczone dużym subiektywizmem.

Poziomy niepewnościo Poziom pierwszy. Niepewność szczątkowa, resztkowa. Dotyczy

niepewności w działaniach krótkotrwałych i występujących w przeszłości. Umożliwiło to poznanie cech charakterystycznych i ustalenie trendów zmian. Pozwala to na prognozę przyszłych sytuacji

o Poziom drugi. Możliwe są różne scenariusze rozwoju sytuacji, uzależnione od czynników trudno przewidywalnych o określonym prawdopodobieństwie (prawo, przełomowe innowacje, kryzys). Można sformułować kilka prawdopodobnych wariantów.

o Poziom trzeci. Można wskazać przedział możliwych zdarzeń. Pewne zmienne mające wpływ na decyzje zadane są określonym przedziale (np.: popyt 1030%). Szeroki przedział ma wpływ na procesy decyzyjne. W pewnych sytuacjach nawet rezygnacja z przedsięwzięcia

o Poziom czwarty. Różne czynniki niepewności wzajemnie oddziałują na siebie. Sytuacje trudne do prognozowania. Brak podstaw do prognozowania. Duże ryzyko. Wymaga głębszej analizy.

Działania, przedsięwzięcia, plany i programy obarczone są prawdopodobieństwem wystąpienia niepożądanych sytuacji. Z drugiej strony należy ocenić skutki zdarzenia

Ilościowa ocena ryzyka wymaga znajomości:o Rodzaju niepożądanego zdarzenia

o Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia

o Dotkliwość skutków spowodowanych niepożądanym zdarzeniem

Miara (skala) ilościowa oceny prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzeń niepożądanycho Pomijalne (znikome) – 02%, 1 p. We wcześniejszych działaniach nie

wystąpiły, lecz nie można ich wykluczyć

o Marginalne (niskie) - 2 10%, 2 p. Mimo małego prawdopodobieństwa przy niesprzyjających warunkach może wystąpić

o Średnie - 10 20%, 3 p. Analiza problemu wskazuje, że zdarzenie może wystąpić mimo małego prawdopodobieństwa

o Wysokie 20 50%, 4 p. Zdarzenia rzadko występowały w przeszłości i ich wystąpienie jest możliwe

o Krytyczne (wysokie) 50 80%, 5 p. Zdarzenia występowały w przeszłości, a wykonanie w podobnych warunkach czyni je wysoce prawdopodobnym

Typowe skutki niepożądanych zdarzeń (można nadać skale)o Przekroczenie zużycia zasobów w stosunku do założeń

o Przekroczenie harmonogramu

o Nieuzyskanie zakładanego poziomu niezawodności, funkcjonalności, bezpieczeństwa, wymagań ekologicznych itp.

o Negatywny wpływ na długofalową strategię organizacji

o Możliwość opracowania nowej, konkurencyjnej technologii

o Możliwość poprawy konkurencyjności przy wprowadzeniu nowego wyrobu

o Możliwość opanowania nowego segmentu rynku

Ważniejsze metody i narzędzia rozpoznania ryzyka o ankiety eksperckie, metody sieciowe, analiza drzew decyzyjnych,

symulacje listy kontrolne, SWOT, audyty, przeglądy ryzyka

o Unikanie ryzyka – zmiana koncepcji na rozwiązania o niższym ryzyku. Ważne czynniki przeprojektowania: zdobywanie przepływ informacji, doświadczenie członków zespołów

o Transfer ryzyka – przeniesienie ryzyka na inne podmioty gospodarcze. Zmniejsza, ale nie eliminuje ryzyka. Np.: ubezpieczenie przedsięwzięcia, pozyskanie współudziałowców, sprzedaż akcji (obligacji)

o Łagodzenie ryzyka – podejmowaniu dodatkowych działań prowadzących do zmniejszenia prawdopodobieństwa niepożądanych działań lub minimalizacji skutków. Np.: podział na etapy, etapowe odbiory, przeglądy, audyty, nadzór, monitorowanie itp.

