Metoda graficznaopracowanie na podstawie „Metody wspomagające podejmowanie decyzji w zarządzaniu” D. Witkowska, Menadżer Łódź 2000.

Zadania, w których występują dwie zmienne decyzyjne można rozwiązać za pomocą metody graficznej.

Przykład Szef działu reklamy firmy "Press" otrzymał zlecenie na

przeprowadzenie kampanii reklamowej wyrobu "Twigo". Kampania ta ma być zrealizowana poprzez dwie grupy środków masowego przekazu: radio i telewizję. Oszacowane ceny emisji reklamy wynoszą odpowiednio: w przypadku emisji radiowej 3 euro i telewizyjnej 6 euro. Koszty ponoszone przez firmę "Press" na emisji reklamy radiowej wynoszą 2 euro, a na telewizyjnej 1 euro, a przyjmowane jest zlecenie jeżeli jej koszty nie przekraczają 6 euro. Zleceniodawca żąda, aby wyemitowano co najmniej dwie reklamy, w tym co najmniej jedną reklamę telewizyjną.

Natomiast telewizja przyjmuje zlecenie emisji, jeśli reklama będzie emitowana co najwyżej cztery razy.

Określ optymalną liczbę emisji reklamy w przekazie radiowym i telewizyjnym.

Model matematyczny III Zmienne decyzyjne :

x1 - liczba emisji reklamy radiowej; x2 - liczba emisji reklamy telewizyjnej.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 min (koszty zleceniodawcy w tys. zł)

warunki ograniczające:2 x1 + x2 6 warunek na koszty ponoszone przez firmę "Press", x1 + x2 2 warunek zleceniodawcy na emisję reklam, x2 1 dolne ograniczenie uwzględniające żądanie zleceniodawcy, x2 4 górne ograniczenie dotyczące warunków nałożonych przez TV,warunki brzegowe: x1 0, x2 0, x1C, x2 C.

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

w1w2w3w4

x1

x2Zbiór rozwiązań

dopuszczalnych

A

D

E

B

C

2 x1 + x2 6

x1 + x2 2

x2 1

x2 4 1226032

0

2446034

0

2746134

1

513165231

52

916131

1

E

D

C

B

A

fE

fD

fC

fB

fA

,,,

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

w1w2w3w4

x1

x2

A

D

E

B

C

f(x)=3x1 + 6x2 minc=[3 6]

Rozwiązanie optymalnejednoznaczne

9min 1

1

optx

Interpretacja rozwiązaniaZmienne decyzyjne :

x1 = 1- emitujemy jedną reklamę radiową; x2 =1- emitujemy jedną reklamę telewizyjną.funkcja celu: f(x)=9 minimalne koszty wynoszą 9 tys. złwarunki ograniczające:- firma "Press” nie ponosi maksymalnie możliwych kosztów ( 3<6 ), - emitujemy dokładnie tyle reklam ile wynosi zakładane minimum (emitujemy minimalnie dwie reklamy), - emitujemy dokładnie tyle reklam telewizyjnych ile wynosi dolne ograniczenie uwzględniające żądanie zleceniodawcy, - emitujemy o trzy reklamy telewizyjne mniej niż wynosi górne ograniczenie dotyczące warunków nałożonych przez TV.

Model matematyczny IV

Zmienne decyzyjne : x1 - liczba emisji reklamy radiowej; x2 - liczba emisji reklamy telewizyjnej.funkcja celu: f(x)=5x1 + 5x2 min

warunki ograniczające:2 x1 + x2 6

x1 + x2 2

x2 1

x2 4warunki brzegowe:x1 0, x2 0, x1C, x2 C.

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

w1w2w3w4

x1

x2

A

D

E

B

C

1025052

0

2045054

0

2545154

1

517155251

52

1015151

1

E

D

C

B

A

fE

fD

fC

fB

fA

,,,

Rozwiązanie optymalneniejednoznaczne

10min 2

0

10min 1

1

opt

opt

x

x

Rozwiązanie optymalneniejednoznaczne

1;0

2222

0-1

1

1

optx

Problem 2 Ile węgla brunatnego w tonach i ropy

naftowej w hl można wydobywać wiedząc, że potrzebne maszyny mogą pracować co najwyżej 8 godz. I na każda ton węgla potrzeba 2 godz. pracy maszyn, a na hl ropy tylko 1 godz., a zatrudnionych musi być przynajmniej 10 pracowników i na każdą jednostkę wyrobu potrzeba jednego pracownika. Zysk na wydobyciu 1 tony węgla wynosi 3 tys. zł, a 1hl ropy 6 tys. zł

Model matematyczny I Zmienne decyzyjne :

x1 - ilość wydobywanego węgla w tonach; x2 - ilość wydobywanej ropy w hl.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 max(zysk w tys. zł)

warunki ograniczające:2 x1 + x2 8 warunek na czas pracy maszyn w godz.

x1 + x2 10 warunek na liczbę zatrudnianych osób, warunki brzegowe:x1 0, x2 0.

