Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Dr Anna ADRIAN

Paw B5, pok 407

adan@agh.edu.pl

Plan wykładu

• Zmienna losowa ciągła

• Dystrybuanta i funkcja gęstości rozkładu zmiennej losowej ciągłej

• Rozkłady ciągłe: jednostajny, wykładniczyi normalny.

Rozkład zmiennej losowej ciągłej

Uwagi o zmiennej losowej ciągłej:

– Liczba wszystkich możliwych i wzajemnie wykluczających sięzdarzeń elementarnych jest nieskończona

– Dystrybuanta dla dowolnej zmiennej losowej F(x) = P (X<x),

– Zmienna losowa o dystrybuancie F jest typu ciągłego, jeśli istnieje funkcja f≥0, spełniająca równość

Funkcję f nazywa się gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej

∫∞−

=x

dxxfxF )()( (1)

Związek dystrybuanty i gęstościzmiennej losowej ciągłej

Dla dowolnej funkcji f, będącej gęstościąprawdopodobieństwa zachodzi zależność

Dla zmiennej losowej ciągłej zachodzi równość

P (a ≤≤≤≤ X ≤≤≤≤ b) = F(b) – F (a)

Stąd wynika, że:

ponieważ P (X = a) = P (a ≤ X ≤ a) = F (a) - F (a) = 0

P (X= a)= 0

1)()( ==∞ ∫∞

∞−

dxxfF

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa odgrywa najważniejsząrolę w definiowaniu rozkładów prawdopodobieństwa zmiennych

losowych typu ciągłego.

Definicja

Funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu ciągłego nazywamy funkcję f (x), określoną na zbiorze liczb rzeczywistych, taką że:

f(x)≥0 ( przyjmuje wartości nieujemne) oraz

dla dowolnych a < b zachodzi

∫ <<=b

a

bXaPdxxf )()(

Interpretacja graficzna związku funkcji gęstości z prawdopodobieństwem

a b

∫ <<=b

a

bXaPdxxf )()(

f(x)

Własności funkcji gęstości prawdopodobieństwa

• Funkcja gęstości jest nieujemna; f ≥ 0.

• W punktach, w których f jest ciągła zachodzi równość: f(x) = F’(x); funkcja gęstości jest pochodną dystrybuanty.

• Każda funkcja f, będąca gęstością prawdopodobieństwa, wyznacza jednoznacznie pewną dystrybuantę, a tym samym rozkład prawdopodobieństwa pewnej zmiennej.

• Z faktu, że prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe zeru, nie

wynika , że zdarzenie to jest niemożliwe, bo

∫ ∫∆+

→∆→∆===∆+<≤==

xx

x

x

xxx

dxxfdxxfxxXxPxXP0

0

0

0

0)()(lim)(lim)(00

Przykład – czy dana funkcja może byćfunkcją gęstości

Sprawdzić czy dana funkcja f ,

1. jest gęstością prawdopodobieństwa

2. znaleźć dystrybuantę F(x)

3. obliczyć P (X< 0,5)

P (1<X<2)4. przedstawić graficzną interpretację wyników obliczeń

≥<

= − 0

00)(

xdlae

xdlaxf x

Rozwiązanie

Czy f jest gęstością prawdopodobieństwa:

1. Funkcja f jest nieujemna

2.

Dystrybuanta

10

0)(0

0

=∞

−=+= −∞

∞− ∞−

∞−

∫ ∫ ∫xx edxedxdxxf

>−≤

= − 01

00)(

xdlae

xdlaxF x

P(X<0,5) = F(0,5) = 1- e -0,5

P(1<X<2) = F(2) – F(1) = (1- e -2 ) – ( 1- e -1 )= e -1 + e -2

Zadanie do domu

• Wyznaczyć stałą A taką , aby funkcja f była gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.