o Akceptacja ryzyka – może być pasywna lub aktywna. Pasywna –organizacja nie podejmuje jakichkolwiek działań, godzi się ponieść wszelkie konsekwencje. Aktywna – organizacja godzi się z ryzykiem, lecz przygotowuje alternatywne plany działań na wypadek wystąpienia zdarzenia, które zawierają wytyczne do postępowania mające na celu złagodzenie skutków zdarzenia

Podstawowe etapy zarządzania ryzykiemo Planowanie zarządzania ryzykiem – procesy związane z organizacją

działań, wybór metodologii postępowania, zebranie danych dla identyfikacji (rozpoznania) ryzyka, wspomaganie personalne oraz informatyczne. Ważne elementy planowania:

• Wskazanie odpowiedzialnego decydenta – osoba gromadząca dane o rodzajach ryzyka, organizuje analizy, planuje działania zmierzające do zmniejszenia ryzyka

• Wydzielenie koniecznych zasobów (finansowych, kadrowych, informatycznych) przeznaczonych do zarządzania ryzykiem

• Planowanie głównych działań związanych z zarządzaniem ryzykiem i ich powiązania z planowanymi zadaniami systemowymi

o Identyfikacja (rozpoznanie) ryzyka o określenie jak niepożądane zdarzenia wpłyną na system. Analiza ciągu zdarzeń przyczyna →skutek oraz skutek → przyczyna. Analiza elementów systemu

Podstawowe etapy zarządzania ryzykiem c.d.o Jakościowa analiza ryzyka – inwentaryzacja i opis poszczególnych

rodzajów ryzyka, ustalenie przyczyn ich powstania, analiza konsekwencji i propozycja przedsięwzięć minimalizujących skutki

o Ilościowa analiza ryzyka – ocena poszczególnego rodzaju zdarzeń powinna umożliwić wyznaczenie:

• Prawdopodobieństwa realizacji misji i funkcji kreowanego systemu• Stopnia oddziaływania zdarzeń na system oraz na wzrost zużycia zasobów• Odrębnych rodzajów zderzeń wymagających szczególnej uwagi i nadzoru

Zalecane metody oceny ilościowej:• Metody statystyczne (np. karta kontrolna)• Metoda ekspertowa - wykorzystanie doświadczonych ekspertów. Wada –

trudność z pozyskaniem ekspertów• Metoda radarowa – wskazanie rodzajów potencjalnego ryzyka,

opracowanie skali, wizualizacja na wykresie kołowym• Metoda analogii – analiza podobnych systemów. Zebranie danych

statystycznych przydatnych do planowania ryzyka, obszar dopuszczalnych strat

Podstawowe etapy zarządzania ryzykiem c.d.o Planowanie przedsięwzięć przeciwdziałaniu ryzyku:

• Unikanie – rezygnacja z działań powodujących ryzyko

• Przekazanie - rozłożenie odpowiedzialności na inne podmioty

• Minimalizacja - zastosowanie elementów minimalizujących ryzyko

• Akceptacja - bierna i czynna

Działania mające na celu zmniejszenie ryzyka do akceptowalnego poziomu:

• Różnicowanie ryzyka – rozkład odpowiedzialności na kilka podmiotów

• Ubezpieczenie systemu – przekazanie ryzyka firmie ubezpieczeniowej

• Wydzielenie rezerw – pokrycie nieprzewidzianych potrzeb

Zmniejszenie negatywnego oddziaływania na organizację

• Gwarancja na wyroby – stosowana przy wyrobach finalnych systemów

• Limitowanie – wprowadzenie ograniczeń sprzyjających ograniczeniu ryzyka

• Priorytetowanie ryzyka – opracowanie rankingu systemów i jego przebudowie w zależności od potrzeb

Podstawowe etapy zarządzania ryzykiem c.d.o Monitorowanie i kontrola ryzyka

Zarządzanie ryzykiem jest czynnością wielokrotną. Prawdopodobieństwo zdarzeń i negatywne skutki mogą ulec zmianie. Zapewnienie realizacji planu, efektywności funkcjonowania, ocenę skuteczności zarządzania ryzykiem można uzyskać poprzez monitoring i kontrolę. Celem monitoringu i kontroli jest ocena:

• Czy istniał wdrożony system reagowania na niepożądane zdarzenia i czy został on powiązany z innymi modułami zarządzania?

• Czy wystarczająco szybko zachodzą procesy związane z koniecznymi zmianami?