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10

x1

x2Nie ma zbioru

rozwiązań dopuszczalnych

2 x1 + x2 8

x1 + x2 10

Nie ma rozwiązania optymalnego Nie istnieje zbiór rozwiązań

dopuszczalnych. Układ warunków ograniczających i

brzegowych jest sprzeczny

Problem 2 Ile węgla brunatnego w tonach i ropy

naftowej w hl można wydobywać wiedząc, że potrzebne maszyny mogą pracować co najmniej 8 godz. I na każda ton węgla potrzeba 2 godz. pracy maszyn, a na hl ropy tylko 1 godz., a zatrudnionych musi być przynajmniej 10 pracowników i na każdą jednostkę wyrobu potrzeba jednego pracownika. Zysk na wydobyciu 1 tony węgla wynosi 3 tys. zł, a 1hl ropy 6 tys. zł

Model matematyczny II Zmienne decyzyjne :

x1 - ilość wydobywanego węgla w tonach; x2 - ilość wydobywanej ropy w hl.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 max(zysk w tys. zł)

warunki ograniczające:2 x1 + x2 8 warunek na czas pracy maszyn w godz.

x1 + x2 10 warunek na liczbę zatrudnianych osób, warunki brzegowe:x1 0, x2 0.

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10

x1

x2

zbiórrozwiązań

dopuszczalnych jest nieograniczony

2 x1 + x2 8

x1 + x2 10

Rozwiązanie nieograniczone Funkcja celu dąży do max i zbiór

rozwiązań dopuszczalnych jest nieograniczony.

Zmiana parametrów funkcji celu

Zmienne decyzyjne : x1 - liczba emisji reklamy radiowej; x2 - liczba emisji reklamy telewizyjnej.funkcja celu: f(x)=cx1 + 6x2 min

warunki ograniczające:2 x1 + x2 6

x1 + x2 2

x2 1

x2 4warunki brzegowe:x1 0, x2 0, x1C, x2 C.

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

w1w2w3w4

x1

x2

A

D

E

B

C

Zmiana ograniczeń

Zmienne decyzyjne : x1 - liczba emisji reklamy radiowej; x2 - liczba emisji reklamy telewizyjnej.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 min

warunki ograniczające:2 x1 + x2 b

x1 + x2 2

x2 1

x2 4warunki brzegowe:x1 0, x2 0, x1C, x2 C.

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

w1w2w3w4

x1

x2

Model matematyczny V Zmienne decyzyjne :

x1 - liczba emisji reklamy radiowej; x2 - liczba emisji reklamy telewizyjnej.funkcja celu: f(x)=30x1 + 6x2 max(zysk w tys. zł)

warunki ograniczające:2 x1 + x2 6warunek na koszty ponoszone przez firmę "Press", x1 + x2 2warunek zleceniodawcy na emisję reklam, x2 1dolne ograniczenie uwzględniające żądanie zleceniodawcy, x2 4górne ograniczenie dotyczące warunków nałożonych przez TV,warunki brzegowe:x1 0, x2 0, x1C, x2 C.

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

w1w2w3w4

x1

x2

A

D

E

B

C

12260302

0

24460304

0

54461304

1

811652301

52

36161301

1

E

D

C

B

A

fE

fD

fC

fB

fA

,,

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

w1w2w3w4

x1

x2

Rozwiązanie optymalnejednoznaczne

72max 2

2

optx

Zadnie pierwotne Max f. celu Współczynniki

f. celu Warunki „<=„ Warunki „>=„ Warunki „=„ Macierz

parametrów

Zadnie dualne

Min f. celu Wartości ograniczeń zmienne >= dla max

lub <= dla min zmienne <= dla max

lub >= dla min Zmienne ze zbioru R transponowana macierz

parametrów

Interpretacja cen dualnych (yi)

Jeżeli w i-tym ograniczeniu ZP wyraz wolny wzrośnie o jednostkę to optymalna wartości funkcji celu pierwotnego zadania wzrośnie o yi jednostek.

Cena dualna to graniczna wartość powyżej której dokonywanie dodatkowego zakupu tego środka nie jest już opłacalne.

Zadanie Do wyrobu dwóch typów mebli segmentowych zużywa się m. in. trzy surowce: drewno, sklejkę i okładzinę. Zużycie tych surowców na jeden zestaw odpowiedniego typu mebli, zapasy surowców oraz zysk jednostkowy są następujące:

Zużycie surowca na 1 segment

Surowiec

Typu I

Typu II

Zapasy surowców

Drewno 0,2 0,4 80 m3

Sklejka 2 2 480 m2

Okładzina 2 1 360 m2

Zysk na jednym zestawie w zł

300 500

Zbudować model zadania PL, którego rozwiązanie pozwoli ustalić plan produkcji maksymalizujący zysk łączny.

CEL ZADANIA Ustalić ile wyprodukować mebli typu I a ile mebli typu II

aby osiągnąć maksymalny zysk

Zmienne decyzyjne: x1-Ilość wyprodukowanych mebli typu I x2-Ilość wyprodukowanych mebli typu II

CxCxxx

okladzinyzapasówhposiadanycieograniczenmxx

sklejkizapasówhposiadanycieograniczenmxx

drewnazapasówhposiadanycieograniczenmxx

xxxxf

2121

221

221

321

2121

00

3602

48022

804,02,0

max500300),(

MODEL DUALNY: Cel: Ustalenie za ile sprzedać posiadane zapasy surowców (drewna, sklejki, okładziny) aby osiągnąć zysk co najmniej taki sam jak na produkcji. Zmienne decyzyjne: y1-cena sprzedaży 1m3 drewna [zł] y2-cena sprzedaży 1m2 sklejki [zł] y3-cena sprzedaży 1m2 okładziny [zł]

000

50024,0

300222,0

min36048080),,(

321

321

321

321321

yyy

zlyyy

zlyyy

yyyyyyf

ograniczenie 1- sprzedaż materiałów wystarczających do wyprodukowania jednego zestawu mebli typu I ograniczenie 2- sprzedaż materiałów wystarczających do wyprodukowania jednego zestawu mebli typu II