• Obliczyć P(X>1)

• Zinterpretować otrzymane wyniki na wykresie gęstości i dystrybuanty

≥<

= − 0

00)( 3 xdlaAe

xdlaxf x

Funkcje zmienne losowej

• Niech zmienna losowa Y będzie funkcją pewnej zmiennej X, tznY( ω)= g(X(ω))

• Znając rozkład zmiennej X możemy wyznaczyć rozkład zmiennej Y

• Zadanie :

Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y (dystrybuantę i gęstość), gdy :

Y= aX+b,

gdzie: a≠0

X jest zmienną losową typu ciągłego z gęstością fX i dystrybuantą FX

Rozważmy dwa przypadki : a>0 i a<0

Funkcje zmienne losowej - rozwiązanie

dla a>0FY (y)= P (Y<y) = P (aX+b <y) = P (X<(y-b)/a)= FX ((y-b)/a)zauważmy, że funkcja FX jest różniczkowalna w punktach ciągłości fXwięc

dla a< 0FY(y)= P(Y<y) = P(aX+b <y) = P(X >(y-b)/a) = 1- FX((y-b)/a)zauważmy, że funkcja FX jest różniczkowalna w punktach ciągłości fXwięc

gęstość f Y (y) możemy zapisać

)(1

)()()()(/)(

a

byf

adxxf

dy

d

a

byF

dy

dyF

dy

dyf X

aby

XXYY

−==−== ∫−

∞−

)(1

)()](1[)()(/)( a

byf

adxxf

dy

d

a

byF

dy

dyF

dy

dyf Xaby XXYY

−−

==−−== ∫∞

−

)(1

)(a

byf

ayf XY

−=

Wartość przeciętna i wariancja zmiennej losowej ciągłej

• Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję

zmiennej losowej ciągłej, o gęstości prawdopodobieństwa

wartość oczekiwana/nadzieja matematyczna

[ ] [ ] 1)()(1

00_ 0=−−=+−=== −−∞−−∞

∞

∞ −∫∫ ∫

xxxxx exedxexedxxedxxxfXE

≥<

= − 0

00)(

xdlae

xdlaxf x

[ ] 22)()()(00

2

0

2

_ 0

222∫∫∫ ∫

∞ −∞−∞ −∞

∞

∞ − =+−=−=== dxexexedxdxexdxxfxXE xxxx

wariancja/dyspersja: D2(X) = E[X-E(X)]2 = E(X2)-(E(X))2

D2(X)= 2- 12=1

Mediana,

Medianę zmiennej losowej X oznaczaną x1/2 lub me

definiują następujące wzory

P( {ω: X(ω)≤ me })≥1/2 i P( {ω: X(ω) ≥ me }) ≥1/2

Dla zmiennej losowej ciągłej medianę wyznacza się ze wzoru

Przykład czyli 1- exp(- me)=1/2

stąd me = ln2

2

10

=∫−em xdxe

2

1)(

_=∫ ∞

emdxxf

Kwantyle

• Mediana jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego parametru, zwanego Kwantylem.

• Definicja

Kwantylem rzędu p (0<p<1) zmiennej losowej X, o dystrybuancie F, nazywamy liczbę xp, taką że

F(xp) ≤ p ≤ F(xp+)

• Dla zmiennej losowej ciągłej kwantyl xp jest wyznaczany z wzoru F(xp) = p

• Mediana jest kwantylem rzędu 1/2

Rozkład jednostajny

• Rozkład jednostajny (zwany też równomiernymlub prostokątnym albo płaskim) to ciągły rozkład prawdopodobieństwa, dla którego gęstośćprawdopodobieństwa w przedziale od a do b jest stała i różna od zera, a poza nim równa zeru.

• Ponieważ rozkład jest ciągły, nie ma większego znaczenia czy punkty a i b włączy się do przedziału czy nie. Rozkład jest określony parąparametrów a i b, takich że b>a.

Rozkład jednostajny

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa

Dystrybuanta

Wartość oczekiwana Wariancja

bxa

bx

ab

ax

xf ≤≤

>−

<

= ;

;0

1

;0

)(

2)(

baXE

+=( )

12)(

22 ab

XD−=

Zastosowanie rozkładu jednostajnego

• Rozkład jednostajny: ma zastosowanie przy analizie niepewności systematycznych. Gęstość prawdopodobieństwa f(x) jest stała wewnątrz przedziału (a, b) i równa zero poza nim.

• Dla pomiarów obarczonych niepewnościąsystematyczną ∆x, mamy b – a = 2∆x, zatem

312

)()(

22 xab

XDS x

∆=−==

Zadanie

Punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym po okręgu koła o promieniu r. Niech O będzie ustalonym punktem okręgu, natomiast X długością łuku łączącego punkty OM.

• Określić rozkład zmiennej losowej X

• Narysować wykres funkcji gęstości i dystrybuanty zmiennej X

• Obliczyć P (X<πr) oraz P(X> 3πr/2)

• Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję

O

M

X

Rozwiązanie zadania – postać funkcji gęstości

;

2;0

20;2

10;0

)(

>

≤≤

<

=

rx

rxr

x

xf

ππ

π

Rozwiązanie należy dokończyć samodzielnie

Zadanie – praca samodzielna

Pociągi przyjeżdżają na stację dokładnie co 10 minut. Pasażer przychodzi na stację w pewnej przypadkowej chwili. Niech X oznacza czas oczekiwania na przybycie pociągu.