• Czy uległ zmianie poziom ryzyka w porównaniu z poprzednimi zmianami?

• Czy nastąpiło wyraźne przejawianie się ryzyka i w jakim stopniu?

Rozważmy przykład:

Mamy sieć 𝐼 kopalni, które należy zmodernizować. Istnieje 𝐽 wariantów modernizacji i każdy z nich o koszcie 𝑐𝑖𝑗 jeśli 𝑖-ta kopalnia jest

modernizowana na 𝑗-ty sposób (𝑖 = 1, 2, … , 𝐼, 𝑗 = 1, 2, … , 𝐽). Urobek każdej z kopalni wynosi 𝑢𝑖𝑗 - jeśli 𝑖-ta kopalnia jest modernizowana na

𝑗-ty sposób. Zanieczyszczenia urobku w każdej z kopalni wynoszą 𝑧𝑖𝑗 - jeśli 𝑖-ta kopalnia jest modernizowana na 𝑗-ty sposób. Należy dobrać

warianty modernizacji kolejnych kopalni tak, aby łączne urobek nie spadły poniżej u, zanieczyszczenia urobku spełniały wymagania rynkowe, czyli były mniejsze niż z a łączny koszt modernizacji był minimalny.

( )

Iix

Iizxz

uxu

xccxF

J

j

ij

ij

J

j

ij

ij

I

i

J

j

ij

ij

I

i

J

j

ij

,,2,11

,,2,1

,

1

1

1 1

1 1

==

=

=

=

=

= =

= =

ijx

=0

1ijx

- i – ta kopalnia modernizowana na j – ty sposób

- w przeciwnym przypadku

- zmienna decyzyjna

=== JjIizuc ijijij ,,1,,,1,, - wielkości niepewne (losowe)

( ) ( )

( ) ( )( ) Mmx

Llxx

Iix

Iizxz

uxu

xFxccxF

m

l

S

x

J

j

ij

ij

J

j

ij

ij

I

i

J

j

ij

ij

I

i

J

j

ij

,,1,0,

,,,1,0,;

,,2,11

,,1

,,

1

1

1 1

1 1

=

===

==

=

=

=

=

= =

= =

RD

F(x,)x y

( )

Iix

IizxzE

uxuE

xcEcxFE

J

j

ij

ij

J

j

ijz

ij

I

i

J

j

iju

ij

I

i

J

j

ijcc

,,2,11

,,2,1

,

1

1

1 1

1 1

==

=

=

=

=

= =

= =

( ) ( )

( )

( ) ( ) MmxELlxEx

E

xFExF

ml

S

xx

,,1,0,,,,1,0,;

,

====

==

=

R

DD

( ) ( )xFxFxxDx

=→ min

F(x,)x

y

- wartość zmiennej losowej

- zbiór ciągły, ( )f - funkcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej

Wówczas:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) MmdfxxE

LldfxxEx

E

dfxFxFExF

mm

ll

S

xx

,,1,0,,

,,,1,0,,;

,,

==

====

==

==

R

DD

- wartość zmiennej losowej

K ,,, 21 = - zbiór dyskretny,

( ) KkpP kk ,,2,1, === - gęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej

Wówczas:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) MmpxxE

LlpxxEx

E

pxFxFExF

K

k

kkmm

K

k

kkll

S

xx

K

k

kk

,,1,0,,

,,,1,0,,;

,,

1

1

1

==

====

==

==

=

=

=

R

DD

Problem sprzedawcy gazet.

Sprzedawca gazet zamawia gazety w paczkach po 40 sztuk w paczce. Cena jednej

gazety w hurcie kosztuje 0.80 zł, a sprzedaje ją po 1.10 zł. Popyt na gazety jest

wielkością losową. Sprzedaż w „słaby” dzień gazet, w „przeciętny” dzień

gazet, a w „dobry” dzień gazet. Prawdopodobieństwo że jest

„słaby” dzień, tj.: , „przeciętny” - ,

a „dobry” - .

Zmienna decyzyjna x – liczba paczek, którą powinien zamówić sprzedawca.

x =1, 2, 3, 4, … ?

501 =

1002 = 1503 =

( ) 26.011 === pP ( ) 40.022 === pP

( ) 34.033 === pP

x 𝟏 = 𝟓𝟎 𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 𝟑 = 𝟏𝟓𝟎

𝑝1 = 0.26 𝑝2 = 0.40 𝑝3 = 0.34

x=1 12 12 12

x=2 -9 24 24

x=3 -41 14 36

x=4 -73 -18 37

Wartość funkcji celu dla x = 1, 2, 3 i 4

( )( )

−−

=

xifx

xifxxF

4080.04030.0

4030.040,

Funkcja celu:

x 𝟏 = 𝟓𝟎 𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 𝟑 = 𝟏𝟓𝟎 F(x)

𝑝1 = 0.26 𝑝2 = 0.40 𝑝3 = 0.34

x=1 12 12 12 12

x=2 -9 24 24 15.42

x=3 -41 14 36 7.17

x=4 -73 -18 37 -13.6

( ) ( ) ( )=

==K

k

kk pxFxFExF1

,,

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 6.1334.0374.01826.073,44

17.734.0364.01426.041,33

42.1534.0244.02426.09,22

1234.0124.01226.012,11

−=+−−====

=++−====

=++−====

=++====

xFExF

xFExF

xFExF

xFExF

Modyfikacja funkcji celu – ostrożny sprzedawca - „tłumi” zyski, „wyolbrzymia” straty

x 𝟏 = 𝟓𝟎 𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 𝟑 = 𝟏𝟓𝟎 F(x)

𝑝1 = 0.26 𝑝2 = 0.40 𝑝3 = 0.34

x=1 34.64 34.64 34.64 34.64

x=2 -8.1 48.99 48.99 34.15

x=3 -168.1 37.42 60 -8.34

x=4 -532.9 -32.4 60.83 -130.83

( )( ) ( )

( )( )( )

−

=0,

10

,

0,,10

, 2

xFifxF

xFifxF

xF

Modyfikacja funkcji celu – sprzedawca „ryzykant” - „wyolbrzymia” zyski,„tłumi” straty

x 𝟏 = 𝟓𝟎 𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 𝟑 = 𝟏𝟓𝟎 F(x)

𝑝1 = 0.26 𝑝2 = 0.40 𝑝3 = 0.34

x=1 14.4 14.4 14.4 14.4

x=2 -30 57.6 57.6 34.82

x=3 -64.03 19.6 129.6 35.26

x=4 -85.44 -42.43 136.9 7.36

( )( )( )

( )

( ) ( )

−−

=

0,,10

0,10

,

,

2

xFifxF

xFifxF

xF

Gra z naturą

Rodzajuprawy

Warunki pogodowe max

susze normalne deszcze

1 8 10 12 12

2 10 11 7 11

3 9 13 8 13

4 11 10 6 11

5 10 10 9 10 min

Reguła min – max. Analizując kolejne wiersze macierzy znajdujemy maksymalną korzyść, którą możemy uzyskać dla kolejnych stanów natury. Wybieramy tę decyzję, dla której maksymalna korzyść jest najmniejsza. W przypadku niejednoznaczności rekomendujemy wszystkie decyzje, dla których powyższy warunek jest spełniony.

Rodzajuprawy

Warunki pogodowe min

susze normalne deszcze

1 8 10 12 8

2 10 11 7 7

3 9 13 8 8

4 11 10 6 6

5 10 10 9 9 max

Reguła WALDA (max – min). Analizując kolejne wiersze macierzy znajdujemy minimalną korzyść, którą możemy uzyskać dla kolejnych stanów natury. Wybieramy tę decyzję, dla której minimalna korzyść jest największa. W przypadku niejednoznaczności rekomendujemy wszystkie decyzje, dla których powyższy warunek jest spełniony.

Rodzajuprawy

Warunki pogodowe max

susze normalne deszcze

1 8 10 12 12

2 10 11 7 11

3 9 13 8 13

4 11 10 6 11

5 10 10 9 10

max

Reguła max – max. Analizując kolejne wiersze macierzy znajdujemy maksymalną korzyść, którą możemy uzyskać dla kolejnych stanów natury. Wybieramy tę decyzję, dla której maksymalna korzyść jest największa. W przypadku niejednoznaczności rekomendujemy wszystkie decyzje, dla których powyższy warunek jest spełniony.