Należy:

• Określić funkcję gęstości prawdopodobieństwa f, wykonać wykres

• Określić dystrybuantę F, wykonać wykres

• Obliczyć P(X<8) i przedstawić interpretację graficzną

• Obliczyć oczekiwany/średni czas czekania na przyjazd pociągu

Rozkład wykładniczy

Znajduje zastosowanie do obliczania prawdopodobieństwa przejścia obiektu ze stanu X w stan Y w czasie δt, przy stałym, w jednostce czasu, prawdopodobieństwie zmiany stanu obiektu z X na Y.

Funkcja gęstości f(x) = λ e- λ x

Dystrybuanta: F(x) = 1- e - λ x

Wartość oczekiwana E(x) = λ-1

Wariancja D (X) = λ-2

Rozkład wykładniczy - zastosowania

• w zagadnieniach ruchu na liniach telefonicznych

• w problemach czasu eksploatacji elementów maszyn

• w problemach czasu obsługi i czasu oczekiwania na obsługę przy maszynach, w sklepach itp

Niezawodność urządzenia to prawdopodobieństwo tego, że urządzenie wykona zamierzone zadanie w określonym przedziale czasu i w określonych warunkach = prawdopodobieństwo niewystąpienia uszkodzeń w ciągu czasu t.

Sprawdzono, że dobrą aproksymacją niezawodności jest funkcjaN(t)= e -λt dla t>0

(wykładnicze prawo niezawodności)

z tego wynika, że N(t)=1-F(t)gdzie F(t) jest dystrybuantą w punkcie t, zmiennej losowej T (czas poprawnej pracy) o rozkładzie wykładniczym

Rozkład normalny

Rozkład zwany rozkładem Gaussa-Laplace'a jest najczęściej

spotykanym rozkładem zmiennej losowej ciągłej.

Mówimy, że zmienna losowa ciągła X ma rozkład

normalny o wartości oczekiwanej µ i odchyleniu

standardowym σ , co symbolicznie zapisuje się:

( )σµ,~ NX

( )

−−

=2

2

2

2

1)( σ

µ

πσ

x

exf

Funkcja gęstości w rozkładzie normalnym N(µ,σ),

ma postać:

i jest określona dla wszystkich rzeczywistych wartości

zmiennej losowej X.

Rozkład normalny – funkcja gęstości

Parametry rozkładu N(µ,σ),

µ - Wartość oczekiwanaσ2 - Wariancja

µ

σ

f(x)

Rozkład normalny – wykres funkcji gęstości i interpretacja

x

Graficzna interpretacja funkcji gęstości i prawdopodobieństwa (dystrybuanty)

Funkcja gęstości w rozkładzie normalnym:

• jest symetryczna względem prostej x = µ

• w punkcie x = µ osiąga wartośćmaksymalną

• ramiona funkcji mają punkty przegięcia dla x = µ - σoraz x = µ + σ

Kształt funkcji gęstości zależy od wartości parametrów:µ, σ :

- parametr µ decyduje o przesunięciu krzywej,

- parametr σ decyduje o „smukłości” krzywej.

Cechy charakterystyczne funkcji gęstości rozkładu normalnego

0

0,5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

N(0,1)

N(3,1)

N(0,2)

N(3,2)

Przykłady funkcji gęstości rozkładów N (µ, σ)

dla różnych wartości µ i σ

Wykresy funkcji gęstości rozkładów N (µµµµ, σ)

Wykresy dystrybuanty rozkładu normalnego N(µ,σ), dla różnych wartości µ i σ

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

N (0,1)

N (3,1)

N (0,2)

N (3,2)

Wykresy dystrybuanty rozkładów N (µµµµ, σ)

Jeżeli zmienna losowa ma rozkład normalny N(µ,σ) to:

- 68,3 % populacji mieści się w przedziale (µµµµ - σ; µµµµ + σ)

- 95,5 % populacji mieści się w przedziale (µµµµ - 2σ; µµµµ + 2σ)

- 99,7 % populacji mieści się w przedziale (µµµµ - 3σ; µµµµ + 3σ)

Rozkład normalnyReguła 3 sigma