Rodzajuprawy

Warunki pogodowe amin

Amax

H()

= 0.5susze normalne deszcze

1 8 10 12 8 12 10

2 10 11 7 7 11 9

3 9 13 8 8 13 10.5

4 11 10 6 6 11 8.5

5 10 10 9 9 10 9.5

max

Reguła Hurwicza. Analizując kolejne wiersze macierzy znajdujemy minimalną i maksymalną korzyść, tj..: wartości oraz , a także wartość funkcji 𝐻𝑖() dla ustalonego . Wybieramy tę decyzję, dla której wartość funkcji 𝐻𝑖() jest największa. W przypadku niejednoznaczności rekomendujemy wszystkie decyzje, dla których powyższy warunek jest spełniony.

ia iA- minimalna korzyść dla i – tegowiersza

- maksymalna korzyść dla i – tegowiersza

ia iA

( ) ( ) 1,01 −+= iii AaH

0 1

( ) ( ) 1,01 −+= iii AaH( )iH

10

5

15

( ) ( ) −+= 11281H

( ) ( ) −+= 11172H

( ) ( ) −+= 11164H

( ) ( ) −+= 11383H

( ) ( ) −+= 11095H

( ) ( ) ii

HH51

max

=

=0,75

Rodzajuprawy

Warunki pogodowe Oczekiwana korzyśćsusze normalne deszcze

1 8 10 12 30/3

2 10 11 7 28/3

3 9 13 8 30/3

4 11 10 6 27/3

5 10 10 9 19/3

max

Reguła Laplace’a. Analizując kolejne wiersze macierzy znajdujemy oczekiwaną korzyść przyjmując, że kolejne stany natury są równie prawdopodobne. Wybieramy tę decyzję, dla której oczekiwana korzyść jest największa. W przypadku niejednoznaczności rekomendujemy wszystkie decyzje, dla których powyższy warunek jest spełniony.

max

Gra dwuosobowa o sumie zerowej

Gra dwuosobowa o sumie zerowejMacierz wypłat dla gracza A: Macierz wypłat dla gracza B:

BA 𝑩𝟏 𝑩𝟐 … 𝑩𝒎 … 𝑩𝑴

𝐴1 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑚 … 𝑎1𝑀

𝐴2 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑚 … 𝑎2𝑀

… … … … … … …

𝐴𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑚 … 𝑎𝑛𝑀

… … … … … … …

𝐴𝑁 𝑎𝑁1 𝑎𝑁2 … 𝑎𝑁𝑚 … 𝑎𝑁𝑀

BA 𝑩𝟏 𝑩𝟐 … 𝑩𝒎 … 𝑩𝑴

𝐴1 −𝑎11 −𝑎12 … −𝑎1𝑚 … −𝑎1𝑀

𝐴2 −𝑎21 −𝑎22 … −𝑎2𝑚 … −𝑎2𝑀

… … … … … … …

𝐴𝑛 −𝑎𝑛1 −𝑎𝑛2 … −𝑎𝑛𝑚 … −𝑎𝑛𝑀

… … … … … … …

𝐴𝑁 −𝑎𝑁1 −𝑎𝑁2 … −𝑎𝑁𝑚 … −𝑎𝑁𝑀

Gracz A maksymalizuje zyski Gracz B minimalizuje straty

Zwyczajowo podaje się macierz wypłat dla gracza A

Dwaj kandydaci A i B ubiegają się o mandat poselski w okręgu wyborczym. Mają podjąć decyzję o prowadzeniu kampanii wyborczej w ostatni weekend przed wyborami. Każdy z nich może spędzić po jednym dniu w miejscowości 𝑀1 lub 𝑀2.Rozważają oni (niezależnie od siebie) trzy możliwe strategie postępowania:𝐴1, 𝐵1 − spędzić po jednym dniu miejscowości 𝑀1 i 𝑀2,𝐴2, 𝐵2 − spędzić obydwa dni w 𝑀1, 𝐴3, 𝐵3 − spędzić obydwa dni w 𝑀2.Jeżeli kandydat A wybierze strategię 𝐴1, a kandydat B – odpowiednio strategie 𝐵1, 𝐵2 lub 𝐵3, to kandydat A może się spodziewać przyrostu głosów o 1%, 2% lub 4%.Jeżeli kandydat A wybierze strategię 𝐴2, a kandydat B – odpowiednio strategie 𝐵1, 𝐵2 lub 𝐵3, to kandydat A może się spodziewać przyrostu głosów o 1%, 0% lub 5%.Jeżeli kandydat A wybierze strategię 𝐴3, a kandydat B – odpowiednio strategie 𝐵1, 𝐵2 lub 𝐵3, to kandydat A może się spodziewać przyrostu głosów o 0%, 1% lub -1%.

BA 𝐵1 𝐵2 𝐵3

𝐴1 1 2 4

𝐴2 1 0 5

𝐴3 0 1 -1

BA 𝐵1 𝐵2 𝐵3

𝐴1 −1 −2 -4

𝐴2 −1 0 -5

𝐴3 0 -1 1

Gra dwuosobowa o sumie zerowejMacierz wypłat dla gracza A: Macierz wypłat dla gracza B:

Gracz A uzyskuje korzyści kosztem gracza A i na odwrót, stąd suma macierzy wypłat gracza A i B jest macierzą zerową.

Typowe podejście do rozwiązywania gier

o Wyznaczenie punktu siodłowego

o Usunięcie strategii zdominowanych

o Wyznaczenie strategii mieszanej dla:

• N=2 i M=2

• N>2 i M>2

Gra dwuosobowa o sumie zerowej

Punkt siodłowy: =

BA min

𝐵1 𝐵2 … 𝐵𝑚 … 𝐵𝑀

𝐴1 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑚 … 𝑎1𝑀

𝐴2 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑚 … 𝑎2𝑀

… … … … … … …

𝐴𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑚 … 𝑎𝑛𝑀

… … … … … … …

𝐴𝑁 𝑎𝑁1 𝑎𝑁2 … 𝑎𝑁𝑚 … 𝑎𝑁𝑀

max

nmMmNn

a 11

minmax

nmMmNn

a 11

maxmin

nmMmNn

a 11

minmax nmMmNn

a 11

maxmin

Gra dwuosobowa o sumie zerowej

Punkt siodłowy: =

BA min

𝐵1 𝐵2 𝐵3 𝐵4 𝐵5

𝐴1 180 150 230 170 150 150

𝐴2 200 210 220 150 190 150

𝐴3 210 230 190 190 200 190

𝐴4 150 220 170 180 220 150

𝐴5 210 200 160 150 210 150

max 210 230 230 190 220

nmMmNn

a 11

minmax

nmMmNn

a 11

maxmin

nmMmNn

a 11

minmax nmMmNn

a 11

maxmin = 190

Strategia zdominowana i dominująca

Gracz A dysponuje strategiami:

Strategia jest zdominowana przez strategię (dominującą)jeżeli

Gracz B dysponuje strategiami:

Strategia jest zdominowana przez strategię (dominującą)jeżeli

nA nA

mnmn aaMm = ,2,1

NAAA ,,, 21

MBBB ,,, 21

mB mB

mnmn aaNn = ,2,1

BA 𝐵1 𝐵2 𝐵3

𝐴1 1 2 4

𝐴2 1 0 5

𝐴3 0 1 -1

Strategia dominująca

Strategia zdominowana

Usuwanie strategii zdominowanych

BA 𝐵1 𝐵2 𝐵3

𝐴1 1 2 4

𝐴2 1 0 5

Krok 1.

Krok 2.

- Strategia zdominowana

- Strategia dominująca

BA 𝐵1 𝐵2

𝐴1 1 2

𝐴2 1 0

Strategia dominująca

Strategia zdominowana

Usuwanie strategii zdominowanych

BA 𝐵1 𝐵2

𝐴1 1 2

Krok 3.

Krok 4.

- Strategia zdominowana

- Strategia dominującaWynik gry

Gra dwuosobowa o sumie zerowej

Strategie mieszane:

BA

𝒒𝟏 𝒒𝟐 … 𝒒𝒎 … 𝒒𝑴

𝐵1 𝐵2 … 𝐵𝑚 … 𝐵𝑀

𝒑𝟏 𝐴1 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑚 … 𝑎1𝑀

𝒑𝟐 𝐴2 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑚 … 𝑎2𝑀

… … … … … … … …

𝒑𝒏 𝐴𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑚 … 𝑎𝑛𝑀

… … … … … … … …

𝒑𝑵 𝐴𝑁 𝑎𝑁1 𝑎𝑁2 … 𝑎𝑁𝑚 … 𝑎𝑁𝑀

nmMmNn

a 11

minmax nmMmNn

a

11maxmin

BA

𝒒𝟏 𝒒𝟐

𝐵1 𝐵2

𝒑𝟏 𝐴1 𝑎11 𝑎12

𝒑𝟐 𝐴2 𝑎21 𝑎22

N = M = 2

1

/

/

21

2222121

1212111

=+

=+

=+

pp

BVapap

BVapap

A

A

Równania dla gracza A

( )

( ) 2221121

1211111

12

/1

/1

1

BVapap

BVapap

pp

A

A

=−+

=−+

−=

𝒑𝟏0 1

𝑉𝐴 𝑉𝐴

𝒑𝟏

𝑎21

𝑎11

𝑎12

𝑎22

𝑉𝐴

BA

𝒒𝟏 𝒒𝟐

𝐵1 𝐵2

𝒑𝟏 𝐴1 𝑎11 𝑎12

𝒑𝟐 𝐴2 𝑎21 𝑎22

N = M = 2Równania dla gracza B

𝒒𝟏0 1

𝑉𝐵 𝑉𝐵

𝒒𝟏

𝑎12

𝑎11

𝑎21

𝑎22

1

/

/

21

2222211

1122111

=+

=+

=+

qq

AVaqaq

AVaqaq

B

B

( )

( ) 2221211

1121111

12

/1

/1

1

AVaqaq

AVaqaq

qq

B

B

=−+

=−+

−=

𝑉𝐵

Gra dwuosobowa o sumie zerowej

Punkt siodłowy: ≠

BA min

𝐵1 𝐵2 𝐵3

𝐴1 3 −3 7 -3

𝐴2 −1 5 2 -1

𝐴3 0 -4 4 -4

max 3 5 7

nmMmNn

a 11

minmax

nmMmNn

a 11

maxmin

nmMmNn

a 11

minmax nmMmNn

a 11

maxmin

BA

𝒒𝟏 𝒒𝟐 𝒒𝟑

𝐵1 𝐵2 𝐵3

𝒑𝟏 𝐴1 3 −3 7

𝒑𝟐 𝐴2 −1 5 2

𝒑𝟑 𝐴3 0 -4 4

Strategia dominująca

Strategia zdominowana

- Strategia dominująca - Strategia zdominowana

Usuwanie strategii zdominowanych

Ponieważ strategie 𝐴3 oraz 𝐵3 są zdominowane 𝒑𝟑=𝒒𝟑=0. Pozostaje wyznaczyć : 𝒑𝟏, 𝒑𝟐, 𝒒𝟏 oraz 𝒒𝟐

BA

𝒒𝟏 𝒒𝟐

𝐵1 𝐵2

𝒑𝟏 𝐴1 3 −3

𝒑𝟐 𝐴2 −1 5

N = M = 2 Równania dla gracza A

1

/53

/3

21

221

121

=+

=+−

=−

pp

BVpp

BVpp

A

A

( )

( )

2

1,

2

1

/153

/13

1

21

211

111

12

==

=−+−

=−−

−=

pp

BVpp

BVpp

pp

A

A

𝑝1

0 1

5𝑉𝐴

-1

3

3

𝑝1=1/221

11

/58

/14

BpV

BpV

A

A

+−=

−=

𝑉𝐴

𝑉𝐴=1

BA

𝒒𝟏 𝒒𝟐

𝐵1 𝐵2

𝒑𝟏 𝐴1 3 −3

𝒑𝟐 𝐴2 −1 5

N = M = 2 Równania dla gracza B

1

/5

/33

21

221

121

=+

=+−

=−

qq

AVqq

AVqq

B

B

( )

( )

3

1,

3

2

/15

/133

1

21

211

111

12

==

=−+−

=−−

−=

qq

AVqq

AVqq

qq

B

B

𝑝1

0 1

5𝑉𝐵

-3

3

1𝑞1=2/3 21

11

/56

/36

AqV

AqV

B

B

+−=

−=

𝑉𝐵

𝑉𝐵=1

Gra dwuosobowa o sumie zerowej

Strategie mieszane N>2, M>2:

BA

𝒒𝟏 𝒒𝟐 𝒒𝒎 𝒒𝑴

𝐵1 𝐵2 … 𝐵𝑚 … 𝐵𝑀

𝒑𝟏 𝐴1 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑚 … 𝑎1𝑀

𝒑𝟐 𝐴2 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑚 … 𝑎2𝑀

… … … … … … … …

𝒑𝒏 𝐴𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑚 … 𝑎𝑛𝑀

… … … … … … … …

𝒑𝑵 𝐴𝑁 𝑎𝑁1 𝑎𝑁2 … 𝑎𝑁𝑚 … 𝑎𝑁𝑀

W tym przypadku rozwiązanie gry sprowadza się do rozwiązania zadania programowania liniowego

Nnp

ppp

MmBVapapap

n

N

mANmNmm

,,2,10

1

,,2,1/

21

2211

=

=+++

=+++

Zadanie dla gracza A

/𝑉𝐴

NnV

p

VV

p

V

p

V

p

MmBaV

pa

V

pa

V

p

A

n

AA

N

AA

mNm

A

Nm

A

m

A

,,2,10

1

,,2,1/1

21

22

11

=

=+++

=+++

Niech: NnV

px

A

nn ,,2,1 ==

Zadanie dla gracza A

Nnx

Vxxx

MmBxaxaxa

n

A

N

mNNmmm

,,2,10

1

,,2,1/1

21

2211

=

=+++

=+++

Gracz A maksymalizuje zysk

Zatem należy minimalizować wyrażenie

( ) min21,,, 21

min ANxxx

VxxxN

=+++

Nnx

Mmxaxaxa

n

NNmmm

,,2,10

,,2,112211

=

=+++

Przy ograniczeniach:

Ostatecznie zadanie dla gracza A

NnVxp Ann ,,2,1,min ==

Mmq

qqq

NnAVaqaqaq

m

M

nBnMMnn

,,2,10

1

,,2,1/

21

2211

=

=+++

=+++

Zadanie dla gracza B

/𝑉𝐵

MmV

q

VV

q

V

q

V

q

NnAaV

qa

V

qa

V

q

B

m

BB

M

BB

nnM

B

Mn

B

n

B

,,2,10

1

,,2,1/1

21

22

11

=

=+++

=+++

Niech: MmV

qy

B

mm ,,2,1 ==

Zadanie dla gracza B

Mmy

Vyyy

NnAyayaya

m

B

M

nMnMnn

,,2,10

1

,,2,1/1

21

2211

=

=+++

=+++

Gracz B minimalizuje straty

Zatem należy maksymalizować wyrażenie

( ) max21,,, 21

max BMyyy

VyyyM

=+++

Mmy

Nnyayaya

m

MnMnn

,,2,10

,,2,112211

=

=+++

Przy ograniczeniach:

Ostatecznie zadanie dla gracza B

MmVyq Bnm ,,2,1,max ==

Gra dwuosobowa o sumie zerowej

Punkt siodłowy: ≠

BA min

𝐵1 𝐵2 𝐵3

𝐴1 5 0 1 0

𝐴2 2 4 3 2

max 5 4 3

nmMmNn

a 11

minmax

nmMmNn

a 11

maxmin

nmMmNn

a 11

minmax nmMmNn

a 11

maxmin

BA

𝒒𝟏 𝒒𝟐 𝒒𝟑

𝐵1 𝐵2 𝐵3

𝒑𝟏 𝐴1 5 0 1

𝒑𝟐 𝐴2 2 4 3

Zadanie dla gracza A Zadanie dla gracza B

( )21, 21

min xxxx

+

Przy ograniczeniach: Przy ograniczeniach:

( )321,, 321

max yyyyyy

++

000

1342

105

321

321

321

++

++

yyy

yyy

yyy

00

13

140

125

21

21

21

21

+

+

+

xx

xx

xx

xx

73